№1 Доказать равенства, используя свойства операций над множествами и определения операций. Проиллюстрировать при помощи диаграмм Эйлера-Венна. U2 \ (A B) = ( A U) (U B) В 2х задачах необходимо выполнить работу над ошибками. Желтым выделенны оставшиеся замечания, зеленым уже проверенные преподователем исправления. №2 Даны два конечных множества: А={a,b,c}, B={1,2,3,4}; бинарные отношения P1 Í A´ B, P2 Í B2. Изобразить P1, P2 графически. Найти P = (P2◦P1)–1. Выписать области определения и области значений всех трех отношений: P1, P2, Р. Построить матрицу [P2], проверить с ее помощью, является ли отношение P2 рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным. P1 = {(a,2),(a,4),(b,3),(c,1),(c,2)}; P2 = {(1,1),(1,3),(2,4),(3,1),(3,4),(4,3),(4,2)}. Решение Графическое изображение P1 Графическое изображение P2 Найдем P = (P2◦P1)–1 . Для начала определим произведение отношений P2◦P1. Для этого представим в графическом изображении P1 и P2 в виде параллельных прямых, а отношения между элементами в виде стрелок. Просматриваем возможные пути, ведущие от элементов множества A к элементам множества B2 через элементы множества B, найдем композицию отношений: P1 P2 (a,2)(a,4)(a,3)(b,1)(b,4)(c,1)(c,3)(c,4) Тогда P1 P2 (2, a)(4, a)(3, a)(1, b)(4, b)(1, c)(3, c)(4, c) Это можно представить графически таким образом, поменяв направления стрелок на противоположное и просматривать возможные пути, ведущие от элементов множества B2 к элементам множества A, через элементы множества B. Область определения P1 (P1 ) a, b, c Область значений P1 ( P1 ) 1,2,3,4 Область определения P2 ( P2 ) 1,2,3,4 Область значений P2 ( P2 ) 1,2,3,4 Область определения P ( P) a, b, c Область значений P ( P ) 1,2,3,4 Построить матрицу [P2], 1 0 P2 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 Проверить с ее помощью, является ли отношение P2 рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным. Отношение P2 не рефлексивно, так как на главной диагонали есть нулевые элементы. Проверим отношение P2 на симметричность, т. е P21 P2 или 1 0 P2 1 0 0 0 0 1 P2 P2 T 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 T P 2 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 Поскольку матрица равна транспонированной матрице, то отношение симметрично. Проверим на антисимметричность, для этого возьмем транспонированную матрицу и вычислим P P P P 2 1 2 T 2 2 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 Произведение поэлементное, логическое. (это уже исправленно) P P P P 2 1 2 T 2 2 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 Отношение не антисимметрично, потому что элементы вне главной диагонали не равны нулю. Проверим транзитивность P2 P2 [P2 ] 1 0 P2 P2 1 0 Так как 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 P2 P2 [P2 ]отношение P2 не транзитивно. №3 Задано бинарное отношение P; найти его область определения и область значений. Проверить по определению, является ли отношение P рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным. P Z2, P = {(x,y) | x2 + y2 = 1}. Область определения (P)={-1;1} Числа ЦЕЛЫЕ!!! Значения будут дискретные! Область значения (P)={1;0}+ Отношение Р является не рефлексивным так как x 1x R 2 x Отношение Р антисимметрично так как x 2 y 2 1 R 2 , то x y Отношение Р транзитивно так как x2 R2 , z y2 x2 y2 R2 R2 z z z Отношение Р симметрично так как x 2 y 2 1 R 2 , x y 1 R Где исправления этой задачи? (После проверки были замечания выделенные желтым, отправил решение которое ниже, в ответ получил вот этот вопрос…) 2 2 x2 + y2 = 1, это окружность. При данных условия это часть окружности – дуга в I четверти координатной плоскости. Y X Так как P Z2 это множество всех положительных целых чисел (I четверть координатной плоскости), то: Область определения P 0,1; Область значений P 0,1 Проверим по определению, является ли отношение P: 1) Рефлексивным. aPa x 2 x 2 1 -- не рефлексивно. 2) Симметричным. aPb x 2 y 2 1, bPa y 2 x 2 1 -- симметрично. 3) Антисимметричным. aPb x 2 y 2 1, bPa y 2 x 2 1 x 2 y 2 -- не антисимметрично. 4) Транзитивность. aPb x 2 y 2 1 Z 2 , bPc y 2 c 2 1 Z 2 , aPc x 2 z 2 1 Z 2 -- транзитивно.