Многочлены - Новосибирский государственный университет

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР
Математика
8 класс
Многочлены
Новосибирск
Многочлены.
Рациональными называются выражения, составленные из чисел и
переменных с помощью знаков арифметических действий
(сложения, вычитания, умножения, деления).
Рациональное выражение называется целым, если оно не содержит
деления на выражение с переменными.
Примерами целых рациональных выражений являются одночлены
и многочлены.
Одночленами называют числа, произведения чисел, произведения
чисел и натуральных степеней переменных.
Для приведения одночлена к стандартному виду перемножают все
входящие в одночлен числовые множители, а произведения
одинаковых переменных заменяют степенью этой переменной.
Числовой множитель называют коэффициентом одночлена, а
сумму показателей степеней переменных степенью одночлена.
Многочленом называют алгебраическую сумму одночленов.
Говорят, что многочлен приведен к стандартному виду, если
каждый его член является одночленом стандартного вида и
приведены все подобные члены.
Степенью многочлена называют наибольшую из степеней
одночленов, составляющих многочлен после приведения его к
стандартному виду.
Например, стандартным видом многочлена
1
3a 2 x 2 xy a 2 x 6 x y является многочлен 2a 2 x xy , его
2
степень равна 3.
Сумма разность и произведение многочленов так же являются
многочленами.
Основной задачей теории многочленов является разложение
многочлена на множители.
Преобразование многочлена в произведение двух или нескольких
многочленов (среди которых могут быть и одночлены) называется
разложением многочлена на множители.
2
Задача разложения на множители считается решенной до конца,
если ни один из сомножителей, полученных в результате
преобразования, не допускает дальнейшего разложения.
Способы разложения многочлена на множители.
1.
2.
3.
4.
Вынесение общего множителя за скобки.
Использование формул сокращенного умножения.
Способ группировки.
Комбинирование методов разложения на множители.
Рассмотрим подробно каждый из этих способов.
1. Вынесение общего множителя за скобки(ВОМ).
Этот способ заключается в том, что каждый член многочлена
представляют в виде произведения, в котором один из
множителей является общим(одинаковым для всех одночленов).
Именно его и выносят за скобки на основе распределительного
закона умножения: ac bc c(a b) .
Приведем примеры.
Задача 1.
Разложить на множители:
а) 10a 2 b 3c 5 45a 3b 2 c 3 15a 3bc 4 ;
б) ( y 1) ( y 2) ( y 3) ( y 2) ( y 4) (2 y )
( y 10) ( y 2) .
Решение.
а) 10a 2 b 3c 5 45a 3b 2 c 3 15a 3bc 4 5a 2 bc 3 (2b 2 c 2 9ab 3ac) ;
б) Нетрудно заметить, что все произведения, входящие в сумму,
содержат общий множитель ( y 2) . Вынесем этот общий
двучлен и выполним преобразования:
( y 1) ( y 2) ( y 3) ( y 2) ( y 4) (2 y )
( y 10) ( y 2) ( y 2)(( y 1) ( y 3) ( y 4) ( y 10))
( y 2)( y 1 y 3 y 4 y 10)
( y 2) 2 2( y 2) .
Ответ: а) 5a 2 bc 3 (2b 2 c 2 9ab 3ac ) ; б) 2( y 2) .
3
Вынесение общего множителя за скобки зачастую облегчает
поиск рационального способа решения многих задач. Приведем
пример.
Задача 2.
Найдите значение выражения x 2 2 x при x 998 .
Решение.
Если начать с подстановки, то дальнейшие вычисления
( 9982 2 998 ) являются трудоемким процессом. Если же
начать с вынесения общего множителя за скобки, то получим
«красивое» решение:
x 2 2 x x( x 2) 998(998 2) 998 1000 998000 .
Ответ: 998000.
2. Формулы сокращенного умножения (ФСУ).
Для того, чтобы применять ФСУ к разложению многочленов на
множители, надо уметь читать эти формулы не только слева
направо, но и справа налево. Например: если
(a b) 2 a 2 2ab b 2 , то и a 2 2ab b 2 (a b) 2 .
Напомним ФСУ(записанные справа налево):
1) a 2 2ab b 2 (a b) 2 ,
2) a 2 2ab b 2 ( a b) 2 ,
3) a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 (a b) 3 ,
4) a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 (a b) 3 ,
5) a 2 b 2 (a b)( a b) ,
6) a 3 b 3 (a b)( a 2 ab b 2 ) ,
7) a 3 b 3 (a b)(a 2 ab b 2 ) .
Доказательство этих формул не представляет особого труда
(достаточно раскрыть скобки в правой части данных равенств).
Прежде чем разложить многочлен на множители, его пытаются
преобразовать так, чтобы можно было использовать одну из
этих формул.
Рассмотрим подробно тождественное преобразование, которое
называется выделением квадрата суммы (разности).
4
Задача 3.
В многочлене 9 x 2 4 xy 4 y 2 выделить:
а)квадрат разности, содержащий первый и третий одночлены
б)квадрат суммы, содержащий первый и второй одночлены.
Решение.
а)Очевидно, что 9 x 2 (3x ) 2 - квадрат первого члена в искомом
квадрате разности, а
4 y 2 (2 y ) 2 - квадрат второго члена. Недостающим слагаемым
является удвоенное произведение этих членов, т.е.
2 3x 2 y 12 xy . Отнимем его и прибавим в исходном
многочлене и «свернем» квадрат разности по формуле:
9 x 2 4 xy 4 y 2 (9 x 2 12 xy 4 y 2 ) 12 xy 4 xy
(3x 2 y ) 2 16 xy .
б) Ясно, что одночлен 4 xy выступает в роли удвоенного
произведения, значит, нашу проблему в задаче можно
обозначить так:
9 x 2 4 xy 4 y 2 ((3x ) 2 2 3x m m 2 ) m 2 4 y 2 .
4 xy 2 y
Найдем m . Так как 4 xy 2 3x m , то m
.
6x
3
Прибавим и отнимем недостающий в многочлене квадрат
второго члена и упростим выражение.
Получим:
9x2
3x
4 xy
2y
3
4 y2
2
(3x ) 2
2 3x
2y
3
2y
3
2
2y
3
32 2
y .
9
Ответ: а) (3x 2 y ) 2 16 xy ; б) 3x
2y
3
2
32 2
y .
9
Задача 4. Выделить квадрат суммы в многочлене:
4 x 2 8x 8
5
2
4 y2
Решение.
4 x 2 8x 8
4 x 1
Ответ:
2
4 x2
3
4x 1
2
4x 1
4 x2
2x 2
2
2x 1 1 2
12 .
12
Задача 5.
Разложите на множители многочлен: а) x 2
3
; б) a 4
4
x
4;
Решение.
а) x
2
3
4
x
1
x
2
1
x
2
б) a 4
a2
a2
x
1
2 x
2
2
2
1
x
1
2
1
x
1
2
(a 2 ) 2
4
1
2
2
1
2
2
3
4
2
12
1
x
2 a 2 2 22
1
2
4a 2
3
.
2
x
a2
2
2
4a 2
2
(2a) 2 a 2 2 2a a 2 2 2a
2 a 2 2a 2 .
1
3
x
Ответ: а) x
; б) a 2 2a 2 a 2
2
2
2
2a
2a
2 .
Выделение полного куба суммы (разности) осуществляется
аналогично, но немного сложнее. Разберем это преобразование
на конкретном примере.
Задача 6.
Выделить куб суммы в многочлене: x 3 8 x 2 y 6 xy 2 8 y 3 .
Решение.
В данном многочлене есть слагаемые, которые являются
кубами:
3
куб первого члена - x 3 , куб второго члена - 8 y 3 2 y .
6
Тогда для полного куба суммы необходимо иметь два
утроенных произведения (утроенное произведение квадрата
первого члена на второй и утроенное произведение первого
члена на квадрат второго): 3 x 2 2 y и 3 x ( 2 y ) 2 , т.е. 6 x 2 y и
12xy 2 .
Прибавим и отнимем в данном многочлене недостающие
утроенные произведения, после чего «свернем» куб суммы по
формуле и приведем подобные слагаемые за скобками.
Получим: x 3 8 x 2 y 6 xy 2 8 y 3 ( x 3 8 y 3 ) 8 x 2 y 6 xy 2
( x 3 6 x 2 y 12 xy 2 8 y 3 ) 6 x 2 y 12 xy 2 8 x 2 y 6 xy 2
( x 2 y ) 3 2 x 2 y 18 xy 2 .
Ответ: ( x 2 y ) 3 2 x 2 y 18 xy 2 .
Выделение других ФСУ особого труда не представляет.
3. Способ группировки.
Суть этого способа заключается в следующем: в данном
многочлене надо объединить в группы(сгруппировать) те
члены, которые имеют общие множители, и вынести за скобки
общий множитель каждой группы; если после этого у всех
получившихся групп окажется общий множитель в виде
многочлена, то его выносят за скобки.
Рассмотрим это преобразование на конкретных примерах.
Задача 7.
Разложите на множители многочлен: а) 5ab b 2 5a 2 ab ;
б) 12a 2 y 2 6ayc 3ac 2 6a 2 yc c 2ay ; в) x 2 xy 2 y 2 .
Решение.
a) Объединим первый и третий члены в одну группу, а
остальные – в другую. Выполняем преобразования так:
5ab b 2 5a 2 ab (5ab 5a 2 ) (b 2 ab)
5a (b a ) b(b a ) (b a )(5a b) .
7
После вынесения общих множителей ( 5a из первой группы
и b из второй), обнаруживаем общий множитель (b a ) ,
вынесение за скобки которого и завершает разложение.
б) 1 способ.
Объединим попарно слагаемые в три группы и применим
способ группировки:
12a 2 y 2 6ayc 3ac 2 6a 2 yc c 2ay
(12a 2 y 2 6ayc ) (3ac 2 6a 2 yc) ( c 2ay )
6ay (2ay c) 3ac(2ay c) 1(2ay c)
(2ay c)(6ay 3ac 1) .
2 способ.
Разложение можно выполнить этим же способом
группировки, но сгруппировать члены по другому: разбить
данный шестичлен на две группы по три слагаемых (для
отбора слагаемых в группы в качестве подсказки выступают
коэффициенты).
12a 2 y 2 6ayc 3ac 2 6a 2 yc c 2ay
(12a 2 y 2 6a 2 yc 2ay ) ( 6ayc 3ac 2 c)
2ay (6ay 3ac 1) c(6ac 3ac 1)
(6ay 3ac 1)(2ay c) .
в) Очевидно, что сразу применить способ группировки
невозможно хотя бы потому, что количество слагаемых
нечетно. Попробуем преобразовать этот многочлен так,
чтобы получить четырехчлен. Оказывается, что это можно
сделать далеко не единственным способом:
1 способ (распишем 2 y 2 в виде y 2 y 2 ).
x 2 xy 2 y 2 x 2 xy y 2 y 2 ( x 2 y 2 ) ( xy y 2 )
( x y )( x y ) y ( x y ) ( x y )( x 2 y ) .
2 способ (используем метод «прибавить - вычесть»: xy ).
x 2 xy 2 y 2 x 2 xy xy xy 2 y 2
( x 2 2 xy ) ( xy 2 y 2 )
x( x 2 y ) y ( x 2 y ) ( x 2 y )( x y ) .
3способ (  2 y 2 ).
8
x2
xy
2 y2
x2
xy
2 y2
2 y2
2 y2
( x 2 4 y 2 ) ( xy 2 y 2 ) ( x 2 y )( x 2 y )
( x 2 y )( x 2 y y ) ( x 2 y )( x y ) .
y( x 2 y )
4способ ( x 2 ).
x 2 xy 2 y 2 x 2 x 2 x 2 xy 2 y 2 (2 x 2 2 y 2 ) ( x 2
2( x y )( x y ) x( x y ) ( x y )( x 2 y ) .
Ответ: а) (b a )(5a b) ; б) (6ay 3ac 1)(2ay c) ;
в) ( x 2 y )( x y ) .
4. Комбинирование методов разложения на множители.
В более сложных случаях разложение многочлена на
множители приходится осуществлять в несколько приемов.
Общего алгоритма разложения на множители нет, однако
можно рекомендовать придерживаться того же порядка, в
котором было построено наше объяснение.
Приведем несколько примеров.
Задача 8. Разложите на множители многочлен: а) x 6 1 ;
б) 8abc 3 3a 2 b 2 c 15a 3b 3 40a 2 b 2 c 2 ; в) 25 x 4 x 2 1 .
Решение.
2
а) x 6 1 x 3
12 x 3 1 x 3 1
x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 .
Разложение можно выполнить другим способом:
x6 1
x2
3
13
2 2
x2 1 x4
2
x2
1
2
x 1 x 1 x4
2
x2
2
1
2
x 1 x 1 ( x ) 2x
x 1 ( x 1)( x 1) x 1
x
2
2
x 1 x 1 x
x 1 x
x 1.
Замечание. После применения формулы разности кубов исходный
многочлен уже разложен на множители: x 1 x 1 x 4 x 2 1 .
Однако разложение нельзя считать законченным, т.к. x 4 x 2 1
раскладывается на множители, что мы и сделали.
Следовательно, любой многочлен выше первой степени надо
попытаться разложить на множители.
9
xy )
б) 8abc 3 3a 2 b 2 c 15a 3b 3 40a 2 b 2 c 2
ab(8c 3 3abc 15a 2 b 2 40abc 2 )
ab((8c 3 40abc 2 ) (3abc 15a 2 b 2 ))
ab(8c 2 ( c 5ab) 3ab( c 5ab))
ab(c 5ab)(8c 2 3ab) ;
в) 25x 4
5x 2
Ответ: а) x
б) ab(c
в) 5 x 2
2
x 2 1 5x 2
10 x 2 1 9 x 2
3x 1 5 x 2 3x 1 .
1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 ;
5ab)(8c 2 3ab) ;
3x 1 5 x 2 3x 1 .
5x 2 1
2
( 3x ) 2
Многочлен n–ой степени и его корни.
Многочленом степени n от переменной x называется выражение
вида a0 x n a1 x n 1 a2 x n 2 ... an 2 x 2 an 1 x an (1), где a 0 , a1 , …,
a n - некоторые числа, называемые коэффициентами многочлена, а
x - переменная, причем a0 0 . Запись вида (1) называется
канонической. В ней приведены подобные среди одночленов и все
одночлены расположены в порядке убывания степеней переменной
x . Коэффициент a n в выражении (1) называется свободным
членом. Слагаемое a0 x n называется старшим членом многочлена.
Для сокращения записи часто используют функциональную
символику для обозначения многочленов, например, многочлен (1)
обозначим символом f ( x ) :
f ( x) a0 x n a1 x n 1 a2 x n 2 ... an 2 x 2 an 1 x an .
Очевидно, что при x 0 многочлен (1) принимает значение,
равное a n , т.е. f (0) a n . Таким образом, значение произвольного
многочлена при x 0 равно свободному члену этого многочлена.
При x 1 многочлен (1) принимает значение
f (1) a0 a1 a2 ... a n 2 a n 1 an . Таким образом, значение
произвольного многочлена при x 1 равно сумме всех
10
коэффициентов этого многочлена. Эти два замечания часто
используются при решении задач.
Многочленами называются не только выражения вида (1), но и
выражения, приводимые к этому виду с помощью раскрытия
скобок, приведения подобных членов, перестановки слагаемых.
Например, алгебраическое выражение 3 ( x 2 2)( x 2 5) есть
многочлен. После выполнения тождественных преобразований он
легко приводится к виду x 4 3x 2 7 или к канонической форме
записи: x 4 0 x 3 3x 2 0 x 7 .
Рассмотрим операцию деления многочленов.
Определение. Разделить многочлен f ( x ) на многочлен g (x ) с
остатком означает, найти такие многочлены p ( x ) и r (x ) , что
f ( x ) g ( x ) p( x ) r ( x ) , где r (x ) либо равен нулю, либо имеет
меньшую степень, чем многочлен g (x ) . f ( x ) называется делимым,
g (x ) - делителем, p ( x ) - неполным частным и r (x ) - остатком от
деления f ( x ) на g (x ) .
В курсе математики доказывается теорема о том, что деление
многочлена f ( x ) на многочлен g (x ) с остатком всегда выполнимо
(при g (x ) 0 ), причем многочлены p ( x ) и r (x ) определяются
однозначно.
В данной теме мы будем рассматривать деление без остатка. Итак,
если r (x ) 0 , то f ( x ) g ( x ) p( x ) и тогда говорят, что f ( x )
делится на g (x ) . Например, равенство x 3 1 ( x 1)( x 2 x 1)
показывает, что многочлен f ( x ) x 3 1 делится на многочлен
g ( x ) x 1 и в частном получается многочлен p( x ) x 2 x 1 .
Запись f ( x ) g ( x ) p( x ) означает, что многочлен разложен на
множители.
Деление многочлена на многочлен можно выполнять
«уголком»(аналогично делению чисел). Покажем это на примере
деления многочлена x 4 6 x 3 17 x 2 32 x 12 на многочлен
x 2 8 x 4 . Делим старший член делимого на старший член
делителя, т.е. x 4 на x 2 , получаем x 2 и записываем в начале
частного. Затем умножаем его на делитель и записываем результат
11
по степеням под делимым. Вычитаем и результат записываем под
горизонтальной чертой.
x 4 6 x 3 17 x 2 32 x 12 | x 2 8 x 4
x4
8x 3
4x2
x2
2 x 3 13x 2
(Обратите внимание: 17 x 2 ( 4 x 2 )
13x 2 ).
Далее приписываем(сносим) следующий одночлен делимого, т.е.
32 x , и продолжаем деление. Делим 2x 3 на x 2 , получаем 2 x .
Значит, в строку для частного приписываем 2 x , затем
соответственно умножаем многочлен x 2 8 x 4 на 2 x и
продолжаем преобразование аналогично. В результате получаем
x 4 6 x 3 17 x 2 32 x 12 | x 2 8 x 4
x4
8x 3
4x2
x2
2 x 3 13x 2
32 x
2 x 3 16 x 2
8x
3x
2
2x
3
24 x 12
3x 2
24 x 12
0
Разложение многочлена f ( x ) на множители позволяет понизить
степень уравнения, т.е. уравнение большой степени свести к
одному или нескольким уравнениям меньшей степени. Для
разложения многочлена n -й степени на множители и для
нахождения целых корней алгебраических уравнений n -й степени
полезно использовать следующие теоремы.
Теорема Безу.
Остаток от деления многочлена f ( x ) на x a равен значению
этого многочлена при x a , т.е. f (a ) .
Следствие из теоремы Безу.
Если a - корень многочлена f ( x ) , то этот многочлен делится на
x a.
12
Доказательство.
Произведем деление с остатком многочлена f ( x ) на x a ,
получим f ( x ) ( x a ) g ( x ) r( x ) , где r (x ) - многочлен, степень
которого меньше степени делителя x a , т.е. степень r (x ) равна 0.
Поэтому r ( x ) r - число. Значит, f ( x ) ( x a ) g ( x ) r (1).
Так как a является корнем f ( x ) , то f (a ) 0 . И поэтому из (1)
получаем ( a a ) g (a ) r 0 . Отсюда r 0 , а это и означает, что
многочлен f ( x ) делится на x a без остатка. Теорема доказана.
Теорема.
Если все коэффициенты многочлена
f ( x) a0 x n a1 x n 1 a2 x n 2 ... an 2 x 2 an 1 x an
являются целыми числами, то всякий целый корень этого
многочлена является делителем свободного члена a n .
Доказательство.
Пусть c - целый корень многочлена f ( x ) , т.е.
f (c) a0 c n a1c n 1 a2 c n 2 ... an 2 c 2 an 1c an 0 .
Тогда an
c(a0 c n 1 a1c n 2 a2 c n 3 ... an 2 c1 an 1 ) .
Так как число, стоящее в скобках, является целым (ибо все
коэффициенты a0 , a1 ,..., a n 1 так же как и число c , - целые), то a n
делится на c . Теорема доказана.
Последние две теоремы значительно облегчают отыскание целых
корней многочленов с целыми коэффициентами. Для этого
необходимо взять свободный член многочлена f ( x ) и выписать
все его делители (как положительные, так и отрицательные). После
этого надо найти один из корней многочлена f ( x ) (подставить
поочередно эти делители в данный многочлен и выяснить, какой из
них обращает многочлен в нуль). Согласно следствию из теоремы
Безу многочлен f ( x ) делим на двучлен x a , где a - найденный
корень, получаем f ( x ) ( x a ) g ( x ) .
Ясно, что степень многочлена g (x ) на единицу меньше степени
многочлена f ( x ) . Затем аналогично находим один из корней
13
многочлена g (x ) - a1 и делим его на соответствующий двучлен
x a1 и т.д..
Продолжаем эту операцию до тех пор, пока не получим квадратный
трехчлен, корни которого найдем по известной формуле.
Применение разложения на множители.
Итак, с помощью описанного способа можно решать многие
задачи.
разложение многочлена n -й степени на множители;
сокращение дробей;
задачи на делимость;
нахождение целых корней алгебраических уравнений n -й
степени.
Проиллюстрируем это на конкретных примерах.
Задача 9.
Разложите на множители многочлен 2 x 4 7 x 3 2 x 2 13x 6 .
Решение.
Обозначим данный многочлен - f ( x ) .
Целые корни многочлена следует искать среди делителей
свободного члена 6: 1, 2, 3, 6 . Легко заметить, что f (1)
значит, x 1 является корнем многочлена и поэтому f ( x )
делится на x 1 .
2 x 4 7 x 3 2 x 2 13x 6 | x 1
2x4
2x3
2x3
9x3
2x2
9x3
9x2
7x2
13x
7x2
7x
6x
6
6x
6
0
14
9x2
7x
6
0,
Тогда f ( x ) ( x 1)(2 x 3 9 x 2 7 x 6) .
Разложим на множители многочлен g ( x ) 2 x 3 9 x 2 7 x 6 .
Свободный член -6 имеет делители: 1, 2, 3, 6 . Подставляем
эти числа в многочлен g (x ) поочередно.
g (1) 2 9 7 6 0 ,
g ( 1)
2 9 7 6 0,
g ( 2) 2 2 3 9 2 2 7 2 6 0 ,
g ( 2) 2 ( 2 ) 3 9 ( 2 ) 2 7 ( 2 ) 6
16 36 14 6 0
2 . Делим многочлен g (x ) на
Итак, один корень найден x
двучлен x 2 .
2x3 9x2 7x 6 | x 2
2x3
4x2
2x2
5x 2
7x
5x 2
10 x
3x 6
5x 3
3x 6
0
Имеем: g ( x ) ( x 2)( 2 x 2 5 x 3) .
Для разложения квадратного трехчлена на множители решаем
соответствующее квадратное уравнение 2 x 2 5x 3 0 .
1
Получаем корни x1
, x2
3 . И тогда разложение
2
1
принимает вид : 2 x 2 5x 3 2( x
)( x 3) (2 x 1)( x 3) .
2
Итак, данный многочлен разложен на множители:
2 x 4 7 x 3 2 x 2 13x 6 ( x 1)( x 2)(2 x 1)( x 3) .
Ответ: ( x 1)( x 2)(2 x 1)( x 3) .
Задача 10.
Решите уравнение x 4
2 x 3 16 x 2
15
2 x 15
0 (1).
Решение.
Целые корни данного уравнения нужно искать среди делителей
свободного члена 15: 1, 3, 5, 15 . Легко заметить, что x 1
является одним из его корней(сумма коэффициентов
многочлена, стоящего в левой части уравнения, равна нулю).
Значит, многочлен, стоящий в левой части уравнения (1)
делится на двучлен (x 1) .
x4
2 x 3 16 x 2
x4
x3
2 x 15 | x 1
x3
3x 2 13x 15
3x 3 16 x 2
3x 3
3x 2
13x 2
2x
13x 2 13x
15 x 15
15 x 15
0
Получаем уравнение x 1 x 3 3x 2 13x 15 0 ,
равносильное уравнению (1).
Для нахождения остальных корней исходного уравнения нужно
решить уравнение третьей степени x 3 3x 2 13x 15 0 (2),
аналогично подбирая один из его корней среди делителей
свободного члена (-15).
1.
Подстановкой находим корень x
Делим «уголком» многочлен x 3 3x 2 13x 15 0 на двучлен
(x 1) .
16
x3
3x 2 13 x 15 | x 1
x3
x2
x2
2 x 15
2 x 2 13 x
2x2
2x
15 x 15
15 x 15
0
Значит, для нахождения оставшихся корней нужно решить
квадратное уравнение x 2 2 x 15 0 . Это дает два корня 3 и
5.
Таким образом, исходное уравнение четвертой степени имеет
четыре корня: 5; 1;1;3 .
Ответ: 5; 1;1;3 .
Задача 11.
Решите уравнение x 4 x 2 20 0 (1).
Решение.
1 способ.
Решим данное уравнение(1), разложив многочлен, стоящий в
его левой части, на множители способом группировки.
x 4 x 2 20 x 4 x 2 16 4 x 4 16
x2 4
x2 4 x2 4
x2 4
x2 4 x2 5
x 2 x 2 x2 5 .
В итоге получили уравнение, равносильное данному.
x 2 x 2 x2 5 0 .
Отсюда x 2 0 или x 2 0 или x 2 5 0 .
Так как многочлен x 2 5 принимает только положительные
значения при любом x , то уравнение x 2 5 0 корней не
имеет.
Следовательно, корнями исходного уравнения(1) являются
числа: 2 и -2.
17
2 способ.
Целые корни уравнения нужно искать среди делителей
свободного члена (-20): 1, 2, 4, 5, 10, 20 .
Легко проверить, что x 2 , является одним из корней данного
уравнения(1).
Делим многочлен, стоящий в левой части уравнения, на
двучлен x 2 . Заметим, что делимое удобнее представить в
каноническом виде: x 4 0 x 3 x 2 0 x 20 .
x 4 0 x 3 x 2 0 x 20 | x 2
x4
2x3
x3
2x3
x2
2x3
4x2
5x 2
5x 2
2x2
5 x 10
0 x
10 x
10 x 20
10 x
20
0
Аналогично подбором среди делителей свободного члена
2.
многочлена x 3 2 x 2 5x 10 находим корень x
3
2
Делим многочлен x 2 x 5x 10 на двучлен x 2 .
x 3 2 x 2 5 x 10 | x 2
x3
2x2
x2
5
5 x 10
5 x 10
0
Итак, разложением левой части на множители, получили
уравнение, равносильное данному (1): x 2 x 2 x 2 5
корни которого уже найдены.
Ответ: 2 .
18
0,
Задача 12.
Сократите дробь
x
3
5x 3
3x 2
5
3x
2
.
Решение.
Разложим на множители числитель и знаменатель дроби
отдельно.
5 x 3 5 5( x 3 1) 5( x 1)( x 2 x 1) ,
x 3 3x 2 3x 2 x 3 2 x 2 x 2 2 x x 2
( x 3 2 x 2 ) ( x 2 2 x ) ( x 2) x 2 ( x 2) x ( x 2 ) ( x
( x 2)( x 2 x 1) .
Сокращаем дробь:
5x 3 5
5( x 1)( x 2 x 1) 5( x 1)
.
x 3 3x 2 3x 2 ( x 2)( x 2 x 1)
( x 2)
5( x 1)
Ответ:
.
( x 2)
Задача 13.
a 3 2a 2 5a 26
Сократите дробь: 3
.
a 5a 2 17a 13
Решение.
1 способ.
Разложим на множители числитель и знаменатель дроби
отдельно.
a 3 2a 2 5a 26 (a 3 8) (2a 2 5a 18)
(a 2)(a 2 2a 4) (2a 9)( a 2)
(a 2)(a 2 2a 4 2a 9) (a 2)( a 2 4a 13) .
Квадратный трехчлен a 2 4a 13 на множители не
раскладывается ( D <0).
a 3 5a 2 17a 13 (a 3 1) (5a 2 17a 12)
(a 1)( a 2 a 1) (5a 12)( a 1) (a 1)( a 2 4a 13) .
Сокращаем дробь:
a 3 2a 2 5a 26 (a 2)(a 2 4a 13) a 2
.
a 3 5a 2 17a 13 (a 1)(a 2 4a 13) a 1
19
2)
2 способ. Разложим многочлен, стоящий в числителе,
a 3 2a 2 5a 26 (1) на множители. Найдем один из корней
многочлена среди делителей его свободного члена 26:
2 является
1, 2, 13, 26 . Подбором выясняем, что a
корнем многочлена. Делим многочлен(1) на двучлен a 2 .
a 3 2a 2 5a 26 | a 2
a3
2a 2
a2
4a 2
4a 13
5a
4a 2 8a
13a 26
13a
26
0
Итак, получаем разложение числителя дроби на множители.
a 3 2a 2 5a 26 (a 2)( a 2 4a 13) .
Квадратный трехчлен a 2 4a 13 разложить на множители
невозможно( D <0).
Выполняем аналогичные действия с многочленом, стоящим в
знаменателе данной дроби a 3 5a 2 17a 13 (2).
Легко видеть, что a 1 , является корнем многочлена
a 3 5a 2 17a 13 (сумма его коэффициентов равна 0).
Делим многочлен (2) на двучлен a 1 .
a 3 5a 2 17a 13 | a 1
a3
a2
a2
4a 2
4a 13
17a
4a 2 4a
13a 13
13a 13
0
Получили разложение многочлена (2) на множители:
a 3 5a 2 17a 13 (a 1)( a 2 4a 13) .
20
Сокращаем дробь:
a 3 2a 2 5a 26
a 3 5a 2 17a 13
a 2
Ответ:
.
a 1
(a 2)(a 2
(a 1)(a 2
4a 13)
4a 13)
a 2
.
a 1
Задача 14.
Докажите, что при любом нечетном n значение многочлена
n 3 3n 2 n 3 кратно 48.
Решение.
Разложим многочлен на множители способом группировки:
n 3 3n 2 n 3 n 2 n 3
n 3
n 3 n2 1
n 3 n 1 n 1.
Т.к. n нечетное число, то n 2k 1 , где k
.
Подставив вместо n выражение 2k 1 в полученное
произведение, имеем:
n 3 n 1 n 1
2k 4 2k 2k 2 8 k 2 k k 1
8k k 1 k 2 .
Произведение k k 1 k 2 есть произведение трех
последовательных целых чисел, значит оно кратно и 2, и 3,
следовательно, оно кратно 6.
Поэтому 8k k 1 k 2 кратно 48.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Разложите на множители многочлен:
1 2
x 2 x 16 ;
9
4
64 ;
б) y
2
4x2 4x 1 ;
в) 9a
3
54 x 2 36 x 8 ;
г) 27 x
1 2 4
д) a b
100c 6 ;
9
2 4
24 x 5 y .
е) 3x y
а)
21
n значение многочлена n 3
2. Докажите, что при любом нечетном
делится на 24.
3. Докажите, что выражение
a 8a 3b
2
2b 6a
1
b
4
n
2
тождественно
равно кубу двучлена.
2
4
3
2
10ay 4 y выделите полный квадрат
4. В многочлене 25a y
суммы, содержащий: а) первый и второй одночлены;
б) первый и третий одночлены; в) второй и третий одночлены.
5. Разложите на множители многочлен способом группировки:
а) 56 x
2
б) 21a
3
в) a b
2
45 y
40 xy
2
63x ;
2
8a b 5ab 2b 6a ;
x 2 b x 2 a 2 x a 2 b2 .
5
3
5n 4n при любом
6. Докажите, что значение многочлена n
натуральном n делится на 60.
7. Докажите, что для любых чисел m и n верно неравенство
5 2
m
4
2n 2
3mn
0.
8. Известно, что при некоторых значениях x и y значение разности
x y равно 9. Найдите при тех же значениях x и y значение
2
2
y y 1 xy 3xy x y 1 .
выражения x x 1
9. Докажите, что произведение четырех последовательных целых чисел,
увеличенное на 1, является квадратом целого числа.
10. Разложите на множители многочлен:
9 x 3 15 x 2 32 x 12 ;
4
x 3 9 x 2 13x 5 .
б) 2 x
а)
11. Решите уравнение:
x 3 9 x 2 11x 21 0 ;
2
б) 4c c 3 20c c 3 25 3 c
а)
12. Сократите дробь:
5 x 2 20 x 15
а)
;
2 x 3 9 x 2 10 x 3
n 4 9n 3 12n 2 9n 13
б)
.
n 4 10n 3 22n 2 13n
22
0.
13. Докажите, что алгебраическое выражение
x8
x4
x
4
2x2 6
2x2 3
2x2
4
2 тождественно равно одночлену.
3
2
10 x 35x 50 x 24 0 двумя
14. Решите уравнение x
способами.
15. Применяя способы разложения на множители, найдите значение
выражения:
66 2 3 36
.
66 63 33 36
16. Разложите на множители выражение:
( a b) x 3
(a
x )b 3
(b
x )a 3 .
© Специализированный учебно-научный центр НГУ, 2012
23