Тема: «Теория пределов Определение 1: Число А называется пределом функции f (x) при x , стремящемся к x0 ( или в точке x0 ), если для любого, даже сколько угодно малого, положительного числа >0 найдется такое положительное число >0 (зависящее от , = ( )), что для всех x , не равных x0 и удовлетворяющих условию х - х0 , выполняется неравенство f х А . Предел функции обозначается как lim f х А или f х A при х х 0 . х х0 Аналогично определяется предел функции при х . При вычислении пределов используют следующие их свойства: 1. Функция не может иметь более одного предела. 2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, если последние существуют. Т.е. если функции f х и х имеют конечные пределы при х х 0 (или при х ): lim f х А, lim х В , тогда lim f х х A В . х х0 х х0 х х0 3. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, если они существуют, т.е. lim f х х АВ . х х0 В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела lim с f ( x ) = c A . х х0 4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций при условии, что оба предела существуют и предел делителя не равен нулю, т.е. f х А В 0. lim х х0 х В 5. Если lim f u A, lim x u 0 , то предел сложной функции x x u u0 lim f x A. 0 х х 0 Если функции f u и x непрерывны в точках u0 и х0 ,соответственно, то свойство 5 может быть записано в виде f x lim х х 0 f lim x , т.е. под x x0 знаком непрерывной функции можно переходить к пределу. Выделяют бесконечно малые и бесконечно большие функции. Определение 2: Функция х называется бесконечно малой при х х 0 , если lim x 0 . x x0 f х называется бесконечно большой при х х 0 , если для любого сколь угодно большого положительного числа М найдется число , вообще говоря, зависящее от М, такое что для всех х, Определение 3: Функция удовлетворяющих неравенству х х 0 , выполняется неравенство f x M . Таким образом, бесконечно большая функция, строго говоря, не имеет предела. Для краткости примем обозначение lim f x . x x0 Аналогично определяются бесконечно малые и бесконечно большие функции при х . Связь бесконечно малых и бесконечно больших величин устанавливается следующей теоремой. Теорема 1. Если функция х есть бесконечно малая величина при 1 х х 0 ( х ), то функция f x является бесконечно большой при x х х 0 ( х ). И обратно, если функция f х бесконечно большая при 1 х х 0 ( х ), то функция х есть величина бесконечно малая при f x х х 0 ( х ). Для решения первой из предложенных задач достаточно иметь навыки преобразований алгебраических выражений и использовать связь бесконечно малых величин с пределами функций, выражаемую следующей теоремой: Теорема 2.Для того чтобы число А было пределом функции f х при х х 0 , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство f х А х , где х бесконечно малая при х х 0 . х3 х2 1 . Задача №1.1. Требуется вычислить: lim х 1 2х 3 В числителе и знаменателе этой рациональной дроби при х присутствуют бесконечно большие величины. Чтобы перейти к бесконечно малым, разделим почленно числитель и знаменатель дроби на одну и ту же величину х3 (здесь мы выбрали наибольшую степень х, когда подобная задача стоит для х 0 , следует выбрать наименьшую степень х). 1 1 1 3 3 2 х х 1 х х . Имеем lim lim 3 1 х х 1 2х 2 х3 Далее, применяя свойства пределов при алгебраических операциях (в данном случае свойства 2 и 4), получим 1 1 х х3 1 2 х3 1 lim х 1 3 х 1 1 0 0 . 02 2 1 3 2 lim х х 1 lim 1 х х Ответ: х3 х2 1 1 . lim х 1 2х 3 2 Задача №1.2. Вычислить предел х 1 . Непосредственно 6 х 3 3х свойство 4 (теорему о пределе частного) здесь применять нельзя, так как предел знаменателя при х 1 равен 0. Убедимся в этом, используя свойства 2 и 5, lim lim 6 х 6 х 2 3 3х х -1 2 х 1 lim х -1 2 3 lim 3 х 9 3 0. х 1 Таким образом, в знаменателе находится бесконечно малая величина. Проверим, можно ли на основе теоремы 1 сделать вывод о том, что вся дробь является бесконечно большой величиной. Для этого найдем предел числителя lim х 1 1 1 0. Оказывается, числитель при х 1также х 1 является бесконечно малой величиной. Случай деления бесконечно малой на бесконечно малую теорией не регламентирован. В математике его называют неопределенностью и 0 обозначают символом . 0 К неопределенностям также относят случаи деления бесконечно большой на бесконечно большую , умножения бесконечно малой на бесконечно большую 0 , некоторые случаи возведения в степень 1 , 0 ,0 0 , вычитание бесконечно больших и другие. Прежде чем вычислять пределы, в этих случаях следует избавиться от неопределенности. В данном случае неопределенность можно устранить алгебраическим преобразованием функции под знаком предела. Домножим числитель и знаменатель дроби на одно и то же выражение, сопряженное знаменателю, и преобразуем ее: х 1 6 х 2 3 3х х 1 6 х 2 3 3х х 1 6 х 2 3 3х 6х 2 3 9х 2 3 3х 2 6 х 2 3 3х 6 х 2 3 3х х 1 = 6 х 2 3 3х х 1 6 х 2 3 3х 6 х 2 3 3х . 31 х 2 31 х 1 х 31 х Здесь в процессе преобразований дважды была использована известная формула сокращенного умножения а 2 в 2 а в а в . При х 1 все преобразования являлись равносильными, а потому искомый предел равен пределу полученной дроби, который находим, используя свойства пределов: lim 6 x 2 3 3 lim x 6 x 2 3 3x x 1 x 1 x 1 lim lim 2 x 1 x 1 3 lim 1 x 31 x 6 x 3 3x x 1 6 3 3 1 3 3 1. 3 2 31 1 x 1 Ответ: lim 1. x 1 6 x 2 3 3x 6 1 2 . x 3 x 3 x 9 Анализ этого выражения (подобно задаче №1.2) показывает, что под знаком предела находится неопределенность вида . Устраним ее приведением дроби к общему знаменателю. 1 6 1 6 х 36 х3 1 2 х 3 х 9 х 3 х 3х 3 х 3х 3 х 3х 3 х 3 . 6 1 1 1 2 Таким образом, lim = lim . x 3 x 3 x 9 x 3 x 3 6 6 1 1 2 Ответ: lim = x 3 x 3 x 9 6 1 1 Задача №1.3. Вычислить lim . x 1 ln x x 1 Снова имеем неопределенность вида , но данное выражение включает в себя элементарные функции разных классов: логарифмическую и дробно-рациональную. Поэтому алгебраические преобразования не приведут к существенному упрощению выражения. Для решения этой задачи рекомендуется использовать правило Лопиталя: Теорема 3. (Правило Лопиталя) Предел отношения двух бесконечно малых и бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле. При применении правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей руководствуются следующим алгоритмом: 0 I. Если неопределенности имеют вид или , то 0 непосредственно по теореме 3 f x f x lim lim . x x g x x x g x 0 II. Неопределенность вида 0 или приводится к виду 0 или с помощью алгебраических преобразований. Задача №1.3. Вычислить lim 0 0 III. Неопределенности вида сведется к 1 , 0 или 00 неопределенности вида с помощью предварительного 0 x логарифмирования f x e x ln f x . Примечание. Так как для применения этого метода необходимы навыки вычисления производной. Итак, приведем неопределенность к 0 неопределенности вида : 0 1 x 1 ln x 1 lim lim , а затем применим правило Лопиталя: x 1 ln x x 1 x 1 ln x x 1 x 1 ln x x 1 ln x lim lim x 1 ln xx 1 x 1 ln x x 1 1 1 0 x 1 x . lim lim x 1 1 x 1 x 1 ln x x x 1 ln x 1 x 0 Снова получим неопределенность вида , поэтому правило Лопиталя 0 применяется повторно: x 1 x 1 lim lim x 1 x 1 x ln x x 1 x 1 x ln x 1 0 1 1 1 lim . = lim x 1 1 x 1 1 ln x 1 1 0 1 2 1 0 ln x x x 1 1 1 Ответ: lim . x 1 ln x x 1 2