ЛЕКЦИЯ 12. СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ. ПОВТОРЕНИЕ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ. §1. Формула полной вероятности. Следствием обеих основных теорем - теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей - является так называемая формула полной вероятности. Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий B1, B2, B3, …, Bn-1, Bn, образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами. Докажем что, в этом случае , (1.4) Эту формулу называет формулой полной вероятности. Доказательство. Появление события A означает осуществление одного из несовместных событий В1A, или B2A или, ... , или BnA , то есть А=B1A+B2A+…+BnA Так как В1,B2,…,Bn несовместные, то и комбинации В1A, B2A,…, BnA также несовместны; применяя к ним теорему сложения, имеем P(A)=P(В1A+B2A+BnA)=P(В1A)+P(B2A)+P(BnA). Для каждого слагаемого применяя теорему умножения P(В1A)=P(B1)PB1(A), … P(ВnA)=P(Bn)PBn(A) получим доказываемую формулу. Пример. Имеются три одинаковые на вид урны; в первой урне - 2 белых и 1 черный; во второй - 3 белых и 1 черный; в третьей - 2 белых и 2 черных. Наугад выбираем одну из урн и вынимается из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый. Рассмотрим гипотезы: В1 - выбор 1-ой урны; В2 - выбор 2-ой.урны; В3 - выбор 3-ой урны, и A - появление белого шара. По условию задачи, гипотезы (события) равновозможны, то Условные вероятности события А при этих гипотезах По формуле полной вероятности §2. Формула Бейеса Следствием теорема умножения и формулы полной вероятности является так называемая формула Бейеса (теорема гипотез). Если событие A может произойти только вместе с одним из событий В1, В2, Вn , образующих полную группу несовместных событий, а вероятности этих событий P(Вi) и известны ( i=1,2,…,n), то условная вероятность каждой гипотезы Вk при условии, что событие A наступило, равна По теореме умножения вероятностей: Пример. Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания 1-го стрелка 0,8 для второго 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку. Решение. До опыта возможны следующие гипотезы : В1 - ни первый, ни второй стрелок не попадает В2 - оба стрелка попадут В3 - 1-ый попадает, а 2-ой не попадает В4 - 1-ый не попадает, а 2-ой попадает P(В1)=0,2*0,6=0,12, P(В2)=0,8*0,4=0,32, P(В3)=0,8*0,6=0,48, P(В4)=0,2*0,4=0,08. A - обнаружена одна пробоина. После опыта гипотезы В1 н В2 становятся невозможными, а вероятности В3 и В4 будут равны : §3. Повторение испытаний. Формула Бернулли. Если производится несколько испытаний, причем вероятность события A в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события A. Если вероятность p наступления события A в каждом из n независимых испытаний постоянна, то вероятность того, что в n испытаниях событие A наступит К раз, равна Pn ( k ) C nk p k q n k где (1.6) n! - число сочетаний из n элементов по k. ( n k )! k ! Производится n независимых испытаний, в каждом из которых может появиться или не С nk появиться некоторое событие А, вероятность появления события в каждом испытании Р(A) = р , а вероятность непоявления этого события . Требуется найти вероятность Рn(k) того, что событие А появиться в n опытах равно к раз. Это событие можно осуществить различными способами. Будем обозначать Ai появление события A в i-ом опыте; - непоявлення события A в i-ом опыте. Разложим событие Bk на сумму произведений событий, состоящих в появлении или непоявлении события A в отдельном i-ом опыте (i=1,2,…,n). Очевидно, каждый вариант появления события Вk (каждый член суммы) должен состоять из k появлений события А и n-k непоявлений, то есть из k событий A и n-k событий различными индексами. Таким образом с причем в каждое произведение событие A должно входить k раз , а должно входить n-k раз. Вероятность каждой комбинации (каждого слагаемого), по теореме умножения для независимых событий, равна рkqn-k . Так как комбинации (слагаемые) между собой несовместны то, по теореме сложения, вероятность события Bk. Пример. Пусть всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех; n=4, k=3, p=0,9, q=0,1 а) б) P4(или 3, или 4)=P4(3)+P4(4)=0,2916+0,94=0,9477 §4. Наивероятнейшее число наступлений события при повторении испытаний Число k0 наступлений события A в n независимых испытаниях называют наивероятнейшим, если вероятность того, что событие А наступит в этих испытаниях k0 раз, превышает или по крайней мере, не меньше вероятности остальных возможных исходов испытаний. Пример. Найти наивероятнейшее число наступлений события A в десяти испытаниях, если вероятность появления A в каждом испытании р= 2/3 ; Решение. Пользуясь формулой Бернулли , , , , , , , , Вероятность того, что событие A в десяти испытаниях наступит ровно 7 раз больше, чем вероятности других исходов испытаний; наивероятнейшее число k0 = 7. Отыскание наивероятнейшего числа k0 путем многократного применения формулы Бернулли требует довольно утомительных выкладок. Поэтому мы будем пользоваться неравенством, из которого определяется k0 : (1.7) Это двойное неравенство и служит для определения наивероятнейшего числа Пример. Определить наиболее вероятное число пораженных самолетов в группе из 13 бомбардировщиков, если самолеты поражаются независимо друг от друга и вероятность поражения одного самолета равна 4/7. , , , Это означает, что имеются два значения, каждое из которых является наиболее вероятным числом пораженных самолетов. Замечание. Если np - q целое число, то двойное неравенство определяет два значения наивероятнейшего числа. Так как (np+p)-(np-q)=p+q=1, правая часть на 1 больше. §5. Локальная и интегральная теоремы Лапласа Легко видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших n весьма затруднительно. Например, если n=50, k=30, p=0,1 Локальная теорема Лапласа дает асимптотическую формулу, которая позволяет приблизительно найти Рn(к), если число испытаний достаточно велико. Функцию ( х ) называет асимптотическим приближением функции f(x), f(x) lim 1 если x ( x ) 1 Для p асимптотическая формула была найдена в 1730 году Муавром; в 1783 г. 2 Лаплас обобщил формулу Муавра для произвольного p , отличного от 0 и 1 . Поэтому следующую теорему иногда называют теоремой Муавра-Лапласа. Локальная теорема Лапласа. Если вероятность р наступления события A в каждом из n независимых испытаний постоянна, причем, p 0 и p 1 , а число испытаний достаточно велико, то , , (1.8) Таблица значений ( х ) приведена в приложении, причем, лишь для x > 0, так как ( х ) = ( х ) . Для x>5 следует считать ( х ) =0. Пример. Вероятность рождения мальчика 0,515. Найти вероятность того, что из 200 родившихся детей мальчиков и девочек будут поровну. n=200, p = 0,515, k=100, q = 0,485 Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность наступления некоторого события в каждом испытаний постоянна, причем , а число испытаний n достаточно велико, то вероятность того, что это событие появится в n испытаниях от a до b раз включительно, приближенно равна , (1.9) где , , а функция Ф(x)определяется равенством Функцию Ф(x) называют функцией Лапласа или интегралом вероятностей. Таблица значений Ф(x) дается в конце учебника. В таблице даны значения функции для положительных значений х и для x=0 , для х<О пользуются той же таблицей, так как 1. Ф(-x)= -Ф(x), то есть функция нечетная 2. Ф(0)=0 3. Ф(x) монотонно возрастающая. Уже при х=5, ( 5 ) 0 ,5 . Поэтому для всех x>5 принимается, что ( 5 ) 0 ,5 4. ( ) 0 ,5 . Пример. Найти вероятность того, что среди 1000 новорожденных мальчиков от 465 до555 включительно. Для упрощения расчетов принять, что вероятность рождения мальчика равна 0,5. a=465, b=555, n=1000, p=q=0,5. , , §6. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях. Вычислим вероятность того, что при n независимых испытаниях относительная частота наступления события отклонится от его вероятности р наступления события в каждом испытании менее, чем на ε. Неравенство запишем в виде или, умножая на n>0 и прибавляя nр ко всем частям, получим Применяя интегральную теорему Лапласа, находим Таким образом, (1.10) При то есть , , Как видим, для любого сколько угодно малого ε>0, но при достаточно большом n событие, состоящее в том, что относительная частота отклонится от вероятности появления события меньше, чем на ε, является практически достоверным событием. Здесь еще раз прослеживается связь классического и статистического определений вероятности.