О положениях равновесия солнечного паруса в задаче трех тел

О положениях равновесия солнечного паруса
в задаче трех тел
Кабанов Сергей Михайлович, гр. 872в
Московский физико-технический институт
(государственный институт)
Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН
Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Овчинников М.Ю.
1/11
Кабанов Сергей, группа 872вМосква
Задача трех тел. Солнечный парус
Модель идеального солнечного паруса
sail
ˆ
~n
α
~r
Sun
Плоская пластина с идеальной отражательной способностью
Сила солнечного давления приложена к центру масс паруса и равна
a 2
ˆ,
f~sail = p⊕ A
cos2 α~n
r
где p⊕ ' 5 × 10−6 [Н/м2 ] – максимально возможное давление со стороны
солнечной радиации на парус, находящийся на орбите Земли; A –
площадь активной отражающей поверхности паруса.
2/11
Кабанов Сергей, группа 872в
Задача трех тел. Солнечный парус
Постановка задачи
Поиск положений равновесия солнечного паруса в рамках ограниченной
круговой задачи трех тел Sun-Earth-sail.
z
w
~ sail
α
sail
w
~c
µ
− 2 ~rˆ
r
−
µ⊕ ˆ
~r
2 ⊕
r⊕
ω
~
~r
Sun
3/11
~r⊕
~a
Кабанов Сергей, группа 872в
Earth
Задача трех тел. Солнечный парус
x
Статические уравнения для определения равновесий паруса
µ
µ⊕
x + 3 (a − x) + wxsail = 0,
r3
r⊕
µ⊕
µ
2
ω y − 3 y − 3 y + wysail = 0,
r
r⊕
µ⊕
µ
− 3 z − 3 z + wzsail = 0,
r
r⊕
ω2 x −
здесь
p⊕ A a 2
cos2 α n̂i ,
wisail =
m
r
p
r = x2 + y 2 + z 2 ,
p
r⊕ = (x − a)2 + y 2 + z 2 ,
где µ , µ⊕ и (r, r⊕ ) – гравитационные параметры (расстояния от паруса
до) Солнца и Земли, соответственно; m – масса паруса.
4/11
Кабанов Сергей, группа 872в
Задача трех тел. Солнечный парус
Переход в безразмерную систему единиц
Примем за единицу гравитационный параметр Солнца µp
= 1 и
расстояние между Солнцем и Землей a = 1. Тогда ω = µ /a3 = 1 и
µ = µ⊕ /µ – безразмерный гравитационный параметр Земли.
И введем безразмерный параметр β паруса как
β=
p⊕ a2 A
.
µ m
Обезразмеренные уравнения
x−
µ
cos2 α
x
−
(x
−
1)
+
β
n̂x = 0,
3
r3
r⊕
r2
y−
y
µ
cos2 α
− 3 y+β
n̂y = 0,
3
r
r⊕
r2
−
z
µ
cos2 α
− 3 z+β
n̂z = 0,
r3
r⊕
r2
здесь
p
x2 + y 2 + z 2 ,
p
r⊕ = (x − 1)2 + y 2 + z 2 .
r=
5/11
Кабанов Сергей, группа 872в
Задача трех тел. Солнечный парус
Поиск решений в плоскости zx
x+
µ(x − 1)
x
β cos2 α
cos(α + ϕ) = 3 +
,
3
r2
r
r⊕
z
µz
β cos2 α
sin(α + ϕ) = 3 + 3 .
r2
r
r⊕
z
w
~ sail
α
sail
1
− 2 ~rˆ
r
−
ϕ
x~e1
µ ˆ
~r
2 ⊕
r⊕
~r
~r⊕
ϕ
Earth
Sun
6/11
Кабанов Сергей, группа 872в
x
Задача трех тел. Солнечный парус
Порождающее решение при µ = 0
Система уравнений Sun-sail
x
β cos2 α
cos(α + ϕ) = 3 ,
r2
r
z
β cos2 α
sin(α + ϕ) = 3 .
r2
r
x+
Система уравнений Sun-sail допускает аналитическое решение
x=
1 − 12
β 2 cos4 α sin2 α 3 β cos4 α sin2 α
1 − β cos3 α +
+
1
1 − β cos3 α
(1 − β cos3 α)2
z=
β cos2 α sin α
x.
1 − β cos3 α
Полученная система решений определяет параметрическое семейство
кривых равновесий паруса: x = x(α; β), z = z(α; β) при 0 < α < π/2.
7/11
Кабанов Сергей, группа 872в
Задача трех тел. Солнечный парус
Параметрическое семейство кривых в задаче Sun-sail
0.9
β=1
0.8
0.7
0.6
z
β = 0.9
0.5 β = 0.99
β = 0.8
0.4
β = 0.7
0.3
0.2
β = 0.4
0.1
0
8/11
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Кабанов Сергей, группа 872в
0.5
x
0.6
0.7
0.8
0.9
Задача трех тел. Солнечный парус
1
Частные решения задачи Sun-Earth-sail
При α = π/2:
xL1 = 1 −
µ 1/3
3
+ . . . , xL2 = 1 +
µ 1/3
3
+ ...
При α = 0 (асимптотика справедлива при β µ):
r p
2 µ 1/2
µ
xs1,2 = 1 ∓
+ . . . , xs3 = 3 1 − β −
2 + . . .
√
β 2
3 31−β−1
xs3
xs2
xs1
Sun
x
1
xL1
9/11
Кабанов Сергей, группа 872в
xL2
Задача трех тел. Солнечный парус
Численное решение в области «за Землей»
6
×10−3
β=1
5
β=1
β = 0.9
4
β = 0.3
z 3
2
1
x s2
xL2
0
-1
10/11
1
1.001
1.002
1.003
Кабанов Сергей, группа 872в
x
1.004
1.005
1.006
Задача трех тел. Солнечный парус
1.007
Расходимость численного решения вблизи Земли при «старте» из
точки xL1
0.06
0.05
0.04
computational solution
Sun-sail solution
y
0.03
0.02
0.01
xL1
xs1
0
0.992 0.993 0.994 0.995 0.996 0.997 0.998 0.999
x
11/11
Кабанов Сергей, группа 872в
1
Задача трех тел. Солнечный парус
1.001