Лекция 24

1
Замечательные пределы.
1. Первый замечательный предел.
2. Второй замечательный предел.
3. Сравнение бесконечно малых.
4. Применение бесконечно малых к вычислению пределов.
5.
Введение.
Понятие предела и понятие функции – фундаментальные понятия
математического анализа. Начало изучению понятия предела положено в
элементарной математике, где с помощью предельных переходов
определяются длина окружности, объём цилиндра, конуса и т.д. Оно также
было использовано при определении суммы бесконечно убывающей
геометрической прогрессии. Операция предельного перехода является одной
из основных операций анализа.
1. Первый замечательный предел.
У
В К
х
0
Доказать, что lim
x0
С А
х
sin x
 1.
x
Рассмотрим дугу окружности радиусом R=1 с центральным углом,

радианная мера которого равна x(0  x  ) .
2
Тогда
Очевидно,
что
OA=1; sin x=BC; tg x = AK.
SOABSсектOABSOAK
или,
что
тоже
(1)
самое
1
1
1
OA  BC  OA  AB OA  AK . Принимая во внимание равенство (1) имеем:
2
2
2
Разделив
1
эти
sinx<x<tgx
неравенства
на
sinx,
x
1
sin x
sin x

, или 1 
 cos x, откуда 0  1 
 1  cos x . Так как
sin x cos x
x
x
x
x
x
sin  1, то sin 2  sin .
2
2
2
(2)
получим
2
Поэтому, учитывая неравенство (2), для всех x , удовлетворяющих
неравенству
0  1
0x

2
, получаем
1  cos x  2 sin 2
sin x

 x при 0  x  .
x
2
x
x
x
 2 sin  2 *  x .
2
2
2
Итак,
 
Возьмём любое E>0 и положим   min E ,  . Тогда для всех x,

2
удовлетворяющих неравенству 0  x   будем выполнять неравенство x<E,
sin x
sin x
 E , откуда 1 
 E.
x
x
sin x sin(  x)  sin x sin x



значит, что функция
x
x
x
x
поэтому 0  1 
Это
четная, то
sin x
 1 для любого x.
x 0
x
lim
Этот предел называют первым замечательным пределом. С его
помощью можно вычислять другие пределы.
Пример. Найти lim
x 0
1  cos x
 lim
x 0
x
x
x
sin
2  lim
2 * lim sin x  1 * 0  0 .
x

0
x 0
x
x
2
2
2 sin 2
2. Второй замечательный предел.
1
x
1
(1  ) n  e .
Как известно, nlim

n
Пусть x>1. Положим x  n   ,
(1  ) x  e .
Докажем, что lim
x 
 удовлетворяет условию
(1 
0    1.
где n – натуральное число, а
Так как
n  x  n  1,
1
1 1
  ,
n 1 x n
то
1 n
1
1
)  (1  ) x  (1  ) n 1 .
n 1
x
n
1
n
1
n
1
n
(1  ) n 1  lim (1  ) n * lim (1  )  e *1  e .
При x   ( x  ) . nlim

n 
n 
lim (1 
n 
1 n
1 ( n 1) 1
)  lim (1 
)
n


n 1
n 1
1 n 1
)
e
n 
n

1

 e
1
1
lim (1 
)
n 
n 1
lim (1 
1
x
(1  ) x  e .
Откуда по теореме 3 (о пределах) имеем nlim
 
1
x
(1  ) x  e . Объединив оба случая,
Можно показать, что при x<-1, nlim
 
1
x
(1  ) x  e .
окончательно имеем nlim

3
Этот предел называют вторым замечательным пределом. можно
1
показать, что lim (1  z ) z  e - другая форма второго замечательного предела.
z 0
x 3
3 x 
3 3
(1  )  lim (1  )   e 3 .
Пример1. Найти lim
x 
x 
x
x 

x 3
3 x 
3 3 
(1  )  lim (1  )   e 3 .
Пример2. Найти lim
x 
x 
x
x 

3. Сравнение бесконечно малых.
Как было показано ранее, сумма, разность, произведение бесконечно
малых функций являются бесконечно малыми. Оттого, вообще говоря, нельзя
сказать о частном: деление одной бесконечно малой на другую может
привести к различным результатам.
 ( x)
x 1
 lim
 .
x

0
 ( x)
2x 2
 ( x)
x
1
 ( x)
2) Пусть  ( x)  x,  ( x)  x 2 , то lim
 lim 2  lim  , lim
 lim x  0 .
x 0  ( x )
x 0 x
x 0 x
x 0  ( x )
x 0
Пример. 1) Пусть  ( x)  x,  ( x)  2 x , то lim
x 0
Рассмотрим правила сравнения бесконечно малых.
Пусть при x  x0 функции  ( x) и  ( x) являются бесконечно малыми.
Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их
убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю.
Например, функция f(x) = x10 стремится к нулю быстрее, чем функция
f(x) = x.
Определение. Если lim
xa

 0 , то функция  называется бесконечно

малой более высокого порядка, чем функция .
Определение. Если lim
x a

 A, A  0, A  const , то  и  называются

бесконечно малыми одного порядка.
Определение.
Если

 1, то
xa 
lim
функции

и

называются
эквивалентными бесконечно малыми. Записывают  ~ .
Пример. Сравним бесконечно малые при х0 функции f(x) = x10 и f(x) = x.
4
lim
x a
x10
 lim x 9  0
x a
x
т.е. функция f(x) = x – бесконечно малая более высокого порядка, чем
f(x) = x.
10
Определение. Бесконечно малая функция  называется бесконечно
малой порядка k относительно бесконечно малой
функции , если предел lim
xa

конечен и отличен от
k
нуля.
Однако следует отметить, что не все бесконечно малые функции можно
сравнивать между собой. Например, если отношение

не имеет предела, то

функции несравнимы.
Пример. Если   x sin x,   x , то при х0 lim
x 0

x sin x
 lim
 1 , т.е. функция
2
x 0

x2
 - бесконечно малая порядка 2 относительно функции .
1
x
Пример. Если   x sin ,   x , то при х0 lim
x0


не существует, т.е.
функция  и  несравнимы.
Существуют аналогичные правила для сравнения бесконечно малых
функций при x   .
Примеры. 1) Функции sinx и x являются эквивалентными бесконечно
малыми, т.к. lim
x 0
sin x
1.
x
2) Функции sin3x и sinx при x  0 являются бесконечно малыми одного
sin 3 x
3 sin 3 x
x
sin 3 x
x
 lim
*
 3 lim
* lim
 3.
x 0 sin x
sin x x0 3 x
sin x x0 3 x
3) Функция 1-cosx является при x  0 бесконечно малой второго порядка
x2,
малости
по
сравнению
с
бесконечной
малой
т.к.
порядка, т.к. lim
x 0
2
x
x

2 sin
sin 

1  cos x
2  2 lim 
2 1  1.
lim
 lim
2
2
x 0
x

0
x

0
x
x
 x  4 2


 2 
2
Свойства эквивалентных бесконечно малых.
5
1)  ~ ,



 1
 lim
xa 




  

 lim  lim     1  1  1
 x a  x a  









 lim   lim 1  1
 x a  x a 






2) Если  ~  и  ~ , то  ~ ,
3) Если  ~ , то  ~ ,
4) Если  ~ 1 и  ~ 1 и lim
xa




 k , то и lim 1  k или lim  lim 1 .
x

a
x

a
x

a

1

1



 k , то и lim  lim 1
xa 
xa 




 lim
б) если  ~ 1 и lim  k , то lim
xa 
xa 
xa 
1
Следствие: а) если  ~ 1 и lim
xa
4. Применение бесконечно малых к вычислению пределов.
Свойство 4 особенно важно на практике, т.к. оно фактически означает,
что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на
эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при
нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им
функции, что может сильно упростить вычисление пределов.
Пример. Найти предел lim
x 0
tg 5 x
sin 7 x
Так как tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х  0, то, заменив функции
эквивалентными бесконечно малыми, получим:
lim
x 0
tg 5 x
5x 5
 lim

x

0
sin 7 x
7x 7
x3
.
1  cos x
2
x3
x3
 x
2 x
2
sin
~
2
Так как 1 – cosx =
 lim 2  lim 2 x  0 .
  при х0, то lim
x 0 1  cos x
x 0 x
x 0
2
2
2
Пример. Найти предел lim
x 0
Пример. Найти предел lim
x 0
tgx
x
 lim 2  .
2
x

0
sin x
x
Если  и  - бесконечно малые при ха, причем  - бесконечно малая
более высокого порядка, чем , то  =  +  - бесконечно малая,
6
.
эквивалентная
Это
можно
доказать
следующим
равенством



 lim 1    1 .
xa 
xa
 
lim
Тогда говорят, что  - главная часть бесконечно малой функции .
Пример. Функция х2 +х – бесконечно малая при х0, х – главная часть этой
функции. Чтобы показать это, запишем  = х2,  = х, тогда
x2
x2  x
lim
 0, lim
 lim ( x  1)  1 .
x 0 x
x 0
x 0
x
При сравнении бесконечно малых часто используют символ о (''о малое'').
Если функция  (x) - бесконечно малая в точке x0 более высокого порядка,
чем бесконечно малая  (x) в этой же точке, то это условие записывается
 ( x)  o(  ( x)) .
Если  (x) и  (x) - бесконечно малые в точке x0 , то  (x)  (x) имеет более
высокий порядок малости, чем каждый сомножитель. Поэтому
 ( x)  ( x)  o(  ( x)),  ( x)  ( x)  o( ( x)) .
Если  ( x)  1 ( x) и
существует и lim
x  x0
 ( x)  1 ( x) при
x  x0 ,и
существует
lim
x  x0
 ( x)
, то
 ( x)
 1 ( x)
 ( x)
 ( x)
, причем lim 1  lim
.
x

x
x

x
 1 ( x)
 1 ( x)
 ( x)
0
0
Это утверждение во многих случаях упрощает вычисление пределов.
Пример. lim
x 0
sin 3x
3x
 lim
 3 , т.к. sin 3x  3x, x  x 2  x при x  0 .
2
x 0 x
xx
Для бесконечно больших функций имеют место аналогичные правила
сравнения.
8
x 8
x 2  lim 1  0 .
Пример. 1) lim 3
 lim
x  x  3
x 
x  x
3
x 2
x
1
3 3
3x 3  1
x  1 имеют одинаковый порядок роста.
2) lim 3
 lim
x  6 x  2
x 
2
2
6 3
x
2
1
Заключение
В данной лекции мы заметили, что отношение двух бесконечно малых (так же как и отношение двух бесконечно больших) может иметь в данном процессе весьма различный характер изменения в зависимости от природы этих бесконечно малых (или бесконечно больших), так что нельзя сделать
никаких утверждений общего характера о поведении такого рода отношений.
А между тем реальное значение этих отношений очень велико: в частности
7
производная функции, являющаяся основным понятием всего дифференциального исчисления, определяется именно как предел отношения двух бесконечно малых. Поэтому ясно, насколько ценным нам должен представляться
всякий более или менее общий метод, позволяющий вычислять пределы таких отношений в случае, когда они существуют.