Задача трех тел
реклама
АСТРОНОМИЯ Задача трех тел и ее точные решения ЗЗААДДААЧЧАА ТТРРЕЕХХ ТТЕЕЛЛ ИИ ЕЕЕЕ ТТО Я ИЯ НИ ЕН ШЕ ЕШ РЕ ЕР ЫЕ НЫ ЧН ОЧ А.П. Маркеев Анатолий Павлович Маркеев, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник лаборатории механики систем Института проблем механики РАН. Руководитель проекта 99-01-00405. В различных науках о природе есть такие задачи, которые не решены до сих пор, несмотря на их большую важность для развития самих наук и для познания окружающего нас мира. Мы поговорим о небесной механике – науке о движении естественных и искусственных небесных тел под действием сил различной физической природы — и об одной важнейшей задаче, изучаемой небесной механикой, – знаменитой задаче трех тел (точнее, трех материальных точек). Сначала вспомним некоторые общеизвестные, но совершенно необходимые для дальнейшего изложения представления. О законах Кеплера и всемирном тяготении Геометрические законы движения небесных тел, составляющих Солнечную систему, были установлены немецким ученым И. Кеплером, который опирался на материалы наблюдений, полученные его предшественниками, в частности датским ученым Т. Браге. В результате многотрудных поисков Кеплер сформулировал следующие три закона: – планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце; – площади, «заметенные» радиусом-вектором, идущим от Солнца к планете, пропорциональны промежуткам времени ее перемещения; – квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит. Но законы Кеплера имеют только кинематический характер, т.е. они не рассматривают причины (силы), обусловливающие движение планет. Хотя некоторые ученые того времени были близки к правильному пониманию этих причин — они отмечали свойство небесных тел притягиваться друг к другу (Н. Коперник, Г. Галилей). Сам Кеплер писал: «Если в какомнибудь месте мира находились бы два камня на близком расстоянии друг к другу и вне сферы действия, какого бы ни было родственного им тела, то эти камни стремились бы соединиться друг с другом подобно двум магнитам». Еще ближе к пониманию сущности движения планет был Р. Гук, отметивший факт увеличения притяжения небесных тел при уменьшении расстояния между ними. Но наиболее полное и строгое описание взаимодействия тел дал И. Ньютон в 1687 г. в своем знаменитом трактате «Математические начала натуральной философии». Он открыл закон, впоследствии получивший название закона всемирного тяготения: две материальные точки масс m1и m2 притягиваются одна к другой с силой F, которая прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними, т.е. Здесь γ – универсальная гравитационная постоянная, одна и та же для всей Вселенной –11 3 –1 –2 (γ=6.67.10 м .кг .с ). Этот закон — фундамент небесной механики. Во всех ее основных задачах силы взаимодействия между телами определяются формулой Ньютона (1). 1 АСТРОНОМИЯ Задача трех тел и ее точные решения О задаче n тел Пусть n – произвольное целое число. Фундаментальная задача небесной механики – задача n тел – состоит в следующем. В пустоте находятся n материальных точек, взаимодействующих по закону всемирного тяготения Ньютона. Заданы начальные положения и скорости точек. Требуется найти положения точек для всех последующих моментов времени [1—3]. Математические трудности исследования этой задачи быстро возрастают с ростом числа тел. Для произвольного n задача не решена до сих пор, хотя существует целый ряд аналитических и численных методов, ориентированных на использование компьютеров, которые могут дать приближенное решение задачи. Для заданных конкретных начальных условий можно определить положение каждой из n точек с любой необходимой для практики точностью для любого конечного отрезка времени. Но эти методы не способны дать ответ на вопрос о поведении точек на сколь угодно большом неограниченном промежутке времени, хотя данный вопрос крайне важен в задаче о будущей судьбе Солнечной системы, да и всего мироздания. Однако для двух частных значений n задача n тел решена полностью. И произошло это очень давно, лет 300—350 назад, на заре становления современной механики. Речь идет о задачах одного и двух тел (n=1 и n=2). Кратко остановимся на них. Случай n=1. Решение задачи о движении одного тела содержится уже в первом законе Ньютона – законе инерции: всякое тело удерживается в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не побуждается приложенными силами изменить это свое состояние. Так как тело одно-единственное, а «побуждающие» силы могут действовать только со стороны других тел (которых при n=1 нет!), то оно, в соответствии с законом инерции, движется равномерно и прямолинейно. Это и дает полное решение задачи n тел при n=1. Случай n=2. Решение задачи двух тел также было получено Ньютоном. Опираясь на кеплеровские законы движения планет и на некоторые другие результаты своих предшественников, Ньютон по заданному движению планеты установил силу (1) ее взаимодействия с Солнцем. Но он рассмотрел и обратную задачу (в данном случае задачу двух тел): найти движение двух тел, взаимодействующих с силой, определяемой формулой (1). Оказалось, что тела движутся в фиксированной плоскости, определяемой начальными условиями, а их орбиты друг относительно друга и относительно общего центра масс представляют собой кривые, называемые коническими сечениями*. Таким образом, Ньютон доказал, что орбиты в задаче двух тел могут быть эллипсами, гиперболами или параболами. Эти орбиты в небесной механике называют еще кеплеровскими орбитами. Задача трех тел – модельная задача небесной механики Какой путь проходит ученый, занимающийся реальными научными проблемами естествознания? Формы взаимодействия материальных объектов, участвующих в исследуемом им процессе, как правило, настолько сложны и многообразны, что в задачах механики и физики точное их описание математическими уравнениями оказывается невозможным. А если бы даже сами уравнения и удалось составить, все равно пришлось бы столкнуться с не преодолимыми трудностями при их решении. Поэтому предварительно анализируют причины, определяющие основные качественные характеристики изучаемого процесса. Малосущественными причинами пренебрегают и внимание сосредоточивают на основных. Математическая задача при этом упрощается. Следовательно, формулируется некоторая, близкая к реальной, но упрощенная задача, идеализирующая рассматриваемый процесс. Такие задачи называют модельными. Именно их затем анализируют математически. * Коническое сечение — кривая, которая получается при пересечении поверхности конуса плоскостью: эллипс, парабола или гипербола. 2 АСТРОНОМИЯ Задача трех тел и ее точные решения Одна из таких модельных задач небесной механики — задача двух тел. Если пренебречь взаимным притяжением планет, а также рядом других факторов, таких как сопротивление межпланетной среды, несферичность планет, изменение со временем их масс и массы Солнца и т.д., то придем к задаче о движении только под действием взаимного притяжения двух тел — одной планеты и Солнца. Но на самом деле планеты притягивают одна другую, поэтому движение каждой из них не описывается задачей двух тел. Для пояснения влияния сил взаимного притяжения планет на их движение сопоставим величину силы FJ притяжения Земли Юпитером (масса которого превосходит массу остальных восьми планет, вместе взятых) с величиной силы FS притяжения Земли Солнцем. Вычисления показывают [2], что FJ/FS < 0.0006. Как видим, силы взаимного притяжения планет малы по сравнению с солнечными силами притяжения. Но они существуют! И их наличие приводит к заметному эффекту на больших промежутках времени. В небесной механике движение планеты по эллипсу под действием притяжения одного Солнца называют невозмущенным, а силы взаимного притяжения планет – возмущающими. Движения планет, происходящие с учетом последних, определяют как возмущенные движения. Как построить модельную задачу для теории движения планет, учитывающую основные возмущения? Мы видели, что на отдельно взятую планету наибольшее воздействие будет оказывать Солнце. Из возмущений со стороны других тел Солнечной системы необходимо, прежде всего, принять во внимание влияние Юпитера как самого массивного члена Солнечной системы после Солнца. Воздействием других тел Солнечной системы на первом этапе вполне можно пренебречь. Таким образом, мы приходим еще к одной важнейшей модельной задаче небесной механики – о движении трех тел под действием сил взаимного тяготения по закону Ньютона. Но, в отличие от случая двух тел, эта задача не допускает общего решения, позволяющего для произвольных значений координат и скоростей тел в начальный момент времени t=0 предсказать положение каждого из трех тел для любого будущего момента времени t>0. А ведь ввиду своей важности задача трех тел привлекала к себе внимание многих математиков и механиков, среди которых были крупнейшие ученые. Ж. Лагранж, К. Якоби, А. Пуанкаре, Дж. Биркгоф и др. затратили на эту задачу много лет упорного труда, выдав целый поток блестящих идей, получив много ценных результатов и развив новые методы, но построить общее решение так и не удалось. В конце прошлого века ученые пошли на штурм этой задачи с другой стороны: решили показать невозможность построения общего решения. Г. Брунсу и А. Пуанкаре удалось доказать, что общее решение задачи трех тел нельзя выразить через алгебраические или через однозначные трансцендентные функции координат и скоростей тел. Поэтому при современном состоянии математики общее решение можно найти только с помощью бесконечных рядов того или иного характера. В 1912 г. финский математик К. Зундман в результате глубоких исследований дал такое решение в виде рядов, расположенных по степеням некоторой, введенной им вместо времени t, вспомогательной переменной. Но через двадцать лет вопрос о практической значимости рядов Зундмана для астрономии, к сожалению, был решен в отрицательном смысле. Французский ученый Д. Белорицкий показал: чтобы на основе рядов Зундмана вычислить положение какой-либо планеты с точностью, достаточной для астрономических приложений, нужно в этих рядах взять число членов, выражаемое единицей с многими десятками нулей. Такие вычисления недоступны даже для современных компьютеров. 3 АСТРОНОМИЯ Задача трех тел и ее точные решения Точные решения Хотя общее решение задачи трех тел получить не удалось, тем не менее, уже более двухсот лет известны ее точные частные решения. В 1772 г. Лагранж опубликовал свой знаменитый мемуар «О задаче трех тел», удостоенный впоследствии премии Парижской академии наук. В нем, занимаясь уравнениями задачи трех тел, Лагранж, между прочим, указывает на существование двух классов движений в задаче трех тел, которые описываются несложными математическими формулами. Для движений одного класса три взаимно притягивающиеся по закону Ньютона точки P1, P2и P3, расположенные в вершинах равностороннего треугольника произвольных размеров, при определенных по величине и на правлению скоростях будут и в последующем двигаться, постоянно образуя равносторонний треугольник. Изменение его стороны со временем и вращение вокруг центра масс можно определить, пользуясь законами Кеплера. Частные решения этого класса называют треугольными, или лагранжевыми, решениями. В движениях второго класса все три тела постоянно находятся на одной прямой, вращающейся вокруг общего центра масс тел в соответствии со вторым законом Кеплера, а расстояния между телами изменяются опять же по законам кеплеровских движений. Существование таких частных решений было отмечено Эйлером в 1767 г., за пять лет до мемуара Лагранжа. Решения второго класса получили название прямолинейных (коллинеарных), или эйлеровых. Траектории тел P1, P2и P3, соответствующие обоим классам решений, по казаны на рисунке 1. Представлен случай эллиптического движения. Точка ми отмечены положения тел для трех (и двух) моментов времени соответственно. Лагранжевые и эйлеровые решения существуют Докажем существование точных решений задачи трех тел [4], ограничиваясь для простоты случаем, когда тела движутся относительно их общего центра масс по круговым орбитам. Рис.1. Траектории для точных решений задачи трех тел: а – треугольные решения Лагранжа; б – прямолинейные решения Эйлера. 4 АСТРОНОМИЯ Задача трех тел и ее точные решения Доказательство основано на том, что центробежная сила для каждого из вращающихся тел должна уравновешиваться силами притяжения двух других тел. Пусть масса тела Pi равна mi (i=1, 2, 3). Для расстояний между телами введем обозначения: P2P3= r1, P1P3= r2, P1P2= r3. Угловую скорость вращения обозначим через ω. Рассмотрим сначала треугольные решения (рис.2,а). Для тела P3 центробежная сила рав2 на m3ω P3G и направлена от центра масс G к телу P3. Проектируя ее и силы притяжения тела P3 телами P1и P2 на ось, проходящую через от резок P3G, и на ось, перпендикулярную к P3G, с учетом равенства (1) получаем два условия: Но из подобия треугольников P1AC и P2BC следует, что Из (3) и (4) получаем, что r1= r2. Аналогично, рассматривая движение тела P2, приходим к выводу, что r1= r3. Следовательно, чтобы существовало движение, при котором треугольник P1P2P3 вращался бы в фиксированной плоскости с постоянной угловой скоростью, этот треугольник должен быть равно сторонним. Обозначим длину его стороны через l. Рис.2. К доказательству существования точных решений. Здесь С – центр масс тел P1 иP2, а G – центр масс всех тел, поэтому m1P1C=m2P2C, (m1+m2)CG=m3P3G; FCP3P1=α1, FCP3P2=α2; P1A иP2B перпендикулярны P3C; CD параллелен P1P3. Из (2) можно найти угловую скорость вращения треугольника. Связь между геометрическими величинами, входящими в эту формулу, помогает установить дополнительное построение — проведение из точки C линии, параллельной стороне P1P3. С учетом того, что r1= r2= r3, получаем 5 АСТРОНОМИЯ Задача трех тел и ее точные решения 2 Ясно, что тоже значение для ω получится, если рассматривать движение тела P2 или P1. Таким образом, доказано существование движения, при котором тела располагаются в вершинах равностороннего треугольника со стороной l. Величина l произвольна, а угловая скорость вращения треугольника в его плоскости определяется равенством (5). Теперь докажем существование прямолинейных решений (рис.2,б). Обозначим через xi координату тела Pi относительно центра масс G, а через ri — расстояния между телами r1= x3– x2, r2= x3– x1, r3= x2– x1. Рассмотрим случай, когда тело P2 расположено между P1и P3, слева от P3 и справа от P1. Тогда x1< x2< x3, причем x1< 0, x3 > 0, а x2 может быть как положительной, так и отрицательной величиной. Условия равенства сил дают три уравнения типа: которые определяют отношения величин ri одна к другой. Положим r1: r3= z. Тогда можно найти, что Отсюда получаем уравнение пятой степени относительно z: Так как по своему смыслу величина z должна быть положительной, нас интересуют только вещественные положительные корни уравнения (7). Докажем, что такой корень существует и является единственным. Для этого, во-первых, заметим, что, будучи уравнением нечетной степени, оно должно иметь хотя бы один вещественный корень. Во-вторых, это уравнение не имеет отрицательных корней. Действительно, его можно пре образовать к виду При отрицательных значениях z коэффициенты при m1, m2, m3 в левой части этого равенства будут всегда положительными. Отсюда, ввиду положительности величин m1, m2, m3, следует, что последнее равенство при отрицательных z заведомо не выполняется. В-третьих, n n-1 известно, что число положительных корней уравнения a0x +a1x +…+an=0 не больше числа перемен знака в последовательности a0, a1, …, an его коэффициентов и может отличаться от него лишь на четное число (теорема Декарта). Но в последовательности коэффициентов уравнения (7) есть только одна перемена знака. Таким образом, уравнение (7) дает единственное значение z для отношения r1: r3. Расстояние r3 может быть любым. При известной величине z и заданном значении r3 можно найти координаты точек Pi и угловую скорость вращения тел вокруг их общего центра масс 6 АСТРОНОМИЯ Задача трех тел и ее точные решения Мы доказали существование прямолинейных решений, предполагая, что тело P2 располагается между P1и P3. Существуют еще два решения, соответствующие случаям, когда промежуточное положение занимает тело P1 или P3. Ограниченная задача трех тел и точки либрации Для небесной механики и динамики космических полетов наиболее важна так называемая ограниченная задача трех тел. Она состоит в изучении движения тела P малой массы m3 под действием ньютоновского притяжения тел S и J, обладающих большими, но конечными массами m1и m2(m1 ≥ m2 >> m3) в предположении, что маленькое тело не влияет на движение последних. Поэтому тела S и J перемещаются по орбитам, определяемым задачей двух тел, так что их движение известно, и анализ сводится к исследованию поведения только одного тела P. Например, если пренебречь притяжением Солнца, то движение космического аппарата на трассе Земля—Луна с приемлемой точностью описывается в рамках ограниченной задачи трех тел. Конечно, такая задача значительно проще общей (неограниченной) задачи трех тел, но и ее общее решение не найдено. В зависимости от формы орбит тел S и J можно различать гиперболическую, параболическую и эллиптическую ограниченные задачи трех тел. Когда эти тела движутся по окружностям, говорят о круговой ограниченной задаче. Если тело P все время находится в плоскости движения тел S и J, то соответствующая ограниченная задача называется плоской, а иначе — пространственной. С многих точек зрения удобно изучать движение тела P в системе координат, вращающейся вместе с телами S и J, выбрав переменные так, чтобы расстояние между телами S и J было постоянным. В этой системе координат упомянутым выше точным решениям задачи трех тел соответствуют фиксированные точки – положения равновесия тела P. Точки, лежащие на прямой, проходящей через S и J, обозначают через L1, L2и L3, а точки, образующие равносторонние треугольники с телами S и J, обозначают через L4и L5 (рис.3). Если тело P поместить в Li с нулевой (во вращающейся системе координат) скоростью, то оно останется неподвижным. Точки Li часто называют точками либрации, или либрационными центрами: L4и L5 – треугольными, а L1, L2, L3 – прямолинейными (коллинеарными). «Греки», «троянцы» и облака Кордылевского Сначала, сразу после нахождения точных решений задачи трех тел, казалось, что они представляют только теоретический интерес. Сам Лагранж относился к ним не более как к любопытному математическому курьезу, не имеющему значения для астрономии. Но природа распорядилась по-своему. 7 АСТРОНОМИЯ Задача трех тел и ее точные решения Рис.3. Точки либрации (О – центр масс тел S и J). В 1907 г. в Гейдельберге астрономы открыли астероид, движущийся вблизи орбиты Юпитера, впереди него на 60°, и образующий вместе с Солнцем и Юпитером равносторонний треугольник (рис.4). Тем самым в природе было обнаружено движение, существование которого предсказывалось теоретическим исследованием Лагранжа, выполненным 135 годами ранее! Астероиду дали имя Ахиллес. В результате дальнейших наблюдений было найдено еще восемь астероидов, движущихся недалеко от Ахиллеса в окрестности вершины равностороннего треугольника, а также пять астероидов, отстающих от Юпитера на 60° и образующих с ним и Солнцем другой равносторонний треугольник (рис.4). Все эти малые планеты получили мужские имена, взятые из древнегреческого эпоса о Троянской войне. Астероиды первой группы получили имена героев греческого войска, поэтому их иногда называют «греками». Астероиды, отстающие от Юпитера, именованы в честь защитников Трои — они известны как «троянцы». Точки либрации могут иметь большое значение для понимания происхождения и эволюции Земли, Солнца и планет. Так называемые малые тела, интересующие ученых в связи с решением космологических вопросов, могут накапливаться в точках либрации. Например, в 1961 г. астроном Краковской обсерватории К. Кордылевский обнаружил «тусклые облакоподобные спутники» в окрестности треугольной точки либрации L5 системы Земля— Луна. Несколько позже он сообщил о наблюдении аналогичного космического облака вблизи L4. Эти открытия были вскоре подтверждены американскими астрономами. Рис.4. «Греки» и «троянцы». Об устойчивости точек либрации Как ведет себя космическая частица, попав в малую окрестность точки либрации Li (i=1,2,…,5) с небольшой относительной скоростью? Останется ли она вечно вблизи этой точки или за конечное время покинет ее окрестность? В первом случае говорят, что точка либрации устойчива, а во втором — неустойчива. 8 АСТРОНОМИЯ Задача трех тел и ее точные решения Задача об устойчивости прямолинейных точек либрации оказалась сравнительно несложной. Она решена давно, причем отрицательно — все три точки L1, L2 и L3 неустойчивы. Это значит, что частицы космической материи, попадающие в их окрестности, со временем выбрасываются оттуда. Вопрос об устойчивости треугольных точек либрации оказался более трудным. Рассмотрим только случай плоской круговой ограниченной задачи. Из исследований известного английского механика Э. Рауса и русского математика и механика А.М. Ляпунова, посвященных общей (неограниченной) задаче трех тел, следует, что для устойчивости треугольных точек либрации круговой ограниченной задачи трех тел необходимо, чтобы отношение масс притягивающих точек µ = m2/(m1+m2) было малым. Более точно требуется выполнение неравенства т.е. 0 < µ < (9√69)/18=0,0385208…. До Рауса и Ляпунова это неравенство упоминалось в одной статье Г. Гашо, опубликованной в 1843 г. Данное условие было получено из анализа линейных уравнений движения точки P малой массы в окрестности вершины равностороннего треугольника. Но в математической теории устойчивости движения доказано, что во многих случаях (к ним относится и рассматриваемая задача) исследования линейных уравнений недостаточно для получения окончательных строгих выводов об устойчивости: движение, устойчивое в линейной задаче, может быть неустойчивым в полной нелинейной. Поэтому и после работ Рауса и Ляпунова вопрос об устойчивости треугольных точек либрации плоской круговой ограниченной задачи трех тел оставался открытым еще около ста лет. Продвижение стало возможным лет сорок назад. К этому времени труда ми советских ученых А.Н. Колмогорова и В.И. Арнольда и американского математика Ю. Мозера был получен целый ряд новых принципиальных результатов в общей теории гамильтоновых систем (к ним относится большинство систем, изучаемых в небесной механике, в том числе и трех тел). Опираясь на эти результаты, М.А. Леонтович в 1962 г. установил, что для всех значений отношения масс, удовлетворяющих условию (8), имеет место устойчивость, кроме, может быть, некоторого дискретного множества значений этого отношения. Несколько позднее, в 1967 г., американские ученые, супруги Депри, доказали, что это исключительное множество состоит всего из трех значений µ, при которых результаты теории Колмогорова—Арнольда— Мозера не применимы. Окончательный результат был получен в 1968 г. и опубликован в 1969 г. [5]. Оказалось, что треугольные точки либрации плоской круговой ограниченной задачи трех тел устойчивы при всех значениях из области (8), кроме двух: В вопросе об устойчивости треугольных решений Лагранжа для других вариантов задачи трех тел (пространственного, эллиптического) к настоящему времени также достигнут значительный прогресс, но полного решения нет до сих пор. Взгляд в будущее В недавнее время интерес к точкам либрации возрос в связи с практически ми потребностями космических исследований. Существуют проекты запуска искусственных спутников в окрестности точек либрации Солнечной системы. Все чаще подчеркивается важность их необычных динамических свойств с астродинамической, геофизической и эксплуатационной точек зрения. 9 АСТРОНОМИЯ Задача трех тел и ее точные решения Были проекты создания в точках либрации баз для стоянок и техобслуживания космических станций (для проведения космических аварийно-спасательных работ, для размещения установок по проведению технологических процессов, требующих невесомости и высокого вакуума). Обсуждались проекты постройки в этих точках внеатмосферных астрофизических обсерваторий и т.д. Многие из этих проектов кажутся пока фантастическими. Пока… Рис.5. Искусственный спутник связи в окрестности точки либрации L2 системы Земля—Луна. Особенно много внимания уделяется проектам использования прямо линейной точки либрации L2 системы Земля—Луна. Она расположена на луче Земля—Луна, за Луной, на расстоянии примерно 65000 км. Спутник, движущийся вблизи L2, может служить ретранслятором для связи наземного пункта с космическим аппаратом, находящимся на обратной стороне Луны или на орбите искусственного спутника Луны, когда последний оказывается за Луной и непосредственная прямая радиосвязь с ним невозможна. (Ведь на Луне, в отличие от Земли, нет ионосферы, отражающей короткие волны.) На рисунке 5 изображена схема использования спутника, движущегося вблизи L2, для связи между Землей и обратной стороной Луны. На этом рисунке система координат L2xyz выбрана так, что ось L2x направлена вдоль луча Земля—Луна, L2y лежит в плоскости орбиты Луны, а L2z перпендикулярна этой плоскости. Если спутник расположен вблизи плоскости L2yz, а расстояние от него до L2 превосходит примерно 3100 км, то он может быть применен для непрерывной радиосвязи между обратной стороной Луны и любой точкой поверхности Земли. Движущийся вблизи L2 спутник можно задействовать и для окололунных космических операций. На этот счет есть разные соображения. Расчеты показали, что энергозатраты на удержание спутника вблизи точки L2 (из-за ее неустойчивости) вполне приемлемы для современной космической техники. Независимо от конкретных космических приложений точки либрации имеют и самостоятельный общемеханический и математический интерес. Многочисленные исследования показали, что сами эти точки и характер движения в их окрестности тесно связаны с общим характером движения в задаче трех тел, а это крайне важно из-за того, что общее решение задачи трех тел, как уже говорилось, не найдено. ЛИТЕРАТУРА 1 Дубошин Г.Н. Небесная механика: Аналитические и качественные методы. М.: Наука, 1964. 2 Демин В.Г. Судьба Солнечной системы. М.: Наука, 1975. 3 Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.: ЧеРо, 1999. 4 Парс Л. Аналитическая динамика. М.: Наука, 1971. 5 Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978. 10
