12-Астрофизика, физика космоса

12-Астрофизика, физика космоса
Балуев Роман Владимирович, 5 курс
Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский государственный университет, математико-механический
Статистические распределения масс и орбитальных параметров внесолнечных планет
Холшевников Константин Владиславович, д.ф.-м.н.
стр. 506
e-mail: m01brv@star.math.spbu.ru
Васюнин Антон Иванович, аспирант
Екатеринбург, Уральский государственный университет, физический
Стохастическое моделирование химической эволюции межзвездной среды
Соболев Андрей Михайлович, к.ф.-м.н.
e-mail: Vasyunin@mail.ru
стр. 507
Жиганова Евгения Викторовна, аспирант 3 года
Екатеринбург, Уральский государственный технический университет - УПИ, физико-технический
Мессбауэровское исследование железосодержащих фаз обыкновенных хондритов разных типов
Гроховский Виктор Иосифович, к.т.н.
e-mail: evgeniya@dpt.ustu.ru
стр. 507
Кононенко Алексей Михайлович, 4 курс
Челябинск, Челябинский государственный университет, физический
Токовые слои и рентгеновское излучение в магнитосферах молодых звезд
Дудоров Александр Егорович, д.ф.-м.н.
e-mail: lexxsystem@rambler.ru
стр. 508
Никитина Елена Борисовна, 3 курс
Красноярск, Красноярский государственный университет, Физический
Исследование свойств линзирования шаровыми скоплениями
Границкий Лев Васильевич, к.ф.-м.н.
e-mail: maggika@mail.ru
стр. 508
Рассадин Александр Эдуардович, коорд. объед. научно-обр. прогр.
Нижний Новгород, Нижегородское региональное отделение НТОРЭС им. А. С. Попова
Зависимость параметра Хаббла Н от параметров, определяющих эволюцию массивного скалярного поля
на околосингулярной стадии
Кочнев Андрей Александрович, e-mail: al_ras@pochta.ru
стр. 510
Старовойтов Максим Валерьевич, 3 курс
Владивосток, ИФИТ ДВГУ, физико-технический
Оптимизация траекторий в баллистической задаче
e-mail: max-star@inbox.ru
стр. 511
505
Статистические распределения масс и орбитальных параметров внесолнечных планет
Балуев Роман Владимирович
Санкт-Петербургский государственный университет
Холшевников Константин Владиславович, д.ф.-м.н.
m01brv@star.math.spbu.ru
С момента открытия в Обсерватории Верхнего Прованса (Франция) в 1995 г. первой внесолнечной
планеты, обращающейся вокруг звезды солнечного типа 51 Пегаса, прошло 11 лет. Это эпохальное событие
поставило множество вопросов и открыло новую область астрономических исследований. На сегодня известно
около 150 подтверждённых (наблюдениями многих обсерваторий) кандидатов во внесолнечные планеты и ещё
около 20 ожидают подтверждения [1, 2]. Большая часть открытых планетных систем существенно отличается
от Солнечной. В частности, массы значительной доли открытых экзопланет существенно превышают массу
Юпитера; при этом движутся такие объекты на малых расстояниях от центральной звезды. Около 15 % всех
экзопланет (в том числе и упомянутая 51 Peg b) входят в класс «горячих юпитеров» – планет с большой
полуосью орбиты около 0.05 а.е. и массой около массы Юпитера. Само наличие этих объектов поставило под
сомнение принятые ранее теории образования планетных систем, основанные на единственном примере
Солнечной системы, и привело к развитию теорий орбитальной миграции и др.
Подавляющее большинство экзопланет было обнаружено по вариациям лучевой скорости центральной
звезды, вызванных гравитационным взаимодействием с планетой. Такой метод (как впрочем и любой другой)
вносит искажения в наблюдаемые распределения как масс, так и орбитальных параметров открываемых
объектов. Чем больше масса планеты и чем ближе она к своей звезде, тем больше амплитуда колебаний
лучевой скорости и тем проще планету обнаружить. Могут быть открыты только планеты, орбитальный период
(а значит, и большая полуось) которых достаточно мал, в связи с необходимостью проследить кривую лучевых
скоростей на протяжении приблизительно всего орбитального периода планеты. Кроме того, из наблюдений не
определяется ни сама масса планеты m, ни угол наклона i её орбиты к картинной плоскости, а лишь их
комбинация m sin i. Очевидно, распределение наблюдаемых масс m sin i не совпадает с интересующим нас
распределением истинных масс m. Эти главные (но не единственные) свойства метода лучевых скоростей
приводят к сильным искажающим эффектам, которые требуют должного учёта.
Следует также отметить, что всё ещё недостаточное количество объектов в наблюдаемой выборке
экзопланет приводит к большому статистическому шуму, также искажающему получаемые из наблюдений
распределения. Эту проблему следует даже вынести на первое место, поскольку перед коррекцией
наблюдаемой плотности распределения какой либо величины за селекцию и эффект неизвестного наклона
необходимо получить само это наблюдаемое распределение, свободное от статистического шума.
Изложенные соображения заставляют признать, что вопрос о степени уникальности Солнечной системы
остаётся открытым. В представленной работе проводится анализ значимости и надёжности некоторых
полученных зарубежными авторами статистических результатов, касающихся внесолнечных планет. В
сущности, решается последняя описанная задача очистки от статистического шума. Был разработан метод
непараметрической оценки плотности рапределения какой-либо случайной величины, основанный на
использовании вейвлет-преобразований. Метод нацелен на поиск (выявление) специфических структур в
рассматриваемом распределении и даёт существенно лучшую точность, чем классические методы
непараметрической математической статистики. Этот метод был применён к одномерным распределениям
важнейших характеристик экзопланет и их орбит. Демонстрируется полученные с его помощью результаты, в
частности, полученные корректные оценки надежности факта присутствия «горячих юпитеров» как отдельной
популяции. При этом действие наблюдательной селекции и эффекта неизвестного наклона не влияет на этот
вывод. Более подробнее проблема изложена автором в [4].
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
(грант 05-02-17408), программы «Университеты России» (проект УР. 02.01.301), Ведущей научной школы
(грант НШ-1078.2003.2).
Список публикаций:
[1] Shneider J. The Extrasolar Planets Encyclopaedia // http://www.obspm.fr/planets, 2006.
[2] Espresate J. Catalog of 156 confirmed extrasolar planets and their 133 parent stars // arXiv: astro-ph/0508317, 2005.
[3] Daubechies I. Ten lectures on wavelets // SIAM, Philadelphia, 1992.
[4] Baluyev R.V., Statistics of masses and orbital parameters of extrasolar planets using continuous wavelet transforms // In:
«Tenth anniversary of 51 Peg b: status of and prospects for hot Jupiter studies», proc. of Haute Provence observatory colloq.
(France, 22-25 aug. 2005), in press.
506
Стохастическое моделирование химической эволюции межзвездной среды
Васюнин Антон Иванович
Уральский государственный университет
Соболев Андрей Михайлович, к.ф.-м.н.
Anton.Vasyunin@usu.ru
Построена стохастическая модель химической эволюции межзвездного облака, впервые учитывающая
как химические реакции в газовой фазе, так и процессы аккреции/десорбции и реакции на поверхности
пылевых частиц. Модель включает в себя все 3864 реакции в газовой фазе из базы данных UMIST 95 [1] и 191
поверхностную реакцию из работы [2].
Расчет модели проведен для случая темного облака (T=10 K, nH=2·104 см-3, поле ультрафиолетового
излучения отсутствует). Разработанный нами ускоренный метод стохастического моделирования позволил
провести расчет эволюции облака на промежутке 106 лет на компьютере класса Pentium 4 Prescott 3 ГГц за
машинное время порядка 48 часов. Полученные результаты показывают, что учет стохастической природы
химических процессов приводит к значительным отличиям от результатов расчетов в приближении
детерминистического подхода.
Расчетный код протестирован путем расчета описанной выше модели без включения поверхностных
реакций. В этом случае наблюдается хорошее согласие результатов расчетов классическим и стохастическим
методами.
Список публикаций:
[1] Millar T.J., Farquhar P.R.A., Willacy K. The UMIST Database for Astrochemistry 1995 // A&AS 1997. Vol. 121 P. 139.
[2] Hasegawa T.I., Herbst E., Leung C.M. Models of gas-grain chemistry in dense interstellar clouds with complex organic
molecules // Astrophys. J. Suppl. Seri. 1992. Vol. 82 P. 167.
[3] Васюнин А.И., Шематович В.И. Стохастические методы моделирования химии межзвездной среды // Физика
Космоса: Тр. 34-й Международ. студ. науч. конф., Екатеринбург, 28 янв.-1 февр.2005 г. Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та,
2005, С. 246.
Мёссбауэровское исследование железосодержащих фаз
обыкновенных хондритов разных типов
Жиганова Евгения Викторовна
Уральский государственный технический университет – УПИ
Гроховский Виктор Иосифович, к.т.н., Оштрах Михаил Иосифович, д.ф.-м.н.
evgeniya@dpt.ustu.ru
Среди различных физических методов исследования железосодержащих веществ мессбауэровская
спектроскопия занимает особое место. Высокая разрешающая способность метода позволяет фиксировать
изменения энергии ядерных переходов, обусловленные перераспределением электронной плотности вблизи
резонансного ядра, и, следовательно, получать локальные характеристики атомного окружения в решетке
металлов, сплавов и соединений.
Обыкновенные хондриты представляют собой вещество, относящееся к ранним стадиям эволюции
Солнечной системы. Этот тип метеоритов представляет собой агломерат сферических силикатных объектов
(хондр) и их осколков, металлических и сульфидных частиц и тонкодисперсной матрицы. Химический состав
обыкновенных хондритов характеризуестя общим содержанием железа 19–28 мас.%, включая 2–17 мас.%
металлического железа (Fe–Ni–Co), 4–6 мас.% железа в сульфидах (FeS), и 10–18 wt.% железа в силикатах
(оливины (Fe,Mg)2SiO4 и пироксены (Fe,Mg)SiO3). На основании содержания металла обыкновенные хондриты
делят на три группы: H (15–19 мас.%), L (4–10 мас.%) и LL (1–3 мас.%). Часть железа, в частности
металлического, может быть окислена в процессе пребывания метеоритного вещества в земных условиях.
Методом мессбауэровской спектроскопии проведено сравнительное исследование железосодержащих
фаз обыкновенных хондритов химических групп H и L. Изучены образцы метеоритов Царев L5, Farmington L5,
Mbale L5/6, Кунашак L6, Звонковое H6, Венгерово H5, Зубковский L6 и Саратов L4. Мессбауэровские спектры
были измерены при комнатной температуре с помощью высокостабильного прецизионного спектрометра СМ2201 в геометрии пропускания с движущимся поглотителем. Мессбауэровские спектры некоторых хондритов
показаны на рис.1. В результате аппроксимации спектров получены оценки мессбауэровских параметров для
соответствующих компонент. Обнаружено, что для некоторых минералов, присутствующих в разных
хондритах, оценки мессбауэровских параметров оказались различными. Например, выявлены отличия
величины сверхтонкого магнитного поля для компоненты металлического железа. Более того, эта компонента
507
была обработана с помощью двух секстетов для образцов двух хондритов, что свидетельствует о присутствии,
по меньшей мере, двух разных сплавов Fe–Ni.
a
b
рис.1. Мессбауэровские спектры обыкновенных хондритов: a – Саратов L4 (1 – металлическое железо,
2 – троилит, 3 – оливин, 4 – пироксен, 5 – окисленное железо); b – Кунашак L6 (1, 2 – металлической железо,
3 – троилит, 4 – оливин, 5 – пироксен). T=297 K.
Токовые слои и рентгеновское излучение в магнитосферах молодых звезд
Кононенко Алексей Михайлович
Челябинский государственный университет
Дудоров Александр Егорович, д.ф-м.н
lexxsystem@rambler.ru
Наблюдения показывают, что рентгеновская светимость маломассивных молодых звезд типа Т Тельца
может достигать 1030 эрг/с, что превышает среднюю рентгеновскую светимость Солнца в сотни раз. В данной
работе исследуется гипотеза, что постоянное рентгеновское излучение малломассивных звезд возникает в
токовом слое на внутренней границе аккреционного диска. Предполагается, что магнитное поле звезды имеет
дипольную компоненту, которая вблизи внутренней границы аккреционного диска направлена противоположно
полю диска. В процессе аккреции поле диска постоянно взаимодействует с полем звезды, поэтому
возникающий в месте их аннигиляции токовый слой никогда не исчезает. Из проведенных нами аналитических
и численных расчетов следует, что для достижения наблюдаемой рентгеновской светимости при магнитном
поле 100 Гс необходима концентрация заряженных частиц 1011 – 1013 см-3.
Исследование свойств линзирования шаровыми скоплениями
Никитина Елена Борисовна
Борисевич Алексей Николаевич
Красноярский государственный университет
Границкий Лев Васильевич, к.ф.-м.н.
maggika@mail.ru
Шаровые скопления (ШС) – это звездная система. Населяющие его звезды гравитационно
взаимодействуют друг с другом, с окружающими звездами, газопылевыми облаками, скоплениями и с общим
гравитационным полем Галактики.
Каждое скопление состоит из наиболее плотной центральной области, называемой ядром скопления, и
окружающей ядро коронарной области (или короны), звездная плотность в которой в десятки, а у очень
богатых звездами массивных скоплений в тысячи и миллионы раз меньше плотности ядра. Ядро – это то, что
непосредственно бросается в глаза как звездное скопление. Корона – внешняя протяженная область скопления,
определяющая его истинные размеры. Достаточно уверенно можно выделить несколько различных
пространственных зон в скоплении, в котором градиент плотности примерно постоянен или слабо меняется, а
на границе каждой зоны происходит его быстрое изменение.
Зона I – неразрешима (она не учитывается);
Зона II – внутренняя зона ядра с радиусом R2. В ней происходит наиболее быстрое уменьшение звездной
плотности. Ее радиус R2 примерно равен 2' – 3';
Зона III – внешняя зона ядра с радиусом R3. Его определяют как границу между ядром и короной
скопления;
Зона IV – внутренняя корона с радиусом R4 и медленным убыванием звездной плотности;
508
Зона V и VI – средние зоны короны с радиусами R5 и R6, в которых убывание плотности весьма мало;
Зона VII – внешняя корона с радиусом R7, который принят за радиус скопления.
Во внутренних областях большинства зон обычно наблюдается превышение значения плотности над
линией среднего градиента в зоне, а на ее границах – наоборот, что проявляется в виде ступенек и волн в ходе
кривых. Этот эффект наблюдается в основном в области короны скопления и по мере перехода к большим
относительным видимым звездным величинам постепенно замывается.
Все вышесказанное позволяет предположить, что ШС в известном смысле обладают слоистой
структурой, где отдельные слои – это указанные выше пространственные зоны.
Для
ШС
радиальная
зависимость
ρ ( p ) = ρ
ρ ( p ) = 0
объемной
(1 +
0
p
2
плотности
/ r c2 )
− 3 / 2
задается
распределением
Кинга:
при р<rt
(1)
при р≥rt
где р – прицельный параметр, ρ0 – центральная объемная плотность, rc – радиус ядра, rt – внешний радиус
скопления.
Эффект гравитационных линз основан на преломлении световых лучей в поле тяготения.
Гравитационное поле массивного тела действует подобно собирательной оптической линзе. Объекты с массами
103 – 109 М☼ называются мезолинзами. Кинговскими линзами называют объекты, удовлетворяющие условию
(1). Гравитационное отклонение лучей, проходящих на расстоянии l, определяется массой, заключенной в шаре
радиуса l. Отклоняющий нормированный угол в кинговской модели представляется как
α (x ) =
Λ(x ) ,
x
(2)
где
Λ ( x) =
(
)
(
Λ
ln( x1t )+ x 2 − 4 1 + x t2
)
−1 / 2
Λ ( xt )
⎡ (1 + x 2 )1 / 2 − 1⎤ + x 2 (1 + x 2 )− 1
t
⎥⎦
⎣⎢
при x < xt
при x ≥ xt
,
(3)
здесь x = l / rc , xt = rt / rc .
Нами исследована функция отклоняющего нормированного угла α ( x ) для некоторых ШС. Были
выбраны 10 шаровых скоплений. Отбор производился по параметру хt, от min до max значения. Функцию
исследовали на экстремумы. Первая производная исследуемой функции:
α ′(x ) =
(
)
(
)
2
ln 1 + x 2
4
4 1 + x2 −1
1 ,
−
−
+
+
2
2
2
2
2
2
1+ x
x
1
+
x2
1 + xt 1 + x
x 1 + xt
(4)
Все расчеты производились с помощью программы «Mapple». Для каждого скопления функция α(х)
имеет два экстремума, но в рассматриваемые интервалы значений х (от хmin = rc до хmax = rt) попадает только
один экстремум. Построены графики для скоплений NGC 6284 и NGC 6362.
Интересно отметить, что ШС со значением xt ≤ 15.84 в экстремуме имеют min и с возрастанием хt
увеличивается и значение хэкстр, а α(хэкстр) уменьшается. ШС со значением xt ≥ 19 .95 в экстремуме имеют max,
но с возрастанием хt значение хэкстр, а следовательно и α(хэкстр), не меняется.
α(хэкстр)
α(хэкстр)
хэкстр
рис.1. Распределение функции отклоняющего
нормированного угла для скопления 6284.
хэкстр
рис.2.Распределение функции отклоняющего
нормированного угла для скопления 6362.
509
Наличие max и min у функции α ( x ) в рассматриваемых интервалах значений х говорит о том, что в
короне скоплений функция уменьшения оптической плотности с учетом эффектов гравитационного
линзирования может характеризоваться не гладким убыванием. Следовательно, можно предположить, что для
оптической плотности ШС характерна кольцевая структура, аналогичная дифракционной картине.
Список публикаций:
[1] Пейков З.И., Кадийская Р.Й., Пространственная структура шарового скопления М15. АЖ, 2002, т.79, №3.
[2] Суханов А.Г., Никитина Е.Б., К вопросу о втором гало шаровых звездных скоплений. Сборник тезисов ВНКСФ-7,
Санкт-Петербург, 2001.
[3] БарышевЮ .В., Езова Ю.Л., Гравитационное мезолинзирование объектами кинговского типа и ассоциации квазар –
галактика. АЖ, 1997, т.74, №4.
Зависимость параметра Хаббла Н от параметров, определяющих эволюцию массивного
скалярного поля на околосингулярной стадии
Рассадин Александр Эдуардович
Нижегородское региональное отделение НТОРЭС им. А. С. Попова
Кочнев Андрей Александрович
al_ras@pochta.ru
Прогресс в релятивистской космологии за последнюю четверть столетия был связан, в основном, с
построением инфляционной космологической теории [1], которая дает пути решения проблем горизонта,
плоскостности, однородности, изотропии Вселенной и. т.д. [2], возникающих в стандартной фридмановской
космологии [3].
С геометрической точки зрения рассмотрение инфляционных теорий базируется на однородной
изотропной модели Фридмана. Однако, в связи с перспективностью инфляционной теории, большой интерес
представляет распространение ее методов на более общие динамические ситуации – анизотропные однородные
космологические модели и неоднородный случай [4, 5]. В частности, важно исследовать естественные
механизмы формирования параметра Хаббла H (определяющего темп инфляционного расширения
согласно γ αβ ∼ exp2Ht ), а также изучить зависимость H от околосингулярных (прединфляционных) начальных
данных для поля инфлантона.
Рассмотрим эту задачу в рамках одной из простейших инфляционных моделей, в которой режим
экспоненциального расширения порождается минимально-связанным массивным скалярным полем ϕ :
S [ g , ϕ ] = ∫ (− R +∇ iϕ ⋅∇ iϕ − m 2 ⋅ ϕ 2 ) ⋅ − g ⋅ d 4 x .
(1)
Выберем однородную космологическую модель типа Бьянки-I [2, 3]:
ds 2 = dt 2 − q1 (t ) ⋅ (dx1 ) 2 − q2 (t ) ⋅ (dx 2 ) 2 − q3 (t ) ⋅ (dx3 ) 2 ; ϕ = ϕ (t ).
Тогда уравнения Эйнштейна-Клейна-Гордона выглядят следующим образом ( γ = q1 ⋅ q2 ⋅ q3 ; α = 1, 2, 3 ):
1
γ
⋅( γ ⋅
qα
) = m2 ⋅ϕ 2 ;
qα
q ⋅q
α
β
∑
α β q ⋅q
<
α
β
= 2 ⋅ (ϕ 2 + m 2 ⋅ ϕ 2 );
1
γ
⋅ ( γ ⋅ ϕ ) + m 2 ⋅ ϕ 2 = 0;
(2)
(3)
Согласно [6], эволюция решения системы (3) разбивается на две стадии: прединфляционную, когда
ϕ
m 2 ⋅ ϕ 2 , и инфляционную, когда ϕ 2 m 2 ⋅ ϕ 2 . Очевидно, что существует область смены асимптотик
2
2
2
[6], определяемая уравнением сшивки: ϕ (t1 ) ≈ m ⋅ ϕ (t1 ) . Решения для поля ϕ (t ) на фоне метрики (2),
2
найденной в [6] для прединфляционной и инфляционной стадии, имеют вид:
510
⎧ A1 ⋅ J 0 (m ⋅ t ) + B 2 ⋅ N 0 (m ⋅ t ), t ≤ t1 ;
⎪
1
1
1 − cth(3 ⋅ H ⋅ t )
⎡
⎤
⎪
A2 ⋅ F (δ + , δ + , δ + 1,
)+
⎢
⎥
, t ≥ t1 ;
ϕ (t ) = ⎨
1
2
2
2
⋅⎢
⎥
⎪ δ + 12
(3 ⋅ H ⋅ t ) ⎢ + B ⋅ ( cth(3 ⋅ H ⋅ t ) − 1) −δ ⋅ F ( 1 , 1 ,1 − δ , 1 − cth(3 ⋅ H ⋅ t ) ) ⎥
⎪ sh
⎢⎣ 2
⎥⎦
⎪⎩
2
2 2
2
где F – гипергеометрическая функция [7],
δ=
(4)
1
m2
−
. Сшивая обе части решения (4) в области t ∼ t1 ,
4 9⋅ H 2
получим:
H=
m ⋅ ϕ0
q
⋅ 1 + ⋅ ln
ϕ0
ϕ 0 ⋅ m ⋅ t0
6
q
−1
,
(5)
( q, ϕ0 , t0 – параметры решения (2) с m = 0 [4]; полный набор условий применимости асимптотического
разложения (5) не приводим из-за громоздкости).
Дальнейшей перспективой данной работы является распространение развитого подхода на другие типы
однородных пространств (по классификации Бьянки) и на общий неоднородный случай при корректном учете
влияния пространственных производных [4, 5] (впрочем, вблизи особенности по времени в уравнениях
движения доминируют производные по t , поэтому пространственная неоднородность сводится к зависимости
параметров решения от пространственных координат, т.е. результат (5) имеет достаточно общий характер).
Также интересна попытка точного решения квантово-полевой задачи в рамках последовательной квантовой
теории гравитации [8].
Список публикаций:
[1] Линде А. Д. Раздувающаяся Вселенная // УФН. 1984. Т. 144. С. 177-214.
[2] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика, т. II. Теория поля. Изд.7-е. М.: Наука, 1988. 512 с.
[3] Дубровин Б. А, Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. М.: Наука, 1979. 760 с.
[4] Кириллов А. А., Кочнев А. А. Ячеистая структура пространства вблизи особенности по времени в уравнениях
Эйнштейна // Письма в ЖЭТФ. 1987. Т. 46. Вып. 9. С. 345-348.
[5] Кочнев А. А. Доменная структура метрики общего решения уравнений Эйнштейна вблизи космологической
сингулярности // Методы качественной теории и теории бифуркаций. Н. Новгород.: Изд-во ННГУ, 1990.164 с.
[6] Кочнев А. А. Формирование гипернеоднородного инфляционного режима в уравнениях Эйнштейна // (неопубликовано).
[7] Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. М.: Наука, 1990.
[8] Бурланков Д. Е. Динамика пространства. Н. Новгород.: Изд-во ННГУ, 2005. 179 с.
Оптимизация траекторий в баллистической задаче
Старовойтов Максим Валерьевич
Дальневосточный государственный университет
max-star@inbox.ru
Движение тел в однородном гравитационном поле, происходит по параболическим траекториям. Если
найти зависимость дальности перелета брошенного тела, как функцию начального угла и скорости бросания, то
можно сделать вывод, что максимальная дальность перелета обеспечивается при начальном угле, равном 45°
от горизонта. Решая обратную задачу, можно найти необходимую минимальную скорость, достаточную для
перелета тела, на заданное расстояние. При движении тел, в центральном, (сферически симметричном)
гравитационном поле, их траектории представляют собой эллипсы. И решая баллистическую задачу, можно
найти оптимальные; начальный угол и скорость броска, необходимые для перелета телом заданного
расстояния, при минимальных энергозатратах.
Для решения данной задачи, найдем зависимость дальности перелета, как функцию начальной
скорости V0 и угла бросания тела α 0 , т.е. L = L(V0 , α 0 ) а так же всесторонне изучим данную зависимость.
Дальность перелета будем искать как длину дуги, на поверхности планеты, с которой и будем осуществлять
запуск тела. Как видно из рисунка (рис.1), для вычисления расстояния от точки запуска, до точки падения,
необходимо найти угол ϕ , В данном случае будем иметь: L = 2 R0 (π − ϕ ) . Где R0 – Радиус планеты.
Применяя результаты решения задачи Кеплера, и используя не сложные вычисления, найдем конечное
511
выражение для L . Т.к.
1 P
cos ϕ = (
− 1) , где P – параметр, а e – эксцентриситет орбиты. Для простоты
e R0
V02 R0 V0
сделаем замену: B0 = B0 (V0 ) =
=
, т.к. V I =
K
VI
K
, V I – первая космическая скорость, K –
R0
гравитационный параметр планеты. В этом случае функция дальности перелета примет вид:
2
⎡
⎡
B0 sin 2 α 0 − 1
L( B0 , α 0 ) = 2 R0 ⎢π − arccos⎢
⎢
⎢ 1 − B 2 (2 − B 2 ) sin 2 α
0
0
0
⎣
⎣
⎤⎤
⎥⎥
⎥⎥
⎦⎦
Итак, мы получили функциональную зависимость
дальности перелета брошенного тела, от начальных условий B0
и
α0 .
Так как при незначительных скоростях бросания и
дальность перелета будет незначительной, а в качестве
траектории брошенного тела будет выступать апоцентрическая
окрестность эллипса, которая аппроксимируется параболой.
Следовательно, можно ожидать, что в данном случае,
максимальная дальность перелета будет наблюдаться при
3
4
α0 = π
. При дальнейшем увеличении отношения
максимум
L( B0 ,α 0 ) будет смещаться в сторону меньших углов.
B0 до 1,
И при равенстве скорости бросания первой космической
скорости, вышеприведенная зависимость выродиться в прямую,
рис.1
значением: L(1,
π
2
пересекающую ось ординат в точке
α0 =
π
2
, с максимальным
) = πR0 . На (рис.2), изображена зависимость дальности перелета тела, от угла (в градусах) к
горизонту, в единицах
πR0
для B0 = 0.99 . То есть, максимальная дальность перелета, обеспечивается при
L( B0 ,α )
πR0
рис.2
α−
π
2
определенном угле, являющимся функцией начальной скорости. Применяя классический способ поиска
максимального значения функции, выразим значение экстремального угла: sin α ex =
подстановки
α ex ( B0 )
обратно в функцию дальности, найдем максимальное значение дальности перелета,
которое можно обеспечить при заданной начальной скорости:
512
1
. А после
2
2 − B0
⎡
⎡2 1− B 2
0
Lex ( B0 ) = L( B0 , α ex ( B0 )) = 2 R0 ⎢π − arccos⎢
2
⎢
⎢ B0 − 2
⎣
⎣
⎤⎤
⎥⎥ .
⎥⎥
⎦⎦
α0 ,
Далее решив обратную задачу, найдем такие начальные условия B0 и
при которых будет
обеспечиваться перелет тела на заданное расстояние, по оптимальной траектории. Для этого произведем
замену: U = U ( B0 ) =
2 1 − B0
2
2
B0 − 2
2
. И для выражения ( B0 − 1) составим квадратное уравнение. С учетом
⎡ 4
⎤ 2
2
( B0 − 1) 2 + ⎢ 2 − 2⎥ ( B0 − 1) + 1 = 0 . Так как, U = U ( Lex ) и
⎣U
⎦
является параметром, определяемым только начальным значением Lex , следовательно, можно произвести
оценку корней уравнения, исходя из значения Lex . При исследовании корней, можно заметить, что при не
данных замен уравнение примет вид:
2
значительных Lex , два корня уравнения, практически совпадают в окрестности B0 = 0 , а с увеличении Lex
до
πR0 ,
2
распадаются на положительное и отрицательное значения. А так как, B0 ≥ 0 . То, находя
2
положительное решение для B0 , получим конечный результат:
U ( Lex ) = cos(π −
2 ⎤ 2
⎡
B0 ( Lex ) = ⎢2 − 2 ⎥ −
⎣ U ⎦ U
Lex
),
2 R0
⎡⎡
2
2
1
+
− 1 , α 0 ( Lex ) = arcsin ⎢ ⎢
2
2
⎢⎢ U
U
U
⎣⎣
⎤
1
⎥
1
−
U2
⎥⎦
−1
⎤
⎥.
⎥
⎦
513
514