XI Региональный конкурс молодых исследователей

XI Региональный конкурс молодых
исследователей
« Ступень в науку»
Секция: математика (геометрия)
Тема: «Свойство биссектрисы угла треугольника»
Авторы работы:
Быкадоров Артур Олегович
Гагиев Александр Зурабович
Место выполнения работы:
школа - МБОУ ордена «Знак Почёта» им. А. В. Луначарского
гимназия №5
класс – 8 «А» класс
город - Владикавказ, РСО-Алания
страна – РФ
Научный руководитель: Кобаидзе Н.И.
2013 – 2014
План
I.Вступление.
II. Основная часть. Свойство биссектрисы угла треугольника.
1) Доказательство свойства биссектрис внутреннего и внешнего угла
треугольника
3) Доказательство свойства с помощью теоремы Фалеса
4) Доказательство свойства с помощью признаков подобия
прямоугольных треугольников
5) Доказательство свойства с использованием формы площади
треугольника
6) Доказательство свойства с применением теоремы о вписанном угле
III. Геометрический практикум.
1) Формула длины биссектрисы угла треугольника с использованием
теоремы пропорциональности отрезков хорд и секущих окружности
2) Формула длины биссектрисы угла треугольника через длины его
сторон
3) Решение задачи с применением свойства биссектрисы угла
треугольника и признака прямоугольного треугольника
IV. Выводы
V. Заключение
VI. Использованная литература
Цель: научится применять свойство биссектрисы угла треугольника при решении задач,
которое доказывается неоднозначно.
Объект исследования: биссектриса угла треугольника.
Предмет исследования: свойство биссектрисы угла треугольника.
Задачи:
1)
собрать материал из источников, где используется рассматриваемое свойство
биссектрисы треугольника.
2)
показать разнообразие исследуемого материала.
3)
решить задачу несколькими способами с применением разных учебных тем.
 Доказать свойство биссектрисы угла треугольника, применяя подобие и теорему об
отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу
 Разобрать задачу (доказать свойство) с помощью теоремы Фалеса
 Решить задачу (доказать свойство) с помощью признаков подобия прямоугольных
треугольников
 Решить задачу (доказать свойство) с использованием формы площади треугольника
Задачи по геометрическому практикуму:
1) Вывести формулу длины биссектрисы угла треугольника с использованием теоремы
пропорциональности отрезков хорд и секущих окружности
2) Вывести формулу длины биссектрисы угла треугольника через длины его сторон
3) Решить задачи с применением свойства биссектрисы угла треугольника и признаков
прямоугольного треугольника (в том числе из ГИА и ЕГЭ).
Актуальность:
Актуальность выбранной нами исследовательской темы заключается в том, что
человеческая память несовершенна, уходящее время уносит с собой и в себе то, что
изучается сегодня вскользь, а не глубинно, В данном случае - свойство биссектрисы
угла треугольника. Сегодня выпускники сдают ГИА, ЕГЭ или компьютерное
тестирование, участвуют в олимпиадах, где часто встречаются задачи с применением
этого свойства. Поэтому нам захотелось напомнить всем школьникам и будущим
абитуриентам о великом свойстве биссектрисы угла, которое доказывается
неоднозначно.
Вступление:
Доказательство называется строгим,
если таковым его считает
большинство математиков.
Морис Клайн.
Мы выбрали эту тему, чтобы и самим как следует изучить свойство биссектрисы угла
треугольника помнить его и научится применять его при решении задач.
Мы собрали, по возможности, различные способы доказательств и решения одной
задачи. Часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя способами, чем решить три четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем
сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Полученные знания позволили
найти формулу длины биссектрисы треугольника; выразить отношение отрезков, на
которые
делятся биссектрисы точкой их пересечения, через стороны треугольника; решать задачи
повышенной сложности. Решение одной и той же задачи различными методами дает
возможность полнее исследовать свойства геометрической фигуры и выявить наиболее
простое решение. Нередко найденный способ решения может быть в дальнейшем
использован на ГИА и ЕГЭ
для решения более трудных задач, сходных с решенной
задачей.
Ожидаемый результат нашей работы — в перспективе, чтобы учащиеся чаще
обращались к решению одной и той же задачи несколькими способами, при этом выбирая
рациональный; чтобы не только увеличивалось количество учащихся, увлекающихся
математикой, но и повышался интерес к математике, как к науке.
Методы исследования:
1) теоретические, т.е. изучение источников информации: книг, газетных и
журнальных статей в традиционном и электронном видах.
2) практические, т.е. уроки, консультации, семинары, коллоквиумы и экзамены в школе,
подкурсы, олимпиады и тестирование в вузах.
II Основная часть. Свойство биссектрисы угла треугольника.
Определение:
1)Любая из трех биссектрис внутренних углов треугольника называется биссектрисой
треугольника.
2) Под биссектрисой угла треугольника также понимают отрезок между его вершиной и
точкой пересечения биссектрисы с противолежащей стороной треугольника.
Три биссектрисы треугольника рассмотрим
сначала точку Р пересечения двух биссектрис,
например АK1 и ВК 2 . Эта точка одинаково
удалена от сторон АВ и АС, так как она
лежит на биссектрисе угла А, и одинаково удалена от сторон АВ и ВС, как
принадлежащая биссектрисе угла В. Значит, она одинаково удалена от сторон АС и ВС и
тем самым принадлежит третей биссектрисе СК 3 , то есть в точке Р пересекаются все три
биссектрисы.
Задача №1. Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную
сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
А
рис.1
Решение. Пусть AD - биссектриса треугольника ABC. Докажем, что
BD DC

AB AC
Треугольники ABD и ACD имеют общую высоту АН, поэтому
Из двух равенств, для отношения площадей получаем:
S ABD BD

S ACD DC
С другойстороны, эти
∠1 = ∠2, поэтому
S ABD AB  AD AB


,
S ACD AC  AD AC
же треугольники имеют по равному углу,
Из двух равенств для отношения площадей получаем:
что и требовалось доказать.
BD AB
BD DC


,или
,
DС AC
AB AC
Задача №2. Свойства биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на
части, пропорциональные прилежащим сторонам.
Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC и биссектрису его
угла В.
Проведем через вершину С прямую СМ, параллельную биссектрисе
ВК, до пересечения в точке М продолжением стороны АВ. Так как
ВК - биссектриса угла ABC, то ∠𝐴𝐵𝐾=∠𝐾𝐵𝐶. Далее, ∠ABK=BMC,
А
А
как соответственные углы при параллельных прямых, и
∠KBC=∠BCM, как накрест лежащие углы при параллельных прямых.
Отсюда ∠ 𝐵𝐶𝑀 = ∠ 𝐵𝑀𝐶, и поэтому треугольник ВМС равнобедренный, откуда ВС=ВМ, По теореме о параллельных прямых,
пересекающих стороны угла, имеем АК:КС=АВ:ВМ=АВ:ВС,
что и требовалось доказать.
Задача №3. Признаки параллельности прямых
Биссектриса внешнего угла В треугольника ABC
обладает аналогичным свойством: отрезки AL и CL от
вершины А и С до точки L пересечения биссектрисы с
продолжением
стороны
АС
пропорциональны
сторонам треугольника: AL:CL=AB:BC.
Это свойство доказывается так же, как и предыдущее: на рисунке проведена
вспомогательная прямая СМ, параллельная биссектрисе BL. Углы ВМС и В СМ равны, а
значит, и стороны ВМ и ВС треугольника ВМС равны. Из чего приходим к выводу
AL:CL=AB:BC.
Впервые свойство биссектрисы угла треугольника доказывается в 8 классе №535 (уч.
Геометрия, Атанасян Л. С.)
Задача №4. Используется обобщенная теорема Фалеса:
Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них
пропорциональные отрезки:
№1
Продолжим сторону АВ за вершину В и проведем
СЕ | BD, тогда треугольник ВСЕ — равнобедренный,
в котором ВС = BE. Но по обобщенной теореме
Фалеса = - Следовательно,AD:DC=AB:BC
№2
Проведем CN 11 BD, тогда <NCB = <CBD = <DBE
и <CNB =<DBE, значит, треугольник NBC —
равнобедренный, в котором NB = ВС. Треугольники
ANC и ABD подобны по двум углам, тогда