Раздел 1. Синтетическая геометрия проективного пространства.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФ
БУРЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики и информатики
Кафедра геометрии
Проективная геометрия.
Оглавление.
Введение. ...................................................................................................................... 4
О возникновении проективной геометрии. .............................................................. 5
Раздел 1. Синтетическая геометрия проективного пространства. ....................... 10
Глава 1. Проективное пространство в схеме Вейля. Взаимное расположение
прямых и плоскостей. ............................................................................................ 10
§1.Понятие проективного пространства. Взаимное расположение
прямых в Р2 и Р3. ............................................................................................... 10
§ 2. Модели проективного пространства. .................................................... 15
§3. Принцип двойственности. Малый принцип двойственности......... 23
§4. Теорема Дезарга. ......................................................................................... 24
ГЛАВА 2. Проективные отображения. Проективные преобразования. .......... 28
§ 1. Проективное отображение пространств. .............................................. 28
§ 2. Основная теорема о проективных отображениях. ............................. 32
§ 3. Перспективное отображение гиперплоскостей пространства.
Теорема Рейе. ..................................................................................................... 33
§ 4. Признак перспективного отображения. ............................................... 36
§ 5. Проективные преобразования прямой. Инволюция. ........................ 37
§ 6 . Проективные преобразования плоскости. Гомология. .................... 41
Раздел II. Аналитическая геометрия проективного пространства. ...................... 46
Глава I. Проективные координаты. ...................................................................... 46
§ 1. Проективный репер. Координаты точек на проективной плоскости
и на проективной прямой. .............................................................................. 46
§ 2. Уравнение прямой. Координаты прямой. ............................................ 52
§ 3. Формулы преобразование однородных координат. ........................... 56
(формулы перехода от одного репера к другому.) ..................................... 56
§ 4. Теорема Дезарга на плоскости................................................................ 61
§ 5. Сложное отношение четырёх точек на плоскости. Свойства. ......... 63
§ 6. Сложное отношение четырех прямых пучка. .................................... 69
§ 7. Полный четырёхвершинник. Гармоническая четвёрка точек. ...... 72
Глава 2. Кривые второго порядка. ....................................................................... 77
§1. Определение кривых второго порядка. Точки пересечения прямой
и кривой второго порядка на проективной плоскости. ........................... 77
§2. Классификация линии второго порядка. .............................................. 80
§ 3. Полярное соответствие относительно линии второго порядка.
Полюс и поляры................................................................................................ 82
§ 4. Конструктивное определение поляры. ................................................. 88
§ 5. Теорема Штейнера. ................................................................................... 89
§ 6. Теорема Паскаля и теорема Бриандшона. ........................................... 93
Глава 3. Аффинная, евклидова геометрия с проективной точки зрения. ........ 96
§ 1. Проективная плоскость с фиксированной прямой. ........................... 96
§2. Аффинная геометрия с проективной точки зрения. ........................... 99
§ 3. Евклидова геометрия с проективной точки зрения. ....................... 101
Система задач и упражнений. ................................................................................ 106
Проверочный тест к разделу 1. ........................................................................... 158
Проверочный тест к разделу 2. ........................................................................... 161
Итоговый тест. ......................................................................................................... 163
Заключение................................................................. Error! Bookmark not defined.
Список литературы. ................................................................................................ 168
3
Введение.
Данный учебник был разработан в рамках дипломного проекта.
Учебник предназначен для студентов механико-математических факультетов
университетов.
Задачи:
1. Подбор и систематизация научного материала для лекционных занятий.
2. Разработка системы задач и упражнений, соответствующих
теоретическому материалу.
3. Разработка и апробирование приёмов контроля знаний.
Цели:
1. Разработать электронный учебник по проективной геометрии для
студентов физико-математических факультетов.
Объект:
геометрия проективного пространства в векторном изложении по схеме
Вейля.
Предмет:
Электронный вариант учебника по проективной геометрии.
Методы исследования:
1. Теоретический метод. Анализ и обобщение научной и методической
литературы по проективной геометрии.
2. Диагностический метод, включающий в себя разработку и апробирование
тестов, анализ результатов деятельности студентов.
О возникновении проективной геометрии.
п. 1.
В XVI веке французский архитектор Ж. Дезарг (1593-1602) внес
существенный вклад в создание основ проективной геометрии. Ж. Дезарг
развил
теорию
перспективы
и
разработал
аппарат
изображений
пространственных фигур на плоскости. Дезарг присоединил к евклидовой
прямой несобственную точку ( бесконечно удаленную). Так появилась
расширенная прямая. На плоскости параллельные прямые он изображал
пересекающимися. Аналогично параллельные плоскости изображались им
пересекающимися
плоскостями.
Дезарг
получил
модель
проективной
плоскости, дополнив плоскость несобственной прямой.
Сама же проективная геометрия, как наука, возникла в первой половине
XIX века. Ее возникновение связано с именем известного французского
математика Понселе (1788-1867).Он выделил как объект изучения некоторые
особые свойства геометрических фигур, которые названы им проективными.
В начале своего возникновения проективная геометрия имела довольно
ограниченную область приложений, связанную, главным образом, с теорией
проектирования фигур в евклидовом пространстве. Несмотря на это, она
привлекла к себе внимание многих геометров. Серьезный вклад в эту теорию,
помимо Пенселе, внесли Шаль (1793-1880) и Штейнер(1793-1863).По мере
накопления фактов эта ветвь геометрии постепенно освободилась от
метрических понятий и превратилась в самостоятельную дисциплину. В конце
XIX
века
исследования
по
основаниям
геометрии
объединились
с
исследованиями по проективной геометрии, и в рамках последней возникла
глубокая
теория,
включающая
в
единую
схему
геометрии
Евклида,
Лобачевского и Римана.
5
П. 2.
Проективная геометрия развилась и выделилась в особую ветвь
геометрических знаний в первые десятилетия 19 века. Источником этого
явились потребности графики и архитектуры, развитие теории изображений в
перспективе.
Так
французский
геометр Понселе одним из первых
выделил
особые
свойства
геометрических фигур, названные им
проективными. Что это за свойства?
Пусть F- произвольная фигура в
некоторой плоскости a, b – какаялибо
другая
плоскость,
т.о.
–
произвольная точка пространства, не
принадлежащая ни одной плоскости
(a и b). Точка, отсоединенная с любой точкой М фигуры F, определяет прямую
(ОМ), пересекающую плоскость b в некоторой точке М/, которую мы будем
называть проекцией точки М (на плоскости b из центра О).
Проекции всех точек фигуры F на плоскость b составят некоторую фигуру
F/, которая называется проекцией фигуры F. Операция, с помощью которой в
данной задаче из фигуры F получена фигура F/ ,носит название центрального
проектирования из точки О. Если изменить положение точки О и плоскости b
мы получим бесконечное множество фигур (или иначе говоря, центральных
проекций фигуры F), которые в чем-то будут похожи на фигуру F, но в чем-то
и отличаться. Например, проектируя правильный треугольник, получим тоже
треугольник, но произвольной формы. Проектируя окружность, можем
получить
эллипс
или
параболу,
или
даже
гиперболу.
При
таком
проектировании не сохраняются метрические характеристики фигур (длина,
площадь и т. д. ).
Какие же свойства сохраняются? Они обычно называются инвариантами
преобразования,
каковым
в
данном
случае
является
преобразование
6
проектирования. Именно эти свойства фигур, инвариантные по отношению к
такому проектированию, Понселе назвал проективными свойствами, а предмет,
их изучающий - проективной геометрией.
Примеры инвариантных свойств.
Если фигура или объект - прямая, то после проектирования получим
1)
также прямую.
Если фигура F – коническое сечение, т.е. описывается квадратичной
2)
формой
a11 x2 + a22 y2 + a12 xy + a13 x + a23 y + a33 = 0, то проекцией точек на
коническом сечении лягут также на некоторое коническое сечение. Таким
образом, отдельные виды
конических
сечений (окружности, эллипсы,
параболы, гиперболы) в проективной геометрии не отличаются - в отличие от
аффинной, например, где эллипс всегда перейдет в эллипс.
Важной
предпосылкой
превращения
проективной геометрии в самостоятельную
дисциплину, было введение в употребление
бесконечно
удаленных
геометрических
элементов. Займемся их определением.
Пусть А – произвольная точка пространства и a – прямая, не проходящая
через точку А. Проведем плоскость a через точку А и прямую а. Рассмотрим
всевозможные прямые, проходящие через точку А и лежащие в плоскости a
(рис.2).
Установим соответствие между прямыми пучка, проходящего через А и
точками на прямой а. Например, лучу m соответствует точка M. Очевидно, что
какую бы точку на прямой a мы ни выбрали, ей всегда соответствует
определенный луч. Однако, нельзя утверждать, что
7
любому лучу соответствует точка прямой a. Действительно, возьмем луч a/,
соответствующей точки на a мы не найдем. Таким образом, соответствие
между лучами пучка и точками прямой a не является взаимно однозначными.
Это не всегда удобно при операциях проектирования. Чтобы устранить это
неудобно, условимся считать параллельные прямые, пересекающими на
бесконечности. Тогда луч а/ из пучка А, параллельный а, будет иметь на этой
прямой соответствующую точку ,но не обычную ,а называемую бесконечно
удаленной точкой. Это новый геометрический объект. Все параллельные друг
другу прямые в плоскости a имеют одну общую бесконечно удаленную точку,
поэтому систему параллельных прямых называют пучком с бесконечно
удаленным центром (рис.3).
Бесконечно удаленные точки непараллельных прямых в плоскости
считаются
различными.
Таким
образом,
каждая
плоскость
содержит
бесконечно много различных бесконечно удаленных точек. Совокупность всех
бесконечно удаленных точек плоскости называется бесконечно удаленной
прямой.
Таким образом, каждая плоскость содержит одну бесконечно удаленную
прямую.
Вполне логично совокупность всех бесконечно удаленных прямых назвать
бесконечно удаленной плоскостью.
Выводы:
множество объектов обычного евклидова пространства дополняется новыми
элементами:
1) К множеству точек каждой прямой добавляется одна бесконечно
удаленная точка;
2) К множеству прямых каждой плоскости добавляется одна бесконечно
удаленная прямая;
3) К множеству всех плоскостей пространства R3 добавляется бесконечно
удаленная плоскость.
8
Прямую, дополненную бесконечно удаленной точкой, принято называть
проективной прямой.
Проективную прямую следует представлять в виде замкнутой линии.
Плоскость,
дополненная
бесконечно
удаленной
прямой
называется
проективной плоскостью. Пространство, дополненное бесконечно удаленной
плоскостью называется проективным пространством.
Термин бесконечности иногда употребляется и в обычной, элементарной
геометрии (например, что параллельные прямые сходятся в бесконечности),но
это лишь словесное выражение, в проективной же геометрии бесконечно
удаленные
элементы
играют
такую
же
роль,
как
и
обыкновенные
геометрические образы. В обычной геометрии большую роль играет изучение
метрических свойств фигур (длины, площади, углы, объемы).
В проективной, процесс измерения теряет смысл, т. к например, один
конец отрезка может оказаться в бесконечности. Таким образом, метрические
свойства фигур не являются проективными свойствами.
9
Раздел 1. Синтетическая геометрия проективного
пространства.
Глава 1. Проективное пространство в схеме Вейля. Взаимное
расположение прямых и плоскостей.
§1.Понятие проективного пространства. Взаимное расположение
прямых в Р2 и Р3.
П.1
Определение. Пусть V- векторное пространство n + 1 измерений над
полем R вещественных чисел, а V' – множество всех ненулевых векторов этого
пространства.
Непустое
множество
Р
называется
проективным
пространством n измерений (порожденным векторным пространством V),
если задано отображение f : V' → Р , удовлетворяющее следующим условиям (
аксиомам проективного пространства):
1.
Отображение f сюръективно, т.е. любой элемент из Р имеет хотя бы
один прообраз.
2.
Равенство f (x) = f (y) выполняется тогда и только тогда, когда
векторы x и y коллинеарны.
Элементы множества Р называются точками проективного пространства и
обозначаются прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, …..,X, Y, ….
Если f (x) = X, говорят, что вектор x порождает точку X.
Замечание 1. Из аксиомы 2 следует, что множество всех векторов
пространства V, порождающих одну точку, есть одномерное векторное
пространство без нулевого вектора.
Замечание 2. Двумерное векторное пространство порождает проективную
прямую.
10
Замечание 3. Так как неколлинеарные векторы порождают различные
точки, то проективное пространство n измерений содержит бесконечное
множество точек.
П. 2
Взаимное расположение точек, прямых и плоскостей при n = 1, n = 2, n = 3.
Преобразовав
евклидово
пространство
в
проективное
и
объявив
равноправными все его точки, прямые и плоскости, мы изменили свойства
пространства; поэтому лежащие в основе проективной геометрии
аксиомы
отличаются от аксиом элементарной ( евклидовой ) геометрии.
Основными объектами, изучаемыми в проективной геометрии, являются
точки и векторы.
Рассмотрим
свойства
взаимного
расположения
точек,
прямых
и
плоскостей трехмерного проективного пространства. Эти свойства называются
свойствами связи.
Свойство 1. Через любые две точки А и В проходит одна и только одна
прямая.
 
 
■ Пусть a , b – векторы , которые порождают точки А и В. Векторы a , b
неколлинеарны, так как А и В – различные точки. Рассмотрим двумерное
векторное пространство L (a, b), натянутое на эти векторы. Прямая l,
порожденная подпространством L (a, b), очевидно проходит через эти точки
А и В.
Докажем теперь, что l - единственная прямая, проходящая через точки А и
В. Действительно, пусть l' - произвольная прямая, проходящая через точки А и
В, а L' – двумерное пространство, которое порождает прямую l'. Так как А  l' и
В  l', то a  L' и b  L' , поэтому L' – подпространство, натянутое на векторы
11
 
a , b . Таким образом, L' и L –
одно и тоже векторное подпространство, и,
следовательно, прямые l и l' совпадают. ■
Аналогично можно доказать следующее утверждение.
Свойство 2. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой,
проходит одна и только одна плоскость.
■ Проективное пространство P3 порождается четырехмерным векторным
пространством V4. В пространстве P3 произвольным образом выберем три
различные точки А, D, Е, которые порождаются соответственно векторами ā, đ,
ē векторного пространства V4.
Так как точки А, D, E – различны, то векторы ā, đ, ē являются
некомплонарными. Эти векторы образуют трехмерное векторное пространство,
которое порождает проективную плоскость P2.
Таким образом, векторы ā, đ, ē порождают точки А, D, Е, которые лежат в
плоскости P².
Докажем единственность такой плоскости.
Предположим, что точки А, D, E принадлежат плоскости P2', отличной от
плоскости
P2.
Плоскость
P2'
порождается
трехмерным
векторным
пространством V3', являющимся подпространством четырехмерного векторного
пространства V4.
Точки А, D и E порождаются соответственно векторами ā, đ и ē, которые
принадлежат трехмерному векторному пространству V3'. Но так как векторы ā,
đ, ē образуют векторное пространство V3, то V3 = V3'. Таким образом,
плоскости, порождаемые данными векторными пространствами, совпадают.■
Свойство 3. Если две точки А и В лежат в плоскости π, то прямая АВ
лежит в плоскости π, т.е. каждая точка прямой АВ лежит в плоскости π.
12
■ Пусть W – трехмерное векторное пространство, которое порождает
плоскость π, а a и b – векторы, порождающие точки А и В. При доказательстве
свойства 1) мы установили, что подпространство L (a, b) порождает прямую АВ.
Так как А  π , В  π ,то a  W и b  W, поэтому
L (a, b)  W.
Пусть М – произвольная точка прямой АВ, а m – вектор, порождающий эту
точку. Так как m L (a, b), то m  W. Отсюда следует, что М – точка плоскости π.
■
Свойство 4. Любые две прямые, лежащие в одной плоскости,
пересекаются.
■ Пусть a и b – две прямые, лежащие в плоскости σ, а L, L' и W –
векторные подпространства, которые порождают соответственно прямые a, b и
плоскость σ. Прямые a и b лежат в плоскости σ, поэтому L  W, L'  W. Так
как L и L' – различные двумерные подпространства трехмерного векторного
пространства W, то их пересечением является
одномерное векторное
подпространство. Ненулевые векторы этого подпространства порождают точку,
которая, очевидно, является общей точкой прямых a и b.
Две прямые a и b не могут иметь более чем одну общую точку, так как
через две точки проходит только одна прямая. ■
Свойство 5. На проективной прямой существует по крайней мере три
точки.
■ Пусть d – прямая, которую порождает двумерное векторное
пространство L. Предположим, что прямая d проходит через точки А и В,
 
согласно свойству 1. Тогда существуют векторы a , b , которые порождают
точки А и В. Данные векторы неколлинеарны, т. к. точки А и В различны. В
13
 

пространстве L суммой векторов a , b является вектор с , который на прямой d
порождает точку С, причем отличную от точек А и В.
Таким образом, на каждой проективной прямой имеется не менее трех
точек. ■
Свойство 6. В проективной плоскости существует три точки общего
положения.
■ Пусть W- трехмерное векторное пространство, которое порождает
 

проективную плоскость £ . Предположим, что векторы a , b и с образуют базис
 

векторного пространства W. Базисные векторы a , b и с порождают на
 

плоскости £ соответственно точки А, В и С. Так как a , b и с комплонарны,
т. е. не лежат в одной плоскости, тогда точки А, В и С различны и не лежат на
одной прямой.
Таким образом точки А, В, С – точки общего положения. ■
Свойство 7. В проективном пространстве любая плоскость и не лежащая
в ней прямая имеют одну и только одну общую точку.
■
Пусть
Ω
–
проективное
пространство,
которое
порождается
четырехмерным векторным пространством V3 . Пусть а – прямая, а £ плоскость, которые порождаются соответственно двумерным векторным
подпространством L и трехмерным векторным подпространством W. Прямая а
и плоскость £ принадлежат проективному пространству Ω. В пространстве Ώ
пересечение
подпространств
L
и
W
дает
одономерное
векторное
подпространство V'. V' порождает точку, которая принадлежит как прямой а так
и плоскости £ .
Таким образом, плоскость и не лежащая в ней прямая имеют одну и только
одну общую точку. ■
14
Свойство 8. Любые две плоскости имеют одну общую прямую, на
которой лежат все общие точки этих плоскостей. Любые две плоскости
пересекаются в проективном пространстве P3.
■
Пусть
проективное
пространство
порождается
четырехмерным
векторным пространством V4. Рассмотрим в P3 две различные плоскости α и β,
которые
порождаются
соответственно
трехмерными
векторными
пространствами V3 и V'3. Нам известно, что при пересечение трехмерных
векторных пространств образуется двумерное векторное пространство, т. е. V3
∩
V'3
=
V2.
Пространство
V2
порождает
проективную
прямую
g,
принадлежащую одновременно и плоскости α, и плоскости β. Таким образом
плоскости в проективном пространстве пересекаются. ■
§ 2. Модели проективного пространства.
Если найдено конкретное множество Р и конкретное отображение f:
V'→P, удовлетворяющие аксиомам проективного пространства, то говорят, что
построена интерпретация ( реализация ) данной системы аксиом. Само
множество Р называется моделью проективного пространства.
Определение. Таким образом моделью проективного пространства
называется конкретное множество, на котором введенным операциям дается
конкретный смысл ( закон ), так чтобы выполнялись все аксиомы
проективного пространства.
Рассмотрим некоторые модели проективной плоскости и проективного
пространства.
15
Модель № 1. Пусть А³ трехмерное аффинное пространство над векторным
пространством V. Обозначим через Р² множество всех прямых пространства А³,
проходящих через некоторую фиксированную точку О ( связка прямых с
центром в
точке О). Рассмотрим отображение f : V → P² по следующему закону:
ненулевому вектору ā из V поставим в соответствие прямую, проходящую
через точку О и параллельную вектору ā. Отображение f, очевидно,
удовлетворяет аксиомам проективного пространства, поэтому Р² - модель
проективной плоскости. В этой модели проективными точками являются
прямые связки с центром О, а проективными прямыми – множество всех
прямых, проходящих через точку О и лежащих в некоторой плоскости.
Аналогично
можно
построить
модель
трехмерного
проективного
пространства.
Модель № 2. Пусть А4 четырехмерное аффинное пространство над
векторным пространством V. Обозначим через Р³ множество всех прямых
пространства А4 проходящих через некоторую точку О. Рассмотрим
отображение f : V' → Р³ по следующему: при котором ненулевому вектору ā
ставится в соответствие прямая, проходящая через точку О и параллельная
вектору
ā.
Это
отображение
удовлетворяет
аксиомам
проективного
пространства, поэтому Р³ - модель трехмерного проективного пространства.
Проективными точками, как и в модели Р², являются прямые пространства А4
проходящие через точку О. Проективными прямыми
( плоскостями ) является множество всех прямых, проходящих через точку О и
лежащих в двумерной ( трехмерной ) плоскости пространства А4
Модель № 3. Расширенная прямая и расширенная плоскость.
А). Рассмотрим перспективное отображение U прямой а на прямую а'
(рис.4).
16
Точке А прямая а отображение U относит точку А' прямой а'; однако здесь
имеется исключение: если ОD║а', то точка D не имеет образа в отображении U.
О
D
a
B
A
E'
D'∞
E∞
A'
B'
a'
Рис.4
.
Обозначим, далее, через Е' ту точку прямой а', для которой ОЕ'║а; каждая
точка В' прямой а, отличная от Е', имеет в преобразовании U прообраз В на
прямой а; точка же Е' прообраза не имеет. Мы видим, что отображение U не
является взаимно однозначным.
Для устранения этого дефекта мы добавим к точкам каждой прямой ещё
одну несобственную точку, принимая при этом, что две параллельные прямые
имеют одну и ту же несобственную точку. Пусть D'∞ есть несобственная точка
прямой а', а Е∞ - несобственная точка прямой а; в силу указанного соглашения в
отображении U точка D'∞ будет служить образом для точки D, а Е∞ прообразом для точки Е': D'∞ = U(D), Е' = U(Е∞); отображение U стало взаимно
однозначным.
Читатель не должен думать, что тем самым мы сделали параллельные
прямые евклидовой плоскости пересекающимися; введена лишь своеобразная
терминология: вместо слов « прямые параллельные » мы будем говорить «
прямые имеют общую несобственную точку ». Как мы убедимся дальше, это
соглашение оказывается весьма целесообразным.
Две параллельные прямые имеют одно и то же направление; поэтому
можно считать также, что несобственная точка прямой есть не что иное, как её
17
направление. Таким образом, утверждение « две прямые имеют общую
несобственную точку » означает, что эти прямые имеют одно и то же
направление, т. е. параллельны.
Определение. Обычная (евклидова) прямая, дополненная несобственной
точкой, носит название расширенной прямой.
Замечание 1.
Возьмём вне проективной прямой а точку Р (рис.5) и
соединим её прямыми со всеми точками прямой а. Тогда установится взаимно
однозначное соответствие между точками проективной прямой а и прямыми
пучка с центром в точке Р (т. е. множеством всех прямых, содержащей Р и а,
которые проходят через точку Р); несобственной точке прямой а будет отвечать
при этом прямая РК║а. В пучке ни одна из его прямых не является крайней,
поэтому проективную прямую следует считать замкнутой.
Определение. Проективной прямой называется множество Р1, если
существует биективное отображение g : P1  S , где S - пучек прямых
евклидовой плоскости; Элементы множества Р1 называются точками.
Р
k
α
A
B
C
D
Рис.5.
[ Несобственную точку прямой иногда называют бесконечно удалённой.
Причина этого названия в следующем: если на рис.5 мы будем удалять точку D
18
в бесконечность, то прямая РD будет неограниченно приближаться к прямой
РК, параллельной а.]
Теорема 1. Расширенная прямая является моделью проективной прямой P1.
■ Пусть на проективной плоскости даны расширенная прямая d1 и

проективная прямая Р1,принадлежащая пучку S(О). Любому вектору х  V3
соответствует единственная прямая l, принадлежащая пучку S(О). Прямая l
проходит через точку О, параллельно вектору

х.
Рассмотрим
отображение
π,
О
которое
l
двумерному векторному пространству ставит
в соответствие проективную прямую Р1
следующему
закону
любому
по

вектору х
d'
D∞
Х
Рис.6.
ставится в соответствие точка Х, которая

является точкой пересечения расширенной прямой d1 и прямой l = О, х .

Таким образом любому вектору х , неколлинеарному направляющему вектору
прямой d1, ставится в соответствие собственная точка расширенной прямой d1.
А вектору, коллинеарному направляющему вектору прямой d1, ставится в
соответствие несобственная точка расширенной прямой d1.
Проверим выполнимость аксиом проективного пространства.
10. Докажем, что π – сюрьекция.
На самом деле, через любую точку Х расширенной прямой d1 и точку О
проходит единственная прямая l =(ОХ). Таким образом, всегда существует

вектор х , коллинеарный вектору ОХ (т.е. прямой l).

 

20. Докажем, что если х ║ у , то π( х ) = π( у ).




Пусть х ║ у , тогда прямые l = О, х и
m = О, у совпадают. Тогда
совпадают и точки, в которых эти прямые пересекают расширенную прямую d1,


таким образом, π( х ) = π( у ). ■.
19
Б) Обратимся теперь к перспективному отображению Т плоскости ω на
плоскость ω' из центра О (рис.7). проведём через точку О плоскость β,
параллельную плоскости ω'; она пересечёт плоскость ω по прямой l. Если точка
L лежат на прямой l, то прямая ОL параллельна плоскости ω'; образом точки L
в отображении Т служит несобственная точка L'∞ прямой ОL; точка L'∞
принадлежит всем тем прямым плоскости ω', которые параллельны прямой ОL,
и, следовательно, принадлежит и самой плоскости ω'.
О

L
l
K
N
Рис.7
.
Пусть LK плоскости ω перейдёт при отображении Т в прямую КN, по которой
плоскость ОLК пересекает плоскость ω'; так как ОL║ω', то по известной
теореме стереометрии прямая КN параллельна прямой ОL. Следовательно,
пучок прямых плоскости ω с центром в точке L преобразуется в множество М
прямых плоскости ω', параллельных прямой ОL. Прямые множества М
проходят все через точку L'∞; поэтому множество М надлежит назвать пучком
прямых плоскости ω' с несобственным центром L'∞. Итак, в отображении Т
пучку прямых плоскости ω с центром L соответствует в плоскости ω' пучок
прямых с центром L'∞ = Т(L).
20
Прямая l не имеет образа в отображении Т; поэтому мы должны дополнить
множество всех прямых плоскости ω' ещё одной, несобственной прямой l'∞,
принадлежащей также и плоскости β, и принять, что l'∞ = Т(l). По указанной
причине мы присоединяем к прямым каждой плоскости пространства
несобственную прямую. Параллельные друг другу плоскости имеют общую
несобственную прямую; иначе говоря, несобственная прямая есть направление
плоскости. В отображении Т образы всех точек, лежащих на прямой l, будут
несобственными точками, принадлежащими несобственной прямой l'∞.
Аналогичным образом плоскость, проведенная через точку О параллельно
плоскости ω, пересечет плоскость ω' по прямой m', для которой прообразом в
отображении Т будет служить несобственная прямая m∞ плоскости ω;
прообразы
всех
точек
прямой
m'
будут
несобственными
точками,
принадлежащими несобственной прямой m∞.Только теперь, после введения
несобственных точек и плоскостей, отображение стало, как легко проверить,
взаимно однозначным.
Евклидова плоскость после присоединения к ней несобственной прямой и
несобственных точек всех лежащих на ней прямых превращается в
проективную плоскость.
Замечание: Плоскостям всего пространства мы добавляем несобственную
плоскость и принимаем, что в ней лежат все несобственные точки и все
несобственные прямые.
В
результате
перечисленных
присоединения
к
евклидову
пространству
всех
несобственных элементов оно превращается в проективное
пространство.
Теорема.
Расширенная
плоскость
является
моделью
проективной
плоскости.
21
■. Рассмотрим расширенную плоскость £ и связку прямых и плоскостей,
проходящих через собственную точку О. Тогда V3 – трехмерное векторное
пространство, порождающее плоскость £.

Зададим отображение φ, которое любому вектору х  V3 ставит в
соответствие точка плоскости, в которой пересекает прямая связки с данным
направляющим вектором. Проверим выполнимость аксиом проективного
пространства. Покажем, что φ- сюрьекция.

Для любой собственной точки Х плоскости £ и точки О существует вектор х 
V3 ,коллинеарный вектору О Х .
Для любой несобственной точки Х∞

плоскости £ и точки О существует хотя бы один вектор х  V3 ,коллинеарный
вектору О Х  . Также не сложно доказать выполнимость второй аксиомы:




f x   f  y  когда x  y .
Таким образом, плоскость £ является моделью проективной плоскости, и
обозначается как Р2. ■
Определение. Если существует биективное отображение g : P2  S , где
S
–
связка
прямых
и
плоскостей,
при
котором
каждая
точка
A P2 отображается на прямую связки, а каждая прямая a  P2 - на
плоскость связки и сохраняется инцидентность (принадлежность), то
Р2 называется проективной плоскостью.
Модель №4. Сферическая модель.
Рассмотрим трехмерное векторное пространство V3 без
нулевого вектора и S(О) – сферу. Построим сферическую модель проективного
пространства.
■ Точка А'- диаметрально противоположная точке
О
Рис.8.
А..
Рассмотрим множество Р2 пар диаметрально
22
противоположных точек сферы., т. е. такие как (А ; А'). Введем отображение
 : V3  P2 по закону: для любого вектора

x существует единственная прямая l,

проходящая через точку О параллельно вектору x . Эта прямая пересекает
сферу в двух диагонально противоположных точках.
Докажем, что  : V3  P2 сюрьекция. Для этого рассмотрим такие точки В, В1,
что прямые (ОВ) и (ОВ1) совпадают. Тогда существует единственный вектор

x ║(ВВ1). ■.
§3. Принцип двойственности. Малый принцип двойственности.
Принцип двойственности на плоскости заключается в следующем:
Если справедливо утверждение ▲, в котором говорится о точках, прямых
на проективной плоскости и об их взаимной принадлежности, то справедливо
и так называемое двойственное предложение ▲*, которое получается из ▲
заменой слова « точка » словом « прямая » и слова « прямая » словом
« точка ».
■. Доказательство проведем на модели проективной плоскости –
расширенной плоскости.
Рассмотрим расширенную плоскость Р2, полученную путем присоединения
к аффинной плоскости А2 расширенной прямой d∞. В аффинной плоскости
верно утверждение о том, что две различные точки определяют единственную
прямую. Данное утверждение верно и на расширенной плоскости Р 2. Если на Р2
даны две бесконечноудаленные точки М∞ и N∞, то через них всегда проходит
расширенная прямая d∞, причем единственная. Если на расширенной плоскости
дана действительная точка М и бесконечноудаленная точка В, то через них
всегда проходит прямоя (МВ), и только одна. Если в данном утверждении
заменить слово «точка» на слово «прямая», а «прямую» - на «точку», то
получим двойственное утверждение: две различные прямые определяют
23
единственную точку. Как известно, данное утверждение также является
верным. ■.
Аналогично можно сформулировать принцип двойственности, который имеет
место в трехмерном векторном пространстве. Он носит название:
и большой принцип двойственности.
Большой принцип двойственности.
Принцип двойственности в пространстве заключается в следующем.
Если справедливо утверждение ▲, в котором говорится о точках, прямых
и плоскостях проективного пространства и об их взаимной принадлежности,
то справедливо и так называемое двойственное утверждение ▲* в
пространстве, которое получается из ▲ заменой слова « точка » словом «
плоскость », слова « прямая » словом « прямая », слова «плоскость» словом
«точка».
§4. Теорема Дезарга.
В проективной геометрии важную роль играют доказываемые ниже
теоремы Дезарга. Предварительно необходимо договориться о некоторых
терминах и обозначениях.
Определение. Трехвершинником называется фигура, состоящая из трех
точек, не лежащих на одной прямой, и трех прямых, соединяющих попарно
эти точки. Указанные точки называются вершинами, а прямые – сторонами
трехвершинника. Трехвершинник с вершинами А, В, С.
Обозначается так: АВС .
На проективной плоскости рассмотрим два трехвершинника АВС и А'В'С',
вершины каждого из которых заданы в том порядке, в котором они записаны.
24
Вершины А и А', В и В', С и С' будем называть соответственными, также будем
назыввать соответственными стороны АВ и А'В', ВС и В'С', СА и С'А'.
Теорема 1 ( теорема Дезарга).
Если
прямые,
проходящие
через
соответственные
вершины
двух
трехвершинников АВС и А'В'С', проходят через одну точку О, то
соответственные стороны этих трехвершинников пересекаются в точках,
лежащих на одной прямой s.
Точку О называют центром перспективы трехвершинников АВС и А'В'С',
прямую
s-
их
осью
перспективы. Поэтому теорема
Дезарга
можно
сформулировать и так: Если два трехвершинника имеют центр перспективы, то
они имеют и ось перспективы.
О
А'
В'
α'
В
А
C'
C
R'
R
α
s
Q
Рис.9.
При доказательстве теоремы Дезарга надо рассматривать порознь два
случая:
1) Плоскости α и α' обоих трехвершинников АВС и А'В'С' различны
(рис.9). Обе прямые ВС и В'С' принадлежат плоскости ОВС; по аксиоме связи
они имеют общую точку Р, которая расположена в обеих плоскостях α и α', а
25
следовательно, и на прямой s =α X α'. Аналогично убедимся в существовании
точек Q= АС X А'С' и R=АВ X А'В',
а также и в том, что они обе принадлежат прямой s. Теорема Дезарга для случая
1) доказана.
2) Оба трехвершинника АВС и А'В'С' лежат в одной плоскости α (рис.10).
А) Если точка О лежит на одной из прямых АВ, ВС, СА, то утверждение
теоремы
очевидно.
Если
какие-нибудь
из
соответственных
вершин
трехвершинников АВС и А'В'С' совпадают, то утверждение теоремы также
очевидно. В самом деле, если, например, точки А и А' совпадают, то в этом
случае точки Р и N совпадают с точкой А, поэтому точки М, N и Р лежат на
одной прямой (рис.10).
А
А'
В
В'
С
С'
М
Рис.10.
Б) Докажем теорему для случая, когда А и А1, В и В1, С и С1 – различные
точки.
Берем точку S, не принадлежащую плоскости α, и на прямой ОS- точку О1,
отличную от точек S и О, после чего проводим прямые О1А, О1В, О1С и SА',
SВ', SС'. Прямые О1А и SА' обе принадлежат плоскости SОА и, следовательно,
пересекаются в точке А1=О1А х SА'. Таким же образом убеждаемся в том, что
существуют точки В1=О1В Х SВ' и С1=О1С х SС'. Точки А', В', С' являются
проекциями точек А1, В1, С1 на плоскости α из точки S.
Трехвершинники АВС и А1В1С1 лежат в различных плоскостях и имеют центр
перспективы О1; по доказанному в случае 1) точки Р = ВС х В1 С1,
26
Q = АС х А1С1, R= АВ х А1В1 лежат на одной прямой s, принадлежащей
плоскости α. При проектировании из точки S на плоскости α прямые В1С1,
А1С1, А 1В1 перейдут соответственно в В'С', А'С', А'В', точки же Р, Q, R и
прямые ВС, АС, АВ, как лежащие в плоскости α, останутся при этом
S
О
С
1
1
А
1
В
1
А
С
А
'
Рис.11
.
О
С'
В'
В
α
неизменными; поэтому Р= ВС Х В'С', Q= АС Х А'С', R= АВ Х А'В'. Так как эти
три точки Р, Q, R принадлежат прямой s, то теорема доказана для случая 2).
По малому принципу двойственности следует обратная теорема Дезарга:
Теорема Дезарга. (обратная).
Если соответственные стороны трехвершинников АВС и А'В'С', лежащих
в одной плоскости, пересекаются попарно в трех точках, принадлежащих
одной прямой, то прямые, соединяющие соответственные вершины обоих
трехвершинников, проходят через одну и ту же точку.
Обратной теореме Дезарга можно дать также следующую, более краткую
формулировку: если два трехвершинника имеют ось перспективы, то они
имеют и центр перспективы.
27
Теоремы
не требуют доказательства, так как
их справедливость
устанавливается по принципу двойственности.
ГЛАВА 2. Проективные отображения. Проективные преобразования.
§ 1. Проективное отображение пространств.
Введём понятие
проективного отображения пространств, для этого
рассмотрим два проективных пространства Р и Т размерности n, порождаемые
соответственно векторными пространствами V и V' размерности n+1.
Предположим, что вектор ā является элементом векторного пространства V, а
вектор ā' - элемент V'. Введём линейное отображение φ: ā→ā', при котором
вектор ā переходит в вектор ā'.
На проективной плоскости Р вектор ā порождает точку М, а вектор ā' на
проективной плоскости Т порождает точку N.
Определение. Проективным отображением пространств будем называть
такое отображение f: Р → Т, при котором точка М переходит в точку N. И
будем говорить, что проективное отображение f: Р → Т индуцируется
линейным отображением φ: ā→ā'.
В случае когда пространства Р и Т совпадают, а также совпадают
векторные пространства V и V', их порождающие, то отображение φ: V → V'
называется линейным преобразованием векторного пространства V. Тогда
отображение f: Р → Т будет называться проективным преобразованием
пространства Р.
Определение. Если проективное преобразование сохраняет каждую точку
неподвижной, то оно называется тождественным преобразованием
пространства.
28
Определение. Линейное преобразование φ: V → V, при котором вектор ā
переходит в вектор ā' по
закону: ā' = λā, называется гомотетией с
коэффициентом λ пространства V.
Исходя из выше сказанного докажем следующую теорему.
Теорема. Тождественное преобразование проективного пространства
индуцируется гомотетией соответствующего векторного пространства.
■ Пусть fº - тождественное преобразование проективного пространства Р,
которое порождается векторным пространством V. Возьмем любую точку М,
принадлежащую пространству Р. Тогда отображение fº будет переводить точку
М в точку М', совпадающую с точкой М ( по определению). Так как точки М и
М' порождаются двумя коллинеарными векторами ā и ā', то ā= λā'.
Отображение fº является проективным отображением пространств, и
индуцируется линейным преобразованием φ: V → V. Таким образом, для
доказательства теоремы достаточно доказать, что отображение φ является
гомотетией.
Для этого рассмотрим точку К пространства Р, отличную от точки М.
Тогда отображение fº будет переводить точку К в точку К' (совпадающую с
точкой К). Так как точки К и К' порождаются коллинеарными векторами ū и ū',
то ū = ηū'. Докажем, что λ и η совпадают.
Если φ - линейное преобразование, то одним из ее свойств является
сохранение суммы векторов; т. е. оно переводит вектор ā + ū в вектор ū' + ā'.
Векторы ā + ū и
ū' + ā' порождают в проективном пространстве Р
соответственно точки N и N'. Так как
fº - тождественное преобразование
проективного пространства Р, то точки N и N' совпадают.
А так как точки N и N' порождаются коллинеарными векторами ā + ū и ū' +ā',
то ā + ū = τ(ū' + ā' ).
Рассматривая векторы ā и ū , необходимо рассмотреть два случая:
29
1) ā и ū – не коллинеарны, т. е. являются линейно независимыми. Тогда λ = τ
и η = τ, то есть λ = η .
2) ā и ū – коллинеарны, т. е. являются линейно зависимыми.Тогда
выполняются равенства ā = αū, ā' = βū'.
λā' = α(ηū') → λā' = η(αū') → λā' = η ā' → λ = η. ■.
Теорема.
Если
проективное
преобразование
пространства
Р n,
порождаемое векторным пространством Vn+1, оставляет неподвижным п + 2
точки
общего
положения,
то
такое
преобразование
является
тождественным.
■ Пусть f – проективное преобразование проективного пространства Рn,
переводящее точки Аi в Аi и точку Е в точку Е. Данные точки Аi и Е
 
порождаются векторами аi , e n-мерного векторного пространства Vn 1 . Так как

точки Аi являются неподвижными, то вектора аi являются линейно

независимыми. Таким образом, векторы аi составляют базис векторного
пространства
Vn 1 .
Для
дальнейшего
изложения
согласованного базиса.
аi 
введем
определение

- базис, тогда вектор е будем называть

согласованным с базисными векторами аi , если выполняется равенство
 


е  а 0  а1    а п .
Определение. Пусть

В качестве е , порождающего точку Е, можно взять согласованный с

векторами аi  вектор:




   

е  0 а0  1а1    п ап или е  а0  а1    ап . (1).
30
При проективном преобразовании f точки Аi переходят в Аi', совпадающими с
точками
Аi.
Таким
образом
вектора

аi коллинеарны
Аналогично, точки Е и Е' совпадают, а вектор
векторам

аi .


е  коллинеарен вектору е .

Если рассматривать вектора аi в качестве базисных, то всегда найдется
   

вектор е   а0  а1    ап с ними согласованный.

Таким образом, существует единственное линейное преобразование φ: аi

→ аi . Докажем, что преобразование φ является гомотетией.

Так как аi

║ аi и


е  ║ е , то эти векторы можно представить
следующим образом:


аi  i ai


, e  e
n


e    ai
 n 
  e   i a i
i 0
 
 
  
 e  0 a 0  1 a1  ...  n a n .

i 0
0
 1,

1
 


 1,
Так как е  а 0  а1    а п , то 
т.е.


i   .
...
п
1

Тогда, любой вектор

х при
линейном преобразовании φ перейдет в такой



х
вектор  , что выполняется: х    х . Таким образом, преобразование φ
является гомотетией, а f – тождественное преобразование. ■.
Следствие. Если проективное преобразование прямой оставляет три
различные точки на местах, то оно является тождественным.
31
Если проективное преобразование плоскости оставляет четыре точки
неподвижными, то оно является тождественным.
§ 2. Основная теорема о проективных отображениях.
Теорема 1. Пусть даны два проективных пространства Рп и Рп', которые
порождаются соответственно векторным пространством Vп + 1 и Vп + 1'.
Если в данных проективных пространствах заданы (п + 2) точки общего
положения Еi, Е в пространстве Рп) и Е'i, Е' в пространстве
Рп' (i = 1, п+1), то существует единственное проективное отображение f
переводящее пространство Рп в пространство Рп', т. е. точкам Еi, Е ставит в
соответствие точки Е'i, Е'.
■ Рассмотрим проективные пространства Рп и Рп'. Точки Е и Е' этих
 
пространств порождаются соответственно векторами е , е  , а точки Еi и Е'i –
  

 
  

векторами еi , ei , такими что: e  e1  e2  ...  en и e   e1  e2  ...  en . Так как
 
точки Еi и Е'i являются точками общего положения, то векторы еi , ei - линейно
независимы в векторных пространствах Vп + 1 и Vп + 1'. Таким образом, вектора


еi образуют базис векторного пространства Vп + 1, вектор е согласован с


векторами еi . Вектора еi образуют базис векторного пространства V'п + 1,


вектор е  согласован с векторами еi . Для данных векторных пространств

существует линейное отображение φ: Vп + 1 → Vп + 1', отображающее базис еi в
 

базис еi . Как было определено, векторы еi , е порождают в пространстве Рп
 
точки Еi, Е, векторы еi , е  порождают в пространстве Р'п точки Е'i, и Е'.
следовательно, отображение φ индуцирует проективное отображение f: Рп →
Р'п, которое Еi, Е ставит в соответствие точки Е'i, Е'. ■
32
Замечание 1. Если на проективной прямой Р1, порождаемой двумерным
векторным пространством V2, заданы точки Е1, Е2, Е, а на проективной
прямой Р'1, порождаемой двумерным векторным пространством V'2, заданы
точки Е'1, Е'2, Е', то существует единственное отображение f: Р1 → Р'1,
переводящее точки Е1, Е2, Е соответственно в точки Е'1, Е'2, Е'. Таким
образом, проективное отображение прямых можно задать парой троек
различных точек.
Замечание 2. Проективное отображение переводит К – плоскость в К –
плоскость, гиперплоскость в гиперплоскость, прямую в прямую, т. е.
проективное отображение сохраняет размерность.
§ 3. Перспективное отображение гиперплоскостей пространства. Теорема
Рейе.
Определение. Перспективным отображением гиперплоскости πп
– 1
на
гиперплоскость π'п – 1 с центром в точке S, не принадлежащей ни одной из этих
гиперплоскостей, называется отображение f, переводящее πп – 1 в π'п – 1 по
следующему закону: если М  πп – 1, а М' π'п – 1, то f переводит точку М в такую
точку М', которая образуется при пересечении прямой (МS) с гиперплоскостью
π'п – 1.
Теорема 1. Любое перспективное отображение гиперплоскостей в
проективном пространстве Рп является проективным.
■ Рассмотрим две гиперплоскости πп – 1 и π'п – 1 в проективном пространстве
Рп,
которое
порождается
гиперплоскости πп
– 1
и π'п
векторным
– 1
пространством
Vп+1.
Данные
порождаются соответственно векторными
пространствами Vп, V'п, которые являются подпространствами векторного
пространства Vп+1. Точка S – центр перспективы – порождается одномерным
33
векторным пространством V01, являющимся подпространством Vп+1, и не
принадлежит гиперплоскостям πп – 1 и π'п – 1 (т. е. V01 Vп, V01  V'п).
Предположим, что в проективном пространстве Рп задано перспективное
отображение f, которое отображает гиперплоскость πп – 1 в π'п – 1 по следующему
закону:
если М πп
– 1,
а М' π'п
– 1,
то f переводит точку М в такую точку М',
которая образуется при пересечении прямой (МS) с гиперплоскостью π'п – 1.
Точки М и М' порождаются соответственно одномерными векторными
пространствами V1, V'1, принадлежащие Vп, V'п. Так как V01 Vп, V01 V'п, то
точка S не принадлежит прямой (ММ'). В свою очередь, V01, V1, V'1  V2,
которая порождает прямую s, содержащую точку S.
Пусть {ei} – базис векторного пространства Vп (i = 1, 2, 3…, п), тогда
 
система векторов s , ei является линейно независимой в векторном пространстве
Vп+1, тем самым образуя базис в этом пространстве.

В векторном пространстве V'п выберем вектор а , для которого существует






такой вектор а  , что выполняется равенство: а  = 1e1  2 e2  ...  n en +  s (1)
 

или а  = а +  s (2).



Вектор а  называется проекцией вектора а вдоль вектора s .
Таким образом, возникает отображение φ: V'п→ Vп, действующее по закону


(1) и преводящее вектор а  в вектор а .
Докажем, что отображение φ: V'п→ Vп является биекцией. Для этого
рассмотрим базис {e'i} векторного пространства V'п (i = 1, 2, 3…, п) и
 
{ s , ei } – базис векторного пространства Vп+1.

В векторном просранстве Vп выберем вектор а , который можно
представить в виде:





а  = 1e1  2 e2  ...  n en +  s , или
 

а = а +  s .
Таким образом, мы доказали, что φ: V'п→ Vп является биекцией.
Докажем, что φ: V'п→ Vп является линейным отображением.
34








λ а = λ( а  +  s ) = λ а  + λ  s = λ а  +  0 s , т. е. вектор λ а  является проекцией


вектора λ а вдоль вектора s .
  
 
  
  

а  b  а   s  b   ts  (а   b )  (   t ) s  (а   b )   s ,
т.
е.
вектор

 
 
( а   b ) является проекцией вектора (а  b ) вдоль вектора s .
Так мы показали, что отображение φ: V'п→ Vп порождает проективное
отображение f0: πп
– 1
→ π'п
– 1.
Причём, когда отображение φ переводит
одномерное векторное пространство V1 в V'1, f0 отображает точку М в точку М'.
Оба пространства V1 и V'1 принадлежат двумерному векторному пространству
V2, тогда φ: V1 → V'1 отображает пространство V2 на себя, а проективное
отображение f0 отображает прямую s на себя. Таким образом, отображения f и f0
совпадают. А так как f0 является проективным отображением, тогда f также
является проективным. ■
Теорема Рейе. Любое проективное отображение прямых на проективной
плоскости можно представить в виде двух перспектив.
■ На прямой l выберем три различные точки
S
Е1, Е2, Е. Рассмотрим проективное отображение
f: l → l', которое переводит точки Е1, Е2, Е в
E1
l
соответствующие точки Е'1, Е'2, Е' прямой l'.
Докажем существование двух перспектив.
Для этого на прямой (ЕЕ1) выберем точки S и S'.
Прямые (SЕ1) и (S'Е'1) пересекаются в точке М,
E
M
E0
l'
E'1
обозначим
через
s0.
Прямые
s0
и
(SS')
N
E'
а прямые (SЕ2) и (S'Е'2) пересекаются в точке N.
Прямую, проходящую через точки М и N,
E2
E'2
S'
Рис.12.
35
пересекаются в точке Е0. Таким образом, получили перспективное отображение
f1: l → s0, которое переводит точки Е1, Е2, Е в точки М, N, Е0. Вторым
перспективным отображением
является отображение f2: s0 → l', которое
переводит точки М, N, Е0 в точки Е'1, Е'2, Е'.
Композиция этих перспектив f2 ◦ f1 отображает прямую l на прямую l' и
переводит точки Е1, Е2, Е в точки Е'1, Е'2, Е'. Композиция перспектив f2 ◦ f1
является проективным отображением.
Таким образом, доказали, что проективное отображение представимо в
виде композиции двух перспектив. ■
§ 4. Признак перспективного отображения.
Теорема. Проективное отображение двух прямых на проективной
плоскости Р2 является перспективным тогда и только тогда, когда точка
пересечения этих прямых – инвариантна.
■ Пусть f – проективное и перспективное отображение.
 Рассмотрим две прямые l1 и l2, которые пересекаются в некоторой точке Р.
Отображение f переводит прямую l1 на прямую l2. Так как f также является и
перспективным отображением, то существует центр перспективы S.
На прямых l1 и l2 выберем соответственно такие точки А1, В1 и А2, В2 ,
чтобы при отображении f точка А1 отображалась в точку А2, а точка В1 - в точку
В2 . Таким образом, точка А2   l1  SA1 ,
B2   l1  SB1 
, а точка Р будет
являться неподвижной или инвариантной точкой проективного отображения.
 Пусть f : l1  l 2 является проективным
l1
отображением, оставляющим точку P  l1  l 2
на месте. Докажем, что
A1
f : l1  l 2 является
перспективным отображением.
B1
P
l2
A2
B2
S
Рис.13.
36
Отображение
f : l1  l 2 переводит различные точки А1, В1 прямой l1
соответственно в точки А2, В2 (А2 ≠ В2 )прямой l2 . (А1В1) ∩ (А2 В2) = Р.
Рассмотрим перспективное отображение f  : l1  l2 , которое переводит
точки А1, В1,Р соответственно в точки А2, В2, Р. В силу теоремы1§3, любое
перспективное отображение является проективным. Тогда ,в силу основной
теоремы, существует единственное проективное отображение f 0 : l1  l2
такое, что f0 = f = f''. Таким образом, проективное отображение f : l1  l2
является перспективным. ■.
§ 5. Проективные преобразования прямой. Инволюция.
П.1.
Определение. Если прямые g и g' совпадают, то проективное
отображение
прямой
g
на
прямую
g'
называется
проективным
преобразованием прямой g.
Наиболее простым примером проективного преобразования прямой
является тождественное преобразование, т. е. преобразование, в котором
каждая точка переходит в себя.
Теорема 1. Если R и R'- произвольные реперы на прямой g, то существует
одно и только одно проективное преобразование прямой g, которое репер R
переводит в репер R'.
Определение. Пусть f : g → g' – проективное преобразование прямой g.
Точку этой прямой назовём инвариантной ( неподвижной ) точкой
преобразования f, если она переходит в себя в этом преобразовании.
Пусть А, В, С, В', С' – какие-то пять точек прямой g. Тогда проективное
преобразование этой прямой, которое точки А, В, С переводит соответственно
37
в точки А, В', С', имеет по крайней мере одну неподвижную точку (точку А);
проективное преобразование, которое переводит точки А, В, С соответственно
в точки А, В, С', имеет по крайней мере две неподвижные точки (точки А и В).
Докажем, что нетождественное проективное преобразование прямой не
может иметь более двух неподвижных точек.
Теорема 2. Если проективное преобразование прямой имеет три
неподвижные точки, то оно является тождественным преобразованием.
Пусть А, В и С – три неподвижные точки проективного преобразования f: g
→ g. Рассмотрим тождественное преобразование f0: g → g прямой g. Так как в
преобразованиях f и f0 репер R = (А, В, С) переходит в себя, то по теореме 1 эти
преобразования совпадают, т. е. f – тождественное преобразование.
Теорема 3. Если f – проективное преобразование прямой 1, то
преобразование f—1 также является проективным преобразованием
прямой 1.
■ Рассмотрим f проективное преобразование прямой, которое переводит
точки А, В, С соответственно в точки А', В', С' , и такое преобразование прямой
f-1, которое переводит точки А', В', С' соответственно в точки А, В,С.
По основной теореме о проективных преобразованиях, для точек
А', В', С' и А, В, С, принадлежащих одной прямой, существует единственное
преобразование f 0, которое переводит точки А', В', С' соответственно в точки
А, В, С. Такм образом, преобразования f-1 и f
0
совпадают, а это доказывает что
преобразование f-1 является проективным. ■.
П.2.
Рассмотрим
задачу
построения
образов
точек
при
проективном
преобразовании прямой.
38
Задача. При проективном преобразовании f : g → g репер R = (А, В, С)
переходит в репер R = (А', В', С'). построить образ произвольной точки М
прямой g.
Решение. Проведём какую-нибудь прямую g1,отличную от прямой g, и
возьмём точку Р, не лежащую на прямых g и g' (рис.14). построим образы
точек А, В, С и М в перспективном отображении f1 : g → g1 с центром Р (на
рис.27 образы этих точек обозначены через А1, В1, С1, М1). Затем построим
образ М' точки М1 в проективном отображении f2 : g1 → g, которое репер (А1,
В1, С1) переводит в репер (А', В', С'). Ясно, что f2f1- проективное
преобразование прямой g, которое переводит репер R в репер R', поэтому f2f1
= f. Отсюда следует, что М' – искомая точка, так как f(М) = f2f1(М) =
= f2(М1) = М'.
Р
К
А
М'
А
М
В' В
С'
g
С
g1
A1
g0
C1
Рис.14.
П.3.
Определение. Нетождественное проективное преобразование прямой
называется инволюцией, если оно совпадает с обратным преобразованием.
39
Из этого определения следует, что если произвольная точка М в данной
инволюции переходит в точку М', то точка М' в той же инволюции переходит
в точку М. Таким образом, инволюция f : g → g разбивает все точки прямой g
на пары точек, соответствующих друг другу.
Докажем теорему, выражающую признак инволюции.
Теорема 3.(признак инволюции)
Если в данном проективном преобразовании f : g → g какая-то точка А
прямой g переходит в точку В, отличную от точки А, а точка В переходит в
точку А, то f – инволюция.
■ Для доказательства теоремы достаточно убедиться в том, что если М –
произвольная точка прямой g, отличная от точек А и В, а М' – образ этой
точки, то М = f( М'). Обозначим через М'' образ точки М' в преобразовании f.
Из определения проективного преобразования следует, что (АВ, ММ') = (ВА,
М'М''), поэтому (АВ, М'М) = (АВ, М'М''). Отсюда следует, что М и М''
совпадают, т. е. М = f(М').
Так как инволюция – нетождественное преобразование прямой, то по
теореме 2 она не может иметь более двух инвариантных точек. ■
Определение. Инволюция называется эллиптической, если она не имеет
инвариантных точек, и гиперболической, если она имеет две инвариантные
точки.
40
§ 6 . Проективные преобразования плоскости. Гомология.
П.1.
Определение.
Проективным
преобразование
плоскости
называется
проективное отображение плоскости на себя.
По определению проективная плоскость представляет собой множество
точек и прямых, поэтому проективное преобразование Р2 может отображать
точки – на точки, прямые на прямые. Однако возможны и такие
преобразования, при которых образом точки будет прямая, а образом прямой –
точка. Следовательно, имеются два типа проективных преобразований в
зависимости от того, переводят ли они элементы проективной плоскости какого
– либо вида в элементы того же или другого вида. Преобразования первого
типа, отображающие прямые в прямые, а точки – в точки, называются
коллинеациями, преобразования второго типа, отображающие прямые в точки, а
точки в прямые, называются корреляциями.
Проективные преобразования плоскости определяются требованиями, в
соответствии с которыми должны сохранятся:
1) принадлежность точек и прямых;
2) двойное отношение.
По основной теореме о проективных отображениях следует утверждение 1.
Утверждение 1. Пусть R = (М1, М2, М3, Е) и R'=(М1', М2', М3', Е') –
произвольные реперы проективной плоскости. Тогда существует одно и
только одно проективное преобразование, которое переводит репер R в репер
R'.
Так
как
тождественное
преобразование
является
проективным
преобразованием, то из этого утверждения следует , что если вершины и
единичная точка некоторого репера являются инвариантными точками
41
проективного
преобразования,
то
оно
является
тождественным
преобразованием.
П.2.
Рассмотрим основные свойства проективных преобразований.
Свойство 1. При проективном преобразовании три точки, не лежащие на
одной прямой, переходят в три точки, также не лежащие на одной прямой.
■ Доказательство проведём методом от противного, т. е. предположим, что
в проективном преобразовании f какие-то три точки А, В и С, не лежащие на
одной прямой, переходят в точки А', В' и С', лежащие на одной прямой g' (рис.
15). Докажем, что при этом предположении образы всех точек лежат на прямой
g'. В самом деле, пусть М – произвольная точка плоскости, отличная от точки
С, а М' – образ этой точки. Обозначим через N точку пересечения МС и АВ.
Так как точки А, В, N лежат на одной прямой, то образ N' точки N лежит на
прямой А'В', т. е. на прямой g'. Но точки С, М и N также лежат на одной
прямой, поэтому точка М' лежит на прямой g'. Мы пришли к выводу, что
отображение f не является взаимно однозначным. Это противоречит
определению проективного отображения. ■
В
M
A'
B'
А
N'
С
C'
M
g'
N
Рис.15
.
42
Отсюда непосредственно следуют утверждения.
Свойство 2. При проективном преобразовании любой репер переходит в
репер.
Свойство 3. При проективном преобразовании прямая переходит в
прямую.
Свойство 4. При проективном преобразовании пучок прямых переходит в
пучок прямых.
П.3.
Нетождественное проективное преобразование называется гомологией,
если оно имеет, по крайней мере три инвариантные точки, не лежащие на одной
прямой.
Определение.
Гомологией
плоскости
является
нетождественное
проективное
преобразование плоскости, которая имеет прямую инвариантных точек.
Если точки А, В и С, лежащие на одной прямой, являются инвариантными
точками гомологии, то все точки прямой АВ являются точками этой
гомологии. Прямая инвариантных точек называются осью гомологии.
Рассмотрим свойства гомологии.
Свойство 1. Прямая, проходящая через несовпадающие соответственные
точки гомологии, является инвариантной прямой.
■ Пусть гомологии с осью gº точка А переходит в точку А', отличную от
точки А. Прямая АА' не совпадает с прямой gº, поэтому пересекает её в
43
некоторой точке С. Так как С – инвариантная точка, то А и С – различные
точки. Точки А и С переходят соответственно в точки А' и С, поэтому прямая
АС переходит в ту же прямую АС. ■.
Свойство 2. Прямые, проходящие через несовпадающие соответственные
точки гомологии, принадлежат одному пучку, центр которого является
инвариантной точкой гомологии.
■ Пусть в гомологии f с осью gº точка А переходит в точку А', отличную
от точки А, а точка В, не лежащая на прямой АА' и ВВ' – инвариантные
прямые, то точка Р пересечения прямых АА' и ВВ' – инвариантная точка
гомологии f.
Рассмотрим произвольную точку М и её образ М', не совпадающий с ней, и
докажем, что прямая ММ' проходит через точку Р. Допустим, что это
утверждение неверно. Тогда прямая ММ' пересекает прямые АА' и ВВ' в двух
точках Q и R (рис.16). Точки Р, Q и R не лежат на одной прямой и являются
инвариантными точками гомологии f. Возьмём на прямой gº точку S так, чтобы
Р, Q, R, S были точками общего положения. По следствию теоремы п.1
преобразование
f
является
тождественным
преобразованием.
Но
это
противоречит определению гомологии. Таким образом, наше предположение
неверно, поэтому прямая ММ' проходит через точку Р. ■
Определение.
Точка
пересечения
прямых,
проходящих
через
соответственные точки гомологии, называется центром гомологии.
В'
А'
R
M
M'
S
Q
A
g0
B
P
Рис.16.
44
Определение. Если центр гомологии не лежит на оси гомологии, то
гомология называется гиперболической ; если же центр гомологии лежит на
оси, то гомология называется параболической.
Нетрудно доказать, что если на проективной плоскости даны три точки Р,
А и В, лежащие на одной прямой g, и прямая gº, не проходящая через точки А и
В, то существует одна и только одна гомология с осью gº и центром Р, которая
переводит точку А в точку В.
Таким образом, гомологию можно задать осью, центром и парой
соответственных точек. На рисунке 17 а, б выполнено построение образа точки
Х, если гомология задана осью gº, центром Р и парой соответственных точек А
и В ( рис. 17 а соответствует случаю, когда гомология гиперболическая, а рис.
17 б – когда она параболическая ).
Сначала строим образ прямой ХА, для чего точку пересечения Хº прямых
ХА и gº соединяем с точкой В. Так как точки Х, Х' и Р лежат на одной прямой,
то Х' – точка пересечения прямых ХºА и РХ.
А
Р
Х
Х
Х'
А
Х0
В
Р
g0
Х
0
Х'
Рис.17 а.
Рис.17 б.
45
Раздел II. Аналитическая геометрия проективного
пространства.
Глава I. Проективные координаты.
§ 1. Проективный репер. Координаты точек на проективной плоскости и
на проективной прямой.
П.1.
Определение. Пусть σ – проективная плоскость. Упорядоченную систему
точек
А¹, А², А³, Е общего положения(¹) плоскости σ называют проективным репером
или проективной системой координат на плоскости и обозначают так: R =
(А¹, А², А³, Е). Точки А¹, А², А³ называют вершинами, точку Е – единичной
точкой репера, а прямые А¹А², А²А³, А³А¹ - координатными прямыми.
Определение. Если векторы ā¹, ā², ā³ и ē, порождающие вершины и
единичную точку
проективного репера R, выбраны так, что ē = ā¹ + ā² + ā³, (1) то будем
говорить, что система векторов ā¹, ā², ā³, ē согласована относительно репера
R.
Легко показать, что всегда существует система векторов которая
согласована относительно данного репера. В самом деле, пусть đ¹, đ², đ³, ē –
какие-то векторы, порождающие вершины и единичную точку репера R = (А¹,
А², А³, Е). Так как эти векторы принадлежат трёхмерному векторному
пространству V, которое порождает плоскость σ, и đ¹, đ², đ³ не компланарны, то
ē = λ¹đ¹ + λ²đ² + λ³đ³. Положив ā¹ = λ¹đ¹, ā² = λ²đ², ā³ = λ³đ³, получаем систему
векторов ā¹, ā², ā³, ē, порождающих соответственно точки А¹ А², А³, Е и
удовлетворяющих равенству (1).
46
Пусть λ – произвольное действительное число, отличное от нуля. Умножив
равенство (1) на λ, получим λē = λā¹ + λā² + λā³. Отсюда следует, что система ā'¹
= λā¹, ā'² = λā², ā'³ = λā³, ē' = λē также согласована относительно репера R. Таким
образом, существует бесконечное множество систем векторов, каждая из
которых согласована относительно данного репера.
Лемма 1. Если каждая из систем векторов ā¹, ā², ā³, ē и ā'¹, ā'², ā'³, ē'
согласована относительно данного репера R = (А¹, А², А³, Е), то существует
такое число λ ≠ 0, что
ā'¹ = λā¹, ā'² = λā², ā'³ = λā³, ē' = λē. (2)
■ Так как ā'¹ = ā¹ порождают одну и ту же точку А', то ā'¹ = λ¹ā¹.
Аналогично ā'² = λ²ā²,
ā'³ = λ³ā³, ē' = λ4 ē. Система ā'¹, ā'², ā'³, ē' согласована относительно репера R,
поэтому
ē' = ā'¹ + ā'² + ā'³ или λ4 ē = λ¹ā¹ + λ²ā² + λ³ā³. Так как λ4 ≠ 0, ē = (λ¹/ λ4) ā¹ + (λ²/ λ4
)ā² +
+ (λ³/ λ4 )ā³. Сравнения это равенство с равенством (1), получаем λ¹/ λ4 = 1, λ²/ λ4
= 1,
λ³/ λ4 = 1, поэтому λ¹ = λ² = λ³ = λ4. Таким образом, имеют место равенства (2). ■
П.2.
Введём понятие координат точек на проективной плоскости. Пусть Х –
произвольная точка плоскости σ, на которой задан проективный репер R = (А¹,
А², А³, Е). рассмотрим какой-нибудь вектор х, порождающий точку Х, и
систему векторов ā¹, ā², ā³, ē, согласованную относительно репера R. Примем
векторы ā¹, ā², ā³ за базис трёхмерного векторного пространства V,
порождающего плоскость σ, и разложим вектор х по этому базису: х = х¹ā¹ + х²
ā² + х³ ā³.
47
Определение. Числа х¹, х², х³ называются проективными координатами
точки Х в репере R, причём х¹ называется первой координатой этой точки, х² второй координатой, а х³ - третьей координатой; пишут: Х(х¹, х², х³) или Х(х¹,
х², х³)R. Так как х ≠ Ō, то все координаты точки одновременно не равны нулю.
Заметим, что проективные координаты Х зависят выбора как вектора х, так
и системы векторов ā¹, ā², ā³, ē, согласованной относительно репера R. Выясним
характер этой зависимости. Пусть ā'¹, ā'², ā'³, ē' – другая система векторов,
согласованная относительно репера R, а х' – другой вектор, порождающий
точку Х. Так как векторы х' и х порождают одну и ту же точку, то х' = μх. По
предыдущей лемме ā'¹ = λā¹, ā'² = λā², ā'³ = λā³.
Координаты х¹, х², х³ точки Х при данном выборе векторов определяются
по формуле
х¹ = х'¹ ā'¹ + х'² ā'² + х'³ ā'³ или μх¹ = х'¹ λā'¹ + х'² λā'² + х'³λ ā'³. Сравнивая это
равенство с равенством (3), получаем х¹ = (λ/μ)х'¹, х² = (λ/μ)х'², х³= (λ/μ)х'³, где
(λ/μ) ≠ 0. Итак, заданием проективного репера координаты произвольной точки
плоскости σ определяются с точностью до общего множителя.
Вершины репера R = (А¹, А², А³, Е) и единичная точка в самом репере R
имеют координаты А¹(1,0,0), А²(0,1,0), А³(0,0,1), Е(1,1,1). В самом деле, пусть
система ā¹, ā², ā³, ē согласована относительно репера R. Тогда е = ā¹ + ā² + ā³.
Отсюда и следует, что точка Е имеет координаты (1,1,1). Так как вектор ā¹
порождает точку А¹ и ā¹ = 1· ā¹ + 0· ā² + 0· ā³, то точка А¹ имеет координаты
(1,0,0). Аналогично получаем координаты точек А² и А³.
Лемма 2. Если (х¹, х², х³) – координаты точки Х в репере R, а ā¹, ā², ā³, ē –
какая-нибудь система векторов, согласованная относительно репера R, то
вектор y= х¹ā¹ + х² ā² + х³ ā³ порождает точку Х.
■ Так как (х¹, х², х³) – координаты точки Х в репере R, то имеется такая
система векторов ā'¹, ā'², ā'³, ē', согласованная относительно репера R, что вектор
48
х = х¹ ā'¹ + х² ā'² + х³ ā'³ порождает точку Х. По лемме 1 существует такое число
λ ≠ 0, что выполняются равенства (2). Таким образом, х = λ( х¹ ā¹ + х² ā² + х³ ā³)
= λу. Отсюда следует, что вектор у порождает точку Х. ■
П.3.
Докажем следующую теорему.
Теорема 1. Три точки Х(х¹, х², х³), У(у¹, у², у³) и Z(z¹, z², z³), заданные
координатами в репере R, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда
x1
x2
x3
y1
y2
y3
z1
z2  0
z3
(4)
■ Пусть ā¹, ā², ā³, ē – система векторов, согласованная относительно репера
R. По лемме 2 векторы х = х¹ ā¹ + х² ā² + х³ ā³, у = у¹ ā¹ + у² ā² + у³ ā'³, z = z¹ ā¹
+ z² ā² + z³ ā³ порождают соответственно точки Х, У и Z. Эти точки лежат на
одной прямой тогда и только тогда, когда векторы х, у и z принадлежат
двумерному подпространству, т. е. когда они компланарны. ■
Из этой теоремы следует, что точка Х(х¹, х², х³) лежит на координатной
прямой А¹А² тогда и только тогда, когда координаты точек Х(х¹, х², х³),
А¹(1,0,0), А²(0,1,0) удовлетворяют равенству (4), или х³ = 0.
Аналогично можно показать, что точка Х лежит на координатной прямой
А¹А³ (на прямой А²А³) тогда и только тогда, когда х² = 0 (х¹ = 0).
П.4.
По аналогии с предыдущим введём понятие координат точек на
проективной прямой.
Определение. Упорядоченную систему трёх точек А¹, А², Е проективной
прямой l называют проективным репером и обозначают так: R = (А¹, А², Е).
Точки А¹, А² называют вершинами репера, а точку Е – единичной точкой.
49
Определение. Если векторы ā¹, ā², ē, порождающие вершины и единичную
точку проективного репера R, выбраны так, что ē = ā¹ + ā², то будем
говорить, что система векторов ā¹, ā², ē согласована относительно репера R.
Так же как и в случае проективной плоскости, легко доказать, что
существует бесконечное множество систем векторов, каждая из которых
согласована относительно данного репера. Если ā¹, ā², ē и ā'¹, ā'², ē' согласованы
относительно данного репера, то существует такое число λ ≠ 0, что ā'¹ = λ ā¹, ā'²
= λ ā², ē' = λ ē.
Определение. Пусть Х – произвольная точка прямой l, на которой задан
репер R = (А¹, А², Е). Рассмотрим какой-нибудь вектор х, порождающий точку
Х, и систему векторов ā¹, ā², ē за базис двумерного векторного пространства
L, порождающего прямую l, и разложим на вектор х по этому базису: х = х¹ ā¹
+ х² ā². Числа х¹, х² называются проективными координатами точки Х в
репере R; пишут: Х(х¹, х²).
Так же каки на плоскости, можно доказать, что заданием проективного
репера на прямой l координаты произвольной точки прямой определяются с
точностью до общего множителя.
П.5.
А3
Рассмотрим на плоскости σ проективный репер
R = (А¹, А², А³, Е). Пусть Х – произвольная точка
плоскости σ, отличная от точки А³, а Х³ - точка
пересечения прямых А¹А² и А³Х (рис.18). Точка Х³
называется проекцией точки Х из центра А³ на прямую
Е1
E2
A1
A2
X
E3
А¹А². Ясно, что каждая точка плоскости σ, отличная от
точки А³, имеет проекцию из точки А³ на прямую А¹А².
Рис.18.
Проекция каждой точки прямой А¹А²совпадает с самой
точкой.
50
Обозначим через Е³ проекцию единичной точки репера R из центра А³ на
прямую А¹А² (рис.). Упорядоченная система точек А¹, А², Е³ на прямой А¹А²
образует проективный репер, который будем обозначать через R³. Аналогично
можно ввести реперы R² = (А¹, А³, Е²) и R¹ = (А², А³, Е¹) (рис.18). Итак, если на
плоскости задан репер R, то на каждой из координатных прямых возникает
свой репер: R¹ на прямой А²А³, R² на прямой А¹А³ и R³ на прямой А¹А².
Докажем теорему о координатах проекции точки на координатную
прямую.
Теорема 2. Если произвольная точка Х плоскости, отличная от точки А³,
в репере R имеет координаты х¹, х², х³, то проекция Х³ точки Х из центра А³ на
прямую А¹А² в репере R³ имеет координаты х¹, х².
■ Найдём сначала координаты точки Х³(у¹, у², у³) в репере R (рис.). Эта
точка лежит на координатной прямой А¹А², поэтому у³= 0. Так как точки Х, Х³
и А³ лежат на одной прямой,
то
х1
х2
х3
у1
у2
0
0
0 0
1
или
х1
х2
у1
0
у2
.
Таким образом, числа (х¹, х², 0) являются координатами точки Х³.
Аналогично находим координаты точки Е³ в репере R: Е³ (1,1,0).
1  2  3 
Возьмём систему векторов а , а , а , е , согласованную относительно
репера R. Так как точки Х³ и Е³ имеют координаты (х¹, х², 0) и (1,1,0), то
векторы

 
е 3  а 1  а 2 (1)


х 3  х 1 а 1  х 2 а 2 (2)
порождают соответственно точки Е³ и Х³.
51
Равенство (1) означает, что система векторов ā¹, ā², ē согласована
относительно репера R³ проективной прямой А¹А². Из равенства (2) мы
заключаем, что точка Х³ на прямой А¹А² в репере R³ имеет координаты (х¹, х²).
■
Замечание. Аналогично можно доказать, что если произвольная точка Х
плоскости, отличная от А², в репере R имеет координаты х¹, х², х³, то проекция
Х² точки Х из центра А² на прямую А¹А³ в репере R² имеет координаты х¹, х³, т.
е. Х²( х¹, х³), а проекция Х¹ точки Х из центра А¹ (точки, отличной от А¹) в
репере R¹ имеет координаты х², х³, т. е. Х¹(х², х³).
§ 2. Уравнение прямой. Координаты прямой.
П.1.
Пусть Ф – фигура, т. е. любое множество точек.
Определение. Уравнением фигуры Ф в выбранном репере называется
такое уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки этой
фигуры и не удовлетворяют координаты точек не принадлежащих этой
фигуре.
На проективной плоскости, так же как и на евклидовой плоскости, в
качестве фигур чаще всего рассматриваются линии (примером линии является
прямая). В этом случае уравнение фигуры называется уравнением линии.
Выведем уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Пусть на проективной плоскости выбран репер R и в этом репере известны
координаты двух точек А (а¹, а², а³) и В(b¹, b², b³) данной прямой d. Напишем
52
уравнение прямой d. Точка М(х¹, х², х³) лежит на этой прямой тогда и только
тогда, когда
x1
x2
x3
a1
a2
a3
b1
b2  0
b3
. (1)
Это есть уравнение прямой d.
Так как А и В – различные точки, то ранг
a1
a2
a3
b1
b2  2
b3
(2)
поэтому из равенства (1) следует, что х¹, х², х³ линейно выражаются через а¹, а²,
а³ и
b¹, b², b³. Это означает, что существуют числа λ и μ (не равные одновременно
нулю), такие, что
x 1  a 1  b1
x 2  a 2  b 2
x 3  a 3  b 3 .(3)
Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой d. Их
смысл заключается в следующем: каковы бы ни были числа λ и μ, не равные
нулю одновременно, точка с координатами х¹, х², х³, удовлетворяющими
условиям (3), лежит на прямой d. Обратно: если (х¹, х², х³) – точка прямой d, то
всегда найдутся числа λ и μ, такие, что
х¹, х², х³ выражаются через ā¹, ā², ā³ и b¹, b², b³ при помощи равенств (3).
В качестве примера запишем уравнения координатных прямых А¹А², А²А³,
А³А¹ данного репера R = (А¹, А², А³, Е). Так как точки А¹ и А² имеют
координаты А¹(1,0,0), А²(0,1,0), то уравнение (1) прямой А¹А² имеет вид:
х1
х2
х3
1 0
0 1 0
0 0
или х³ = 0.
Аналогично получаем уравнения двух других координатных прямых:
53
А²А³ : х¹ = 0, А³А¹ : х² = 0.
П.2.
Разложив по элементам первого столбца определитель, стоящий в левой
части уравнения (1) получим:
u 1 x 1  u 2 x 2  u 3 x 3  0 (4)
где
a2
u 3
a
b2
a3
u 1
b3 ,
a
b3
a1
u 2
b1 ,
a
b1
b2 .
В силу (2) хотя бы один из коэффициентов u¹, u², u³ не равен нулю. Таким
образом, уравнение любой прямой в произвольном проективном репере
является однородным уравнением первой степени.
Докажем обратное утверждение:
Теорема 1. Фигура на проективной плоскости, заданная в проективном
репере однородным уравнением первой степени (4), есть прямая.
■
Пусть
γ-
линия,
заданная
уравнением (4).
Предположим для
определенности, что u¹≠0. Уравнению (4) удовлетворяют координаты двух
точек Р (-u², u¹, 0), Q (-u³,0,u¹). Напишем уравнение (1) прямой PQ :
x1
x2
x3
 u2
u1
0
 u3
0 0
u1
или u 
1 2
x 1  u 1u 2 x 2  u 1u 3 x 3  0 .
Отсюда, разделив на u¹, получим данное уравнение (4). Таким образом,
уравнение фигуры γ совпадает с уравнением прямой PQ, поэтому γ- прямая
линия. ■
54
П.3.
Рассмотрим прямые d¹ и d², заданные уравнениями
u 1 x 1  u 2 x 2  u 3 x 3  0 (5)
v 1 x 1  v 2 x 2  v 3 x 3  0 (6)
Эти прямые совпадают тогда и только тогда, когда уравнения (5) и (6)
эквивалентны. Используя соответствующую теорему из алгебры, мы приходим
к следующей теореме:
Теорема 2. Прямые, заданные уравнениями (5) и (6), совпадают тогда и
только тогда,
u 1
 1
когда ранг v
u2
v2
u3 
 1
v3  .
Следствие. Прямые, заданные уравнениями (5) и (6), пресекаются тогда и
u 1
 1
только тогда, когда ранг v
u2
v2
u3 
2
v3 
.
П.4.
Определение. Если прямая d в репере R задана уравнением (4), то
коэффициенты u¹ u² u³ этого уравнения называются координатами прямой d в
репере R, и пишут: d (u¹, u², u³).
Координаты прямой одновременно не равны нулю, и из теоремы 2 следует,
что они определяются с точностью до числового множителя. Из теоремы 1
заключаем, что любые три числа, не равные нулю одновременно, являются
координатами некоторой прямой.
Мы замечаем, что понятия координат точки и координат прямой обладают
аналогичным свойством. Это обстоятельство не является случайным. В нём
55
находит своё проявление так называемый принцип двойственности на
проективной плоскости.
Найдём координаты координатных прямых А¹А², А²А³ и А³А¹ данного
репера R = (А¹, А², А³, Е). Так как прямая А¹А² имеет уравнение х³ = 0 или
0 ∙ х¹ + 0 ∙ х² + 1∙ х³ = 0, то прямая имеет координаты А¹А²(0, 0, 1). Аналогично
получаем координаты двух других координатных прямых: А²А³(1, 0, 0),
А³А¹(0, 1, 0).
§ 3. Формулы преобразование однородных координат.
(формулы перехода от одного репера к другому.)
П.1.
Определение. На проективной плоскости рассмотрим два проективных
репера R = (А¹, А², А³, Е) и R' = (А'¹, А'², А'³, Е') и допустим, что вершины
репера R' в репере R имеют координаты А'¹(а¹¹, а²¹, а³¹), А'²(а¹², а²², а³²), А'³(а¹³,
а²³, а³³), Е'(а¹º,а²º, а³º).
Матрицу
 а 11
 21
а
 а 31

а 12
а 22
а 32
а 13
а 23
а 33
а 10 

а 20 
а 30 
(1) назовём матрицей перехода от репера R к
реперу R'.
1  2  3 
а
, а , а , е согласована относительно репера R.
Пусть система векторов
По лемме 2 §1 векторы




а 1  а11а 1  а 21а 2  а 31а 3 ,
(2)
 



а 2  а12 а 1  а 22 а 2  а 32 а 3 ,
 



а 3  а 13 а 1  а 23 а 2  а 33 а 3 ,




е   а 10 а 1  а 20 а 2  а 30 а 3
56
порождающие вершины репера R' и его единичную точку Е'. Из этих равенств
получаем
    
а1  а 2  а 3  е  



 а11  а12  а13  а10 а 1  а 21  а 22  а 23  а 20 а 2  а 31  а 32  а 33  а 30 а 3 .
Так как векторы ā¹, ā², ā³ не компланарны, то из этого равенства следует,
что система векторов ā'¹, ā'², ā'³, ē' согласована относительно репера R' (т. е. ā'¹ +
ā'² + ā'³ = ē') тогда и только тогда, когда четвёртый столбец матрицы (1)
является суммой первых трёх столбцов. В этом случае будем говорить, что
столбцы матрицы (1) перехода от репера R к реперу R' согласованы.
Если столбцы матрицы (1) перехода от репера R к реперу R' не
согласованы, то, учитывая, что координаты вершин репера R' и его единичной
точкой определяются с точностью до числового множителя, всегда можно
добиться того, чтобы столбцы этой матрицы были согласованы. В самом деле,
найдём k¹, k² и k³, удовлетворяющие системе уравнений:
а 11к 1  а 12 к 2  а 13 к 3  а 10
21 1
22 2
23 3
20
(3) а к  а к  а к  а
а 31к 1  а 32 к 2  а 33 к 3  а 30
Так как определитель этой системы отличен от нуля, то k¹, k² и k³ из этой
системы определяются однозначно, причём k¹ ≠ 0, k² ≠ 0 и k³ ≠ 0.
Действительно, если предположить, например, что k¹ = 0, то из равенств
(3)будет следовать, что точка Е' лежит на прямой А'²А'³, что невозможно, так
как R' – репер.
Матрица
 к 1 а 11
 1 21
к а
 к 1 а 31

к 2 а 12
к 2 а 22
к 2 а 32
к 3 а 13
к 3 а 23
к 3 а 33
а 10 

а 20 
а 30 
(4)
57
является матрицей перехода от репера R к реперу R', причём теперь уже
столбцы этой матрицы согласованы.
П.2.
Сформулируем задачу преобразования координат точек проективной
плоскости.
Задача 1. Произвольная точка Х проективной плоскости в реперах R и R'
имеет соответственно координаты (х¹, х², х³) и (х'¹, х'², х'³). Выразить х¹, х², х³
через х'¹, х'², х'³, если дана матрица (1) перехода от репера R к реперу R',
столбцы которой согласованы.
Решение. Пусть система векторов ā¹, ā², ā³, ē согласована относительно
репера R. По лемме 2 §1 векторы ā'¹, ā'², ā'³, ē', определяемые формулами (2),
порождают вершины репера R'. Так как столбцы матрицы (1) согласованы, то
эти векторы согласованы относительно репера R'.
Пусть у –вектор, который порождает точку Х, а (у¹, у², у³) и (у'¹, у'², у'³) –
координаты этого вектора соответственно в базисах ā¹, ā², ā³, ē и ā'¹, ā'², ā'³, ē'.
Используя равенства (2), получаем:



а11 y1  а12 y 2  а13 y 3  y1



а 21 y1  а 22 y 2  а 23 y 3  y 2 (5)



а 31 y1  а 32 y 2  а 33 y 3  y 3
Так как у¹, у², у³ и х¹, х², х³ являются координатами точки Х в репере R, то
эти числа пропорциональны: у¹ = λх¹, у² = λх², у³ = λх³, где λ ≠ 0. Аналогично
у'¹ = λ'х'¹, у'² = λ'х'²,
у'³ = λ'х'³, где λ' ≠ 0. Подставив эти значения у¡ и у'¡ в (5) и положив λ/λ' = ρ,
получаем искомые формулы преобразования координат точек проективной
плоскости:
58



а11 x1  а12 x 2  а13 x 3  x1



а 21 x1  а 22 x 2  а 23 x 3  x 2 (6)



а 31 x1  а 32 x 2  а 33 x 3  x 3
Задача.
Записать
формулы
преобразования
координат
точек
проективной плоскости, если матрица перехода от репера R к реперу R' имеет
вид:
 2 4 0 5


 1 3 0 4 .
 0 0 1 3


Решение. Столбцы этой матрицы не согласованы, поэтому сначала
запишем формулы (3) для данной матрицы:
2k¹ + 4k² = 5, k¹ + 3k² = 4, k³ = 3.
Отсюда получаем k¹ = - 1/2, k² = 3/2, k³ =3. Теперь запишем матрицу (4)
перехода от репера R к реперу R', затем искомые формулы преобразования (6):
ρх¹ = - х'¹ + 6 х'²,
ρх² = - 1/2 х'¹ + 9/2 х'²,
ρх³ = 3 х'³.
П.3.
Рассмотрим
теперь
задачу
преобразования
координат
точек
на
проективной прямой.
Определение. Пусть на проективной прямой даны два репера R = (А¹, А²,
Е) и R' = (А'¹, А'², Е'), причём известны координаты вершин репера R' в
репере R: А'¹( а¹¹, а²¹), А'²( а¹², а²²), Е'(а¹º, а²º).
59
 а 11
 21

Матрицу  а
а 12
а 22
а 10 

а 20  (7) назовём матрицей перехода от репера R к реперу
R'.
Если третий столбец этой матрицы является суммой первых двух
столбцов, то будем говорить, что столбцы матрицы (7) согласованы.
Задача 2. Произвольная точка Х проективной прямой в реперах R и R'
имеет соответственно координаты (х¹, х²) и (х'¹, х'²). Выразить х¹, х² через х'¹,
х'², если дана матрица (7) перехода от репера R к реперу R', столбцы которой
согласованы.
Решение. Пусть система векторов ā'¹, ā'², ē' согласована относительно
репера R. Рассмотрим векторы
ā'¹ = а¹¹ā'¹ + а²¹ā'²,
ā'² = а¹²ā'¹ + а²²ā'², (8)
ē' = а¹ºā'¹ + а²ºā'².
Так же как и в случае координат точек на плоскости (см. док-во леммы 2
§1), эти векторы порождают вершины репера R'. В силу согласованности
столбцов матрицы (7) система векторов ā'¹, ā'², ē' согласована относительно
репера R'.
Пусть у – вектор, который порождает точку Х, а (у¹, у²) и (у'¹, у'²) –
координаты этого вектора соответственно в базисах ā¹, ā² и ā'¹, ā'². Используя
равенство (8),получаем:
у¹ = а¹¹у'¹ + а¹²у'²,
у² = а²¹у'¹ + а²²у'². (9)
Так как (у¹, у²) и (х¹, х²) являются координатами точки Х в репере R, то эти
числа пропорциональны: у¹ = λх¹, у² = λх², λ ≠ 0. Аналогично у'¹ = λ'х'¹, у'² =
λ'х'², где λ' ≠ 0. Подставив эти значения в равенство (9) и положив λ/λ' = ρ,
получаем искомые формулы преобразования координат точек проективной
прямой:
60
ρх¹ = а¹¹х'¹ + а¹²х'²,
ρх² = а²¹х'¹ + а²²х'². (10)
§ 4. Теорема Дезарга на плоскости.
Теорема. Если прямые, проходящие через соответственные вершины двух
трехвершинников АВС и А'В'С', про-ходят через одну точку О, то
соответственные стороны этих трехвершинников пересекаются в точках,
лежащих на одной прямой s. То есть, если два трехвершинника на Р2 имеют
дезаргову точку, то они имеют дезаргову ось.
■ Рассмотрим проективный репер R = (А, В, С, О) , точки репера имеют
координаты
А(1, 0, 0), В(0, 1, 0), С(0, 0, 1), О(1, 1, 1). Прямая (ОА) задается уравнением:
(ОА):
х1
1
1
х2
1
0
х3
1 0
0
, т.е. (ОА): х2 – х3 = 0.
Точка А' лежит на прямой (ОА) с уравнением х2 – х3 = 0 и не совпадает с
точкой А(1, 0, 0), поэтому ее координаты можно обозначить так: А'(а, 1, 1), где
а – некоторое действительное число. Прямая (ОВ) задается уравнением:
(ОВ):
х1
1
0
х2
1
1
х3
1 0
0
, т.е. (ОВ): х3 – х1 = 0.
Точка В' лежит на прямой (ОВ) с уравнением х3 – х1 = 0 и не совпадает с
точкой В(0, 1, 0), поэтому ее координаты можно обозначить так: В'(1, b, 1), где
b – некоторое действительное число. Прямая (ОС) задается уравнением:
(ОС):
х1
1
0
х2
1
0
х3
1 0
1
, т.е. (ОС): х1 – х2 = 0.
61
Точка С' лежит на прямой (ОС) с уравнением х1 – х2 = 0 и не совпадает с
точкой С(0, 0, 1), поэтому ее координаты можно обозначить так: С'(1, 1, с), где
с – некоторое действительное число.
Найдем координаты точки М = (АВ) ∩ (А'В'). Прямая (АВ) задается
уравнением: х3 =0.
Найдем уравнение прямой (А'В'):
(А'В'):
х1
а
1
х2
1
b
х3
1 0
1
1
2
3
, т.е. (А'В'): 1  bx  x a  1  x ab  1  0 
(1  b) x 1  x 2 (a  1) 
x1 a  1

x2 1 b .
Таким образом, точка М имеет координаты (а - 1, 1 - b, 0).
Найдем координаты точки N = (ВС) ∩ (В'С'). Прямая (ВС) задается
уравнением: х1 =0.
Найдем уравнение прямой (В'С'):
(В'С'):
х1
1
1
х2
b
1
х3
1 0
с
1
2
3
, т.е. (В'С'): bс  1x  x a  1  x 1  b  0 
Таким образом точка N имеет координаты (0, 1 - b, с - 1).
Найдем координаты точки К = (АС) ∩ (А'С'). Прямая (АС) задается
уравнением: х2 =0.
Найдем уравнение прямой (А'С'):
(А'С'):
х1
а
1
х2
1
1
х3
1 0
с
1
2
3
, т.е. (А'С'): с  1x  x aс  1  x а  1  0 
Таким образом точка К имеет координаты ( 1 - а, 0, с - 1).
Установим принадлежность точки M, N и К одной прямой l:
62
a 1 1 b
0
0
1  b c  1  (a  1)(1  b)(c  1)  (1  b)(1  a )(c  1)  0 
1 a
0
c 1
M , N, K  l
■.
Теорема Дезарга(обратная).
Если два трехвершинника имеют дезаргову ось, то они имеют и
дезаргову точку.
Доказательство теоремы осуществляется по малому принципу двойственности.
§ 5. Сложное отношение четырёх точек на плоскости. Свойства.
П.1.
Пусть на проективной прямой d даны точки А, В, С и D так, что А, В и С –
различные точки, а D не совпадает с точкой А. Рассмотрим проективный репер
Rº = (А, В, С) прямой d и обозначим через (х¹, х²) координаты точки D в этом
репере. Так как точка D не совпадает с точкой А, то х² ≠ 0.
Определение.
Число
х¹/х²
называется
сложным
(двойным
или
ангармоническим) отношением точек А, В, С, D и обозначается так: (АВ, СD).
Теорема 1. Если А, В и С – различные точки прямой, а λ – любое
действительное число, то на данной прямой существует одна и только одна
точка Х, такая, что
(АВ, СХ)= λ.
■ На данной прямой введём репер R = (А, В, С) и в этом репере
рассмотрим точку Х с координатами (λ, 1). По определению (АВ, СХ)= λ.
Докажем
теперь,
что
точка
Х,
удовлетворяющая
условию
теоремы,
единственная. Пусть для какой- то точки Х'(х¹, х²) данной прямой (АВ, СХ')= λ.
63
Тогда по определению сложного отношения х¹/х² = λ, х¹/х² = λ/1. мы видим, что
координаты точек Х и Х' пропорциональны, поэтому эти точки совпадают. ■
Следствие. Если на прямой даны точки А, В, С, D и D', удовлетворяющие
условию (АВ, СD) =(АВ, СD'), то точки D и D' совпадают.
Докажем теорему, позволяющую вычислить сложное отношение четырёх
точек прямой по их координатам.
Теорема 2. Если точки А, В, С, D, лежащие на некоторой прямой, имеют
в репере R координаты А(а¹, а²), В(b¹, b²), С(с¹, с²), D(d¹, d²), причем точки А, В,
С различны и точка D на совпадает с точкой А, то
 AB, CD  
a1
a2
c1
c2
b1
b2
d1
d2
a1
a2
d1
d2
b1
b2
c1
c2
(1)
■ Рассмотрим репер Rº = (A, B, C) и запишем формулы преобразования
координат при переходе от репера R к реперу Rº. Для этого заметим, что
координаты точек А и В могут быть записаны в виде А ( k¹a¹, k¹a² ),
B ( k²b¹, k²b² ). Матрица перехода от репера R к реперу Rº имеет вид:
 1 a 1
 1 2
 a
 2 b1
 2b 2
c1 

c2 
Подберем числа k¹ и k² так, чтобы столбцы этой матрицы были
согласованы:
k¹a¹ + k²b¹ = c¹,
k¹a² + k²b² = c² .
Тогда формулы (10) §3 принимают вид:
ρx¹ = k¹a¹x'¹ + k²b¹x'²
64
ρx² = k¹a²x'¹ + k²b²x'² (3)
Пусть y¹, y²- координаты точки D в репере Rº. По формулам (3) получаем:
ρd¹ = k¹a¹y¹ + k²b¹y² ,
ρd² = k¹a²y¹ + k²b²y².
Отсюда находим y¹ и y²:
d 1  2 b1
d 2  2 b 2
1
y 
,
 1 2 
 1 a 1 d 1
 1 a 2 d 2
2
y 
 1 2 
где
a1
 2
a
b1
b2
Таким образом,
d¹ b¹
y¹
(AB,CD) =
k² d² b²
=
y²
.
k¹ a¹ d¹
a² d²
Решив систему (2) относительно k¹ и k², получим:
k¹ =
с¹ b¹
а¹ c¹
c² b²
а² c²
k² =
.
Δ
Δ
Подставив эти значения в предыдущее соотношение, получаем искомое
равенство (1).■.
П.2.
Имеют место следующие свойства сложного отношения четырёх точек
прямой.
65
1º. (AB, CD) = (CD, АВ).
2º .
1
(AB,CD)=
1
, если (AB, CD ) ≠ 0.
, (AB,CD)=
(AB, DC)
(BA, CD)
3º. (AB,CD)=(BA,DC).
4º. (AB, CC) = 1, (AB, CВ) = 0.
5º. (AB,CD)+(AC,BD)=1.
Для доказательства равенств 1º― 3º выберем на прямой произвольный
репер и введем в рассмотрение координаты точек: A(a¹, a²), B(b¹, b²), C(c¹, c²),
D(d¹, d²). Пользуясь формулой (1), непосредственным вычислением убеждаемся
в справедливости этих свойств. Свойство 4º следует из определения сложного
отношения четырех точек прямой.
Для доказательства свойства 5º рассмотрим репер Rº=(A,B,C) и обозначим
через (d¹,d²) координаты точки D в этом репере. В репере Rº точки А, В, С
имеют координаты: A(1,0), С(1,1), В(0,1), поэтому по формуле (1) получаем:
1 0 1 d¹
0 1 1 d²
(AC,BD)=
d²-d¹
=
1 d¹ 1 0
d¹
=1-
d²
.
d²
0 d² 1 1
d¹
Так как d²=(AB,CD), то из этого соотношения следует равенство 5º.
Заметим, что если известно сложное отношение точек А, В, С, D, заданных
в определенном порядке, то, пользуясь формулами 1º - 5º , можно найти
сложное отношение тех же точек, заданных в любом другом порядке. В самом
деле, пусть(AB, CD) = ξ ≠ 0. Найдем, например, (AD,BC). По свойству 5º (AD,
BC) = 1 - (AB, DC). Но
66
1
1
=
(AB,DC)=
(AB,CD)
1
, поэтому (AD, ВС) = 1-
ξ
ξ-1
=
ξ
.
ξ
П.3.
Пусть А,В,С, D – четыре точки прямой g. Будем говорить, что пара точек
А, В разделяет пару точек С, D, если (AB,CD)<0, и не разделяет пару точек C,
D, если (АB,CD)>0. Из свойств 1º - 3º пункта 2 следует, что понятие
разделённости не зависит от того, в каком порядке рассматриваются пары А,В
и С,D, и от того, в каком порядке рассматриваются точки в каждой паре.
Другими словами, если пара А, В разделяет пару C, D, то пара С, D разделяет
пару А, В, пара А, В разделяет пару D, C, пара D, C разделяет пару А, В и т.д. С
другой стороны, если пара А, В разделяет пару C, D, то из свойства 5º п.2
следует, что пара А, С не разделяет пару В, D.
Таким образом две точки А и В на проективной прямой g разделяют
множество всех остальных точек прямой на два непустых подмножества так,
что если точки М и N принадлежат разным подмножествам, то пара А, В
разделяет пару М, N, а если они принадлежат одному подмножеству, то пара А,
В не разделяет пару М, N. Каждое из этих подмножеств вместе с точками А и В
называется проективным отрезком с концами А и В. Так на проективной
прямой две точки определяют не один отрезок, как на евклидовой прямой, а два
отрезка аналогично тому, как две точки окружности на евклидовой плоскости
определяют две дуги с концами в этих точках.
П,4.
Докажем теорему, которая раскрывает геометрический смысл сложного
отношения четырех точек расширенной прямой.
Теорема 3. Если А, В, С, D – собственные точки, а Р∞ - несобственная
точка расширенной прямой, то
67
(AB, C)
, (4) (AB, CP∞) = – (AB, C), (5)
(AB, CD)=
(AB, D)
где (AB,C) и (AB,D) – простые отношения соответствующих точек.
■ На расширенной прямой выберем репер Ř = (P∞, А, В) и введем в
рассмотрение координаты данных точек в этом репере: P∞(1, 0), А(0, 1), В(1, 1),
C(c¹, c²), D(d¹, d²). Здесь c¹, c², d¹, d² - действительные числа, причем c² ≠ 0, d² ≠
0.
По формуле (1) находим:
 AB, CD  
0 c1 1 d 1
1 c2 1 d 2
0 d 1 1 c1
1 d 2 1 c2
 AB, CP  
0 c1 1 1
1 c2 1 0
0 1 1 c1
1 0 1 c2





c1 d 2  d 1
c1  d 

1
2
1
d 1  c 
d c c
(6)

c1
c

,
c1  c 2 1  c
0 c¹ 1 1
1 c² 1 0
(AB,CP∞)=
=
0 1 1 c¹
–c
c¹
=
c¹–c²
,(7)
1–c
1 0 1 c²
где с= c¹ / c², d = d¹ / d².
Напомним, что λ = (M¹M², M) есть отношение, в котором точка М делит
1
2
отрезок M¹M: М М   ММ . Если точки M¹, M², М в системе координат А,
68
АВ
имеют соответственно координаты x¹, x², x, то очевидно, что


М 1 М  х  х1 А В ,


ММ 2  х 2  х А В , поэтому
М
1

М 2,М 
х  х1
х 2  х .(8)
Точки А, В, С, D в системе А, А В имеют координаты: А(0), В(1), С(с),
D(d). По формуле (8) находим:
 АВ, С  
с
1 с
 AB, D  
,
d
.
1 d
Отсюда, учитывая выражения (6) и (7), приходим к искомым формулам (4) и
(5).
§ 6. Сложное отношение четырех прямых пучка.
П.1.
Рассмотрим две прямые g и g' проективной плоскости и точку О этой
плоскости, не лежащую на данных прямых. Пусть точка М – произвольная
точка прямой g, а M' – точка пересечения прямых ОМ и g'. Точка М' называется
проекцией точки М на прямую g' ( из центра О).
Теорема. Если А, В, С, D – точки прямой g, а А', В', С', D' – их проекции на
прямую g' из точки О, то (АВ, СD) = (А'В',С'D').
■ Рассмотрим на плоскости два проективных репера R = (А, В, О, Е) и R' =
(А', В', О, Е), где Е – точка на прямой ОС, отличная от точек О, С и С' ( рис.19)
Точка А' лежит на прямой ОА с уравнением х² = 0 и не совпадает с точкой О,
поэтому её координаты в репере R можно обозначить так: А' (1, 0, а).
Аналогично координаты точки В' обозначим так:
69
В' (0, 1, b). Точки О и Е в репере R имеют координаты: О (0, 0, 1), Е (1, 1, 1).
Запишем матрицу перехода от репера R к реперу R' :
 k1
0
0 1


2
k
0 1
 0
 k 1 a k 2 b k 3 1


и подберём k¹, k²
и k³ так, чтобы
столбцы этой
О
матрицы были согласованы: k¹ = k² =
1,
g
k³ =1 – а – b. Тогда формулы (6) §3 в
А C
B
D
данном случае принимают вид ρх¹ =
х'¹, ρх² = х'²,
C'
B'
ρх³ = ах'¹ + bх'² + (1 – а – b)х'³. Если
точка D в реперах R и R' имеет
соответственно координаты D (у¹, у²,
D'
A'
g'
Рис.19.
у³), D(у'¹, у'², у'³), то из первых двух равенств получаем: у¹/у² = у'²/у'¹. По
теореме о координатах проекции точки на
координатную прямую точка D на прямой g в
репере (А, В, С) имеет координаты (у¹, у²), а точка D' на прямой g' в репере (А',
В', С') – координаты(у'¹, у'²).Поэтому (АВ, СD) = у¹ / у², (А'В',С'D') = у¹ / у'², и,
следовательно,
(АВ, СD) = (А'В',С'D'). ■
П.2.
Пользуясь доказанной теоремой, решим следующую задачу, необходимую
для дальнейшего изложения.
Задача. В репере R = (А¹, А², А³, Е) задана прямая параметрическими
уравнениями х¹ = λp¹ + μq¹,х² = λp² + μq², х³ = λp³ + μq³, проходящая через две
70
точки Р(p¹, р², р³) и Q(q¹, q², q³). Доказать, что если две точки М¹ и М² этой
прямой имеют параметры М¹(λ¹, μ¹), М²( λ², μ²), то (PQ, М¹М²) = μ¹λ² / λ¹μ². (1)
Решение. Предположим, что прямая PQ не проходит через точку А³.
Обозначим через P', Q', М'¹, М'² проекции точек P, Q, М¹, М² на прямую А¹А² из
центра А³. По теореме 2 §3 эти точки имеют следующие координаты на прямой
А¹А² в репере R³ = (А¹, А², Е³), где Е³ - точка пересечения прямых А³Е и А¹А²:
P'(p¹, p²), Q'(q¹, q²), М¹( λ¹p¹ + μ¹q¹, λ¹p² + μ¹q²), М²( λ²p¹ + μ²q¹, λ²p² + μ²q²).
Пользуясь формулой (1) §9, после несложных выкладок получим
(P'Q', М'¹М'²)= μ¹λ²/λ¹μ².
По предыдущей теореме (P'Q', М'¹М'²) = (РQ, М¹М²), поэтому справедливо
равенство (1).
Равенство (1) верно также и том случае, когда прямая PQ проходит через
точку А³. В этом случае одна из точек А¹ или А², например А², не лежит на этой
прямой. Тогда точки Р, Q, М¹, М² проектируем из центра А³ на прямую А¹А³ и
аналогично предыдущему приходим к формуле (1).
О
П.3.
Пользуясь теоремой, доказанной в
П.1,
введём
понятие
четырёх
прямых пучка.
сложного
А
отношения
a
B
b
C
c
D
d
Рис.20.
Определение. Пусть а, b, c, d – четыре прямые некоторого пучка с
центром О (рис.20). Рассмотрим произвольную прямую g, не проходящую через
точку О, и обозначим через А, В,С, D точки пересечения прямой g с прямыми а,
b, c, d. Число (АВ, СD) называется сложным отношением прямых а, b, c, d и
71
обозначается так: (аb, cd).
Из теоремы, доказанной в п. 1, следует, что (аb, cd) не зависит от выбора
прямой g
Из свойств сложного отношения четырёх точек прямой вытекает
следующие свойства
сложного отношения четырёх прямых пучка.
Свойство 1º. (аb, cd) = (cd, аb).
Свойство 2º. (аb, cd) = 1 / (аb, dс), (аb, cd) = 1 / (bа, cd), если (аb, cd) ≠ 0.
Свойство 3º. (аb, cd) = (bа, dс).
Свойство 4º. (аb, cс) =1, (аb, cb) = 0.
Свойство 5º. (аb, cd) + (ас, bd) = 1.
§ 7. Полный четырёхвершинник. Гармоническая четвёрка точек.
П.1.
Рассмотрим на проективной прямой четыре точки А, В, С, D.
Определение. Будем говорить, что пара точек А и В гармонически
разделяет паруточек С, D (или гармонически сопряжена с парой точек С,
D),если (АВ, СD) = -1.
Нетрудно видеть, что если (АВ, СD) = -1, то имеют место соотношения
(ВА, СD) = -1, (АВ, DС) = -1, (СD, АВ) = -1. Таким образом, точки,
составляющие как первую, так и вторую пару, равноправны между собой.
Равноправны также пары А, В и С, D.
72
П.2.
Определение.
Полным
четырёхвершинником
называется
фигура,
состоящая из четырёх точек проективной плоскости, никакие три из которых
не лежат на одной прямой, и шести прямых, соединяющих попарно эти точки.
Указанные точки называются вершинами, а прямые – сторонами полного
четырёхвершинника.
На рисунке 21 изображен полный четырёхвершинник АВСD с вершинами
в точках А, В, С и D и сторонами АВ, ВС, СD, DА, АС и ВD. Стороны, не
имеющие общей вершины,
называются противоположными.
В
четырёхвершиннике
АВСD
В
С
противоположными являются стороны
АВ и СD, ВС и DА, АС и ВD. Точки
A
прямые,
попарно
соединяющие
P
D
пересечения противоположных сторон
называются диагональными точками, а
R
Q
Рис.21.
диагональные точки, - диагоналями полного четырёхвершинника. На рисунке
21 P, Q и R - диагональные точки, а PQ, QR и RP – диагонали полного
четырёхвершинника АВСD.
Лемма. Диагональные точки полного четырёхвершинника не лежат на
одной прямой.
■ Рассмотрим полный четырёхвершинник АВСD и докажем, что его
диагональные точки P, Q и R не лежат на одной прямой (рис.21). Для этого
рассмотрим репер (А, В, С,D) и найдём координаты точек P, Q и R в этом
репере. Прямые АС и ВD имеют уравнения х² = 0, х¹ = х³, поэтому точка R
имеет координаты: R(1, 0, 1). Аналогично находим координаты двух других
диагональных точек P(0, 1, 1), Q(1, 1, 0). Так как
73
1 0 1
0 1 1  0,
1 1 0
, то точки P, Q и R не лежат на одной прямой. ■
П.3.
Докажем теперь следующую важную теорему.
Теорема. На каждой диагонали полного четырёхвершинника диагональные
точки гармонически разделяют две точки, в которых эта диагональ
пересекает стороны, проходящие через третью диагональную точку.
■ Пусть АВСD – полный
четырёхвершинник, P, Q и R –его
диагональные
точки
В
(рис.22).
Докажем, что на диагонали PQ
точки P, Q гармонически разделяет
А
пару точек
R
М и N, в которых эта диагональ
C
пересекает
D
стороны ВD и АС, проходящие через
P
точку R.
M
Q
N
Для этого спроектируем точки P, Q,
Рис.22.
M, N на
прямую АС сначала из центра В, а затем из центра D. По теореме § 5 имеем:
(PQ, MN) = (АС, RN), (1)
(PQ, MN) = (СА, RN). (2)
74
Так как (АС, RN) = 1 / (СА, RN), то из равенств (1) и (2) получаем
(PQ, MN) = 1 / (PQ, MN) или (PQ, MN)² = 1. Точки М и N не совпадают,
поэтому (PQ, MN) ≠ 1, т. е. (PQ, MN) = -1. ■
Из равенства (1), учитывая, что (AC, RN) = –1.Мы пришли к следующему
утверждению.
Следствие
1.
Две
вершины,
лежащие
на
стороне
полного
четырёхвершинника, гармонически разделяют пару точек, состоящую из
диагональной точки и точки, в которой эта пересекает диагональ, проходящую
через две другие диагональные точки.
Рассмотрим четыре прямые а, b, с, d некоторого пучка. Будем говорить, что
пара прямых а, b гармонически разделяет пару прямых с, d, если (аb, сd) = -1.
На рисунке 22пара прямых RМ, RN гармонически разделяют пару RP, RQ,
так как
(МN, PQ) = -1. Таким образом, приходим к утверждению.
Следствие
2.
Две
противоположные
стороны
полного
четырёхвершинника
гармонически разделяют две диагонали, проходящие через точку пересечения
этих сторон.
П.4.
На проективной плоскости, так же как и на евклидовой плоскости, можно
решать задачи на построение. Здесь задачи на построение решаются только с
помощью линейки. При этом предполагается, что с помощью линейки как
инструмента геометрических построений можно строить прямые, проходящие
через данные или построенные точки.
Таким образом, при решении задач на построение основными фигурами на
проективной плоскости являются точки и прямые. Так же, как и на евклидовой
75
плоскости, точки и прямые, заданные условиями задачи на построение,
считаются построенными фигурами и множество построенных фигур конечно.
Кроме того, мы считаем, что существует хотя бы одна построенная прямая, на
любой построенной прямой существуют по крайней мере три построенные
точки и вне построенной прямой существуют построенные точки.
Сформулируем постулаты построений на проективной плоскости, т. е.
утверждения о допустимых шагах построений.
1. Построение прямой, проходящей через две построенные точки.
2. Построение точки пересечения двух построенных прямых.
Постановка задачи на построение на проективной плоскости формулируем
следующим образом. Дано конечное множество построенных точек и прямых и
описано свойство, характеризующее искомую не построенную точку или
прямую. Требуется, используя постулаты построений, получить конечное
множество точек и прямых, содержащих искомые элементы.
76
Глава 2. Кривые второго порядка.
§1. Определение кривых второго порядка. Точки пересечения прямой и
кривой второго порядка на проективной плоскости.
Определение.
Множество
всех
точек
проективной
плоскости,
координаты которых некотором репере R удовлетворяют однородному
уравнению второй степени, т. е. уравнению вида
а11 x1² + 2a12 x1 x2 + a22 x2² + 2a13 x1 x3 + 2a23 x2 x3 + a33 x3² = 0, (1)
называется линией или кривой второго порядка.
Мы предполагаем ,что все коэффициенты аij
в уравнении (1) –
действительные числа, не обращающиеся одновременно в нуль, и аij=aji
при i, j = 1, 2, 3.
Уравнение (1) в сокращенном виде запишется так: Σаij хi хj = 0. (2)
Нетрудно доказать, что понятие линии второго порядка не зависит от
выбора репера R. В самом деле, пусть фигура γ в репере R = (А1, А2, А3, Е)
имеет уравнение (2). Если R' – новый проективный репер, то формулы
преобразования координат точек при переходе от репера R к реперу R' = (А1',
А2', А3', Е') можно записать в виде
ρхi = сi1 х'1 + сi2 х'2 + сi3 х'3, i = 1, 2, 3.
Подставив эти выражения в уравнение (2), получим уравнение фигуры γ в
новом репере: Σа'ij х'i х'j = 0, (3)
где аij = ∑сki аkl сlj , k, l = 1, 2, 3. (4)
Рассмотрим векторное пространство V трех измерений, которое порождает
 

проективную плоскость. Если а1 , а 2 , а3 - векторы, порождающие точки А1 , А2,

 /
/
/
А3, а а1 (с11, с21, с31), а 2 (с12, с22, с32), а 3 (с31, с32, с33) – векторы, порождающие
77

точки А1', А2', А3', то формулы (4) в точности совпадают с формулами q( х ) =
gijxixj, по которым меняются коэффициенты квадратичной формы на
  
а
пространстве V при переходе от базиса 1 , а 2 , а3 к базису
/  /  /
а1 , а 2 , а 3 . Поэтому
левая часть уравнения (1) ( где по условию матрица А = ║аij║ ненулевая)
определяет на пространстве V некоторую квадратичную форму

g( х ) = Σаij хi хj. (5)
Следовательно, матрицы А = ║аij║ и А' = ║аij'║ имеют один и тотже

ранг, равный рангу квадратичной формы g( х ). Отсюда, в частности, следует,
что матрица А' ненулевая, т. е. в репере R' фигура γ определяется уравнением
второй степени (3). Тем самым доказано, что понятие линии второго порядка не
зависит от выбора репера.
П.2.
Определение. Ранг квадратичной формы (5) называется рангом линии
второго порядка, заданной уравнением (1). Линия называется невырожденной,
если ранг r этой линии равен трем, и вырожденной, если r < 3.
Характерное свойство невырожденной линии второго порядка выражено в
следующей лемме.
Лемма. Любая прямая пересекает невырожденную линию второго
порядка не более чем в двух точках.
■ Утверждение леммы докажем методом от противного. Пусть какая-то
прямая d имеет, по крайней мере, три общие точки М1, М2, М3 с данной линией
второго порядка γ. Проективный репер R = ( А1, А2, А3, Е) выберем так, чтобы
точки А1 и А2 совпадали с точками М1 и М2, а точка пересечения прямых А1А2
и А3Е – с точкой М3 ( рис., на этом рисунке линия γ не изображена). Запишем
78
уравнение линии γ в виде (1). Точки М1, М2, М3 имеют координаты (1, 0, 0), (0,
1, 0) и (1, 1, 0), поэтому, подставив эти значения в уравнение (1), получаем
а11 = а12 = а21 = а22 = 0. Мы пришли к противоречию, та как отсюда следует,
что γ – вырожденная линия. ■
П.3.
Покажем, что понятия линии второго порядка и ее ранга являются
проективными понятиями, т. е. не меняются при проективных преобразованиях
плоскости. В самом деле, пусть в репере R линия второго порядка ранга r
задана уравнением (1).
Рассмотрим произвольное проективное преобразование f плоскости и
обозначим через γ' образ линии γ, а через R' образ репера R в этом
преобразовании. В преобразовании f (по основной теореме) каждая точка М
плоскости с координатами х1, х2, х3 в репере R переходит
в точку М' с координатами х1, х2, х3 в репере R'. Поэтому
множество γ' в репере R' задается тем же уравнением (1).
l
Отсюда следует, что γ' – линия второго порядка ранга r.
Итак, доказана теорема.
l
A
Теорема. При любом проективном преобразовании
l
линия второго порядка ранга r переходит в линию
второго порядка того же ранга r.
Рис.23.
Следствие 1. Если прямая l пересекает линию
второго порядка γ в двух точках, то прямая l
называется секущей.
Следствие 2. Если прямая l пересекает линию второго порядка γ в двух
совпадающих точках, то прямая l называется касательной к линии γ.
79
Следствие 3. Если прямая l и линия второго порядка γ не пересекаются,
то говорят, что прямая l пересекаетлинию γ в двух мнимосопряженных
точках.
§2. Классификация линии второго порядка.
П.1.
Пусть линия второго порядка γ в репере R имеет уравнение
Σаij хi хj = 0. (1)
Рассмотрим квадратичную форму

g( х ) = Σаij хi хj
(2) в векторном
пространстве V трех измерений, которое порождает проективную плоскость. В
пространстве V всегда существует базис
/  /  /
а1 , а 2 , а 3 , в котором квадратичная
форма (2) имеет нормальный вид (т.е. представима в виде суммы квадратов с
коэффициентами +1,-1) . Рассмотрим точки





А1', А2', А3', Е' , которые



порождаются векторами а1 / , а 2 / , а 3 / , е  , где е  = а1 / + а 2 / + а 3 / . В репере R' = ( А1',
А2', А3', Е') уравнение линии γ имеет вид:
ε1х1'х1' + ε2х2'х2' + ε3х3'х3' = 0, (3)
где коэффициенты ε1, ε2, ε3 равны -1, +1 или 0, но не все они одновременно
равны нулю.
Рассмотрим три возможных случая в зависимости от ранга r линии γ.
А) r = 3. В этом случае можно считать, что в уравнении (3) ε1 = ε2 = 1, ε3 = ±1.
Мы получаем два типа невырожденных линий второго порядка:
х12  х 22  х32  0 (4)
х12  х 22  х32  0 (5)
Определение. Линия, заданная уравнением (4), не имеет ни одной
вещественной точки; она называется нулевой линией второго порядка. Линия,
заданная уравнением (5), называется овальной линией второго порядка.
80
Б) r = 2. Можно считать, что в уравнении (3) ε1 = ε2 = 1, ε3 = 0 или ε1 = 1, ε2 = -1,
ε3 = 0. Получаем два типа линии второго порядка ранга 2:
х12  х22  0 (6)
х12  х22  0 . (7)
Уравнением (6) задается линия, распадающаяся на пару мнимых прямых:
х1 + iх2 = 0 и х1 - iх2 = 0, пересекающихся в вещественной точке (0, 0, 1).
Уравнением (7) задается линия, которая распадается на пару вещественных
прямых: х1 + х2 = 0 и х1 - х2 = 0.
В) r = 1. Можно считать, что в уравнении (3) ε1 = 1, ε2 = ε3 = 0. Получаем линию,
заданную уравнением
х12  0 . (8)
В этом случае говорят, что линия γ представляет собой пару совпадающих
прямых: х1=0 и х1=0.
Уравнения
(4)
–
(8)
называются
каноническими
уравнениями
соответствующих линий.
Итак, на проективной плоскости существует пять типов линий второго
порядка, представленных в следующей таблице:
Название линии
Каноническое
Ранг
уравнение
линии
1
Овальная линия
х12  х 22  х32  0
3
2
Нулевая линия
х12  х 22  х32  0
3
3
Пара прямых
х12  х22  0
2
4
Пара мнимых прямых
х12  х22  0
2
5
Пара совпадающих прямых
х12  0
1
81
П.2.
Эта классификация проведена по рангу линий второго порядка и по
наличию вещественных точек. Эти характеристики линий второго порядка не
меняются при любых проективных преобразованиях плоскости. Поэтому
указанные типы линий проективно различны, т. е. не существует проективного
преобразования, которое переводит линию одного типа в линию другого типа.
С другой стороны, любые две линии одного т того же типа проективноэквивалентны. Пусть, например, γ и γ' – две овальные линии, которые в реперах
R и R' заданы каноническими уравнениями:
2
2
2
(γ): х1  х 2  х3  0 ,
(γ'): х' 12 + х' 22 + х' 32 = 0 (9)
Рассмотрим проективное преобразование f, которое репер R переводит в
репер R'. В этом преобразовании каждая точка плоскости с координатами х1, х2,
х3 переходит в точку с координатами х'1 = λх1, х'2 = λх2, х'3 = λх3, поэтому образ
линии γ в репере R' имеет уравнение (9). Это означает, что в преобразование f
линия γ переходит в линию γ'.
В дальнейшем мы не будем рассматривать линии, которые распадаются на
пару прямых.
§ 3. Полярное соответствие относительно линии второго порядка. Полюс и
поляры.
П. 1.
Пусть на проективной плоскости Р2 заданы репер R = (Еi, Е) и
невырожденная линия второго порядка γ. Пусть γ задаётся уравнением ∑аij хi хj
= 0 и является овальной линией. Проективная плоскость Р2 порождается
трёхмерным векторным пространством V3, репером которого является
 
согласованная система векторов еi , е. В векторном пространстве V3 зададим
квадратичную форму q (х) = ∑аij хi хj
(1). Нам известно, что каждой
 
квадратичной форме q соответствует единственная билинейная форма g ( х , у ).
82
Определение. Будем говорить, что векторы

х и

у
сопряжены
относительно симметрической билинейной формы g, если они ненулевые и
 
удовлетворяют условию: g ( х , у ) = 0.

В векторном пространстве V3 зафиксируем вектор х 0 ( х 0 ) , и найдём

множество векторов у , сопряженных данному вектору относительно
 
билинейной формы. Таким образом, должно выполняться условие g ( х 0 , у ) = 0,
i
т. е. аij х i0 уj = 0. Приведём подобные в последнем выражении и получим: (аij х i0 )
уi = 0 (2). Из этого следует, что bi у j = 0, т. е.
b1 у1 + b2 у2 + b3 у3 = 0.
Таким образом, множество векторов, сопряженных данному вектору
относительно данной билинейной формы, образует двумерное векторное
пространство.
Определение. На проективной плоскости Р2 возникает соответствие
называемое полярным, которое каждой точке М0 ставаит в соответствие
единственную прямую l, порождаемую векторами сопряженными вектору,
который порождает точку М0. (если задана овальная линия второго порядка).
Определение. Точки М0 (х i0 ) и М (х j) называются полярно-сопряженными
относительно линии второго порядка: ∑аij хi хj = 0, если выполняется условие:
∑аij х i0 х
j
= 0
(3). (т. е. они порождаются векторами сопряженными
относительно соответствующей билинейной формы).
Определение. Полярой точки М0 называется множество точек,
лежащих на прямой, полярно-сопряженной с точкой М0. Точка М0 называется
полюс.
83
Замечание 1. Если задана линия второго порядка на проективной
плоскости, то возникает следующие соответствия:
а) каждой точке в соответствие ставится единственная поляра;
б) каждой прямой в соответствие ставится единственный полюс.
Замечание 2. Если линия второго порядка задана уравнением ∑аij хi хj = 0,
то уравнение поляры точки М0 (х i0 ) имеет вид: ∑(аij х i0 ) х j = 0 или
(а11 х 10 + а21 х 02 + а31 х 30 ) х1 + (а12 х 10 + а22 х 02 + а32 х 30 ) х2 + (а13 х 10 + а23 х 02 + а33 х 30 )
х3 = 0.
Замечание 3. Поляра данной точки проходит через саму точку тогда и
только тогда, когда координаты точки удовлетворяют уравнению линии
второго порядка. (т. е. когда точка Р лежит на линии второго порядка)
П. 2.
Теорема 1. Если точка Р (р1, р2, р3) принадлежит линии второго порядка
γ, то её полярой является касательная, проведённая к линии γ через точку Р.
 Запишем уравнение касательной l, проведённой через точку Р (р1, р2,
р3).
На прямой возьмем точки А1(а1, а2, а3) и А2(а1, а2, а3),совпадающие с точкой Р, и
 х 1  а 1  b1
 2
2
2
составим уравнение прямой (А1А2): l = (А1А2):  x  a  b .
 x 3  a 3  b 3

Линия второго порядка γ задается уравнением:
а11 x1² + 2a12 x1 x2 + a22 x2² + 2a13 x1 x3 + 2a23 x2 x3 + a33 x3² = 0.
84
Так как точки А1, А2 и Р совпадают, то их координаты равны, т.е. аi = bi =
рi,а значит и уравнение линии перепишется в следующем виде:
а11 ( а1  b1 )² + 2a12 ( а1  b1 )( a 2  b 2 ) + a22 ( a 2  b 2 )² + 2a13 ( а1  b1 )( a3  b3 )
+
+2a23 ( a 2  b 2 )( a3  b3 ) + a33 ( a3  b3 )² = 0.
а
11

(а 1 ) 2  а 22 (а 2 ) 2  а33 (а 3 ) 2  2а12 а 1 а 3  2а13 а 1 а 3  2а 23 а 2 а 3 2 


 2 а11a 1b1  a 22 a 2 b 2  a33 a 3 b 3  a12 (a 1b 2  a 2 b1 )  a13 (a 1b 3  a 3 b1 )  a 23 (a 2 b 3  a 3 b1 ) 
 2 а11 (b1 ) 2  а 22 (b 2 ) 2  а33 (b 3 ) 2  2а12b1b 3  2а13b1b 3  2а 23b 2 b 3   0.
Разделим обе части уравнения на μ и получим квадратное уравнение
относительно

:

2

а11 (а )  а 22 (а )  а33 (а )  2а12 а а  2а13 а а  2а 23 а а   


1 2
2

2 2
3 2
1
3
1
3
2
3



а11a 1b1  a 22 a 2 b 2  a33 a 3 b 3  a12 (a 1b 2  a 2 b1 )  a13 (a 1b 3  a 3 b1 )  a 23 (a 2 b 3  a 3 b1 ) 


 а11 (b1 ) 2  а 22 (b 2 ) 2  а33 (b 3 ) 2  2а12b1b 3  2а13b1b 3  2а 23b 2 b 3  0.
Таким образом, существует единственное значение

,

при
котором
дискриминант уравнения равен нулю.
Вывод: Если Р(рi) принадлежит линии второго порядка, то уравнение
касательной в этой точке к линии имеет вид: (аij рi)хj = 0. ■
Теорема 2. (о взаимности) Если точка Р (рi) лежит на поляре точки Q (q
j
), то точка Q лежит на поляре точки Р.
85
 Пусть линия второго порядка задана уравнением ∑аij хi хj = 0. Точке Р
(рi) соответствует поляра р, определяемая уравнением ∑аij рi х j = 0. Точке Q (q
j
) соответствует поляра q, определяемая уравнением ∑аij qi х j = 0. Пусть Р (рi)
принадлежит прямой q, тогда выполняется равенство: ∑(аij qi)р j = 0. Другими
словами ∑(аij рi)q j = 0, т. е. точка Q (q j) принадлежит прямой р. ■
П.2.
Геометрический смысл полярной сопряжённости.
Теорема 1.(геометический смысл полярной сопряжённости точек Р,Q
относительно γ) Пусть задана линия второго порядка γ следующим
уравнением:
∑аij хi хj = 0. (1) Точки Р (р i), Q (q j) – сопряжены относительно линии γ,
прямая РQ пересекает линию γ в двух точках М1, М2 и Р, Q, М1, М2 – образуют
гармоническую четвёрку точек (Р, Q, М1, М2)=-1.
 Пусть прямая l = (РQ) задаётся следующим образом:
х1 = λ р1 + μq1,
х2 = λ р2 + μq2, (2)
х3 = λ р3 + μq3.
Найдём прямую М1М2, где М1М2 = (РQ) ∩ γ:
а11 (λ р1+ μq1) 2+ а22 (λ р2+ μq2) 2+ а33 (λ р3+ μq3) 2+ 2а12 (λ р1+ μq1)( λ р2+ μq2) +
+ 2а13 (λ р1+ μq1)( λ р3+ μq3) + 2а23 (λ р2 + μq2)( λ р3 + μq3) = 0.
а
11

( р 1 ) 2  а 22 ( р 2 ) 2  а33 ( р 3 ) 2  2а12 р 1 р 3  2а13 р 1 р 3  2а 23 р 2 р 3 2 

 2 а11 р 1 q 1  a 22 p 2 q 2  a33 p 3 q 3  a12 ( p 1 q 2  p 2 q 1 )  a13 ( p 1 q 3  p 3 q 1 )  a 23 ( p 2 q 3  p 3 q 1 )
 2 а11 (q 1 ) 2  а 22 (q 2 ) 2  а33 (q 3 ) 2  2а12 q 1 q 3  2а13 q 1 q 3  2а 23 q 2 q 3   0.
86

g ( p )  а11 ( р 1 ) 2  а 22 ( р 2 ) 2  а33 ( р 3 ) 2  2а12 р 1 р 3  2а13 р 1 р 3  2а 23 р 2 р 3

g (q )  а11 (q 1 ) 2  а 22 (q 2 ) 2  а33 (q 3 ) 2  2а12 q 1 q 3  2а13 q 1 q 3  2а 23 q 2 q 3

 
2 g ( p)  2g ( p, q )   2

g (q )  0
М2
Пусть дан репер R = (Е1, Е2, Е3, Е), линия
второго
Q
Р
M1
порядка γ, прямая l, которая пересекает линию γ в
точках М, К и содержит точки Р и Q, не
E1
P′
M1 ′ M2 ′
K Q′
E2
принадлежащие
E3
линии. Прямые (Е1Е2) и l не совпадают.
Спроектируем на прямую (Е1Е2) из точки Е3
Рис.24.
точки Р, Q, М, К, и на прямой (Е1Е2) получим точки Р', Q', М', К'. Так как при
проектировании прямой на прямую сохраняется сложное отношение четырёх
точек, то (Р, Q, М, К) = (Р', Q', М', К'). На проективной прямой точки Р', Q', М',
К' имеют следующие координаты Р'(р1, р2), Q'(q1, q2), М'(λ1р1 + μ1q1, λ1р2 + μ1q2
), К'(λ2р1 + μ2q1, λ2р2 + μ2q2). Найдём сложное отношение четырёх точек Р', Q',
М', К'.
(Р' , Q' , М' , К' ) 
р1
р2
p1
p2
1 р1
1 р 2
 2 р1
2 р 2
 1 q1 q1
 1 q 2 q 2
  2 q1 q1
  2 q2 q2
 2 р1
2 р 2
1 р1
1 р 2
  2 q1
  2 q2
 1 q1
 1 q 2
 1.
Геометрический смысл полярной сопряженности точек состоит в
следующем:
1. Две точки А и В полярно сопряжены относительно кривой γ тогда и
только тогда, когда эти точки и точки пересечения прямой (АВ) и кривой γ
образуют гармоническую четверку точек;
2. Можно дать второе определение поляры.
87
Полярой точки Р относительно линии γ называется множество таких точек
Q, которые образуют гармоническую четвёрку точек с точками пересечения
линии γ с прямой РQ.
§ 4. Конструктивное определение поляры.
Теорема. Если полный четырёхвершинник вписан в овальную линию
второго
порядка,
то
каждая
диагональ
является
полярой
третьей
диагональной точки полного четырёхвершинника.
 Пусть дан полный четырёхвершинник АВСD, который вписан в овальную
линию второго порядка γ. Точки Р = (АD) ∩ (ВС), Q = (АВ) ∩ (СD), R = (АС) ∩
(ВD)
являются
диагональными
точками.
Найдём
поляру
точки
R,
принадлежащую прямой (АС). На прямой (АС ) лежит гармоническая четвёрка
точек (А С Р N) = - 1, где N есть точка пересечения прямых (АС)и (РQ). Точка R
также принадлежит прямой (ВD), на которой лежит гармоническая чевёрка
точек (В D R М) = - 1, где М – точка пересечения прямых (ВD)и (РQ). Таким
образом, прямая (МN) является полярой точки R относительно линии γ. Так как
точки Р и Q принадлежат прямой (МN), то прямая (РQ), которая является
диагональю полного четырёхвершинника, является полярой диагональной
точки R. ■
Следствие. Если поляра не пересекает овальную линию второго порядка,
то её полюс лежит внутри линии.
Если поляра пересекает овальную линию второго порядка, то её полюс не
лежит внутри линии.
88
Рассмотрим один из способов построения поляры точки.
Пусть дана точка Р, не принадлежащая овальной линии второго порядка γ.
Построим поляру точки Р.
Построение:
1. Построим точку Р и линию γ;
2. Построим прямую l1, проходящую
C
B
P
через точку Р и пересекающую линию
γ в точках В, С;
l1
R
A
D
l2
Q
3. Построим прямую l2, проходящую
Рис.25.
через точку Р и пересекающую линию γ в точках А, D;
4.Построим диагональные точки получившегося четырёхвершинника АВСD:
R = (АС) ∩ (ВD), Q = (АВ) ∩ (СD),
Р = (АD) ∩ (ВС);
5. Так как в полном четырёхвершиннике АВСD точка Р – является
диагональной точкой, а прямая (RQ) – диагональю, то (RQ) является полярой
точки Р относительно линии γ.
§ 5. Теорема Штейнера.
Докажем две теоремы, первая из которых называется теоремой Штейнера.
Теорема 1. Даны два пучка с различными центрами О1 и О2 и установлено
проективное, но не перспективное отображение f первого пучка на второй.
Тогда множество γ точек пересечения соответственных прямых этих пучков
является овальной линией второго порядка, проходящей через точки О1 и О2.
89
 Обозначим через m прямую О1О2 и рассмотрим прообраз n этой прямой:
m = f(n). Отображение f зададим с помощью трёх прямых n, m, l пучка О1 и их
образов m, m', l' в пучке О2. Так как f не является перспективным
отображением, то прямые n, m и
m′
O3
m' попарно различны, поэтому
точки О1 = n ∩ m, О2 = m ∩ m', О3
X2
= n ∩ m' не лежат на одной
поэтому точки О1, О2, О3, Е
который
O2
E
E2
l
обозначим через R.
Запишем
l′
O1
∩ l' не лежит на прямых m, m', n,
репер,
X1
X
прямой (см. рис.26). Точка Е = l
образуют
n
Рис.26
уравнение
E1
множества γ в репере R. Пусть Х(х1, х2, х3) – произвольная точка плоскости, не
лежащая на сторонах
трёхвершинника О1О2О3. По определению сложного отношения прямых
(mn, lО1Х) = (О2О3, Е1Х1), а
(m'm, l'О2Х) = (О3О1, Е2Х2)
(относительно обозначений точек и
прямых см. рис.№). На прямой m' точка Х1 в репере R1 = (О2, О3, Е1) имеет
координаты (х2, х3), поэтому (О2О3, Е1Х1) =
Аналогично (О3О1, Е2Х2) =
(m'm, l'О2Х) =
х2
х3
.
х2
х3
. Таким образом, (mn, lО1Х) =
,
х3
х1
х3
.
х1
Если Х  γ, то (mn, lО1Х) = (m'm, l'О2Х), поэтому
х2
х3
=
х3
, или х1 х2 - х 32 = 0.
х1
(1)
90
Если х  γ, то (mn, lО1Х) ≠ (m'm, l'О2Х), поэтому
х2
х3
≠
х3
, т. е. координаты точки
х1
Х не удовлетворяют уравнению (1).
Если точка Х лежит на сторонах трёхвершинника О1О2О3, то её
координаты удовлетворяют уравнению (1) тогда и только тогда, когда она
совпадает с одной из точек О1 и О2, которые принадлежат множеству γ. Таким
образом, уравнение (1) является уравнением множества точек γ. Этим
ураванением определяется невырожденная линия второго порядка, на которой
имеются действительные точки, т. е. овальная линия.
■
Касательные к линии (1) в точках О1 (1, 0, 0) и О2(0, 1, 0) имеют уравнения
х2 = 0 и х1 = 0, поэтому мы приходим к утверждению.
Следствие. Если f – отображение, указанное в теореме 1, то прямые
f(О1О2) и f
-1
(О1О2) являются касательными к линии γ соответственно в
точках О2 и О1.
Замечание. Если пучки с центрами О1 и О2перспективны и d – ось
перспективы, то множество γ общих точек соответственных прямых этих
пучков совпадает с множеством всех точек прямых d и О1О2 (см. рис.27). Таким
образом, и в этом случае γ – линия второго порядка, но она распадается на пару
прямых.
Докажем обратную теорему.
О2
Теорема 2. Дана овальная линия
второго
порядка
γ
и
на
ней
О1
две
произвольные точки О1 и О2. каждой
d
прямой О1М пучка с центром О1 поставим
в соответствие прямую О2М пучка с
Рис.27.
центром О2, где М – произвольная точка
линии γ, не совпадающая с точками О1 и О2. Касательной в точке О1 поставим
91
в соответствие прямую О2О1, а прямой О1О2 – касательную в точке О2.
Полученное отображение f является проективным, но не перспективным
отображением пучка с центром О1 на пучок с центром О2.
 Возьмём на плоскости репер R = (О1, О2, О3, Е), где О3 – точка
пересечения касательных к линии γ в точках О1 и О2, а Е – произвольная точка
линии γ, отличная от точек О1 и О2 (см.
рис.28.). Пусть ∑аij хi хj = 0 – уравнение
О3
линии γ в этом репере. Так как О1  γ и
О2  γ, то а11 = а22 = 0. Учитывая, что
О1
прямые х2 = 0 и х1 = 0 являются
О2
s
касательными к линии γ в точках О1 и О2,
Е
приходим к выводу, что а13 = 0 и а23 = 0.
Таким образом, уравнение линии имеет
вид 2а12 х1 х2 + а33 х3 х3 = 0. Точка Е (1, 1,
Рис.28.
1) лежит на этой линии, следовательно
2а12 + а33 = 0. Итак, уравнение линии γ в репере R
можно записать в виде (1).
Рассмотрим проективное отображение f ' пучка с центром О1 на пучок с
центром О2, при котором прямые О1О3, О1О2, О1Е переходят соответственно
в прямые О2О1, О2О3, О2Е. По теореме 1 соответственные прямые в
отображении f ' уравнением (1), т. е. на линии γ. Таким образом, отображение f
' и есть отображение f. ■
Замечание.
Теорема
Штейнера
позволяет
дать
геометрическое
определение овальной линии второго порядка при помощи проективного
отображения одного пучка на другой: обратная теорема устанавливает, чо
центры пучков на овальной линии можно выбрать произвольно.
92
§ 6. Теорема Паскаля и теорема Бриандшона.
Пусть А1, А2, А3, А4, А5, А6 – шесть точек общего положения, заданных в
определенном порядке. Фигура, образованная этими точками и шестью
прямыми
А1А2,
А2А3,
А3А4,
А4А5,
А5А6,
А6А1,
попарно
соединяющие
последовательно данные точки, называется шестивершинником и обозначается
так А1, А2А3А4А5А6. данные точки называются вершинами, а прямые А1А2, …,
А6А1 – сторонами. Стороны А1А2 и А4А5,
А2А3 и А5А6, А1, А3А4 и А6А1 называются
A2
A3
противоположными.
A4
На рисунке № изображен шестивершинник
A1
А1А2А3А4А5А6.
A6
A5
Рис.29.
Теорема 1. (теорема Паскаля).
Точки пересечения противоположных сторон любого шестивершинника,
вписанного в овальную линию второго порядка, лежат на одной прямой.
 Пусть вершины шестивершинника О1АВСО2М лежат на овальной линии
γ. Докажем, что точки О = О1А ∩ СО2, N' = АВ ∩ О2М, N = ВС ∩ МО1 лежат на
одной прямой (см.рис.).
Пусть f – проективное отображение пучков с центрами О1 и О2, которое
устанавливается согласно теореме 2 § 5 линией γ. Обозначим через d1 и d2
прямые ВС и ВА (см. рис.30.). Отображение f порождает проективное
отображение
φ: d1 → d2, в котором каждой точке Х1
прямой
d1
соответствует
точка
Х2
прямой d2, такая, что прямые О1Х1 и
d1
d2
B
O1
О2Х2 пересекаются в точке Х, лежащей
N X1
O N′
на линии γ, т. е. О2Х2 = f(О1Х1).
Так
как
φ(В)
=
В,
перспективное отображение.
то
φ
–
O2
2′
1
X2 1′
A
2
C
M
X
Рис.30.
93
Центром его является точка О, так как точки, обозначенные на рисунке
цифрами 1 и 2, переходят соответственно в точки 1' и 2'. Но N' = φ(N), поэтому
точки N, О и N' лежат на одной прямой. ■
Теорема 2 (обратная теорема Паскаля).
Если точки пересечения противоположных сторон шетивершинника
лежат на одной прямой, то все его вершины лежат на овальной линии второго
порядка.
 Пусть О1АВСО2М – данный шестивершинник, а О = О1А ∩ СО2, N' = АВ
∩ О2М, N = ВС ∩ МО1 – точки пересечения противоположных сторон, лежащие
на одной прямой (см. рис. выше).
Рассмотрим проективное отображение f пучка с центром О1 на пучок с
центром О2, которое прямые О1А, О1В, О1С переводит соответственно в прямые
О2А, О2В, О2С. По теореме Штейнера точки пресечения соответственных
прямых в отображении f образуют некоторую овальную линию γ , на которой
лежат точки О1, О2, А, В и С. докажем, что точка М также лежит на этой линии.
Отображение f порождает проективное отображение φ: d1 → d2, где d1 и d2
– прямые ВС и ВА (см. рис.). Так как В = φ (В), то φ – перспективное
отображение с центром О. Но точки О, N и N' лежат на одной прямой, поэтому
N' = φ (N). Следовательно, О2N' = f (О1N), поэтому точка М = О1N ∩ О2N' лежит
на линии γ. ■
Следствие 1. Если на плоскости даны пять точек общего положения, то
существует единственная овальная линия, проходящая через эти точки.
 Пусть S1, S2, А, В, С – данные точки. Рассмотрим проективное
отображение f пучка с центром S1 на пучок с центром S2, в котором прямые
S1А, S1В, S1С переходят соответственно в прямые S2А, S2В, S2С. Так как точки А,
В и С не лежат на одной прямой, то f не является перспективным
94
отображением. По теореме Штейнера точки пересечения соответственных
прямых пучков с центрами S1 и S2 образуют некоторую овальную линию γ, на
которой лежат данные пять точек.
Докажем теперь, что γ – единственная овальная линия, проходящая через
точки S1, S2, А, В, С. Пусть γ' – какая-то овальная линия, проходящая через эти
точки. Линия γ' устанавливает проективное отображение f' пучка с центром S1
на пучок с центром S2. Так как А  γ', В  γ', С  γ', то в этом отображении
прямые S1А, S1В, S1С переходят соответственно в прямые S2А, S2В, S2С.
Отображения f и f' совпадают, поэтому линии γ и γ' совпадают. ■
Следствие 2. Если на плоскости даны четыре точки общего положения и
прямая, проходящая через одну из них и не проходящая через другие три точки,
то существует единственная овальн6ая линия, проходящая через данные
точки, для которой данная прямая является касательной.
Фигура двойственная шести вершиннику называется шестисторонником.
Сформулируем теорему Бриандшона, двойствнную теореме Паскаля.
Теорема Бриандшона.
Если
шестисторониик
описан
около
овальной линии второго порядка, то прямые,
соединяющие противоположные точки касания
проходят через одну точку (называемую очкой
Бриандшона).
Рис.31.
Теорема Бриандшона (обратная).
Если даны шесть точек А1, А2, А3, А4, А5, А6 общего положения и прямые
А1А4, А2А5, А3А6 пересекаются в одной точке, то существует овальная линия
второго порядка, для которой прямые, являющимися касательными в этих
точках, образуют шестисторонник, описанный около овальной линии.
95
Глава 3. Аффинная, евклидова геометрия с проективной точки зрения.
В
этой
главе
рассмотрим
проективную
иллюстрацию
аффинной,
евклидовой геометрии. Выясним сходство и разницу геометрии аффинной и
евклидовой плоскости.
§ 1. Проективная плоскость с фиксированной прямой.
П.1
Теорема 1. Множество проективных преобразований проективной
плоскости Р2 образует группу.
 Для доказательства этой теоремы проверим два условия:
1. Выберем на проективной плоскости точки общего положения А, В, С.
А1, В1, С1,А2,В2,С2
Рассмотрим f, g – проективные преобразования плоскости Р2. Преобразование f
переводит точку А в точку А1, В → В1, С → С1, а преобразование g переводит .
А1→ А2, В1 → В2,
С1 → С2.
Композиция двух проективных преобразований f ◦ g единственным
образом переводит А→ А2, В → В2, С → С2. Такое преобразование f ◦ g
является проективным преобразованием.
2. Рассмотрим проективное преобразование f , которое переводит точки А
→ А1,
В → В1, С → С1. Для точек А, В, С и А1, В1, С1 существует единственное
преобразование f1, которое переводит точки А1 → А, В1 → В, С1 → С. Такое
преобразование f-1 будет являться проективным преобразованием.
Таким
образом,
множество
проективных
преобразований
проективной
плоскости Р2 образует группу. ■.
96
П.2
Рассмотрим проективную
плоскость
Р2,
на
которой
зафиксируем
проективную
прямую р‫ ٭‬.
Прямая р‫ ٭‬называется абсолютом проективной плоскости Р2‫ ٭‬, где Р2‫ ٭‬проективная
плоскость
с
фиксированной
прямой
р‫٭‬
.
Все
точки,
принадлежащие абсолюту обозначают так: А‫٭‬, В‫٭‬, С‫ …٭‬. А все точки, не
принадлежащие абсолюту обозначают так: А, В, С.
Рассмотрим некоторое множество U множества G. Преобразования
множества G, оставляющие множество U без изменения, называются
автоморфными (или автоморфизмами множества U) преобразованиями
относительно U.
Теорема. Множество всех автоморфизмов относительно U  G образуют
группу.
 1) Рассмотрим множество U множества G и два отображения f и g,
переводящие множество U
в себя. Композиция g◦f будет являться
автоморфизмом относительно множества U .
(g◦f)(U) = g(f(U)) = g(U) = U.
2) Преобразование f : U → U является автоморфизмом относительно
множества U, тогда преобразование f-1: U → U также является автоморфизмом
относительно множества U.
3) Рассмотрим проективную плоскость Р2‫٭‬
и фиксированную на ней
прямую р*.
Проективное преобразование f*: р* → р* также является автоморфизмом
относительно прямой р*.
Таким
образом,
рассмотренное
множество
всех
автоморфизмов
относительно U  G образуют группу. ■.
97
Определение. Автоморфизмы абсолюта плоскости
Р2‫٭‬
называются
аффинными коллинеациями. Прямые плоскости называются сходящимися, если
их точки пересечения принадлежат абсолюту.
Замечание. Из определения аффинной коллинеации следует, что если f* аффинная
коллинеация,
то
она
переводит
точку,
непринадлежащую
фиксированной прямой р*, в точку, принадлежащую прямой р* ; а точку,
которая лежит на прямой р*, f* переводит в точку, также лежащую на
прямой р*.
Теорема.
Если
непринадлежащих
даны
три
абсолюту,
то
пары
точек
существует
общего
положения,
единственная
аффинная
коллинеация плоскости Р2‫ ٭‬такая
что:
f*: А → А'
f*: В → В'
f*: С → С'.
 Рассмотрим точки общего положения А, В, С, А', В', С', принадлежащие
проективной
плоскости
Р2
.
По
основной
теореме
о
проективных
преобразованиях следует, что всегда существует единственное проективное
преобразование f плоскости Р2, которое переводит точки А, В, С в точки А', В',
С'. Тогда преобразование f переводит фиксированную прямую р* в прямую
р*.Таким образом, преобразование f является аффинной коллинеацией. ■.
Определение. Аффинной гомологией называется аффинная коллинеация,
если она не является тождественной и имеет прямую инвариантных точек, т.е.
аффинная гомология – это аффинная коллинеация, которая является
гомологией.
98
Теорема. Если ось аффинной гомологии не совпадает с абсолютом, то центр
гомологии принадлежит абсолюту.
 На проективной плоскости Р2‫ ٭‬рассмотрим проективную прямую s и
абсолют р*. на фиксированной прямой р* выберем такую точку S, которая не
принадлежит прямой s.
Рассмотрим нетождественное проективное преобразование f, которое
является аффинной коллинеацией с осью s и центром S. На фиксированной
прямой выберем произвольную точку М*, которую аффинная гомология f*
переводит в точку М*', принадлежащую прямой р*.
f* - гомология с центром в точке S, а точки М* и М*' являются
соответственными точками , то, по свойству гомологии, центр S принадлежит
прямой (М*М*'), которая совпадает с фиксированной прямой р*.
Таким образом, ось аффинной гомологии не совпадает с абсолютом, но
центр гомологии принадлежит абсолюту. ■.
П.2.
Классификация аффинной гомологии плоскости Р2*.
§2. Аффинная геометрия с проективной точки зрения.
П.1.
Поскольку на проективной плоскости все прямые равноправны (они
образуют класс проективно эквивалентных фигур), то нет оснований отдавать
предпочтение какой – либо одной из них: в качестве несобственной прямой (
абсолюта) можно взять произвольную прямую а . Теперь можно определить
все аффинные понятия в терминах проективной геометрии.
99
Определение.
Аффинной
точкой
на
проективной
плоскости
с
фиксированной прямой называется любая прямая, не принадлежащая
абсолюту.
Определение.
фиксированной
Аффинной
прямой
прямой
называется
на
любая
проективной
плоскости
с
прямая,
не
проективная
совпадающая с абсолютом, из которой выкинута точка пересечения с
абсолютом.
Определение. Аффинной плоскостью называется проективная плоскость
с фиксированной прямой без абсолюта.
Определение.
Несобственными
точками
называются
точки,
принадлежащие абсолюту.
Определение.
Параллельными
прямыми
на
аффинной
плоскости
называются сходящиеся прямые на проективной плоскости с фиксированной
прямой.
Определение. Аффинными преобразованиями плоскости называются
автоморфные преобразования относительно абсолюта.
Определение. Пусть А и В – какие – либо точки аффинной плоскости ,
(АВ) – проективная прямая, М  - точка пересечения этой прямой с
несобственной прямой а . Тогда точка С, принадлежащая прямой (АВ),
называется лежащей между А и В, если пары А, В и С, М  разделяют друг
друга. Множество точек, лежащих между двумя точками, называется
открытым отрезком.
100
Пусть А, В, С – коллинеарные точки аффинной плоскости. Тогда простое
отношение (АВС) определяется формулой (АВС) = - (АВС М  ),
где М  = (АВ) ∩ а . Точка С – середина отрезка, если (АВС М  ) = -1.
Определение. Эллипс, парабола, гипербола – овальные линии второго
порядка, имеющие с абсолютом соответственно нуль, одну и две общие точки.
§ 3. Евклидова геометрия с проективной точки зрения.
П.1.
Для построения проективной модели евклидовой плоскости рассмотрим
плоскость Р2 с фиксированной прямой d0 и множество точек А2 = Р2 \ d0 с
введенной на нём аффинной структурой (проективная модель аффинной
плоскости). В качестве группы преобразований рассмотрим некоторую
подгруппу Н1 группы Н0, которая определяется следующим образом. Отметим
на прямой d0 две произвольные комплексно-сопряжённые точки I1 и I2 (назовём
их циклическими точками). Прямую d0 с точками I1 и I2 на ней будем обозначать
через d1. Рассмотрим множество Н1 всех проективных преобразований, каждое
преобразование f из которых обладает свойством: либо I1 = f (I1) и I2 = f (I2),
либо I1 = f (I2) и I2 = f (I1). Отсюда следует, что если f  Н1, то f  Н0, т. е. Н1 
Н0. Далее, если f1, f2  Н1, то f2 ∙ f1  Н1, и если f  Н1, то f -1  Н1. Таким образом,
Н1 – подгруппа группы Н0.
Любое проективное преобразование f из Н1 порождает некоторое
преобразование f ' множества точек А2. Следовательно, множество Ĥ1 всех этих
преобразований можно рассматривать как группу преобразований плоскости
А2.
П.2.
Запишем аналитическое выражение преобразований из множества Н1. Для
этого будем пользоваться только такими реперами плоскости Ā2, в которых
циклические точки имеют координаты I1 (1, i, 0), I2 (1, - i, 0). Репер,
101
удовлетворяющий этому условию, обозначим через R1. Докажем, что
существует бесконечное множество таких реперов. Вершины и единичную
точку репера (А0, В0, С, Е) выберем так: В0 – произвольная точка прямой d1, С –
произвольная точка проективной плоскости Ā2, ен лежащая на прямой d1. Точку
А0 на прямой d1 и точку Е вне этой прямой выберем так, чтобы
(I1I2, В0А0) = -1, (I1I2, В0Е3) = i, (1)
E0
I2
где Е3 – точка пресечения прямых СЕ и d0. Такой
выбор точек А0 и Е всегда возможен. Произвол в
выборе
репера
(А0,
В0,
С,
Е)
определяется
B0
E3
E1
C
произволом выбора точки В0 на прямой d1, точки С
на плоскости А2 и точки Е на прямой СЕ3 (см.
E
I1
E2
Рис.32.
A0
рис.32).
Докажем, что выбранный таким образом репер является репером R1. Пусть
циклические точки в этом репере имеют координаты I1 (1, а + ib, 0), I2 (1, а - ib,
0). На прямой d0 в репере R3 = (А0, В0, Е3) для точек
I1, I2, А0, В0, Е3 имеем:
I1 (1, а + ib, 0), I2 (1, а - ib, 0), А0 (1, 0), В0 (0, 1), Е3 (1, 1).
a1
a2
Пользуясь формулой  AB, CD   a 1
a2
( I 1 I 2 , B0 A0 ) 
c1
c2
b1
b2
d1
d2
d1
d2
b1
b2
c 1 , находим:
c2
a  ib
1  a  ib
, ( I 1 I 2 , B0 E 3 ) 
.
a  ib
1  a  ib
Учитывая равенства (1), получаем а= 0, b = 1, т. е. циклические точки имеют
координаты
I1 (1, i, 0), I2 (1, - i, 0).
102
В дальнейшем предполагаем, что все рассматриваемые реперы являются
реперами R1. Каждому такому реперу на плоскости А2 соответствует аффинный
A
репер R1 = (С, Е1, Е2), который назовём декартовым репером (см. рис.32.).
В соответствии с формулами
ρх1' = с11 х1 + с12 х2 + с13 х3,
ρх2' = с21 х1 + с22 х2 + с23 х3,
ρх3' =с33 х3,
где с33
с11
≠ 0 и
с 21
с12
 0 любое преобразование f Н1 в репере R0, а
с 22
следовательно, и в репере R1 определяется формулами
ρх1' = с11 х1 + с12 х2 + с13 х3,
ρх2' = с21 х1 + с22 х2 + с23 х3,
ρх3' = с33 х3, (2)
где с33 ≠ 0,
с11
с 21
с12
 0 и ρ ≠ 0, ρ  С.
с 22
Но для преобразований группы Н1 на коэффициенты сij накладываются
дополнительные ограничения, которые нам предстоит установить. Так как
преобразования f циклические точки переводит в циклические точки, то
возможны два случая.
а) I1 = f (I1) и I2 = f (I2). Используя первое из трёх равенств, по формулам (2)
получаем
ρ = с11 + с12i, ρi = с21 + с22i.
Отсюда получаем с11 = с22, с12 = - с21. Нетрудно проверить, что при
выполнении этих равенств I2 = f (I2).
б) I2 = f (I1) и I1 = f (I2). По аналогии с предыдущим случаем из условия I2 =
f (I1) получаем с11 = - с22, с12 = с21. При выполнении этих равенств I1 = f (I2).
Если ввести обозначения с11 = а', с21 = b', с13 = с'1, с23 = с'2, то формулы (2)
принимают вид:
103
ρх1' = а' х1 + εb' х2 + с'1 х3,
ρх2' = b' х1 + εа' х2 + с'2 х3,
ρх3' = с33 х3, (3)
где (а' 2+ b' 2) с33 ≠ 0, аε =  1, причём ε = 1 отвечает условию а), а ε = -1 –
случаю б).
Получим теперь аналитическое выражение преобразований из множества
A
Ĥ1 в реперах R1 , которые соответствуют реперам R1. Для точек множества А2
х3 ≠ 0, х'3 ≠ 0, поэтому, разделив почленно первое и второе из равенств (3) на
третье, получаем:
х' = ах – εbу + с1,
у' = bх + εау + с2, (4)
где а 
с
с
а
b
, b
, с 2  2 , с1  1 .
с33
c33
с33
с33
Введём новые параметры, положив а = k cosφ, b = k sinφ, где k > 0, а –π ≤ φ
≤ π. Тогда формулы (4) принимают вид:
х' = k(х cosφ – εу sinφ) + с1,
у' = k(х sinφ + εу cosφ)+ с2. (5)
Такой же вид имеют и формулы преобразований подобия, поэтому группа
подобий евклидовой плоскости изоморфна группе Н1. Таким образом,
евклидову геометрию на плоскости можно рассматривать как геометрию,
изучающую
те
свойства
фигур
плоскости
А2,
которые
инвариантны
относительно группы Ĥ1.
П.3.
Обозначим через ĤТ множество преобразований из Ĥ1 плоскости А2,
A
состоящее из всех преобразований, заданных в репере R1 формулами
х' = х + с1,
у' = у + с2, (6)
104
где с1 и с2 – произвольные действительные числа. Формулы (6) получены из
формул (5) при k = 1, cosφ = 1, ε= 1.
Это множество является подгруппой группы Н1 (предлагаем читателю
самостоятельно убедиться в этом). Любое преобразование fˆ  ĤТ называется
параллельным переносом. Следовательно, множество ĤТ параллельных
переносов можно рассматривать как группу преобразований плоскости А2.
Множество ĤТ называется группой параллельных переносов. Единицей этой
группы, очевидно, является тождественное преобразование, т. е.
преобразование, которое задаётся формулами (6) при с1 = с2 = 0.
Пользуясь формулами (6), легко доказать следующие свойства
параллельных переносов плоскости. Доказательство этих свойств предлагаем
читателю.
10. Параллельный перенос, отличный от тождественного преобразования,
не имеет инвариантных точек.
20. В параллельном переносе fˆ , отличном от тождественного
преобразования, прямые, проходящие через соответственные точки,
параллельны или совпадают.
30. Каковы бы ни были точки М и М' плоскости А2, существует
единственный перенос, который точку М переводит в точку М'.
В заключении отметим, что формулы (6) в точности совпадают с
формулами параллельного переноса на евклидовой плоскости.
105
Система задач и упражнений.
Раздел 1.Синтетическая геометрия проективного пространства.
Глава 1. Проективное пространство в схеме Вейля. Взаимно
однозначное расположение прямых и плоскостей.
§1.Понятие проективного пространства. Взаимное расположение точек
прямых в P² и P³.
Задача 1. F22 – двумерное векторное пространство над полем F2 вычетов
по модулю 2. Доказать, что проективная прямая Р (F22) содержит точно три
точки.






 
       
F2  0, 1 , F22  0, 0 , 1 0 , 0, 1 , 1, 1
Решение.
1, 0   a , 0 1  a
0 0   0 , 1 1  а  а
0
1
0
1
составляют

е.
базис
векторного
Фактор множество
Векторы
пространства


( F22 \ 0 ) / 

 .

по
F22,
отношению

коллинеарности состоит из трех элементов: А0  а0 , А1  а1 , Е  е. Поэтому Р
(F22) содержит три точки А0, А, Е.
Задача 2. Доказать, что проективная плоскость Р (V) содержит по крайней
мере 7 точек.
Указание к решению.
  
dim Р (V) = 2  dim V = 3. Пусть ( а 0 , а1 , а 2 ) – базис векторного пространства
   
 
   
 
V. Тогда векторы а 0 , а1 , а 2 , а 0  а1 , а 0  а 2 , а1  а 2 , а 0  а1  а 2 попарно не
коллинеарны и порождают семь различных точек проективного пространства Р
(V).
Задача 3. F23 – трёхмерное векторное пространство над полем F2 вычетов
по модулю 2. Доказать, что проективная плоскость Р (F23) содержит точно 7
точек.
106
Указание к решению.
3
Векторное пространство F2 содержит лишь семь попарно не коллинеарных
ненулевых векторов.
Задача 4. Сколько прямых содержит проективная плоскость Р (F23)?
Ответ. Семь.
Задача 5. Доказать, что на проективной плоскости Р (V) существуют
четыре точки, из которых никакие три не лежат на одной прямой.
Указание к решению.
Точки,
порожденные
базисными
векторами
трёхмерного
векторного
пространства V и их суммой, обладают требуемыми свойствами.
Задача 6. F33 – трёхмерное векторное пространство над полем F3 вычетов
по модулю 3. Сколько точек содержит произвольная прямая проективной
плоскости
Р (F33)?
Ответ. Четыре.
§ 2. Теорема Дезарга. Принцип двойственности.
Задача 7. Прямая р лежит в плоскости трёхвершинника АВС и не проходит
через его вершины. Пусть А1 = (ВС) ∩ р, В1 = (СА) ∩ р, С1 = (АВ) ∩ р, R = (ВВ1)
∩ (СС1),
S = (СС1) ∩ (АА1), Т = (АА1) ∩ (ВВ1). Докажите, что прямые (АR), (СТ), (ВS)
пересекаются в одной точке.
107
Задача 8. Треугольники АВС и DВС пересечены тремя прямыми р, q, r =
(АD), р ∩ (АD) = М; р ∩ (DВ) = Р; q ∩ (АС) = N; q ∩ (DС) = Q. Докажите, что
прямые (МN), (РQ), (ВС) принадлежат одному пучку.
Задача 9. На аффинной расширенной плоскости противоположные
вершины
одного
параллелограмма
расположены
соответственно
на
противоположных сторонах (или на их продолжениях) второго. Докажите, что
оба параллелограмма имеют общий центр симметрии.
Задача 10. Даны параллелограмм, прямая т и точка А, принадлежащая
одной из сторон параллелограмма. С помощью одной линейки проведите
прямую, параллельную прямой т и проходящую через точку А.
Указание к решению. Постройте два дезарговых трехвершинника с
несобственной осью перспективы.
Задача 11. Даны параллелограмм, прямая т и точка А, принадлежащая
сторонам параллелограмма. С помощью одной линейки проведите прямую,
параллельную прямой т и проходящую через точку А.
Указание к решению. Постройте такой параллелограмм, чтобы точка А
принадлежала одной из его сторон, и воспользуйтесь предыдущей задачей.
Задача 12. Через точку R плоскости параллелограмма АВСD проведены
прямые р и q, параллельные сторонам АВ и АD параллелограмма: Р = р ∩ (АD),
Q = р ∩ (ВС), S = q ∩ (АВ), Т = q ∩ (СD) и М = (ВТ) ∩ (DQ). Докажите, что
точки А, R и М лежат на одной прямой.
108
Указание к решению. Последовательно рассмотрите две пары дезарговых
трехвершинников: (PDT), (SBQ) и (PDQ), (SBT)
Задача 13. Пользуясь принципом двойственности, доказать, что:
1) на проективной плоскости Р2 (К)
а) через каждую точку проходит не менее трёх плоскостей;
б) существует три прямые, не проходящие через одну точку;
2) в трёхмерном проективном пространстве Р3 (К)
а) через каждую прямую проходит не менее трёх прямых;
б) существуют три плоскости, проходящие через одну точку, но не проходящие через одну
прямую;
в) существуют четыре плоскости, не проходящие через одну точку;
г) через всякие две пересекающиеся прямые проходит единственная
плоскость;
д) через прямую и не принадлежащую ей точку проходит единственная
плоскость.
Задача 14. На чертеже ограниченных размеров заданы точка А и пара р и
q, пересекающихся за пределами чертежа в точке В (недоступной точке).
Воспользовавшись теоремой Дезарга, построить доступную часть прямой (АВ).
Указание к решению. Построить треугольники МNР и М'N'Р', имеющие
центр перспективы и такие, что М, N  р, М', N'  q, (МР) ∩ (М'Р') = А.
Задача 15. На чертеже ограниченных размеров заданы две пары прямых:
р, q, пересекающиеся в недоступной точке А, и и, v, пересекающиеся в
недоступной точке В. Построить доступную часть прямой (АВ).
Указание к решению. Приняв прямые р и q, и и v за соответствующие
стороны дезарговых треугольников, свести задачу к задаче 14.
109
Задача 16. С помощью одной линейки через данную точку А провести
прямую, параллельную двум заданным параллельным прямым р и q (р ≠ q).
Указание к решению. См. задачу 14.
Задача 17. На чертеже ограниченных размеров заданы две пары прямых:
р, q, пересекающиеся в недоступной точке А, и и, v, пересекающиеся в
недоступной точке В; прямая (АВ) недоступна. Построить часть какой-либо
прямой, проходящей через точку пересечения прямой (АВ) с прямой t, заданной
доступной её частью (короче, найти точку пересечения доступной прямой с
недоступной).
Указание к решению.
Недоступную прямую (АВ) принять за ось
перспективы дезарговых треугольников со сторонами р, и, t одного
треугольника и соответствующими им сторонами q, v, s другого треугольника,
где s – искомая прямая.
Задача 18. Даны параллелограмм, прямая т и точка А. С помощью одной
линейки через данную точку А провести прямую, параллельную прямой т.
Указание к решению. Свести к задаче 16.
Задача 19. Трапеция АВСD пересечена прямыми р и q, параллельными
основанию [АВ], р ∩ (АD) = М, р ∩ (АС) = Р, q ∩ (ВD) = N, q ∩ (ВС) = Q.
Доказать, что точка (МN) ∩ (РQ) лежит на прямой (АВ).
A
Указание к решению. Применить теорему
Дезарга к трёхвершинникам DМN и СРQ.
M
P
Задача 20. Треугольники АВС и DВС
B
p
D
r
N
Q
q
110
Рис.1.
пересечены тремя параллельными прямыми р, q,
r = (АD); р ∩ (АВ) = М, р ∩ (DВ) = Р, q ∩ (АС) = N,
q ∩ (DС) = Q (см. рис.).
Доказать, что прямая (МN), (РQ), (ВС) принадлежат одному пучку.
Указание к решению.
Треугольники АМN и DРQ имеют центр перспективы.
Задача 21. Найдите на проективной плоскости фигуры, двойственные
следующим фигурам:
а) трёхвершиннику;
б) четырёхвершиннику.
Задача 22. Пусть точка S не лежит ни на одной из сторон трёхвершинника
АВС и точки А', В', С' – точки пересечения прямых АS и ВС, ВS и АС, СS и АВ.
Докажите, что точки пересечения прямых В'С' и ВС, А'С' и АС, А'В' и АВ лежат
на одной прямой.
Задача 23. На чертеже ограниченных размеров заданы точка А и две
прямые р и q, пресекающиеся за пределами чертежа в некоторой точке В (такая
точка называется недоступной). Пользуясь теоремой Дезарга, постройте
доступную часть прямой АВ.
Задача 24. На чертеже ограниченных размеров заданы две прямые р и q,
пресекающиеся в недоступной точке А, и прямые r и s, пресекающиеся в
недоступной точке В. Постройте доступную часть прямой АВ.
Задача 25. Даны трёхвершинник АВС и точки М, N, Р, лежащие на прямой
р. Постройте трёхвершинник QRL так, чтобы точки Q, R, L лежали
111
соответственно на прямых ВС, СА, АВ, а стороны RL, QL, QR проходили
соответственно через точки М, N, Р.
Глава 2. Проективные отображения. Проективные преобразования.
§ 1 Проективное отображение.
Задача 1. При проективном преобразовании f : g → g репер R = (А, В, С)
переходит в репер R = (А', В', С'). построить образ произвольной точки М
прямой g.
Решение. Проведём какую-нибудь прямую g1,отличную от прямой g, и
возьмём точку Р, не лежащую на прямых g и g' (рис.27). построим образы точек
А, В, С и М в перспективном отображении f1 : g → g1 с центром Р (на рис.27
образы этих точек обозначены через А1, В1, С1, М1). Затем построим образ М'
точки М1 в проективном отображении f2 : g1 → g, которое репер (А1, В1, С1)
переводит в репер (А', В', С'). Ясно, что f2f1- проективное преобразование
прямой g, которое переводит репер R в репер R', поэтому f2f1 = f. Отсюда
следует, что М' – искомая точка, так как f(М) = f2f1(М) = f2(М1) = М'.
P
A
A1
M’
M1
M B’ B
C
C’
g
g0
1
B
C1
Рис.2.
g
112
Задача 2. Проективное отображение f: d → d' прямой d на прямую d'
задано соответствующими реперами: (А, В, С)  d и (А', В', С')  d'. Построить
образ и прообраз точки D = d ∩ d' в отображении f.
Задача 3. На расширенной плоскости даны две расширенной прямые d и
d'. Проективное отображение f: d → d' определено реперами (А, В, С)  d и (А',
В', С')  d'. Построить образ несобственной точки М∞ d.
Задача 4. Проективное отображение f: Р (О) → Р (О') пучка прямых Р (О)
на пучок прямых Р (О') задано соответствующими реперами: (а, b, с)  Р (О) и
(а', b', с')  Р (О'). Построить образ и прообраз прямой (ОО') в отображении f.
Задача 5. Проективное преобразование f прямой d задано реперами R = (А,
В, С) и f (R) = (А', В', С'). Построить образ и прообраз данной точки М d в
преобразовании f.
Задача 6. Доказать, что если в проективном преобразовании f прямой d
три точки инвариантны, то f – тождественное преобразование прямой d.
Задача 7. Проективное отображение f: d → Р (О') прямой d на пучок
прямых задано соответствующими реперами: (А, В, С)  d и (а, b, с)  Р (О).
Построить прообраз данной прямой т  Р (О).
Рассмотреть частный случай, когда О = А, т = d.
Указание
к
решению.
Ввести
вспомогательное
перспективное
отображение пучка Р (О) на прямую d', не проходящую через точку О.
Задача 8. Проективное отображение f: Р (О) → Р (О) пучка прямых Р (О)
на пучок прямых Р (О') задано реперами R = (а, b, с) и f (R) = (а', b', с').
Построить образ и прообраз данной прямой т Р (О) в преобразовании f.
113
Указание к решению. Свести к задаче 6.
Задача 9. Даны три точки А, В, С, лежащие на прямой d, и три точки А', В',
С', лежащие на прямой d' (d' ≠ d). Доказать, что точки К = (ВС') ∩ (В'С),
L = (АС') ∩ (А'С), М = (АВ') ∩ (А'В) лежат на одной прямой (теорема Паппа).
Указание к решению.Отображение f: Р (А) → Р (С), определяемое
реперами R = ((АС), (АА'), (АВ')) и R' = ((СА), (СА'), (СВ')), перспективное. Оно
индуцирует перспективное отображение φ: (ВА') → (ВС') с центром L, в
котором φ (М) = К. Значит L (МК).
Задача 10. Доказать, что если в проективном преобразовании f плоскости
π инвариантны четыре точки общего положения, то f – тождественное
преобразование плоскости π.
Задача 11. Проективное преобразование f плоскости задано тремя
инвариантными точками А, В, С и парой соответствующих точек D и D' = f (D).
(А, В, С, D – точки общего положения на плоскости.) Построить образ данной
произвольной точки М в данном преобразовании.
Указание к решению. Проективное преобразование f определено
реперами
R = (А, В, С, D) и R' = (А, В, С, D'). Построить образы проекций точки М на две
стороны координатного треугольника АВС.
Задача 12. Проективное преобразование f плоскости задано двумя
инвариантными точками А, В и двумя парами соответствующих точек: С и
С' = f (С), D и D' = f (D). (А, В, С, D – точки общего положения на плоскости.)
Построить образ данной произвольной точки М в данном преобразовании.
114
Задача 13. Написать формулы проективном преобразовании f прямой по
трём парам соответствующих точек: А и f (А) = В, В и f (В) = С, С и f (С) = А,
если:
1) А (2, 1), В (-2, 3), С (1, -1);
2) А (3, -1), В (-1, 1), С (-2, 3).
Ответ.
λ у0 = 2х0 + 6х1,
λ х0 = х0 – 9х1.
Задача 14. Написать формулы проективном преобразовании f плоскости
по координатам точек М и N и двух пар соответствующих точек А и А' = f (А), В
и В' = f (В), если
М (0, 1, 0), N (1, 0, 0), А (0, 0, 1), А' (а, 0, 1), В (0, b,1), В' (0, 0, 1).
§ 2. Проективное отображение прямых. Инволюция.
Задача 15. Инволюция f на прямой d задана точками А, А' = f (А), В = f (В)
(А ≠ А'). Построить образ данной точки М  d.
Указание к решению. Проективное преобразование f прямой d
определено парой реперов R = (А, А', В) и R' = (А', А, В).
Задача 16. Пусть А и В – две различные точки проективной прямой Р1.
Преобразование f: Р1 → Р1 определено условиями: f (А) = А, f (В) = В, и если М ≠
А, М ≠В, то f (М) = М'│(АВ, ММ') = -1. Доказать, что f – гиперболическая
инволюция.
Указание к решению. Доказать, что преобразование f сохраняет сложное
отношение любой четвёрки точек.
115
Задача 17. Выяснить тип инволюции: λу0 = х0 – 2х1,
λу1 =3х0 – х1.
Указание к решению. Эллиптическая инволюция.
Задача 18. Вычислить координаты инвариантных точек инволюции:
у0 = х0 + 2х1,
у1 =4х0 – х1.
Указание к решению. Х (1, 1), У (-1, 2).
Задача 19 Вычислить координаты неподвижных точек проективного
преобразования плоскости:
λу0 = х0,
λу1 =х1,
λу2 = х1 + х2.
Указание к решению. х1 = 0 – прямая инвариантных точек.
§3. Проективные преобразования плоскости. Гомология.
Задача 20.Гомология f задана центром S, осью s и точками А и А' = f (А).
Построить
1) точку f (В), где В – данная точка прямой (АА');
2) точку f -1 (С), где С – данная точка;
3) точку f 2 (D), где D – данная точка.
Указание к решению. Построить образ М' некоторой точки М (АА') и
гомологию f задать центром S, осью s и точками М и М'.
116
Задача 21. Гомология f задана центром S, осью s и точками А и А' = f (А).
Построить образ и прообраз данной прямой d.
Указание к решению. Построить образы (прообразы) двух точек прямой
d. В качестве одной из точек полезно взять точку d ∩ s.
Задача 22. Гомология f задана центром S, осью s и точками А и А' = f (А).
На данной прямой р найти точку Х, образ которой лежит на данной прямой q
(q ≠ f (р)).
Указание к решению. Х = р ∩ f -1 (q).
Задача 23. Координатные треугольники АВС и А'В'С' реперов R = (А, В, С,
S) и R' = (А', В', С', S) на проективной плоскости обладают центром
перспективы S. Доказать, что проективное преобразование f плоскости,
переводящее репер R в репер R', является гомологией с центром S, осью
которой служит ось перспективы треугольников АВС и А'В'С'.
Указание к решению. Доказать, что гомология g с центром S и осью s,
переводящая А в А', совпадают с f.
Задача 24. Гомология f задана центром S, осью s и точками А и А' = f (А)
на расширенной плоскости. Заданные точки и прямая s – собственные.
Построить прообразы двух данных параллельных прямых р и q.
Указание к решению. Построить прообраз Х несобственной точки Х'∞ = р
∩ q. Прямые (ХР) и (ХQ), где Р = р ∩ s, Q= q ∩ s искомые.
117
Задача 25. (1199) Гомология f задана центром S, осью s и точками А и А' =
f (А) на расширенной плоскости. Заданные точки и прямая s – собственные.
Построить образ и прообраз несобственной прямой.
Указание к решению. Построить образ и прообраз какой-нибудь
несобственной точки, не лежащей на оси гомологии. Искомые прямые
проходят через найденные точки и параллельны оси гомологии.
Задача 26.Построить образ данного квадрата
1) в данной гомологии;
2) в заданном родственном преобразовании на расширенной евклидовой
плоскости.
Указание к решению.
Учесть, что в родственном преобразовании
сохраняется параллельность прямых.
Раздел 2. Аналитическая геометрия проективного пространства.
Глава 1. Проективные координаты.
§ 1. Проективный репер. Однородные проективные координаты точки.
Задача 1. На расширенной прямой d задан проективный репер R = (А0, А1,
Е∞). Построить точки М (-1, 1) и N (1, -2) по их координатам в репере R.
Указание к решению. В перспективном отображении прямой d на пучок
Р (О) образом точки Е∞  d служит прямая d0  Р (О), d0║d.
Задача 2. На расширенной прямой d задан проективный репер R = (А0, А1,
Е);
118
А0, А1 – собственные точки прямой d, Е – середина отрезка [А0А1]. Найти
координаты несобственной точки Х∞  d в репере R.
Указание к решению. Х∞ (-1, 1).
Задача 3. На расширенной прямой d даны точки А0, А1. Построить
единичную точку Е проективного репера R = (А0, А1, Е), если известно, что
несобственная точка М∞ расширенной прямой d имеет координаты М∞ (-1, 2) в
репере R.
Задача 4. На расширенной прямой d задан проективный репер R' = (А0, Х∞,
Е). Построить точку М (2, 1) с указанными координатам в репере R'.
Задача 5. На расширенной прямой d заданы несобственные точки А0, А1, Е.
В репере R = (А0, А1, Е) собственная точка М d (М ≠ А0, М ≠ А1) имеет
координаты
х 0 ( А0 А1 , Е )
(х , х ). Доказать, что 1 
.
( А0 А1 , М )
х
0
1
 
Указание к решению. Пусть ( а 0 , а1 ) – базис векторного пространства,
 

порождающий репер R, и вектор ОЕ = а0  а1 . Тогда







ОА0   а0 , ОА1   а1 , ОМ   х 0 а0   х1 а1 .



(А0А1, Е) = t  А0 Е  tЕА1  = t; (1)



х0

(А0А1, М) = λ  А0 М   МА1  1 
; (2)

х
х0
t

(1), (2)  1
.

х
Задача 6. На расширенной плоскости Σ задан проективный репер R'=(А0,
А1, А2, Е), вершины Аα (α = 0, 1, 2) координатного треугольника и единичная
119
точка Е – собственные точки. Построить следующие точки по их координатам
в репере R: М (1, 2, 0), N (0, -2, -1), Р (1, 2, 1), Q (0, -4, 0).
Указание к решению. Р = (А2М) ∩ (А0N).
Задача 7. На расширенной плоскости Σ задан проективный репер
R = (А0, А1, А2, Е∞) с собственными вершинами Аα (α = 0, 1, 2) и несобственной
единичной точкой Е∞. Построить точку М (1, 1, 2) по её координатам в репере
R.
Задача 8. На расширенной плоскости Σ задан проективный репер
R' = (А0, Х∞, У∞, Е). Построить точку М (2, 4, -1) и N (0, 1, 2) по их координатам
в
репере R'.
Указание к решению. Прейти к аффинным координатам.
Задача 9. На евклидовой прямой R1 даны своими неоднородными
координатами точки Е1 (-1), Е2 (4), Е0 (1), А (-2). Найдём координаты точки А в
проективной системе координат R (Еi).
Решение. Рассмотрим перспективное отображение данной прямой R1 в
какой-либо пучок S и введём в пучке систему координат (S, еi), согласованной с
 
системой R (Еi) на расширенной прямой R1. За координатные векторы е1 , е2 мы
должны принять составляющие направляющего вектора прямой SЕ0 (лучше
всего взять вектор SЕ0), если его разложить по прямым SЕ1, SЕ2 (см. рис.). Для
определения координат точки А теперь достаточно
определить координаты направляющего вектора
прямой SА, например вектора SА, в системе (S, еi).
120
S
Так как Е1 Е0 : Е0 Е2  2 : 3 , то
5
5
5 5
SE1  e1 , SE 2  e 2 , E 2 E1  e1  e 2 .
3
2
3
2
1
5
1
3
A
E1
E0
E2
1
2
Поэтому E1 A  E 2 E1  e1  e2 .
Следовательно, SA  e1   e1 
5
3
1
3
Рис.3.
 1
1 
e 2   2 e1  e 2 .
2 
2
1
2
Итак, координаты вектора SА равны 2,  . Это и есть координаты точки А в
1
2
системе R (Еi): А (2;  ) и А (4 ; - 1).
Задача 10. На плоскости дана проективная система координат О1, О2, О3,
Е. Постройте точки:К (0, 1, -1), L (1, -2, 0), Р (1, 2, 1), Q (1, -1, 1), R (3, 1, -1).
Указание к решению. Точка К принадлежит прямой (О2О3) и в
проективном репере О2, О3, Е1 (Е1 = (О1Е)∩ (О2О3) ) имеет однородные
координаты (1, -1); аналогично, точка L, принадлежащая прямой (О2О1), в
проективном репере О1, О2, Е3 (Е3 = (О3Е)∩ (О1О2) ) имеет однородные
координаты (1; -2). Точка Р = (О1Р1)∩ (О2Р2), где Р1(0: 2: 1) и Р2(1:0:1). Поэтому
сначала постройте точки: Р1 на прямой (О2О3) и Р2 на прямой(О1О3).
§ 2. Уравнение прямой на проективной плоскости.
Задача 11. Найдём уравнения координатных прямых.
Решение.
Согласно
х1
х2
х3
формуле
х1
х2
х3
а1
а2
а3
b1
b2  0
b3
уравнение
прямой
Е2Е3
имеет
вид:
0 0
1 0 0.
0 1
121
Подсчитывая определитель, получаем х1 = 0. Аналогично находятся уравнения
других координатных прямых: х2 = 0, х3 = 0.
Задача 12. Найдём точку пересечения прямых и (2; -1; 1) и v (1; 3; -2).
 2 х1  х 2  х3  0,
составленную из уравнений
 х1  3х 2  2 х3  0,
Решение. Решая систему: 
данных прямых, находим: х1 : х 2 : х3 
1 1
2 1 2 1
:
:
  1 : 5 : 7 . Это и
3 2
1 2 1 3
есть координаты точки пересечения.
Задача 13. Найдём точку пересечения прямой и (2; -1; 1) с прямой,
проходящей через точки А (2; -1, 0) и В (3; -3; 1).
Решение. Решим задачу при помощи параметрических уравнений прямой
 х1   а1   b1 ,
АВ, которые согласно формуле  х 2   а 2   b2 , имеют вид:
 х  а   b .
3
3
 3
 х1  2  3 ,

 х 2     3 ,
 х  .
3

Определим, при каких значениях параметров α и β координаты текущей
точки прямой АВ удовлетворяют уравнению прямой и. Имеет: 2 (2α + 3β) – (- α
- 3β) + β = 0 или после упрощений: α + 2β = 0. Можно положить α = 2, β= -1
либо взять какие-либо другие, пропорциональные значения α и β. Из
параметрических уравнений прямой АВ при этих значениях параметров
получаем х1 = 1, х2 = 1, х3 = -1. Следовательно, искомая точка имеет координаты
(1; 1; -1).
Задача 14. Найдём уравнение прямой, проходящей через точку
пересечения прямых
l (2; -1; 1) и т (1; 1; -1) и точку А (2; -1; 3).
122
Решение. Можно найти сначала координаты точки В = l ∩ т, а потом
найти уравнение искомой прямой по двум известным точками.Мы решим
задачу, пользуясь условием принадлежности трёх прямых (l, т и искомой и)
одному
пучку.
По
формуле
и=λl+μт
или и1 , и 2 , и3   2,  1, 1   1, 1,  1  2  ,    ,   , ,
где (и1; и2; и3) – координаты искомой прямой и, уравнение которой теперь
можно записать в следующем виде:
(2λ + μ) х1 + (-λ + μ) х2 + (λ - μ) х3 = 0.
Полученному уравнению удовлетворяют координаты точки А. Поэтому
(2λ + μ) 2 + (-λ + μ)(-1) + (λ - μ) 3 = 0, откуда после упрощений получаем
4λ – μ = 0. Пологая λ = 1, μ = 4, находим и  6, 3,  3 . Сократив координаты на 3,
получаем уравнение искомой прямой 2 х1 + х2 - х3 = 0.
Задача 15. На проективной плоскости дана точка А (а1, а2, а3) в
проективной системе координат:
а) составьте уравнения прямых (ОiОj), (ОiА).
б) найдите координаты точек Аi = (ОiА) ∩ (ОiОк) (i, j, k = 1, 2, 3; i ≠ j ≠ k).
Указание к решению. Три точки А (а1, а2, а3), В (b1, b2, b3,), Х (х1, х2, х3)
принадлежит одной прямой тогда и только тогда, когда три вектора, их
  
а
порождающие, , b , x - компланарны. Отсюда уравнение прямой, заданной
точками А и В , имеет вид:
х1
а1
b1
х2
а2
b2
х3
а3  0 или
b3
а2
b2
а3
а
х1  3
b3
b3
а1
а
х2  1
b1
b1
а2
х3  0 .
b2
Задача 16. На плоскости дана проективная система координат О1, О2, О3,
Е. Постройте прямые: l1 (1, 0, 0); l2 (1, 1, 1); l3 (1, 0, -1); l4 (1, 1, -3); l5 (1, 2, -2).
123
Указание к решению. Для построения прямой и (и1, и2, и3), уравнение
которой имеет вид: и1 х1 + и2 х2 + и3 х3 = 0, постройте две точки, ей
принадлежащие, например А (0, -и3, и2) и В (-и3, 0, и1). В дальнейшем строку (и1,
и2, и3) будем называть координатной строкой прямой и в данной проективной
системе координат.
Задача 17.На плоскости дана проективная система координат О1, О2, О3, Е.
Постройте прямые: l1 (1, 0, 0); l2 (1, 1, 1); l3 (1, 0, -1); l4 (1, 1, -3); l5 (1, 2, -2).
Указание к решению. Для построения прямой l(u1: u2: u3), уравнение
которой
имеет
вид:
u1 x1  u 2 x 2  u 3 x3  0 ,
постройте
две
точки,
ей
принадлежащие, например А(0: -u3: u2) и В( -u3:0: u1).
Задача 18. Даны четыре точки А (5, 1, 0), В (1, 0, 0), С (2, 3, 1), D (1, -1, 2).
Найдите координаты точки пересечения прямых (АВ) и (СD).
Ответ. (3: 7: 0)
Задача 19. Найдите точку пересечения прямой и: 2х1 – х2 + х3 = 0 с
прямой, проходящей через точки А (2, -1, 0), В (3, -3, 1).
Указание к решению. Уравнение прямой имеет вид: х1 + 2 х2 +3 х3 = 0.
 2 x1  x 2  x3  0
 x1  2 x 2  3x3  0
Решая систему: 
получим:
x1  x 2   x3 . Отсюда точка с
однородными координатами (1: 1: -1) – искомая.
Задача 20. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку
пересечения прямых: l: 2х1 – х2 + х3 = 0, т: х1 – х2 + х3 = 0 и точку А (2, -1, 3).
Ответ. х1 – х2 + х3 = 0.
124
Задача 21. Запишите в однородных координатах уравнениях прямых:
х = 0, у = 0, 3х – у+ 2 = 0, х + у - 5 = 0, 2х +3у - 1 = 0.
Указание к решению. По определению, точка проективной плоскости с
однородными координатами ( x1 : x 2 : x3 ) имеет неоднородные координаты (x, y),
где x 
x2
x1
y
x3
.
x1
Задача 22. Доказать, что а (а0, а1, а2), b (b0, b1, b2), с (с0, с1, с2) с
координатами относительно проективного репера R имеют общую точку тогда
а0
0
и только тогда, когда определитель системы этих прямых (а, b, с)  b
c0
a1
b1
c1
a2
b2
c2
равен нулю.
Задача 23. Построить прямую а (1, 2, -2) по её координатам относительно
заданного на расширенной плоскости проективного репера R = (А0, А1, А2, Е).
Указание к решению. Построить точки пересечения данной прямой с
двумя сторонами координатного треугольника.
Задача 24. Докажите, что точки (1, -1, 2), (3, 2, 1), (0, -1, 1) лежат на одной
прямой. Приняв их за базисные точки системы координат на прямой и
убедившись, что точка (5, 2, 3) лежит на этой прямой, найдите координаты
указанной точки.
Задача 25. (Даны прямые 2х1 + 3х2 – 6х3 = 0 и х1 + 3х3 = 0. Найдите:
а) точку пересечения данных прямых;
б) прямую, проходящую через найденную точку и точку (1, 0, 0).
125
Задача 26.Напишите уравнение прямой, проходящей через точки:
а) (1, 2, -1) и (3, 5, -2);
б) (0, 3, 1) и (-1, 2, 0).
Задача 27. Найдите точку пересечения прямых:
а) х1 - х2 + 2х3 = 0 и 2х1 + 5х2 + 4х3 = 0;
б) -4х1 + 2х2 + 2х3 = 0 и х1 + х3 = 0.
Задача 28. Докажите, что точки (5, 1, 3), (-2, 4, -3), (8, 6, 3) лежат на одной
прямой. Напишите уравнение этой прямой.
Задача 29. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку
пресечения прямых
х1 + х3 = 0 и 3х1 + х2 – 2х3 = 0 и точку (3, 5, -1).
Задача 30. Докажите, что прямые х1 + х2 = 0, 2х1 - х2 + 3х3 = 0 и 5х1 + 2х2 +
3х3 = 0 проходят через одну точку. Найдите координаты этой точки.
Задача 31. Найдите точку пересечения прямой 7х1 - 2х2 + 4х3 = 0 с прямой,
проходящей через точки (3, 1, 5) и (-2, 0, 7).
Задача 32. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку
пресечения прямых
х1 – х2 + х3 = 0, 2х1 + х2 = 0 и точку (0, 2, 1).
Задача 33. Базисными точками в указанном порядке являются точки А (1,
2, 1), В (1, 1, 0), С (2, 1, 1), D (0, 1, 7). Найдите координаты точки Х (2, 3, 3).
126
§ 3. Формулы преобразования проективных однородных координат. (
формулы перехода от одного репера к другому.) Формулы преобразования
плоскости.
Задача
34.
Записать
формулы
преобразования
координат
точек
проективной плоскости, если матрица перехода от репера R к реперу R' имеет
вид:
 2 4 0 5


 1 3 0 4
 0 0 1 3


Решение. Столбцы этой матрицы несогласованны, поэтому сначала
запишем формулы преобразования координат для данной матрицы:
2к1 + 4к2 = 5, к1 + 3к2 = 4, к3 = 3.
Отсюда получаем к1 = -
1
3
, к2 = , к3 = 3. Теперь запишем матрицу перехода от
2
2
репера R к реперу R', затем искомые формулы преобразования:
ρх1 = - х1' + 6х2',
ρх2 = -
1
9
х1' + х2',
2
2
ρх3 = 3х3'.
Задача 35. Зная координаты трёх точек и их образов: А (0, 1)→А'(1, 2), В
(2, -1)→В' (1, 0), С (1, -2)→ С' (0, 1), найдём уравнения проективного
преобразования прямой.
Решение.
Используем
известные
формулы
преобразования:
  х1  р11 х1  р12 х 2 ,

 х 2  р 21 х1  р 22 х 2 .
Подставляя в эту систему координаты данных точек, получаем:
127
 1  р12 ,

21  р 22 ,
 2  р11  р12 ,

 0  р 21  р 22 ,
 0  р11  2 р12 ,

3  р 21  2 р 22 .
В этих шести уравнениях семь неизвестных, но так как неизвестные
определены лишь с точностью до множителя, то, придав одному из неравных
нулю неизвестных произвольное значение, например λ1 = 1, получим: р12 = 1,
р22 = 2, р21 = 1, р11 = 2.
Таким
образом,
мы
определили
все
коэффициенты
в
уравнениях
преобразования:
  х1  2 х1  х 2 ,

 х 2  х1  2 х 2 .
Задача 36. Составить формулы преобразования проективных координат
при переходе от репера R = (А0, А1, А2, Е) к реперу R' = (А'0, А'1, А'2, Е'), если в
репере R А'0 (1, 0, -1), А'1(2, 1, 0), А'2(0, 0, 1) и
1) Е' (3, 1, 0),
2) Е' (1, 1, 2).
Указание к решению.
1) λ х0 = у0 + 2у1,
2) λ х0 = - у0 + 2у1,
λ х1 = у1,
λ х 1 = у1 ,
λ х2 = - у0 + у2;
λ х2 = у0 + у2
Задача 37.Составьте формулы преобразования проективных координат
при переходе от репера О1, О2, О3, Е к реперу О'1, О'2, О'3, Е', если:
а) О'1 (1, 2, 0), О'2 (4, -1, 1), О'3 (2, 3, 1) Е' (2, 0, -1),
б) О'1 (х1', х2', х3'), О'2 (у1', у2', у3'), О'3 (z1', z2', z3') Е' (и1', и2', и3').
128
Указание к решению.


x1  22 x1  20 x 2



x 2  44 x1  5 x 2  5 x 3


x 3  39 x 2  13x 3
Задача 38. Найдите проективное преобразование проективной плоскости,
при котором:
а) точки (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1) переходят соответственно в точки (2,
3, 8),
(3, -5, -9), (-7, 4, 1), (1, -1, 0);
б) точки (1, 0, 1), (2, 1, 1), (3, -1, 0), (2, 5, 2) переходят соответственно в точки (1, 0, 3),
(1, 1, 3), (2, 3, 8), (3, 0, -4);
в) точки (2, 1, 0), (0, 1, 1), (1, -1, 1), (1, 3, 0) переходят соответственно в точки
(1, 0, 0),
(0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1);
г) точки (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) неподвижны.
Задача 39. Дано проективное преобразование λх1' = х1 + х2, λх2' = х1 - х3, λх3'
= 2х2 + х3. Найдите:
а) образы точек (2, 1, 0), (1, 1, 2), (0, 0, 1);
б) прообразы точек (3, 0, 4), (0, 1, -1);
в) образ прямой х1 + 2х2 - х3 = 0;
г) прообраз прямой х2 + х3 = 0.
Задача 40. Найдите неподвижные точки и инвариантные прямые
проективного преобразования:
а) λх1' = 4х1 - х2, λх2' = 6х1 - 3х2, λх3' = х1 - х2 - х3;
б) λх1' = х2, λх2' = х3, λх3' = х1.
129
Задача 41. Найдите образы точек (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1) при
проективном преобразовании
λх1' = 2х1 – 3х2 + х3, λх2' = 3х1 – х2 + 4х3, λх3' = 3х1 – 2х2 + 5х3.
§4. Перспективное и проективное
отображения прямых и пучков.
Инволюция.
Задача 42. Проективное отображение π: [S] → [S'] двух пучков прямых [S]
и [S'] задано тремя парами соответственных прямых (а, а'), (b, b'), (с, с').
а) В пучке S' постройте прямую d', соответственную произвольной прямой
d  [S].
б) Постройте образ и прообраз общей прямой данных пучков.
Задача 43. Проективное преобразование прямой l (π: l → l) задано тремя
парами соответственных точек: (А, А'), (В, В'), (С, С').
а) Постройте образ произвольной точки Х прямой l в этом преобразовании.
б) Постройте двойную точку этого преобразования.
Задача 44. Проективное преобразование π: [S] → [S'] – в пучке прямых с
центром S задано тремя парами соответственных прямых: (а, а'), (b, b'), (с, с').
Постройте образ произвольной прямой х пучка S в этом преобразовании.
Задача 45. На прямой g даны двойные точки М, N проективного
преобразования π: g → g и пара соответственных точек (А, А').
а) Постройте образ произвольной точке В g в этом преобразовании.
б) Докажите, что существует проективное преобразование, при котором А →А',
В→В', М→М, N→N.
130
Указание к решению. Через точку М проведите произвольную прямую с,
а через точку N – произвольную прямую n. На прямой n возьмите
произвольную точку S и постройте А0 = с ∩ (AS) и S' = n ∩ (A'A0).
Задача 46.Проективное преобразование π: g → g задано двойной точкой М
и двумя парами соответственных точек (А, А') и (В, В'). Постройте вторую
двойную точку этого преобразования.
Указание к решению. Через точку М проведите произвольную прямую u и
на ней возьмите две произвольные точки S и S'. Пусть А0 = (SA) ∩ (S'A'), (SB) ∩
(S'B'), v = A0B0. Рассмотрите композицию перспективных отображений
f1 : g  v относительно центра S и f 2 : v  g относительно центра S'.
Задача 47. Составьте формулы проективного преобразования прямой по
трём парам соответственных точек:
1
2
а) М (1) и М' (-4); N (0) и N' (  ); Р (3) и Р' (10);
б) А (1, 0) и А' (2, 1); В (0, 1) и В' (1, 0); С (1, 1) и С' (1, -1);
в) А (1, 1) и А' (1, 0); В (1, 2) и В' (-1, 1); С (1, -3) и С' (1, 3).
Ответ. а) x  
3x  1
;
x2
 
б) x1  2 x1  3x 2 ;


x 2  x1


в)  x1  17 x1  x 2
x 2  15 x1  15 x 2
Задача 48.Для данного проективного преобразования прямой составить
формулы обратного преобразования:
  х'1  3x1  4 x 2 ;
 х' 2  2 x1  3x 2 ;
а) 
б) x' 
5x  1
.
x2



 2x  1
Ответ. а)  x1  3x1  4 x 2  ; б) x 
.

x 2  2 x1  3x 2
x  5
131
Задача 49. Найдите неподвижные точки и вид следующих проективных
преобразований прямой:
а) x' 
4x  2
; б) х' = -2х + 6;
 x5
  х'1  x1  x 2 ;
 х'1  3x1  5 x2 ;
г) 
 х' 2  x1  x 2 ;
  х' 2  x1  x2 .
в) 
Указание к решению.
а) Точки с координатами (2) и (-1).
б) точки с координатами (∞) и (2).
в) точки с координатами (1, 2 , -1) и (1, - 2 , -1).
г) неподвижных точек нет.
Задача
50.
преобразование
При
каком
прямой,
значении
заданное
коэффициента
уравнением:
h
x' 
проективное
2x  3
,
3x  h
будет
параболическим?
Ответ. h = 8 или h = -4.
Задача 51. Инволюция задана двумя парами соответственных точек:
φ: А (1, 1) ↔ А' (5, -3), В (1, 0) ↔ В' (2, -1). Найдём уравнения инволюции.
 х1  а х1  bх 2 ,
, то
 х 2  c х1  aх 2 .
Решение. Поскольку уравнения инволюции имеют вид 
достаточно потребовать, чтобы А' и В' были образами точек А и В (в одну
 5   а  b,
 3   c  a,
сторону). Это приводит к системам: 
 2   а,

    c.
132
Полагая с = 1, находим сначала λ'' = -1, а = -2, а затем λ' = -1, а = -3. Получаем
 х1   2 х1  3х 2 ,
  х 2  х1  2 х 2 .
уравнения инволюции φ: 
Задача 52. Инволюция на прямой задана двойной точкой М и парой
соответственных точек А и А'. Постройте вторую двойную точку N инволюции.
Задача 53. Составьте формулы инволюции на прямой по координатам двух
пар соответствующих точек и определите её вид:
а) А (1, 1) и А' (1, 3); В (1, -2) и В' (-7, 3);
б) А (2, 1) и А' (1, 0); В (3, -1) и В' (-1, 1);
в) А (1, 2) и А' (1, 0); В (2, 3) и В' (8, 1);
г) А (2, 1) и А' (7, 6); В (1, 3) и В' (11, -2).
Ответ. а) x' 
  х'1  x1  2 x2 ;
x5
 2x  1
; б) x' 
; в) 
3x  1
11x  2
 х' 2  2 x1  x2 .
Задача 54. Составьте формулы инволюции на прямой, заданной своими
двойными точками:
а) А (1, 1), В (2, -1);
б) А (0, 1), В (1, -1);
в) А (0), В (∞). Как называется такое преобразование на аффинной расширенной
прямой?
Ответ. в) х' = - х – центральная симметрия относительно точки А.
Задача 55. Выясните тип инволюции и найдите её неподвижные точки:
а) x' 
2x  7
3x  2
;
; ; б) x' 
x2
8x  3
133
  х'1  2 x1  x 2 ;
  х'1  x1  6 x 2 ;
г) 
 х' 2  3x1  2 x2 ;
  х' 2  2 x1  x 2 .
в) 
Ответ.
1
а) Гиперболическая инволюция с неподвижными точками М (1) и N    .

4
б) Эллиптическая инволюция.
§ 5. Сложное отношение четырех точек
на плоскости. Свойства.
Задача 56. В репере R = (А1, А2, А3, Е) задана прямая параметрическими
уравнениями
х1 = λр1 + μq1, х2 = λр2 + μq2, х3 = λр3 + μq3,проходящая
через две точки Р (р1, р2, р3) и Q (q1, q2, q3). Доказать, что если две точки М1 и М2
этой прямой имеют параметры М1 (λ1, μ1), М2 (λ2, μ2), то
(PQ, М1М2) =
1  2
. (1)
1  2
Решение. Предположим, что прямая PQ не проходит через точку А3.
Обозначим через P', Q', М1', М2' проекции точек P, Q, М1, М2 на прямую А1А2 из
центра А3. По теореме о координатах проекции точки на координатную прямую
эти точки имеют следующие координаты на прямой А1А2 в репере R3 = (А1, А2,
Е3), где Е3 – точка пересечения прямых А3Е и А1А2:
P' (р1, р2), Q' (q1, q2), М1' (λ1 р1 + μ1 q1, λ1 р2 + μ1 q2), М2' (λ2 р1 + μ2 q1, λ2 р2 + μ2 q2).
Пользуясь формулой (АВ,СD) =
а1
с1 b1
d1
а2
с 2 b2
d2
а1
а2
d 1 b1
d 2 b2
c1
c2
, после несложных выкладок
получим
134
(P'Q', М'1М'2) =
1  2
.
1  2
Как известно, что (P'Q', М'1М'2) = (PQ, М1М2), поэтому справедливо равенство
(1).
Равенство (1) верно также и в том случае, когда прямая PQ проходит через
точку А3. В этом случае одна из точек А1 и А2, например А2, не лежит на этой
прямой. Тогда точки
P, Q, М1, М2 проектируем из центра А2 на прямую А1А3 и аналогично
предыдущему приходим к формуле (1).
Задача 57. Вычислить сложное отношение четырёх точек А (1, 0, 1), В (1,
1, 3), С (2, 1, 4), D (0, 1, 2) по их проективным координатам на плоскости.
Ответ. (АС, ВD) = -1.
Задача 58. Каковы проективные координаты середины С отрезка [АВ] в
репере
R = (А, В, D∞) на расширенной прямой (АВ)?
Ответ. С (1, -1).
Задача
59.
Даны
четыре
точки
евклидовой
плоскости
своими
неоднородными аффинными координатами: А (0, 2), В (1, 4), С (2, 6), D (4, 10).
Убедимся в их коллинеарности и найдём (АВСD).
Решение. Через данные точки проведём прямые, параллельные оси ОУ
(см. рис.). Они пересекают ось ОХ в точках А1 (0, 0), В1 (1, 0),
Y
С1 (2, 0), D1 (4, 0) соответственно. По следствию
основного свойства и по формуле
D
(АВСD) = (АВС) : (АВD) = (АС/СD) : (АD/DВ)
A
B
C
135
A1
B1 C1
D1
X
получаем
(АВСD) = (А1В1С1D1) = (А1С1/С1В1) : (А1D1/D1В1).
Но А1С1  2, С1 В1 1, А1 D1  4, D1 B1  3 . Поэтому
2 4 3
:
: .
1  3 2
(АВСD) =
Задача 60. А, В, С, D, Е попарно различные точки проективной прямой.
Покажите, что (АВСD)( АВDЕ)( АВЕС) = 1.
Указание к решению. Используйте определение сложного отношения
четырех точек.
Задача 61. Даны точки А, В, С, D. Докажите их коллинеарность и найдите
сложные отношения (АВСD), (АВ DС), (АС ВD):
а) А (1, 1, 2), В (-2, 1, 3), С (1, 0, -5), D (-3, 2, 1),
б) А (2, 1, 0), В (0, -1, 3), С (2, 2, -3), D (4, 1, 3).
Указание к решению. А) Убедитесь в коллинеарности точек А, В, С, а
затем А, В, D. Координаты данных точек будем считать координатами
векторов, их порождающих a , b , c , d . В силу коллинеарности точек А, В, С, D,
   



   
c  a   b
вектора a , b , c , d компланарны, а потому    . Учитывая координаты
d  a  b
  
a, b , c ,
векторов
,
решая
соответствующую
систему,
получим




    1 ;   1;   1 . Тогда по определению
(АВ, СD) =
 
: = -1.
 
Б) (АВ, СD) = -2
136
Задача 62. Убедившись, что точки А, В, С лежат на одной прямой, найдите
координаты точки D, лежащей на той же прямой и удовлетворяющей
соотношению (АВ СD) = к, если:
8
2
а) А (1, -2, -1), В (1, 0, -2), С (-3, -4, 8), к =  ,
б) А (2, 0, -1), В (-2, 1, 0), С (2, 2, -3), к =
4
.
3
Указание к решению. Смотрите указания к задаче 64. Ответ: а) D(2: -2: 3),
б) D(2: 1: -2).
2 4
7 7
Задача 63. Даны три точки плоскости А (1, 2, 3), В (-3, 2, 4), С (  , , 1).
Докажите, что они лежат на одной прямой, и найдите координаты точки, для
которой а) АВ
h
СD; б) (а) СА DВ;) = -1.
Указание к решению. D(4: 0: -1).
Задача 64. Найдём (АВСD), если АВ = ВС = СD (вектора равны между
собой).
Решение. Используя формулу (АВСD) = (АВС) : (АВD) = (АС/СD) :
(АD/DВ) имеем:
4
3
(АВСD) = (АВС) : (АВD) = - 2 :    = .

2
3
137
§ 6. Полный четырехвершинник . Гармоническая четверка точек.
Задача 65. На проективной прямой d даны три точки Р, Q и М. Построить
точку Х так, чтобы она была четвёртой к точкам Р, Q и М.
Решение. Для решения задачи построим полный четырёхвершинник
АВСD так , чтобы точки Р и Q были диагональными точками, а М – точкой
пересечения прямой РQ со стороной, проходящей через третью диагональную
точку R (см. рис.). Тогда сторона ВD пересечёт прямую РQ в искомой точке Х.
Из этого анализа вытекает следующий способ построения искомой точки.
Пусть Р, Q, М – данные точки на прямой d (см. рис.).
Через точку Р проведём какую-нибудь прямую, не совпадающую с прямой d,
и возьмём на этой прямой две точки А и В. построим прямые QА, QВ, МА и
обозначим через С точку пересечения прямых МА и QВ. Построим затем
прямую РС и обозначим через D точку пересечения этой прямой с прямой
АQ(на рис. прямые, которые мы строим, обозначены цифрами, причём цифры
соответствуют той последовательности, в которой проводятся прямые).
Построив, наконец, прямую ВD, получаем искомую точку Х как точку
пересечения прямых ВD и d.
Задача решена правильно, так как АВСD – полный четырёхвершинник в
диагональными точками Р, Q и R, где R – точка пересечения прямых АС и ВD.
По доказанной теореме (РQ, МХ) = -1.
Задача 66. Даны отрезок АВ, его середина С и точка М, не лежащая на
прямой АВ. С помощью одной линейки построить прямую, проходящую через
точку М и параллельную прямой АВ.
Решение. Рассмотрим данные фигуры, т. е. отрезок АВ и точки С, М на

расширенной плоскости Ē2. Обозначим через d прямую расширенной
плоскости, проходящую через точки А и В, а через D∞ несобственную точку
этой прямой. Задача сводится к построению на плоскости Ē2 прямой МD∞, где М
138
– данная точка, а D∞ - недоступная точка, но о ней известно, она лежит на

прямой d и
(АВ, С D∞) = - 1.
Для построения искомой прямой воспользуемся теоремой о свойстве полного
четырёхвершинника. Построим какой-нибудь полный четырёхвершинник
МNРQ так, чтобы точки А и В были его диагональными точками, а точка С
лежала на стороне, проходящей через третью диагональную точку К
(см. рис.).
N
Проведем прямые АМ и ВМ и какую-нибудь
прямую, роходящую через точку С, но
M
P
K
не проходящую через точки А и М. Пусть
Q
эта прямая пересекает прямые АМ и ВМ
соответственно с точках N и Q. Затем
D∞
C
A
проводим прямые АQ и ВN, которые
B
Рис.5.
пересекаются в точке Р. Прямая МР искомая.
Задача решена правильно, так как МNРQ – полный четырёхвершинник, а А
и В – его диагональные точки,
поэтому если Х = АВ ∩ МР, то по теореме о свойстве полного
четырёхвершинника (АВ, СХ) = - 1. По условию задачи С – середина отрезка АВ,

следовательно, Х – несобственная точка D∞ прямой d . Отсюда следует, что
АВ║МР.
Задача 67. Даны параллельные отрезок АВ и прямая р. с помощью одной
линейки построить середину отрезка АВ.
N
Решение. Задача решается аналогично предыдущей.
Обозначим через d прямую расширенной плоскости Ē2,
p
M
P
Q
проходящую через точки А и В, а через D∞ несобственную
точку этой прямой. Задача сводится к построению точки С
A
B
C
Рис.6.
139
прямой d, удовлетворяющей условию (АВ, СD∞) = -1.
Здесь А и В – данные точки, а D∞ - недоступная точка, в
которой пересекаются прямые АВ и p.
Возьмем точку N, не лежащую на прямых АВ и р, проведем прямые АN и
ВN (см. рис.). Обозначим через М и Р точки пересечения этих прямых с прямой
р. Затем проводим прямые АР и ВМ и находим точку Q = АР ∩ ВМ. Прямая NQ
пересекает прямую АВ в искомой точке С.
Задача 68. Даны две параллельные прямые а, а' и точка М, не лежащая на
этих прямых. С помощью одной линейки построить прямую, проходящую через
точку М и параллельную прямым а и а'.
Решение.
Первый способ. Укажем способ построения искомой прямой, используя
предыдущие задачи. Отметим на прямой а две точки А и В и построим середину
С отрезка АВ. Затем построим искомую прямую.
Второй способ. Рассмотрим данные прямые а и а' и точку М на
расширенной плоскости Ē2. Обозначим через D∞ несобственную точку прямых а
и а'. Задача сводится к построению прямой МD∞, проходящей через данную
точку М и недоступную точку D∞. Для решения задачи воспользуемся теоремой
Дезарга.
Возьмём какую-нибудь точку S, не лежащую
на
прямых
а
и
а',
и
построим
S
два
B
a
C
трёхвершинника АВС и А'В'С' так, чтобы
A
прямые АА', ВВ', СС' проходили через точку S,
причём В, С  а, В', С'  а' и М = АВ ∩ А'В' (см.
N
рис.).
x
M
A’
B’
C’
a’
Рис.7.
140
Тогда точки М, N и D∞, где N = АС ∩ А'С', лежат на одной прямой х, т. е. МN –
искомая прямая.
Через точку S проведём две произвольные прямые и обозначим точку
пересечения этих прямых с данными прямые ВМ и В'М и через то прямыми а и
а' через В, С, В', С' (см. рис.). Затем строим чку S проводим прямую, которая
пересекает эти прямые в точках А и А'. Если N = АС ∩ А'С', то прямая МN
искомая. В самом деле, так как прямые АА', ВВ', СС' лежат на одной
прямой.Значит, прямая МN проходит через точку D∞, т. е. на Евклидовой
плоскости прямые а, а' и МN параллельны.
Задача 69. Доказать, что диагонали параллелограмма точкой пересечения
делятся пополам.
Решение. Пусть АВСD – данный параллелограмм аффинной плоскости, а
Е – точка пересечения его диагоналей АС и ВD.
A
Рассмотрим данный параллелограмм
как фигуру плоскости А2. Так как АС║ВD и
АD║ВС, то на проективной плоскости Р2
B
точки R∞ = АВ ∩ СD и S∞ = АD ∩ ВС
лежат наодной прямой d∞ (рис.).
Таким образом,на плоскости Р2
АВСD – полный четырехвершинник
D
E
C
d0
S0
N0
R0
M0
Рис.8.
с диагональными точками Е, R∞ и S∞.
Если М∞ = АС ∩ d∞,то сложное отношение четырех точекА, С, Е, М∞ является
гармоническим,т. е. (А, С, Е, М∞) = -1, поэтому и (АС, Е) = -1.Таким образом, Е –
середина отрезка АС. Точно также доказывается, что Е – середина отрезка ВD.
Задача 70. Дана произвольная трапеция АВСD с основаниями АВ и СD.
Доказать, что прямая, проходящая через точку S пересечения прямых АD и ВС и
141
через точку М пересечения диагоналей, проходит через середины Е и F
оснований трапеции (рис. ).
Решение. Рассмотрим данную трапецию АВСD. Так как АВ║СD, то на
проективной плоскости Р2 точка N∞ = АВ ∩ СD лежит на расширенной прямой
d∞. Таким образом, на проективной плоскости Р2 АВСD – полный
четырехвершинник с диагональными точками М, S и N∞ (рис. ). Как известно,
(АВ, ЕN∞) = -1 и (СD, FN∞) = -1, поэтому
(АВ, Е) = -1 и (СD, F) = -1. Таким образом, Е – середина отрезка АВ, а F –
середина отрезка СD.
S
S
d0
D
F
D
C
C
M
M
A
E
B
A
E
B
N0
Рис.9.
Задача 71. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине
треугольника АВС пресекают прямую АВ в точках К и L соответственно.
Докажем, что четвёрка А, В, К,L – гармоническая (см. рис.).
C
Решение. По свойству биссектрисы внутреннего
угла треугольника имеем: АК : КВ   , где
A
  АС : СВ ; так как векторы АК и КВ сонаправлены,
то (АВК) = λ. Аналогично по свойству биссектрисы
K
B
L
Рис.10.
внешнего угла (АВL) = - λ. Поэтому
142
(АВКL) = λ : (- λ) = - 1.
Задача 72. Доказать, что прямая (СМ), содержащая медиану [СМ]
треугольника АВС, и прямая (СХ), параллельная стороне [АВ], гармонически
разделяют прямые (СА) и (СВ), содержащие две другие стороны треугольника
АВС.
Задача 73. На аффинной (или евклидовой) плоскости π даны отрезок [АВ]
и его середина С. Через данную точку М  (АВ) провести прямую, параллельную
прямой (АВ), пользуясь только линейкой.
Задача 74. Даны две параллельные прямые (различные). Пользуясь только
линейкой, построить
1) середину отрезка, заданного на одной из данных прямых;
2) прямую, проходящую через данную точку и параллельную данным прямым.
Задача 75. Доказать, что точка пересечения диагоналей трапеции, точка
пересечения продолжений её боковых сторон и середины её оснований лежат
на одной прямой.
Указание к решению. На расширенной плоскости рассмотреть полный
четырёхвершинник с вершинами в вершинах трапеции.
Задача 76. Найдите три гармонические четвёрки точек, лежащие на
диагоналях данного четырёхвершинника АВСD.
Задача
77.
Пользуясь
только
линейкой,
постройте
четвёртую
гармоническую точку D к точкам А, В, С в следующих случаях:
а) АВ
h
СD;
143
б) АС
h
ВD;
в) АD
h
ВС.
Задача На прямой g даны три точки А, В, С. через точки А, В проведены
параллельные прямые а, b, отличные от g. На прямой l отложены конгурентные
отрезки ВL, ВМ. К = а ∩ (СМ), D = (КL) ∩ g. Докажите, что СD
h
АВ.
Указание к решению. Пусть (DM) ∩ a = P. Отрезки KA и AP –
конгруэнтны.
KM ∩ PL = C. Тогда с помощью четырех вершинника KLMP нетрудно
проверить, что СD
h
АВ.
Задача 79. В трапеции АВСD через точку пересечения диагоналей (точку
О) проведена прямая, параллельная её основаниям. Докажите, что отрезок этой
прямой, заключенной между боковыми сторонами трапеции, делится точкой О
пополам.
Задача 80. Даны три точки проективной плоскости А (1, 2, 3), В (-3, 2, 4), С
(-2, 4, 7). Докажите, что они лежат на одной прямой, и найдите четвёртую
гармоническую точку.
Задача 81. На проективной плоскости даны точки А (1, 2, 5), В (1, 0, 3), С (1, 2, -1). Докажите, что они лежат на одной прямой, и найдите такую точку D,
чтобы
(А, В; С, D) = 5.
144
§ 7. Сложное отношение четырех прямых одного пучка.
Задача 82. Даны три прямые а, b, с пучка. Построим четвёртую
гармоническую (т. е. такую прямую d, чтобы (аbсd) = -1).
Решение. Через произвольную точку М прямой с проводим (МА)║b и
(МВ)║а, причём
А  а, В  b (см. рис.). Затем проводим прямую АВ. Прямая
d, проходящая через центр пучка Р параллельно (АВ),
D
искомая.
В самом деле, если С = (АВ) ∩ с и D∞ = (АВ) ∩ d, то
(аbсd) = (АВСD∞). Но С – середина отрезка АВ, так как
АМВР – параллелограмм. Следовательно, четвёрка
B
A
a
b
M
А, В, С, D∞ - гармоническая, что доказывает гармонизм
четвёрки а, b, с, d.
Рис.11.
Задача 83. Даны три точки А, В, С на прямой т. Построим четвёртую
гармоническую точку D.
Решение. Возьмём произвольную точку Р, на лежащую на прямой т, и
построим прямые РА, РВ, РС. Строим к ним четвёртую гармоническую,
которая пересечёт прямую в искомой точке D.
Задача 84. Доказать, что А (а0, а1, а2), В (b0, b1, b2), С (с0, с1, с2) с
координатами в проективном репере R=(А0, А1, А2, Е) лежат на одной прямой
тогда
и
только
а0
( А, В, С )  b 0
c0
a1
b1
c1
тогда,
когда
определитель
системы
этих
точек
a2
b 2 равен нулю.
c2
145
Указание к решению. Точки А, В, С лежат на одной прямой тогда и только
тогда, когда порождающие их векторы линейно зависимы.
Задача 85. Прямые а и b пересекаются в точке С, прямые с и d содержат
биссектрисы углов, образованных прямых а и b. Доказать, что (аb, сd) = -1.
Указание к решению. Воспользоваться задачей 84.
Задача 86. Доказать, что прямые, содержащие биссектрисы внутреннего и
внешнего угла С треугольника АВС, пересекают прямую (АВ) в точках,
гармонически разделяющих вершины А и В.
Задача 87. Доказать, что прямые, содержащие диагонали параллелограмма,
гармонически разделяют прямые, проходящие через центр параллелограмма
параллельно его сторонам.
Указание к решению. На расширенной плоскости рассмотреть полный
четырёхвершинник,
вершинами
которого
служат
вершины
данного
параллелограмма.
Задача 88. Убедитесь в том, что следующие четвёрки прямых
принадлежат одному пучку:
а) а: х1 –2х2 + х3 = 0,
б) а: х2= 0,
b: х2 - х3 = 0,
b: х1 - х2 = 0,
с: х1 – х3 = 0,
с: 3х1 – х2 = 0,
d: х1 – х2= 0.
d: 5х1 – х2= 0.
Указание к решению. Решение аналогично решению задачи 64.
146
Задача 89. Даны прямые а, b, с. Проверьте, что эти прямые принадлежат
одному пучку, и найдите в этом пучке прямую d такую, чтобы (аb сd) = к:
а) а: 2х1 + х2 = 0,
б) а: х1 – х2 + х3 = 0,
b: х2 + 3х3 = 0,
b: х1 + 2х3 = 0,
с: 2х1 – 3х3 = 0,
с: х1 + х2 + 3х3= 0,
к=
1
3
к = 3.
Указание к решению. Решение аналогично решению задачи 65.
Задача 90. На проективной плоскости прямые а, b, с заданы
соответственно уравнениями 2х1 + х2 = 0, х2 + 3х3 = 0, 2х1 - 3х3 = 0. Докажите,
что эти прямые принадлежат одному пучку, и найдите такую прямую d, чтобы
1
3
(а, b; с, d) =  .
Задача 91. Найдите четвёртую гармоническую к двум сторонам угла и его
биссектрисе.
Задача 92. Найдите четвёртую гармоническую к боковым сторонам
трапеции и прямой, соединяющей точку пересечения диагоналей с точкой
пересечения боковых сторон.
Задача 93. Найдите четвёртую гармоническую к двум сторонам
треугольника и медиане, проведенной к третьей стороне.
147
Глава 2. Кривые второго порядка.
Задача 1. Построить линию второго порядка, проходящую через точки (в
неоднородных координатах):
3 3 
, 1 .
М1 (3, 0), М2 (-3, 0), М3 (0, 2), М4 (0, -2), М5 
2


Решение. Коэффициенты уравнений искомой линии определяются из
следующей системы:
9а11 + 6а13 + а33 = 0,
9а11 – 6а13 + а33 = 0,
4а22 + 4а23 + а33 = 0,
4а22 – 4а23 + а33 = 0,
27
а11  3 3а12  а 22  3 3а13  2а 23  а 33  0 .
4
Вычитая второе уравнение из первого, получим а13 = 0; вычитая четвёртое из
третьего, получим а23 = 0, так что система сводится к следующей:
9а11 + а33 = 0, 4а22+ а33 = 0,
27
а11  3 3а12  а 22  а33  0 .
4
Из первых двух уравнений имеем
а11  
а33
а
, а 22   33 .
9
4
Подставляя эти значения в последнее, получим, а12 = 0. Итак,
окончательно:
а13 = а12 = а23 = 0, и уравнение искомой линии примет вид (по разделении на
а33)

1 2 1 2
х  у 1 0
9
4
или
148
х2 у2

 1.
9
4
Задача 2. Даны пять точек общего положения и прямая, проходящая через
остальные точки. Построить вторую точку пересечения данной прямой с
овальной линией γ, проходящей через данные пять точек.
Решение. Задачу можно решить двумя способами.
Первый способ. Этот способ основан на теореме Штейнера. Пусть О, О',
А, В, С – данные точки, а а – данная прямая, проходящая через точку О.
Рассмотрим проективное отображение f пучков О и О', которое переводит
прямые ОА, ОВ, ОС соответственно в прямые ОА', ОВ', ОС'. Отображение f По
теореме Штейнера порождает линию γ.Если теперь построить прямую а' =
f(а),то, очевидно, искомой точкой М является точка пересечения прямых а и а'.
На рисунке выполнено построение
точки М. На нём d и d' – произвольные
прямые, проведённые через точку А и не
проходящие через О и О'. Точка S – центр
O
A
d
перспективного отображения φ: d → d',
которое порождается отображением f.
Искомой точкой являлась точка пересеченияa
S
B
M
C
O1
прямых а и О'3'.
Рис.12.
Второй способ. Этот способ основан на
теореме Паскаля. Данные точки обозначим
C
A
через А, В, С, D, Е и допустим, что данная
прямая а проходит через точку А (см. рис.).
E
R
P
Пусть М – искомая точка. Тогда
шестивершинник АВСDЕМ вписан в овальную
Q
B
M
a
Рис.13.
149
линию, поэтому точки Р = АВ ∩ DЕ, Q = ВС ∩ ЕМ, R = СD ∩ МА лежат на
одной прямой. По условиям задачи строим точки Р и R (заметим, что МА –
данная прямая а), а затем точку Q = ВС ∩ РR. Искомая точка М получена как
точка пересечения прямых а и ЕQ (см. рис.).
Задача 3. Овальная линия второго порядка γ задана пятью точками общего
положения. Построить несколько точек этой линии.
Решение. Проведём через одну из данных точек несколько прямых, не
проходящих через другие данные точки. Пользуясь предыдущей задачей,
построим точки пересечения проведённых прямых с линией γ. Каждая из этих
точек является искомой.
Задача 4. Овальная линия второго порядка γ задана четырьмя точками
общего положения и касательной в одной из данных точек. Построить
несколько точек линии γ.
Решение. Пусть О, О', А, В – данные точки, а а – касательная в точке О.
Рассмотрим проективное отображение f пучков О и О', которое переводит
прямые а, ОА, ОВ соответственно в прямые О'О, О'А, О'В. Отображение f по
теореме Штейнера порождает линию γ.
Проведём через точку О прямую l, не проходящую через точки О', А, В, и
построим её образ l'. Точка пересечения прямых l и l' является искомой.
Аналогично можно построить и другие точки линии γ.
Задача 5. Даны пять точек общего положения: О, О', А, В, С. В точке О'
построить касательную к овальной линии γ, проходящей через эти точки.
Решение. Рассмотрим проективное отображение
f пучков О и О', которое переводит прямые
150
ОА, ОВ, ОС соответственно в
прямые О'А,
О'В, О'С. Отображение f по теореме
Штейнера
порождает
линию
γ.
C
X1
C1
S
Искомая
касательная
A
O
B
является
O1
образом
прямой О, О'.
X2
Рис.14.
Таким образом, задача сводится к
построению образа прямой ОО' в проективном
отображении f. Построение выполнено на рисунке.
Задача 6. Даны пять точек общего положения: А, В, С, D, Е и точка Р.
Построить поляру точки Р овальной линии γ, проходящей через данные точки
А, В, С, D, Е.
Решение. Если точка Р совпадает с одной из данных точек, то задача
сводится к предыдущей задаче, поэтому предположим, что точка Р не совпадает
с одной из данных точек. Для решения задачи достаточно построить две точки
поляры точки Р. Для построения этих точек воспользуемся теоремой о
касательной к невырожденной линии второго порядка.
Возьмём такие две из данных точек, например А и В,
которые не лежат на одной прямой с точкой Р (см. рис.),
и проведём прямые РА и РВ. Каждая из этих прямых
пересекает линию γ, вообще говоря, в двух точках.
D
A1
C
B1
M
N
A
B
Построим вторую точку А1 пересечения прямой РА
с линией γ (задача1), а затем точку М, гармонически
сопряженную с точкой Р относительно пары АА1 (§13, задача).
P
Рис.15.
Точка М лежит на поляре точки Р. аналогично, построив точки
В1 и N (см. рис.), проводим поляру МN точки Р.
151
Если одна из прямых, например РА, является касательной к линии γ в точке
А, то точка А лежит на искомой поляре, поэтому нет надобности в построении
точки М.
Задача 7. Прямая d не имеет общих точек с окружностью ω. Доказать, что
прямые, соединяющие точки касания касательных, проведённых из любой
точки прямой d к окружности ω, проходят через одну и ту же точку.
Решение. Рассмотрим данную окружность ω как фигуру d
расширенной плоскости, тогда ω – овальная линия. Из
N
точки М прямой d проведём касательные т1 и т2 к
овальной линии ω и обозначим через М1 и М2
точки касания (см. рис.). Для другой точки N
прямой d аналогично получим точки N1 и N2
линии ω. Прямая М1М2 – поляра точки М, а прямая
N1N2 – поляра точки N относительно овальной линии ω.
M1
m1
N1
M
N2
D
m2
M2
Рис.16.
Точка D пересечения прямых М1М2 и N1N2 является полюсом прямой d. По
теореме взаимности поляритета поляры любой точки прямой d проходит через
точку D.
Задача 8. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две
секущие d1 и d2, которые пересекают окружность в точках М1, N1 и М2, N2, и две
касательные АТ1 и АТ2, где Т1 и Т2 – точки касания (см. рис.). Доказать, что
точки Т1, Т2, Х = М1N2 ∩ М2N1 и У = М1М2 ∩ N1N2
лежат на одной прямой.
Решение. Рассмотрим данную окружность ω как фигуру плоскости Е2,
тогда ω – овальная линия проективной плоскости Р2, а расширенная Т1Т2 –
поляра точки А.
152
Пусть В1 и В2 – точки пересечения
d1
расширенной прямой ХУ соответственно с
расширенными прямыми М1N1 и М2N2 (см.
рис.). По следствию теоремы о полном
N1
T1
B1
N2
A
четырехвершиннике (М1N1, АВ1) = - 1 и
B2
(М2N2, АВ2) = - 1, поэтому точки В1 и В2
T2
d2
лежат на поляре точки А. Таким образом,
Т1, Т2, В1, В2 лежат на одной прямой,
Рис.17.
следовательно, и Т1, Т2, Х, У лежат
на той же прямой.
Замечание. Из предыдущей задачи следует простой способ решения
следующей задачи на построение: через точку А, лежащую вне данной
окружности ω, с помощью только линейки провести касательные к окружности
ω. Через точку А проводим произвольные секущие М1N1 и М2N2, а затем строим
точки Х = М1N2 ∩ М2N1 и
У = М1М2 ∩ N1N2 (см. рис.). Прямая ХУ пересекает окружность ω в точках Т1 и
Т2; прямые АТ1 и АТ2 – искомые касательные.
Задача 9. Найдите точки пресечения кривой
х12  2 х1 х 2  3х 22  4 х1 х3  6 х 2 х3  3х32  0
со следующими прямыми:
а) 5х1 – х2 – 5х3 = 0;
б) х1 + 2х2 + 2х3 = 0;
в) х1 + 4х2 – х3 = 0.
Задача 10. Приведите к каноническому виду уравнение кривой
х12  х 22  2 х1 х3  2 х 2 х3  0 .
Задача 11. Напишите уравнение кривой, проходящей через данные точки
(0, 0, 1),
153
(2, 1, 0), (2, -1, 0), (-2, 0, 1), (2, 2, 3).
Задача 12. Найдите поляру данной точки А относительно данной кривой
G:
2
2
2
а) А (-4, 2, 1), G: 6 х1  5 х1 х 2  4 х 2  3х1 х3  2 х 2 х3  х3  0 ;
2
2
б) А (6, 4, 1), G: 2 х1  3х 2  6 х1 х3  2 х 2 х3  0 ;
2
2
в) А (2, 1, 1), G: 4 х1  3х1 х2  х2  0 ;
2
2
2
г) А (7, 5, 1), G: х1  2 х1 х 2  2 х 2  3х3  4 х1 х3  6 х 2 х3  0 .
Задача 13. Найдите полюс данной прямой l относительно данной кривой
G:
2
2
а) l: 3х1 – х2 + 6х3 = 0, G: х1  2 х1 х 2  х 2  2 х1 х3  6 х 2 х3  0 ;
2
2
2
б) l: х1 – 3х3 = 0, G: 2 х1  4 х1 х 2  х 2  2 х1 х3  6 х 2 х3  3х3  0 ;
2
2
в) l: х2 = 0, G: 4 х1  2 х1 х 2  15 х3  6 х1 х3  10 х 2 х3  0 ;
2
2
2
г) l: х1 + 3х2 + х3 = 0, G: 3х1  5 х 2  х3  7 х1 х 2  4 х1 х3  5 х 2 х3  0 .
Задача 14. Доказать теорему:
если АВСD – полный четырехвершинник с вершинами на овальной кривой
второго порядка, то каждая его диагональная точка является полюсом
противолежащей диагонали.
Задача 15. Данная овальная кривая второго порядка Q и точка М.
Построить поляру точки М, если:
1) М – внешняя точка относительно Q;
2) М – внутренняя точка относительно Q;
154
3) М  Q.
Указание к решению. Воспользоваться задачей 14.
Задача 16. Построить полюс данной прямой d относительно данной
овальной кривой второго порядка Q.
Указание к решению. Построить поляры двух точек данной прямой.
Задача 17. Из данной точки М евклидовой плоскости провести
касательную к данной окружности Q с помощью одной линейки.
Указание к решению. Построить поляру точки М.
Задача 18. Овальная кривая второго порядка задана пятью своими
точками. Построить:
1) касательную в одной из данных точек;
2) ещё одну точку кривой;
3) касательную в построенной точке.
Указание к решению. Воспользоваться теоремой Штейнера или Паскаля.
Задача 19. Овальная кривая второго порядка задана четырьмя своими
точками и касательной в одной из них. Построить:
1) касательную в одной из данных точек;
2) ещё одну точку кривой.
Указание к решению. См. указание к задаче 18.
155
Задача 20. Овальная кривая второго порядка задана тремя своими точками
и касательной в двух из них. Построить:
1) касательную в третьей точке;
2) ещё одну точку кривой.
Указание к решению. См. указание к задаче 18.
Задача 21. Овальная кривая второго порядка задана пятью касательными к
ней. Построить:
1) ещё одну касательную;
2) точку данной кривой.
Указание к решению.
Воспользоваться теоремой Бриандшона. Точку
кривой искать как точку касания одной из касательных.
Задача
22.
Овальная
кривая
второго
порядка
задана
четырьмя
касательными к ней и точкой касания одной из них. Построить:
1) ещё одну касательную;
2) ещё одну точку данной кривой.
Указание к решению. См. указание к задаче 11.
Задача 23. Овальная кривая второго порядка задана тремя касательными к
ней и точкой касания двух из них. Построить:
1) ещё одну касательную;
2) ещё одну точку данной кривой.
Указание к решению. См. указание к задаче 11.
156
Задача 24. Прямые (АВ) и (СD) сопряженные диаметры эллипса Q; А, В, С,
D  Q. Построить:
1) ещё одну точку эллипса Q;
2) касательную к эллипсу Q в найденной точке.
Указание к решению. Касательные к эллипсу Q в точках А и В
параллельны диаметру (СD), а касательные в точках С и D параллельны
диаметру (АВ). Воспользоваться теоремой Паскаля или Бриандшона.
157
Проверочный тест к разделу 1.
1. Возникновение проективной геометрии связано с именем известного
французского математика:
а) Евклида;
b) Декарта;
с) Понселе;
d) Лагранжа.
2. Евклидову прямую, дополненную точкой М∞, называют:
а) расширенной прямой;
b) проективной прямой;
с) инвариантной прямой;
d) несобственной прямой.
3. Какие элементы являются основными объектами проективной
геометрии?
а) прямая и плоскость;
b) точка и вектор;
с) точка и прямая;
d) точка, прямая и плоскость.
4. Если справедливо утверждение ▲, в котором говорится о точках,
прямых на проективной плоскости и об их взаимной принадлежности, то
справедливо и так называемое двойственное предложение ▲*, которое
получается из ▲ заменой слов « точка » и « прямая »соответственно словами:
а) «плоскость» и «точка»;
b) «прямая» и «плоскость»;
с) «прямая» и «точка»;
d) «точка» и «плоскость».
158
5. Фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх
прямых, соединяющих попарно эти точки, называется:
а) треугольником;
b) трёхгранником;
с) трёхвершинником;
6. Если проективное преобразование сохраняет каждую точку
неподвижной, то оно называется:
а) перспективным;
b) инвариантным;
с) проективным;
d) тождественным.

7. Линейное преобразование φ: V→V, при котором вектор а переходит в



а по закону: а   а называется:
а) гомотетией;
b) гомологией;
с) инволюцией;
8. Сколько неподвижных точек должно оставлять проективное
преобразование прямой, чтобы быть тождественным:
а) две;
b) три;
с) четыре;
d) оно всегда тождественно.
9. Какая из формулировок принадлежит теореме Рейе:
а) Если два трёхвершинника имеют ось перспективы, то они имеют и центр
перспективы;
159
b) Тождественное преобразование проективного пространства индуцируется
гомотетией соответственного векторного пространства;
с) Любое перспективное отображение гиперплоскостей в проективном
пространстве Рп является проективным;
d) Любое проективное отображение прямых на проективной плоскости можно
представить в виде двух перспектив.
10. Если нетождественное проективное преобразование прямой совпадает
с обратным преобразованием, то оно называется:
а) гомотетией;
b) гомологией;
с) инволюцией;
11. Нетождественное проективное преобразование имеет по крайней мере
три инвариантные точки, не лежащие на одной прямой, но оно называется:
а) гомотетией;
b) гомологией;
с) инволюцией.
160
Проверочный тест к разделу 2.
1. Что является условием коллинеарности точек А, В, С, которые
  
порождаются векторами а , b , c ?
  
а) А, В, С – коллинеарны, если с  а , b ;
  
а
б) А, В, С – коллинеарны, если вектора , b , c - компланарны;
  
в) А, В, С – коллинеарны, если вектора а , b , c - ортогональны;

 

г) А, В, С – коллинеарны, если а  b , а с  0 .
 
2. Даны три прямые l (l1, l2, l3), m (m1, m2, m3), п (п1, п2, п3). При каком
условии эти прямые будут принадлежать одному пучку?
а) когда l ∩ m, а m ∩ п в различных точках;
б) когда
l1 = α m1 + β п1,
l2 = α m2 + β п2,
l3 = α m3 + β п3;
в) когда
l1
m1
n1
г) когда
l1 
l2
m2
n2
l3
m3 = 0;
n3
m
m1
m
; l 2  2 ; l3  3 .
n1
n2
n3
3. Как называется проективная система координат R (Е1, Е2, Е3, Е0) на
расширенной евклидовой плоскости, если точки Е1, Е2 являются
несобственными?
а) декартовой системой координат;
б) проективной неоднородной системой координат;
в) системой однородных аффинных координат.
161
4. Как связаны аффинные координаты (х1, х2, х3) собственной точки с её
неоднородными координатами (х, у) соответствующей системе?
а) х = α х1 + β х2 + γ х3,
у = γ х1 + β х2 + α х3;
б) х + у = х1 + х2 + х3;
в) х 
х1
,
х2
у
х1
;
х3
г) х 
х1
,
х3
у
х2
.
х3
х1
5. Какое из определений не подходит к отношению
х 2 , где (х1, х2) –
координаты точки D в репере R = (А, В, С)?
а) простое;
б) сложное;
в) двойное;
г) ангармоническое.
6. А, В, С, D – четыре точки одной прямой. При каком условии можно
говорить, что пара точек А, В разделяет пару точек С, D?
а) (АВ, СD) > 0;
б) (АВ, С) = (АВ, D);
в) (АВ, СD) < 0;
г) (АВ, СD) = (АВ, С) + (АВ, D).
7. Какое из определений не подходит для множества точек, проективные
координаты которых удовлетворяют уравнению:
а11 x1² + 2a12 x1 x2 + a22 x2² + 2a13 x1 x3 + 2a23 x2 x3 + a33 x3² = 0 ?
162
а) линия второго порядка;
б) кривая второго порядка;
г) квадрика.
2
2
2
8. Какая квадрика задается уравнением х1  х 2  х3  0 ?
а) нулевая квадрика;
б) пара мнимых прямых;
в) овальная квадрика;
г) круговая квадрика.
Итоговый тест.
163
1. Учитывая,
что
(ABCD)=(ABC):(ABD)=(AC/CB):(AD/DB)
укажите
значение отношения (ABCD), если AB=BC=CD.
a) 4/3
b) 2/3
c) -4/3
d) -2/3
2. Какие координаты имеет точка пересечения прямых U(2;-1;1) и V(1;3;-2)?
a) (-1;-5;7)
b) (1;5;7)
c) (-1;5;-7)
d) (-1;5;7)
3. Какие координаты имеет точка пересечения прямой U(2;-1;1) с прямой,
проходящей через точки F(2;-1;0) и G(3;-3;1)?
a) (-1;1;-1)
b) (1;1;1)
c) (1;1;-1)
d) (2;1;-1)
4. На расширенной прямой d задан проективный репер R(A0,A1,E), A0,A1собственные точки прямой d. E- середина отрезка [A0,A1]. Какие
координаты имеет несобственная точка X∞, принадлежащая d, в репере R.
a) X∞(1;1)
b) X∞(-1;1)
c) X∞(2;-1)
d) X∞(1;-2)
5. На расширенной евклидовой плоскости заданы прямые U1 и U2 и
проективное отображение φ: U1→U2, определяемое тремя парами
164
соответствующих точек: A1→A2, B1→B2 , C1→C2. Каким образом
относительно точек A2, B2, C2 будет расположен образ D2 несобственной
точки D1∞ прямой U1?
a) A2B2÷D1C2
b) A2D1÷B2C1
c) D1B2÷A2C2
d) A2C2÷B2D1
6. Даны точки A(-2;1;3), B(1;-1;2), C(-3;2;x). При каком значении х точки
A,B,C будут лежать на одной прямой?
a) 2
b) 3
c) -2
d) –1
7. Даны прямые a(2;1;0), b(0;1;3), c(2;y;-3). При каком значении y эти
прямые будут принадлежать одному пучку?
a) 3
b) 2
c) 1
d) 0
8. Какой вид имеет управление кривой второго порядка, проходящей через
точки A(2;2;3), B(-2;0;1), C(2;-1;0), D(2;1;0), E(0;0;1) (с точностью до
множителя)?
a) 2x12+x22+5x32=0
b) 8x12=0
165
c) x12-4x22+2x1x2=0
d) 10x12+12x22-x1x3=0
9. F22- двумерное векторное пространство над полем F2 вычетов по модулю
2. Сколько точек точно содержит проективная прямая P(F22)?
a) 2
b) 3
c) 1
d) такая прямая не существует.
10.F23-трехмерное векторное пространство вычетов над полем F2 вычетов по
модулю 2. Сколько точек точно содержит проективная прямая P(F23)?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
11.Даны уравнения коллинеации Х:
mx1/=x1-2x2
mx2/=x2+3x3
mx3/=-x2
Какие координаты имеет образ точки A(3;2;-1)?
a) (-1;9;2)
b) (1;-5;-1)
c) (1;-6;1)
d) (-1;4;-2)
12.Зная координаты трёх точек и их образов: A(0;1)→A’(1;2), B(2;1)→B’(1;0), C(1;-2) →C’(0;1). Какой вид имеет уравнение проективного
преобразования прямой?
a) Λx1’=2x1+x2
166
Λx2’=x1+2x2
b) Λx1’=x2
Λx2’=3x1
c) Λx1’=4x1+x2
Λx2’=-x1+x2
d) Λx1’=2x1-x2
Λx2’=x1-2x2
167
Список литературы.
1. Атанасян Л. С., Базылев В. Т. Геометрия. Учебное пособие для студентов
физ.-мат. факультетов пед. институтов. В 2 ч. Ч.1. – М.: Просвещение,
1986.
2. Атанасян Л. С., Базылев В. Т. Геометрия. Учебное пособие для студентов
физ.-мат. факультетов пед. институтов. В 2 ч. Ч.2. – М.: Просвещение,
1987.
3. Базылев В. Т., Дуничев К. И. Геометрия. - М.: Просвещение, 1974.
4. Глаголев Н. А. Проективная геометрия. Учебное пособие для студентов
университетов. – М.: Высшая школа, 1963.
5. Гуревич Г. Б. Проективная геометрия. – М.: Государственное
издательство физико-математической литературы, 1960.
6. Мусхелишвили Н. И. Курс аналитической геометрии. 5-е изд., стер. –
Спб.: Издательство «Лань», 2002.
7. Четвертухин Н. Ф. Проективная геометрия. 8-е изд. – М.: Просвещение,
1969.
8. Четвертухин Н. Ф. Изображения фигур в курсе геометрии, изд. 2-е, 1958.
9. Базылев В. Т. Сборник задач по геометрии. - М.: Просвещение, 11979.
10. Донченко В. В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М.:
Издательство «Наука», 1976.
11.Франчулов С. А., Совертков П. И., Фадеева А. А. Сборник задач по
геометрии. – М.: Провещение, 2002.
168