Федеральное агентство по образованию Форма Ульяновский государственный университет Ф-Рабочая программа по дисциплине

Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
УТВЕРЖДЕНО
Ученым советом факультета математики и
информационных технологий
Протокол №________ от «____»_________2008 г.
Председатель __________________А.А. Бутов
(подпись, расшифровка подписи)
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
Дисциплина:
Кафедра:
Линейная алгебра и геометрия
Алгебро-геометрических вычислений ____(АГВ)____
(аббревиатура)
Специальность (направление): 01.01.00 Математика
(код специальности (направления), полное наименование)
Дата введения в учебный процесс УлГУ:
«_____» ___________ 2008 г.
Сведения о разработчиках:
ФИО
Мищенко Сергей Петрович
Аббревиатура
кафедры
АГВ
Ученая степень,
звание
д.ф.м.н.,
профессор
Заведующего кафедрой
Мищенко С.П.
(ФИО)
/_____________/
(Подпись)
«______»__________ 2008 г.
Форма А
Страница 1 из 8
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
Оглавление
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ. ...................................... 3
1.1. Цели ........................................................................................................... 3
1.2. Задачи ........................................................................................................ 3
2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ...................... 3
3. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ. ............................................................................... 3
3.1. Объем дисциплины и виды учебной работы: ....................................... 4
3.2. Распределение часов по темам и видам учебной работы: ................... 4
4. СОДЕРЖАНИЕ ................................................................................................ 5
Тема 1: Конечномерные линейные пространства. .......................................... 5
Тема 2: Линейное отображение векторных подпространств ......................... 5
Тема 3. Сопряженное пространство .................................................................. 5
Тема 4. Билинейные функции и формы ............................................................ 5
Тема 5. Евклидовы пространства ...................................................................... 5
Тема 6. Ортогональные операторы ................................................................... 5
Тема 7. Симметрические операторы ................................................................. 5
Тема 8. Норма оператора .................................................................................... 5
5. ТЕМЫ СЕМИНАРСКИХ ЗАНЯТИЙ ............................................................ 6
6. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ПО
ПОДГОТОВКЕ К ЗАЧЕТАМ И ЭКЗАМЕНАМ ................................................ 6
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ.............. 8
7.1. Список литературы: ................................................................................. 8
Форма А
Страница 2 из 8
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ.
Учебная дисциплина «Линейная алгебра и геометрия» является одной из
фундаментальных математических дисциплин, изучаемых студентами первых курсов,
обучающихся на специальностях математического профиля. Она является обязательной
общепрофессиональной дисциплиной согласно государственного стандарта по
специальности 01.01.00 Математика.
Дисциплина «Линейная алгебра и геометрия» базируется на знаниях и умениях,
полученных студентами в школе, а также при изучении дисциплины «Алгебра» в первом
семестре.
1.1. Цели
Целями учебной дисциплины являются:
1. овладение начальными знаниями по алгебре и геометрии, необходимыми для
изучения других дисциплин специальности
2. развитие навыков решения задач по алгебре и геометрии
1.2.
Задачи
1.3.
Основными задачами учебной дисциплины являются:
 формирование у будущих математиков комплексных знаний об основных
алгебраических структурах и основах аналитической геометрии
 приобретение студентами навыков и умений по решению простейших
алгебраических и геометрических задач
2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
В результате изучения дисциплины «Геометрии и алгебры» во 2-м семестре
студенты должны
знать:
 Изменение координат при переходе к другому базису
 Матрица оператора и ее изменение при переходе к новому базису
 Собственные числа и собственные векторы оператора
 Жорданова матрица оператора
 Скалярное произведение и Евклидовы пространства
 Билинейные и квадратичной функции и формы
уметь:
 решать алгебраические и геометрические задачи по данной дисциплине,
имеющие алгоритм решения
Форма А
Страница 3 из 8
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
3.1.
Объем дисциплины и виды учебной работы:
Вид учебной работы
1
Аудиторные занятия:
Лекции
практические и семинарские занятия
Самостоятельная работа
Всего часов по дисциплине
Текущий контроль (количество и вид,
контрольные работы)
Курсовая работа
Виды промежуточной аттестации
(экзамен, зачет)
Количество часов (форма обучения очная__)
В т.ч. по семестрам
Всего по плану
2
3
4
2
3
4
5
68
68
34
34
34
34
68
68
136
136
2
2
зачет,
экзамен
зачет,
экзамен
3.2.
Распределение часов по темам и видам учебной работы:
Форма обучения ___очная____
Название и разделов и тем
1
Всего
2
Виды учебных занятий
Аудиторные
занятия
Самосто
практиче
ятельная
ские
работа
лекции
занятия,
семинар
3
4
5
1. Конечномерные линейные пространства
2. Линейное отображение векторных пространств
3. Сопряженное пространство
4. Билинейные функции и формы
5. Евклидовы пространства
6. Ортогональные операторы
7. Симметрические операторы
8. Норма оператора
4
22
2
12
8
4
14
2
2
10
2
6
4
2
6
2
2
12
0
6
4
2
8
0
4
22
2
12
8
4
14
2
Итого
68
34
34
68
Форма А
Страница 4 из 8
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
3. СОДЕРЖАНИЕ
Тема 1: Конечномерные линейные пространства
Конечномерные линейные пространства. Условие изоморфизма. Матрица перехода к
новому базису, изменение координат вектора. Линейные подпространства, размерность
линейной оболочки. Формула для размерности суммы двух подпространств. Прямая
сумма подпространств.
Тема 2: Линейное отображение векторных пространств
Линейное отображение векторных пространств, ядро и образ. Матрица линейного
отображения (оператора), переход к новому базису, ранг, дефект, детерминант и след
оператора. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, способы
их нахождения. Характеристический многочлены. Диагонализируемость оператора с
простым спектром. Минимальный аннулирующий многочлен. Критерий
диагонализируемости матрицы. Жорданова форма матрицы.
Тема 3. Сопряженное пространство
Сопряженное пространство, дуальные базисы, второе сопряженное пространство.
Тема 4. Билинейные функции и формы
Билинейные функции и формы, изменение матрицы при переходе к новому базису, ранг
и дефект. Симметрические и кососимметрические билинейные функции, их матрицы.
Существование диагонального базиса симметрической билинейной функции. Следствие
для квадратичной функции. Алгоритм Лагранжа для приведения квадратичной формы к
диагональному виду. Закон инерции вещественных квадратичных форм. Положительно
определенные квадратичные функции. Критерий Сильвестра.
Тема 5. Евклидовы пространства
Евклидовы пространства, условие изоморфизма. Неравенство Коши-Буняковского.
Модуль вектора, расстояние и косинус угла между векторами. Процесс ортогонализации
Грама-Шмидта.
Тема 6. Ортогональные операторы
Ортогональные и унитарные операторы и матрицы. Простейший вид матрицы
ортогонального оператора евклидова пространства.
Тема 7. Симметрические операторы
Симметрические операторы и матрицы. Существование ортогонального базиса из
собственных векторов симметрического оператора. Приведение квадратичной формы к
главным осям. Пара форм.
Тема 8. Норма оператора
Форма А
Страница 5 из 8
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
Норма оператора. Норма симметрического оператора. Число обусловленности матрицы
и связь с приближенным решением системы линейных уравнений. Плохо обусловленные
матрицы. Метод наименьших квадратов.
4. ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
1 Линейные пространства, подпространства.
Сумма и пересечение подпространств, нахождение базиса.
Задание подпространств в виде систем линейных уравнений.
2. Матрица линейного оператора в различных базисах.
Собственные значения и векторы линейного оператора.
3. Нахождение жордановой формы матрицы.
4. Билинейные и квадратичные функции и формы, их матрицы. Метод
Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду.
5. Евклидовы и унитарные пространства. Угол между векторами,
длина вектора.
6. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.
7. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
ортогональным преобразованием.
5. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ПО ПОДГОТОВКЕ К
ЗАЧЕТАМ И ЭКЗАМЕНАМ
Требование к зачету
Необходимо знать следующие алгоритмы:
1. Замена базиса, нахождение координат вектора в новом базисе.
2. Нахождение базиса и размерности суммы и пересечения
подпространств.
3. Нахождение матрицы оператора и замена координат.
4. Нахождение собственных значений и собственных векторов
оператора.
5. Приведение матрицы оператора к диагональному виду.
6. Нахождение Жордановой формы матрицы.
7. Нахождение матрицы билинейной и квадратичной формы,
замена координат.
8. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов методом
Лагранжа.
9. Определение является ли квадратичная форма положительно
определенной.
10. Процесс ортогонализации.
11. Приведение матрицы симметрического оператора к
диагональному виду ортогональным преобразованием.
12. Приведение к сумме квадратов пары форм, одна из которой
положительно определена.
Форма А
Страница 6 из 8
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА
1. Условие изоморфизма конечномерных линейных пространств.
2. Матрица перехода к новому базису, изменение координат вектора.
3. Линейные подпространства, размерность линейной оболочки, способы задания
линейного подпространства.
4. Формула для размерности суммы двух подпространств.
5. Прямая сумма подпространств, различные определения.
6. Линейное отображение векторных пространств, ядро и образ.
7. Матрица линейного отображения (оператора), переход к новому базису, ранг,
детерминант оператора.
8. Различные характеризации невырожденного оператора.
9. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, способы их
нахождения. Диагонализируемость оператора с простым спектром.
10. "Поднятие" характеристического и минимального многочленов с ограничений
оператора на инвариантных прямых слагаемых.
11. Разложение пространства в прямую сумму инвариантных подпространств,
отвечающее разложению минимального многочлена на взаимно простые множители.
12. Существование одно- или двумерного инвариантного подпространства относительно
оператора, действующего в вещественном пространстве.
13. Совпадение корней минимального и характеристического полиномов оператора.
14. Корневые подпространства операторов в комплексном пространстве, теорема
Гамильтона-Кэли.
15. Критерий диагонализируемости линейного оператора.
16. Жорданова форма матрицы. Алгоритм нахождения Жордановой нормальной формы
матрицы.
17. Сопряженное пространство, дуальные базисы, второе сопряженное пространство.
18. Билинейные функции и формы, изменение матрицы при переходе к новому базису.
19. Алгоритм Лагранжа для приведения квадратичной формы к диагональному виду.
20. Закон инерции вещественных квадратичных форм.
21. Положительно определенные квадратичные функции. Критерий Сильвестра.
22. Евклидовы пространства, условие изоморфизма.
23. Неравенство Коши-Буняковского. Модуль вектора, расстояние и косинус угла между
векторами.
24. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.
25. Ортогональное дополнение к подпространству евклидова пространства.
26. Ортогональные операторы и ортогональные матрицы.
27. Простейший вид матрицы ортогонального оператора евклидова пространства.
28. Сопряженные операторы.
29. Симметрические операторы и симметрические матрицы.
30. Существование ортогонального базиса из собственных векторов симметрического
оператора.
31. Норма оператора. Норма симметрического оператора.
32. Приведение квадратичной формы ортогональным преобразованием к главным осям.
33. Приведение пары форм к диагональному виду.
34. Число обусловленности матрицы. Связь с приближенным решением систем
линейных уравнений.
Форма А
Страница 7 из 8
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ.
7.1.
Рекомендуемая литература:
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру -М.: Наука,1977 г.
2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры -М.: Наука,1975 г.
3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: Учеб. М.: Наука, 1984.
4. Мищенко С.П., Свиридова И.Ю. Задачи и алгоритмы алгебры. Часть 2
(учебное пособие для студентов 1-го курса) Ульяновск, 2000.
Гриф НМС по математике и механике УМО.
5. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре -М.: Наука,1974 г.
6. Сборник задач по алгебре (под редакцией Кострикина А.И.) -М.: Наука,1987 г.
Форма А
Страница 8 из 8