При разложении функций в ряд ... бинома . А почему бы не использовать и отрицательные?

Глава 13. Теория вычетов
13.1. Ряды Лорана. Область сходимости
При разложении функций в ряд Лорана участвовали только положительные степени
бинома ( z  a ) . А почему бы не использовать и отрицательные?
Ряды вида

 c ( z  a)
k  
k
k
называются рядами Лорана. Фактически они состоят из двух рядов

 c ( z  a)
k  
k
k
 c0  c1 ( z  a)  c2 ( z  a) 2  c3 ( z  a)3  ... 
c 3
c1
c2


 ... .
2
z  a ( z  a) ( z  a)3
Первый ряд  по положительным степеням ( z  a )  называется правильной частью ряда Лорана, а второй ряд  по отрицательным степеням ( z  a )  главной частью ряда Лорана.
Найдем область сходимости ряда Лорана. Для сходимости этого ряда надо, чтобы сходилась и его правильная часть, и его главная часть. Правильная часть  это степенной ряд,
который сходится при
| z  a | R2 , R2  1 2 , 2  lim sup k | ck | .

n k n
Делая «замену переменных» 1 ( z  a)  w получим, что главная часть  это тоже степенной ряд
c1w  c 2 w2  c3 w3  ... ,
который сходится при
1
| w |
, R1  lim sup k | ck | .
n k  n
R1
Возвращаясь к ( z  a ) , получим, что главная часть сходится при | z  a | R1 .
Возможны следующие варианты:
1. R1  R2 . В этом случае условия | z  a | R1 и | z  a | R2 противоречат друг другу, и ряд
Лорана расходится при любых z.
2. R1  R2 . Сходимость этого ряда может быть только на окружности | z  a | R1  R2 , но этот
вопрос требует дополнительного исследования.
3. Основной вариант: R1  R2 (см. рис. 13.1).
В этом случае ряд Лорана сходится в области
R1 | z  a | R2 , которая имеет вид кольца. Она
так и называется  кольцо сходимости, а величины
R1  lim sup k | ck | ,
n k  n
R1
R2  1 lim sup k | ck | ,
a
R2
n k  n
называются радиусами кольца сходимости.
Рис. 13.1
1
4. В частности, может быть R1  0 , и тогда область сходимости ряда Лорана есть
0 | z  a | R2 , что представляет собой круг с «выколотым» центром.
Рассмотрим еще коротко свойства суммы ряда Лорана.
Теорема 1. Пусть r1 и r2 такие, что R1  r1  r2  R2 . Тогда внутри кольца r1 | z  a | r2
ряд Лорана сходится равномерно.
Доказательство. Действительно, при | z  a | r2 по свойствам степенных рядов можно
записать


k 0
k 0
 | ck ( z  a) k |   | ck | r2k   ,
и поэтому, по признаку Вейерштрасса, правильная часть сходится равномерно в круге
| z  a | r2 .
Аналогично, при | z  a | r1


k 1
k 1
 | ck ( z  a) k |   | ck | r2k   ,
так что главная часть сходится равномерно при | z  a | r1 .
Поэтому весь ряд Лорана сходится равномерно в кольце r1 | z  a | r2 . 
Следствие. Внутри кольца R1  r1 | z  a | r2  R2 сумма ряда Лорана есть непрерывная
функция и его можно почленно дифференцировать и интегрировать.
Теорема 2. При почленном дифференцировании и интегрировании радиусы кольца
сходимости не меняются.
Доказательство практически буквально повторяет доказательство соответствующих
теорем для степенных рядов.
Следствие. Внутри кольца R1  r1 | z  a | r2  R2 ряд Лорана можно почленно дифференцировать и интегрировать любое число раз.
13.2. Выражение для коэффициентов ряда Лорана через его сумму
Обозначим сумму ряда Лорана через f (z ) :

 c ( z  a)
k  
k
k
 f ( z) ,
и найдем выражение для коэффициентов ck в виде интеграла от этой функции.
Пусть ряд Лорана сходится в кольце
R1 | z  a | R2 (см. рис. 13.2). Возьмем любой
простой контур , лежащий внутри этого кольца
и окружающий область | z  a | R1 («дырку»
кольца). Заметим, что все особые точки функции
R1
f (z ) лежат внутри области | z  a | R1 , или в обa
ласти | z  a | R2 . Поэтому интегралы по всем
R2
простым контурам, окружающим область
| z  a | R1 , равны между собой.

Возьмем в качестве контура интегриро

вания окружность |   a |  , где R1    R2 , и
вычислим интеграл вида
1
f ( )
d .

Рис. 13.2
2i  (  a ) n1
В силу равномерной сходимости ряда Лорана, его можно почленно интегрировать. Поэтому

1
f ( )
1
(  a ) k
d


c
d .
(1)

k
2i  (  a) n 1
2i  (  a) n 1
k  
2
Так как на контуре интегрирования |   a |  , то   a  ei , где 0    2 . Тогда
d  ieid и
2
2
1
(  a ) k
1 k eik  iei
1
d
.
d


d 
n 1
n 1 i ( n 1) 
nk i ( nk ) 



2i  (  a)
2i 0  e
2 0  e
Возможны следующие случаи.
1. n = k. Тогда интеграл (2) приобретает вид
2
1
d  1 .
2 0
(2)
2. n  k. Тогда интеграл (2) равен
1
2n  k
2
e
2
i ( k n)
0
1
ei ( k n )
1 ei ( k n ) 2   1
d 


 0,
2n  k i (k  n) 0
2n  k i (k  n)
так как, по формуле Эйлера, ei ( k n ) 2   1 .
Возвращаясь к сумме (1) получим, что в ней останется одно единственное слагаемое с
n = k, и поэтому
1
f ( )
d  cn ,

2i  (  a ) n 1
что и дает явное выражение для коэффициентов ряда Лорана через его сумму.
Получим еще одно неравенство для сп, которое будет необходимо в дальнейшем. Пусть
на окружности |   a |  | f ( ) | M . Тогда
| cn |
1
f ( )
1 M
M
d 
 n1  2  n ,
n 1

2i  (  a)
2 

(3)
что и дает оценку сверху величины сп.
13.3. Особые точки аналитических функций
Напомним, что точка а называется особой точкой функции f (z ) , если в этой точке
функция имеет разрыв, или у нее не существует производная.
Определение. Точка а называется изолированной особой точкой функции f (z ) , если
R > 0 такое, что в кольце 0 | z  a | R функция f (z ) аналитична.
В дальнейшем будут рассматриваться только изолированные особые точки.
Итак, пусть а  изолированной особой точкой функции f (z ) .
Определение 1. Точка а называется устранимой особой точкой функции f (z ) , если
существует конечный предел lim f ( z )  c0 .
z a
Теорема 1. Для того, чтобы а была устранимой особой точкой функции f (z ) необходимо и достаточно, чтобы в разложении f (z ) в кольце 0 | z  a | R в ряд Лорана отсутствовала главная часть.
Доказательство.
Достаточность. Пусть в разложении функции f (z ) в ряд Лорана отсутствует главная
часть, то есть
f ( z )  c0  c1 ( z  a)  c2 ( z  a) 2  c3 ( z  a)3  ...
В силу равномерной сходимости степенного ряда, в нем допустим почленный переход к пределу. Тогда
lim f ( z )  c0
z a
и а  устранимая особая точка.
3
Необходимость. Пусть существует конечный lim f ( z )  c0 . В силу этого, в окрестности
z a
точки а функция f (z ) ограничена, то есть | f ( z ) | M   . Используя неравенство (3) для
коэффициентов ряда Лорана, получим
| c n | M n , n  1,  .
Но заметим, что в этом случае  можно взять сколь угодно малым. Устремляя  к нулю
получим, что все сп = 0, n  1,  , что и говорит о том, что в ряде Лорана отсутствует главная
часть. 
Замечание. Если положить f (a)  c0 , то точка а теряет всякую особенность. Отсюда и
ее название.
Определение 2. Если lim | f ( z ) |  , то точка а называется полюсом функции f (z ) .
z a
Теорема 2. Для того, чтобы точка а была полюсом функции f (z ) необходимо и достаточно, чтобы в разложении f (z ) в кольце 0 | z  a | R в ряд Лорана в главной части было
лишь конечное число слагаемых.
Доказательство.
Достаточность. Пусть ряд Лорана функции f (z ) имеет вид
cn
cn1
f ( z) 

 ... .
n
( z  a) ( z  a) n1
Представим это выражение в виде
g ( z)
, g ( z )  c n  c n 1 ( z  a)  c n  2 ( z  a) 2  ...
f ( z) 
n
( z  a)
Тогда при za, g ( z )  cn , а (z  a)0. Поэтому
| g ( z) |
lim | f ( z ) | lim
  ,
z a
z  a | z  a |n
то есть точка а есть полюс функции f (z ) .
Необходимость. Пусть lim | f ( z ) |  . Рассмотрим функцию g ( z)  1 f ( z) . Для нее
z a
lim | g ( z ) | 0 , то есть lim g ( z )  0 , и, следовательно, а является устранимой особой точкой
z a
z a
функции g (z ) . Полагая g (a )  0 , согласно теореме 1 получим, что ее разложение в ряд Лорана в окрестности точки а имеет вид
g ( z )  c~n ( z  a) n  c~n 1 ( z  a) n 1  ... .
Заметим, что c  g (a)  0 . Но тогда
1
1
~

n
~
g ( z ) cn ( z  a )  cn 1 ( z  a ) n 1  ...
1
1


.
n ~
~
( z  a ) cn  cn 1 ( z  a )  ...
Второй сомножитель уже не имеет особенностей в точке а. Поэтому его можно разложить в
ряд Тейлора
1
 c n  c n 1 ( z  a )  ...
~
~
cn  cn 1 ( z  a )  ...
и тогда f (z ) примет вид
cn
cn1
f ( z) 

 ... ,
n
( z  a) ( z  a) n1
откуда и следует, что главная часть ряда Лорана функции f (z ) содержит лишь конечное
число слагаемых. 
f ( z) 
4
Терминология. Если главная часть начинается с члена, содержащего ( z  a)  n , то говорят, что точка а  полюс п-го порядка функции f (z ) . Если п = 1, то а называют простым
полюсом.
Определение 3. Если lim f ( z ) не существует, то точка а называется существенно осоz a
бой точкой функции f (z ) .
Теорема 3. Для того, чтобы а была существенно особой точкой функции f (z ) , необходимо и достаточно, чтобы в разложении f (z ) в кольце 0 | z  a | R в ряд Лорана в главной части было бесконечное число слагаемых.
Доказательство этой теоремы очевидно: других вариантов просто нет.
13.4. Вычеты в особых точках.
Пусть а  изолированная особая очка
функции f (z ) . Как это доказывалось в
теории криволинейных интегралов, интегралы по любым простым контурам, окруa
жающим особую точку, равны между собой, и они характеризуют точку, а не контур.
Пусть   любой простой контур,
окружающий особую точку (см. рис. 13.3).

величина
1
Рис. 13.3
f (  ) d
2i 
называется вычетом функции f (z ) в точке а и обозначается символом res f ( z ) :
z a
1
res f ( z ) 
f (  ) d .
z a
2i 
Сравним это выражение с выражением для коэффициентов ряда Лорана
1
f ( )
cn 
d .

2i  (  a ) n 1
Видно, что при п = 1
1
c1 
f ( )d
2i 
как раз и получается вычет функции f (z ) в точке а, то есть res f ( z )  c1 .
z a
1
f ( )d , где инте2i 
грал берется по любому простому контуру, окружающему особую точку. Численно вычет равен коэффициенту c1 в разложении функции f (z ) в ряд Лорана в окрестности точки а.
13.5. Вычисление вычетов
А) Пусть а есть простой полюс функции f (z ) . Тогда ее разложение в ряд Лорана имеет
вид
c
f ( z )  1  c0  c1 ( z  a )  ...
za
Отсюда
( z  a ) f ( z )  c1  c0 ( z  a)  c1 ( z  a) 2  ...
и поэтому
lim ( z  a ) f ( z )  c1  res f ( z ) .
Итак: вычетом функции f (z ) в точке а называется выражение
z a
z a
5
Частный случай. Пусть f (z ) имеет вид f ( z)  ( z) ( z) , где (а) = 0. Чтобы полюс
был простым, надо, чтобы (a )  0 . Но тогда
( z )
( z )
( z  a) f ( z ) 
( z  a) 
.
( z )  (a)
( z )
za
Переходя к пределу za, получим
(a)
.
res f ( z ) 
z a
(a)
Этой формулой на практике приходится пользоваться чаще всего.
Б) Пусть точка а есть полюс п-го порядка функции f (z ) . Тогда
cn
c
f ( z) 
 ...  1  c0  c1 ( z  a)  c2 ( z  a) 2  ...
n
( z  a)
za
Имеем
( z  a) n f ( z )  c n  c n 1 ( z  a)  ...  c1 ( z  a) n 1  c0 ( z  a) n  ... ,


d n 1
( z  a) n f ( z )  (n  1)!c1  (n  1)!c0 ( z  a)  ...
n 1
dz
Переходя к пределу za, получим
1
d n1
res f ( z )  c1 
lim n1 ( z  a) n f ( z ) .
z a
(n  1)! z a dz
Отметим самый принципиальный момент: хотя вычет и определяется через интеграл,
но вычисляется он без всяких интегралов. Поэтому не вычеты вычисляются через интегралы, а наоборот  интегралы вычисляются через вычеты! И это  самое главное, ибо,
по сути, есть всего лишь два стандартных способа вычисления интегралов  через первообразную, по формуле Ньютона-Лейбница, и через вычеты. Очень большое число несобственных интегралов, первообразную для которых найти принципиально невозможно, вычисляются именно через вычеты.
13.6. Основная теорема теории вычетов
Теорема. Пусть f (z )  аналитическая внутри контура С функция за исключением конечного числа изолированных особых точек а1, а2, … , ап. Тогда



n
f ( z )dz  res f ( z ) .
k 1
C
z  ak
Доказательство.
Окружим каждую особую точку
аi простым контуром i (см. рис. 13.4),
и вычислим интеграл по контуру, указанному на рисунке. Так как внутри
этого контура нет особых точек, то
...
an

n
a1
a2


2
Рис. 13.4

k

C
1
n
f ( z )dz    f ( z )dz  0 ,
k 1  
k
где знак «минус» у контуров k означает, что контур проходится в обратном направлении. Но так как k есть
C
простой контур, окружающий только
одну особую точку аk, то
f ( z )dz    f ( z )dz ,
k
и поэтому
6

n
n
f ( z )dz    f ( z )dz  2i  res f ( z ) .
k 1 
k
C
k 1
z  ak
Именно с помощью этой формулы и вычисляется большое число различных интегралов.
Ниже мы рассмотрим лишь некоторые из них.

13.7. Вычисление интегралов вида
 f ( x)dx

Теорема. Пусть f (z ) есть аналитическая в верхней полуплоскости Im(z)  0 функция за
исключением конечного числа изолированных особых точек, и существуют такие числа М, R0
и  > 0, что
M
 z | z | R0 | f ( z ) |
.
| z |1
Тогда



n
f ( x)dx  2i  res f ( z ) ,
k 1
z  ak
где сумма берется по всем особым точкам, лежащим в верхней полуплоскости Im(z) > 0.
Доказательство.
Рассмотрим контур , состоящий из отрезка [R, R] на вещественной оси ОХ и полуокружности CR, лежащей в верхней полуплосCR
кости радиуса R с центром в начале координат.
a2
Так кА особых точек конечное число, то всегда
можно взять R настолько большим, что внутри
an
этого контура будут находиться все особые
R
точки, лежащие в верхней полуплоскости.
a1
Тогда, по основной теореме,
-R
R
Рис. 13.5

R
f ( z )dz 


f ( x)dx 
R

n
f ( z )dz  2i  res f ( z ) .
k 1
CR
z  ak
(4)
Но на полуокружности CR |z| = R и поэтому
| f ( z ) |
M
M
,
R1
 f ( z)dz  R
1 
R 
CR
M
.
R
Переходя к пределу R, получим, что
lim
R 
R

R

 f ( x)dx   f ( x)dx ,
lim
R 
 f ( z )dz  0 ,
CR
и поэтому после предельного перехода R в (4), получим



n
f ( x)dx  2i  res f ( z ) ,
k 1
z  ak
что и требовалось доказать. 

13.8. Вычисление интегралов вида
e
i x
f ( x)dx

Теорема. Пусть f (z ) есть аналитическая в верхней полуплоскости Im(z)  0 функция за
исключением конечного числа изолированных особых точек, и при |z| | f ( z ) | 0 равномерно относительно arg z. Тогда, при   0
7

n

k 1


i x
i z
 e f ( x)dx  2i res f ( z )e ,
z  ak
где вычеты берутся по всем особым точкам, лежащим в верхней полуплоскости.
Доказательство.
А) Прежде всего уточним некоторые термины. В формулировке теоремы сказано, что
при |z| f (z ) стремиться к нулю равномерно относительно arg z. Это означает следующее:
пусть |z| = R. Тогда существует функция R такая, что при всех значениях аргумента z в интервале 0  arg z  | f ( z) |  R и R0 при R.
Б) Выведем еще некоторые соотношения.
1,0
Рассматривая график функции sin  в интервале 0   2 (см. рис. 13.6) легко видеть,
что
выполняется
неравенство
0,8
sin
sin   2  .
Далее, пусть z  R(cos   i sin ) . То0,6
2/
гда
eiz  eiR (cos i sin)  e  R sin  eiR cos  .
0,4
Заметим, что eiR cos   1 и поэтому
| eiz | e  R sin
0,2
/2
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4

1,6
Рис. 13.6
В) Рассмотрим теперь полуокружность CR радиуса R с центром в начале координат, лежащую в верхней полуплоскости (см. рис. 13.5). Для z  CR
z  R  ei  R(cos   i sin ) ,
dz  iR ei d , | dz | Rd  и мы имеем
e
iz

f ( z )dz   |e
CR
iz

|  | f ( z ) |  | dz |  R R  e
0
2
 R sin 
d  2 R R  e R sin d ,
0
0
так как график функции sin  симметричен относительно точки  2. Пользуясь неравенством
для sin , получим
2
e
2
 R sin 
d 
0
e
2
 R

d 
0
2
2
 R

e
 2R 


1  e R .
2R


0
Теперь, с учетом того, что   0, получим
e
iz
f ( z )dz 
CR
R

1  e R  R
 0 .


Г) Окончание доказательства полностью повторяет предыдущую теорему. Беря контур
 так же, как и в предыдущей теореме, получим
R

f ( x)eix dx 
R

n


f ( z )eiz dz  2i  res f ( z )eiz .
k 1
CR
z  ak
Переходя к пределу R, получим требуемую формулу

n

k 1


i x
i z
 e f ( x)dx  2i res f ( z )e .
Теорема доказана. 
8
z  ak
Замечание. Если   0, то надо брать сумму вычетов по всем особым точкам, лежащим в
нижней полуплоскости Im(z)  0.
1
f ( z )
13.9. Вычисление интегралов вида
( z )
dz

2i C
f ( z)
Пусть С  простой контур. Будем считать, что внутри С функция (z) вообще не имеет
особых точек, а функция f (z) если и имеет, то только полюса. Заметим, что нули функции f (z)
также являются особыми точками подынтегральной функции, так как там есть деление на
f (z).
Пусть точка а есть нуль функции f (z) кратности , то есть в окрестности этой точки f (z)
представима в виде
f ( z )  c ( z  a)   c1 ( z  a) 1  ...
Тогда
f ( z )  c ( z  a)  1  c 1 (  1)( z  a)   ...
и мы имеем
f ( z ) c ( z  a)  1  c 1 (  1)( z  a)   ...


f ( z)
c ( z  a)   c 1 ( z  a)  1  ...
  c 1 (  1)( z  a ) c  ...



 ...
2
( z  a )  c 1 ( z  a ) c  ... z  a
Отсюда видно, что нуль функции f (z) кратности  превратился в простой полюс отношения
f ( z) f ( z) и
f ( z )
f ( z )
res
  ; res ( z )
 (a) .
z a f ( z )
z a
f ( z)
Пусть теперь b есть полюс функции f(z) порядка , то есть
c
c1
f ( z) 

 ...

( z  a) ( z  a)1
Тогда
c
(  1)c1
f ( z )  

 ...
1
( z  a)
( z  a )
и мы имеем
c
(  1)c1


 ...
 1
f ( z )
( z  a)
( z  a )


c 
c1
f ( z)

 ...
( z  a) ( z  a)1
(  1)c1



 ...
za
c



 ... .
c1
za
1
( z  a )  ...
c
Отсюда видно, что полюс функции f (z) порядка  превратился в простой полюс отношения
f ( z) f ( z) и
f ( z )
f ( z )
res
  ; res ( z )
 (b) .
z b f ( z )
z b
f ( z)
Пусть теперь а1, а2, …, ап есть нули функции f (z) кратности 1, 2, …, п соответственно, и b1, b2, … bm  полюса порядка 1, 2, … , m соответственно. Тогда
9
n
m
1
f ( z )

(
z
)
dz



(
a
)

l (bl ) .


k
k
2i C
f ( z)
k 1
l 1
В частном случае (z)  1 эта формула приобретает вид
n
m
1
f ( z )
dz



l  N  P ,


k
2i C f ( z )
k 1
l 1
где N  общее число нулей функции f (z) (каждый нуль считается столько раз, какова его
кратность), и Р  общее число полюсов (каждый полюс считается столько раз, каков его порядок).
1 f ( z )
Интеграл
dz называется логарифмическим вычетом функции f (z); преды2i C f ( z )
дущая формула используется при подсчете числа нулей функции f (z) внутри области, ограниченной контуром С, что необходимо при исследовании устойчивости различных технических систем.
13.10. Теорема Руше
В случае, когда вычисление логарифмического вычета функции f (z) затруднительно
(что чаще всего и бывает), часто полезной оказывается так называемая теорема Руше.
Теорема. Пусть внутри контура  функции f (z) и (z) являются аналитическими, и на
самом контуре  имеет место условие | f ( z) | | ( z) | . Тогда в области, ограниченной контуром , число нулей функции F ( z )  f ( z )  ( z ) равно числу нулей функции (z ) .
Доказательство. Обозначим через NF число нулей функции F(z) и через Nf число нулей функции f (z) внутри контура . Тогда имеем следующую цепочку преобразований:
1 F ( z )
1
ln F ( z )dz 
NF 
dz 


2i  F ( z )
2i 

 ( z ) 
1
1 

 dz 
ln( f ( z)  ( z)) dz   ln f ( z)  ln 1 

2i 
2i  
f
(
z
)




1 f ( z )
1   ( z ) 
1   ( z ) 
 dz  N f 
 dz .

dz 
ln 1 
ln 1 
2i  f ( z )
2i   
f ( z ) 
2i   
f ( z ) 
Разберемся теперь с последним интегралом. Сделаем в нем замену переменных
( z )
1
 w.
f ( z)
Тогда

  ( z ) 
wdz dw
  (ln w)dz 

ln 1 
f ( z ) 
w
w
 
и

1   ( z ) 
1 dw
 dz 
.
ln 1 

2i   
f ( z ) 
2i w w
Главным является то, что при замене переменных контур  также меняется  он
превращается в контур w на плоскости w. Как же выглядит контур w?
10
На контуре  выполнено условие | f ( z) | | ( z) | , то есть
v
( z )
1.
f ( z) 
1
u
1
Особая точка
функции 1/w

w
Поэтому на контуре w, с учетом
( z )
того, что 1 
 w , выполнено
f ( z)
условие | w  1 | 1 . Таким образом,
контур w лежит целиком внутри
окружности радиуса 1 с центром в
точке 1 (см. рис. 13.7).
Рис. 13.7
dw
Но в интеграле 
единственная возможная особая точка  это точка w = 0. Получаw
w
ется, что контур w не охватывает этой особой точки, откуда следует, что
dw
=0. Поэтому
w
w

NF = Nf., что и требовалось доказать. 
13.11. Преобразование Лапласа
Преобразование Лапласа является одним из самых мощных инструментов для решения
очень многих прикладных задач теории управления, теории массового обслуживания и т.д.
Часто задача считается решенной, если получено преобразование Лапласа от искомой функции.
Рассмотрим функцию f (x ) вещественной переменной х. Будем считать, что на эту
функцию наложены следующие ограничения:
1. f (x ) =0 при х  0;
2. Существуют такие постоянные М и s0 , что x  0
| f ( x) | Me s0 x . Константа s0
называется показателем роста функции f (x ) .
Преобразованием Лапласа от функции f (x ) называется функция

F ( p)   f ( x)e  px dx
0
от комплексной переменной p  s  i . Саму функцию f (x ) часто называют оригиналом, а
функцию F ( p )  ее изображением.
Теорема. Изображение F ( p ) определено в полуплоскости Re p  s  s0 и является в
этой полуплоскости аналитической функцией.
Доказательство. Пусть Re p  s  s0 . Тогда


0


0
0
f ( x)e  px dx   | f ( x) | e  sx dx  M  e ( s  s0 ) x dx 
так что интеграл, определяющий F ( p ) существует при s  s0 .
Дифференцируя F ( p ) по р, получим

F ( p)    xf ( x)e  px dx .
0
Этот интеграл также существует, так как
11
M
  ,
s  s0



0
0
0
( s  s ) x
 px
 sx
 xf ( x)e dx   x f ( x) e dx  M  xe 0 dx 
M
  . 
( s  s0 ) 2
Самым принципиальным является то, что не только f (x ) однозначно определяет F ( p ) ,
но и наоборот, F ( p ) однозначно определяет f (x ) . Между оригиналом f (x ) и его изображением F ( p ) существует, таким образом, взаимно-однозначное соответствие f ( x)  F ( p ) .
Это соответствие дается так называемой формулой обращения, или формулой Меллина.
Теорема. Если
1. F ( p ) аналитична в полуплоскости Re p  s0 ;
2. стремится к нулю при |p| равномерно относительно arg p;
a  i
3. Интеграл
 F ( p)dp сходится абсолютно при a > s0,
a 
то F ( p ) является изображением функции
a  i
1
(5)
F ( p)e px dp .
2i a i
Эта формула и называется формулой обращения или формулой Меллина
Заметим еще, что пределы интегриIm p
рования (a  i, a  i) означают, что интегрирование идет по бесконечной прямой, параллельной оси Im p и пересекающей ось Re p и точке а (см. рис. 13.8).
Фактически это означает, что р = а +i,
где а  константа, а   переменная интеRe p грирования. Тогда dp = id, и формула
обращения (5) может быть явно записана
a
s0
Re p0
в виде

1
f ( x) 
F (a  i)e ( a i ) x d .

2  
f ( x) 
Рис. 13.8
Доказательство.
Возьмем р0 с Re p0  a и найдем изображение функции f (x ) , даваемой формулой (5).
Имеем
А) Переставляя местами интегралы, получим


a  i
a  i

   ( p0  p ) x 
1
1
 p0 x
 p0 x 
px


dx  .
0 f ( x)e dx  2i 0 e  aiF ( p)e dp   2i aiF ( p)dp 0 e

Б) Внутренний интеграл легко вычисляется

e
( p0  p ) x
0
e  ( p0  p ) x
dx  
p0  p


0
1
1
,

p0  p
p  p0
так как
lim e( p0  p ) x  lim e(Re p0 a ) x  ei (Im p0 ) x  0 ,
x
x
потому что Re p0  a и первый сомножитель стремиться к нулю, а e  i (Im p0  ) x  1 .
Итак
12

a i
1
F ( p)
(6)
dp .
0

2i a i p  p0
В) Рассмотрим далее контур интегрирования, изображенный на рис. 13.9 и состоящий
Из куска прямой из нашей прямой интеIm p
грирования и части окружности радиуса
R с центром в начале координат. Тогда,
по ограничениям теоремы,
max | F ( p) | aR
C
f ( x)e  p0 x dx  
pCR
R
R
и aR0 при R+. Так как
| p  p0 || p |  | p0 | R | p0 | ,
1
1

,
| p  p0 | R  | p0 |
то
Re p
s0
a

F ( p)
 p p
CR
Рис. 13.9
Поэтому, по формуле Коши,

 f ( x )e
 p0 x
dp 
0
aR
R R
 0

R  | p0 |
1
F ( p)
dp  F ( p0 ) ,

R  2i
p  p0

dx  lim
0
где учтено, что при движении по контуру  отрезок нашей прямой интегрирования проходится направлении, обратном тому, которое указано в (6). Таким образом, f (x ) имеет изображение F ( p ) и F ( p ) определяет f (x ) однозначно. 
Замечание. Формула обращения редко является рабочей формулой для вычисления
оригинала f (x ) по изображению F ( p ) . Обычно для этой цели пользуются специальными
таблицами и свойствами преобразования Лапласа. Значение ее в другом  в том, что изображение F ( p ) однозначно определяет оригинал f (x ) .
13.12. Свойства преобразования Лапласа
Прежде всего рассмотрим два примера нахождения преобразования Лапласа.
Пример 1. Пусть f ( x)  x n . Тогда

 f ( x)e
 px

dx   x e
0
n  px
0

1
n!
dx  n1  y n e  y dy  n1 ,
p 0
p
где сделана замена переменных y  px .
Пример 2. Пусть f ( x)  e  ax . Тогда



1
.
pa
0
0
0
А теперь перейдем к изучению свойств преобразования Лапласа, обеспечивших ему
популярность. В дальнейшем F ( p ) и G ( p ) будут преобразованиями Лапласа от функций
f (x ) и g (x ) соответственно.
1. Линейность.
f ( x )   g ( x )  F ( p )   G ( p ) .
Действительно
 f ( x)e

 px
 (f ( x)  g ( x))e
0
dx   e e
 px
 ax  px
dx   e _( p  a ) x dx 


0
0
dx    f ( x)dx   g ( x)dx  F ( p)  G( p) .
Пример 3.
13
1 x x
1 1
1 

  2
,
e e
 

2i
2i  p  i p  i  p  2
1
1 1
1 
p
  2
.
cos x  e x  e x  

2
2  p  i p  i  p  2
2. Теорема подобия.
1  p
f (x )  F   .
 
Имеем


p
 y
1
1  p
 px

f (x)   f (x)e dx   f ( y)e dy  F   ,
0
 
0
sin x 




где в интеграле сделана замена переменных х = у.
3. Дифференцирование оригинала.
f ( n ) ( x)  p n F ( p)  p n1 f (0)  p n2 f (0)  ...  f ( n1) (0) .
Доказательство.


f ( x)   f ( x)e  px dx   e  px df ( x) 
0
0


 f ( x)e  px  p  f ( x)e  px dx  pF ( p)  f (0) ;
0
0
Аналогично


0
0
f ( x)   f ( x)e  px dx   e  px df ( x) 


 f ( x)e  px  p  f ( x)e  px dx  p 2 F ( p)  pf (0)  f (0) ,
0
0
где учтено выражение для изображения f (x ) . Общую формулу можно вывести по индукции.
Именно это свойство и обеспечило такую популярность преобразованию Лапласа: оно
операцию дифференцирования оригинала f (x ) заменяет операцией умножения изображения на р. Это, конечно, сильно упрощает решение задач, где есть производные.
4. Дифференцирование изображения.
F ( n ) ( p)  (1) n x n f ( x) .
Действительно, дифференцируя по р выражение

F ( p)   f ( x)e  px dx
0
получим:

F ( p)   xf ( x)e  px dx  (1) xf ( x) ,
0

F ( p)   x 2 f ( x)e  px dx  (1) 2 x 2 f ( x)
0
и так далее.
5. Интегрирование оригинала.
x
 f (t )dt 
0
Действительно, пусть
14
F ( p)
.
p
x
 f (t )dt  G( p) .
0
Используя свойство 3, получим

x

f ( x)    f (t )dt   pG ( p)  0  F ( p) ,
0

откуда и следует, что G( p)  F ( p) p .
Наряду со свойством 3, это свойство является основным для приложений преобразования Лапласа, так как оно заменяет сложную операцию интегрирования оригинала операцией
деления изображения на р, что, очевидно, гораздо проще.
5. Интегрирование изображения.

f ( x)
  F(~
p )d~
p,
x
p
где интегрирование идет по пути, изображенному на рис. 13.10, где Re p  a  s0 .
~
Im p
p
~
Re p
s0
a
Рис. 13.10
Имеем


p
p



0
0
p
~
px
~
px
 F ( ~p)d~p   d~p  f ( x)e dx   f ( x)dx  e d~p 


0
f ( x)  px
f ( x)
.
e dx 
x
x
7. Теорема запаздывания.
f ( x  )  e p F ( p) .
Заметим, что, так как f ( x)  0 при х  0, то f ( x  )  0 при х  . А теперь имеем

f ( x  )   f ( x  )e
 px

dx   f ( x  )e  px dx 

0


0
0
  f ( y)e  py p dy  e  p  f ( y)e  py dy  e  p F ( y) ,
где сделана замена переменных х   = у.
8. Теорема смещения.
e p 0 x f ( x )  F ( p  p0 ) .
Имеем
15


0
0
e p0 x f ( x)   e p0 x f ( x)e  px dx   f ( x)e ( p  p0 ) x dx  F ( p  p0 ) .
Пример 4.

,
( p   ) 2  2
p
.
e x cos x 
( p  ) 2  2
e x sin x 
9. Теорема умножения.
x
F ( p)G( p)   f ( y)g ( x  y)dy .
0
Заметим, что написанный выше интеграл называется сверткой функций f (x ) и g (x ) и
часто обозначается f (x )  g (x ) . Эта операция очень часто встречается в теории вероятностей, где показывается, что плотность вероятностей суммы двух независимых случайных величин есть свертка плотностей вероятностей слагаемых.
Доказательство.
Имеем
x

0
0
 f ( y)g ( x  y)dy   e
 px
x
dx  f ( y)g ( x  y)dy
0
Переставим местами интегралы в двойном интеграле используя методику, изложению в п. 11.8. Во внутреннем интеграле стоят
пределы интегрирования от 0 до х. Поэтому
область интегрирования ограничена прямыми
у = 0 и у = х (см. рис. 13.11). Проектируя эту
область на ось OY получаем, что у меняется в
пределах от 0 до . Беря какое-то значение у и
проводя прямую, параллельную оси ОХ, получим, что при фиксированном у переменная х
меняется в пределах от у до . Поэтому
y
=
x
y
y
Сечение
Область интегрирования
x
x
Рис. 13.11

x
0
0


0
x
 px
 px
 e dx f ( y)g ( x  y)dy   f ( y)dy  g ( x  y)e dx 


0
0
  f ( y)e  py dy  g ( z )e  pz dz  F ( p)G( p) ,
где во внутреннем интеграле сделана замена переменных x  y  z , так что x  y  z .
Это свойство также является одним из важнейших свойств преобразования Лапласа,
так как оно позволяет заменить операцию вычисления свертки двух функций операцией перемножения их изображений.
10. Предельные соотношения.
lim pF ( p)  f (0) ; lim pF ( p)  f () .
p
p 0
А) Так как f ( x)  pF ( p)  f (0) , то

 f ( x) e
 px
dx  pF ( p)  f (0) .
0
16
(7)
Пусть существуют числа М и s1 такие, что для любых х | f ( x) | Me s1x . Тогда, если взять р у
которого Re p = s, то



f ( x) e  px dx  M  e ( s  s1 ) x dx 
0
0
M
 0 .
s  s1 s 
Поэтому, переходя в (7) к пределу р, получим
0  lim pF ( p)  f (0) ,
p
откуда и следует, что lim pF ( p)  f (0) .
p
Б) Аналогично, переходя в (7) к пределу р0, получим

 f ( x)dx  f ()  f (0)  lim pF ( p)  f (0) .
p 0
0
Сокращая f (0) получим, что lim pF ( p)  f () .
p 0
13.13. Преобразование Фурье
Кроме преобразования Лапласа, широкое применение находит также еще одно интегральное преобразование, которое носит название преобразования Фурье.
Пусть f (x ) есть функция вещественной переменной х, определенная на всей прямой
х. Основное ограничение, накладываемое на эту функцию, имеет вид

 | f ( x) | dx   ,

то есть эта функция абсолютно интегрируема на всей вещественной оси. Кроме этого, мы
будем требовать, чтобы f ( x )  0 при х. В некоторых случаях будет требоваться также,
чтобы при некоторых п

| x
n
f ( x) | dx   .

Преобразованием Фурье от функции f (x ) называется функция

F () 
 f ( x )e
ix
dx .
(8)

Она существует при любых , так как




f ( x)eix dx   | f ( x) | dx   .

Как и в случае преобразования Лапласа оказывается, что не только F () однозначно
определяется f (x ) , но и наоборот, f (x ) однозначно определяется F () , то есть имеет место
взаимно-однозначное соответствие f (x )  F () .

Теорема. Пусть
 | f ( x) | dx   и
f (x ) непрерывна в точке х. Тогда имеет место фор-

мула

1
F () e ix d ,
(9)
2 
где интеграл понимается в смысле главного значения. Эта формула носит название обратного преобразования Фурье.
Доказательство этой теоремы мы приводить не будем.
f ( x) 
17
Свойства преобразования Фурье
Пусть F ( p ) и G ( p ) будут преобразованиями Фурье от функций f (x ) и g (x ) соответственно, то есть f ( x)  F () , g ( x)  G () .
1. Линейность.
f ( x)  g ( x)  F ()  G () .
Действительно,

 f ( x)  g ( x)e
f ( x )   g ( x ) 
ix
dx 



   f ( x)e dx    g ( x)eix dx  F ()  G () .
i x


2. Формула подобия.
f (x ) 
1  
F  .
 
Имеем


i 
1
1  
f (x)   f (x)e dx   f ( z )e  dz  F   ,
 
 

где в интеграле сделана замена переменных х = z.
3. Теорема о сдвиге.
f ( x  )  ei F () .
Действительно, делая замену переменных х  = z, получим

f ( x  ) 

ix
f ( x  )eix dx 

z

 f ( z )e
i z
 ei dz  ei F () .

4. Формула смещения.
f ( x)eix  F (  ) .
Имеем
f ( x )e
i x


 f ( x )e

ix ix
e dx 

 f ( x)e
i (   ) x
dx  F (  ) .

Следствия.
А) Так как sin x  eix  eix 2i , то
1
1
f ( x) sin x 
f ( x)eix  f ( x)e ix  F (  )  F (  ) .
2i
2i
Б) Так как cos x  eix  e ix 2 , то
1
1
f ( x) cos x  f ( x)eix  f ( x)e ix  F (  )  F (  ) .
2
2
5. Дифференцирование функции.
f ( n ) ( x)  (i) n F () .
Действительно,








f ( x) 



 f ( x)e
ix 


f ( x)eix dx   eix df ( x) 


 i  f ( x)eix dx  (i) F () ,

так как f ( x )  0 при х.
18
Аналогично

f ( x) 



 f ( x)eix


f ( x)eix dx   eix df ( x) 


 i  f ( x)eix dx  (i) 2 F () ,

если f ( x)  0 при х.
Для произвольного п формула легко доказывается по индукции.
6. Дифференцирование преобразования Фурье.

Если
| x
n
f ( x) | dx   , то

x n f ( x)  (i) n F ( n ) () .
Имеем

 f ( x )e
F () 
ix
dx  f ( x) .
(10)

Дифференцируя по , получим

F ()  i  xf ( x)eix dx  (ix ) f ( x) ,


 | xf ( x) | dx   .
и интеграл сходится, если

Дифференцируя еще раз, получим

F ()  i 2  x 2 f ( x)e ix dx  (ix ) 2 f ( x) ,


и интеграл сходится, если
| x
f ( x) | dx   .
2


В общем случае, если
| x
n
f ( x) | dx   , то, дифференцируя (10) п раз, получим

F ( n ) ()  (ix ) n f ( x) ,
x n f ( x)  (i) n F ( n ) () .
7. Свертка функций.
Пусть f (x ) и g (x ) определены для х(, ). Сверткой этих двух функций называется

 f ( y) g ( x  y)dy ,

которая обозначается как f (x )  g (x ) .
Формула имеет вид

 f ( y) g ( x  y)dy  F ()G() .

Действительно,




 f ( y) g ( x  y)dy   e

i x

dx  f ( y ) g ( x  y )dy 

 


  



iy i( x  y )
f ( y ) g ( x  y )dxdy   eiy f ( y )dy  ei( x  y ) g ( x  y )dx 
e e
19




  eiy f ( y )dy  eiz g ( z )dz  F ()G () ,
где в последнем интеграле сделана замена переменных х  у = z.
Обратите внимание на сходство свойств преобразований Лапласа и Фурье.
20