09.06.01 Информатика и вычислительная техника. Профиль

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по научной работе
_________________ С.Р. Деркач
«___» _______________2014 год
ПРОГРАММА
Вступительных испытаний в аспирантуру по образовательным программам
высшего образования – программам подготовки научно-педагогических кадров
в аспирантуре.
Направление 09.06.01 Информатика и вычислительная техника
Направленность (профиль): «Математические модели, численные методы и
комплексы программ»
Кафедра-разработчик: «Высшая математика и программное обеспечение ЭВМ»
Институт: Политехнический
Лист согласования
1. Разработчик
2. Программа вступительных испытаний рассмотрена и одобрена на заседании
кафедры_ВМ и ПО ЭВМ_ протокол №_______ от ____________________.
Заведующий кафедрой_________________________
__________________
дата
____________________
подпись
____________
Программа вступительных испытаний
I. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.
1. Множество комплексных чисел. Определение и основные свойства, комплексного числа.
Комплексная плоскость. Формы представления комплексных чисел. Действия с комплексными числами, заданными в различных формах представления.
II. ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ.
2. Переменная и область ее изменения. Окрестность точки на числовой оси и бесконечноудаленных точек. Упорядоченная переменная, Числовая последовательность.
3. Функция, область ее определения. Способы задания функций и их классификация. Важнейшие свойства функций: возрастание, убывание, четность, нечетность, периодичность,
наличие обратной функции. Суперпозиция функций.
III. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
4. Предел упорядоченной переменной. Определение. Бесконечно большая и бесконечно малая переменные.
5. Предел функции. Определение на языке последовательностей и на языке “-”. Геометрическая интерпретация определения предела на языке “-”. Теоремы о пределах функций.
6. Бесконечно большие и бесконечно малые функции, их свойства. Сравнение бесконечно
малых функций. Эквивалентные бесконечно малые и их использование для нахождения пределов. Способы раскрытия неопределенностей.
7. Непрерывность функции в точке и на множестве. Определение. Свойства непрерывных
функций. Непрерывность элементарных функций. Точки разрыва функции и их классификация. Исследование функций на непрерывность.
8. Свойства функций непрерывных на отрезке.
IV. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
9. Производная функции в точке, ее геометрический и механический смысл. Связь между
непрерывностью и дифференцируемостью функции в точке.
10. Дифференциал функции в точке. Определение, связь с приращением функции и ее производной, геометрический смысл.
11. Свойства производных и дифференциалов. Дифференцирование сложной функции.
Дифференцирование взаимообратных, неявных и параметрически заданных функций.
V. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
12. Необходимые и достаточные условия возрастания (убывания) функции на интервале.
Экстремумы функции в точке. Необходимые и достаточные условия экстремума функции в
точке. Определение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
13. Вогнутость вверх (вниз) графика функции на интервале. Достаточные условия. Точки
перегиба графика функции. Необходимые и достаточные условия. Асимптоты графика
функции, способы их отыскания.
14. Схема общего исследования функции.
VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
15. Функции 2 и более переменных. Способы их задания. Линии, поверхности и объекты
уровня. Скалярное поле.
16. Предел и непрерывность ФНП. Частные производные ФНП. Геометрический и механический смысл.
17. Полный дифференциал ФНП. Его связь с полным приращением. Применение для вычисления погрешностей.
18. Дифференцирование суперпозиций. Полная производная ФНП. Дифференцирование неявных функций.
19. Скалярное поле. Производная по направлению и градиент ФНП.
VII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
20. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Геометрическая интерпретация неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.
21. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
VIII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
22. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Интегральная сумма и определенный интеграл. Простейшие свойства определенного интеграла.
23. Теоремы об оценке и о среднем для определенного интеграла, теорема Барроу, теорема
Ньютона-Лейбница. Применение.
24. Метод замены переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
IX. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
25. Дифференциальные уравнения, их классификация. Общее и частное решения, их геометрический смысл. Задача Коши. Теорема существования.
26. Дифференциальные уравнения 1 порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные. Нахождение общего решения и решение задачи Коши.
27. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Структура общего решения. Доказательство.
28. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Нахождение общего решения и решение задачи Коши.
29. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффицентами и с правой частью специального вида. Метод неопределенных коэффициентов.
30. Метод вариации произвольных постоянных для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффицентами и правой частью
произвольного вида .
X. РЯДЫ
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
31. Числовые последовательности и числовые ряды. Общие понятия и определения. Частичная сумма и сумма числового ряда. Необходимый признак сходимости числовых рядов.
32. Достаточные признаки сходимости числовых знакоположительных рядов: признак сравнения, признак Д’Аламбера, радикальный и интегральный признаки Коши.
33. Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак абсолютной сходимости знакопеременного ряда. Достаточный признак сходимости числовых
знакочередующихся рядов. Оценка остаточного члена ряда.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
34. Функциональные ряды. Область сходимости.
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
35. Степенные ряды. Теорема Абеля. Структура области сходимости степенных рядов.
Определение радиуса, интервала и области сходимости степенных рядов.
36. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена. Примеры. Область сходимости.
Применение.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
37. Ряд Фурье для функций с периодом 2. Условия разложимости функций в ряд Фурье.
Разложение четных, нечетных периодических функций в ряд Фурье.
38. Разложение в ряд Фурье функций с произвольным периодом. Периодические продолжения. Разложение в ряд Фурье непериодических функций.
XI. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
39. Предмет и задачи теории вероятностей. Случайное событие. Основные понятия и определения. Классическое и статистическое определение вероятности. Понятие о законе больших чисел.
40. Произведение событий. Теоремы о произведении вероятностей для зависимых и независимых событий.
41. Сумма событий. Теоремы о сложении вероятностей для совместных и несовместных событий.
42. Формула полной вероятности и теорема Байеса.
43. Случайные величины и их классификация. Дискретные случайные величины, закон и
функция распределения.
44. Непрерывные случайные величины. Функция распределения и функция плотности вероятностей.
45. Математическое ожидание дискретных и непрерывных случайных величин. Его вычисление и свойства. Дисперсия и СКВО дискретных и непрерывных случайных величин. Вычисление и свойства.
XII. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
46. Скаляры и векторы. Линейные операции над векторами в геометрической форме.
47. Проекции вектора. Задание вектора через его проекции на оси координат. Модуль и
направляющие косинусы. Единичный вектор. Линейные операции над векторами, заданными своими проекциями на оси координат.
48. Скалярное произведение двух векторов, его свойств и применение.
49. Векторное произведение двух векторов, его свойства и применение.
50. Смешанное произведение трех векторов. Определение, свойства, вычисление и применение.
XIII. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
51. Определители II и III порядка, их свойства и вычисление.
52. Решение систем линейных уравнений по способу Крамера.
53. Декартовы и полярные координаты точки на плоскости. Взаимный переход.
54. Уравнения прямой на плоскости: с угловым коэффициентом, общее уравнение прямой,
уравнения прямой, проходящей через одну или две заданные точки на плоскости.
55. Угол между прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности
прямых на плоскости.
56. Общее уравнения плоскости в пространстве. Уравнение плоскости, проходящей через
одну или три заданные точки.
57. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей в пространстве.
58. Векторное, параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве. Общее
уравнение прямой в пространстве.
59. Угол между плоскостью и прямой в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве.
60. Точка пересечения прямой и плоскости в пространстве. Взаимное расположение прямой
и плоскости в пространстве.
Рекомендуемая литература
1. Баврин И.И. Основы высшей математики: Учебник. –М.: Высш.шк., 2004. -520с.
2. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика: Учебник для студентов высших учебных заведений. –М.: Гуманит.изд.центр ВЛАДОС, 2002. -400с.
3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - СПб.: Профессия, 2001.
– 432с. (и предыдущие издания)
4. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа: Учебник для вузов. – М.: Физматлит, 2002. – 800с.
5. Бубер В.Б. Элементы векторного анализа. Опорный конспект лекций по высшей математике.- Мурманск, 1989. – 63с.
6. Бубер В.Б., Ломакина З.Д. Операционное исчисление. Опорный конспект лекций по
высшей математике. –Мурманск, 1990.
7. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения.
Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1981.
8. Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учеб. для вузов. –М.: Высш.шк., 2005.
9. Вульфович Б.А., Пашенцев С.В. Элементы аналитических функций. Методическая разработка и указания. –Мурманск, 1977.
10. Выгодский М.Я. Справочние по высшей математике. –М.: Джангар. Большая медведица,
1998. – 863с.
11. Герасимович А.И., Рысюк Н.А. Математический анализ: Справ.пособие. В 2-х частях. –
Мн.: Высш.шк., 1989, 1990. Ч.1. – 286с., Ч.2. – 272с.
12. Гусак А.А. Математический анализ и дифференциальные уравнения: Справочное пособие к решению задач. – Минск: ТерраСистемс, 2001. – 416с.
13. Данко П.Б., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. М.: Высшая Школа, 1996. Ч.1. – 304с., Ч.2. – 416с.
14. Данко П.Б., Попов А.Г., Кожевников Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 2.: Учебное пособие для втузов. –М.: Высшая школа, 1997.
15. Котов А.А. Числовые ряды. Функциональные степенные ряды: Практикум по высшей
математике: Учебное пособие по дисциплине «Высшая математика» для технических
специальностей. –Мурманск: Изд-во МГТУ, 2003. -92с.
16. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Задачи и примеры с подробным решением: Учебное пособие. –М.: Ком.Книга, 2006. -208с.
17. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики: Учеб.пособие для
естеств.спец.ун-тов. - М.: Наука, 1989. – 656с.
18. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа: Учебник для вузов. В 2-х томах.
-М., Физматлит, 2002. Т.1. – 400с., Т.2. – 424с.
19. Ломакина З.Д. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Уравнения математической физики.: Опорный конспект лекций по высшей математике. –Мурманск, 1990.
20. Мышкис А.Д Лекции по высшей математике: Учебное пособие для втузов. –М.: Наука,
1973. – 640с.
21. Мышкис А.Д Математика для втузов. Специальные курсы. –М.: Наука, 1971.
22. Никольский С.М. Курс математического анализа: учебник для вузов. -М.: Физматлит,
2001. -592с.
23. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб.пособие для вузов. В 2-х томах. - М.: Интеграл-Пресс, 2002. Т.1 - 416с., Т.2 – 440с.
24. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс. –М.: АйрисПресс, 2004. – 604с.
25. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. Учебник для
втузов. –М.: Высшая школа, 1999 (и предыдущие издания).
26. Сборник задач по математике для втузов. Ч.2. Специальные разделы математического
анализа: учебное пособие для втузов. / Бологов В.А., Ефимов А.В., Каракулин А.Ф. и др.;
под ред. Ефимова В.А. и Демидовича Б.П. –М.: наука, 1986.
27. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учебное пособие для
вузов. –М.: МФТИ, 1997. – 720с.
28. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: Учебное пособие для вузов. В 3-х томах. –СПб.: Лань, 1997. Т.1 – 608с., Т.2 – 800с., Т.3 – 672с.
29. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа: Учебник для вузов. В 2-х томах. –
М.: Физматлит, 2002. Т.1 – 416с., Т.2 – 440с.