Лекция 19

Лекция 19
МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
Свойства жидкостей и газов. Характеристики течения. Материальная производная.
Уравнение неразрывности. Объемные и поверхностные силы. Уравнение Эйлера. Основы гидростатики. Барометрические формулы. Равновесие тел в жидкости. Стационарные течения, уравнение Бернулли. Течение вязкой жидкости, уравнение Навье-Стокса.
Формула Пуазейля. Число Рейнольдса. Ламинарные и турбулентные течения. Звуковые
волны.
Свойства жидкостей и газов.
Газы и жидкости по своим упругим свойствам существенно отличаются от твердых тел. Если
деформированное состояние твердого тела характеризуется наличием в нем тангенциальных
(касательных) и нормальных напряжений, то силы, действующие на газы или жидкости, находящиеся в состоянии равновесия, могут вызывать в них только нормальные напряжения. Вследствие отсутствия тангенциальных напряжений жидкости и газы обладают текучестью, т.е. они
лишены упругости формы и принимают форму сосуда, в котором они находятся.
Для жидкостей и газов верен закон Паскаля: для любой точки жидкости нормальное напряжение (давление Р) в состоянии равновесия одинаково по всем направлениям. Нетрудно показать,
что закон Паскаля – следствие отсутствия тангенциальных напряжений.
В газах и жидкостях внутренние напряжения имеют характер давления: они оказывают давление на стенки содержащих их сосудов. В некоторых исключительных случаях, нормальные
напряжения в жидкости могут реализоваться в виде натяжения (отрицательное давление). Но,
благодаря наличию растворенных в жидкости газов, столбик жидкости сразу же распадается на
части, то есть отрицательное давление ведет к нарушению сплошности среды.
Следствием отсутствия в газах напряжений натяжения является их свойство бесконечного
расширения: газ всегда занимает весь объем сосуда, каким бы большим он не был. В отличие от
газов, жидкости характеризуются собственным объемом, который под воздействием внешних
сил меняется незначительно. Благодаря взаимодействию молекул жидкость образует свободную
поверхность, капли, которые сохраняются благодаря так называемым силам поверхностного
натяжения (капельная жидкость). Это наиболее существенная разница между свойствами
жидкостей и газов.
В дальнейшем, говоря «жидкость» мы будем подразумевать как жидкость, так и газ. Раздел
механики, занимающийся вопросами равновесия и движения жидкостей и газов, называется гидродинамикой.
Относительно малых деформаций упругие свойства жидкости характеризуются одной постоянной
1  V 
1   
T   
    ,
V  P T   P T
(19.1)
которая называется коэффициентом изотермического сжатия (  – плотность жидкости, а
T–
температура).
Капельные жидкости характеризуются очень малой величиной коэффициента сжимаемости. То
есть, при довольно больших давлениях ее собственный объем и плотность меняются очень мало.
Во многих задачах сжимаемость капельной жидкости не учитывается, и жидкость считается несжимаемой.
В состоянии равновесия давление жидкости является функцией плотности и температуры:
P  P   ,T 
(19.2)
Она называется уравнением состояния, явный вид которой получается в термодинамике и
статистической физике. С помощью уравнения состояния можно вычислить коэффициент изотермической сжимаемости жидкости.
В движущейся жидкости дополнительно могут возникнуть внутренние тангенциальные напряжения. Но это обусловлено не деформациями скольжения, относительно которых жидкость не
проявляет никаких упругих свойств, а относительным движением частиц жидкости. Эти тангенци-
альные напряжения фактически имеют характер внутреннего трения и называются вязкими
напряжениями.
В гидродинамике пользуются еще одной абстракцией. Это идеальная жидкость, в процессе
произвольного движения которой вязкие напряжения не возникают, то есть диссипация энергии отсутствует. В противном случае мы будем именовать жидкость вязкой. Заметим, что идеальная и вязкая жидкость отличаются друг от друга только в состоянии движения. В состоянии равновесия они характеризуются только нормальными внутренними напряжениями.
Характеристики течения. Материальная производная
Движение жидкости (течение) математически описывается определенными величинами. Таковы функции, выражающие пространственно-временные зависимости давления в жидкости (Р),
плотности (ρ) и скоростей
P  P  r , t ;     r, t ; v  v  r, t 
(19.3)
которые и однозначно описывают поведение жидкости. В данный момент времени t функции
(19.3) дают поля давления в жидкости, плотности и скоростей, то есть соответствующие величины
составляющих в данный момент среду частиц жидкости. В данной точке r жидкости формулы
(19.3) выражают временное изменение характеристик течения. Так как в разные моменты времени через данную точку проходят разные частицы жидкости, то в фиксированной точке r (19.3) не
выражает временные изменения давления, плотности и скорости конкретной частицы жидкости.
По этой причине производные
p t ,  t , v t
при
r = const
не относятся какой-то кон-
кретной частице жидкости, а дают локальные изменения соответствующих характеристик в данной точке жидкости вообще.
Для определения полного изменения во времени давления, плотности и скорости фиксированной частицы жидкости необходимо учесть уравнение движения частицы
чае, например, для полного изменения скорости частицы за время
dt
r = r t  .
В этом слу-
будем иметь
v
v
v
v
 dx  dy  dz .
t
x
y
z
Разделив обе части полученного выражения на dt и учитывая, что vx  x, v y  y, vz  z , для
dv  dt
ускорения частицы жидкости получим
a
dv v  


v

  vx
 vy
 vz  v 
  v  v
dt t  x
y
z 
t
(19.4)
Подобным же образом для временной производной плотности, давления и, вообще, для любой
физической характеристики будем иметь
d  

 v
dt
t
Действие
d 
   v 
dt t
(19.5)
называется оператором Стокса или материальной производной.
Материальная производная физической величины состоит из двух частей: локального изменения по времени и изменений по координатам, так называемых конвективных изменений. В
прямоугольной декартовой системе координат оператор Стокса имеет следующий вид:
d 



  vx
 vy
 vz .
dt t
x
y
z
(19.5')
Так как поведение жидкости характеризуется пятью величинами
 p,  , v , v , v  , то для опиx
y
z
сания движения жидкости необходимо иметь пять уравнений. Одно из них – это уравнение состояния (19.2). Так как в идеальной жидкости отсутствует диссипация энергии, то протекающие в
ней процессы адиабатные. В этом случае уравнение состояния упрощается:
P  P   .
(19.6)
Остальные уравнения выражают закон сохранения массы (уравнение непрерывности
струи) и уравнение движения жидкости (уравнение Эйлера), которое является выражением
второго закона Ньютона для идеальной жидкости.
Уравнение неразрывности.
Мысленно выделим произвольный объем V в струе жидкости. За любой малый промежуток
времени в рассматриваемый объем втекает какое-то количество жидкости и вытекает, вообще говоря, другое количество жидкости. Благодаря этому масса, заключенная в рассматриваемом объеме
m    dv
V
меняется с течением времени. Элементарный поток жидкости через элемент
ющей объем поверхности есть следующее скалярное произведение:
Рис. 19.1
ограничива-
рис.19.2
dQ   vd ,
которое является количеством жидкости, протекающим через
Если
d
(19.7)
d
за единицу времени (рис.19.1).
dQ  0 , то имеет место отток жидкости, в противном случае – приток. Для получения полно-
го потока жидкости через ограничивающую рассматриваемый объем поверхность сложим потоки
через все элементы поверхности:
Q    vd  .
(19.8)

Кружок на знаке интеграла показывает, что интегрирование ведется по замкнутой поверхности. С другой стороны, убыль массы, заключенной в рассматриваемом объеме, за единицу времени равна

m

    dV .
t
t V
(19.9)
Согласно закону сохранения массы, убыль массы (19.9) в рассматриваемом объеме за единицу
времени равна потоку жидкости (19.7) через ограничивающую этот объем поверхность, откуда

  dV    vd   0 .
t V
(19.10)
Написанное выражение является уравнением неразрывности (непрерывности) струи в
интегральном виде.
Условие неразрывности течения можно представить в дифференциальной форме, пользуясь
так называемой формулой Гаусса-Остроградского:
 Ad    AdV ,

(19.11)
V
которая устанавливает связь между интегрированиями по объему и по поверхности, ограничивающей этот объем. Эта формула верна как для скалярных, так и для векторных и тензорных функций.
Пользуясь (19.11) уравнение неразрывности (19.10) представим следующим образом
 
  t
V

    v   dV  0 .

Так как этот интеграл равен нулю для произвольного объема, то и подынтегральное выражение тоже будет нулевым:

   v   0
t
(19.12)
Это есть уравнение неразрывности в дифференциальной форме. Здесь величина
v
называется плотностью потока, которая является количество жидкости, прошедшей через единичную площадь, перпендикулярной направлению потока.
Объемные и поверхностные силы. Уравнение Эйлера.
Различаются действующие в жидкости объемные и поверхностные силы. Объемные силы обусловлены воздействием внешних силовых полей и приложены ко всем частицам среды: например,
силы тяжести и электромагнитные силы. Если обозначить объемную силу, действующую на единичный объем среды, через f , то объемная сила, действующая на объем V будет
Fоб   fdV
(19.13)
V
В поле сил тяжести объемная сила, действующая на единичный объем жидкости плотностью ρ
выразится следующей формулой:
f  g
(19.14)
Поверхностные силы приложены к частицам, составляющим внешнюю поверхность рассматриваемого объема среды, со стороны примыкающих объемов. Например, на свободную поверхность
жидкости, находящейся в сосуде, действует сила атмосферного давления, а со стороны стенок сосуда жидкость подвергается воздействию поверхностных сил реакции.
Мысленно выделим в идеальной жидкости объем V и определим суммарную поверхностную силу, действующую на него со стороны соседних объемов. На элемент поверхности d действует
элементарная сила давления
 Pd 
(рис.19.2), где знак минус показывает, что сила направлена
противоположно внешней нормали поверхности n̂ (вспомним, что
ностная сила равна векторной сумме элементарных сил давления:
Fпов    Pd  .

ˆ  ).
d   nd
Полная поверх-
(19.15)
Поверхностные силы, действующие на рассматриваемый объем, в конце концов передаются
всем частицам жидкости, заключенным в этом объеме. То есть поверхностная сила равносильна объемной силе. Математически это выражается формулой Остроградского
 Pd    PdV .

(19.16)
V
Сравнивая полученный результат с выражением (90.1) мы видим, что давление, действующее
на замкнутую поверхность, вызывает действующую на единичный объем жидкости объемную силу
P  grad P .
(19.17)
Она называется градиентной силой давления. Следовательно, единичный объем идеальной
жидкости подвергается воздействию равнодействующей силы f  P , которая, согласно третьему закону Ньютона, сообщает массе ρ жидкости ускорение

dv
 f  P .
dt
(19.18)
Это уравнение Эйлера движения идеальной жидкости, в левой части которого материальная
производная (19.5). В частном случае, для движения жидкости в поле тяжести Земли будем иметь

dv
  g  P .
dt
(19.18a)
Уравнение Эйлера – это нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка в частных
производных относительно скорости, общее решение которого при данных f , P,  представляет
семейство функций. Любое конкретное течение характеризуется начальными и краевыми
условиями. Начальное условие – это поле скоростей в начальный момент времени:
v  r , t  t  0  v0  r  .
(19.19)
На практике движения жидкости осуществляются в областях, ограниченных твердыми телами
(трубах, водохранилищах, и т.д.). Краевое условие движения идеальной жидкости выражает непроницаемость стенок. То есть, нормальная (перпендикулярная поверхности стенки)
составляющая скорости жидкости на неподвижной стенке (твердых телах, ограничивающих жидкость) должна быть нулевой:
v  r,t    0 .
Если стенка (твердое тело) движется с какой-то скоростью
примет вид:
где
un
(19.19а)
u,
то краевое условие (19.19а)
v  r , t    un  ,
(19.19б)
– составляющая скорости стенки (твердого тела) в направлении нормали данной точки по-
верхности. Уравнение Эйлера (19.18) описывает движение жидкости в инерциальных системах
отсчета. Для получения уравнения движения жидкости в произвольной неинерциальной
системе отсчета в правой части уравнения (19.18) необходимо добавить силы инерции, действующие на единичный объем жидкости:

где
r
dv
 f  P    r     2 r  2   vΩ ,
dt
– радиус-вектор частицы жидкости.
(19.20)
Решения уравнения (19.20), описывающего относительное движение жидкости, также должны
удовлетворять начальным и краевым условиям (19.19) и (19.19 б).
На границе раздела двух несмешивающихся жидкостей должны быть непрерывны как нормальные оставляющие скоростей, так и давления:
v1n   v2 n
P1   P2
;
(19.21)
.
(19.22)


Последнее есть непосредственное следствие второго закона Ньютона.
Основы гидростатики.
1. Гидростатика изучает равновесие жидкостей. Основные уравнения гидростатики получаются подстановкой v=0 в уравнениях гидродинамики:

1
 0; f   P; P  P    ,
t

где
f  f /
(19.23)
– объемная сила, действующая на единичную массу жидкости.
Первое условие, полученное из уравнения непрерывности, показывает, что в состоянии равновесия
   r .
Второе получается из уравнения Эйлера – есть условие уравновешенности
сил, действующих на жидкость.
В произвольной неинерциальной системе отсчета относительное равновесие жидкости
описывается уравнением
f
1
P  a0  r   2 r  0 .

(19.24)
В инерциальных системах отсчета из условия уравновешенности сил следует важный вывод.
Благодаря соотношению
P  P  
(1/  )P можно представить в виде градиента
(1/  )P  w , где w называется энтальпией.
выражение
скалярной функции, зависящей от координат,
Следовательно, для выполнения условия уравновешенности сил необходимо, чтобы объемная сила
f ,
действующая на единичную массу жидкости, также была градиентом скалярной функции,
зависящей от координат. Это возможно только в том случае, если жидкость находится в потенциальном внешнем силовом поле. Значит, равновесие жидкости возможно, если внешнее силовое поле потенциально.
В гравитационном поле равновесие жидкости описывается уравнением
  x, y, z  
где
  x, y , z 
1
P  x , y , z  ; P  P    ,
  x, y , z 
(19.25)
– потенциал гравитационного поля.
Давление, обусловленное собственным весом жидкости в гравитационном поле, называется
гидростатическим давлением.
Состояние равновесия жидкости описывается определенными поверхностями. Это поверхности
постоянной плотности, давления и эквипотенциальные поверхности гравитационного поля в которой находится жидкость. Поверхности постоянного давления в жидкости часто называют уровенными поверхностями или уровнями. В общем случае, поверхности
P  x, y, z   const
  x, y, z   const ,
не совпадают с эквипотенциальными поверхностями поля.
2. Рассмотрим равновесие однородной жидкости в водоеме в поле силы тяжести Земли. В данном случае условие   const заменяет уравнение состояния, так что равновесие описывается
уравнением
P   g;
g  const .
(19.26)
Свяжем плоскость XY прямоугольной координатной системы со свободной поверхностью водоема, а ось Z направим вертикально вниз (рис.19.3) по направлению
g : g  0,0, g  .
рис.19.3
В этом случае уравнение (91.4) будет представлено в следующем виде:
P
P
P
 0;
 0;
 g .
x
y
z
Из двух первых уравнений получаем, что в однородном силовом поле тяжести уровенные поверхности - это горизонтальные плоскости. Так что, гидростатическое давление зависит только от вертикальной координаты z. Интегрируя третье уравнение, получаем
P  z    gz  C ,
где С – постоянная интегрирования. Она определяется значением давления в какой-либо точке
жидкости. Свободная поверхность водоема находится под атмосферным давлением
тельно,
P  0   P0  C
P0 .
Следова-
и
P  z    gz  P0 ,
(19.27)
где гидростатическое давление, обусловленное собственным весом жидкости, определяется формулой
Pгид  z    gz .
(19.28)
Значит, независимо от формы и размеров водоема (сосуда), гидростатическое давление жидкости зависит от глубины рассматриваемой точки и плотности жидкости. Этим и обусловлен гидростатический парадокс.
3. Исследуем относительное равновесие жидкости во вращающейся неинерциальной системе.
Пусть жидкость вращается с постоянной угловой скоростью  вокруг оси Z в цилиндрическом сосуде (рис. 19.4). В системе отсчета, связанной с сосудом, относительное равновесие жидкости в
поле тяжести Земли описывается уравнением
Рис.19.4
 g  P  2 r  0 ,
(19.29)
проекция которого вдоль координатных осей дает
P
P
P
 2 x,
 2 y,
  g .
x
y
z
(19.30)
Интегрируя эти уравнения, получим:
P(x, y, z)= 12 2 r2   gz  C ,
где
C
– постоянная интегрирования, а
r2  x 2  y 2 -
(19.31)
расстояние наблюдаемой точки от оси вра-
щения. Из полученной формулы следует, что во вращающейся жидкости уровенные поверхности P  const - параболоиды вращения:
2 2
z
r  C1 .
2g
(19.32)
Так как свободная поверхность жидкости также является уровенной поверхностью, то свободная поверхность вращающейся жидкости должна принять вид параболоида вращения. По этой
причине распределение гидростатического давления на дно сосуда становится неоднородным.
Оно минимально в центре сосуда и возрастает с удалением от оси вращения.
Барометрические формулы.
Исследуем механическое равновесие атмосферного воздуха в поле тяжести Земли. При
рассмотрении равновесия воздуха в областях, близких к поверхности Земли, можно пренебречь
зависимостью ускорения g силы тяжести от координат. Однако нельзя пренебрегать плотностью
воздуха от координат. Направив ось Z прямоугольной системы координат вертикально вверх, и
связав плоскость XY с поверхностью Земли, напишем
P P
P

 0;
  g .
x y
z
(92.33)
Значит, в состоянии равновесия атмосферное давление в горизонтальном направлении не меняется. Для получения закона изменения давления и плотности в вертикальном направлении
необходимо написать также уравнение состояния. В общем случае уравнение состояния воздуха представляет собой сложную функциональную зависимость между давлением, плотностью,
температурой, физическими характеристиками различных составляющих воздуха, в частности
влажности. Однако в грубом приближении поведение небольших областей атмосферы можно описать уравнением состояния идеального газа
P   RT /  .
где

– молекулярная масса газа,
R
(19.34)
– универсальная газовая постоянная:
R  8,31 Дж / К  моль .
(19.35)
Температура атмосферы T претерпевает довольно сложные изменения с высотой: сначала
убывает, потом возрастает, снова убывает и снова возрастает. Это означает, что атмосфера не
находится в тепловом равновесии, так как в противном случае она должна была бы характеризоваться величиной T  const . Модель атмосферы, в предположении, что T  const , называется
изотермической атмосферой. Это приближение, которое для небольших по толщине слоев атмосферы дает совпадающие с наблюдениями результаты.
Из уравнений равновесия (19.33) и состояния (19.34) следует, что в случае
ность также зависит только от
P  P z
плот-
z . Из указанных уравнений получаем
dP
g

dz,
P
RT
интегрирование которого для изотермической атмосферы дает
P  z   P0 e

g
z
RT
.
(19.36)
Здесь при интегрировании предполагалось, что давление атмосферы на поверхности Земли
равно
P0 : P  0   P0 . Воспользовавшись (19.34), для распределения плотности получим
  z   0 e
где
0    0  

g
z
RT
,
 P0
RT
(19.37)
(19.38)
- связь между давлением на поверхности Земли и плотностью (Рис.19.5).
Рис.19.5
Значит, в изотермической атмосфере атмосферное давление и плотность убывают по высоте по
экспоненциальному закону. Законы (19.26) и (19.27) называются барометрическими формулами. Заметим, что на высоте
h  RT  g
(19.39)
P0   0 gh , которое есть гидростатическое давление жидкости с постоянной плотностью  0 на глубине h . Значит, давление на
поверхности Земли такое же, как и у столба воздуха плотностью  0 и высотой h . По этой приубывают в е раз. Из соотношений (19.38) и (19.39) получается:
чине (19.39) называется высотой однородной атмосферы. Приняв для атмосферы в среднем
  0,029 кг / моль , а T  2730 K
получим
h  8 км .
Распределение атмосферного давления и плотности можно без труда определить и в том случае, когда известна зависимость
T  T  z  . Однако не всякое распределение температуры может
осуществляться в атмосфере. Из-за неравномерности нагрева в воздухе постоянно происходят
процессы переноса тепла. В случае небольших градиентов температуры перенос теплоты в воздухе происходит по молекулярно механизму – теплопроводностью, которая не нарушает механического равновесия атмосферы. В случае больших температурных изменений теплопередача носит конвекционный характер, вызывая макроскопические движения воздушных масс. Так что,
механическое равновесие атмосферы устойчиво при таких градиентах температуры, которые не
вызывают конвекцию. Оказывается, что для этого скорость убывания температуры с высотой
должна быть меньше величины
g / cp ,
где
cp
– теплоемкость единицы массы воздуха при посто-
янном давлении. Это утверждение верно, если термодинамическое состояние атмосферы описывается уравнением состояния идеального газа.
Равновесие тел в жидкости.
В жидкости, находящейся в состоянии равновесия, мысленно выделим замкнутую поверхность
(рис. 19.6). Заключенная в ней жидкость также находится в состоянии равновесия. Следовательно, сила тяжести в рассматриваемом объеме уравновешена равнодействующей сил, действующих
на ограничивающую этот объем поверхность со стороны окружающей жидкости: F  Q . Благодаря уравновешенности рассматриваемого объема жидкости, суммарный момент этих сил также
должен быть нулевым. Отсюда следует, что равнодействующая сила приложена в центре
инерции С этого объема жидкости. Центр инерции однородной жидкости совпадает с его геометрическим центром A (рис. 19.6).
Рис.19.6
Предположим, что выделенный объем жидкости заменен твердым телом той же геометрической
формы. Окружающая жидкость создаст на поверхности твердого тела то же самое распределение
сил давления.
Следовательно, однородная жидкость действует на погруженное в нее тело с силой,
направленной вертикально вверх и приложенной в геометрическом центре этого тела,
по величине равной весу вытесненной телом жидкости. Эта выталкивающая сила называется Архимедовой силой.
Если масса тела распределена неравномерно, то его центр инерции С не совпадает с его геометрическим центром А. Для равновесия подобного тела в жидкости (при полном или частичном
погружении) необходимо, чтобы:
- вес тела был равен весу объема жидкости, равному объему погруженной части тела,
- центр инерции С тела и его геометрический центр А находились на одной вертикали.
Однако для устойчивого равновесия необходимо осуществление дополнительного условия.
Сначала рассмотрим устойчивость равновесия тела, полностью погруженного в жидкость. При
погружении тела, изображенного на рис. 19.7, в жидкость в произвольном положении, в конце
концов, оно принимает положение а, в котором центр инерции тела C лежит ниже геометрического центра А. Любое смещение из этого положения приводит к появлению пары сил (положение б), момент которой заставляет тело вернуться к положению а.
Рис.19.7
рис.19.8
И так, равновесие полностью погруженного тела устойчиво, если его центр инерции
лежит ниже геометрического центра.
Равновесие плавающего тела, частично погруженного в жидкость, устойчиво, когда точка C
расположена выше точки А. Причем, это есть необходимое, но недостаточное условие устойчивости равновесия. На рис. 19.8 изображены два различных положения равновесия деревянного
бруска. Очевидно, что в обоих случаях центр инерции погруженной части расположен выше геометрического центра. Однако опыт показывает, что равновесие бруска наиболее устойчиво в положении a рис. 19.8.
Стационарные течения. Уравнение Бернулли.
1.Если скалярные поля плотности и давления в произвольный момент времени характеризуются поверхностями постоянной плотности и давления, то поле скоростей в данный момент времени
характеризуется линиями тока. Это линии, касательная к которым в любой их точке совпадает по направлению со скоростью частицы жидкости в этой точке (рис. 19.9). Если поле скоростей в жидкости не зависит от времени, то есть линии тока в ней не меняются с течением
времени, то течение жидкости называется стационарным. В любой точке стационарного течения
физические характеристики жидкости независимы от времени, то есть их локальные производные
по времени равны нулю.
Рис.19.9
В стационарном течении жидкости линии тока – это траектории частиц жидкости. Это
следует из самого определения линий тока. Из однозначности поля скоростей следует, что линии
тока не могут пересекаться друг с другом.
Уравнение Эйлера для стационарных течений дает интеграл Бернулли.
Предполагая, что линия тока известна, можем воспользоваться естественным методом описания движения материальной точки. Введя вектор
ˆ ,
касательный линии тока, спроектируем на
него уравнение Эйлера, то есть скалярно умножим уравнение Эйлера на вектор
ˆ
ˆ
(рис. 19.9):
dv
 ˆP  ˆ g  .
dt
(19.40)
По причине движения частицы жидкости по линии тока ее скорость будет зависеть от дуговой
v  ˆv   t   . Так что, воспользовавшись
ˆ  0 , получим
учитывая, что ˆ  ˆ  1,ˆn
координаты
:
формулой
a  ˆa  nˆ an
dv dv
v2
dv d  v 2 
ˆ   nˆˆ  v    .
dt dt
R
d
d 2
(лекция 1) и
(19.41)
Воспользовавшись также соотношениями
ˆ  p 
dp
dz
, ˆ g  g cos    g
d
d
.
(19.42)
где dz – проекция перемещения ˆd на вертикальную ось
уравнение (19.40) представим следующим образом:
d
d
z
(рис. 19.9), и предполагая ρ=const,
v2 

 P   gz   2   0 .


(19.33)
Из полученного уравнения следует, что выражение в скобках по линии тока остается неизменным:
P   gz   v2 2  B
где постоянная
B
(19.44)
различна для разных линий тока. Уравнение (19.44) – это уравнение Бер-
нулли для стационарного движения однородной жидкости. Значит, хотя величины
 , z, v
могут меняться вдоль линии тока, величина (19.44) остается неизменной. В уравнении Бернулли
все слагаемые имеют размерность давления. Причем, P – называется статическим давлением
жидкости,
 v2 / 2
– динамическим давлением, а
 gz
– весовым давлением.
Уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии частицы жидкости, движущейся
по линии тока.
2. Для стационарных течений уравнение неразрывности также приводится к простому виду.
Для его получения введем понятие «трубки тока». Выделим в жидкости произвольный замкнутый
контур С и проведем линии тока, проходящие через него в данный момент времени (рис 19.10). В
результате получим трубку тока. Поскольку пересечение линий тока исключается, то частицы,
находящиеся в трубке тока, не могут ее покинуть. Точно также частицы, находящиеся вне трубки
тока, не могут в нее проникнуть. Приняв трубку тока достаточно тонкой, можно считать, что во
всех точках ее продольных сечений частицы жидкости имеют одинаковые скорости и плотность. В
этом случае полный поток жидкости через замкнутую поверхность трубки тока, изображенного на
рис. 19.10, будет равен
Q    vd     vd     vd   
1
2
  vd 
бок

бок
 1v1 cos 1   2 v2   cos  2   1v1   2 v2       v  .
(19.45)
Рис.19.10
Здесь учтено, что
1   ,  2  0
и что поток через боковую поверхность трубки тока отсутствует
(Рис.19.10).
Неразрывность стационарного течения требует, чтобы
Q  0 , откуда
 v  const , или 1v11   2 v2  2
.
Это и есть уравнение неразрывности для стационарного течения жидкости.
(19.46)
Течение несжимаемой жидкости.
Для несжимаемой жидкости
  const
и полученный выше результат принимает следующий
вид:
v    const
(19.47)
- скорость стационарного течения несжимаемой жидкости обратно пропорциональна
площади поперечного сечения трубки тока.
Стационарное движение несжимаемой жидкости полностью описывается уравнениями Бернулли (19.44) и неразрывности (19.47).
Рассмотрим стационарное движение жидкости по трубке с переменной площадью поперечного
сечения. Если трубка тока имеет горизонтальное положение, то для участков 1 и 2 уравнения
(19.47) и (19.44) дают (рис. 19.11а):
а
б
Рис.19.11
v12 P1 v22 P2
v11  v2  2 ,
   ,
2  2 
(19.48)
откуда следует, что в широких частях трубки давление выше, а в узких – ниже. В этом
можно убедиться с помощью простейших опытов. Например, при пропускании воздуха между двумя вертикально подвешенными листами бумаги эти листы сближаются или, если приподнимать
вертикально поставленную на лист бумаги катушку, дуя через отверстие катушки, то бумага приподнимается вместе с катушкой.
Исследуем так называемое течение Торричелли (рис. 19.11б), пользуясь формулой стационарных течений (19.44).
Хотя правая часть уравнения Бернулли различна для разных линий тока, в некоторых течениях она имеет одинаковое значение для всех линий тока. Примером такого течения является движение изначально неподвижной жидкости. Действительно, все линии тока на свободной поверхности жидкости АА находятся в одинаковых условиях, следовательно, в этой части величина
 v02 2  P0   gh  B
где
P0
– внешнее атмосферное давление,
h
(19.49)
– высота свободной поверхности жидкости от уровня
отверстия C, одинакова для всех линий и трубок тока. На выходе трубки C интеграл Бернулли
имеет следующий вид:
 v2 2  P0  B,
(19.50)
где v – скорость жидкости на выходе из трубки. Пользуясь соотношениями (19.49) и (19.50), будем иметь
v2  v02  2 gh .
Из условия неразрывности течения получаем
(19.51)
v0 
Площадь поперечного сечения трубки
можно пренебречь членом
2
.
0
v


v.
0
намного меньше
(19.52)
 0 , так что v0
v
и в формуле (19.51)
Значит, в узкой трубке скорость течения жидкости равна
v  2 gh .
(19.53)
Эта формула выражает закон Торричелли о скорости струи жидкости под действием гидростатического давления. Заметим, что она совпадает с величиной скорости свободно падающего
тела.
Если рассматриваемая установка помещена на тележку, то она будет двигаться в направлении
противоположном струе жидкости. Это, фактически, пример движения тела с переменной массой,
где реактивная сила равна
Fp  u
dm
 vdt
v
  v 2   2  gh .
dt
dt
Экспериментальным путем можно проверить выражение, полученное для реактивной силы. Это
можно осуществить, прикрепив тележку к столу с помощью динамометра (рис. 19.11б).
Вязкая жидкость. Уравнение Навье-Стокса.
1. Движение реальной жидкости отличается от движения жидкости, описываемой уравнениями
(19.12), (19.18) и (19.6), которые удовлетворяют краевым условиям (19.19). В направлении касательном поверхности твердого тела (стенок) скорость идеальной жидкости может быть произвольной. Фактически, трубка, по которой течет жидкость, играет роль трубки тока и никакими касательными напряжениями не препятствует движению жидкости. Из этого следует, что любой, пусть
даже маленький перепад давлений на концах горизонтальной трубки должен привести к возникновению ускоренного ( не стационарного) движения жидкости. В действительности из эксперимента получаются другие результаты: стационарный поток в горизонтальной трубке возможен только в случае убывания давления жидкости вдоль трубки. В этом можно убедиться с
помощью простейшего опыта, в котором высоты столбов жидкости в манометрических трубках А,
В, С показывают давление жидкости в соответствующих частях горизонтальной трубки (рис.
19.12а). Это явление можно объяснить предположением «сцепления» (прилипания) жидкости к
стенкам трубки, также как наличием в жидкости внутреннего диссипативного взаимодействия
трения. Предположение «сцепления» жидкости со стенками означает, что относительное движение жидкости на стенках (поверхности твердого тела) и самих стенок отсутствует. Если стенка неподвижна, то
v   0.
а
(19.54)
б
Рис. 19.12
То есть, нулю равна не только нормальная составляющая скорости примыкающего слоя жидкости, но и тангенциальная (полная скорость). Наличие в жидкости диссипативного взаимодействия
означает, что между соседними слоями самой жидкости действуют зависящие от их относительной
скорости силы мокрого трения. Это силы внутреннего трения или вязкости жидкости. В том,
что приведенные представления соответствуют действительности можно убедиться посредством
эксперимента, схема которого приведена на рис. 19.12 б. После приведения во вращение диска В,
спустя некоторое время в том же направлении начинает вращаться также диск А, подвешенный за
упругую нить. Эксперимент дает тот же результат, как в жидкостях, так и в газах.
Так как уравнение Эйлера – это дифференциальное уравнение первого порядка, то его решения не могут удовлетворять условию «сцепления» (19.54). Для этого необходимо, чтобы уравнение движения жидкости было дифференциальным уравнением хотя бы второго порядка. То есть,
уравнение движения вязкой жидкости должно отличаться от уравнения Эйлера наличием членов,
содержащих производные второго порядка по координатам от скорости.
2. Зависимость сил вязкости от производных относительной скорости было установлено еще
Ньютоном. Пусть между двумя бесконечно длинными параллельными пластинами налита жидкость. Опыт показывает, что для приведения в движение этих пластин с постоянными скоростями
u1
и
u2
необходимо применить к ним постоянные силы
сила, приходящаяся на единицу площади пластины
F ,F
f
прямо пропорциональна относительной
скорости пластин и обратно пропорциональна расстоянию
f  
где коэффициент пропорциональности

(рис. 19.13а). Причем касательная
h
между ними:
u2  u1
,
h
(19.55)
различен для различных жидкостей и называется дина-
мической вязкостью жидкости. В СИ он имеет размерность
ческую вязкость:
кг м  с . Используют также кинемати-
  ,
которая имеет размерность м
2
(19.56)
с.
При данной температуре динамическая вязкость независима от давления, а кинематическая вязкость обратно пропорциональна давлению.
В условиях комнатной температуры и нормального атмосферного давления для воздуха
  1,8  103 кг м  с ,
  1,2  103 м2 с .
  1,5  105 м2 с ,
а
для
  1,5  103 кг м  с ,
глицерина
а
б
Рис.19.13
Продолжим обсуждение эксперимента, изображенного на рис. 19.13а. Так как при приложении
к пластинам постоянных сил они двигаются с постоянными скоростями, то жидкость действует на
пластины с силами F , F , уравновешивающими эти силы. Согласно третьему закону Ньютона
пластины, в свою очередь, действуют на поверхностный слой жидкости с силами
F ,F , обеспе-
чивая условие «сцепления» жидкости:
vx  z1   u1 ; vx  z2   u2 ,
(19.56)
где выбор осей X и Z прямоугольной системы координат показан на рис. 19.9а.
Мысленно разбив жидкость на бесконечно тонкие, параллельные пластинам слои и рассматривая стационарное движение каждого из них, можем утверждать, что единица площади любого
слоя толщиной dz подвергается воздействию равных по величине и противоположно направленных тангенциальных напряжений
 xz   dvx dz
(19.57)
Причем, сила трения, действующая на единичную площадь поверхности пластины это касательное
напряжение жидкости на пластине, взятое с обратным знаком
 xz
(19.58)
z  z1
z  z2
Как и нормальные напряжения, так и тангенциальные напряжения равносильны объемной
силе. Только в этом случае объемная сила имеет диссипативный характер. В случае произвольного движения вязкой несжимаемой жидкости ее единичный объем подвергается воздействию вязкой объемной силы (при   const )
f вяз  v
(19.59)
где  – действие дифференцирования второго порядка по координатам. Оно называется оператором Лапласа и связано с  следующим образом:      . В прямоугольной системе координат
2
2
2
 2  2  2
x
y
z
.
(19.60)
Добавив выражение (19.59) в правую часть уравнения Эйлера, получим уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости

v
   v  v  P  v + f
t
(19.61)
которое называется уравнением Навье-Стокса.
В поле силы тяжести Земли уравнение Навье-Стокса имеет следующий вид:
v
1
  v  v  g  P  v .
t

(19.61´)
Решения этого уравнения уже могут удовлетворять граничным условиям (19.54) «сцепления» жидкости к стенкам.
3. Уравнение неразрывности, являющееся математическим выражением закона сохранения
массы, не зависит от того идеальная ли жидкость или вязкая и для вязкой жидкости имеет тот же
вид.
Естественно, что при наличии вязкости течение не может быть адиабатным, так как в
жидкости постоянно имеет место явление превращения механической энергии в тепловую. Оно
может привести также к неравномерному нагреванию жидкости, а последнее – к появлению дополнительного явления теплопередачи. Указанные явления учитываются уравнением энергетического баланса жидкости, которое заменяет ее уравнение состояния. Получение данного уравнения
выходит за рамки нашего курса. В простейшем случае для несжимаемой жидкости оно имеет следующий вид:
T
   v  T  T   ,
t
где
–
называется коэффициентом темперопроводности, а

(19.62)
– диссипация энергии, обу-
словленная вязкостью и которая является количеством энергии, преобразованного в единичном
объеме за единицу времени. В неподвижной жидкости (19.62) дает уравнение теплопроводности
T
 T ,
t
(19.63)
применимость которого в жидкостях, однако, ограничено, так как в жидкостях обычно перенос
тепловой энергии сопровождается конвекцией
 v  0 .
(19.63) описывает теплопроводность в
твердых телах (уравнение Фурье).
Течения Куэтта и Пуазейля.
Решение системы уравнений, описывающей поведение вязкой жидкости, аналитическими методами, в общем случае невозможно. Только в случае некоторых простейших видов течений эти
уравнения имеют аналитические решения. Задачи, имеющие практическое значение, решаются в
основном с помощью приближенных численных методов на ЭВМ. Основная трудность аналитиче-
 v  v . В этом параграфе мы
рассмотрим простейшие стационарные течения, для которых член  v  v тождественно равен нуского решения этих уравнений обусловлена нелинейным членом
лю. Это течения Куэтта и Пуазейля.
Вызвать движение вязкой жидкости можно двумя способами: с помощью внешних сил (объемных сил или сил давления, например, создав разность давлений на концах горизонтальной трубки
или выводя трубку из горизонтального положения), или перемещая стенки, ограничивающие жидкость.
Стационарное течение, вызванное внешними силами давления, называется течением Пуазейля, а течение, вызванное перемещением стенок, - течением Куэтта. Течения, описанные в предыдущем параграфе, являются примерами таких течений.
1. Плоско-параллельное течение Куэтта. Исследуем распределение скоростей и давлений
в течении, изображенном на рис. 19.13а. Связав координатную плоскость XY с нижней пластиной,
для краевых условий получим:
vx (0)   0 ; vx h  u .
(19.64)
Для стационарного течения несжимаемой жидкости уравнение неразрывности примет следующий вид:
v 
vx v y vz


 0,
x
y
z
(19.65)
а уравнение Навье-Стокса
 v  v  
1

P  g  v .
(19.66)
Исходя из симметрии течения, можно утверждать, что отлична от нуля только одна составляю-
vx : v  v,0,0  . Очевидно также, что скорость (как и давление) не может зависеть от
координаты y :v  v  x, z  . В этом случае из уравнения неразрывности (19.65) следует, что
v x =0, то есть v не зависит также и от координаты x. Значит, v  iˆv  z  . При этих условиях
щая скорости
очевидно, что
2
d v
 v  v = 0; v  iˆ 2 .
dz
Проектируя уравнение (19.66) на оси X и Z , учитывая
(19.67)
g  kˆg , и что в течении Куэтта отсут-
ствует падение давления вдоль течения, то есть p=p(z), получим
d 2v
dP
 0;
  g .
2
dz
dz
(19.68)
Второе уравнение дает распределение гидростатического давления в жидкости
P  P0   gz ,
которое не имеет никакого влияния на динамику течения, а из первого уравнения получаем закон
v  z   A  Bz .
Постоянные интегрирования А и В определяются из краевых условий (19.64):
A  0, B  u / h .
Следовательно, в плоско-параллельном течении Куэтта скорость имеет следующее распределение:
v z  u
z
,
h
(19.69)
представленое на рис.19.13 б (линейный профиль скорости). Напряжение трения в жидкости
везде одинаково и равно по величине
 xz  
dv
u
 ,
dz
h
(19.70)
причем на нижней пластине оно имеет направление течения, а на верхней – противоположное
направление. Поэтому для того, чтобы нижняя пластина не двигалась, к ней необходимо приложить силу F  u / h , где  – площадь поверхности пластины.
2. Плоско-параллельное течение Пуазейля. В этом случае пластины неподвижны, но
вдоль оси X поддерживается постоянная разность давлений:
P  x  0   P1 ; P  x 
P .
2
(19.71)
И снова, исходя из соображений симметрии, пользуясь уравнением неразрывности, получим
условие
v  iˆv  x  .
Так что верны также соотношения (19.67). Проектируя уравнение Навье-
Стокса на оси X и Z, получим
P
P
d 2v
  g,
 2 .
z
x
dz
Из первого уравнения получаем
P  x, z   P  x    gx . Подставляя
(19.72)
его во второе уравнение,
получим
dP  x 
d 2v z

 A,
dx
dz 2
(19.73)
левая часть которой зависит только от X, а правая – от z. Это возможно, если левая и правая
части уравнения равны одной и той же постоянной А, которая и выражена в (19.73). Пользуясь
условием (19.71), получим
A
где
P1  P2

P
,
 P  P2  P1  0 . Интегрирование уравнения (19.73) по z даст
(19.74)
v z   
P 2
z  Bz  C .
2
(19.74)
Постоянные B и C интегрирования определим, исходя из условия «сцепления»
v  z  0  v  z  h   0 .
(19.75)
Определив постоянные B, C и подставив их в (19.74), получим:
P
v z  
2
2

h  h2 
 z     .
2
4

(19.76)
Рис.19.14
Как видим, плоско-параллельное течение Пуазейля характеризуется параболическим профилем поля скоростей (рис. 19.14). Напряжение трения на стенках направлено по оси X и равно
h P / 2 .
3. Течение Пуазейля в круглой цилиндрической трубке. Так как в прямой трубке течение
симметрично относительно сои цилиндра, то удобно вдоль этой оси направить ось Z , а с основанием связать координатную плоскость
 r , 
(рис. 19.15). Течение создается и поддерживается
постоянной разностью давлений:
P  z  0   P1 ; P  z 
P.
(19.77)
2
Понятно, что скорость в цилиндре имеет только составляющую
рии течения, величины
vz , P
будут независимы от координаты
учитывается). Из уравнения неразрывности следует, что
vz
vz  v  r 

vz .
Благодаря осевой симмет-
(в этой задаче сила тяжести не
не может зависеть также от
.
z:
(19.78)
В этом случае
 v  v  0;
С учетом последних, составляющие
r
P
 0;
r
и
z
v  kˆ
1 d  dv 
r .
r dr  dr 
уравнения Навье-Стокса дадут
1 d  dv  1 dP
 A.
r  
r dr  dr   dz
(19.79)
Из первого уравнения следует, что
P  P z , а
левая и правая части второго уравнения, бу-
дучи зависимы от разных независимых переменных, должны быть равны одной и той же постоянной величине A . Из условия (19.77) определим
A    P  ,  P  P2  P1  0 .
рис.19.15
Подставляя это в (19.79) и интегрируя по
r , получим:
v  r    Pr 2 4  B ln r  C .
Из конечности скорости на оси следует, что
скорости
vr  R  0 :
B  0,
а
C
определяется из краевого условия
C   PR2 4 ,
где
R
(19.80)
– радиус цилиндра. Значит, профиль скорости снова является параболическим
v  r    P  R2  r 2  4 ,
(19.81)
в котором скорость достигает максимального значения на оси цилиндра:
vmax  v  0    PR 2 4
Масса жидкости, протекающая по поперечному сечению трубки за единицу времени, будет
R
Q    v  r  2 rdr  
0
 P 4
R ,
8
(19.82)
то есть прямо пропорциональна произведению четвертой степени радиуса трубки и падения
давления и обратно пропорциональна кинетической вязкости жидкости.
Напряжение трения на стенке трубки в данном случае равно
 zx  
dv R  P
 
,
dr 2
и направлено вдоль течения.
Течения, рассмотренные в данном параграфе, являются идеализациями, так как твердые тела
(пластинки, трубка) предполагаются бесконечными. Однако полученные результаты применяются
на практике, если, например, длина и ширина пластин намного больше расстояния между ними
или если длина цилиндра намного больше его радиуса. Эксперименты, проведенные в подобных
цилиндрах, привели Хагена (1839) и Пуазейля (1840) к результату (19.82), которое впоследствии
было теоретически получено Стоксом (1845). Существенно, что Хаген утверждал также, что результат (19.82) имеет место в опыте при небольших скоростях и не очень маленьких значениях
вязкости.
Число Рейнольдса. Ламинарное и турбулентное течения
Полученные нами точные решения гидродинамических уравнений относятся к простейшим
идеализированным течениям. В более сложных случаях точное решение становится невозможным.
Важные сведения относительно динамики течения можно получить, оценив порядки величин,
входящих в уравнение членов, и сравнив их друг с другом.
Рассмотрим стационарное движение несжимаемой вязкой жидкости, когда отсутствуют внешние объемные силы. В этом случае
 v  v  
1

P  v .
Обозначим характерный масштаб скорости течения через u (например, какое-то среднее значение скорости течения, или максимальное значение, или скорость движения стенки и т.д.), а характерный масштаб длины – через
(радиус трубки, диаметр, линейный размер обтекаемого тела, или расстояние, на котором скорость претерпевает изменение порядка u : u u ). В этом случае нелинейный член
 v  v , который описывает роль сил инерции в течении, будет иметь сле-
дующий порядок величины:
 v v
u2 ,
а порядок величины вязкости будет
v 
u
2
.
Отношение этих величин является важной безразмерной характеристикой течения и называется числом Рейнольдса:
u 2  u u
: 2 
 Re .
(19.83)
Число Рейнольдса выражает относительную роль сил инерции и трения в динамике течения.
В течениях с малым значением числа Рейнольдса превалирует роль вязкости, которая сглаживает
возникающие небольшие неоднородности. Подобные течения характеризуются плавно меняющимися гидродинамическими полями скорости, давления и плотности. Соответствующие течения
называются ламинарными. В течениях с большим числом Рейнольдса преобладают силы инерции, которые способствуют возникающим в жидкости случайным неоднородностям. В этом случае
течение характеризуется резкими, очень нерегулярными изменениями полей скорости, давления и
плотности. Это турбулентное движение жидкости. Рассмотренные до сих пор течения являются
примерами ламинарных течений, которые редко встречаются в природе.
В природе и технике подавляющее большинство реальных движений жидкостей и газов турбулентное. Таковы разнообразные виды движений воздуха в атмосфере, начиная со слабых поверхностных ветров и заканчивая движениями при общей циркуляции атмосферы (циклоны, антициклоны). Турбулентными являются движения воды в реках, морях, океанах, также как многие, имеющие практическое значение движения: в трубах, реактивных двигателях, за обтекаемым телом.
Беспорядочные колебания гидростатических полей в турбулентных течениях приводят к интенсивному размешиванию жидкости, что, в свою очередь, ускоряет процессы теплопередачи и
диффузии. По этой причине важно знать те причины, при которых ламинарное течение переходит
в турбулентное. Этот вопрос еще не получил исчерпывающего ответа и в настоящее время является предметом бурных обсуждений.
Первые экспериментальные результаты исследования турбулентности принадлежат Хагену
(1839), который, постепенно уменьшая вязкость жидкости в прямом цилиндре при постоянной
разности давлений, показал, что поток жидкости (19.82) возрастает до определенного максимального значения, после чего резко убывает.
Общий признак возникновения турбулентности дал Рейнольдса (1883). Согласно этому признаку, течение остается ламинарным, пока число Рейнольдса (19.83) не начинает превышать
определенное критическое значение
Rcr . Однако дальнейшие исследования показали, что только
по величине числа Рейнольдса невозможно однозначно описать возникновение турбулентности.
Так, например, выяснилось, что значение
Rcr
существенно зависит от гладкости стенок трубки
(так называемая степень «начальной возбужденности» жидкости). Если в трубке с шерохова-
Rcr  2800 , то,
Rcr  20000 и более.
тыми стенками переход в турбулентное состояние происходит, скажем, при
устранив неровности, можно продлить ламинарный режим до значений
Причем, неясно до каких значений числа Рейнольдса возможно это «затягивание». Можно ли продлить ламинарное течение до значений
режим, или существует значение
Rcrmax ,
Rcr   ,
то есть вообще не переходить в турбулентный
после которого течение точно будет турбулентным? Этот
вопрос также еще не получил исчерпывающего ответа.
Установлено, что существует такое значение
Rcrmin  2300 , что течения с меньшим числом Рей-
нольдса, независимо от степени «начальной возбужденности», всегда ламинарные.
Явление возникновения турбулентности можно продемонстрировать с помощью эксперимента,
изображенного на рис. 19.16.
Рис.19.16
Рис.19.17
В течениях с маленьким числом Рейнольдса жидкость, вытекающая из трубки В имеет вид непрерывной струи. В течении, соответствующем
Rcr
недалеко от выхода из трубки В струя рас-
ширяется, на ней появляются волны, дающие начало одной - двум вихрям большого масштаба,
которые распадаясь на множество мелких вихрей в конце трубки захватывают все ее поперечное
сечение. В течениях с
Re  Rcr
струя, вытекающая из трубки В уже имеет турбулентный характер
и наполняет весь объем трубки А окрашенной жидкостью. Возникающие вихри увеличивают сопротивление течения, благодаря чему уменьшается количество жидкости, текущей через трубку
за единицу времени. На рис. 19.17 представлены профили скорости плоско-параллельного течения Куэтта, или течения в трубке при ламинарном и турбулентном течении при одинаковом перепаде давлений. Как видим, в турбулентном течении скорость одинакова почти по всему сечению
трубки за исключением тонкого слоя вблизи стенок.
Звуковые волны
Получим уравнение распространения малых возмущений в сжимаемой идеальной жидкости
(газе). Воспользуемся уравнением движения идеальной жидкости (19.6), (19.12), (19.18).
В случае малых возмущений состояния жидкости нелинейный член в левой части уравнения
Эйлера намного меньше члена
v t .
Действительно, за время

периода колебаний частица
жидкости успевает совершить перемещение порядка амплитуды колебаний
. Это означает, что
скорость частицы жидкости (порядка v
/  ) претерпевает заметное изменение на расстоянии
 ( v v  ). Значит, v t v  ,  v  v v2  . Из малости нелиследует 
 v  , что и является условием малости возмущений. Значит, малы
порядка длины волны
нейного члена
те возмущения, амплитуда которых намного меньше длины волны.
Возбудим в среде малое возмущение, вследствие которого уравновешенные плотность и давление среды подвергнутся малым изменениям:
P  P0  P,   0   ,
где
P
P0 ,  
0 .
(19.94)
подставляя эти возмущения в уравнения гидродинамики и пренебрегая
бесконечно малыми, являющимися производными возмущений второго и более высокого порядка,
получим
 P 
 
v 1
 0v  0;
 P  0; P   0    .
t
t 0
 0 ад
(19.85)
В последнем соотношении, получаемом из уравнения состояния, предполагается, что процесс
является адиабатным. Обозначим
 P 
cs2   0  ,
 0 ад
(19.86)
которое имеет размерность квадрата скорости и смысл адиабатной сжимаемости.
Для ясности предположим, что все возмущенные величины зависят только от времени
динаты
x.
Дифференцируя первое уравнение (19.85) и исключая
v
и

t
и коор-
с помощью двух
остальных уравнений, получим
2
 2 P
2  P
 cs
 0.
t 2
x 2
(19.87)
Подобное уравнение получается и для возмущений плотности и скорости. В предыдущей главе
мы увидели, что (19.87) – это волновое уравнение, которое описывает плоскую волну, распространяющуюся со скоростью cs. Значит, в жидкостях и газах малые возмущения давления и плотности распространяются с одной и той же скоростью
cs . cs
называется скоростью звука и ее
можно выразить через изотермическую сжимаемость следующей формулой:
cs2 
где
  c p cv
c p  P0 
 P0 

  
 ,
cv  0 T
 0 T
(19.88)
называется показателем адиабаты.
Определим скорость звука в идеальном газе. Учитывая уравнение состояния идеального
газа
P  R T 
с помощью (19.88) получим:
,
cs   RT 
.
(19.89)
Заметим, что в газах скорость звука порядка скорости теплового движения молекул. Так как γ
слабо зависит от температуры, то скорость звука в газах пропорциональна T .
Напоследок получим условие несжимаемости жидкости в стационарных течениях. Мы видели, что при адиабатном процессе изменение плотности, обусловленное изменением давления,
равно
p  P cs2
Согласно уравнению Бернулли, изменение давления жидкости – величина порядка
что


v2
,
cs2
P 0 v2 . Так
(19.90)
откуда следует, что изменением давления из-за изменения плотности можно пренебречь

0 ), если скорость течения достаточно мала
2
скорости распространения звука в жидкости: v
c2 .
(т.е. считать жидкость несжимаемой -