Лекция 3-я: Квантовая геометро

К 100-летию СТО и к 90-летию ОТО
Лекция 3-я: Квантовая геометро-динамика Вселенной
в космологии Уилера – ДеВитта
А.Ф. Захаров, В.А. Зинчук, В.Н. Первушин
Лаборатория теоретической физики,
Объединенный институт ядерных исследований, 141980 Дубна, Россия
28 марта 2005 г.
Аннотация
Лекция посвящена рассмотрению классической и квантовой космологии Уилера –
ДеВитта по аналогии с операцией “редукции” “геометро-динамики” релятивистской частицы в специальной теории относительности (СТО), рассмотренной в Лекции 2. Результатом “редукции” “геометро-динамики” Вселенной является определение наблюдаемых величин, в том числе функции распределения вселенных, рожденных из “физического вакуума”, которая вычисляется с помощью помощью преобразования Боголюбова, предложенного в 1947 г. для вычисления спектра сверхтекучего гелия. Определение
состояния “физического вакуума” как состояния с наинизшей энергией приводит к положительной стреле и абсолютной точке начала “геометрического интервала времени”
во Вселенной, что означает, что “время” рождается вместе со Вселенной.
1
Введение
На предыдущей Лекции мы показали, что полное описание динамики релятивистской частицы, включая релятивистские эффекты, решениями вариационных уравнений, может
быть дано лишь в “геометро-динамической” версии специальной теории относительности
(СТО), сформулированной по аналогии “геометро-динамикой” общей теории относительности (ОТО), впервые предложенной Гильбертом в 1915 г. [1]. Такая “геометро-динамика”
ОТО основана на двух базисных постулатах: действии для “переменных”, образующих “пространство событий”, и “геометрическом интервале” риманова координатного многообразия, инвариантных относительно общих преобразований координат.
Особенностью такой “геометро-динамики” частицы [2] является наличие в каждой системе отсчета двух калибровочно-инвариантных времён: времени – как “геометрического
интервала” на мировой линии частицы в пространстве событий и времени – как “динамической переменной” самого пространстве событий.
Единая геометро-динамическая формулировка обеих теорий (СТО и ОТО) одним и тем
же вариационным принципом Гильберта [1], дает возможность квантования ОТО по аналогии с первичным и вторичным квантованием релятивистской частицы, на котором основана
вся современная квантовая теория поля [4], подтверждаемая огромным экспериментальным
материалом по физике высоких энергий.
Впервые подобная идея квантования ОТО по аналогии с квантованием СТО была сформулирована в работах Уилера и ДеВитта [5] в 1967 г., которые отождествили в космологии
“время как переменную” с космологическим масштабным фактором и ввели в ОТО понятие
1
“полевого пространства событий”, в котором движется “релятивистская Вселенная”, по
аналогии с понятием пространства событий Минковского, где движется “релятивистская
частица”. Однако, формулировка Уилера и ДеВитта [5] теряет “время как геометрический
интервал” и, следовательно, и его зависимость от масштабного фактора, которая интерпретируется в классической космологии Фридмана как закон Хаббла. В результате чего
в ОТО возникла довольно странная ситуация, когда две ее ветви — классическая модель
Фридмана и квантовая модель Уилера и ДеВитта [5, 6, 7] оказываются полностью разделенными. В классической космологии [8] не знают как квантовать, а в квантовой [5, 6, 7] –
как описывать закон Хаббла?
Задача настоящей Лекции применить сформулированную в СТО на предыдущей Лекции калибровочно-инвариантную “редукцию” [3] “геометро-динамики” Вселенной в модели
космологии Уилера – ДеВитта, чтобы определить“наблюдаемые”, восстановить связь наблюдательной космологии (т.е. закона Хаббла) с первичным и вторичным квантованиями Вселенной и вычислить функцию распределения рожденных вселенных относительно
геометрического интервала времени, измеряемого наблюдателем в одной из вселенных в
конкретной системе отсчета.
2
Однородное приближение ОТО
Мы хотели бы обратить внимание, что действие ОТО
Z
ϕ20
4 √
R(g) + Lmatter ,
SGR = d x −g −
6
ϕ20 =
3 2
M
8π P lanck
(1)
и “геометрический интервал”
ds = gµν dxµ dxν ,
(2)
инвариантные относительно общекоординатных преобразований
xµ
−→
x̃µ = x̃µ (x0 , x1 , x2 , x3 ),
(3)
являются обобщением рассмотренного в Лекции 2 действия и интервала для релятивистской
частицы, инвариантных относительно группы репараметризации координатного времени.
Если ограничиться однородным приближением всех полей, включая компоненты метрики,
так что интервал принимает вид
ds = a2 (x0 )[N02 (x0 )(dx0 )2 − (dxi )2 ],
то действие ОТО сводится к действию гамильтоновой космологии [5, 6, 7]
"
!#
Z
2
P
ϕ
Scosmic−1915 = dx0 −Pϕ ∂0 ϕ + N0
− ρ0 (ϕ)V0
,
4V0
(4)
(5)
где плотность энергии материи аппроксимируется однородной плотностью ρ0 (ϕ), зависящей
только от масштабного фактора
ϕ(x0 ) = ϕ0 a(x0 ).
(6)
Такое однородное приближение сохраняет симметрию уравнений движения ОТО и конформного интервала времени
dη = N0 (x0 )dx0 ,
η=
Zx0
0
2
dx0 N0 (x0 )
(7)
относительно группы репараметризаций координатного параметра x0 → x0 = x0 (x0 ),
выступающих в роли калибровочных преобразований. Как было указано в Лекции 2, группа
репараметризации координатного параметра эволюции означает, что одна из переменных, в
данном случае, единственная переменная ϕ отождествляется с временем как “переменной”
в пространстве событий, а ее импульс Pϕ — с соответствующей гамильтоновой функцией,
значения которой на уравнениях движения становятся “энергией событий”.
3
Уравнения
Вариация действия (5) по функции смещения N0 : δScosmic /δN0 = 0 ведет к уравнению
энергетической связи
Pϕ2 = E 2 (ϕ)
(8)
где
E(ϕ) = 2V0
p
ρ(ϕ)
(9)
трактуется как измеряемая “энергия событий”, т.е. энергия Вселенной.
Разрешение энергетической связи (8) дает два значения энергии Вселенной, положительное и отрицательное:
p
(10)
Pϕ± = ±E(ϕ) = ±2V0 ρ(ϕ).
Вариация действия (5) по импульсу Pϕ : δScosmic /δPϕ = 0 дает то самое геометрическое
отношение между двумя “временами” в форме дифференциального уравнения
Pϕ± = 2V0
или в форме его интеграла
p
dϕ
≡ 2V0 ϕ′ = ±2V0 ρ(ϕ)
dη
η(ϕI |ϕ) = 2V0
Zϕ
ϕI
dϕ
e
=±
±
Pϕ (ϕ)
e
Zϕ
ϕI
которое в космологии называют законом Хаббла [8, 9].
4
dϕ
e
p
,
ρ(ϕ)
e
(11)
(12)
Редукция
“Редукция” “геометро-динамики” на “динамику” и “геометрию” означает подстановку в действие “геометро-динамики” (5) решений (10) уравнения связи (8)
Z
p
±
(13)
= ∓2V0 dϕ ρ0 (ϕ),
Scosmic−1915 |Pϕ =Pϕ± = Scosmic−1905
дополненную оставшимся после такой “ редукции” отношением “геометрического интервала” и “времени как переменной” (12). Как раз это дополнение и является той самой классической космологией, которую теряет действие (13). Под квантовой “ редукцией” будем
понимать решение уравнения связи (8), где переменные заменены на их операторы, действующие на волновую функцию Уилера – Девитта Ψ [5]
P̂ϕ2 Ψ − E 2 (ϕ)Ψ = 0,
(14)
дополненное отношением “геометрического интервала” и “времени как переменной” (12).
3
5
Классическая космология
Наблюдательная космология измеряет зависимость красного смещения z спектра атомов
на космических объектах, определяемого масштабным фактором
a(η) = (1 + z)−1 ,
(15)
от координатного расстояния до этого объекта, которое задается конформным временем.
В космологии конформное время dη определяется как время фотона, испущенного атомом на космическом объекте и летящего со скоростью c = 1 по геодезической на мировом
конусе:
(ds)2 = a2 (η)[(dη)2 − (dr)2 ] = 0,
(16)
p
где r = x21 + x22 + x23 — координатное расстояние. Отсюда можно найти связь между координатным расстоянием, которое пролетает фотон, и конформным временем такого пролета:
r(η) =
Zη0
η
de
η ≡ η0 − η,
(17)
где η0 — современное значение конформного времени (т.е. время регистрации фотона земным наблюдателем), при котором принято a(η0 ) = 1; а η — время излучения фотона атомом
на космическом объекте, находящемся на координатном расстоянии r от Земли. Отсюда
следует, что η равно разности современного конформного времени η0 и времени пролета
фотона до Земли, совпадающего с координатным расстоянием. Из (17) имеем
η = η0 − r.
(18)
Рассмотрим уравнение эволюции Вселенной (11)
ϕ20 a′2 = ρ0 (a),
(19)
где a = ϕ/ϕ0 , в плоском пространстве для Вселенной, заполненной однородной материей,
с зависимостью конформной плотности ρ0 от масштаба a(η) следующего вида:
ρ0 (a) = ρrigid a−2 + ρrad + ρM a + ρΛ a4 ,
(20)
где ρrigid описывает изотропный вклад сверхжесткого уравнения состояния, для которого
плотность равна давлению: ρrigid = prigid ; ρrad , ρM и ρΛ необходимы в стандартном подходе
для описания радиационной эпохи первичного нуклеосинтеза, вклада барионной материи и
вклада скалярного поля в инфляционную эпоху.
Можно найти решения уравнения (19) для каждого из этих состояний в терминах конформного времени η с начальными данными a(η0 ) = 1, a′ (η0 ) = H0 :
√
1 − 2H0 r,
arad (η) = 1 − H0 r,
arigid (η) =
1
(21)
2
aM (η) = 1 − 12 H0 r ,
,
aΛ (η) =
1 + H0 r
где r = η0 − η.
В наблюдательной космологии плотность (20) выражается в терминах современного
значения критической плотности ρcr = ϕ′2 ≡ ϕ2 (ϕ′ /ϕ)2 = ϕ20 H02 :
ρ0 (a) = ρcr Ω(a), Ω(a) = Ωrigid a−2 + Ωrad + ΩM a + ΩΛ a4
4
(22)
и относительных плотностей Ωrigid , Ωrad , ΩM , ΩΛ , удовлетворяющих условию Ωrigid + Ωrad +
ΩM + ΩΛ = 1 [8].
Учитывая эти соотношения, уравнение эволюции масштаба (20) на геодезической светового луча dr/dη = −1 после подстановки a = 1/(1 + z) и η = η0 − r можем представить в
виде
q
1 dz
= (1+z)2 ρcr [Ωrigid (1+z)2 +Ωrad +ΩM (1+z)−1 +ΩΛ (1+z)−4 ],
H0 dr
√
где H0 = ρcr /ϕ0 . Решение этого уравнения (которое является решением (12))
H0 r(z) =
1+z
Z
1
dx
p
Ωrigid x6 + Ωrad x4 + ΩM x3 + ΩΛ
(23)
определяет координатное расстояние как функцию красного смещения z, из которого следуют формулы (21) для каждого состояния. Соотношение (23) используют для определения
уравнения состояния материи во Вселенной по данным астрофизических измерений красного смещения в предположении плоского пространства. Формула (23) универсальна для всех
эталонов измерения, но при этом определение фридмановского расстояния d (в случае абсолютного эталона) связано с конформным расстоянием (при использовании относительного
эталона) соотношением
d(z) = a(z)(η0 − η) = a(z)r(z),
a=
1
ϕ
=
.
ϕ0
1+z
(24)
Формулы (23), (24) являются основой наблюдательной космологии (см., например, [8]).
Нас интересует следствие квантования для космологического интервала времени.
6
6.1
Квантовая космология
Первичное квантование
Первичное квантование космологического масштабного фактора ϕ:
i[Pϕ , ϕ] = 1
(~ = 1)
(25)
предполагает, что энергетическая связь (8) трансформируется в уравнение Уилера – ДеВитта (УДВ) (14) для Вселенной, движущейся в пространстве событий [ϕ]
∂ϕ2 Ψ + E 2 (ϕ)Ψ = 0.
(26)
Это УДВ уравнение может быть получено путем варьирования соответствующей классической теории типа поля Клейна-Гордона:
Z
Z
1
2
2
2
SU = dϕ (∂ϕ Ψ) − E (ϕ)Ψ ≡ dϕLU
(27)
2
Мы назовем эту теорию теорией поля для Вселенной.
Отрицательная энергия в решениях (10) означает, что рассматриваемая релятивистская
система не имеет минимальной энергии, и любое сколь угодно малое взаимодействие сделает эту систему нестабильной. Согласно современной квантовой теории поля отрицательная
энергия Вселенной может быть устранена, если трактовать ее как уничтожение положительной энергии в теории вторичного квантования УДВ поля Ψ для Вселенной.
5
6.2
Вторичное квантование
Вводя канонические импульсы PΨ = ∂LU /∂(∂ϕ Ψ), можно получить гамильтонову форму
действия этой теории
Z
SU = dϕ {PΨ ∂ϕ Ψ − HU } ,
(28)
где
1 2
(29)
PΨ + E 2 (ϕ)Ψ2 .
2
есть гамильтониан. Определение энергии E(ϕ) для одной отдельной Вселенной дает нам
возможность представить гамильтониан HU в стандартной форме произведения энергии
E(ϕ) и числа “вселенных”
NU = A+ A− ,
(30)
1
1
(31)
HU = E(ϕ) A+ A− + A− A+ = E(ϕ)[NU − ]
2
2
путем перехода к голоморфным переменным
r
1
E(ϕ) (+)
(+)
(−)
Ψ= p
{A − A(−) }.
(32)
{A + A },
PΨ = i
2
2E(ϕ)
HU =
Для устранения отрицательной энергии нужно было бы постулировать, что A− является
оператором аннигиляции “вселенной” с положительной энергией; это предполагает существование вакуумного состояния как состояния с минимальной энергией:
A(−) |0 >A = 0.
(33)
Однако, число “вселенных” NU = A+ A− не сохраняется, поскольку энергия E(ϕ) зависит от
ϕ. Именно эта зависимость переменным ведет к дополнительному слагаемому в действии,
записанном в терминах голоморфных переменных в функциональном пространстве
i +
i
PΨ ∂ϕ Ψ =
(Aq ∂ϕ A− − A+ ∂ϕ A− ) − (A+ A+ − AA)△(ϕ) ,
(34)
2
2
где
△(ϕ) =
∂ϕ E(ϕ)
.
2E(ϕ)
(35)
Последний член в выражении (34) описывает космологическое рождение “вселенных” из
“вакуума”, если ∂ϕ E(ϕ) 6= 0.
6.3
Преобразование Боголюбова и Рождение Вселенной
Чтобы определить “вакуум” и набор сохраняющихся чисел, называемых интегралами движения, мы можем использовать (подобно случаю космологического рождения частиц [10])
преобразования Боголюбова [11] переменных (A+ , A− )
A+ = αB + +β ∗ B − ,
A− = α∗ B − +βA+
(|α|2 − |β|2 = 1),
(36)
чтобы соответствующие уравнения, выраженные в терминах “вселенных” (A+ , A− ):
(i∂ϕ + E)A+ = iA− △(ϕ),
(i∂ϕ − E)A+ = iA− △(ϕ),
6
(37)
приняли диагональную форму в терминах “квазивселенных” B + , B − :
(i∂ϕ + EB )B + = 0,
(i∂ϕ − EB )B − = 0.
(38)
Это означает, что коэффициенты преобразования Боголюбова удовлетворяют уравнениям
Боголюбова
(i∂ϕ + E)α = iβ△(ϕ),
(i∂ϕ − E)β ∗ = iα∗ △(ϕ).
(39)
Если выразить коэффициенты преобразования Боголюбова в виде
β ∗ = eiθ(ϕ) sh r(ϕ),
α = eiθ(ϕ) ch r(ϕ),
(40)
то эти уравнения принимают форму
(i∂ϕ θ − E(ϕ)) sh 2r = −△(ϕ) ch 2r sin 2θ,
∂ϕ r = △(ϕ) cos 2θ.
(41)
В то время как энергия “квазивселенных” в уравнениях (38) определяется выражением
EB (ϕ) =
E(ϕ) − ∂ϕ θ
.
ch 2r
(42)
В силу этих уравнений (38) “число квазивселенных” NB = (B + B − ) сохраняется
d(B + B − )
dNB
≡
= 0.
dϕ
dϕ
(43)
Следовательно, мы получаем определение “вакуума” как состояние без “квазивселенных” в
виде
B − |0 >U = 0.
(44)
Число рожденных вселенных из этого боголюбовского вакуума можно найти, беря среднее
от оператора “числа вселенных” (30) по боголюбовскому вакууму. Можно видеть, что это
число пропорционально квадрату коэффициента Боголюбова, данного в уравнении (36)
NU (ϕ) = U < A+ A− >U ≡ |β|2 .
(45)
Эту величину можно назвать “функционалом распределения вселенных” NU (ϕ), в то время
как величину
RU (ϕ) = i(α∗ β ∗ − αβ) ≡ U < PΨ Ψ >U
(46)
— “функционалом вращения”, так как величины r, θ называются параметрами сдвига и
вращения, соответственно.
Уравнения Боголюбова в терминах величин “функционала распределения вселенных”
NU (ϕ) и “функционала вращения” RU (ϕ) принимает вид

q
dNU

2

4NU (NU + 1) − RU
=
△(ϕ)

dϕ
(47)
q
dRU


2

= −2E(ϕ) 4NU (NU + 1) − RU
dϕ
с начальными данными NU (ϕ = ϕI ) = RU (ϕ = ϕI ) = 0.
Функцию распределения вселенных (45) NU в модели жесткого уравнения состояния,
где энергия событий принимает вид E(ϕ) = Q/ϕ, можно найти явно, поскольку уравнения
(47) точно решаются. Функция распределения равна выражению
"r
#
1
1
ϕ
2
Q2 −
NU =
sin
ln
6= 0.
(48)
4Q2 − 1
4
ϕI
√
где ϕ = ϕI 1 + 2HI η и ϕI , HI = ϕ′I /ϕI = Q/(2V0 ϕ2I ) есть начальные данные.
7
6.4
Квантовая аномалия конформного времени
Результаты, описанные выше для геометрического интервала релятивистской частицы, позволяет нам утверждать, что причинное квантование Вселенной с постулатом существования
вакуума ведет к тем же следствиям для конформного времени (7), а именно, положительной
стреле конформного времени и его началу, а также отсутствию космологической сингулярности ϕ = 0 во Вселенной, которая движется вперед ϕ0 ≥ ϕI 6= 0 с положительной энергией
E = Pϕ в пространстве событий.
Постулат о существовании вакуума ограничивает движение Вселенной в полевом пространстве событий и подразумевает, что для положительной энергии событий Pϕ ≥ 0 Вселенная двигается вперед ϕ > ϕI , а для отрицательной Pϕ ≤ 0, двигается назад ϕ < ϕI , где
ϕI есть начальные данные. В квантовой теории ϕI рассматривается как точка рождения
Вселенной с положительной энергией Pϕ ≥ 0, или как точка аннигиляции анти-Вселенной с
положительной энергией (когда энергия событий уменьшается Pϕ ≤ 0). Мы можем предположить, что точка сингулярности ϕ = 0 принадлежит анти-Вселенной: Pϕ < 0. Вселенная
с положительной энергией событий не содержит космологической сингулярности ϕ = 0.
Решение (12) в соответствии с постулатом о существовании вакуума имеет вид:
η(ϕI , ϕ0 ) = θ(P0 )
Zϕ0
ϕI
dϕ
p
θ(ϕ0 − ϕI ) + θ(−P0 )
ρ0 (ϕ)
ZϕI
ϕ0
dϕ
p
θ(ϕI − ϕ0 ) ≥ 0.
ρ0 (ϕ)
(49)
Мы видим, что вакуумный постулат ведет к стреле конформного времени (49) η > 0: для
Вселенной Pϕ > 0, ϕ > ϕI и также для анти-Вселенной Pϕ < 0, ϕI < ϕ. Причем Вселенная
с положительной энергией E = Pϕ > 0 не содержит точку космологической сингулярности,
которая находится в области движения анти-Вселенной Pϕ < 0, ϕI < ϕ. Учитывая
dϕ
,
dη = p
ρ0 (ϕ)
можно получить уравнение на (49)
d p
dη(ϕI , ϕ)
ρ0 (ϕ)
= δ(ϕ − ϕI ),
dϕ
dϕ
(50)
(51)
которое имеет вид причинной функции Грина.
6.4.1
Преобразования Леви-Чивита и статус закона Хаббла
Можно ввести конформное время η в качестве новой полевой переменной, а соответствующий импульс Π — в качестве собственной энергии геометрического пространства событий,
если воспользоваться каноническими преобразованиями Леви-Чивита [3, 2]: (Pϕ |ϕ) → (Π|η)
для превращения энергетической связи (8) в новый канонический импульс Π. Рассмотрим
это преобразование, используя в качестве примера случай Вселенной, заполненной фотонами, когда ρ0 (ϕ) = const. В этом случае, это преобразование принимает вид
r
p
1 Π
η.
(52)
Pϕ = ±2 ΠV0 , ϕ = ±
2 V0
Действие (5) становится
Sc =
Z
dx0 [−Π∂0 η + N0 (Π − ρ0 V0 )] .
8
(53)
Разрешение уравнения связи Π−V0 ρ0 = 0 означает, что конформному времени соответствует ненулевая энергия
Π = V 0 ρ0 .
(54)
Редуцированное действие принимает вид
S = −V0
Zη0
ηI =0
dηρ0 = −V0 ρ0 η0 .
(55)
В квантовой теории, где геометрическая энергия Π заменяется оператором Π̂ = id/dη, геометрическая эволюция волновой функцией определяется из квантовой версии уравнения
связи (54) [Π̂ − V0 ρ0 ]ψgeometric (η) = 0, решением которого является функция:
ψgeometric (η) = e−iV0 ρ η θ(η).
(56)
Хаббловская эволюция ϕ = ϕ(η) может быть рассмотрена как релятивистский эффект отношения между двумя дополнительными описаниями релятивистской Вселенной с помощью
волновых функций: полевой exp[−iPϕ ϕ] и геометрической (56).
7
Заключение
Tаким образом, космология, рассмотренная как “геометро-динамика” Вселенной по аналогии с “геометро-динамикой” релятивистской частицы, дает нам возможность решить проблемы статуса Хаббловской эволюции, рождения Вселенной из вакуума, стрелы времени,
начальных данных и устранения космологической сингулярности из требования диагонализации гамильтониана и стабильности квантовой теории Вселенной, т.е. на том уровне
физического описания мира, который в физике частиц называется квантовой теорией поля.
Список литературы
[1] D. Hilbert, Die Grundlangen der Physik, Nachrichten von der Kön. Ges. der Wissenschaften
zu Göttingen, Math.-Phys. Kl., 1915, Heft 3, pp 395–407. (русский перевод см. “Вариационные принципы механики”, Редакция, послесловие и примечания Л.С. Полака, М.
Гос. Изд. Физико-Математической Литературы, 1959, стр. 589.)
[2] M. Pawlowski, V. N. Pervushin, Int. J. Mod. Phys. 16, 1715 (2001), [hep-th/0006116].
[3] T. Levi-Civita, Prace Mat.-Fiz. 17, 1 (1906); S. Shanmugadhasan, J. Math. Phys. 14, 677
(1973); S.A. Gogilidze, A.M. Khvedelidze, and V.N. Pervushin, J. Math. Phys. 37, 1760
(1996); Phys. Rev. D 53, 2160 (1996); Phys. Particles and Nuclei 30, 66 (1999).
[4] Н.Н. Боголюбов, A.A. Логунов, A.И. Oксак, И.T. Toдоров, Общие Принципы Квантовой Теории Поля, М.: Наука, 1987.
[5] J. A. Wheeler Lectures in Mathematics and Physics Benjamin, New York, 1968; B. C.
DeWitt, Phys. Rev. 160 1113 (1967).
[6] C. Misner, Phys. Rev. 186 1319 (1969).
9
[7] M. P. Ryan Jr., L. C. Shapley Homogeneous Relativistic Cosmologies, Princeton, Princeton
University Press, 1975; M. P. Ryan Jr., Hamiltonian Cosmology, Lecture Notes in Physics
N 13, Berlin–Heidelberg–New York, Springer Verlag, 1972.
[8] J.V. Narlikar, Introduction to cosmology, Jones and Bartlett, Boston, 1983
[9] D. Behnke, et. al, Phys. Lett. B 530, 20 (2002).
[10] V.N.Pervushin, V.I. Smirichinski, J. Phys. A: Math. Gen. 32 6191 (1999).
[11] N.N. Bogoliubov, J. Phys. USSR 2, 23 (1947).
10