Бинарные отношения

Дискретная математика: Математическая логика
Лекция 2
Бинарные отношения и их свойства
Декартово произведение
Декартовым произведением двух множеств A и B является новое множество C,
элементами
которого
являются
все
упорядоченные
пары
(a,b),
С  A  B  {(a , b) / a  A, b  B} . Порядок в паре очень важен, в общем виде A  B  B  A .
Выбирая различные подмножества декартова произведения, мы приходим к понятиям
бинарного отношения, операции и функции.
Бинарное отношение
Бинарным отношением Т(М) на множестве М называется подмножество M 2  M  M
T ( M )  M 2 . Довольно часто используется другая, инфиксная форма записи бинарного
отношения a T b = {( a, b) /( a, b)  T  M  M } .
Мы уже стакивались с понятием отношения при рассмотрении  (включение) и
=
(равенство) между множествами. Так же неоднократно вами использовались отношения
, , , , ,  , заданные на множестве чисел как натуральных, так и целых, рациональных,
вещественных и т.д.
Определим несколько понятий относительно отношения R( M )  M  M [1]:
Обратное отношение
R1  {( x, y ) /( y, x )  R} ;
Дополнительное отношение
R  {( x , y ) /( x , y )  R} ;
Тождественное отношение
U  {( x , x ) / x  M } ;
Универсальное отношение
I  {( x , y ) / x  M _ и _ y  M } ;
Обобщая понятие бинарного отношения, введем n-арное отношение, как множество
упорядоченных кортежей (наборов), являющегося подмножеством n-арного декартового
произведения
R  M1  M 2  ...  M n  {(m1 , m2 ,..., mn ) / m1  M1 _ и _ m2  M 2 _ ...и _ mn  M n }
1
Дискретная математика: Математическая логика
Задача 1
На множестве M1= {a, b, c, d, e, f} построить тождественное бинарное
отношение U.
Решение
По определению, на множестве M1= {a, b, c, d, e, f} тождественное бинарное отношение
U={(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (d,d)}.
Задача 2
На множестве M натуральных чисел от 1 до 5 построить бинарное
отношение R={(a,b)/mod(a,b)=0}.
Решение
В соответствии с заданием, на множестве натуральных чисел M строим
такие пары (a, b), что, а делится на b без остатка (mod(a,b)=0). Получаем
R={(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (4,2)}.
Бинарное отношение F декартова произведения XY называется функцией, если для
каждого элемента x  X найдется не более одного элемента y  Y такого, что (x, y)  F (x,
y), т.е. выполняется свойство однозначности полученного результата;
Множество X называется областью определения функции Dom, и множество Y, область
значений функции. Если элемент z  DomF , то говорят, что функция F не определена на
z. Таким образом, функции могут быть полностью определенными на множестве X, так и
частично определенными. Точно также, область значений функции может не совпадать с
множеством Y, а быть его подмножеством.
Если область определения функции F из X в Y совпадает с X, то пишут F: X →Y.
Пример: тождественная функция U переводит множество X само в себя, причем U: X
→X. для любого x  X . А функция константы С, полностью определенная на Х,
переводит все элементы множества Х в один единственный элемент y0 Y , С: X →у.0
Для функций, обычно, вместо записи ( x , y )  F или xFy, используют y=F(x).
2
Дискретная математика: Математическая логика
Функция называется F: X →Y инъективной, или инъекцией, или вложением, если она
переводит разные элементы в разные, то есть x  X _ и _ z  X , x  z  F ( x )  F ( z ) .
Функция F: X → Y называется сюръективной, или сюръекцией, или наложением, если
множество ее значений есть все Y, т.е. y  Y _ x  X , _ y  F ( x ) .
Иногда такие функции называют отображениями на Y.
Функция F: X →Y называется биекцией или взаимно однозначным соответствием,
если она одновременно является инъекцией и сюръекцией (вложением и наложением),
Если F - биекция, то существует обратная функция F-1, для которой F 1 ( y)  x тогда и
только тогда, когда F ( x )  y .
Частным случаем функции является операция О. В этом случае область значения Х и
область определения Y совпадают, т.е. O  M 2 , x  M ! y,( x, y )  O .
Задача 3
Построить на множестве M={a, b, c, d} отношение, сюръекцию,
инъекцию и биекцию максимальной мощности.
Решение
Отношение максимальной мощности совпадает с декартовым произведением M  M и его
мощность равна 16.
При построение инъекции необходимо учитывать, что разным х соответствуют разные у,
например F1={(a, b), (b, c), (c,d), (d,a)}, Для построения сюръекции нужно использовать
все элементы у, F2={(a,a), (b,d), (c,c), (d,b)}. Обе эти функции являются как сюръекциями,
так и инъекциями, следовательно, они – биекции. Мощность во всех случаях равна
четырем.
Сами решения могут быть и другие, но максимальная мощность вычисляется однозначно.
Декартово произведение, отношение, функция или операция могут быть и n-арные.
Способы задания бинарных отношений
Бинарные отношения R можно задать:
3
Дискретная математика: Математическая логика

Перечислением, как любое множество пар,

Графически, когда каждый элемент х множества М представляется вершиной, а
пара ( x , y )  R( M ) представляется дугой из х в у;

Матричным способом, с помощью матрицы смежности или матрицы инцинденций
(инциндентности);

Фактор-множеством.
Перечисление элементов бинарного отношения мы использовали при решении задач №1 и
№2. Построим графическое решение задачи 2 (рис.1).
1
2
3
5
4
Рис.1. Графическое решение задачи № 2
1
2
3
4
5
1
1
0
0
0
0
2
1
1
0
0
0
3
1
0
1
0
0
4
1
1
0
1
0
5
1
0
0
0
1
Рис. 2. Матрица смежности
Матрица смежности S представляет собой квадратную матрицу m  m, где _ m  M , и
каждый ее элемент si , j  
1, _ если _( mi , m j )  R,
0, _ в _ противном _ случае.
На рис. 2 представлена матрица смежности решения задачи № 2.
Для определения фактор-множества необходимо определить окрестность единичного
радиуса mi  M , состоящей из таких m j  M , что ( mi , m j )  R( M ) .
Фактор-множество R/M множества М по отношению к R называется множество
окрестностей единичного радиуса для всех элементов М при заданном R. На рис.3
решение задачи № 2 представлено в виде фактор-множества.
R/M =
1
{1}
2
{1, 2}
3
{1, 3}
4
{1, 2, 4}
5
{1, 5}
4
Дискретная математика: Математическая логика
Рис. 3. Фактор-множество
Свойства бинарных отношений
Бинарное отношение T(M) называется рефлексивным тогда и только тогда, когда для
каждого элемента x  M пара (х, х) принадлежит этому бинарному отношению, т.е.
x  M _ ( x , x )  T ( M ) .
Классическим определением этого свойства является утверждение:
x  M  ( x , x )  T ( M )
Прямо противоположное свойство бинарных отношений называется иррефлексивностью.
Бинарное отношение T(M) называется иррефлексивным тогда и только тогда, когда для
каждого элемента x  M пара (x,x) не принадлежит этому бинарному отношению, т.е.
x  M _( x , x )  T ( M ) .
Классическим определением свойства иррефлексивности является утверждение:
x  M  ( x , x )  T ( M )
Если бинарное отношение T(M) не обладает ни свойством рефлексивности, ни свойством
иррефлексивности, то оно является нерефлексивным.
Если во множестве М содержится хотя бы один элемент x, то правильная классификация
не представляет сложности.
Но как быть в граничном случае, если множество М или Т– пусты? В этом случае, с точки
зрения классических воззрений, бинарные отношения T ( ) и  являются одновременно
как рефлексивными, так и иррефлексивными множествами.
Обратите внимание, для однозначности классификации свойство рефлексивности можно
определять только для непустых множеств! В соответствии с этим, бинарное отношение
на пустом множестве  будет, является нерефлексивным. Также как нерефлексивным
будет пустое бинарное отношение.
Таким образом, оба способа классификации дают один и тот же результат на всем
универсуме, за исключением T ( ) и  .
5
Дискретная математика: Математическая логика
Рассмотрим множество M={a,b,c,d}. На рис.4 приведены примеры рефлексивных,
иррефлексивных и нерефлексивных бинарных отношений.
a
b
a
d
c
d
c
рефлексивность
a
b
b
d
c
нерефлексивность
иррефлексивность
Рис. 4. Примеры бинарных отношений
Бинарное отношение T(M) называется симметричным тогда и только тогда, когда для
каждой пары (x,у) ( x , y )  T ( M ) , обратная пара (у,x) также принадлежит этому бинарному
отношению, т.е. ( x , y )  T ( M ) _ ( y, x )  T ( M ) .
Классическим определением свойства симметричности является утверждение:
( x , у)  T ( M )  ( y, x )  T ( M )
Прямо
противоположное
свойство
бинарных
отношений
называется
антисимметричностью. Бинарное отношение T(M) называется антисимметричным тогда
и только тогда, когда для каждой пары ( x , y )  T ( M ) различных элементов x и у пара (у, x)
не принадлежит этому бинарному отношению, т.е. ( x , y )  T ( M ) _( y , x )  T ( M ) .
Классическим определением антисимметричности можно считать следующее [2]. Из того,
что в антисимметричном бинарном отношении T(M) для любой пары ( x , y )  T ( M )
пара
(у,х)
также
принадлежит
T(M),
( у, х )  T ( M ) ,
следует,
что
х=у,
(( x , y )  T ( M ) _ и _( y , x )  T ( M ))  x  y ) .
Если бинарное отношение T(M) не обладает ни свойством симметричности, ни свойством
антисимметричности, то оно является несимметричности.
В случае, когда М или Т(М) – пусты, или М содержит единственный элемент х, наше
бинарное
отношение
одновременно
является
как
симметричным,
так
и
антисимметричным.
6
Дискретная математика: Математическая логика
Для однозначности классификации, множество М должно содержать хотя бы два
различных элемента х и у. Тогда, бинарные отношения на пустом множестве  , так же
как на множествах с одним элементом, является несимметричными.
Рассмотрим множество M={a,b,c,d}. На рис.5 приведены примеры рефлексивных,
иррефлексивных и нерефлексивных бинарных отношений.
a
b
a
d
c
b
d
c
симметричность
a
b
d
c
антисимметричность
несимметричность
Рис. 5. Симметричность бинарных отношений
Свойство транзитивности определяется на трех элементах множества М. Бинарное
отношение T(M) называется транзитивным тогда и только тогда, когда для каждых двух
пар элементов (x,у) и (у,z), принадлежащих бинарному отношению ( x , y ),( y , z )  T ( M ) ,
пара
(x,z)
также
принадлежит
этому
бинарному
отношению,
т.е.
( x , y ),( y , z )  T ( M ) _ ( x , z )  T ( M ) . При графическом представлении транзитивного
бинарного отношения (рис. 6) можно увидеть «спрямление» пути длины два (x, у) (у ,z),
между двумя элементами, т.е. транзитивное замыкание («транзит») между x и z.
Классическое определение свойства транзитивности формулируется следующим образом:
(( x , y)  T ( M ) _ и _( y, z )  T ( M ))  ( x, z )  T ( M )
x
y
z
w
транзитивность
Рис. 6. Транзитивность
Бинарное отношение T(M) называется интранзитивным тогда и только тогда, когда для
каждых
двух
пар
элементов
отношению ( x , y ),( y , z )  T ( M ) ,
(x,у)
пара
и
(x,z)
(у,z),
не
принадлежащих
принадлежит
этому
бинарному
бинарному
отношению, т.е. ( x , y ),( y , z )  T ( M ) _ ( x , z )  T ( M ) . При графическом представлении
7
Дискретная математика: Математическая логика
интранзитивного бинарного отношения (рис. 7) можно увидеть, что ни один имеющийся
путей не обладает транзитивным замыканием!
Классическое определение свойства транзитивности формулируется следующим образом:
(( x , y)  T ( M ) _ и _( y, z )  T ( M ))  ( x, z )  T ( M )
a
b
d
c
интранзитивность
a
b
c
d
a
b
d
c
интранзитивность
Нетранзитивность
Рис. 7. Бинарные отношения
Если бинарное отношение T(M) не обладает ни свойством транзитивности, ни свойством
интранзитивности, то оно является нетранзитивным.
Задача 4
На множестве M1= {a, b, c, d, e, f} построить бинарное отношение R, с
заданными свойствами при условии, что (a, b)  R;(a, c)  R .
Решение
Правильных решений этой задачи целое множество! Некоторые из них приведены на
рис.8.
8
Дискретная математика: Математическая логика
a
b
a
d
c
d
c
e
f
a
b
e
b
d
c
e
f
f
Рис. 8. Решения задачи № 4
Задача 5
Определить свойства бинарного отношения T, заданного на множестве M2= {a, b, c,
d, e, f}
b
f
a
e
c
d
Решение
Данное бинарное отношение обладает свойствами:

нерефлексивности (часть вершин имеет петли, часть – нет),

несимметричности (есть симметричные и антисимметричные дуги),

интранзитивности (бинарное отношение обладает несколькими путями длины два,
но, ни на один из них нет транзитивного замыкания).
Литература
1. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. - СПб.: Питер, 2001. – 304с
2. Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. -
М.: Наука.
Физматлит, 1999.-544с.
3. Капитонова Ю.В. и др. Лекции по дискретной математике – СПб.: БВХПетербург,2004.- 624 с
9