Геометрия Лобачевского – одна из неевклидовых геометрий

ГБОУ СОШ с углубленным изучением иностранных языков № 1288
имени Героя Советского Союза Надежды Викторовны Троян
Проектная работа
«Неевклидова геометрия и ее значение»
Выполнил:
ученик 10 А класса
Чуриков Сергей Юрьевич
Руководитель проекта:
учитель математики
Пласкунова Надежда Анатольевна
Москва 2015 год
1
Оглавление
Введение ......................................................................................................................... 3
Неевклидова Геометрия................................................................................................ 4
История развития геометрии .................................................................................... 4
Геометрия Лобачевского .............................................................................................. 6
Основные положения................................................................................................. 6
Модели неевклидовой геометрии............................................................................. 8
Псевдосфера ............................................................................................................ 9
Модель Клейна ........................................................................................................ 9
Модель Пуанкаре .................................................................................................. 10
Применение геометрии Лобачевского в реальной жизни....................................... 10
Мифы о геометрии Лобачевского и их опровержение ........................................ 11
Миф первый........................................................................................................... 11
Миф второй. .......................................................................................................... 12
Миф третий. ........................................................................................................... 12
Миф четвертый. .................................................................................................... 12
Миф пятый. ............................................................................................................ 13
Заключение .................................................................................................................. 13
Список литературы: .................................................................................................... 15
2
Введение
Много веков геометрия во всех своих основах казалась наукой,
совершенно застывшей в ее древних эллинских формах.
Ученых всех времен интересовало доказательство или опровержение V
постулата Евклида, одного из основных для его геометрии. В XIX веке Николай
Иванович Лобачевский одним из первых доказал возможность существования
геометрии, отличной от Евклидовой. Его идеи привели к широкой и
многообразной эволюции геометрии.
Изучение этой геометрии способствует лучшему пониманию законов
физического пространства, т.к. геометрия Евклида описывает пространство
приближенное, идеальное. Геометрия Лобачевского более точная, она учитывает
кривизну пространства-времени.
В школе мы изучаем геометрию Евклида. А живем мы в какой геометрии?
Неевклидова геометрия - это другая геометрия, отрицающая Евклидову? Как
новые геометрические идеи повлияли на развитие естествознания? Как
развиваются неевклидовы геометрии? Исследованию этих вопросов посвящен
этот проект.
В процессе работы были рассмотрены основные положения геометрии
Лобачевского, доказана её непротиворечивость, рассмотрены сферы её
применения в реальной жизни.
Для освещения основных положений изучалась специальная литература,
для доказательства непротиворечивости рассмотрены простейшие модели, на
которых справедлива геометрия Лобачевского.
3
Неевклидова Геометрия
История развития геометрии
Геометрия - одна из древнейших наук. Она возникла на Востоке (в
Ассирии, в Вавилонии, в Индии ), отвечая на потребности быта, экономических
отношений, зачаточной астрономии, имея своей задачей простейшие измерения
и вычисления. С азиатского Востока геометрия проникла в Египет, где жрецы
уже решали более серьезные задачи по измерению земельных участков,
восстановлению их границ, смываемых разливом Нила, при сооружении
пирамид, при мореплавании. Вычисления на основе измерений, которые
первоначально делались на глаз, иногда приводили к ошибочным результатам.
Исправление ошибок; разнообразие объектов и комбинаций при аналогичных
задачах привели к абстракции, к теории. Эта «детская» геометрия была
воспринята греками, но потребовалось свыше трех столетий (VII – IV вв. до
н.э.), чтобы она сложилась в цельную научную дисциплину. Каждое
предложение геометрии, установленное путем логического вывода, было
завоеванием,
освобождением
от
ненадежных
результатов
эксперимента,
примером руководящего начала философии.
Основные принципы дедуктивного построения науки впервые были
сформулированы Аристотелем. Он считал, что доказывая то или иное
утверждение, необходимо опираться на ранее доказанные. Из этого следует, что
существуют
утверждения, с которых начинается построение науки. Такие
утверждения называются аксиомами ( с греч. – достойный доверия) и не
требуют доказательств.
Основываясь на этих положениях, Евклид в III в. до н.э. создал свой труд
«Начала» (13 книг), в котором изложил массив греческой геометрии в строгой
логической
последовательности.
«Начала»
Евклида
вытеснили
все
предшествовавшие руководства по геометрии, дошли до эпохи Возрождения в
4
греческих списках и арабских переводах. В XIII в. был сделан их первый
латинский перевод с арабского. В середине XVI столетия, в связи с развитием
книгопечатания и ростом образования и научных исследований число «Начал»
на национальных языках возрастает .Их изложение было не легким, но до конца
XVIII в. «Начала» остаются единственным источником основ геометрического
познания. Веками поддерживалась вера в непререкаемые достоинства Евклида
по существу содержания, по логической системе построения «Начал».
Геометрия Евклида признавалась самым незыблемым творением научной
мысли.
При этом были математики, считавшие «Начала» пестрой смесью логики и
интуиции. Они критиковали Евклида за подмену умозаключений интуицией,
соображениями, основанными на очевидности; за определения основных
понятий геометрии (точка, линия, прямая поверхность, плоскость и т.д.);за
аксиомы и постулаты (аксиомы второго рода).
Одним из этих постулатов является знаменитый пятый ( в перечне
Евклида – последний). Он гласит: «Если сумма внутренних углов с общей
стороной, образованной двумя прямыми при пересечении их третьей, с одной из
сторон от секущей меньше 180 градусов, то эти прямые пересекаются, и притом
по ту же сторону от секущей. Обычно приводится эквивалентный этому
постулат Прокла: «В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой,
можно провести единственную прямую, параллельную данной». Постепенно изза сложности формулировки возникает предположение, что пятый постулат –
это теорема, которую Евклид не смог доказать и включил в список аксиом. До
XIX века учёные тщетно пытались доказать этот постулат методом от
противного. Их результаты не приводили к логическому противоречию с
установленными ранее предложениями, а вступали в разительное противоречие
с тем, что доступно глазу. Одни геометры отчаялись одолеть теорию
параллельных линий, а другие приходили к заключению, что постулат о
5
параллельных линиях вовсе нельзя доказать, что его отрицание не ведет к
противоречию, а является основой новой геометрической системы, отличной от
геометрии Евклида.
Окончательный ответ о недоказуемости пятого постулата был дан
Николаем Ивановичем Лобачевским.
Геометрия Лобачевского
Основные положения
Геометрия
Лобачевского
–
одна
из
неевклидовых
геометрий,
отличающаяся от евклидовой за счет V постулата(аксиомы параллельности),
которая заменяется на аксиому параллельности Лобачевского:
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней
мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не
пересекающие её.
Лобачевский в работе «О началах геометрии» (1829), своей первой
печатной работе по неевклидовой геометрии, ясно заявил, что пятый постулат не
может быть доказан на основе других посылок евклидовой геометрии, и что
допущение постулата,
противоположного
постулату
Евклида, позволяет
построить геометрию столь же содержательную и свободную от противоречий,
как и евклидова. Хотя геометрия Лобачевского развивалась как умозрительная
теория, и сам Лобачевский называл её «воображаемой геометрией», тем не
менее именно он впервые открыто предложил её не как игру ума, а как
возможную и полезную теорию пространственных отношений. Однако
доказательство её непротиворечивости было дано позже, когда были указаны её
интерпретации (модели).
6
Лобачевский
строил
свою
геометрию,
опираясь
на
основные
геометрические понятия и свою аксиому, и доказывал теоремы геометрическим
методом, подобно тому, как это делается в геометрии Евклида. Отправной
точкой доказательств служила теория параллельных линий, потому что в ней
заключается отличие геометрии Лобачевского от Евклида. Все теоремы, не
зависящие от аксиомы о параллельных, являются общими для обеих геометрий.
Они образуют абсолютную, общую геометрию. Основываясь на теорию
параллельных развивались другие разделы, такие как тригонометрия и начала
аналитической геометрии.
Приведём несколько фактов геометрии Лобачевского.
Через точку P, не лежащую на данной прямой R, проходит бесконечно
много прямых, не пересекающих R и находящихся с ней в одной плоскости;
среди них есть две крайние x, y, которые и называются параллельными прямой
R.
Угол между перпендикуляром PB из P на R и каждой из параллельных
(называемый углом параллельности) по мере удаления точки P от прямой
убывает от 90° до 0.
Параллель x с одной стороны (а y с противоположной) приближается к а, а
с другой — бесконечно от неё удаляется. Для точки, находящейся от заданной
прямой на расстоянии PB = a, Лобачевский дал формулу для угла
параллельности П(a)
, где q — некоторая постоянная, связанная с кривизной
пространства Лобачевского.
7
Если прямые имеют общий перпендикуляр, то они бесконечно расходятся
в обе стороны от него. К любой из них можно восстановить перпендикуляры,
которые не достигают другой прямой.
В геометрии Лобачевского не существует подобных, но неравных
треугольников; треугольники равны, если их углы равны.
Сумма углов всякого треугольника меньше pi и может быть сколь угодно
близкой
к
нулю.
,
где , ,
—
углы
треугольника,
пропорциональна его площади.
Из
формулы
видно,
что
треугольника, и это конечное число:
существует
максимальная
площадь
.
Длина окружности не пропорциональна радиусу, а растёт быстрее. В
геометрии Лобачевского число pi не отношение длины окружности к её
диаметру.
В геометрии Евклида нулевая кривизна пространства, а в геометрии
Лобачевского отрицательная. Что же такое кривизна?
Кривизна — собирательное название ряда количественных характеристик,
описывающих отклонение того или иного геометрического «объекта» от
соответствующих «плоских» объектов(кривая от прямой, поверхности от
плоскости и т.д.)
Модели неевклидовой геометрии
Модели геометрии Лобачевского доказали, что она непротиворечива
также, как и геометрия Евклида.
8
Сам Лобачевский основал свою аналитическую геометрию, то есть сделал
первую модель. Тем не менее, само понятие о модели прояснилось в работах
Клейна и других.
Псевдосфера
Итальянский математик Э. Бельтрами в 1868 году заметил, что геометрия
на куске плоскости Лобачевского сходна с геометрией на поверхностях
постоянной отрицательной кривизны (псевдосфере). …Если точкам и прямым на
конечном куске плоскости Лобачевского сопоставлять точки и кратчайшие
линии (геодезические) на псевдосфере и движению в плоскости Лобачевского
сопоставлять перемещение фигуры по псевдосфере с изгибанием, то есть
деформацией, сохраняющей длины, то всякой теореме геометрии Лобачевского
будет отвечать факт, имеющий место на псевдосфере. При этом длины, углы,
площади понимаются в смысле естественного измерения их на псевдосфере. Но
эта модель является локальной интерпретацией геометрии, неспособной
отобразить всю плоскость Лобачевского.
Модель Клейна
В 1871 году Клейном была создана первая полноценная модель плоскости
Лобачевского. Плоскость -
внутренность круга, прямая — хорда круга без
концов, а точкой — точка внутри круга. «Движение» - любое преобразование
круга в самого себя, переводящее хорды в хорды. Соответственно, равными
называются фигуры внутри круга, переводящиеся одна в другую такими
преобразованиями. Любое утверждение геометрии Лобачевского на плоскости есть утверждение евклидовой геометрии, относящееся к фигурам внутри круга,
лишь пересказанное в указанных терминах. Евклидова аксиома о параллельных
здесь не выполняется, так как через точку P, не лежащую на данной хорде а (то
есть «прямой»), проходит сколько угодно не пересекающих её хорд («прямых»)
(например, b, b').
9
Модель Пуанкаре
В модели Пуанкаре в круге за плоскость Лобачевского принимается
внутренность круга
в евклидовом пространстве; граница данного круга
(окружность) называется «абсолютом». Роль геодезических прямых выполняют
содержащиеся в этом круге дуги окружностей (a,b,b'), перпендикулярных
абсолюту, и его диаметры; роль движений — преобразования, получаемые
комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат
прямыми.
Также существуют другой вид неевклидовой геометрии: сферическая, в
которой
кривизна
пространства
положительная
и
которая
изучает
геометрические фигуры на поверхности сферы.
Применение геометрии Лобачевского в реальной жизни
В наши дни геометрия Лобачевского используется в космонавтике для
прокладывания
дальних
маршрутов,
вычисления
траектории
полета,
в
современной физике и во многих других естественных науках.
Хотелось бы остановиться на эволюции принципа относительности в
физике и её связи с геометрией.
Теория
относительности
–
теория,
описывающая
универсальные
пространственно-временные свойства физических процессов. Галилео Галилей,
а впоследствии и Исаак Ньютон считали, что если в двух замкнутых
лабораториях, одна из которых равномерно прямолинейно (и поступательно)
движется
относительно
другой,
провести
одинаковый
механический
эксперимент, результат будет одинаковым. То есть одинаковые опыты
протекают одинаково и при разных пространственно-временных условиях. При
таком принципе справедлива геометрия Евклида(пространство трехмерное,
10
кривизна пространства-времени не учитывается и скорость движения не
сравнима со скоростью света(мала)).До открытия электродинамики, то есть до
XIX века, этот принцип мог считаться верным, так как необходимые условия
соблюдались(изучаемые тела двигались на малых по сравнению со скоростью
света скоростях, у изучаемого пространства кривизна была нулевая).
В электродинамике, открытой как раз в XIX веке, скорости движения
частиц были гораздо больше. Назрела необходимость переосмысления принципа
относительности.
Бернхард Риман, а за ним и Кингдон Клиффорд предположили, что
некоторые физические явления обусловлены кривизной пространства, то есть
одинаковые явления в разных условиях(при различной кривизне) могут
протекать по-разному.
Не буду углубляться в историю физики. Скажу лишь, что эта гипотеза
нашла окончательное обоснование в теории относительности Эйнштейна, в
которой пространство было уже четырехмерным(четвертой мерой являлась
кривизна пространства-времени) и соответственно эта теория не могла
существовать
без
геометрии
Лобачевского.
Аксиомы
Лобачевского
выполнялись.
При помощи теории относительности были объяснены законы движения
небесных тел, явление гравитации, возникновение черных дыр, движение частиц
и многое другое. И все это было бы невозможно без геометрии Лобачевского.
Мифы о геометрии Лобачевского и их опровержение
Миф первый. Геометрия Лобачевского не имеет ничего общего с Евклидовой.
11
Не правда. Четыре постулата Евклида в данной геометрии оставлены без
изменений. Лобачевский не согласен лишь с пятым, ложность которого была им
успешна доказана.
Миф второй. В теории Лобачевского параллельные прямые пересекаются.
Это не так. Пятый постулат Лобачевского звучит так: "На плоскости через
точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не
пересекающая данную". В нем не идет речь о пересекающихся прямых. В этом
постулате лишь сказано, что существует более, чем одна прямая, проходящая
через точку, не лежащую на прямой, и не пересекающая её. Это заблуждение
появилось из-за незнания теории великого российского математика.
Миф третий. Геометрия Лобачевского - единственная неевклидова геометрия.
Это также неверно. Неевклидовых геометрий
геометрии
Лобачевского
есть
также
геометрия
довольно много. Кроме
Римана,
описывающая
пространство с положительной кривизной(на сфере).Вот в ней параллельные
прямые пересекаются. Как пример можно рассмотреть глобус. Меридианы
параллельны, но сходятся у полюсов. Вместе теории Евклида, Лобачевского и
Римана называют "три великих геометрии".
Миф четвертый. Геометрия Лобачевского не применима в реальной жизни.
Современная наука считает, что геометрия Евклида- частный случай
геометрии Лобачевского и что реальный мир можно описать точнее лишь при
помощи детища нашего соотечественника. Сильнейшим толчком к дальнейшему
развитию геометрии Лобачевского стала теория относительности Альберта
Эйнштейна, которая показала, что само пространство нашей Вселенной не
является линейным, а представляет собой гиперболическую сферу. Но ,несмотря
12
ни на что, Лобачевский всю жизнь считал свою геометрию «воображаемой»,
нереальной.
Миф пятый. Лобачевский первым создал неевклидову геометрию.
Это не совсем так. Венгр Янош Бойяи немец Карл Ф. Гаусс пришли к
подобным выводам одновременно с Лобачевским, но по разным причинам не
были замечены широкой публикой. Поэтому Николай Иванович считается
первым создателем геометрии, отличной от евклидовой. Но есть теория,
согласно которой Евклид сам создал геометрию, отличную от своей
первоначальной, самокритично опровергая 5 постулат. Подтверждением
сторонники этой теории считают то, что многие теоремы Евклид доказал , не
используя V постулат.
Заключение
В процессе работы
рассмотрены основные положения геометрии
Лобачевского, доказана её непротиворечивость, указаны некоторые сферы её
применения в реальной жизни: в физике( в частности астрономии и
космонавтике)
и многих других естественных науках. Работа
показывает
существование геометрии, отличной от Евклидовой, ее суть и развитие.
Изучая литературу я понял ,что из неевклидовой геометрии пошел новый
научный замысел. В прежние времена одна научная теория сменяла другую,
стирая прежнюю. Теперь стала действовать другая схема: теория, объясняющая
явления по существу, но все же с дефектами в отдельных пунктах, заменяется
более общей, содержащей параметры, при частных значениях которых она
возвращается к установившейся. На основе идей Н.И. Лобачевского геометрия
разрослась в огромное здание, в котором, изучаемая нами, геометрия Евклида
составляет основной камень в его фундаменте. Неевклидова геометрия почти
полностью решила задачу обоснования геометрии Евклида и дала схему
13
обоснования всякой дедуктивной науки. Неевклидова геометрия получила
применение в анализе и теории функций – одном из основных вопросов теории
познания. Она в широком смысле составляет базу важнейших учений
современной физики. Развитие неевклидовой геометрии продолжается.
Изучая математические идеи Лобачевского, я многое узнал
об этом
Человеке. Он был глубоким, стойким, необычайно трудолюбивым. Его научный
и человеческий подвиг вызывает уважение.
В моих планах – создать проспект «Знакомство с неевклидовой
геометрией» в подарок выпускнику школы при выходе в «неидеальный мир».
Поставленная перед проектом цель достигнута.
14
Список литературы:
1. Александров П. С. Что такое неевклидова геометрия. – М.: УРСС, 2007.
2. Башмакова И.Г. Как возникла геометрия. В кн. ДЭ, 2-е изд. Т.2 1964.
С.293-299.
3. Иовлев Н. Н. Введение в элементарную геометрию и тригонометрию
Лобачевского. — М.-Л.: Гиз., 1930.
4. Каган В.Ф. Лобачевский и его геометрия. – М: Гостехиздат, 1955.
5. Кадомцев С.Б. Геометрия Лобачевского и физика. – М.: Изд-во «Знание»,
1984.
6. Клайн М. Математика. Поиск истины. – М.: «Мир», 1988.
7. Кутузов Б.В. Геометрия Лобачевского и элементы оснований геометрии. –
М.: Учпедгиз, 1950.
8. Сосов Е.Н. Геометрия Лобачевского и её применение в специальной
теории относительности. – Казань: 2012.
9. Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения / 2-е изд. М.:
ГИФМЛ, 1961.
15