Высшей математике - Финансовый Университет при

Федеральное государственное образовательное бюджетное
учреждение высшего образования
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Факультет «Прикладная математика и информационные технологии»
Кафедра «Математика»
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Учебно-методическое пособие
для студентов первого курса бакалавриата, обучающихся по
заочной форме по направлению 38.03.01 «Экономика»
Под редакцией профессора Н.Ш. Кремера
Рекомендовано кафедрой «Математика», протокол № 12 от 14 мая
2015 г.
Москва – 2015
ББК 22.3
Введение, методические указания и рекомендации
по изучению дисциплины подготовил профессор Н.Ш. Кремер
Варианты контрольных работ подготовили:
доц. Борисова Л.Р., доц. Путко Б.А., ст. преп. Федорова Н.И.,
доц. Шевелев А.Ю.
Учебно-методическое пособие рекомендовано кафедрой
«Математика».
Зав. кафедрой «Математика» профессор В.Б.Гисин.
Высшая математика. Учебно-методическое пособие для студентов
первого курса бакалавриата, обучающихся по заочной форме по
направлению 38.03.01 «Экономика»./ Под ред. проф. Н.Ш. Кремера ‒ М.:
Финуниверситет, 2015.
В учебно-методическом пособии приведен обзор основных понятий
и положений дисциплины «Высшая математика», даны методические
рекомендации по ее изучению, выделены типовые задачи с решениями,
представлены контрольные вопросы для самопроверки и задачи для
самоподготовки по данной дисциплине, приведены варианты контрольных
работ (с примерами их решений) для студентов первого курса
бакалавриата направления «Экономика», а также методические указания
по их выполнению.
ББК 22.3
2
ПРЕДИСЛОВИЕ
Совершенствование деятельности в любой области экономики
(управлении, финансово-кредитной сфере, маркетинге, учете, аудите) в
значительной мере связано с применением в экономической науке и
практике математических методов исследования.
Цель курса математики в системе подготовки экономиста – освоение
необходимого математического аппарата, помогающего анализировать,
моделировать и решать прикладные экономические задачи. Изучаемые в
математике методы и модели являются не только инструментами
количественного расчета, средствами решения прикладных задач, но и
эффективными методами проведения экономических исследований,
элементами общей культуры.
Задачи изучения дисциплины «Высшая математика» вытекают из
требований к результатам освоения программы бакалавриата,
компетенций, установленных Образовательным стандартом высшего
образования ФГОБУ «Финансовый университет при Правительстве РФ»
(ОС ВО) по направлению 38.03.01 «Экономика».
В процессе изучения дисциплины перед студентами ставятся
следующие задачи: освоение приемов исследования и решения
математически формализованных задач; использование классического
математического аппарата для решения прикладных задач; выработка
умения моделировать реальные объекты и
процессы; развитие
логического и алгоритмического мышления студентов; повышение уровня
математической культуры студентов; развитие навыков самостоятельной
работы по изучению учебной и научной литературы.
В соответствии с ОС ВО по направлению «Экономика»,
квалификация академический бакалавр, процесс изучения дисциплины
«Высшая математика» направлен на формирование следующих
компетенций:
общенаучных компетенций(ОНК)
– способность использовать основные научные законы в
профессиональной деятельности (ОНК-1);
– владение культурой мышления, способность к восприятию,
анализу и мировоззренческой оценке происходящих процессов и
закономерностей (ОНК-2);
инструментальных компетенций (ИК)
– владение основными методами, способами и средствами получения,
хранения и обработки информации (ИК-3)
‒ способность оформлять аналитические и отчеты н материалы по
результатам выполненной работы (ИК-4);
‒ способность применять методики расчетов и основные методы
исследований (ИК-5);
3
социально-личностных компетенций (СЛК)
– способность и готовность к продолжению образованию и к
самообразованию (СЛК-1)
– способность предлагать и обосновывать варианты управленческих
решений (СЛК-3);
системных компетенций (СК)
– способность применять полученные знания на практике(СК-1);
– способность анализировать, обобщать и систематизировать
информацию (СК-2)
– способность к постановке целей и задач исследований, выбору
оптимальных путей и методов их достижения (СК-3);
профессиональных компетенций направления (ПКН)
– владение основными научными понятиями и категориальным
аппаратом современной экономики и их применение (ПКН-1);
– способность применять математические методы для решения
стандартных профессиональных финансово-экономических задач,
интерпретировать полученные математические результаты (ПКН-3).
В результате изучения дисциплины студент должен:
а) знать основные понятия линейной алгебры и аналитической
геометрии,
дифференциального
и
интегрального
исчислений,
дифференциальных уравнений и рядов, , используемые в экономических
исследованиях и при изучении других дисциплин естественнонаучного и
профессионального циклов;
б) уметь применять основные классические математические методы
решения прикладных задач; строить математические модели прикладных
задач;
в) владеть навыками классического математического инструментария для решения прикладных (экономических) задач.
По дисциплине «Высшая математика» студенты бакалавриата
направления «Экономика» должны выполнить две контрольные работы №
1 и № 2 (задания к которым приводятся в данном пособии). Контрольные
работы (в соответствии с учебным графиком) могут быть существенно
дополнены за счет частичного использования компьютерной обучающей
программы (КОПР). В процессе изучения дисциплины студенты проходят
компьютерное тестирование (если оно предусмотрено учебным планом) и
сдают зачет по части 1 дисциплины «Линейная алгебра» и курсовой
экзамен по части 2 дисциплины «Математический анализ»
При выставлении итоговой оценки студента по данной дисциплине
учитываются балльная оценка текущей
успеваемости (качество
подготовки и работа на практических занятиях, выполнение контрольных
работ, компьютерное тестирование, посещение занятий) и результаты
сдачи зачета и экзамена.
.
4
ВВЕДЕНИЕ
Цель настоящего методического пособия – помочь студентам в
организации занятий при изучении общего курса математики.
Для освоения данной дисциплины в вузе записаны видео-лекции,
проводятся практические занятия. Основной формой обучения в условиях
заочного вуза является самостоятельная работа с видео-лекциями,
учебником и учебными пособиями (с. 65). Дополнительно для
самостоятельного изучения дисциплины рекомендуются Интернетресурсы: компьютерная обучающая программа (КОПР), обзорная лекция,
электронная учебно-методическая литература и др., размещенные на сайте
университета.
В помощь студентам в университете
и его филиалах
функционируют учебно-методические кабинеты, которые позволяют
осуществить выход в Интернет, поработать с Интернет-ресурсами
института, компьютерными обучающими программами и электронными
версиями учебно-методической литературы по данной дисциплине, пройти
тестирование в режиме самоконтроля.
Каждый студент с самого начала занятий должен выработать для
себя рациональную систему работы над курсом и постоянно
практиковаться в решении задач. В противном случае усвоение и
практическое
использование
учебного
материала
затруднены.
Чрезвычайно важны систематические занятия. Работа урывками не
приносит положительных результатов.
Студент должен вести конспект (рабочую тетрадь). Рекомендуется
конспектировать определения, формулировки теорем, схемы их
доказательств, формулы и решения задач. Формулы следует выписывать в
специальные таблицы для каждой части (раздела) курса. Постоянное
пользование конспектом, в частности таблицами формул, способствует их
запоминанию и дает возможность решать примеры и задачи, не обращаясь
к учебным пособиям.
Часто приходится слышать высказывания студентов о том, что
теорию они знают, а решать задачи не умеют. Это свидетельствует о
неглубоком усвоении учебного материала. Нужно решать как можно
больше задач. Начинать следует с наиболее простых, элементарных, а
затем переходить к более сложным. По такому принципу и расположены
задачи в рекомендуемых учебных пособиях. Решение следует доводить до
окончательного результата, промежуточные преобразования выполнять
последовательно и аккуратно. Если задача связана с отысканием
численного результата, то подстановку численных значений вместо букв
лучше производить только в окончательно упрощенное выражение.
Если материал учебника, учебного или методического пособия,
КОПР не дает ответа на возникший вопрос, то следует обратиться за
5
консультацией (по электронной почте)) на кафедру «Математика». Для
получения письменной консультации необходимо указать, каким
учебником (пособием, КОПР) вы пользовались (автор, наименование, год
издания) и какое конкретное место в учебнике не понятно. Если появились
затруднения в решении задачи, укажите, каким способом вы пытались ее
решить. Лишь в этом случае преподаватель сможет оказать вам помощь.
При решении различных задач нередко приходится вычислять
приближенно значения функции, определенного интеграла и др. Незнание
правил приближенных вычислений часто приводит к тому, что их
результаты оказываются не только неточными, но и ошибочными,
настолько они далеки от истинных (точных) значений. При этом многие
стремятся удержать больше цифр в окончательном ответе, показать, какой
«высокой» степени точности они добились. Точность такого ответа, как
правило, оказывается ложной, так как определенное число последних цифр
просто ошибочно. Чтобы этого не случилось, необходимо знать и
применять правила приближенных вычислений (см. с.7‒9). Ими надлежит
пользоваться
при
выполнении
арифметических
операций
с
приближенными числами и для получения приближенного результата.
6
Основные правила приближенных вычислений
Обозначим через х точное (истинное) значение некоторой величины
(точное число), а через а – ее приближенное значение (приближенное
число).
Число Δ=|х–а| называется истинной абсолютной погрешностью
приближенного числа а.
Обычно истинная абсолютная погрешность  числа a неизвестна, так
как не дано точное значение х, а известна так называемая предельная
абсолютная погрешность. Число α называется предельной абсолютной
погрешностью приближенного числа а, если
|x–a| ≤ .
Относительной погрешностью  приближенного числа а называется
отношение его абсолютной погрешности к абсолютной величине точного
числа x:
δ

.
x
Если точное значение числа х неизвестно, а Δ мало по сравнению с |а|,
то можно считать, что
δ

.
a
Относительную погрешность часто выражают в процентах, т.е.
δ

 100 (%).
a
Цифра данного разряда приближенного числа а называется верной, если
абсолютная погрешность Δ = | х – а | этого числа не превосходит пяти
единиц следующего справа разряда. В противном случае эта цифра
называется неверной.
У всякого десятичного числа а ≠ 0 существует первая слева цифра,
отличная от нуля. Эта цифра называется первой значащей цифрой числа а.
Все цифры, начиная с первой значащей и правее являются значащими
цифрами числа а. Говорят, что приближенное число а имеет п верных
значащих цифр, если п-я и предшествующие ей значащие цифры верные, а
(n + 1)-я цифра — неверная.
В вычислительной практике также употребляют термин "число верных
десятичных знаков". Под ним понимают число верных цифр в десятичной
дроби после нулей, указывающих разряды. Цифры приближенного числа,
не являющиеся верными, отбрасывают, а число при этом округляют.
Правило округления. Если первая из отбрасываемых цифр, считая
слева направо, меньше 5, то последнюю оставшуюся цифру не меняют;
если больше или равна 5, то последнюю оставшуюся цифру надо
увеличить на единицу.
7
Если отбрасывается т о л ь к о цифра 5, а предшествующая ей цифра
четная, то последнюю оставшуюся цифру менять не следует, если
нечетная, то последнюю оставшуюся цифру надо увеличить на единицу
(правило четных знаков).
Пример. π = 3,1415926.... Округляя число до трех значащих цифр,
получим π ≈ 3,14 (так как 1<5); округляя его до четырех значащих цифр,
получим π ≈ 3,142 (5≥ 5), а округляя его до пяти значащих цифр, получим
π ≈ 3,1416 (так как 9  5 ). В то же время число x = 0,6525 ≈ 0,652 (по
правилу четных знаков, так как отбрасывается только цифра 5).
Окончательные результаты вычислений обычно округляют на
последней верной цифре, а в промежуточных результатах удерживают
одну запасную цифру, которая может оказаться и неверной.
При этом пользуются следующими правилами определения верных
цифр результата.
1. При сложении (вычитании) приближенных чисел в сумме следует
сохранить столько десятичных знаков, сколько их имеет слагаемое с
наименьшим числом десятичных знаков.
2. При умножении приближенных чисел в произведении следует
оставить столько значащих цифр, сколько их имеет сомножитель с
наименьшим числом верных значащих цифр.
3. При возведении в степень и извлечении корня число верных значащих
цифр результата равно числу верных значащих цифр основания степени.
4. Правило запасной цифры. Для того чтобы после небольшого
количества алгебраических действий над приближенными числами
получить результат с п верными цифрами, достаточно исходные данные
взять с (п + 1) верными цифрами и во всех промежуточных результатах
сохранить (п + 1) верных цифр, а окончательное значение округлить до п
цифр.
Пример. Дано: π ≈ 3,14159; lg e ≈ 0.434 (все цифры верные). Вычислить
приближенно: а) π + lg e; б) π ∙ lg e.
Р е ш е н и е. а) Число π содержит 5 верных десятичных знаков, lg e – 3
следовательно, сумма должна содержать 3 верных десятичных знака.
Округляя (с запасной цифрой) число π до 4 десятичных знаков, получим:
π + lg e ≈ 3,1416 + 0,434 = 3,5756 ≈ 3,576.
Число π содержит 6 верных значащих цифр, lg e – 3 (нуль не
считается), следовательно, произведение должно содержать 3 верных
значащих цифры. Округляя (с запасной цифрой) число π до 4 значащих
цифр, получим:
π ∙ lg e = 3,142 ∙ 0,434 = 1,363628 ≈ 1,36.
Вычислительную работу по возможности следует упрощать. Для этого
рекомендуется пользоваться электронными калькуляторами, пакетом
8
Excel и т.п. Всякая вычислительная работа должна контролироваться.
Простейшим методом контроля является выполнение решения заново
(лучше спустя некоторое время) и сравнение полученных результатов.
Основные правила приближенных вычислений будут нужны и в
дальнейшем – при выполнении контрольных (лабораторных, курсовых,
выпускных) работ по теории вероятностей и математической статистике и
другим
математическим,
профессиональным
и
специальным
дисциплинам.
9
Содержание дисциплины и
методические рекомендации по ее изучению
Ниже по каждой теме приводится учебно-программный материал,
который должен изучить студент со ссылками на рекомендованные (в
качестве основной литературы) учебники и учебные пособия.
Контрольные вопросы по каждой теме представлены ниже в
разделе «Вопросы для самопроверки».
Рекомендуемые по каждой теме задачи с решениями и для
самостоятельной работы приводятся ниже в разделе «Задачи для
самоподготовки».
Обзорные лекции по части 1 «Линейная алгебра» и части 2
«Математический анализ» размещены на портале Финуниверситета
(Электронные ресурсы,1,2).
Компьютерная обучающая программа (КОПР-1М» размещена на
портале Финуниверситета (Электронные ресурсы,3).
Вопросы организации компьютерного тестирования, основные типы
и примеры тестовых заданий по данной дисциплине рассматриваются в
учебно-методическом издании «Математический анализ и линейная
алгебра. Методические указания по компьютерному тестированию»
[Электронные ресурсы, 5].
Вопросы
выполнения
контрольных
работ
с
частичным
использованием КОПР рассматриваются в учебно-методическом издании:
«Математика. Методические указания по проведению и выполнению
контрольных работ с использованием КОПР» ([Электронные ресурсы, 6]).
Часть 1.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Раздел I. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО АНАЛИЗА
.
Тема 1. Матрицы и определители
Понятие матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. Действия с
матрицами. Транспонирование матриц. Квадратные матрицы.
Определители квадратных матриц 2-го, 3-го и n-го порядков.
Алгебраическое дополнение. Свойства определителей. Теорема Лапласа.
Обратная матрица и алгоритм ее вычисления. Понятия минора n-го
порядка матрицы. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы с помощью
10
элементарных преобразований. Линейная комбинация, линейная
зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы. Теорема о
ранге матрицы максимальном числе ее линейно-независимых строй
(столбцов)1 ([1или 6, § 1.1–1.6]; [2 или 7, § 1.1 – 1.4], или [3, § 1.1 – 1.11],
или [4, § 1.1 – 1.11] ).
Надо хорошо уяснить, что матрица – прямоугольная таблица,
составленная из тп чисел, расположенных в т строках и п столбцах.
Необходимо знать, как устанавливаются размеры матрицы и ее порядок,
уметь выполнять транспонирование матриц, алгебраические операции над
ними (умножение матрицы на число, сложение, вычитание, умножение
матриц).
Относительные трудности возникают при усвоении операции
умножения матриц. Необходимо твердо усвоить формальное правило
умножения и связанное с ним условие существования произведения АВ
матриц А и В: число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк
матрицы В. Одна из особенностей операции умножения матриц состоит в
том, что произведение матриц в общем случае некоммутативно, т.е.
АВ ≠ ВА. Если матрицы А и В не квадратные, то это свойство очевидно, так
как либо одно из произведений, АВ или ВА, не существует, либо АВ и ВА –
матрицы разных размеров. Даже если А и В — квадратные матрицы, в
общем случае АВ ≠ ВА, в чем нетрудно убедиться на любом частном
примере. Другая особенность произведения матриц состоит в том, что
произведение двух ненулевых матриц или квадрат ненулевой матрицы
может оказаться нулевой матрицей.
Например, можно легко показать, что произведение матриц
1  0 0 
 3  1 0  2


 

3   0 0 
 9  3 0  6
6
1 1  18  9   0 0 

есть нулевая матрица (сравните: во множестве действительных чисел
произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из
сомножителей равен нулю).
Следует четко уяснить, что если матрица – это таблица чисел, то
определитель квадратной матрицы – это число, характеризующее эту
матрицу и вычисляемое по определенным правилам. Необходимо уметь по
этим правилам вычислять определители второго и третьего порядков.
Здесь и далее в тексте все указанные в скобках номера формул, страниц и задач относятся к учебникам
и учебным пособиям [1] или [5] , [2] или [6], или [3], или [4], приведенным в разделе «Литература» (с.
45) и рассматриваемым в качестве основной литературы.
1
11
При изучении свойств определителей особое внимание следует
обратить на свойства 2, 4–6, 8 и особенно на теорему Лапласа ([1, или 6,
или 3, § 1.3]). Необходимо уметь пользоваться этими свойствами при
вычислении определителей четвертого и более высоких порядков.
Нужно знать определение присоединенной и обратной матриц, уметь
их вычислять. Следует знать, что для существования матрицы А–1,
обратной матрице А, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была
невырожденной (неособенной). Проверить правильность вычисления
обратной матрицы можно, составив произведение АА–1 или А–1А. Если оно
является единичной матрицей Е, то в соответствии с определением
матрица А–1 вычислена правильно.
Ранг матрицы вводится в курсе как наивысший порядок отличных от
 4 0 2
 равен
нуля миноров этой матрицы. Например, ранг матрицы А  
 2 0 1
1, т.е. r  A  1 , так как все миноры 2-го порядка
4 0 4 2 0 2
,
,
равны
2 0 2 1 0 1
нулю, а среди миноров 1-го порядка 4 , 0 , 2 и т.д. есть отличные от нуля.
При этом надо учитывать, что введенный ранее и используемый в
теореме Лапласа минор элемента квадратной матрицы n-го порядка есть
минор (n–1)-го порядка данной матрицы.
В общем случае для определения ранга матрицы рекомендуется
использовать метод элементарных преобразований, состоящий в том, что с
помощью элементарных преобразований данную матрицу А приводят к
ступенчатому виду, и число ненулевых строк полученной ступенчатой
матрицы есть искомый ранг матрицы А (см. [1, или 6, или 3, пример 1.13] ).
Важное значение имеет теорема о ранге матрицы, из которой
следует, что ранг матрицы есть максимальное число ее линейно
независимых строк (или столбцов), через которые линейно выражаются
все остальные ее строки (столбцы).
Тема 2. Системы линейных уравнений
Система m линейных уравнений с n переменными (общий вид).
Матрица системы. Матричная форма записи системы линейных
уравнений. Совместные (определенные и неопределенные) и
несовместные системы. Теорема Крамера о разрешимости системы n
линейных уравнений с n переменными. Решение такой системы: а) по
12
формулам Крамера; б) методом обратной матрицы; в) методом
Гаусса. Понятие о методе Жордана-Гаусса. Теорема КронекераКапелли. Условие определенности и неопределенности любой
совместной системы линейных уравнений. Базисные (основные) и
свободные (неосновные) переменные. Базисное решение. Система
линейных однородных уравнений и ее решения. Понятие о модели
Леонтьева. ([1или 6, § 2.1 – 2.7]; [2 или 7, § 2.1, 2.5], или [3, § 2.1 – 2.8],
или [4, § 2.1 – 2.8]).
При изучении материала темы следует освоить матричную форму
записи заданной системы n линейных уравнений с n переменными и уметь
переходить к этой форме от общего вида системы и наоборот. Необходимо
знать и уметь объяснить, какие системы уравнений называются
совместными (определенными и неопределенными) и несовместными.
Надо твердо уяснить, что вопрос о разрешимости системы n линейных
уравнений с n переменными устанавливается с помощью теоремы Крамера
([1, или 6, или 3, § 2.2]). Решаются же такие системы различными
способами: по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и
методом Гаусса. Наиболее важен для практики метод Гаусса, имеющий
по сравнению с другими способами решения ряд достоинств: он менее
трудоемок, позволяет однозначно установить, является ли данная система
определенной, неопределенной или несовместной, а в случае совместности
системы – определить число ее линейно независимых уравнений и
исключить «лишние».
Метод Жордана–Гаусса [2 или 7, § 2.3, пример 2.49] или [3, § 2.8,
пример 2.44] позволяет быстрее, чем классический, решать систему
уравнений и потому востребован в прикладных математических курсах.
При этом следует иметь в виду, что в реальных прикладных задачах
системы уравнений с достаточно большим числом уравнений и
переменных решаются с помощью пакетов прикладных программ,
например, Excel, MathCAD и др.
Практический интерес в приложениях представляет случай, когда
число m уравнений системы меньше числа n переменных m  n.
Рассмотрение таких систем приводит к разбиению переменных на
базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные и выделению
из общего числа решений системы базисных решений, в которых все
свободные (неосновные) переменные равны нулю.
Согласно теореме Кронекера – Капелли система линейных
уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы А
13
равен рангу расширенной матрицы А В , т.е. r  A  r A B  r . При этом, если
r  n (n – число переменных), то система определенная, если r  n –
неопределенная и имеет бесконечное множество решений.
Для решения системы m линейных уравнений с n переменными
m  n вовсе не требуется находить специально ранги r  A и r A B , а
достаточно применить метод Гаусса. Если хотя бы одно из уравнений
системы на «прямом ходе» метода Гаусса приводится к виду 0  bi bi  0 ,
то система несовместная, если к виду 0=0, то система совместная и
неопределенная. В последнем случае уравнения вида 0=0 исключаются из
системы, а члены уравнения с n  r свободными переменными переносятся
в правые части уравнений. Далее, используя «обратный ход» метода
Гаусса, получают выражения r базисных переменных
через n  r
свободных, т.е. общее решение системы (см. [1 или 6, пример 2.4], [2 или
7, пример 2.36] или [3, примеры 2.4, 2.44]).
Следует иметь ввиду, что общее число решений совместной
системы линейных уравнений m  n бесконечно, в то время как число ее
базисных решений конечно и не превосходит числа сочетаний C nm (а
точнее C nr , где r – ранг матрицы системы).
Особенностью рассматриваемых далее систем однородных
уравнений является то, что они всегда совместны, так как имеют, по
крайней мере, нулевое решение (0, 0, ..., 0). Ненулевое решение такие
системы имеют только тогда, когда ранг матрицы системы меньше числа
переменных, т.е. r  A  n , или, что то же самое, когда определитель
матрицы А равен нулю: A  0 .
Следует отметить, что матричное уравнение AX  B , к которому
сводится система линейных уравнений (А – матрица системы, Х –
неизвестный столбец переменных, В – столбец свободных членов) может
рассматриваться и в случае, когда Х – неизвестная матрица. Вообще
матричные уравнения простейшего вида с неизвестной матрицей Х имеют
вид AX  B (1), XA  B (2), AXC  B (3), где А, В, С, Х – матрицы таких
размеров, что все используемые операции возможны, а левые и правые
части этих матричных уравнений представляют матрицы одинаковых
размеров.
14
Решения матричных уравнений (1) и (2) соответственно X  A1 B и
X  BA 1 (если А – квадратная матрица, A  0 ), а матричного уравнения (3)
X  A 1 BС 1
(если А и С – квадратные матрицы и A  0 , С  0 ).
Тема 3. Векторные пространства
Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические векторы).
Линейные операции над векторами. Коллинеарные и компланарные
векторы. Координаты и длина вектора. Скалярное произведение двух
векторов (определение) и его выражение в координатной форме. Угол
между векторами. n-мерный вектор. Линейная комбинация, линейная
зависимость и независимость векторов. Векторное (линейное)
пространство; его размерность и базис. Разложение вектора по базису.
Скалярное произведение векторов в n-мерном пространстве. Евклидово
пространство. Длина (норма) вектора. Ортогональные векторы.
Ортогональный и ортонормированный базисы. ([1 или 6, § 3.1 – 3.3, 3.5 –
3.8]; [2 или 7, § 3.1 – 3.5], или [3, § 3.1–3.3, 3.5−3.8, 3.10 – 3.14], или [4, §
3.1 – 3.3, 3.6, 3.8, 3.10, 3.11, 3.13, 3.15–3.20]).
В школьном курсе математики рассматривалось понятие вектора как
направленного отрезка, т.е. множества точек, заключенных между двумя
точками прямой с указанным направлением. Там же определялись
операции над векторами (сложение, вычитание, умножение вектора на
число), вводились координаты и понятие длины вектора.
Множества всех плоских и пространственных векторов, для которых
определены операции сложения и умножения, а также умножения вектора
на число, являются простейшими примерами векторных (линейных)
пространств. В данной теме обобщается понятие вектора и дается
определение векторного пространства, являющегося основным объектом
линейной алгебры.
Следует отметить, что понятие линейной комбинации, линейной
зависимости и независимости векторов вводится точно так же, как это
было сделано в теме 1 для строк (столбцов) матрицы. Обращаем внимание
на то, что векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из
векторов можно представить в виде линейной комбинации остальных
векторов. А если среди векторов есть нулевой вектор, то такие векторы
всегда линейно зависимы.
Нужно четко знать понятие базиса n-мерного пространства,
представляющего совокупность его n линейно независимых векторов. При
15
этом любой вектор линейного пространства может быть представлен
единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса.
Надо уяснить, что, например, три пространственных (два плоских)
вектора
могут
образовать
базис,
если
они
некомпланарны
(неколлинеарны). Если же они компланарны, т.е. лежат в одной плоскости
(коллинеарны, т.е. лежат на одной прямой), то любая их линейная
комбинация представляет вектор, лежащий в той же плоскости (на той же
прямой), следовательно, по таким векторам не может быть разложен
другой вектор, не лежащий в той же плоскости (на той же прямой), а это
значит, что компланарные (коллинеарные) векторы базис трехмерного
(двумерного) пространства не образуют.
Векторное пространство, как отмечено выше, представляет
множество векторов, в которых определены операции сложения векторов и
умножения вектора на число, но не определен способ измерения длин
векторов и углов между ними. Это становится возможным с введением
скалярного произведения векторов и непосредственно связанного с ним
понятия евклидова пространства.
Скалярное произведение двух векторов надо знать в двух формах
(как произведение длин двух векторов на косинус угла между ними и как
сумма произведений соответствующих координат (компонент) этих
векторов). Обратите внимание на приведенные с решениями задачи [1, или
6, или 3, примеры 3.1– 3.3].
В конце темы вводятся понятия ортогональных векторов. Это
позволяет в евклидовом пространстве выделить среди всех базисов
ортогональные и ортонормированные базисы, которые более удобны и
играют в линейной алгебре роль, аналогичную
прямоугольной
(декартовой) системе координат в аналитической геометрии (см. тему 6).
Тема 4. Линейные операторы
Понятие линейного оператора. Образ и прообраз векторов.
Матрица линейного оператора в заданном базисе. Ранг оператора.
Операции над линейными операторами. Нулевой и тождественный
операторы. Собственные векторы и собственные значения линейного
оператора (матрицы). Характеристический многочлен матрицы.
Диагональный вид матрицы линейного оператора в базисе, состоящем из
16
его собственных векторов. ([1 или 6, § 3.6, 3.7]; [2 или 7, § 3.3, 3.4], или [3,
§ 3.6, 3.7, 3.12,3.13], или [4, § 3.8, 3.10, 3.18, 3.19]).
.
В этой теме рассматривается одно из базовых понятий линейной
алгебры – понятие линейного оператора (преобразования, отображения),
представляющего закон (правило), по которому каждому вектору х nмерного пространства R n ставится в соответствие один вектор y m-мерного
пространства R m . При m  n оператор обращает R n в себя.
Линейность оператора определяется выполнением свойств
аддитивности и однородности оператора [1, или 6, или 3, § 3.6]. Нужно
~
знать, что каждому линейному оператору A соответствует матрица А в
~
~
некотором базисе А  A . Верно и обратное утверждение А  А  . С
помощью этой матрицы для любого вектора х можно найти его образ –
вектор y.
Особую роль в приложениях линейной алгебры играют векторы,
~
которые под воздействием линейного оператора A преобразуются в новые
векторы, коллинеарные исходным. Такие векторы получили название
~
собственных векторов оператора A (матрицы А), а соответствующие им
~
числа – собственных значений оператора A (матрицы А). Точные
определения и нахождение собственных векторов и значений приведены в
[1, или 6, или 3, пример 3.7].
Если базис линейного оператора составить из собственных векторов,
то матрица оператора имеет наиболее простой вид и представляет собой
диагональную матрицу, а соответствующая операция называется
приведением данной матрицы к диагональному виду ([1, или 6, или 3,
пример 3.8]).
Тема 5. Квадратичные формы
Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной формы.
Матричная форма записи квадратичной формы.. Канонический вид и ранг
квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм. Положительно
и отрицательно определенная, знакоопределенная квадратичные формы.
Критерий определенности квадратичной формы через собственные
значения ее матрицы. Критерий Сильвестра. ([1 или 6, § 3.8]; [2 или 7,
§ 3.5], или [3, § 3.8, 3.14], или [4, § 3.11, 3.13, 3.20]).
Квадратичные формы достаточно часто возникают при решении
прикладных задач. Если в n-мерном линейном пространстве выбрать
17
некоторый
базис,
то
квадратичную
форму
n
n
L   aij xi x j
можно
i 1 j 1
рассматривать
x  x1 , x2 , ..., xn  .
как
некоторую
функцию
векторного
аргумента
Необходимо знать определение и матричную запись квадратичной
формы, ее канонический вид. Уметь приводить в простых случаях
квадратичную форму к каноническому виду, имея в виду, что это
возможно сделать многими способами, но ранг квадратичной формы при
этом не меняется.
Студент должен владеть двумя способами исследования на
знакоопределенность квадратичной формы (с помощью собственных
значений ее матрицы и критерия Сильвестра). Например, очевидно, что
квадратичная форма L  2 x12  4 x1 x2  5x22 (т.е. L  2x1  x 2 2  3x 22 ) является
знакоположительной. В этом можно убедиться с помощью отмеченных
 2  2
 , как нетрудно
критериев, ибо матрица квадратичной формы A  

2
5


показать, имеет положительные собственные значения 1  1 , 2  6 , а
угловые
(главные)
миноры
1  2  2 ,
2 
2 2
6
2
5
также
положительные. А квадратичная форма L1  x12  6 x1 x2  x22 не является
 1  3
 имеет разные по
1
 3
знаку собственные значения 1  2 и 2  4 , а угловые миноры 1  1  1 ,
знакоопределенной, так как ее матрица A1  
2 
1 3
 8 чередуются по знаку, начиная с положительного значения
3
1
(при 1  0 ,  2  0 квадратичная форма была бы знакоотрицательной) –
(см. [1 или 6, примеры 3.11, 3.12], или [3, примеры 3.11, 3.12, 3.109,
3.110]).
Раздел II. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Тема 6. Элементы аналитической геометрии
Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой с угловым
коэффициентом и начальной ординатой. Общее уравнение прямой и его
исследование. Построение прямой по ее уравнению. Уравнение прямой,
проходящей: а) через данную точку в данном направлении; б) через две
данные точки. Координаты точки пересечения двух прямых. Условие
параллельности и перпендикулярности прямых. Кривые второго порядка,
18
их общее уравнение. Нормальное уравнение окружности. Канонические
уравнения эллипса, гиперболы, параболы. Уравнение плоскости в
пространстве и его частные случаи. Условие параллельности и
перпендикулярности плоскостей. Уравнение прямой как пересечение двух
плоскостей. Канонические уравнения прямой в пространстве. Углы между
плоскостями, прямыми, прямой и плоскостью. ([1 или 6, § 4.1 – 4.7]; [2 или
7, § 4.1 – 4.3], или [3, § 4.2 – 4.6, 4.8 – 4.10, 4.12], или [4, § 4.2 – 4.6, 4.8 ,
4.12, 4.13, 4.15].
По используемым методам аналитическая геометрия существенно
отличается от элементарной геометрии. Применение основного метода
аналитической геометрии – метода координат позволяет значительно
продвинуть вперед изучение геометрических образов, исследовать линии и
поверхности, важные для практических приложений.
Важнейшим понятием аналитической геометрии является уравнение
линии на плоскости, которому удовлетворяют координаты каждой точки
данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей
на этой линии. Из этого определения следует два важных для практики
положения.
1. Если задано уравнение линии, то можно установить, принадлежит
ли ей какая-либо точка плоскости. Для этого достаточно подставить
координаты точки в уравнение линии вместо переменных x и y. Если
окажется, что они удовлетворяют уравнению, то точка принадлежит
линии, в противном случае – не принадлежит.
2. Координаты точки пересечения двух линий, заданных своими
уравнениями, удовлетворяют обоим уравнениям. Поэтому для нахождения
координат точки пересечения двух линий нужно решить систему,
составленную из их уравнений.
Следует отметить, что решение задач в аналитической геометрии
проводится алгебраическим путем и никакие ссылки не чертеж не могут
служить обоснованием решения задачи. Чертежи и геометрические
построения служат вспомогательным средством, облегчающим решение
задачи, делающим его наглядным, помогающим наметить план решения
задачи. Поэтому рекомендуется сопровождать решение чертежами.
Из всех линий прямая линия имеет особое значение. Она (и ее
обобщение в n-мерном пространстве) является графиком линейной
функции, используемой в наиболее часто встречающихся на практике
линейных экономико-математических моделях, которые будут изучаться в
курсах «Методы оптимальных решений», «Исследование операций».
19
Студент должен знать уравнения прямой с угловым коэффициентом
и начальной ординатой и его частные случаи; уравнение прямой,
проходящей через данную точку в заданном направлении и через две
данные точки, общее уравнение прямой [1, или 6, или 3, § 4.1]. Обратите
внимание на условия параллельности и перпендикулярности прямых; на
нахождение уравнения прямых; параллельной и перпендикулярной данной
прямой [1, или 6, или 3, пример 4.5].
Изучая кривые второго порядка, следует иметь в виду, что любая из
этих кривых выражается уравнением второй степени
Ax 2  Bxy  Cy 2  Dx  Ey  F  0,
(*)
которое определяет окружность, эллипс, гиперболу или параболу в
зависимости от соотношений между его коэффициентами. В то же время
не каждое уравнение (*) (при условии А2+В2+С2≠0) определяет кривую
второго порядка (например, уравнение х2+y2+1=0 не определяет никакой
линии, уравнение х2+y2=0 определяет единственную точку (0;0),, уравнение
х2‒y2=0 задает две пересекающиеся в начале координат прямые х‒y=0 и
х+y=0 и т.п.
Студенту надо знать нормальное уравнение окружности,
канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы, геометрический
смысл их параметров. Уметь приводить уравнение кривой второго порядка
к каноническому виду, используя операцию «выделения полного
квадрата» ( см. [1, или 6, или 3, примеры 4.7, 4.8]), а также находить точки
пересечения различных линий (например, кривой второго порядка и
прямой).
Обобщением уравнения прямой на плоскости является уравнение
плоскости в пространстве Ax  By  Cz  D  0 (обобщением которого, в
свою очередь, является уравнение гиперплоскости в n-мерном
пространстве, рассматриваемое в прикладных математических курсах).
Надо знать смысл его коэффициентов А, В, С (как координат нормального
вектора плоскости) и частные случаи уравнения плоскости. Например,
уравнение плоскости: проходящей через начало координат, Ax  By  Cz  0
( D  0 ); параллельной оси Оу, Ax  Cz  D  0 ( B  0 ); проходящей через ось
Оу, Ax  Cz  0 ( B  C  0 ); параллельной плоскости Oxz, By  D  0 ( A  С  0 );
совпадающей с плоскостью Oxz, Вy  0 , т.е. y  0 , ( A  C  D  0 ) и т.д.
Уравнение прямой в пространстве рассматривается в двух формах –
как линии пересечения двух плоскостей и в виде канонических уравнений.
20
Обращаем внимание на то, что направление плоскости и прямой
определяются соответственно нормальным и направляющим векторами,
поэтому углы между двумя плоскостями, двумя прямыми, прямой и
плоскостью сводятся к определению углов (дополнительных углов) между
этими векторами. Отсюда вытекают условия параллельности и
перпендикулярности двух плоскостей, прямых, прямой и плоскости.
Основные типы задач на прямую и плоскость в пространстве
представлены задачами с решениями [1 или 6, примеры 4.87 – 4.92] или [3,
примеры 4.108 – 4.113]. Решение отдельных задач предполагает знание
скалярного произведения двух векторов (но не требует знания векторного
и смешанного произведения векторов, не входящими в программу).
Часть 2.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Раздел IIl. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Тема 7. Функции
Понятие о множествах. Действительные числа и числовые
множества. Постоянные и переменные величины. Функции и способы их
задания. Область определения функции. Четные, нечетные, монотонные и
ограниченные функции. Сложная функция. Понятие элементарной
функции. Основные элементарные функции и их графики. Неявные
функции. ([1 или 6, § 5.1 – 5.5, 5.7]; [2 или 7, гл. 5], или [3, §5.1 – 5.5, 5.7],
или [5, §1.1 – 1.5, 1.7]).
Прежде всего полезно ознакомиться с некоторыми логическими
символами и кванторами, чтобы использовать их в дальнейшем для
сокращения записей ([1, или 6, или 3, § 5.1, 6.1]).
Изучение темы следует начать с основных понятий теории множеств
([1 или 6, или 3, § 5.1]). Далее нужно четко усвоить важнейшее понятие
математического анализа – функции, уметь находить область ее
определения, знать способы задания функции: аналитический,
графический, табличный, словесный.
В нашем курсе рассматриваются в основном элементарные функции.
Студент должен уяснить определение элементарной функции ([1, или 6,
21
или 3, § 5.5]), четко знать свойства и строить графики следующих
основных элементарных функций: y = C (постоянная), y = xn (степенная),
y = ax (показательная), y = logax (логарифмическая). Необходимо усвоить
понятие сложной функции (функции от функции).
Построение графика четной (нечетной) функции можно значительно
упростить, если учесть, что графики четных функций симметричны
относительно оси Оy, а нечетных – относительно начала координат. Одним
из характерных свойств функции является монотонность (т.е. ее
возрастание или убывание на каком-либо промежутке).
Тема завершается рассмотрением линейной функции и элементов
аналитической геометрии на плоскости – простейших уравнений прямой.
Этот материал будет использоваться на III курсе при изучении дисциплин
«Методы оптимальных решений», «Исследование операций».
Основополагающее значение здесь имеет определение уравнения
линии на плоскости как уравнения с двумя переменными x и y, которому
удовлетворяют координаты каждой точки этой линии и не удовлетворяют
координаты любой точки, не лежащей на ней. Из этого определения
следуют два важных для практики положения.
1. Если задано уравнение линии, то можно установить, принадлежит ли
ей какая-либо точка плоскости. Для этого достаточно подставить
координаты точки в уравнение линии вместо переменных x и y. Если
окажется, что они удовлетворяют уравнению, то точка принадлежит
линии, в противном случае – не принадлежит.
2. Координаты точки пересечения двух линий, заданных своими
уравнениями, удовлетворяют обоим уравнениям. Поэтому для
нахождения координат точки пересечения двух линий нужно решить
систему, составленную из их уравнений.
Студент должен знать простейшие виды уравнений прямой и уметь
пользоваться ими при решении задач. Соответствующий учебный
материал приведен в учебнике ([1, или 6,или 3, § 4.2]).
Обратите особое внимание на нахождение уравнений прямых,
параллельной и перпендикулярной данной прямой ([1, или 6, или 3,
пример 4.5].
Тема 8. Пределы и непрерывность
22
Предел числовой последовательности. Предел функции в бесконечности и
точке. Бесконечно малые величины и их свойства. Бесконечно большие
величины. Основные теоремы о пределах: теорема единственности,
предел суммы, произведения, частного. Признаки существования предела.
Второй замечательный предел. Число e. Понятие о натуральных
логарифмах. Непрерывность функции в точке и на промежутке.
Основные
теоремы
о
непрерывных
функциях.
Раскрытие
0  
неопределенностей вида   ,   , 0  ,   , 1 . Вычисление пределов
0  
([1 или 6, § 6.1 – 6.8]; [2 или 7, § 6.1 – 6.3, 6.5], или [3, § 6.1 – 6.10], или [5,
§2.1 – 2.10]).
Наряду с понятием функции, понятия предела и непрерывности
являются основными в разделе «Введение в анализ».
Понятие предела в учебнике [1, или 6, или 3] рассматривается для
an и для функции: в бесконечности
числовой последовательности nlim

lim f x 
x 


и в точке  xlim
f  x  . Для выяснения смысла этих понятий
x


0
необходимо использовать их геометрическую интерпретацию. Весьма
важными являются понятия бесконечно малых и бесконечно больших
величин ([1, или 6, или 3, § 6.3, 6.4]), суть которых сводится к тому, что
при своем изменении бесконечно малая (по абсолютной величине) будет
меньше любого, как угодно малого числа ε > 0, а бесконечно большая
будет больше любого как угодно большого числа М > 0.
Нужно знать взаимосвязь бесконечно малых и бесконечно больших
величин, свойства бесконечно малых, с помощью которых доказываются
теоремы о пределах. Следует обратить внимание на признаки
существования пределов, особенно на теорему 1 ([1 или 6, или 3, § 6.5]),
часто позволяющую установить наличие предела значительно проще, чем
при использовании его определения.
Необходимо (без вывода) знать второй замечательный предел в двух
формах записи:
x
 1
lim 1    e
x 
x

и
lim 1  y  1 / y  e .
y 0
Понятие непрерывности функции (в точке, на промежутке) является
более простым, чем предел, так как оно выражается непрерывностью
графика при прохождении данной точки, данного промежутка (без отрыва
карандаша от листа бумаги). Наряду с интуитивным представлением надо
знать определение непрерывности функции в точке и на промежутке,
свойства непрерывных функций, а также то, что всякая элементарная
функция непрерывна в каждой точке области определения и может иметь
разрыв лишь на границах области определения.
23
Раздел IV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Тема 9. Производная
Задачи (о касательной к плоской кривой и о мгновенной скорости),
приводящие к понятию производной. Производная, ее геометрический,
механический и экономический смысл. Уравнение касательной к плоской
кривой.
Дифференцируемость
функции.
Связь
между
дифференцируемостью и непрерывностью функции (необходимый признак
дифференцируемости). Основные правила и основные формулы
дифференцирования. Формулы производных основных элементарных
функций. Производная сложной функции. Техника дифференцирования.
Производные высших порядков ([1 или 6, § 7.1 – 7.7]; [2 или 7, § 7.1 – 7.3],
или [3, § 7.1 – 7.7, 7.11, 7.12], или [5, §3.1 – 3.7, 3.11, 3.12]).).
Студенты должны знать две классические задачи, которые приводят
к понятию производной: задачу о касательной к плоской кривой и задачу о
скорости неравномерного прямолинейного движения. Их решение
выявляет геометрический и механический смысл производной. Нужно
четко знать определение производной, представлять ее экономический
смысл ([1или 6, § 7.6] или [3, § 7.10]), уметь составить уравнение
касательной к графику любой функции y = f (x) в заданной точке.
Изучая материал этой темы, студенты знакомятся с необходимым
условием дифференцируемости функции. Необходимо четко уяснить, что
из дифференцируемости функции в некоторой точке следует ее
непрерывность в этой точке. Обратная теорема не справедлива, так как
существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках могут не
иметь производной ([1 или 6, § 7.2] или [3, § 7.2]).
Нужно, чтобы студенты, хорошо усвоив основные правила
дифференцирования, умели находить производную суммы и произведения
нескольких дифференцируемых функций, производную частного двух
функций, пользоваться основными формулами дифференцирования, а
также могли их вывести. Таблица основных формул приведена в учебнике
([1 или 6, или 3, § 7.5]) и на переднем форзаце. Наиболее важным для
овладения техникой дифференцирования функций, и к тому же наиболее
трудным, является правило дифференцирования сложной функции ([1,
или 6, или 3, §7.4]). Знание этого правила способствует успешному
освоению техники дифференцирования функций. Поэтому необходимо
24
обратить особое внимание на примеры с решениями, в которых
иллюстрируется его применение. Нужно усвоить понятия производных
высших порядков и уметь их находить.
Тема 10. Приложения производной
Теорема Ролля* и Лагранжа. Правило Лопиталя (без вывода).
Признаки возрастания и убывания функции. Экстремум функции.
Необходимые и достаточные признаки экстремума (второй
достаточный признак – без доказательства). Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке; их нахождение; решение задач.
Исследование функции (область определения, четность и нечетность,
интервалы монотонности и точки экстремума, поведение функции при
x   и в точках разрыва, вертикальные, горизонтальные и наклонные
асимптоты, точки пересечения графика с осями координат) и
построение ее графика. Квадратичная функция y = ax2 + bx + c и ее
график. Дробно-линейная функция y = (ax + b)/(cx + d) и ее график ([1 или
6, § 8.1 – 8.5, 8.7 – 8.9]; [2 или 7, § 8.1 – 8.3, 8.5], или [3, § 8.1 – 8.5, 8.7, 8.8,
8.10 – 8.12, 8.14], или [5, §4.1 – 4.5, 4.7, 4.8, 4.10 – 4.12, 4.14])
Одно из простейших приложений производной – раскрытие
неопределенностей вида [0/0] или  /  с помощью правила Лопиталя
([1, или 6, или 3, § 8.2]). Обратите внимание на то, что согласно формуле
(8.3) предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно
больших функций равен пределу отношения их производных, а не пределу
производной частного этих функций.
Теоремы дифференциального исчисления являются обоснованием
такой важной области приложения производных, как исследование
функций. Студенты должны знать формулировки этих теорем, четко
различая в них условие и заключение.
В учебнике приведена схема исследования функции для нахождения
ее характерных точек и особенностей, по которым можно построить ее
график ([1, или 6, или 3, § 8.8]). Выполнение пункта 60 этой схемы,
связанного с нахождением интервалов выпуклости функции и точек
перегиба, не обязательно.
Тема 11. Дифференциал функции
Понятие дифференциала функции. Геометрический смысл
дифференциала. Свойства дифференциала. Инвариантность формы
25
дифференциала первого порядка. ([1или 6, § 9.1, 9.2]; [2 или 7, гл. 9]; [3, §
7.7 – 7.9, 7.13] или [5, §3.7 – 3.9, 3.13]).
Дифференциал функции y = f (x) – главная, линейная (относительно
приращения Δx аргумента) часть приращения функции – равен
произведению производной на дифференциал независимой переменной,
т.е. dy= f  (x)dx. Геометрический смысл дифференциала рассмотрен в ([1
или 6, § 9.1] или [3, § 7.4]).
Операция нахождения дифференциала сводится к нахождению
производной и также называется дифференцированием функции.
Важное свойство дифференциала первого порядка – инвариантность
его формы ( или формулы). Это означает, что дифференциал функции
y = f (u) есть dy = f  (u)du и не зависит от того, является ли u независимой
переменной или функцией. Свойство инвариантности формы
дифференциала используется далее в интегральном исчислении.
Тема 12. Функции нескольких переменных
Функции двух и нескольких переменных. Частные производные и
техника дифференцирования. Экстремум функции двух переменных и его
необходимое условие. Понятие об эмпирических формулах и методе
наименьших квадратов. Построение методом наименьших квадратов
линейной функции по эмпирическим данным (вывод системы нормальных
уравнений) ([1 или 6, § 15.1, 15.3, 15.6, 15.9]; [2 или 7, § 15.1 – 15.4], или [3,
§ 9.1, 9.3, 9.7, 9.10, 9.12 – 9.15], или [5, §5.1, 5.3, 5.7, 5.10, 5.12 – 5.15]).
Фактически мы ограничиваемся рассмотрением функции двух
переменных. Для успешного усвоения этого раздела рекомендуется
использовать метод аналогии с функциями одной переменной, хотя с
увеличением числа переменных возникают существенные качественные
отличия. Область определения функции двух переменных изображается
множеством точек плоскости, а график – некоторой поверхностью в
трехмерном пространстве ([1 или 6, пример 15.2] или [3, пример 9.2]).
В определении частной производной функции по одной из
переменных используется понятие частного приращения, а в остальном
оно сходно с определением производной функции одной переменной.
Обратите внимание на способы обозначения частных производных.
Техника дифференцирования функции двух (нескольких) переменных
использует те же правила и приемы, которые применялись при
нахождении производных функций одной переменной.
Для экстремума функции двух переменных формулируется
определение и необходимое условие его существования ([1 или 6, § 15.6]
или [3, § 9.7]), которые не являются достаточными.
26
Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов
имеет большое прикладное значение, в том числе в статистических и
экономических исследованиях. Так как эмпирическая формула включает
неизвестные параметры, то критерий, согласно которому она получается,
является функцией этих параметров (функцией нескольких переменных).
Параметры подбираются таким образом, чтобы критерий принял
оптимальное (минимальное) значение. Возникает задача нахождения
экстремума функции нескольких переменных – этим и объясняется
рассмотрение в данном разделе метода наименьших квадратов.
Полученная методом наименьших квадратов эмпирическая формула
является приближением таблично заданной функции.
Следует отметить, что погрешность построенного приближения f(x)
n
оценивается величиной δ  1  δ2i , где δi  f xi   yi , а n – число табличных
n
i 1
значений (xi, yi). Используя полученное приближение, можно найти
значения функций в точках, которые отличаются от табличных и лежат
внутри отрезка (x1, xn) (интерполяция) или вне его (экстраполяция).
Раздел V. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Тема 13. Неопределенный интеграл
Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Свойства
неопределенного интеграла (с доказательством). Таблица основных
интегралов. Интегрирование методом разложения, замены переменной и
по частям. Понятие о «неберущихся» интегралах ([1 или 6, § 10.1 – 10.5,
10.8]; [2 или 6, § 10.1 – 10.3, 10.5], или [3, § 10.1 – 10.6, 10.9 – 10.11], или
[5, §6.1 – 6.6, 6.9 – 6.11]).
Следует обратить внимание на то, что интегрирование вводится как
операция, обратная дифференцированию, но в отличие от последнего
приводит к неоднозначному результату: для любой непрерывной функции
f (x) имеется бесконечное множество первообразных. Они отличаются друг
от друга лишь на постоянное слагаемое.
Доказательства основных свойств неопределенного интеграла
получены исходя из определения первообразной. Правильность
интегрирования можно проверить дифференцированием; этот прием
следует использовать для проверки решения соответствующих примеров в
контрольной работе.
Под непосредственным интегрированием понимают нахождение
неопределенного интеграла путем преобразования его к табличному с
27
помощью основных правил интегрирования и тождественных
преобразований подынтегральной функции.
Обратите внимание на свойство, связанное с линейным
преобразованием аргумента ([1 или 6, формула (10.17)] или [3, формула
(10.19)]), так как это простейшее из свойств, которое часто применяется
при непосредственном интегрировании. Используя его, можно свести к
табличным ряд интегралов.
Метод подстановки, или метод замены переменной, – один из
основных приемов интегрирования функций. Следует обратить внимание
на то, что можно использовать подстановки двух видов:
а) переменная интегрирования x заменяется функцией переменной t:
x   t , а dx   t dt ‒
 f x dx   f  t  t dt ;
б) новая переменная t вводится как функция переменной интегрирования x:
t   x , dt   x dx ‒
 f  x  x dx   f t dt .
Последнюю подстановку удобно применять, если подынтегральное
выражение содержит дифференциал (производную) функции  x  с
точностью до постоянного множителя.
Если интеграл, полученный после замены переменной, стал «проще»
данного (преобразован в табличный или приводящийся к табличному), то
цель подстановки достигнута.
После интегрирования функции по переменной t необходимо
вернуться к прежней переменной x, выразив t через x по формуле,
применявшейся при подстановке.
Примеры различных подстановок даны в ([1, или 6, или 3, § 10.3,
10.6]).
Практическое применение формулы интегрирования по частям ([1
или 6, или 3, § 10.4]), если оно целесообразно, связано с проблемой
правильного разбиения подынтегрального выражения на сомножители u и
dv. Отметим, что формулу интегрирования по частям, как правило, удобно
применять, если подынтегральная функция является произведением
многочлена на показательную или логарифмическую функцию ([1 или 6,
примеры 10.10 – 10.13]; [3, примеры 10.8, 10.9]).
Тема 14. Определенный интеграл
Задача о вычислении площади криволинейной трапеции.
Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Формула
Ньютона – Лейбница. Свойства определенного интеграла. Вычисление
28
определенного интеграла методом замены переменной и по частям.
Понятие о несобственных интегралах с бесконечными пределами
интегрирования. Вычисление площадей плоских фигур. Приближенное
вычисление определенного интеграла по формуле трапеций ([1 или 6, §
11.1 – 11.8, 11.10]; [2 или 7, § 11.1 – 11.4], или [3, § 11.1 – 11.8, 11.11 –
11.14], или [5, §7.1 – 7.8, 7.11 – 7.14]).
Рассматривая задачу о нахождении площади криволинейной
трапеции, нужно четко представлять, что сначала выводится формула
площади этой фигуры, а затем проводится ее вычисление.
Студент должен знать определение определенного интеграла как
предела интегральной суммы и то, что благодаря формуле Ньютона –
Лейбница ([1, или 6, или 3, формула (11.15)]) – основной формуле
интегрального исчисления – удается свести вычисление этого интеграла к
нахождению приращения любой первообразной для данной функции на
отрезке интегрирования. Следует обратить внимание на достаточное
условие интегрируемости функции на данном отрезке – непрерывность
функции на этом отрезке.
Используя метод подстановки при вычислении определенного
интеграла, нужно изменять пределы интегрирования после введения новой
переменной и вычислять интеграл, не возвращаясь к старой переменной ([1
или 6, примеры 11.3, 11.18] или [3, примеры 11.3, 11.23]).
Применяя формулу интегрирования по частям, можно находить
частное приращение первообразной uv в процессе решения, не откладывая
это действие до полного отыскания первообразной ([1 или 6, или 3,
пример 11.4]).
Понятие несобственного интеграла с бесконечными пределами
появляется как обобщение понятия определенного интеграла для случая,
когда один из пределов интегрирования или оба не ограничены, т.е. когда
подынтегральная функция определена и непрерывна на одном из
промежутков: a;, ; b или  ; . Если при этом первообразная
известна
(является
элементарной
функцией),
то
сходимость
несобственного интеграла устанавливается по определению. Если
первообразная неизвестна (неопределенный интеграл не "берется" в
элементарных функциях), то сходимость устанавливается косвенным
путем с помощью признаков сходимости. Последнее выходит за рамки
программы.
Применяя определенный интеграл для вычисления площадей
плоских фигур, мы исходим из того интуитивного утверждения, что всякая
плоская фигура, ограниченная несколькими непрерывными кривыми,
образующими замкнутый контур, имеет площадь. Следует помнить, что
"простейшей" фигурой, площадь которой выражается определенным
29
интегралом, является криволинейная трапеция. Во всех остальных случаях
фигуру нужно представить в виде сумм или разностей криволинейных
трапеций. Решение задачи на вычисление площади криволинейной
трапеции всегда начинают с построения чертежа и при этом следят за тем,
чтобы граница фигуры содержала все заданные в условии линии и точки.
(Уяснить сказанное можно, разобрав примеры, в которых вычисляются
площади различных плоских фигур) (см. ниже, раздел «Задачи для
самоподготовки»).
Формула трапеций и другие формулы для приближенного
вычисления
определенных
интегралов
используются,
когда
соответствующая первообразная не является элементарной функцией
("неберущийся" неопределенный интеграл) или когда интеграл
представляет собой трансцендентную функцию (для составления таблиц
значений таких функций).
Тема 15. Дифференциальные уравнения
Понятие о дифференциальных уравнениях. Общее и частное
решения. Задача Коши. Задача о построении математической модели
демографического процесса. Дифференциальные уравнения первого
порядка (неполные, с разделяющимися переменными, однородные и
линейные) ([1или 6, §12.1, 12.2, 12.4 – 12.6]; [2 или 7, §12.1 – 12.4], или [3,
§12.1, 12.2, 12.4 – 12.6, 12.11 – 12.14], или [5, §8.1, 8.2, 8.4 – 8.6, 8.12 –
8.15]).
1.
Во многих задачах экономики, физики, экологии встречаются
уравнения, связывающие искомую функцию одной или нескольких
переменных с производными (или дифференциалами) различных порядков
и получившие название дифференциальных уравнений. Одна из таких
задач
о
построении
простейшей
математической
модели
демографического процесса ([1или 6, или 3, пример 12.3]) рассматривается
в данной теме.
2.
Обратите внимание на то, что задача Коши – задача отыскания
частного решения дифференциального уравнения первого порядка
y  f x, y  , удовлетворяющего начальному условию y x 0   y 0 всегда
имеет решение и притом единственное. Геометрически это означает
существование единственной интегральной кривой дифференциального
уравнения, проходящей через каждую точку открытого множества, в
которой функция f x, y  определена.
30
3.
Студент должен знать основные понятия и уметь решать
дифференциальные уравнения первого порядка различных типов –
неполные, с разделяющимися переменными, однородные и линейные.
Раздел VI. РЯДЫ
Тема 16. Числовые ряды
Понятие числового ряда. Сходимость ряда и его сумма. Свойства
сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости (доказать).
Расходимость гармонического ряда. Достаточные признаки сходимости
знакоположительных
рядов:
признак
сравнения,
Даламбера.
Знакопеременные
ряды.
Признак
Лейбница
сходимости
знакочередующихся рядов. Абсолютная и условная сходимость. ([1 или 6, §
13.1–13.5]; [2 или 7, § 13.1 – 13.3], или [3, §13.1 – 13.7], или [5, §9.1 – 9.7].
При изучении данной темы студенты знакомятся с новой формой
изучения числовой последовательности. Следует уяснить, что обозначение

u
n 1
n
, или u1 + u2 + …+ un + …, – символ, который не следует смешивать с
обычной (конечной) суммой. Сумма и сходимость ряда определяется через
предельный переход. При рассмотрении ряда могут решаться задачи:
определение его суммы и исследование сходимости. Решение первой
задачи «перекрывает» и вторую, но это не всегда возможно или вызывает
значительные трудности. Решение второй задачи не менее важно, так как в
случае, если ряд сходится, его сумма существует и ее можно найти
приближенно с любой степенью точности, взяв сумму достаточного числа
его первых членов.
Нужно уяснить, что необходимый признак сходимости (для
сходящихся рядов un  0 при n   ) не является достаточным, но из
необходимого признака сходимости следует, что если предел общего члена
lim un  0 , то ряд расходится. Поэтому исследование сходимости числового
n
ряда рекомендуется начинать с вычисления предела его общего члена
(если он находится не очень сложно). Если предел окажется равным нулю,
то это означает, что ряд может сходиться. Чтобы установить, сходится ли
ряд, далее применяют достаточные признаки сходимости.
Применяя признаки сравнения, можно использовать в качестве
«эталонных» следующие ряды:
1) геометрический ряд

 aq
n 1
– сходится при |q|<1, расходится при q  1;
n 1
31
2) гармонический ряд

1
n
– расходится;
n 1
3) обобщенный гармонический ряд

1
 n
– сходится при   1; расходится
n 1
при   1.
К признаку сравнения обращаются тогда, когда признак Даламбера
показывает, что nlim

un  1
 1 . Во всех этих случаях применения достаточных
un
признаков сходимости речь идет об исследовании рядов с
положительными членами.
Говоря о сходимости знакочередующихся рядов, следует иметь в
виду два типа сходимости: абсолютную и условную. Важность этих
понятий связана с тем, что абсолютно сходящиеся ряды обладают
некоторыми свойствами конечных сумм в отличие от условно сходящихся
рядов. Решать вопрос о сходимости знакочередующегося ряда
рекомендуем в таком порядке.
1. Составить ряд из абсолютных величин членов данного
знакочередующегося ряда.
2. Исследовать сходимость полученного ряда. Может оказаться, что
этот ряд сходится. Тогда исходный ряд также сходится, и притом
абсолютно. Задача решена.
Если же составленный ряд расходится, то в этом случае о
сходимости или расходимости исходного ряда сделать вывод нельзя;
необходимо выполнить пункт 3.
3. Исследовать условную сходимость исходного знакочередующегося
ряда, например, по признаку Лейбница.
32
Вопросы для самопроверки
Часть I. Линейная алгебра
1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы.
Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами:
умножение на число, сложение, умножение матриц.
2. Определители 2, 3 и n-го порядков (определения и их свойства).
Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или
столбца.
3. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная
квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица, обратная
данной, и алгоритм ее вычисления.
4. Понятие минора k-го порядка. Ранг матрицы (определение).
Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
Пример.
5. Линейная независимость строк (столбцов) матрицы. Теорема о
ранге матрицы.
6. Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид).
Матричная форма записи такой системы. Решение системы
(определение). Совместные и несовместные, определенные и
неопределенные системы линейных уравнений.
7. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с п
переменными. Понятие о методе Жордана – Гаусса.
8. Система m линейных уравнений с n переменными. Теорема
Кронекера – Капелли. Условие определенности и неопределенности
любой системы линейных уравнений.
9. Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные
системы m линейных уравнений с n переменными. Базисное решение.
10. Система линейных однородных уравнений и ее решения. Условие
существования ненулевых решений такой системы.
11. Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические векторы).
Линейные операции над векторами (сложение, умножение вектора на
число). Коллинеарные и компланарные векторы.
12. Скалярное произведение двух векторов (определение) и его
выражение в координатной форме. Угол между векторами.
13. n-мерный вектор. Линейная комбинация, линейная зависимость и
независимость векторов.
14. Векторное (линейное) пространство. Его размерность и базис.
Теорема о существовании и единственности разложения вектора
линейного пространства по векторам базиса.
15. Скалярное произведение векторов в n-мерном пространстве.
Евклидово пространство. Длина (норма) вектора.
33
16. Ортогональные векторы. Ортогональный и ортонормированный
базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса в
евклидовом пространстве.
17. Определение оператора. Понятие линейного оператора. Образ и
прообраз векторов.
18. Матрица линейного оператора в заданном базисе: связь между
вектором х и образом у. Ранг оператора. Операции над линейными
операторами. Нулевой и тождественный операторы.
~
19. Собственные векторы и собственные значения оператора A
(матрицы А). Характеристический многочлен оператора и его
характеристическое уравнение.
20. Матрица линейного оператора в базисе, состоящем из его
собственных значений. Пример.
21. Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной формы.
Ранг квадратичной формы. Пример.
22. Квадратичная форма (канонический вид). Приведение
квадратичной формы к каноническому виду. Пример. Закон инерции
квадратичных форм.
23. Положительно и отрицательно определенная, знакоопределенная
квадратичные формы. Критерии знакоопределенности квадратичной
формы (через собственные значения ее матрицы и по критерию
Сильвестра).
24. Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух линий.
Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести).
25. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия
параллельности и перпендикулярности прямых.
26. Кривые второго порядка, их общее уравнение. Нормальное
уравнение окружности. Каноническое уравнение эллипса. Геометрический
смысл параметров окружности и эллипса.
27. Канонические уравнения гиперболы и параболы. Геометрический
смысл их параметров. Уравнение асимптот гиперболы. График обратнопропорциональной зависимости и квадратного трехчлена.
28. Общее уравнение плоскости в пространстве и его частные случаи.
Нормальный
вектор
плоскости.
Условия
параллельности
и
перпендикулярности двух плоскостей.
29. Уравнения прямой линии в пространстве как линии пересечения
двух плоскостей. Канонические уравнения прямой. Направляющий вектор
прямой. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в
пространстве.
30. Углы между двумя плоскостями, двумя прямыми, между прямой и
плоскостью. Условия их параллельности и перпендикулярности.
34
Часть 2. Математический анализ
1. Понятие функции, способы задания функций. Область определения.
Четные и нечетные, ограниченные, монотонные функции. Примеры.
2. Понятие элементарной функции. Основные элементарные функции и
их графики (постоянная, степенная, показательная, логарифмическая).
3. Предел последовательности при n   и предел функции при x   .
Признаки существования предела (с доказательством теоремы о пределе
промежуточной функции).
4. Определение предела функции в точке. Основные теоремы о
пределах (одну из них доказать).
5. Бесконечно малые величины (определение). Свойства бесконечно
малых (одно из них доказать). Бесконечно большие величины, их связь с
бесконечно малыми.
6. Второй замечательный предел, число е. Понятие о натуральных
логарифмах.
7. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Свойства
функций, непрерывных на отрезке. Точки разрыва. Примеры.
8. Производная и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к
плоской кривой в заданной точке.
9. Дифференцируемость функций одной переменной. Связь между
дифференцируемостью и непрерывностью функции (доказать теорему).
10. Основные правила дифференцирования функций одной переменной
(одно из этих правил доказать).
11. Формулы производных основных элементарных функций (одну из
формул вывести). Производная сложной функции.
12. Теоремы Ролля и Лагранжа (без доказательства). Геометрическая
интерпретация этих теорем.
13. Достаточные признаки монотонности функции (один из них
доказать).
14. Определение экстремума функции одной переменной.
Необходимый признак экстремума (доказать).
15. Достаточные признаки существования экстремума (доказать одну
из теорем).
16. Понятие асимптоты графика функции. Горизонтальные, наклонные
и вертикальные асимптоты. Примеры.
17. Общая схема исследования функций и построения их графиков.
Пример.
35
18. Функции нескольких переменных. Примеры. Частные производные
(определение). Экстремум функции нескольких переменных и его
необходимые условия.
19. Понятие об эмпирических формулах и методе наименьших
квадратов. Подбор параметров линейной функции (вывод системы
нормальных уравнений).
20. Дифференциал функции и его геометрический смысл.
Инвариантность формы дифференциала 1-го порядка.
21. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его
свойства (одно из свойств доказать).
22. Метод замены переменной в неопределенном интеграле и
особенности применения этого метода при вычислении определенного
интеграла.
23. Метод интегрирования по частям для случаев неопределенного и
определенного интегралов (вывести формулу). Примеры.
24. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Свойства
определенного интеграла.
25. Теорема о производной определенного интеграла по переменному
верхнему пределу. Формула Ньютона–Лейбница.
26. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
интегрирования. Интеграл Пуассона (без доказательства).
27. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного
интеграла. Примеры.
28. Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное
решения. Задача Коши. Задача о построении математической модели
демографического процесса.
29. Простейшие дифференциальные уравнения 1-го порядка
(разрешенные
относительно
производной,
с
разделяющимися
переменными) и их решение. Примеры.
30. Однородные и линейные дифференциальные уравнения 1-го
порядка и их решения. Примеры.
31. Определение числового ряда. Сходимость числового ряда. Свойства
сходящихся рядов. Примеры.
32.
Необходимый
признак
сходимости
рядов
(доказать).
Гармонический ряд и его расходимость.
33. Признаки сравнения для знакоположительных рядов. Примеры.
36
34. Признак Даламбера сходимости знакоположительных рядов.
Пример.
35. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница сходимости
знакочередующихся рядов. Пример.
36. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов.
Пример.
Задачи для самоподготовки
Ниже приводятся номера рекомендуемых задач с решениями и для
самостоятельного выполнения по учебникам1 [1 или 6], практикумам [2
или 7], учебнику [3] или учебникам [4 и 5], рассматриваемых в качестве
основной литературы.
Студентам рекомендуется в первую очередь разобрать большинство
(часть) задач с решениями (их номера выделены жирным шрифтом).
Задачи для самостоятельного выполнения (их номера набраны обычным
шифром) решать выборочно (в зависимости от лимита времени –
например, каждую вторую задачу из списка задач по теме, или каждую
третью, и т.д.).
Кроме того, уровень усвоения материала можно проверить по
приводимым в практикуме [2 или 7], учебниках [3] или [4 и 5]
тематическим и итоговым контрольным заданиям и тестам, решая задания
в соответствии с учебно-программным материалом по каждой теме.
В учебниках [1,5,], учебнике (с практикумом) [3] и практикумах [2,7] отражен полностью
соответствующий учебный материал дисциплины, в учебнике (с практикумом) [4] ‒ только часть 1
«Линейная алгебра», в учебнике (с практикумом) [5] ‒ только часть 2 «Математический анализ».
1
37
Тема
Номер задач
По учебнику
[1] или [6]
1
2
1.1 – 1.13
1. Матрицы
и
определители
2.Системы
линейных
уравнений
1.14 –1.20,1.22–
– 1.29
2.1 – 2.7, 2.10
2.11, 2.12, 2.15– 2.19,
2.21 –2.26
3.1 – 3.3
3. Векторные
пространства
3.14 –3.20, 3.22, 3.24,
3.26 – 3.36
3.5, 3.7, 3.8
4. Линейные
операторы
3.24, 3.26, 3.27– – 3.30
3.9 – 3.12
5.Квадратичные
формы
6. Элементы
3.31 – 3.35
4.2, 4.3, 4.5,
4.7 – 4.12
По практикуму
[2] или [7]
По учебнику [3]
3
4
Ч а с т ь 1. Л И Н Е Й Н А Я А Л Г Е Б Р А
РАЗДЕЛ I. Элементы матричного анализа
1.1 – 1.5, 1.24 – 1.27, 1.51 –
1.1 – 1.6, 1.8 – 1.15; 1.37 – 1.39,
–1.53
1.68 – 1.70
1.6 – 1.23, 1.29 – 1.50, 1.54 –
1.16 –1.29, 1.40 –1.48, 1.51– –
–1.65, 1.77 – 1.84
1.57, 1.60 – 1.67, 1.71 – 1.87
2.1 – 2.4, 2.29, 2.35, 2.36
2.1 – 2.5, 2.8 – 2.11
2.6 – 2.32 (четные), 2.38 –
2.14 – 2.42 (четные), 2.46 – –2.49,
–2.48 (четные), 2.67 – 2.70,
2.52 – 2.58 (четные), 2.62–2.77
2.72, 2.74
3.1, 3.2, 3.24 – 3.26а, 3.29
3.1 – 3.3, 3.7– 3.12, 3.14– 3.17,
3.37, 3.38, 3.42
3.5 – 3.9, 3.11, 3.14, 3.37–
3.18, 3.19, 3.22, 3.26, 3.27, 3.30,
3.43, 3.52, 3.53, 3.130, 3.131, 3.50−3.55a, 3.56, 3.57, 3.65, 3.66
3.133, 3.137a, 3.138
3.54 – 3.56
3.5, 3.7, 3.8, 3.67 – −3.69, 3.84,
3.85
3.58, 3.59, 3.64 – 3.66, 3.140,
3.71, 3.72, 3.77 –
3.142
–3.79, 3.87 –3.92, 3.95, 3.96
3.80, 3.90, 3.92, 3.93,
3.10 – 3.12, 3.108 – 3.110
3.94 – 3.100, 3.104 – 3.120
(четные), 3.144 – 3.146
3.111 –3.122, 3.124−3.138
(четные)
РАЗДЕЛ II. Элементы аналитической геометрии
4.1 – 4.5, 4.7. 4.47 – 4.54
4.2, 4.3, 4.5, 4.7 – 4.11, 4.18, 4.59
– 4.62, 4.108 – 4.111, 4.113
По учебнику [4]- часть 1
По учебнику [5]- часть 2
5
[4], 1.1 – 1.6, 1.8 – 1.15; 1.37 – 1.39,
1.68 – 1.70
[4], 1.16 –1.29, 1.40 –1.48, 1.51–
– 1.57, 1.60 – 1.67, 1.71 –1.87
[4], 2.1 – 2.5, 2.8 – 2.11
[4], 2.14 – 2.42 (четные), 2.46 – –
2.49, 2.52 – 2.58 (четные), 2.67–2.73
[4], 3.1 – 3.3, 3.12–
–3.16, 3.20–3.23, 3.43, 3.44, 3.69
[4], 3.24, 3.25, 3.28, 3.32, 3.33, 3.36,
3.55–3.59а, 3.60, 3.61, 3.75, 3.76
[4], 3.5, 3.7, 3.8, 3.67 – 3.69, 3.84,
3.85
[4], 3.71, 3.72, 3.77 –3.79, 3.87 –
3.92, 3.95, 3.96
[4], 3.14 – 3.16, 3.18, 3.134, 3.135,
3.137
[4], 3.138 – 3.149, 3.155 – 3.169
(четные)
[4], 4.2, 4.3, 4.5, 4.7 – 4.11, 4.18, 4.59
– 4.62, 4.108 – 4.111, 4.113
аналитическо
й
геометрии
п
р
о
и
з
в
о
д
н
о
й
4.15 – 4.19, 4.21, 4.22–
4.24, 4.26–4.30, 4.31
4.23 – 4.26, 4.28 – 4.31, 4.34
– –4.43, 4.58 – 4.63, 4.66,
4.70, 4.72, 4.79 – 4.81, 4.83
4.36 – 4.38, 4.40 – –4.43, 4.45–
4.55, 4.68 – 4.76, 4.79, 4.84, 4.85.
4.88, 4.92 – 4.94, 4.96, 4.114,
4.115, .117, 4.119 – 4.128
[4], 4.36 – 4.38, 4.40 –4.43, 4.45–
4.55, 4.68 – 4.76, 4.79, 4.84, 4.85.
4.88, 4.92 – 4.94, 4.96, 4.114, .115,
4.117,4.119–.128
Ч а с т ь 2. М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й А Н А Л И З
7.Функции
5.1, 5.5 – 5.7
8. Пределы и
непрерывность
6.1 – 6.3, 6.5, 6.6, 6.8 –
6.11, 6.13, 6.14
6.18, 6.20 –6.27, 6.33–
6.36, 6.38– 6.41
9.
Производная
7.1 – 7.8, 7.10, 7.13,
7.15 – 7.17
7.20 – 7.29,7.35, 7.42,
7.43, 7.46– 7.49
10.
Приложение
8.1– 8.3,8.4–8.7, 8.9,
8.11 – 8.15, 8.17
8.19–8.34, 8.41– 8.53
РАЗДЕЛ III. Введение в анализ
5.1, 5.4, 5.6, 5.7а
5.1, 5.2, 5.6 – 5.8, 5.12, 5.15
5.12 – 5.16, 5.22 – 5.26,
5.16 – 5.19, 5.23 – 5.31, 5.46, 5.47
5.36, 5.37
6.1 – 6.6, 6.12 – 6.17, 6.45,
6.1 – 6.3, 6.5, 6.6, 6.8 –
6.46, 6.68, 6.69, 6.97 – 6.99,
– 6.11, 6.81, 6.155
6.168, 6.169
6.7 – 6.9, 6.11, 6.18 – 6.23,
6.12 – 6.79, 6.110 – 6.132, 6.146 –
6.25 – 6.27,6.30 –– 6.34,
6.153, 6.156 –
6.36– – 6.39, 6.43, 6.44, 6.47
– 6.165
– 6.67, 6.70 – 6.96, 6.100 –
6.120, 6.170 – 6.175
РАЗДЕЛ IV. Дифференциальное исчисление
7.1, 7.2, 7.13, 7.15, 7.109,
7.1 – 7.8, 7.10, 7.19 – 7.22, 7.25,
7.110
7.105, 7.106
7.3, 7.5 – 7.8, 7.9, 7.10, 7.21,
7.26–7.51, 7.64, 7.65, 7.90 – –
7.25, 7.26, 7.28 – 7.31, 7.34 – 7.100, 7.107–7.115, 7.117– – 7.119
–7.37, 7.41, 7.42 – 7.46, 7.48,
7.53, 7.54, 7.113 – 7.115,
7.122 – 7.127
8.1, 8.9, 8.10, 8.13, 8.14,
8.1 – 8.8, 8.10, 8.12 – 8.17, 8.25,
8.35, 8.36, 8.38 – 8.40, 8.94 – 8.26, 8.28 – 8.30, 8.51, 8.52, 8.54 –
8.97
8.56, 8.110 –
–8.113
8.4 – 8.6, 8.15 – 8.22, 8.25,
8.20–8.23, 8.31 – 8.38, 8.41, 8.43–
[5], 1.1, 1.2, 1.6 – 1.8, 1.12, 1.15
[5], 1.16 – 1.19, 1.23 – 1.31, 1.46,
1.47
[5], 2.1 – 2.3, 2.5, 2.6, 2.8 –
– 2.11, 2.81, 2.155
[5], 2.12 – 2.79, 2.110 – 2.132, 2.146
– 2.153, 2.156 –
– 2.165
[5], 3.1 – 3.8, 3.10, 3.19 – 3.22, 3.25,
3.105, 3.106
[5], 3.26–3.51, 3.64, 3.65, 3.90 – –
3.100, 3.107–3.115, 3.117– – 3.119
[5], 4.1 – 4.8, 4.10, 4.12 – 4.17, 4.25,
4.26, 4.28 – 4.30, 4.51, 4.52, 4.54 –
4.56, 4.110 –
–4.113
[5], 4.20–4.23, 4.31 – 4.38, 4.41,
39
8.27 – 8.30, 8.41, 8.52, 8.55 –
–8.57,8.69 – 8.71, 8.75 –
8.77, 8.100 – 8.102, 8.105,
8.106, 8.108 – 8.118, 8.120,
8.121, 8.123, 8.124
9.1, 9.2, 9.6
9.7 – 9.12, 9.13 – 9.17
8.46,8.57–8.73, 8.75, 8.77 – 8.79,
4.43–4.46,4.57–4.73, 4.75, 4.77 –
8.81, 8.82,8.84 – –8.87, 8.89, 8.91–
4.79, 4.81, 4.82,4.84 – –4.87, 4.89,
8.94, 8.116 – 8.118, 8.121, 8.122,
4.91– 4.94, 4.116 – 4.118, 4.121,
8.124 – 8.134, 8.136, 8.137, 8.139,
4.122, 4.124 – 4.134, 4.136, 4.137,
8.140
4.139, 4.140
11. Дифферен9.1, 9.3, 9.5
7.12 – 7.14, 7.16, 7.120
[5], 3.12 – 3.14, 3.16, 3.120
циал
9.6 – 9.12
7.122 – 7.125, 7.127, 7.128, 7.130,
3.122 – 3.125, 3.127, 3.128, 3.130,
функции
7.132, 7.134 – 7.138, 7.140, 7.141
3.132, 3.134 – 3.138, 3.140, 3.141
15.7, 15.9, 15.13
15.1 – 15.3, 15.27, 15.88 –
9.1, 9.2, 9.6 – 9.9, 9.13 –
[5], 5.1, 5.2, 5.6 – 5.9, 5.13 –
12. Функция
–15.90
– 9.15, 9.40, 9.41, 9.69 –
– 5.15, 5.40, 5.41, 5.69 –
нескольких
–
9.71,
9.101
–
9.103
– 5.71, 5.101 – 5.103
переменных
15.23 – 15.32, 15.39,
15.6 –15.11,15.14–15.19,
9.19 – 9.24, 9.44–9.51, 9.75– –
[5], 5.19 – 5.24, 5.44–5.51, 5.75– –
15.40
15.31, 15.33–15.36, 15.38,
9.78, 9.80 – 9.88, 9.104 –
5.78, 5.80 – 5.88, 5.104 –
15.91 – 15.98
– 9.109
– 5.109
РАЗДЕЛ V. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения
10.1–10.4,10.6 – –
10.1, 10.19, 10.20, 10.73,
10.1 – 10.4, 10.6 – 10.8, 10.10,
[5], 6.1 – 6.4, 6.6 – 6.8, 6.10, 6.12 –
13. Неопреде10.11, 10.13, 10.14,
10.105, 10.106, 10.132
10.12 – 10.14, 10.19, 10.41, 10.42,
6.14, 6.19, 6.41, 6.42, 6.95, 6.155
ленный
10.18а, 10.23, 10.24а,
10.95, 10.155
интеграл
10.25 – 10.27
10.33 – 10.39, 10.41 –
10.2 – 10.4, 10.6 – 10.10,
10.20 – 10.22, 10.24 – 10.32, 10.35
[5], 6.20 – 6.22, 6.24 – 6.32, 6.35 –
10.45, 10.47 – 10.54,
10.13 – 10.15, 10.18, 10.21,
– 10.37, 10.43, 10.44,
6.37, 6.43, 6.44, 6.46,6.47,6.50–6.56,
10.56 – 10.59, 10.61,
10.22, 10.24, 10.25, 10.28 –
10.46,10.47,10.50–10.56, 10.59,
6.59, 6.60, 6.64 – 6.78, 6.80–[5], [5],
10.63 –
– 10.34,10.37,10.38,10.42–
10.60, 10.64 – 10.78, 10.80–
6.87,6.97 – 6.107,
– 10.65, 10.68 –
–10.56, 10.58 – 10.65, 10.75
10.87,10.97 – 10.107,
6.114,6.115,6.118,6.125, 6.126, 6.156
– 10.70
– 10.81, 10.84, 10.85, 10.92,
10.114,10.115,10.118,10.125 –
– 6.161, 6.163 – 6.167
10.93, 10.96, 10.103, 10.104, 10.126, 10.156 – 10.161, 10.163 –
10.107, 10.116,10.117,
10.167
10.133, 10.135 –10.136,
10.138, 10.140, 10.141
14.
11.1–11.7,11.10, 11.11,
11.1, 11.30, 11.73, 11.91
11.1 – 11.7,11.13, 11.14, 11.16,
[5], 7.1 – 7.7, 7.13, 7.14, 7.16, 7.23,
14. Опреде11.18 ––11.22
11.23, 11.55, 11.112, 11.136
7.55, 7.112, 7.136
ленный
11.25 – 11.30, 11.32 –
11.2 – 11.12, 11.14, 11.21,
11.24 – 11.38, 11.40, 11.47, 11.48, [5], 7.24 – 7.38, 7.40, 7.47, 7.48, 7.51
40
интеграл
11.35, 11.37 – 11.39,
11.41 – 11.52, 11.57,
11.59
15. Дифференциальные
уравнения
12.2–12.5, 12.8– –
12.13
12.25 – 12.36, 12.30 –
12.48
16. Числовые
ряды
13.1 – 13.12, 13.14,
13.15
13.16 – 13.40, 13.42 –
13.45
11.22, 11.25, 11.26, 11.27,
11.51 – 11.53, 11.55а, 11.61 –
11.29, 11.36 – 11.41, 11.43 –
11.66, 11.68 – 11.80, 11.82 –
–11.45, 11.47 – 11.51, 11.75,
11.86, 11.114 –
11.76 – 11.78, 11.81, 11.82,
–11.124, 11.126, 11.127, 11.133,
11.92, 11.93 – 11.95
11.137 – 11.140
12.1 – 12.4, 12.15, 12.16,
12.1– 2.4, 12.8–12.13, 12.29––
12.31, 12.32, 12.45, 12.46
12.32, 12.43, 12.59, 12.73
12.5 – 12.10, 12.11, 12.12,
12.33 – 12.42, 12.45 – 12.51, 12.55
12.14, 12.17 – 12.29, 12.33 –
– 12.57, 12.61 – 12.70, 12.76,
–12.41, 12.43, 12.44, 12.48,
12.77, 12.79 – 12.82, 12.86, 12.87
12.49, 12.54, 12.58, 12.59
РАЗДЕЛ VI. Ряды
13.1 – 13.3, 13.14 – 13.16,
13.1 – 13.9, 13.11 – 13.14, 13.16,
13.68 – 13.70
13.31 – 13.33, 13.35, 13.36,
13.103, 13.105
13.4 – 13.7, 13.8 – 13.13,
13.17, 13.18 – 13.22, 13.25 – –
13.17 – 13.23, 13.25, 13.27,
13.30, 13.37– 13.50,13.53 – –
13.29 – 13.36, 13.39 – 13.50, 13.55, 13.59, 13.64 – 13.79, 13.82
13.53 – 13.55, 13.56 – 13.63,
– 13.96, 13.98, 13.101, 13.102,
13.66, 13.67, 13.71 – 13.83,
13.106 – 13.130
13.85 – 13.90
– 7.53, 7.55а, 7.61 – 7.66, 7.68 – 7.80,
7.82 – 7.86, 7.114 – 7.124, 7.126,
7.127, 7.133, 7.137 – 7.140
[5], 12.1– 12.4, 12.8–12.13, 12.32– –
12.36, 12.47, 12.73, 12.77
[5], 12.37 – 12.46, 12.49 – 12.55,
12.59 – 12.61, 12.65 – 12.74, 12.80,
12.81, 12.83 – 12.86, 12.90, 12.91
[5], 9.1 – 9.9, 9.11 – 9.14, 9.16, 9.31 –
9.33, 9.35, 9.36, 9.103, 9.105
[5], 9.17, 9.18 – 9.22, 9.25 – –9.30,
9.37– 9.50,9.53 – 9.55, 9.59, 9.64 –
9.79, 9.82 – 9.96, 9.98, 9.101, 9.102,
9.106 – 9.130
41
Методические указания по выполнению контрольных работ
В соответствии с учебным планом по дисциплине «Высшая
математика» каждый студент должен выполнить две контрольные работы
(№1 и №2) в сроки, установленные учебным графиком, по приведенным в
данном учебно-методическом пособии вариантам.
Номер варианта любой контрольной работы определяется по
последней цифре номера личного дела студента, который совпадает с
номером его зачетной книжки и студенческого билета.
Сроки представления контрольных работ на проверку указаны в
индивидуальном графике студента. Однако эти сроки являются крайними.
Чтобы работа была своевременно проверена, а при необходимости
доработана и сдана повторно, ее надлежит представить значительно
раньше указанного срока.
Если в ходе написания работы у студента появятся вопросы или
затруднения в решении задач контрольного задания, он может обратиться
в институт за консультацией (например, по электронной почте ).
При изучении учебного материала и подготовке к контрольным
работам рекомендуется использовать учебники и учебные пособия,
Интернет-ресурсы, приведенные ниже в разделе «Литература», а также
данную брошюру.
После проверки контрольная работа студента получает оценку
«Зачтено» или «Не зачтено».
Каждая контрольная работа содержит набор заданий, при
выполнении которых необходимо соблюдать следующие правила.
1. Работа должна быть выполнена в школьной тетради, имеющей
широкие (не менее 3 см) поля для замечаний рецензента.
2. На обложке тетради следует указать фамилию, имя, отчество
(полностью), факультет, направление подготовки, курс, номер личного
дела (студенческого билета), вариант контрольной (расчетноаналитической) работы, а также фамилию преподавателя, к которому
направляется данная работа на проверку.
3. Перед решением каждой задачи нужно привести (распечатать)
полностью ее условие.
4. Следует придерживаться той последовательности при решении
задач, в какой они даны в задании, строго сохраняя при этом нумерацию
примеров (задач).
5. Не допускается замена задач контрольной работы другими
заданиями.
6. Решения задач должны сопровождаться развернутыми
пояснениями, нужно привести в общем виде используемые формулы с
объяснением употребляемых обозначений, а окончательный ответ следует
выделить.
7. Чертежи к задачам (там где это возможно)
должны быть
выполнены в прямоугольной системе координат в полном соответствии с
данными условиями задач и теми результатами, которые получены.
8. В конце работы приводится список использованной литературы
(указывают автора, название, издательство, год издания), ставится дата
окончания работы и подпись.
9. Если вычисления, выполняемые при решении задач, приближенные,
то следует придерживаться правил приближенных вычислений, которые
приведены на с. 7-9, а также в учебнике [3, §5.7].
Если работа получила в целом положительную оценку («Зачтено»), но
в ней есть отдельные недочеты (указанные в тетради), то нужно сделать
соответствующие исправления и дополнения в той же тетради (после
имеющихся решений и записи «Работа над ошибками») и предъявить
доработку на экзамене.
Если оценка работы «Не зачтено», то ее необходимо в соответствии с
требованиями преподавателя частично или полностью переделать.
Повторную работу надо выполнить в той же тетради (если есть место) или
в новой с надписью на обложке «Повторная», указав фамилию
преподавателя, которым работа была ранее не зачтена. Вместе с
незачтенной работой повторную работу направить снова на проверку.
Контрольная работа не проверяется, если ее вариант не совпадает с
последней цифрой номера личного дела студента или она выполнена по
вариантам прошлых лет.
Если контрольные работы проводятся с частичным использованием
КОПР, то необходимо дополнительно представить протокол ответа
студента о работе с КОПР. Контрольные работы предъявляются на
экзамене и не подлежат возвращению после успешной сдачи экзамена.
43
ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
ВАРИАНТ 1
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 1)
Контрольная работа № 1
1. Даны матрицы
1 −2
𝐴 = (3 −1
1 −2
3
10 20 20
0) и 𝐵 = ( 5
0 20).
−10 10 10
1
Найти ранг матрицы 𝐶 = 𝐴−1 ∙ 𝐵.
2. По формулам Крамера решить систему:
2𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 0,
{ 𝑥1 − 𝑥2 − 3𝑥3 = 13,
3𝑥1 − 2𝑥2 + 4𝑥3 = −15.
3.Решить систему линейных уравнений:
𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 − 𝑥4 = 5,
{2𝑥1 + 7𝑥2 + 3𝑥3 − 5𝑥4 = 10,
3𝑥1 + 5𝑥2 + 2𝑥3 − 3𝑥4 = 7.
Найти какое-нибудь базисное решение.
4. Даны четыре вектора
a1 =(2;4; – 6); a2 =(1;3;5); a3 =(0; – 3;7); a4 =(3;2;52)
в некотором базисе. Показать, что векторы a1 , a2 , a3 образуют базис, и
найти координаты вектора a4 в этом базисе.
5. Найти собственные значения и собственные векторы линейного
 2 2
оператора А , заданного матрицей А= 
.
2 5
6. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 5 x  2 y  7  0
5 x  2 y  15  0 и уравнение его диагонали x  2 y  1  0 . Составить уравнения
остальных сторон и второй диагонали этого прямоугольника. Сделать
чертеж.
7.
Найти расстояние от плоскости
координат.
2 x  2 y  z  15
до начала
44
Контрольная работа № 2
1. Найти предел:
lim 1  2 x 
2 x 1
x2
x 0
2.

Составить

1
y  x 2  9 x  6
6
уравнения
.
касательных
к
графику
функции
в точках ее пересечения с осями координат. Сделать
чертеж.
3. Исследовать функцию y 
график.


3 x2  x 1
и построить схематично ее
x2  x 1
4. Вычислить определенный интеграл:
e

1
5 ln x  4
dx.
x
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y  x 2 , y 
8
,
x
y  x . Сделать чертеж.
6. Экспериментальные данные о переменных х и у приведены в
таблице:
xi
–1
0
2
4
7
yi
0
1
1,3
1,6
1,9
В результате их выравнивания получена функция y  3 x . Используя
метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной
зависимостью y  ax  b (найти параметры а и b). Выяснить, какая из двух
линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает
экспериментальные данные. Сделать чертеж.
7. Решить дифференциальное уравнение:
y 2  x 2 y   xyy  .
8. Исследовать сходимость ряда:
11n 5

n 7
n 1 ( n  10)13

45
ВАРИАНТ 2
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 2)
Контрольная работа № 1
1. Даны матрицы
2 1
2
2
3 1 2
−1
2
−1
𝐴=(
) и 𝐵 = (−1 1 0 −2).
1 2
3
−2 −2 2 1
0 1
2
Найти ранг матрицы 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵.
2. Методом обратной матрицы решить систему:
5𝑥1 − 2𝑥2 + 2𝑥3 = 7,
{ 4𝑥1 + 4𝑥2 − 2𝑥3 = 6,
3𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 4.
3. Определить, имеет ли однородная система
𝑥1 + 3𝑥2 − 4𝑥3 − 5𝑥4 = 0,
2𝑥 − 1𝑥2 − 7𝑥3 + 4𝑥4 = 0,
{ 1
5𝑥1 + 8𝑥2 − 19𝑥3 − 11𝑥4 = 0,
5𝑥1 + 1𝑥2 − 18𝑥3 + 3𝑥4 = 0.
ненулевое решение. Найти общее решение системы.
4. Даны четыре вектора
a1 =(4;3;–1); a2 =(5;0;4); a3 =(2;1;2); a4 =(0;12;– 6)
в некотором базисе. Показать, что векторы a1 , a2 , a3 образуют базис,
найти координаты вектора a4 в этом базисе.
и
5. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму
f(x1, x2)=3x12+ x22-x1x2 ) f(x1, x2)=x12+5x22+4x1x2
к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования
координат).
б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность
квадратичную форму
f(x1, x2, x3)=x12+ 3x22+ 4x32 +2x1x2+2x1x3 +6x2x3..
6. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину прямого
угла треугольника C 5; 3 и центр описанной окружности, если координаты
остальных вершин треугольника A 1; 9 и B7; 5 . Сделать чертеж.
7. Найти угол между плоскостью y  3 z  1 и линией пересечения
плоскостей x  3 и y  6 .
46
Контрольная работа № 2
1. Найти предел:
3
lim x
x 27
2
x 3
.
 27 x
2. Составить уравнение касательной к кривой y  ln x  1 ,
перпендикулярно прямой, образующей с положительным направлением
оси Ох угол 135°. Сделать чертеж.
3. Исследовать функцию y  x ln 2 x и построить схематично ее график.
4. Вычислить определенный интеграл:
x2  5
0 x  1 dx.
1
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y  e x , y  2 ,
x  0 . Сделать чертеж.
6. Экспериментальные данные о переменных х и у приведены в
таблице:
xi
1
2
3
4
5
yi
3,0
3,5
5,0
5,5
7,3
1
4
В результате их выравнивания получена функция y  x 2  2 . Используя
метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной
зависимостью y  ax  b (найти параметры а и b). Выяснить, какая из двух
линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает
экспериментальные данные. Сделать чертеж.
7. Решить дифференциальное уравнение:
x
4

 y 4 y  x 3 y .
8. Исследовать сходимость ряда:
5n  4 n
.

n!
n 1

47
ВАРИАНТ 3
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 3)
Контрольная работа № 1
1.Дана матрица
1
2 1
𝐴 = (3 −2 1).
1 −2 3
Найти ранг матрицы 𝐶 = 𝐴2 + 2𝐴 − 4𝐸.
2. Методом обратной матрицы решить систему:
2𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 = 12,
{ 4𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 = 11,
5𝑥1 + 5𝑥2 − 2𝑥3 = −1.
3. Определить, имеет ли однородная система
𝑥1 − 4𝑥2 + 5𝑥3 + 2𝑥4 = 0,
2𝑥 − 7𝑥2 + 2𝑥3 − 5𝑥4 = 0,
{ 1
4𝑥1 − 𝑥2 + 12𝑥3 − 𝑥4 = 0,
5𝑥1 − 18𝑥2 + 9𝑥3 − 8𝑥4 = 0.
ненулевое решение. Найти общее решение системы.
4. Даны четыре вектора
a1 =(1;3;5); a2 =(0;2;0); a3 =(5;7;9); a4 =(0;4;16)
в некотором базисе. Показать, что векторы a1 , a2 , a3 образуют базис, и
найти координаты вектора a4 в этом базисе.
5. Найти собственные значения и собственные векторы линейного
 21
оператора А , заданного матрицей А= 
 12
12 
.
31 
6. Точки A3;  2 , B 2; 1 и C4; 0 являются вершинами
треугольника ABC. Составить уравнение высоты треугольника, опущенной
из точки А на сторону ВС. Определить координаты точки Н – основания
высоты АН треугольника АВС. Сделать чертеж.
7. Определить, находятся ли точки A(2, 5,1) , B (1, 2, 0) , C (1, 2,1) и
D(2, 7, 7) на одной плоскости. Если это так, написать уравнение этой
плоскости.
48
Контрольная работа № 2
1. Найти предел:
lim( x 
x 2  4 x  5)
x 
2. Составить уравнения касательных к линиям y  x и y 
32
в
x2
точках их пересечения. Сделать чертеж.
3. Исследовать функцию y  x2  1 и построить схематично ее
x 2
график.
4. Вычислить определенный интеграл:
1
e
x
dx.
0
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y  2 x ,
y  2 x  x 2 , x  0 , x  2 . Сделать чертеж.
6. Экспериментальные данные о переменных х и у приведены в
таблице:
xi
0,5
1,0
1,5
2,5
4
yi
6,5
5,5
4,5
3,0
2,5
В результате их выравнивания получена функция y  32x  2 .
Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные
линейной зависимостью y  ax  b (найти параметры а и b). Выяснить,
какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов)
выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.
7. Решить дифференциальное уравнение:
x
2

 3xy dx  x 2 dy  0 .
8. Исследовать сходимость ряда:
(n2  6n  6)3n8
.

14n5
n 1

49
ВАРИАНТ 4
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 4)
Контрольная работа № 1
1. Решить матричное уравнение
где
и
2. По формулам Крамера решить систему:
3. Решить систему линейных уравнений:
Найти какое-нибудь базисное решение.
4. Даны четыре вектора
a1 =(2;3;7); a2 =(3;–2;4); a3 =(–1;1;–1); a4 =(1;1;3)
в некотором базисе. Показать, что векторы a1 , a2 , a3 образуют базис, и
найти координаты вектора a4 в этом базисе.
5. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму
f(x1, x2)=3x12–x22+4x1x2
к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования
координат).
б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность
квадратичную форму
f(x1, x2, x3)=2x12+x22+4x32 +2x1x2–4x1x3 –2x2x3.
6. Составить уравнение прямых, на которых лежат диагонали
параллелограмма, если две его стороны лежат на прямых 2 x  y  3  0 и
x  3 y  2  0 , а одна из вершин параллелограмма имеет координаты 3;  1 .
Сделать чертеж.
7. Написать уравнение плоскости, проходящей через
M (2, 1, 4) и линию пересечения плоскостей 2 x  y  4 z  2 и z  1 .
точку
50
Контрольная работа № 2
1. Найти предел:
 7x  5 
 x

lim
x   7  9 
7 x 5
2. Написать уравнение касательной к параболе y  x 2  1 ,
пересекающей
ось абсцисс в точке x 0  1,875 и не имеющей общих точек с третьей
координатной четвертью. Сделать чертеж.
3. Исследовать функцию y  e 2 x x и схематично построить ее график.
2
4. Вычислить определенный интеграл:
1
e
x3
x 5 dx.
0
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y  3  2 x  x 2
, y  x  1 , y  0 . Сделать чертеж.
6. Экспериментальные данные о переменных х и у приведены в
таблице:
xi
4
5
6
7
8
yi
–5,5
–5
–1
7
13
В результате их выравнивания получена функция y  x 2  7 x  6 .
Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные
линейной зависимостью y  ax  b (найти параметры а и b). Выяснить,
какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов)
выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.
7. Решить дифференциальное уравнение:
xy   y  x 2 e x .
8. Исследовать сходимость ряда:

 (1)n
n 1
3n2
.
3n3  2
51
ВАРИАНТ 5
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 5)
Контрольная работа № 1
1. Дана матрица
Найти ранг матрицы
2. По формулам Крамера решить систему:
3. Определить, имеет ли однородная система
ненулевое решение. Найти общее решение системы.
4. Даны четыре вектора
a1 =(3;4; – 3); a2 =(2;1; – 4); a3 =(– 5;5;0); a4 =(8; – 16;17)
в некотором базисе. Показать, что векторы a1 , a2 , a3 образуют базис, и
найти координаты вектора a4 в этом базисе.
5. Найти собственные значения и собственные векторы линейного
 30 60 
оператора А , заданного матрицей А= 
.
 60 5 
6. Составить уравнения прямых, на которых лежат катеты
прямоугольного равнобедренного треугольника, если вершина прямого
угла находится в точке C 2; 5 , а гипотенуза лежит на оси абсцисс.
Сделать чертеж.
7. Найти расстояние от точки пересечения прямых x  2 y   z и
x  2 y 1 z  2


до плоскости 2 x  y  2 z  0 .
4
5
2
52
Контрольная работа № 2
1. Найти предел:
ln 1  x 
.
x 0 x 
x
lim
2. При каких значениях параметра k касательная к гиперболе y  k
x
пересекает ось абсцисс в точке x0  4 . Сделать чертеж.
3. Исследовать функцию y  ln e  x 2  и построить схематично ее
график.
4. Вычислить определенный интеграл:
.
e
x
1
dx
ln 2 x  8
.
5 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x  y  4  0 ,
y
3
, x  0 , y  0 . Сделать чертеж.
x
6. Экспериментальные данные о переменных х и у приведены в
таблице:
xi
1
3
5
7
9
yi
2,5
4,0
5,1
6,5
7,4
В результате их выравнивания получена функция y  5 x  3 .
Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные
линейной зависимостью y  ax  b (найти параметры а и b). Выяснить,
какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов)
выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.
7. Решить дифференциальное уравнение:
x 2 y   xy  1  0 .
8. Исследовать сходимость ряда:

6n 2  3
n 1
5n 4  4n  1
 (1)n
.
53
ВАРИАНТ 6
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 6)
Контрольная работа № 1
1. Даны матрицы
2 1 −2 2
2
1
2 1
𝐴=( 1 1
1 1) и 𝐵 =( 3
4 −2 2).
4 2
2 3
−2 −2 −1 1
Установить, имеет ли матрица 𝐶 = 𝐴𝑇 ∙ 𝐵 обратную.
2. Методом обратной матрицы решить систему:
2𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 = 1,
{ 6𝑥1 − 6𝑥2 + 2𝑥3 = 4,
2𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 5.
3. Решить систему линейных уравнений:
𝑥1 + 7𝑥2 + 9𝑥3 + 4𝑥4 = 8,
{ 2𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 + 5𝑥4 = 4,
5𝑥1 + 3𝑥2 + 5𝑥3 + 12𝑥4 = 8.
Найти какое-нибудь базисное решение.
4. Даны четыре вектора
a1 =(– 2;1;7); a2 =(3; – 3;8); a3 =(5;4;1); a4 =(18;25;1)
в некотором базисе. Показать, что векторы a1 , a2 , a3 образуют базис, и
найти координаты вектора a4 в этом базисе.
5. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму
f(x1, x2)=4x12+ x22–4x1x2
к каноническому виду (указать пример соответствующего
преобразования координат).
б)По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность
квадратичную форму
f(x1, x2, x3)= 2x12+x22+3x32 +2x1x2–2x1x3 –2x2x3..
6. Вычислить радиус окружности, вписанной в треугольник, у
которого две биссектрисы лежат на прямых x  y  3  0 и 2 x  y  0 , а одна
из его сторон на прямой x  4 y  1  0 . Сделать чертеж.
7. Найти угол между плоскостями x  y  2 z  7 и x  y  2 .
54
Контрольная работа № 2
1. Найти предел:
x 2 ln x
lim 2 x
.
x  e
 5x
2.
Написать
уравнение
касательных
к
гиперболе
y
6x 1
,
x3
перпендикулярных прямой 2 x  38 y  5 . Сделать чертеж.
3. Исследовать функцию y  x 2  2 x  2e x и построить схематично ее
график.
4. Вычислить определенный интеграл:
e
 ln x  x
3
dx.
1
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y  x 2 , y 
x2
,
2
y  2 x . Сделать чертеж.
6. Экспериментальные данные о переменных х и у приведены в
таблице:
xi
2
3
4
5
6
yi
2
3
4
6
8
В результате их выравнивания получена функция y  2 x . Используя
метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной
зависимостью y  ax  b (найти параметры а и b). Выяснить, какая из двух
линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает
экспериментальные данные. Сделать чертеж.
7. Решить дифференциальное уравнение:
y   y  e 2 x  x .
8. Исследовать сходимость ряда:

ln n
.
n 1 n

55
ВАРИАНТ 7
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 7)
Контрольная работа № 1
1. Даны матрицы
2
2
1
4 3
𝐴 = ( 2 −1 −2 1) и 𝐵 = ( 4
−1
1
0
3 2
−1
Найти ранг матрицы 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵.
1
1 1
−2
3 −4).
0 −2 3
2
1 −2
2. Методом обратной матрицы решить систему:
𝑥1 + 3𝑥2 + 5𝑥3 = 12,
2𝑥2 + 𝑥3 = 5,
{
4𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 8.
3. Установить, имеет ли однородная система
𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 − 2𝑥4 = 0,
𝑥 + 𝑥2 + 3𝑥3 + 4𝑥4 = 0,
{ 1
𝑥1 + 𝑥2 − 5𝑥3 − 8𝑥4 = 0,
𝑥1 + 𝑥2 − 9𝑥3 − 14𝑥4 = 0.
ненулевое решение. Найти общее решение системы.
4. Даны четыре вектора
a1 =(2;1;0); a2 =(1;–1;2); a3 =(2;2;–1); a4 =(3;7;– 7)
в некотором базисе. Показать, что векторы a1 , a2 , a3 образуют базис, и
найти координаты вектора a4 в этом базисе.
5. Найти собственные значения и собственные векторы линейного
9
оператора А , заданного матрицей А= 
 2
2 
.
6
6. Точки A 3;  2 , B0;  1 и C2; 5 являются вершинами
треугольника ABC. Определить координаты точки Н – основания медианы
АН треугольника АВС и составить уравнение медианы треугольника,
опущенной из точки А на сторону ВС. Сделать чертеж.
7. Верно ли, что прямая
2x  y  2z  9 ?
x
y z
 
4
2 3
параллельна плоскости
Если да, то найти расстояние между этими прямой и
плоскостью.
56
Контрольная работа № 2
1. Найти предел:
lim(ln x)
x
.
x 0  0
2. Написать уравнение касательной к параболе y  4 x 2  8 , параллельной
прямой, проходящей через точки (2; 3) и (7; 13). Сделать чертеж.
3. Исследовать функцию y  e x2 5  x  и построить схематично ее график.
4. Вычислить определенный интеграл:
6
х
x  2 dx.
2
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y 
x  3 , y  1 . Сделать чертеж.
x2
, x  0,
x2
6. Экспериментальные данные о переменных х и у приведены в таблице:
xi
2
4
5
6
9
yi
5,5
6
6,5
7
7,5
В результате их выравнивания получена функция y  x  4 . Используя
метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной
зависимостью y  ax  b (найти параметры а и b). Выяснить, какая из двух
линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает
экспериментальные данные. Сделать чертеж.
7. Решить задачу Коши:
e x y   x 2  0 ; y0  0 .
8. Исследовать сходимость ряда:

 (1)n
n 1
11n
(n24  10)
57
ВАРИАНТ 8
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 8)
Контрольная работа № 1
1. Даны матрицы
2 1 1 −2
3
2 1 −2
𝐴 = ( 1 2 3 1 ) и 𝐵 = (−3 −1 4
1 ).
1
3 2 −4
−2 2 1 3
Определить, имеет ли матрица 𝐶 = 𝐴𝑇 ∙ 𝐵 обратную.
2. По формулам Крамера решить систему:
2𝑥1 + 𝑥3 = 6,
{3𝑥1 − 4𝑥2 = −2,
2𝑥2 − 𝑥3 = 2.
3. Решить систему линейных уравнений:
3𝑥1 − 2𝑥2 + 5𝑥3 + 4𝑥4 = 2;
{6𝑥1 − 4𝑥2 + 4𝑥3 + 3𝑥4 = 3;
9𝑥1 − 6𝑥2 + 3𝑥3 + 2𝑥4 = 4.
Найти какое-нибудь базисное решение.
4. Даны четыре вектора
a1 =(1;1;1); a2 =(0;2;3); a3 =(0;1;5); a4 =(2; –1;1)
в некотором базисе. Показать, что векторы a1 , a2 , a3 образуют базис, и
найти координаты вектора a4 в этом базисе.
5. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму
f(x1, x2)=–x12+3 x22+4x1x2
к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования
координат).
б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность
квадратичную форму
f(x1, x2, x3)=x12+ x22+ x32 +4x1x2+6x1x3 +4x2x3..
6.Вычислить площадь квадрата, если две его стороны лежат на
прямых 2 x  y  2  0 , 2 x  y  1  0 .
7 Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A(1, 0, 0)
параллельно векторам e1  (1, 2, 2) и e2  (3,1,5) .
58
Контрольная работа № 2
1. Найти предел:
lim
x 0
2x
.
49  3x  7
2. Написать уравнение касательных к параболе y  x 2  1 в точках
пересечения ее с параболой y  2 x 2  5x  3 . Сделать чертеж.
x2 1
, и построить схематично ее график.
x2 1
3. Исследовать функцию y 
4. Вычислить определенный интеграл:
5
x
3
2
xdx
.
 4x  4
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями xy  1, y  x 2 ,
y  4 и расположенной в первой четверти координатной плоскости.
Сделать чертеж.
6. Экспериментальные данные о переменных х и у приведены в
таблице:
xi
3
3,5
4
4,5
5
yi
–1
0
1
3
4
В результате их выравнивания получена функция y  x  32 .
Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные
линейной зависимостью y  ax  b (найти параметры а и b). Выяснить,
какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов)
выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.
7. Решить задачу Коши:
e
x



 1 y   y e 2 x  1  0 ; y0  1 .
8. Исследовать сходимость ряда:
n4



n 1  n  3 

2 n 1
.
59
ВАРИАНТ 9
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 9)
Контрольная работа № 1
1. Даны матрицы
2 1 1
−1
1
1
1
1
1
5
𝐴=(
) и 𝐵 = ( 2 −4
5
2 ).
1 4 2
−1
2 −2 −1
−2 2 1
Определить, имеет ли матрица 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵 обратную.
2. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:
2𝑥1 − 3𝑥2 + 3𝑥3 = −10,
{ 𝑥1 + 3𝑥2 − 3𝑥3 = 13,
𝑥1
+ 𝑥3 = 0.
3. Решить систему линейных уравнений.
2𝑥1 − 4𝑥2 + 3𝑥3 − 2𝑥4 = 3,
𝑥 − 2𝑥2 − 2𝑥3 − 𝑥4 = −2,
{ 1
3𝑥1 − 6𝑥2 + 5𝑥3 − 3𝑥4 = 5,
4𝑥1 − 8𝑥2 − 3𝑥3 − 4𝑥4 = −3.
Найти какое-нибудь базисное решение.
4. Даны четыре вектора a1 =(1; –1;3); a2 =(2;0;1); a3 =(3;4; –5);
a4 =(0;0;1). в некотором базисе. Показать, что векторы a1 , a2 , a3 образуют
базис, и найти координаты вектора a4 в этом базисе.
5. Найти собственные значения и собственные векторы линейного
 59 12 
оператора , заданного матрицей А= 
.
 12 66 
6. Точка M 1;  1 является центром квадрата, одна из сторон которого
лежит на прямой 3x  4 y  24  0 . Составить уравнение прямой, на которой
лежит параллельная ей сторона этого квадрата.
7. Лежат ли прямые
x 1 y  2 z

 ,
2
4
5
x 1 y  2 z
x 1 y  2

 и

 z в
3
4
2
4
4
одной плоскости? Если да, то написать уравнение этой плоскости.
60
Контрольная работа № 2
1. Найти предел;
1
lim(ln x) x .
x 
2. Написать уравнение касательной к гиперболе y  2 x  4 в точке с
x 1
ординатой, равной 4. Сделать чертеж.
3. Исследовать функцию y  xe2x и построить схематично ее график..
2
4. Вычислить определенный интеграл:
5
x
2
4
2x  1
dx.
 2x  3
y2
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x 
,
4
xy  2 , x  4 и расположенной в первой четверти координатной
плоскости. Сделать чертеж.
6. Экспериментальные данные о переменных х и у приведены в
таблице:
xi
2
2,5
3
3,5
4
yi
2,5
3
4,5
5
7
В результате их выравнивания получена функция
y  x 2  3x  4. .
Используя
метод
наименьших
квадратов,в,
аппроксимировать эти данные линейной зависимостью y  ax  b (найтити
параметры а и b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле
метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные
данные. Сделать чертеж.
7. Решить задачу Коши:
x1  y  y   y 2 ; y1  1.
8. Исследовать сходимость ряда

 (1)
n 1
n
11n  8
.
n  10
61
ВАРИАНТ 10
(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 0)
Контрольная работа № 1
1.
2.
1. Даны матрицы
2 −1 1
1
2
1
1 3
3 ) и 𝐵 = ( −2
𝐴 = ( 2 −1
).
−4
2 2
1 4 −2
2 3 −1
2 −1 −3
Определить, имеет ли матрица 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵𝑇 обратную.
2. Методом обратной матрицы решить систему:
𝑥1 + 3𝑥2 − 6𝑥3 = 12,
{3𝑥1 + 2𝑥2 + 5𝑥3 = −10,
2𝑥1 + 5𝑥2 − 3𝑥3 = 6.
3. Определить, имеет ли однородная система
2𝑥1 + 𝑥2 − 3𝑥3 + 5𝑥4 = 0,
3𝑥 − 2𝑥2 + 𝑥3 − 3𝑥4 = 0,
{ 1
𝑥1 + 4𝑥2 − 7𝑥3 + 13𝑥4 = 0,
3𝑥1 + 5𝑥2 − 10𝑥3 + 18𝑥4 = 0.
ненулевое решение. Найти общее решение системы.
4. Даны четыре вектора
a1 =(4;5;2); a2 =(3;0;1); a3 =(–1;4;2); a4 =(5;7;8).
в некотором базисе. Показать, что векторы a1 , a2 , a3 образуют базис, и
найти координаты вектора a4 в этом базисе.
5. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму
f(x1, x2)= –2x12+6 x22–8x1x2
к каноническому виду (указать пример соответствующего
преобразования координат).
б) По критерию Сильвестра исследовать на
знакоопределенность квадратичную форму
f(x1, x2, x3)=2x12 +3x32–2x1x2+4x1x3–8x2x3.
6. Найти координаты вершин углов прямоугольного
треугольника, если его катет и гипотенуза лежат на прямых
2 x  3 y  1  0 и 3 x  y  3  0 соответственно, а одна из вершин, лежащих
на этом катете, имеет абсциссу, равную 2. Сделать чертеж.
7. Написать уравнение плоскости, проходящей через начало
координат перпендикулярно прямой, проходящей через точки (2,1, 2) и
(1, 3,1) .
62
Контрольная работа № 2
1. Найти предел
lim
x  3
1  9 x 2  3x
8  x3  2 x
.
2. Написать уравнение касательной к графику функции
y  ln(1  x 2 ) в точке с абсциссой, равной 1. Сделать чертеж.
3. Исследовать функцию y  x 2 x5 и схематично построить ее график.
e
4. Вычислить определенный интеграл:
4

1

dx
x 5 x

.
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
y  x 2  2 x  2 , y  x , y  2 x  1 . Сделать чертеж.
6. Экспериментальные данные о переменных х и у приведены в
таблице:
xi
1
2
3
4
5
yi
2,4
2,1
2,0
1,2
1,5
В результате их выравнивания получена функция
y  4 30  x 2 . Используя метод наименьших квадратов,
аппроксимировать эти данные линейной зависимостью y  ax  b
(найти параметры а и b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в
смысле метода наименьших квадратов) выравнивает
экспериментальные данные. Сделать чертеж.
7.Решить задачу Коши:
y   5 y  e x ; y0  1 .
8. Исследовать сходимость ряда

 (1)n
n 1
5n
(n7  10)
63
Примеры выполнения заданий контрольных работ
Ниже приведены (с решениями) типовые варианты контрольных
работ по дисциплине «Высшая математика».
Эти варианты составлены из соответствующих задач с решениями
учебников [1 или 5], практикумов [2 или 6], учебника [3] или учебника [4],
номера которых представлены в таблице.
Решения задач типовых вариантов
№
зада
-ния
Номера задач (с решениями)
по учебникам
[1] или [5]
по практикумам
[2] или [6]
по учебнику
[4] - к.раб. № 1
по учебнику[3]
по учебнику
[5] - к.раб. № 2
Контрольная работа № 1
1.15
1
1.13
1.50
1.15
2
2.1
2.1
2.1
3
2.4
2.35
2.4
2.4
4
3.4
3.24
3.39
3.44
5
3.7
3.71
3.7
3.12
6
4.5
4.5
4.5
4.5
7
‒
4.88
4.109
4.109
2.1
64
Контрольная работа № 2
1
2
3
4
5
6
7
8
6.11и
7.15б
8.14
11.18б
11.21
15.13
12.13
13.14д
6.68
7.109а
8.96
11.1в
11.30в
15.88
12.45
13.15г
6.11г
7.105 б
8.112
11.23г
11.56в
9.101
12.73
13.32б
2.11г
3.105б
4.112
7.23г
7.56в
5.101
8.76
9.32б
65
ЛИТЕРАТУРА
Основная1
1. Высшая математика для экономистов. Учебник /под ред. Н.Ш.
Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.
2. Высшая математика для экономистов. Практикум /под ред. Н.Ш.
Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.
3. Высшая математика для экономического бакалавриата. Учебник и
практикум / под ред. Н.Ш. Кремера.– М.: Юрайт, 2014.
4. Кремер Н.Ш., Фридман М.Н. Линейная алгебра. Учебник и
практикум / под ред. Н.Ш. Кремера.– М.: Юрайт, 2014.
5. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М. Математический анализ:
Учебник и Практикум / под. ред. Н.Ш. Кремера – М.: Юрайт, 2014.
6. Математика для экономистов и менеджеров. Учебник /под ред.
Н.Ш. Кремера. – М.: Кнорус, 2015.
7. Математика для экономистов и менеджеров. Практикум /под ред.
Н.Ш. Кремера. – М.: Кнорус, 2015.
Дополнительная
8. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М. Математика для
экономистов: от Арифметики до Эконометрики. Учебно-справочное
пособие / под ред. Н.Ш. Кремера.– М.: Юрайт, 2014.
9. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., И.Г.Шандра
Математика в экономике. – М: Финансы и статистика, ИНФРА-М, 2011, ч.
1,2.
10. Сборник задач по курсу "Математика в экономике". Под ред. В.А.
Бабайцева, В.Б. Гисина.— М. : Финансы и статистика: Инфра-М, 2010.
11. Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов.
Учебное пособие. – М.: Физматлит, 2006.
12. Красс М.С., Математика для экономического бакалавриата. ‒
М.ИНФРА-М, 2011
13. Малугин В.А. Линейная алгебра. – М.: РидГрупп, 2011.
14. Малугин В.А. Математика для экономистов. Математический
анализ. Курс лекций. – М.: Эксмо, 2009.
15. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2005.
16. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х
ч. ‒. М.: Физматлит, 2009.
Студенту предлагается на выбор учебники (пособия) [1] и [2], или [3], или [4] и [5] , или [6] и [7], при
этом возможно использование указанных учебников и пособий предыдущих лет издания.
1
66
Электронные ресурсы
1. Линейная алгебра. Обзорная лекция для студентов I курса всех
направлений (http://repository.vzfei.ru ).
2. Математический анализ. Обзорная лекция для студентов I курса
всех направлений (http://repository.vzfei.ru).
3. Компьютерная обучающая программа для студентов 1 курса по
дисциплине
«Математика»
(КОПР1-М);
зарегистрирована
в
Информационно-библиотечном фонде РФ, рег. №50200000053 от
08.06.2000. Дата обновления 06.12.2010. (http://repository.vzfei.ru ). Доступ
по логину и паролю.
4. Высшая математика. Учебно-методическое пособие /под ред.
Н.Ш. Кремера – М., 2015 (электронная версия в разделе «Образовательные
ресурсы» на сайте «Финансовый университет – заочное обучение»).
(http://repository.vzfei.ru).
5. И.М Эйсымонт, Н.Ш. Кремер. Математический анализ и
линейная алгебра. Методические указания по компьютерному
тестированию – М.: Вузовский учебник, 2007 (электронная версия в
разделе
«Учебные
ресурсы»
на
портале
Финуниверситета)
(http://repository.vzfei.ru ).
6. Н.Ш. Кремер, И.М Эйсымонт. Математика. Методические
указания по проведению и выполнению контрольных работ с частичным
использованием КОПР – М.: ВЗФЭИ, 2009 (электронная версия в разделе
«Учебные ресурсы» на портале Финуниверситета)(http://repository.vzfei.ru).
7. Электронная библиотека (www.bibliotekar.ru ).
67
Содержание
Предисловие……………………………………………………………… …3
Введение ........................................................................................................5
Основные правила приближенных вычислений.....................................7
Содержание дисциплины и методические рекомендации по
ее изучению …………………………….……………………………………10
Часть 1. Линейная алгебра…………………………………………………10
Раздел I. Элементы матричного анализа……………………..………10
Тема 1.Матрицы и определители………………………………………...10
Тема 2. Системы линейных уравнений………………………………….12
Тема 3. Векторные пространства…….…………………………………. 15
Тема 4. Линейные операторы………………………………………........ 16
Тема 5. Квадратичные формы………………………………………… 17
Раздел II. Элементы аналитической геометрии………………………18
Тема 6. Элементы аналитической геометрии…..………….…………... 18
Часть 2. Математический анализ………………………………………….21
Раздел III. Введение в анализ……………………………………………21
Тема 7. Функция………………………………………………………..…21
Тема 8. Пределы и непрерывность………………………………........ 22
Раздел IV. Дифференциальное исчисление………………………… .24
Тема 9. Производная………………………………………………..... 24
Тема 10. Приложения производной……………………………….... ..25
Тема 11. Дифференциал функции…………………………………....... .26
Тема 12. Функции нескольких переменных.............................................26
Раздел V .Интегральное исчисление и дифференциальные
уравнения.................................................................................... 27
Тема 13. Неопределенный интеграл……………………..…………… 27
Тема 14. Определенный интеграл………………………………….….. 28
Тема 15. Дифференциальные уравнения…………………………….... 30
Раздел V. Ряды………………………………………………………….. 31
Тема 16. Числовые ряды………………………………………………… 31
Вопросы для самопроверки ..........................................................................33
Задачи для самоподготовки...........................................................................37
Методические указания по выполнению контрольных работ...............42
Варианты контрольных работ………………………………………...
44
Примеры выполнения заданий контрольных работ……….…………. .64
Литература.......................................................................................................66
68
Высшая математика.
Учебно-методическое пособие
69