Квадратное уравнение: 1. x 0

Квадратное уравнение: ax 2  bx  c  0 , где x – переменная;
a, b, с – числа, а 0.
Квадратное уравнение: ax 2  bx  c  0 , где x – переменная;
a, b, с – числа, а 0.
x 2  bx  c  0 – приведенное квадратное уравнение (а = 1).
x 2  bx  c  0 – приведенное квадратное уравнение (а = 1).
Решение квадратного уравнения:
Решение квадратного уравнения:
1. Неполное квадратное уравнение ax 2  c  0 (b=0)
Пример1:
ax 2  c  0;
4 x 2  3  0;
ax 2  c;
x2 
c
.
a
4 x  3;
3
x2  ;
4
2
Пример2:
4 x 2  3  0;
4 x 2  3;
3
x2   .
4
c
c
 0 , то x1, 2  
.
3
a
a
x1, 2  
.
2
c
 0 , то x  0 .
Если
3
a
Ответ: 
.
Ответ: корней нет.
c
2
 0 , то корней нет.
Если
a
2. Неполное квадратное уравнение ax 2  bx  0 (с=0)
Пример:
ax 2  bx  0;
2 x 2  5 x  0;
x(ax  b)  0;
Если
x  0 или ax  b  0;
b
x
.
a
Уравнение всегда имеет два корня.
x(2 x  5)  0;
x  0 или 2 x  5  0;
2 x  5;
x  2,5.
Ответ: 0; 2,5.
3. Неполное квадратное уравнение ax 2  0 (b=0, с=0)
Пример:
ax 2  0;
|:a
 4 x 2  0;
| : (4)
x 2  0;
x  0.
Уравнение всегда имеет
один корень.
x 2  0;
x  0.
Ответ: 0.
1. Неполное квадратное уравнение ax 2  c  0 (b=0)
Пример1:
ax 2  c  0;
4 x 2  3  0;
ax 2  c;
x2 
c
.
a
4 x  3;
3
x2  ;
4
2
Пример2:
4 x 2  3  0;
4 x 2  3;
3
x2   .
4
c
c
 0 , то x1, 2  
.
3
a
a
x1, 2  
.
2
c
 0 , то x  0 .
Если
3
a
Ответ: 
.
Ответ: корней нет.
c
2
 0 , то корней нет.
Если
a
2. Неполное квадратное уравнение ax 2  bx  0 (с=0)
Пример:
ax 2  bx  0;
2 x 2  5 x  0;
x(ax  b)  0;
Если
x  0 или ax  b  0;
b
x
.
a
Уравнение всегда имеет два корня.
x(2 x  5)  0;
x  0 или 2 x  5  0;
2 x  5;
x  2,5.
Ответ: 0; 2,5.
3. Неполное квадратное уравнение ax 2  0 (b=0, с=0)
Пример:
ax 2  0;
|:a
 4 x 2  0;
| : (4)
x 2  0;
x  0.
Уравнение всегда имеет
один корень.
x 2  0;
x  0.
Ответ: 0.
4. Универсальный способ (через дискриминант)
D  b  4ac
2
1) Если D>0, то уравнение имеет
два различных корня:
b D
x1, 2 
2a
2) Если D=0, то уравнение имеет
b
один корень: x 
2a
3) Если D<0, то уравнение
не имеет корней.
1)
4. Универсальный способ (через дискриминант)
y
D  b 2  4ac
y
x1
x1
2)
x2
x2
x
x
y
y
x1
x
x1
3)
x
3) Если D<0, то уравнение
не имеет корней.
y
y
1) Если D>0, то уравнение имеет
два различных корня:
b D
x1, 2 
2a
2) Если D=0, то уравнение имеет
b
один корень: x 
2a
1)
y
y
x1
x1
2)
x2
x2
x
x
y
y
x1
x
x1
3)
x
y
y
x
x
x
5. Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения
Пример:
Пусть x1 и x2 - корни
Проверить, являются ли числа 1 и 7
приведенного квадратного
корнями уравнения x 2  8 x  7  0 .
уравнения x 2  bx  c  0 . Тогда:
Решение.
x1  x2  c и x1  x2  b .
Для данного уравнения с  7, b  8 .
1 7  7 , 1  7  8 .
x
5. Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения
Пример:
Пусть x1 и x2 - корни
Проверить, являются ли числа 1 и 7
приведенного квадратного
корнями уравнения x 2  8 x  7  0 .
уравнения x 2  bx  c  0 . Тогда:
Решение.
x1  x2  c и x1  x2  b .
Для данного уравнения с  7, b  8 .
1 7  7 , 1  7  8 .
Ответ: числа 1 и 7 являются корнями
данного уравнения.
6. Биквадратное уравнение ax 4  bx 2  c  0 .
Пример: x 4  5 x 2  6  0 .
ax 4  bx 2  c  0;
2
Пусть x 2  t , тогда получим
a x 2   bx 2  c  0.
уравнение t 2  5t  6  0 .
Пусть x 2  t . Тогда получим новое
D  25  4  6  25  24  1 .
уравнение at 2  bt  c  0 .
5 1
Пусть t1 и t2 – корни данного
D  0, t1, 2 
, t1  3 , t2  2 .
2 1
уравнения. Возвращаясь к замене,
Если t  3 , то x 2  3, x1, 2   3 .
получим: x 2  t и x 2  t . Решим
1
2
каждое из уравнений и получим
искомые корни.
Если t  2 , то x 2  2, x1, 2   2 .
Ответ:  3 ,  2 .
Ответ: числа 1 и 7 являются корнями
данного уравнения.
6. Биквадратное уравнение ax 4  bx 2  c  0 .
Пример: x 4  5 x 2  6  0 .
ax 4  bx 2  c  0;
2
Пусть x 2  t , тогда получим
a x 2   bx 2  c  0.
уравнение t 2  5t  6  0 .
Пусть x 2  t . Тогда получим новое
D  25  4  6  25  24  1 .
уравнение at 2  bt  c  0 .
5 1
Пусть t1 и t2 – корни данного
D  0, t1, 2 
, t1  3 , t2  2 .
2 1
уравнения. Возвращаясь к замене,
Если t  3 , то x 2  3, x1, 2   3 .
получим: x 2  t и x 2  t . Решим
1
2
каждое из уравнений и получим
искомые корни.
Если t  2 , то x 2  2, x1, 2   2 .
Ответ:  3 ,  2 .