1. Состояние механического равновесия

О ТЕРМОКАПИЛЛЯРНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ГОРИЗОНТАЛЬНОГО
СЛОЯ БИНАРНОЙ СМЕСИ С КОНЦЕНТРАЦИОННЫМИ ИСТОЧНИКАМИ
ТЕПЛА
Е.С. БРАТЧИКОВА
Пермский государственный педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24
Рассмотрен в условиях невесомости плоский слой бинарной жидкости, одна из компонент которой с течением времени “выгорает” с выделением (или поглощением) тепла. С течением времени в слое за счет процессов диффузии и
выгорания устанавливаются стационарные стратификации температуры и концентрации. Исследована термокапиллярная устойчивость этого состояния. Приведены нейтральные кривые для нейтральных монотонных и колебательных возмущений при различных значениях безразмерных параметров. Выявлено, что в такой системе существует два
механизма поддержки возмущении: пирсоновский, когда более горячий элемент жидкости поднимается на поверхность, в связи с этим уменьшается коэффициент поверхностного натяжения и граница приходит в движение, увлекая
за собой близ лежащую жидкость; и диффузионный, когда к границе поднимается элемент жидкости, который несет
с собой активную компоненту, на границе активная компонента выделяет тепло, тем самым, уменьшая коэффициент
поверхностного натяжения.
1. Состояние механического равновесия
Рассмотрим механическое равновесие в горизонтальном слое несжимаемой жидкой смеси с концентрационными источниками тепла, в условиях невесомости. Будем считать, что мощность тепловыделения Q пропорциональна
концентрации активной компоненты С. Поведение жидкости в слое описывается уравнениями переноса импульса, теплопроводности и диффузии. Ввиду того, что одна из компонент смеси химически активна (в жидкости происходит эндо- или экзотермическая реакция), в уравнении теплопроводности появляется добавочный член, описывающий разогрев жидкости. В уравнение для концентрации активной компоненты добавлено слагаемое, описывающее убыль ее
2
2
вследствие выгорания, пропорциональное концентрации  N C . Коэффициент N определяет скорость выгорания.
Пусть, слой ограничен твердой границей z  0 и свободной недеформируемой границей z  h . Твердая граница
слоя, либо теплоизолирована, либо изотермическая. Концентрация тепловыделяющей компоненты на твердой границе
постоянна, а на свободной границе отсутствует ее поток. На этой границе выполняется ньютоновский закон теплоотдачи и коэффициент поверхностного натяжения зависит от температуры, и имеет место равенство вязких и термокапиллярных сил. Форма области и граничные условия показаны на рис. 1.
z
T '0   BiT0 ,  '   Bi,
h
C
 0,    0  1T
z
Q = Q0C
0
1)
y
T
 0, 2) T  0, C  1, v  0
z
Рис. 1. Форма области, система координат и граничные условия
x
В этих условиях в системе возможно механическое равновесие ( v  0 ) с довольно сложным профилем температуры T0 и концентрации C 0 . Для перехода к безразмерным переменным выберем в качестве масштаба длины толщи2
ну слоя h , - времени – h / v , скорости -  / h ; где v- кинематическая вязкость смеси,  - ее температуропроводность. В
качестве единиц измерения концентрации выберем начальную концентрацию активной компоненты C S , температуры
Q0 C S h 2 / к , где  - коэффициент теплопроводности жидкости.
Распределения T0 и C 0 описываются уравнениями диффузии и теплопроводности:
Рrd
C0
 C0  N 2 C0
t
,
(1.1)
T0
 T0  C 0
t
,
(1.2)
Рr
и должны удовлетворять следующим начальным и граничным условиям:
t=0:
T0  0, C 0  1 ;
z = 0:
C 0  1 ; 1)
z = 1:
C 0
0
z
,
T0
0
z
, 2) T0  0 ;
(1.3)
T0
  BiT0
z
.
Система уравнений содержит следующие параметры подобия Рr  v /   число Прандтля, Рrd  v / D  диффузионное число Прандтля (число Штидта), Le  D /   число Льюиса.
Система уравнений (1.1) – (1.3) имеет стационарное решение:
ch( N  Nz )
chN
z  thN thN Bi  1 1  ch( N  Nz )
T0  



N
N
Bi
N 2 chN
1)
C0 
T0  
2)
При
z  Bi
N ( Bi  1)
2
(1 
1
1
ch( N  Nz )
) 2 
chN
N
N 2 chN
N 0
C0  1
T0  
z2 1 1


2 Bi 2 ,
T0  
z 2 z  ( Bi  2 )

2
2( Bi  1 ) .
1)
2)
(1.
4)
Некоторые другие стационарные состояния, достигающиеся при других граничных условиях и их устойчивость
рассмотрены в работах [1-3].
На рис. 2. для разных значений параметра выгорания представлены профили концентрации тепловыделяющей
компоненты смеси (а) и температуры (b).
1
1
z
1
z
0
0.8
0.8
2
0.6
0.6
2
8
0.4
4
0.2
8
0.2
0.4
0.6
0.8
0
1
1
2
4
8
0
0
0
0
0.4
4
0.2
0
1
0.4
0.8
1.2
1.6
T, 4*T
C
b
a
Рис. 2. Распределение концентрации тепловыделяющей компоненты (а) и температуры (b): черный цвет –
теплоизолированная твердая граница, синий цвет - изотермическая (цифры у кривых задают значение параметра выгорания).
Видно из рис. 2, с ростом параметра выгорания область с большой концентрацией активной компоненты остается
только у твердой границы (z = 0 ), в сторону твердой границы смещается и максимум температуры при изотермической твердой границе. В случае теплоизолированной твердой границы с увеличением параметра выгорания температура для z = 0 уменьшается.
2. Линейная устойчивость
Рассмотрим устойчивость механического равновесия описанной выше системы с распределениями температуры
и концентрации (1.4), относительно малых возмущений скорости, температуры и концентрации вида:
(vz ,T ,C )  w( z ), ( z ),( z ) exp[ t  i( k1 x  k2 y )]
(2.1
)
полагая коэффициент поверхностного натяжения линейно зависящим от температуры:
    T .
0
1
Амплитуды возмущений скорости w(z), температуры θ(z) и концентрации η(z) должны удовлетворять системе
обыкновенных однородных дифференциальных уравнений
 ( w' ' k 2 w )  ( wIV  2k 2 w' ' k 4 w ) ,
 Рr   (  ' ' k 2 )    wT0 ' ,
(2.2)
 РrLe   ( ' ' k  )  Le wC0 '  N  ,
1
2
1
2
2
2
k 2  k1  k2 ,   r  ii .
Здесь в качестве единицы измерения скорости взята величина χ/h. Параметр Le = D/χ  число Льюиса, который
характеризует отношение диффузионного и температурного времени. Граничные условия для системы (2.2) в принятых предположениях о свойствах границ и недеформируемости свободной границы будут следующими:
z = 0: w = w = 0, 1) θ' = 0, 2) θ = 0,  = 0;
(2.3)
z = 1: w = 0, w=-k2Ma∙θ, θ=- Biθ,  = 0.
Здесь
Ma   1Q0Cs h 3 /  – число Марангони, определенное по мощности тепловыделения концентраци-
онных источников, а ρ – плотность жидкости.
Для системы (2.2) методом Рунге-Кутта строились четыре линейно независимых решения, удовлетворяющих
условиям при
z  0 . Граничные условия при z  1 определяли число Марангони, при котором существуют нетриви-
альные решения с r  0 . Во всех расчетах принималось Pr  1 ; число Био в большинстве расчетов считалось равным
1.
А. Линейная устойчивость слоя с твердой теплоизолированной границей
Обсудим результаты расчетов критериев устойчивости. На рис.3 представлены нейтральные кривые Ma(k ) для
случая теплоизолированной твердой границы при Le=1 (кривые синего цвета) и Le=0.1 (кривые красного цвета). При
равенстве коэффициентов диффузии и температуропроводности (Le=1) с повышением параметра выгорания увеличивается устойчивость слоя к возмущениям. Колебательная неустойчивость для рассмотренных значений параметров не
обнаружена.
2000
Le=0,1
Le=1
Ma
1600
8
4
1200
800
1
400
0
0
0
2
4
6
k
Рис. 3. Нейтральные кривые для слоя с теплоизолированной
твердой границей Bi = 1 (обозначения кривых как на рис. 2)
В случае малого коэффициента диффузии и большого коэффициента температуропроводности (Le=0.1)
нейтральные кривые в диапазоне
Ma* = 135.2, k*= 1.6. В случае
N  1.2
ведут себя немонотонно, минимальное значение достигается при N=1.2,
N  4 зависимость критического числа Марангони от параметра выгорания практиче-
ски линейная. При N  0 нейтральная кривая (черного цвета) соответствует задаче с однородными внутренними источниками тепла [3].
Б. Монотонная неустойчивость слоя с твердой изотермической границей
Определим критерии устойчивости для задачи с твердой изотермической границей. Рассмотрим ситуацию, когда коэффициенты температуропроводности и диффузии одинаковы ( Le  1 ). На рис. 4 представлены нейтральные
кривые зависимости Ma(k ) . Пунктиром обозначены нейтральные кривые колебательной неустойчивости. Для малых
значений параметра выгорания характерно наличие неустойчивости в области Ma(k )  0 . С увеличением N отрицательная ветвь нейтральной кривой стремится в минус бесконечность, а асимптота между положительной и отрицательной ветвями нейтральной кривой сдвигается к k  0 . При N  1.5 график зависимости Ma(k ) располагается
только в положительной области.
20000
20000
1.4
Ma
1.4 8
10000
0
4
0.5
Ma
1
1
0
0
2
0
2
4
6
0.5
1
k
0
-10000
1
0
10000
2
-10000
4
0.5
1
6
k
0
1
-20000
-20000
a
a
i
0
16
16
i
12
12
8
8
1
1.5
4
1.4
0
3
1
2
0.5
4
0
0
0
0
2
4
6
k
b
Рис. 4 Зависимость числа Марангони (а) и декремента затухания (b) от волнового числа Le=1: сплошная
линия – монотонная неустойчивость, пунктирная – колебательная (обозначения кривых как на рис. 2).
0
2
4
6
k
b
Рис. 5 Зависимость числа Марангони (а) и декремента затухания (b) от волнового числа Le=0.1:
сплошная линия – монотонная неустойчивость,
пунктирная – колебательная (обозначения кривых
как на рис. 2).
Для описываемых параметров система наименее устойчива к монотонным возмущения при N=0, k=6.0,
Ma=4019.4 в положительной области чисел Марангони и N=0, k=1.6, Ma=-2118.2 в отрицательной области. При N=0
рассматриваемая задача переходит в задачу [2].
Рассмотрим другой вариант, когда коэффициент диффузии в слое мал по сравнению с температуропроводностью ( Le  0.1 ). На рис.5 представлены нейтральные кривые зависимости Ma(k ) . Пунктиром обозначены нейтральные кривые колебательной неустойчивости.
Для малых значений параметра выгорания, как и в описанном выше случае, характерно наличие неустойчивости
в области Ma(k )  0 . Для параметров выгорания N=1 и N=4 нейтральные кривые в области длинных волн практически совпадают. Для данной задачи характерно немонотонное расположение нейтральных кривых.
На рис. 6 показана зависимость экстремального числа Марангони от значения параметра выгорания (рис.6 а) и
зависимость экстремального волнового числа от N (рис. 6 b). В случае малых значений чисел Льюиса с увеличением N
отрицательная ветвь нейтральной кривой уходит в минус бесконечность, положительная ветвь сдвигается в длинно-
волновую область. При определенном N вблизи k  0 появляется еще одна положительная ветвь. При дальнейшем
увеличении параметра N отрицательная ветвь исчезает, а положительные ветви сливаются, образуя локальный максимум, который затем сглаживается. Для описываемых параметров система менее устойчива при N=2.1, k=1.8,
Ма=520.7. В случае больших значений числа Льюиса Le с увеличением N отрицательная ветвь нейтральной кривой
уходит в минус бесконечность. Положительная ветвь сдвигается в длинноволновую область, но без образования дополнительной ветви в области коротких волн.
8000
M a*
4000
0
2
4
6
N
8
6
N
8
-4000
-8000
a
8
k*
6
4
2
0
0
2
4
b
Рис.6 Зависимость экстремального числа Марангони (а) и экстремального волнового числа (b) от параметра выгорания при Le=0.1.
В случае большой диффузии и малой температуропроводности результаты схожи с результатами при
Le  1 .
В исследуемом слое существуют два механизма поддержки возмущений. Первый – пирсоновский, когда более
горячий элемент жидкости поднимается на поверхность, в связи с этим уменьшается коэффициент поверхностного
натяжения и граница приходит в движение, увлекая за собой близ лежащую жидкость. Второй – диффузионный, когда
к границе поднимается элемент жидкости, который несет с собой активную компоненту, на границе активная компонента выделяет тепло, тем самым, уменьшая коэффициент поверхностного натяжения.
20000
2
Ma
3
10000
1
0
2
4
-10000
3
-20000
2
6
k
Рис. 7. Нейтральные кривые для распределений при N = 1, Bi = 1 (1- концентрационные источники тепла Le = 0.1, 2 – концентрационные источники тепла Le
= 1, 3 - внутренние источники тепла (профиль температуры такой же, как у 1 и 2).
Для исследования действия этих механизмов были рассмотрены два случая: слой с концентрационными источниками тепла и слой с однородными источниками тепла, имеющие одинаковый профиль температуры. Как следовало
ожидать, чем меньше диффузия тепловыделяющей компоненты, тем интенсивнее проявляется механизм, связанный с
концентрационными источниками тепла. Это иллюстрирует рис. 7, на котором сравниваются нейтральные кривые
названных выше задач.
В. Колебательная неустойчивость слоя с твердой изотермической границей
Поскольку в исследуемой системе имеются два молекулярных процесса переноса, следовало ожидать наличия
колебательной неустойчивости. Для Le = 1 она имеет место только при положительных значениях числа Марангони.
Нейтральные кривые зависимости Ma(k ) для разных значений параметра выгорания представлены на рис. 4 а – пунктирные кривые, и зависимость декремента затухания от волнового числа i (k ) – рис. 4 b. Обнаружено, что для такой
группы параметров колебательные возмущения существуют в длинноволновой области при N  1.52
При малых значениях N нейтральная кривая колебательной неустойчивости начинается на ветви монотонной
неустойчивости при конечном волновом числе, опускается до некоторого минимального значения числа Марангони, а
затем приближается к оси k = 0 по закону Ma ~ A/k2. Как это обычно бывает для термокапиллярных колебаний, частота
нейтральных колебаний остается конечной при k → 0. С ростом параметра выгорания область существования колебательной неустойчивости быстро сдвигается в сторону длинных волн и больших чисел Марангони.
Рассмотрим теперь случай малой диффузии концентрационных источников тепла и большой температуропроводности ( Le  0.1 ). На рис. 5 a изображены нейтральные кривые зависимости Ma(k ) и зависимости декремента затухания от волнового числа i (k ) – рис. 5 b. Нейтральные колебания представлены “мешками” в области положительных и отрицательных чисел Марангони с единой дисперсионной кривой.
Для
N 2
характерно наличие неустойчивости при Ma(k )  0 в низкочастотной области, и неустойчивости с
Ma (k )  0 для более высоких частот. При дальнейшем увеличении параметра выгорания 2  N  4 устойчивость
слоя повышается, диапазон частот колебательных возмущений сужается. Нейтральная кривая зависимости имеет одну
ветвь, которая расположена в области отрицательных значений числа Марангони. В случае N  4 нейтральные колебательные возмущения обнаружены не были. Любопытно, что длинноволновые колебания при положительных значениях числа Марангони имеют практически одинаковую частоту для разных коэффициентов выгорания.
Заключение
Исследована термокапиллярная неустойчивость механического равновесия плоского слоя бинарной смеси. Для
слоя с изотермической твердой границей выявлена потеря равновесия по отношению к колебательным возмущениям.
Обнаружены два механизма поддержки возмущений: пирсоновский механизм, связанный с выносом на свободную
поверхность нагретой жидкости, и механизм, обусловленный выносом на поверхность тепловыделяющей компоненты
смеси и изменением в связи с этим температуры ее поверхности. Из-за сложного температурного профиля пирсоновский механизм при большой диффузии приводит к появлению областей неустойчивости при Ma  0 (коротковолно-
вая неустойчивость) и Ma  0 (длинноволновая неустойчивость). Для медленной диффузии тепловыделяющей компоненты существенным оказывается второй механизм неустойчивости.
Автор благодарит проф. Р. В. Бириха за руководство работой и доц. В. И. Якушина за полезные обсуждения.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Yakushin V. I. Thermocapillary instability and finite amplitude convective flows in a plane liquid layer with concentrated
heat sources. Abstracts of international Conference “ Advanced problems in thermal convection”. Perm, Russia, 24-27
November 2003. Perm State University, 2003, p 253.
2. Якушин В. И. Термокапиллярная неустойчивость плоского слоя жидкости с концентрационными источниками
тепла. Конвективные течения…: Сборник научных трудов / Перм. гос. пед.ун-т. – Пермь, 2003.-c 62-74.
3. Андреев В. К., Родионов А. А., Рябицкий Е. А. Возникновение термокапиллярной конвекции в жидком цилиндре,
цилиндрическом и плоском слоях под действием внутренних источников тепла // ПМТФ. 1989. № 2. С. 101  108.