Задачи на прямую и обратную пропорциональность трех

Задачи на прямую и обратную пропорциональность трех
более величин
и
Цель занятия: углубление знаний о способах решения задач на прямую и
обратную пропорциональность
Задачи занятия:
 Содействовать быстрой актуализации и практическому применению
ранее полученных знаний, умений и способов действий в
нестандартной ситуации
 Создать условия для расширения кругозора учащихся при решении
старинных практических задач
План занятия
1. Организационный момент
2. Устный счет
3. Решение задач
4. Подведение итогов занятия
Ход занятия
I. Организационный момент
1. Чтобы спорилось нужное дело,
Чтобы в жизни не знать неудач,
Мы в поход отправляемся смело
В мир загадок и сложных задач.
Не беда, что идти далеко,
Не боимся, что путь будет труден.
Достижения крупные людям
Никогда не давались легко.
2. Девизом сегодняшнего урока будут слова «Без муки нет науки».
3. А теперь разгадайте ребус
ПРОПОРЦИЯ
II. Устный счет
1. За несколько одинаковых карандашей заплатили 80 к. Сколько нужно
заплатить за такие же карандаши, если их:
а) в 2 раза больше?
б) в 2 раза меньше?
2. За несколько одинаковых карандашей заплатили 80 к. Сколько нужно
заплатить за такое же количество карандашей, каждый из которых:
а) в 2 раза дороже?
б) в 2 раза дешевле?
3. Имеются деньги на покупку 30 карандашей.
а) Сколько тетрадей можно купить на те же деньги, если тетрадь дешевле
карандаша в 2 раза?
б) Сколько ручек можно купить на те же деньги, если ручка дороже
карандаша в 10 раз?
III. Решение задач
В давние времена для решения многих типов задач существовали
специальные правила их решения. Знакомые нам задачи на прямую и
обратную пропорциональность, в которых по трём значениям двух величин
нужно найти четвёртое, назывались задачами на «тройное правило».
Если же для трёх величин, были даны пять значений, и требовалось найти
шестое, то правило называлось «пятерным». Аналогично для четырёх
величин существовало «семеричное правило». Задачи на применение этих
правил назывались ещё задачами на «сложное тройное правило».
Попробуем !!!
Задача 1. Три курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12
куриц за 12 дней?
Ответ у задачи получается ………?
Решение задачи разберём коллективно, записав кратко условие задачи:
Куриц дней яиц
3
3
3
12
12
х
В ходе диалога нужно выяснить:
- Во сколько раз увеличилось число кур? ( в 4 раза)
- Как при этом изменилось число яиц, если число дней не изменилось?
(увеличилось в 4 раза)
- Во сколько раз увеличилось число дней? ( в 4 раза)
- Как при этом изменилось число яиц? (увеличилось в 4 раза)
Х = 3*4*4 =48(яиц)
Задача 2 (Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона)
Исаак Ньютон — английский физик, математик и астроном, один из
создателей классической физики. Первые математические открытия Ньютон
сделал ещё в студенческие годы. В своей «Универсальной арифметике»
Ньютон выразил убеждение, что «при изучении наук примеры полезнее, чем
правила».
Универсальная
арифметика
Ньютона
стала
самым
распространенным в России учебником второй половины 18 века.
Если писец может за 8 дней написать 15 листов, сколько понадобиться
писцов, чтобы написать 405 листов за 9 дней?
Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона
Писцов строк листов
1
8
15
Х
9
405
Учащиеся пытаются коллективно ставить вопросы и отвечать на них.
(количество писцов увеличивается от увеличения листов в
уменьшается
раз и
от увеличения дней работы
(писцов)).
Рассмотрим более сложную задачу с четырьмя величинами.
Задача 3 (из «Арифметики» А.П. Киселёва).
Для освещения 18 комнат в 48 дней издержано 120т фунтов керосина,
причём в каждой комнате горело по 4 лампы. Hа сколько дней достанет
125 фунтов керосина, если освещать 20 комнат и в каждой комнате будет
гореть по 3 лампы?
Киселев Андрей Петрович — российский, советский педагог,
законодатель школьной математики. «Арифметика» Киселёва — первый
школьный учебник по арифметике, вышел в 1884 г. В 1938 г.Он был
утвержден в качестве учебника арифметики для 5-6 классов средней
школы. Учебник арифметики Киселёва выдержал 29 изданий до
революции (более чем миллионный тираж) плюс ещё 10 млн экземпляров,
отпечатанных при жизни Киселева. С 2002 года издательство Физматлит
переиздаёт классические учебники А. П. Киселёва.
из «Арифметики» А.П. Киселёва
комнат дней керосина лампы
18
48
120
4
20
Х
125
3
Записывается краткое условие задачи и даётся рассуждение, параллельно
которому на доске может вестись постепенно дополняемая запись Х = …..
Количество дней пользования керосином увеличивается от увеличения
количества керосина в
раз и от уменьшения ламп в раза.
Количество дней пользования керосином уменьшается от увеличения комнат
в 20 раза.
Х = 48 *
* :
= 60 (дней)
Окончательно имеет Х = 60. Это означает, что 125 фунтов керосина хватает
на 60 дней.
Задача 4(Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого). Некто имел 100 р. в
купечестве 1 год и приобрел ими только 7 р. А когда отдал в купечество 1000
р. на 5 лет, сколько ими приобретет?
Леонтий Филиппович Магницкий — русский математик, педагог.
Преподаватель, автор первой в России учебной энциклопедии по математике.
Родился он в крестьянской семье, на берегу озера Селигер. «Арифметика»
Леонтия Филипповича Магницкого создавалась первоначально как учебник
для будущих офицеров армии и флота. Магницкий в своем учебнике не
только стремился доходчиво разъяснить математические правила, но и
побудить у учеников интерес к учебе. Он постоянно на конкретных примерах
из обыденной жизни, военной и морской практики подчеркивал важность
знания математики.
Задача 5. Артель землекопов в 26 человек, работающая машинами по 12
часов в день, может вырыть канал в 96 м длины, 20 м ширина и 12 м глубины
в течении 40 дней. Какой длины канал могут вырыть 30 землекопов, работая
в течении 80 дней по 10 часов в день, если ширина должна быть 10 м,
глубина 18 дм?
Длина
человек
дней
часов
ширина
глубина
96
26
40
12
20
12
Х
39
80
10
10
18
решение.
Х = 320
Задание 6: Прочитать тексты предложенных задач. Определите, является ли
прямой пропорциональной или обратной пропорциональной зависимость
между величинами. В столбце “П,О” представленной ниже таблицы
поставьте букву «П», если зависимость прямая, букву “О”, если зависимость
обратная и прочерк, если нет зависимости.
№
Тексты задач
1
8 однотипных деталей весят 28 кг. Сколько весят 27 таких же
деталей?
2
В 300 кг сплава содержится 213 кг железа. Сколько железа
содержится в 456 кг сплава?
П,О
+/-
3
Сколько весят 25 батонов белого хлеба? Если 16 батонов
такого же белого хлеба весят 36 кг.
4
Для изготовления 24 КАМАЗов необходимо 156 т металла.
Сколько металла необходимо для изготовления 36 таких же
КАМАЗов?
5
7 маляров могли бы покрасить забор за 18 дней. За сколько
дней покрасят тот же забор 12 маляров?
6
Сумма двух чисел, одно из которых на 5 больше другого
равна 240. Найдите эти числа.
7
Для приготовления супа “Харчо” на 3 стакана риса берут 500
г бульона. Сколько надо взять риса на 600 г бульона?
8
Теплоход за 13 ч проплыл по реке 38,6 км. Какое расстояние
он проплывет за 9 ч?
9
Для выживания 12 человек покупают 36 кг продуктов.
Сколько необходимо продуктов для выживания 64 человек?
10 Строительные работы могут выполнить 20 рабочих за 13
дней. Сколько нужно рабочих, чтобы выполнить те же
работы за 7 дней?
11 Для варки варенья из винограда на 16 кг ягод берут 6 кг
сахарного песку. Сколько сахарного песку надо взять на 34
кг ягод?
12 В 1000 г раствора содержится 8 г соли. Сколько соли
содержится в 300 г раствора?
Ответы: п п п п о н п п п о п п
Старинная задача 7. Артель землекопов в 26 человек, работающая
машинами по 12 ч в день, может вырыть канал в 96 м длины, 20 м ширины и
12 дм глубины в течение 40 дней. Какой длины канал могут вырыть 39
землекопов, работая в течение 80 дней по 10 ч в день, если ширина канала
должна быть 10 м, глубина 18 дм?
Задачу 290 С.И. Шохор-Троцкий считал не удовлетворяющей жизненным
условиям и не подходящей для школьной практики, он рассматривал ее в
своей «Методике арифметики» (1935 г.) «для себя». Применим
усовершенствованную нами «окончательную формулу». В сильном классе
этот способ можно показать учащимся, но только при их активном участии в
решении — в противном случае работа будет бессмысленной. Ниже записано
краткое условие задачи и дано рассуждение, параллельно которому на доске
может вестись постепенно дополняемая запись, показанная справа.
Дл. Чел. Дн. Час. Шир. Гл.
96
26 40 12
20
12
х
39 80 10
10
18
Длина канала увеличится от
увеличения числа человек в 39/26 раза,
х = 96·39/26
от увеличения числа дней в 80/40 раза
х = 96·39/26·80/40
и от уменьшения ширины в 20/10 раза;
х = 96·39/26·80/40 .
Длина канала уменьшится от
уменьшения числа часов в 12/10 раза и
х = 96·39/26·80/40·20/10:12/10
и от увеличения глубины в 18/12 раза:
х = 96·39/26·80/40·20/10:12/10:18/12 .
Окончательно имеем: х = 320. Это означает, что 39 землекопов могут
вырыть канал длиной 320 м.
IV. Подведение итогов занятия. Рефлексия
Пусть каждый день и каждый час
Вам новое добудет.
Пусть добрым будет ум у вас,
А сердце умным будет.
С. Маршак