ТЕОРЕМА (Вейерштрасса). Монотонная и ограниченная числовая последовательность сходится. 1 n ПРИМЕР. Докажем, что последовательность {xn } 1 схо n дится. 1 n 1) Покажем, что последовательность {xn } 1 – возрастаю n щая. Для этого распишем xn и x n 1 по формуле бинома Ньютона. Имеем: n где k n 1 1 xn 1 Cnk 1n k , n n k 0 n! n (n 1) n (k 1) . Cnk k ! (n k ) ! 1 2 k 1 n(n 1) 1 n(n 1)(n 2) 1 n(n 1)n (n 1) 1 xn 1 n n 2! n 3! n! n n 1 n 1 1 (n 1)(n 2) 1 (n 1)n (n 1) 11 2! n 3! n! n2 n n1 1 1 1 1 2 1 1 2 n 1 11 1 1 1 1 1 1 . 2! n 3! n n n! n n n Аналогично: 2 3 n n 1 где n 1 1 k n 1 k 1 xn1 1 Cn1 1 , n 1 n 1 k 0 (n 1)! (n 1) n n 1 (k 1) . Cnk1 k ! (n 1 k ) ! 1 2 k k 1 (n 1) n 1 (n 1) n n 1 (n 1) 1 xn1 1 (n 1) n 1 2! n 1 n! n 1 2 n (n 1) n n 1 (n 1) n 1 n) 1 (n 1)! n 1 1 n 1 n(n 1) 1 n(n 1)n 1 (n 1) 11 2 2! n 1 3! (n 1) n! (n 1) n1 n1 1 n(n 1)n 1 (n 1) n 1 n (n 1)! (n 1) n 1 1 1 1 1 2 1 1 2 n 1 11 1 1 1 1 1 1 2! n 1 3! n 1 n 1 n! n 1 n 1 n 1 1 1 2 n 1 n 1 1 1 1 . (n 1)! n 1 n 1 n 1 n 1 k k k k , то 1 1 ( k 1,2,, n 1 ). Следоn n 1 n n 1 вательно, все слагаемые xn не превосходят соответствующих слагаемых x n 1 . Кроме того, в x n 1 добавляется еще одно слагаемое и оно положительно. Таким образом, xn xn 1 , n ℕ. Так как 1 n 2) Покажем, что последовательность {xn } 1 – ограничена n сверху. Для этого распишем xn по формуле бинома Ньютона и оценим его. Имеем: 1 1 1 1 2 1 1 2 n 1 xn 11 1 1 1 1 1 1 2! n 3! n n n! n n n 1 1 1 11 . 2! 3! n! k Здесь мы использовали тот факт, что 1 1 , и, следовательно, n 1 1 2 k 1 1 1 1 1 . Теперь воспользуемся неравенством k! n n n k! 1 1 k 1 при k 3,4, , и получим: k! 2 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 xn 1 1 1 1 2 3 n 1 1 1 2! 3! n! 2 2 2 2 1 сумма n членов 2 геометрической прогрессии 1 1 1 1 2 3 , n ℕ. 2 1 n Итак, мы доказали, что последовательность {xn } 1 возрас n тающая и ограниченная сверху. Следовательно, по теореме Вейерштрасса, она сходится. Ее предел принято обозначать буквой e . Число e – иррациональное. Мы доказали, что e 3 . Более точные вычисления приводят к результату e 2,7182818284 59045 . Число e часто встречается в математике. В теоретических исследованиях удобно выбирать e в качестве основания логарифма. Логарифм x по основанию e называют натуральным логарифмом и обозначают ln x . §. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки x0 ℝ, кроме, может быть, самой точки x0 . Договоримся обозначать через U * ( x0 , ) -окрестность точки x0 за исключением самой точки x0 . Такую окрестность точки x0 называют проколотой. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 (на языке - ). Число A ℝ называется пределом функции f (x) при x , стремящемся к x0 (или пределом функции в точке x0 ), если для любого 0 существует 0 такое, что, если x U * ( x0 , ) , то f ( x) U ( A, ) . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 (на языке последовательностей). Число A ℝ называется пределом функции f (x) при x , стремящемся к x0 , если для любой последовательности {xn } ( xn x0 ) значений аргумента, стремящейся к x0 , соответствующая последовательность значений функции { f ( xn )} сходится к A . Записывают: lim f ( x) A . x x0 ТЕОРЕМА. Определение предела функции на языке - и на языке последовательностей эквивалентны. Т.е. если A lim f ( x) в смысле x x0 первого определения, то A lim f ( x) и в смысле второго определения и x x0 наоборот. 3 1) Пусть ДОКАЗАТЕЛЬСТВО lim f ( x) A в смысле определения 1. Т.е. для любого x x0 0 существует 0 такое, что, если x U * ( x0 , ) , то f ( x) U ( A, ) . (1) Пусть {xn } – любая последовательность значений аргумента, стремящаяся к x0 ( xn x0 ). По определению это означает, что для любого 0 существует номер N такой, что xn U * ( x0 , ) , n N . (Смотри геометрический смысл сходящейся последовательности и бесконечно большой последовательности. При этом мы берем проколотую окрестность точки x0 , так как по условию xn x0 .) Но тогда, согласно (1), f ( xn ) U ( A, ) , n N . А это означает, что { f ( xn )} последовательность сходится к Следовательно, A. lim f ( x) A в смысле определения 2. x x0 2) Пусть lim f ( x) A в смысле определения 2. Т.е. для любой по- x x0 следовательности значений аргумента {xn } x0 ( xn x0 ), соответствующая последовательность значений функции { f ( xn )} сходится к A . Предположим, что при этом предела функции f (x) при x , стремящемся к x0 в смысле определения 1 не существует. Это означает, что существует 0 0 такое, что для любого 0 найдется хотя бы одно чисx U * ( x0 , ) f ( x) U ( A, 0 ) , т.е. для которого 1 f ( x) A 0 . Обозначим это число для 1 через x1 , для – 2 1 через x2 , для – через x3 , и т.д. 3 ло ( x0 1 для которого ( x0 x3 x2 ( x0 1 2 ) ) x0 1 2 x1 ) x0 1 1 1 1 Так как 1, , , , , 0 , то {xn } x0 ( xn x0 ). Но по выn 2 3 бору xn имеем: f ( xn ) A 0 , lim f ( xn ) A . n 4 Но это противоречит условию, что lim f ( x) A в смысле определеx x0 ния 2. Следовательно, предположение было неверно и lim f ( x) A в x x0 ∎ смысле определения 1. Свойства пределов Следующие утверждения справедливы в силу определения 2 и соответствующих свойств сходящихся последовательностей. 1) Если lim f ( x ) существует, то он единственный. x x0 2) Если lim f ( x) A , то lim f ( x) A . x x0 x x0 3) Пусть функции f (x) и (x) имеют предел при x x0 и lim f ( x) A , lim ( x) B . x x0 x x0 Тогда их сумма, разность произведение и частное тоже имеют предел при x x0 , причем а) lim f ( x) ( x) A B ; x x0 б) lim f ( x) ( x) A B x x0 (и, в частности, lim C ( x) C B для любого числа C ℝ); x x0 f ( x) A в) lim (при условии, что B 0 ). x x0 ( x) B 4) Пусть lim f ( x) A x x0 и существует проколотая -окрестность точки x0 такая, что Тогда f ( x) 0 (или f ( x) 0 ), x U * ( x0 , ) . lim f ( x) A 0 . x x0 5) Пусть функции f (x) и (x) имеют предел при x x0 . Если существует проколотая -окрестность точки x0 такая, что то f ( x) ( x) (или f ( x) ( x) ), x U * ( x0 , ) , lim f ( x) lim ( x) . x x0 x x0 5 6) Пусть функции f (x) и (x) имеют предел при x x0 , причем lim f ( x) lim ( x) . x x0 x x0 Если существует проколотая -окрестность точки x0 такая, что f ( x) g ( x) ( x) , x U * ( x0 , ) , то функция g (x) тоже имеет предел при x x0 и lim g ( x) lim f ( x) lim ( x) . x x0 x x0 x x0 Следующие два свойства пределов требуют доказательств. 7) Если функция f (x) имеет предел при x x0 , то она ограничена в некоторой проколотой окрестности точки x0 (говорят: функция локально ограничена). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Пусть lim f ( x) A . Возьмем 1 . Тогда существует 0 такое, x x0 что, если x U * ( x0 , ) , то f ( x) U ( A,1) . Т.е. f ( x) A 1 , x U * ( x0 , ) . Рассмотрим | f ( x) | . Имеем: f ( x) f ( x) A A f ( x) A A f ( x) A A 1 A , x U * ( x0 , ) . Следовательно, в U * ( x0 , ) функция f (x) ограничена. ∎ f : X Y , : Y Z ( X , Y , Z ℝ). Если существуют 8) Пусть lim f ( x) y0 и lim ( y ) z 0 , то сложная функция ( f ( x)) имеx x0 y y0 ет предел при x x0 , причем lim f ( x) lim y z0 . x x0 y y0 (2) Формулу (2) называют формулой замены переменной в пределе. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (самостоятельно) Бесконечно малые и бесконечно большие функции ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция (x) называется бесконечно малой при x x0 , если lim ( x) 0 . x x0 6 Свойства бесконечно малых функций 1) ТЕОРЕМА (роль бесконечно малых в теории пределов). Число A является пределом функции f (x) при x x0 тогда и только тогда, когда f ( x) A ( x) , где (x) – бесконечно малая при x x0 . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (самостоятельно) 2) Сумма, разность, произведение двух (конечного числа) бесконечно малых при x x0 функций есть функция бесконечно малая. Это утверждение является следствием свойства 3 пределов функций. 3) Пусть функция f (x) – ограниченна в некоторой окрестности точки x0 , а (x) – бесконечно малая при x x0 . Тогда их произведение f ( x) ( x) – бесконечно малая при x x0 . Это свойство справедливо в силу определения 2 и соответствующего свойства бесконечно малых последовательностей. Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки x0 ℝ, кроме, может быть, самой точки x0 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 (на языке - ). Функцию f (x) называют бесконечно большой при x , стремящемся к x0 , если для любого M 0 существует 0 такое, что, если x U * ( x0 , ) , то f ( x) M . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 (на языке последовательностей). Функцию f (x) называют бесконечно большой при x , стремящемся к x0 , если для любой последовательности {xn } ( xn x0 ) значений аргумента, стремящейся к x0 , соответствующая последовательность значений функции { f ( xn )} является бесконечно большой. Записывают: lim f ( x) . x x0 Если f (x) является бесконечно большой при x x0 и при этом f ( x) M , x U * ( x0 , ) (или { f ( xn )} , {xn } x0 ), то пишут: lim f ( x) . x x0 Если f (x) является бесконечно большой при x x0 и при этом f ( x) M , x U * ( x0 , ) (или { f ( xn )} , {xn } x0 ), то пишут: lim f ( x) . x x0 7 Определение 1 и определение 2 бесконечно большой функции эквивалентны (доказывается так же, как эквивалентность двух определений предела функции). Свойства бесконечно больших функций 1 f ( x) – бесконечно малая при x x0 . Если функция (x) – бесконечно ма1 лая при x x0 , то функция – бесконечно большая при x x0 . ( x) 1) Если f (x) – бесконечно большая при x x0 , то функция 2) Если функции f (x) и (x) – бесконечно большие одного знака при x x0 , то их сумма f ( x) ( x) – бесконечно большая того же знака при x x0 . 3) Если функция f (x) – бесконечно большая при x x0 , а функция (x) – ограниченна в некоторой окрестности точки x0 , то их сумма f ( x) ( x) – бесконечно большая при x x0 . 4) Если функции f (x) и (x) – бесконечно большие при x x0 , то их произведение f ( x) ( x) – бесконечно большая при x x0 . 5) Если функции f (x) – бесконечно большая при x x0 , а функция (x) имеет предел при x x0 , причем lim ( x) A 0 , то их x x0 произведение f ( x) ( x) – бесконечно большая при x x0 . 6) Если функции f (x) – бесконечно большая при x x0 и для любого x из некоторой окрестности точки x0 имеет место неравенство f ( x) ( x) ( f ( x) ( x) ), то функция (x) тоже является бесконечно большой при x x0 . Все эти утверждения справедливы в силу определения 2 бесконечно большой функции и соответствующих свойств бесконечно больших последовательностей. 8