Небесная механика - один из разделов астрономии

Небесная механика - один из разделов астрономии.
Разделы астрономии:
- общая астрономия
- астрофизика
- космогония
- космология
- астрометрия (геодезическая, сферическая, оптическая)
- радиоастрономия
- небесная механика (теоретическая астрономия)
По определению Дубошина предметом небесной механики является
изучение поступательного, вращательного и деформационного движений
небесных тел как искусственного, так и естественного происхождения, под
действием различных сил: сил гравитации, сил отталкивания, сил
сопротивления среды, сил электромагнитных и др.
Всякое сложное движение тела можно разложить на 3 составляющих:
- поступательное движение
- вращательное движение
- деформационное движение.
Пример 1:
Движение Земли в солнечной системе можно разложить на поступательное
движение центра масс Земли по орбите вокруг Солнца, вращательное
движение Земли вокруг центра масс и деформационное движение Земли под
действием приливов в оболочках Земли, движение литосферных плит и
тепловое расширение и сжатие Земли.
Пример 2:
Полет футбольного мяча.
В курсе небесной механики будем изучать только поступательное движение
центра масс.
Основные задачи небесной механики:
Все множество задач делится на две группы:
1. Определение орбит небесных тел.
2. Вычисление эфемерид небесных тел.
1 группа задач: по наблюдаемому (измеряемому) видимому движению
небесного тела определяются параметры траектории движения, такие,
которые во время движения остаются постоянными величинами. Эти
параметры называют элементами орбиты и их определение и составляет
предмет первой группы задач.
Наблюдать (измерять) – означает регистрировать с помощью аппаратуры
различные кинематические движения: расстояние, направление (углы),
скорость изменения кинематических величин (радиальная, угловая).
2 группа задач: осуществляется прогнозирование движения различных
небесных объектов с помощью построения теоретической модели движения
и параметров орбиты, полученных из решения 1-й группы задач.
Прогнозирование движения тождественно понятию вычислений эфемериды
небесного объекта. Эфемерида может быть задана в двух видах: либо в
аналитическом (совокупность формул, явно выражающих зависимость
координат векторов положения и скорости небесного тела от элементов
орбиты и времени), другой вид эфемерид табличный, когда координаты
векторов в положении скорости спутников задаются в виде таблицы.
координаты вектора положения
координаты вектора скорости
Примеры таких таблиц есть в астрономических ежегодниках.
Методы небесной механики
Все множество методов решения двух данных задач делится на две группы:
1. аналитические методы
2. численные методы
В аналитических методах небесной механики математическая модель
движения небесного объекта представляется в явном виде, когда любая
координата (x,y,z, ẋ ,ẏ ,ż) представляется как аналитическая функция:
x = x(а, е, i, , ω, tπ, t)
Ω
...................
(1.1)
ż= ż(а, е, i, Ω, ω, tπ, t)
,
где а, е, i, Ω, ω, tπ – элементы орбиты небесного тела, а t – время.
В численных методах математическая модель движения представляется в
дифференциальном виде, то есть в виде дифференциальных уравнений
движений, когда искомые функции x(t), y(t), z(t), ẋ (t), ẏ (t), ż(t), находятся
под знаком оператора дифференцирования, и отыскание (нахождение) их
решений осуществляется путем численного интегрирования
дифференциальных уравнений одним из методов (Рунге, Кутты, Адамса и
др.).
Так, например, движение ИСЗ очень просто и точно описывается
дифференциальными уравнениями:
d2x/dt2=-μx/r3+Φx(x, y, z, t)
......................
d2 z/dt2=-μz/r3+Φz(x, y, z, t)
(1.2)
.
В формулах (1.2) искомые функции x (t), y (t), z (t) находятся под знаком
оператора двойного дифференцирования, под знаком квадратного корня в
третьей степени r3=( √x2+y2+z2 )3 и под знаком возмущающих функций Φx,
Φy, Φz.
Если результатом аналитического метода являются формулы (1.1), то
результатом численных методов небесной механики является таблица в виде
эфемериды, описанной выше.
Аналитические методы позволяют качественно охарактеризовать
геометрическую кинематику и динамику движения небесного тела, но
точность аналитических методов всякий раз отстает от запросов практики.
Прогресс измерительной техники в точности измерений идет более
быстрыми темпами, чем повышается точность аналитических методов.
Численные же методы наоборот, не позволяют получить качественную
картину движения небесного тела, но дают возможность прогнозировать
движение методически с неограниченной точностью. Предел точности ставят
сами измерения и адекватность дифференциального уравнения реальному
движению.
РАЗДЕЛ 1. НЕВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА
Тема 2. Постановка задачи невозмущенного движения спутника
Тема 2.1. Понятие динамической системы, используемой для решения
геодезических задач.
В космической геодезии исследуется состояние реальной динамической
системы (рис. 2.1):
Fтепл д
S
Fатм
Fсв д
.
Световое давление
F
Fотр св д
Орбита Земли
А
атмосфера
Рис. 2.1. Реальная динамическая система
А – Земля,
S - искусственный спутник Земли,
- планеты,
Fa – сила притяжения спутника S Землей А,
.
Fa
F
Орбира S
F
- Солнцем,
F
- Луной,
F
- планетами,
Fатм – сопротивление движения S плотными слоями атмосферы,
Fсв д – световое давление (солнечная радиация или солнечный ветер),
Fтепл д – тепловое давление Земли, тепловая радиация,
Fотраж – отраженное световое давление от Земли и Луны,
Fэл магн – электромагнитные силы взаимодействия магнитного поля Земли с
электромагнитным полем спутника,
и другие силы.
Для выделения главной составляющей движения спутника реальное ЭДС
заменяется моделью, в которой делается 4 следующих основных допущения:
1 допущение: в динамической системе рассматриваются только силы
гравитации (притяжения), а все остальные силы отбрасываются, так как они
по величине примерно в 1000 раз меньше главной силы гравитации
(Fʘ=0; Fатм=0; Fтепл=0).
2 допущение: из всех тел, создающих гравитацию, рассматриваются только
два тела: центральное тело, масса которого (М) во много раз превышает
массу спутника (в космической геодезии это Земля). Второе тело, движение
которого измеряется и используется в дальнейшем, называется спутником
(m)
m<<M.
3 допущение: несферическая структура гравитационного поля Земли (ГПЗ)
заменяется сферической моделью ГПЗ.
Термин несферическое ГПЗ эквивалентен термину нецентральное ГПЗ
(рис. 2.2).
Термин сферическое ГПЗ эквивалентен термину центральное ГПЗ
(рис. 2.3).
Fs1
S2
S1
Fs2
О
Fs3
А
S3
Рис. 2.2 – нецентральное ГПЗ
В нецентральном ГПЗ силовые линии, пространственные кривые не
пересекаются в одной точке. Касательные к силовым линиям в точке
нахождения спутника также не пересекаются в одной точке.
На рисунке 2.3 покажем три эквивалентных модели центрального
ГПЗ.
S2
S1
S2
S3
а)
Сферически симметричная
Модель ГПЗ
S2
О
О
S3
S1
S1
О
S3
б)
однородный
шар
Рис. 2.3. Три модели центрального ГПЗ
в)
материальная точка
В случае сферической симметрии ГПЗ плотность (ρ) вещества внутри Земли
есть функция только одной координаты r – расстояния от внутренней
элементарной массы до точки О
ρ = ρ(r).
(2.1.)
Тогда как в случае несферической структуры ГПЗ плотность ρ в земле –
есть функция трех координат.
ρ = ρ(r,φ,λ) ,
(2.2.)
где φ и λ – сферические координаты.
В случае ГПЗ в виде шара ρ – есть величина постоянная
ρ =const.
В случае ГПЗ, создаваемого материальной точкой, понятие плотности
теряет смысл, в этом случае пользуются понятием материальной точки – это
геометрическая точка, снабженная массой М всего тела А.
Для Земли обычно в качестве геометрической точки выбирают центр масс
О и снабжают его массой Земли М.
4 допущение: поскольку размеры спутника во много раз меньше, чем
расстояние до Земли, то несферическое гравитационное поле, создаваемое
телом спутника, заменяется сферическим, это значит, что спутник заменяется
на материальную точку S с массой m.
Таким образом, мы приходим к следующей идеальной модели
динамической системы (рис.2.4):
S(m)
Fs
орбита S
s
Fа
А(m)
z
а
О
орбита А
y
x
Рис. 2.4. Идеальная модель динамической системы (ДС)
Изучение движения двух материальных точек называется называется
задачей двух тел или невозмущенным движением.
В задаче двух тел действуют только две силы взаимного притяжения
(Fа и Fs), с которыми Земля и спутник притягивают друг друга, больше
никакие другие силы не рассматриваются. Если к этим двум силам прибавить
любую другую из рассматриваемых выше сил, такое движение называется
возмущенным движением.
Тема 3. Понятие универсальной инерциальной системы координат
Мы будем изучать решение задачи двух тел в инерциальной системе
координат, так как в ней наиболее просто составляется уравнение движения
спутника. Инерциальной системой называется такая система, которая
движется в пространстве поступательно, равномерно, прямолинейно, с
постоянной ориентировкой осей относительно внешнего пространства.
z
О
y
z
t1
x
y
z
t2
x
y
t3
x
Рис. 3.1. Поступательная прямолинейная равномерная ИСК
Оси координат должны быть неподвижны относительно других имеющихся
тел. В природе все тела движутся криволинейно, неравномерно и вращаются.
Создать строгую абстрактную ИСК невозможно, но так как на практике все
задачи имеют ограниченную точность решения на ограниченном отрезке
времени, вместо ИСК пользуются понятием квазиинерциальных систем
координат. Квазиинерциальная система координат на ограниченном отрезке
времени движется практически прямолинейно , равномерно и почти не
меняет своей ориентировки.
Пример 1: Квази ИСК, используемая в космической геодезии – это система
координат, у которой начало координат помещается в центр масс Земли. Ось
аппликат направляется по оси вращения Земли, а ось абсцисс по линии узлов
орбиты Земли, то есть по линии пересечения плоскости орбиты Земли с
плоскостью экватора Земли (рис. 3.2).
z
t2
γ
z
t1
Орбита Земли
xγ
y
x
y
Плоскость экватора Земли
Плоскость эклиптики
Рис. 3.2. Квазиинерциальная система координат Оxyz c началом О в
центре масс Земли, осью аппликат Оz по оси вращения, и осью абсцисс по
линии узлов орбиты Земли
На рис.3.2 точка γ – восходящий узел орбиты Земли или точка весеннего
равноденствия.
На ограниченном отрезке времени, на котором ищется решение конкретной
практической задачи, кусок траектории орбиты Земли от t1 до t2 можно
рассматривать прямой линией и движение Земли происходит равномерно и
прямолинейно.
Тема 4. Составление дифференциального уравнения невозмущенного
движения спутника
Тема 4.1. Постановка задачи.
Даны две материальные точки: М – центральное тело и m – спутник,
находящийся в движении под действием только силы взаимного притяжения
(рис. 4.1.).
Движение двух тел (М и m) изучается относительно ИСК Оxyz.
m
Fm
ρ
r
FM
z
М
О
а
y
x
Рис. 4.1. Неограниченная задача двух тел
Требуется описать движение двух материальных точек М и m относительно
ИСК Оxyz в дифференциальной форме (то есть в виде дифференциальных
уравнений).
Тема 4.2. Три закона Ньютона, используемые для составления
дифференциальных уравнений (ДУ).
Первый закон – закон всемирного тяготения:
Две материальные точки притягиваются друг к другу с силой,
пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату
расстояния r между ними:
F=fMm/r2 .
(4.1)
Второй закон – закон инерции: сила, действующая на тело,
пропорциональна массе тела m и его ускорению ω:
F= mω .
Третий закон – закон равенства действия противодействию (4.1)
|Fm| = |FM| или Fm = - FM .
(4.3)
Тема 4.3. Векторная форма ДУ невозмущенного движения спутника в
неограниченной задаче двух тел.
Запишем силу притяжения спутника FM центральным телом M в векторной
форме. Для этого используем понятие орта и модуля любого вектора
а=аоа ,
(4.4)
где ао - орт вектора а, а=|а| - модуль вектора а.
Применим (4.4) к векторам Fm и FM
Fm = Fmо Fm, FM = FMо FM .
(4.5)
Используя (4.1), получаем, что
Fm= FmоfMm/r2, FM= FMо fMm/r2 .
(4.6)
Введем радиусы - векторы:
ρ, характеризующий движение спутника m относительно инерциальной
системы Oxyz ; и а, характеризующий движение центрального тела М
относительно ИСК.
Введем вектор r, характеризующий взаимное положение двух тел m и M.
Из (рис. 1.1) следует, что орт вектора rо= FMо и rо= - Fm,
rо = r/ r .
(4.7)
С учетом (4.7) перепишем (4.5) и (4.6) так:
Fm= (fMm/r2)( - r/ r)
FM = (fMm/r2)(r/ r)
.
(4.8)
Используем второй закон Ньютона, имеем:
Fm= mωm ; FM = MωM .
(4.8*)
Найдем ускорение спутника ωm и центрального тела ωM. Из треугольника
ОmM имеем: сумма векторов в замкнутой фигуре равна нулю, то есть
r =ρ – а .
(4.9)
Дифференцируя дважды (4.8) по времени t, получаем:
r(t) = ρ(t) – а(t) ,
(4.9)
ŕ(t) = ρ˙(t) – а˙(t) ,
(4.10)
ŕ˙(t) = ˙ρ˙(t) – ˙а˙(t) ,
(4.11)
где точками сверху обозначены производные по времени t.
ŕ(t) =(d/dt)(r(t)) ;
ŕ˙(t)= d/dt(d/dt(r(t)))= (d2F(t))/dt2.
Из курса физики известно, что первая производная по времени t от радиусавектора r(t) есть вектор скорости:
ŕ(t) = V(t) ,
(4.12)
а вторая производная
ŕ˙(t) = ω(t) = d/dt(V(t)) .
(4.13)
ωm =˙ρ˙ ; ωM = ˙а˙ .
(4.14)
из (рис. 4.1.) имеем
Подставляя в (4.8.1) получим
Fm=m˙ρ˙ , FM =М˙а˙ .
(4.15)
Ньютон высказал гипотезу, что приравнивая (4.8) и (4.15), получаем:
m˙ρ˙= - (fMm/r2)(r/|r|)
М˙а˙= (fMm/r2)(r/|r|)
,
(4.16)
поскольку М≠0, m≠0 можно сократить в (4.16)
˙ρ˙= - (fMm/r2)(r/|r|) , ˙а˙= (fMm/r2)(r/|r|) .
(4.17)
Выражение (4.17) и есть дифференциальное уравнение движения спутника
m и центрального тела М относительно ИСК Oxyz в неограниченной задаче
двух тел.
Тема 4.4. Дифференциальное уравнение невозмущенного движения в
ограниченных задачах двух тел.
Покажем, что модуль ускорения движения центрального тела |˙а˙| намного
меньше модуля вектора ускорения спутника |˙ρ˙|. Вычислим модуль |˙ρ˙|:
|˙ρ˙|=|- (fM/r2)(r/|r|)| = (fM/r2)(r/|r|) = fM/r2 .
Вычислим |˙а˙|:
|˙а˙|=|- (fm/r2)(r/|r|)| = fm/r2.
Беря отношение, получаем:
|˙ρ˙|/|˙а˙|=fM/r2 ; fm/r2=М/m
или
|˙а˙|/|˙ρ˙|= m/М .
(4.18)
Отсюда видно, если М<< m, то |˙ρ˙| >> |˙а˙|.
Если применить задачу двух тел к ИСЗ, масса которого 1 тонна, и поделить
на массу Земли, то отношение будет миллиардным.
Вывод: начало ИСК из точки О можно перенести в точку М(центр масс
центрального тела). И тогда мы получаем ограниченную задачу двух тел.
(рис.4.2.).
z
m
М
y
O
x
Рис. 4.2. Ограниченная задача двух тел.
Получим ДУ для ограниченной задачи двух тел.
Вычтем левые и правые части в выражениях:
˙ρ˙- ˙а˙ = (fM/r2)(-r/|r|) - (fm/r2)(r/|r|) ,
˙ρ˙ -˙а˙ = (f(M+m)/r2)(-r/|r|) .
Задача двух тел или ˙ρ˙- ˙а˙= ŕ˙, то
ŕ˙=((fM(1+m/М))/r2) / (-r/|r|) .
(4.19)
Обычно в ограниченной задаче членом m/М≈0 пренебрегают, тогда
ŕ˙=(fM/r2)(-r/|r|) ,
(4.20)
где вводят обозначение
μ=fM ,
(4.21)
величина μ – гравитационный параметр тела М. Коэффициент f –
универсальная постоянная тяготения, которая справедлива для Земли.
Тема 4.5. Дифференциальные уравнения невозмущенного движения спутника
в координатной форме.
Мы получили ДУ невозмущенного движения в векторной форме
относительно ИСК Oxyz в векторном виде.
ŕ˙+ (μ/ r2)(r/|r|)=0 .
(4.19)
u
z
m
Z
k
r
j
P
y
i
S
q
x
Рис. 4.2. Невозмущенное движение спутника относительно ИСК
Чтобы преобразовать векторную форму уравнения (4.19) в координатную,
надо спроектировать это равенство на оси ИСК Oxyz. Проектирование
любого вектора на заданное направление осуществляется с помощью
скалярного произведения двух векторов.
Из векторной алгебры скалярное произведение – есть скаляр (число),
равный произведению модуля этих векторов (сомножителей) на cos угла
между ними
аb ,
(4.22)
(а,b) .
(4.23)
В одном тексте используется только какое-либо одно обозначение. Мы
будем использовать первое (4.22)
или так:
аb=|а||b|cos(а,b) ,
(4.24)
аb=|а||b|cos(α) ,
(4.25)
где α=(а˄ ,b) – угол между а и b.
Рассмотрим геометрический смысл скалярного произведения (рис. 4.3):
а
α
b
b=bоb
а
Рис. 4.3. Геометрия скалярного произведения двух векторов а и b
Перепишем (4.25),как
аb=а(bоb)= b[аbо]= b[аcosα]= аb=bапр на b ,
(4.26)
аbо= апр на b .
(4.27)
Из векторной алгебры: любой вектор можно представить его разложением
по координатным осям (а в более общем случае в виде разложения по двум,
трем и более направлениям).
Во всякой исходной СК (в нашем случае ИСК Oxyz) вводятся по
умолчанию орты осей координат i,j,k с координатами:
i={1,0,0},j={0,1,0},k={0,0,1} .
(4.28)
Теперь, чтобы спроектировать равенство (4.19) на оси координат , надо
представить каждый вектор , входящий в него r, ˙r˙ в виде разложения по
координатам:
r=x
x=ОS=ri
y=ОP=rj
(4.29)
z=ОU=rk
r=x+y+z
или
r = xi+yj+zk .
(4.30)
m
r
О
z=zk
x= xi
S
y= yj
q
Рис. 4.4 Разложение r по координатным осям
Если даны координаты какого-либо вектора
r= {x,y,z} задание вектора прямоугольными координатами
r=xi+yj+zk – разложение вектора.
Дифференцируя дважды равенство (4.30) получаем:
r˙=x˙i + y˙j + z˙k + xdi/dt + ydj/dt + zdk/dt,
но так как Oxyz есть ИСК (i=const,j=const,k=const)
di/dt = dj/dt = dk/dt =0,
r˙ = x˙i + y˙j + z˙k .
Вектор r˙ есть вектор скорости с координатами x˙ y˙ z˙
r˙= {x˙,y˙,z˙}=V .
(4.31)
(4.32)
где V – другое обозначение вектора скорости
r˙˙= (d/dt)i = x˙˙i y˙˙j+ z˙˙k ,
(4.33)
или
r˙˙= {x˙˙, y˙˙, z˙˙} ,
(4.34)
x˙˙, y˙˙, z˙˙ - координаты вектора ускорения спутника.
Теперь, подставляя в дифференциальное уравнение (4.19) выражение (4.34)
и (4.31) получаем:
x˙˙i + y˙˙j + z˙˙k= - (μ/ r3)( xi + yj + zk) .
(4.35)
Проектируя (4.35) на оси Оx, затем на ось Oy и, наконец, на ось Oz путем
умножения скалярного на орт i, затем на j и наконец на k, получаем
x˙˙(i i)+y˙˙(j i)+z˙˙(k i)= - (μ/ r3)( x(ii)+y(ji)+z(ki)),
x˙˙=- (μ/ r3) x.
Поступая аналогично, получаем два других равенства:
y˙˙=- (μ/ r3) y
z˙˙=- (μ/ r3) z
.
Выражение (4.36) – дифференциальное уравнение невозмущенного
движения в ИСК в координатной форме.
Тема 5. Постановка задачи интегрирования дифференциальных уравнений
невозмущенного движения спутника
Мы получили математическую модель движения спутника в наиболее
простом виде (в виде ДУ)
r˙˙+-(μ/ r3)r=0 .
(4.19)
Это уравнение не дает возможности получить качественную
характеристику траектории, необходимо его разрешить относительно вектора
положения r
r=r(t) или x=x(t), y(t), z(t) .
(5.1)
Искомые функции входят в дифференциальное уравнение под знаком
дифференцирования дважды:
(d2/dt2)(r(t))=˙r˙ ,
так же находится степень 3/2
r3=(√x2+y2+z2 )3.
Это нелинейное дифференциальное уравнение.
Из двух способов решения ДУ (4.19) мы рассмотрим аналитический метод
решения уравнения. В этом методе ищутся явные функции вектора
положения r={x, y, z} и вектора скорости r˙={x,y,z} через начальные
условия движения движения спутника
rо=r(tо) или xо=x(tо), yо=y(tо), zо=z(tо)
rо˙=r˙(tо) или xо˙=x˙(tо), yо˙=y˙(tо), zо˙=z˙(tо)
(5.2)
.
Итак, требуется получить формулы
xо = x(μ, rо ,iо ,tо ,t)
yо = y(μ, rо ,iо ,tо ,t)
zо = z(μ, rо ,iо ,tо ,t)
(5.3)
...............
zо˙ = z˙ (μ, rо ,iо ,tо ,t) .
Тема 6. Интеграл площадей.
В этом разделе мы получим один из, так называемых, первых интегралов.
r˙˙+(μ/r3) r = 0
(6.1)≡(4.19)
Из раздела дифференциального и интегрального исчисления в математике
термин «проинтегрировать выражение» f(t), то есть найти
∫f(t)dt ,
означает найти такую функцию F(t), называемую первообразной,
производная которой по t дает подынтегральное выражение f(t), то есть
F(t)= ∫f(t)dt ,
(6.2)
(dF/ dt)= f(t).
Преобразуем (6.1) к виду, удобному для интегрирования, то есть удобному
для получения первообразной функции; для этого умножим векторно слева
равенство (6.1) на текущий радиус - вектор спутника.
r = r(t),
r× r˙˙ + (μ/ r3)( r×r)= r×0 .
(6.3)
По свойству модуля векторного произведения имеем:
|а × b |=а bsin(а˄ b),
| r × r |= r rsin0о =0.
Тогда получаем вектор
r × r˙˙=0.
(6.4)
Ищем интеграл по t:
∫(r × r˙˙)dt= ∫0dt .
(6.5)
Подберем первообразную к подынтегральному выражению r × r˙˙.
Пусть первообразная
r × r˙.
(6.6)
Проверим, так ли это, дифференцируя по t:
(d/dt)(r × r˙) = r˙× r˙+ r × r˙˙= r × r˙˙.
Подставляя (6.7) в (6.5) получаем
∫(d/dt)(r × r˙)dt = с
Или
r × r ˙= с .
(6.8)
Выражение (6.8) в небесной механике носит название интеграла площадей.
Векторная константа с – производная постоянная интегрирования и носит
название векторной константы площадей.
с определяется по начальным условиям движения спутника в положении
rо= r(tо) и в скорости r˙о= r˙(tо) , которая должна быть известна.
Интеграл площадей справедлив для любого момента времени t
r(t) × r˙( t) = с ,
(6.8)
значит он справедлив для момента tо
с = rо × rо ˙ .
(6.9)
Теперь с получает конкретные численные координаты. Мы получили
интеграл площадей в векторной форме (6.8).
Интеграл площадей в координатной форме.
Здесь надо поступать так же, как это делалось в переходе от векторной
формы Оу (6.1) к координатной форме (см раздел 5).
Для этого надо каждый вектор, входящий в векторное равенство (6.8),
представить его разложение по координатам ( в проекции на оси координат
Оx, Оy, Оz):
с = сxi + сyj + сzk
r = xi + yj + zk
(6.10)
r˙= x˙i + y˙j + z˙k ,
с = {сх, сy, сz}
r = { x ,y, z }
r˙= { x˙,y˙,z˙}
и подставим (6.10) в (6.8)
(6.10)
,
(x i+ y j+ z k) ×( x˙i+ y˙j+ z˙k) = сxi + сyj + сzk
(6.11)
xx˙i × i + y x˙j × i + z x˙k × i +…
=с x i+…
…+ xy˙i × j + y˙j × j + zy˙k × j +…
+с y j+…
…+ xz˙i × k + z˙yj × k + zz˙k × k
+с z k
j × k = + i;
j × i= - k;
(6.12)
k × i= j .
k
i
j
- yx˙k + zx˙j + xy˙k - zy˙i – xzj + yz˙i = сxi + сyj + сzk .
(6.13)
Приравниваем множители при одинаковых ортах слева и справа от знака
равенства, получаем:
с x= y z ˙ - z y ˙
с y= z x ˙ - x z ˙
(6.14)
с z= x y ˙ - y x ˙ .
Правило циклической перестановки:
x
y
z
Тема 7. Нормальное уравнение плоскости орбиты в векторной форме.
Физический смысл векторной константы площадей
Умножим интеграл площадей (6.8)
r × r˙ = с
(6.8) ≡(7.1)
скалярно на текущий радиус – вектор спутника r = r(t)
(r × r˙)r = сr .
(7.2)
Левая часть равенства (7.2) есть смешанное произведение (векторно –
скалярное) трех векторов:
(а × b) с = f – скаляр ,
(7.3)
Численно равный V параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Отсюда следует, что если два вектора из трех равны друг другу и
совпадают по направлению, то V = 0.
Смешанные произведения подчиняются циклической перестановке
векторов:
(а × b) с = (b × с) а = - (с × b) а,
(7.4)
(r × r˙) r = (r × r) r˙ = 0 r˙ = 0 = с r,
сr = 0.
(7.5)
Покажем, что выражение (7.5) представляет собой уравнение плоскости.
Из аналитической геометрии известно, что всякое уравнение первой степени
от трех переменных есть уравнение плоскости
Аx+Вy+Сz+D = 0 ,
(7.6)
А,В,С,D – производные константы.
x, y, z – координаты текущей точки в трехмерном пространстве Оxyz.
Перепишем скалярное уравнение плоскости (7.6) в векторном виде, для
этого введем вектор N с тремя компонентами
N= {А, В, С} или N=Аi + Вj + Сk .
(7.7)
Введем радиус – вектор
r = { x y z } или r = xi+ yj+ zk .
(7.8)
Подставляя (7.7) , (7.8) в (7.6) получаем:
Nr+D=0.
(7.9)
Так как | N | = N =√ А2+В2+С2 ≠ 0, то разделим (7.9) на модуль вектора N
(N/ N)r = D/ N .
Обозначим
Nо= N/ N; p= D/ N ,
(7.10)
Nо r = p .
(7.11)
Выражение (7.11) в математике называется нормальным уравнением
плоскости в векторной форме.
Входящие в него компоненты Nо и p имеют следующий геометрический
смысл (рис. 7.1):
z
Nо
О’
π2
π1
О
p=0
y
p=0
x
Рис. 7.1. Геометрический смысл констант нормального уравнения плоскости
p – скаляр, равный расстоянию от начала координат до плоскости π по
нормали. r – текущий радиус – вектор плоскости.
Из общего (скалярного) уравнения плоскости в трехмерном пространстве
Аx + Вy + Сz + D = 0
(7.6)
мы получили, так называемое, нормальное уравнение плоскости в векторной
форме
Nо r = p .
(7.11)
Сравним полученное нормальное уравнение плоскости (7.11) с выражением
(7.5), которое вытекает из интеграла площадей (6.8).
Из сопоставления (7.5) и (7.11) следует, что выражение (7.5) представляет
собой нормальное уравнение плоскости орбиты спутника, в котором
векторная константа площадей с есть нормаль к плоскости орбиты, радиус –
вектор спутника r – текущий радиус – вектор плоскости орбиты, а скаляр
p=0, что свидетельствует о том, что плоскость орбиты проходит через начало
координат инерциальной системы координат Оxyz.
Уравнение плоскости орбиты можно написать и так (|с |≠0):
соr = 0,
(7.12)
где со – орт константы с.
Таким образом, из сопоставления (7.11) и (7.5) вытекает физический смысл
векторной const площадей: это нормаль к плоскости орбиты, в которой
совершается движение спутника. Если в качестве спутника рассматривать
ИСЗ, тогда центральным телом будет являться Земля и плоскость орбиты
ИСЗ будет рассекать Землю пополам, проходя через центр масс Земли. При
этом плоскость орбиты будет оставаться ориентированной относительно
«неподвижных» звезд, а Земля будет «проворачиваться» внутри
орбитального кольца.
Тема 8. Углы Эйлера, определяющие ориентировку плоскости орбиты
спутника.
На рис. 8.1. покажем плоскость орбиты спутника относительно ИСК Оxyz и
два угла Эйлера, которые задают ориентировку плоскости.
z
k
c
i
μ
π
v
Е
O
Ω
Ω
i
x
i
j
y
Линия узлов
орбиты
Рис. 8.1. Углы Эйлера для плоскости орбиты спутника
Плоскость – двумерное тело, поэтому для задания ее ориентировки
достаточно двух углов Эйлера:
- один угол i определяет наклон плоскости орбиты π к основной
координатной плоскости Оxy и называется в небесной механике
наклонением плоскости орбиты или наклоном плоскости орбиты (но не
наклонностью) с областью определения 0<i<π;
- Другой угол Ω определяет ориентировку линии узлов орбиты ОΩ,
относительно оси абсцисс ИСК Оxyz , с областью определения
0< Ω <2π .
(8.2)
Этот угол в небесной механике называют прямым восхождением
восходящего узла орбиты Ω (или долготой восходящего узла орбиты)
Орбита спутника пересекает основную координатную плоскость как
минимум дважды, точки пересечения орбиты с основной координатной
плоскостью называется узлами орбиты.
Точка Ω, в которую спутник переходит из области отрицательных аппликат
(z<0) в область положительных (z>0), называется восходящим узлом орбиты.
Точка V, в случае невозмущенного движения, диаметрально
противоположна восходящему узлу Ω. В ней спутник переходит из z>0 в
область z<0. Точку V называют нисходящим узлом орбиты. Линию ОΩ,
соединяющую начало координат О и восходящий угол Ω называют линией
узлов орбиты.
Другой геометрический смысл линии узлов орбиты – это линия
пересечения плоскости орбиты π с основной координатной плоскостью
Оxy(Е).
Линия узлов – направленная линия.
Ее положительное направление от 0 до Ω. Орт линии узлов Ωо определяется
через константу интегрирования с с помощью векторного произведения
i = {0,0,1 },
j = {0,1,0 },
k = {0,0,1 },
Ωо= (k ×с)/ | k ×с | .
(8.4)
Теперь вычислим углы Эйлера i и Ω с помощью полученной константы с.
Для этого воспользуемся понятием скалярного произведения двух векторов и
следствием из него
аb=аbcosα , α (а˄ b) ,
аb=аxbx + аyby + аzbz
(8.5)
,
аb/аb = f ,
(8.6)
(8.7)
α = arccos f ; f = аb/аb ,
или
f = аxbx + аyby + аzbz ,
(8.8)
i = arcсos (kс/с) ,
(8.9)
или раскрывая с = схi + сyj + сzk, находим, что
f = kс/с = сz/с .
(8.10)
i = arcos (сz/с) .
(8.11)
Таким образом
Для определения второго угла Эйлера Ω с областью [0 ; 2π) одной функции
arccosf недостаточно для однозначного получения кругового значения угла
Ω. В этом случае надо построить два вспомогательных вектора, с помощью
которых можно будет получить Ω от 0 до 2π однозначно.
Введем орт Ωо линии узлов ОΩ посредством векторного произведения двух
векторов k = { 0, 0, 1} и с = {сх ,су ,сz} по формуле
Ωо = k ×с/ | k ×с | .
(8.4)
Используя орт j оси ординат в качестве второго вектора, дополняющего
искомый угол Ω до 90о. Теперь, применяя дважды скалярное произведение
(один раз к углу Ω, другой к углу 90о - Ω), получаем:
f = iΩо = cosΩ
g = jΩo = cos(90 - Ω) .
(8.12)
Отсюда
tg Ω = g/f .
(8.13)
Круговое значение угла Ω находим с помощью алгоритма
Ωгл = arctgh,
h = g/f,
Ωгл, если g>0 и f>0,
Ω=
Ωгл + π, если f<0 и g – любое,
(8.14)
Ωгл + 2π, если g<0 и f>0.
Таким образом, мы нашли два угла Эйлера i и Ω, задающие ориентировку
плоскости орбиты, как функции начальных условий движения спутника:
r о = {хо,уо, zо }
и
rо˙ = {хо˙ ,уо˙, zо˙},
посредством которых в начале находился вектор с = rо × rо˙ , а затем по с
углы i и Ω.
Тема 9. Элементарные матрицы поворота (или вращения)
Матрицы поворота применяются в небесной механике, в космической
геодезии, фотограмметрии и и других геодезических дисциплинах, где
применяется преобразование координат.
Определение: матрица поворота – ортогональная матрица,
осуществляющая преобразование прямоугольных координат из одной
системы в другую с общим началом. Элементарной матрицей поворота
называется матрица размера 3×3, осуществляющая элементарный поворот
координатной системы вокруг одной из координатных осей. Рассмотрим
вывод одной элементарной матрицы поворота.
Постановка задачи: пусть дан r = {х, у, z} – в проекциях на оси исходной
системы координат Охуz (рис.9.1)
z˙
z
m
r
r˙
j˙
O
i
α
у˙
j
у
i˙
х˙
Рис 9.1 – вращение исходной СК Охуz на угол α вокруг оси аппликат
Пусть исходная СК повернута на положительный угол α вокруг оси Оz.
Положительный угол поворота α считается по правилу либо часовой стрелки,
либо правилу винта или правой руки. После поворота исходной СК мы
получим штриховую (новую) СК Ох˙у˙z˙.
Требуется преобразовать координаты вектора r из исходной СК в
штриховую СК, то есть
r = {х,у,z}
Решение задачи:
r = {х˙, у˙, z˙}.
(9.1)
Так как в обеих системах вектор точки m один и тот же, то его можно
представить разложением по координатным осям исходной и штриховой СК
так:
r = х i + у j + z k = х˙ i˙ + у˙ j˙ + z˙ k˙ .
(9.2) |i˙|j˙|k˙
Умножая скалярно равенство (9.2) сначала на орт i˙, затем его же на орт j˙и,
наконец, на орт k˙, последовательно получаем:
х˙ = (i i˙)х + (j i˙)у + (k i˙)z
у˙ = (i j˙)х + (j j˙)у + (k j˙)z
(9.3)
z˙ = (i k˙)х + (j k˙)у + (k k˙)z .
Перепишем три скалярных равенства в виде одного матричного равенства.
х˙
(i i˙), (j i˙), (k i˙)
х
у˙
= (i j˙), (j j˙), (k j˙)
у
z˙
(i k˙), (j k˙), (k k˙)
(9.4)
z .
Обозначим
cos(xx˙) cos(yx˙) cos(zx˙)
А=
cos(xy˙) cos(yy˙) cos(zy˙)
cos(xz˙) cos(yz˙) cos(zz˙)
(9.5)
.
Из (9.5) следует, что
А=
или
А=
iх˙
jх˙
kх˙
iу˙
jу˙
kу˙
iz˙
jz˙
kz˙
i˙х
i˙у
i˙z
j˙х
j˙у
j˙z
k˙х
k˙у k˙z
(9.6)
,
(9.7)
.
Таким образом, матрицу А называют матрицей направляющих косинусов
осей одной СК по отношению к осям другой СК.
i= {iх˙, iу˙, iz˙} = {1, 0, 0},
j= {jх˙, jу˙, jz˙} = {0, 1, 0},
k˙={kх˙, kу˙, k z˙} = {0, 0, 1},
или
А = [i j k] ,
(9.8)
или
i˙
А=
j˙ ,
(9.9)
k˙
Итак, матрица А есть матрица общего ортогонального преобразования.
Применим ее к нашему частному случаю – повороту исходной СК на угол α
вокруг оси Оz.
х˙
cosα
cos(90-α)
0
x
0
y
0
1
z
= cos(90-α) cosα
y˙
z˙
0
x˙
cosα
sinα
0
x
y˙ =
-sinα
cosα
0
y
0
1
z
или
z˙
0
. (9.9)*
Введем общее обозначение для элементарных матриц поворота
Ri(α) ,
(9.10)
Где R – матрица 3×3 поворота, i – индекс, принимающий значения i=1,2,3.
Если i=1, то ось поворота абсцисс, если i=2, то ось ординат, i=3- аппликат.
α – угол «+» поворота.
Применим обозначение (9.10) к (9.9)*. Тогда
х˙
х
у˙ = R3(α)
у
z˙
z
.
(9.11)
Если совершить вращение ИСК на угол α вокруг оси абсцисс, то R будет
иметь вид.
1
0
0
R1(α) = 0
cosα sinα
0
-sinα cosα
cosα 0
R2(α) =
0
1
Sinα 0
,
(9.12)
-sinα
0
cosα
,
(9.13)
cosα sinα
R3(α) = -sinα
0
0
cosα 0
0
(9.14)
1
Мнемоническое правило формирования элементарных матриц поворота.
Общее обозначение элементарной матрицы поворота
Ri(α).
(9.10)
Если даны i и α, то матрицы Ri(α) формируются по правилу:
1. На пересечении i - й строки и i - го столбца матрицы R – ставится 1.
2. В остальных элементах i - й строки и i - го столбца ставится 0.
3. Два оставшихся элемента заполняются sinα.
При этом у sinα следующего после нулевого элемента в циклической
перестановке элементов данной строки ставится знак минус.
Тема 10. Общий случай преобразования координат с помощью «n»
элементарных поворотов.
Для случая «n» элементарных поворотов применяется формула
х˙
х
у˙ = Rin(α1)… Riα (α2) Ri1(α1)
у ,
z˙
z
(10.1)
где х,у,z – координаты вектора r = {х,у,z} в исходной СК,
х˙у˙z˙ - координаты этого же вектора r = {х˙,у˙,z˙},
ik, αk, k =1,...,n – номера координатных осей поворота.
Эту формулу (10.1) докажем методом индукции:
Вначале рассмотрим случай двух поворотов (n=2), а затем распространим его
на случай n+1 поворотов.
Пусть штриховая СК Ох˙у˙z˙ получена вращением исходной СК. В начале,
допустим, вокруг оси аппликат (i1=3) на угол α1, а затем вокруг оси,
допустим, аппликат (i2=2) на угол α2 (рис.10.1)
Z(1) ≡Z˙
Z(2) ≡Z˙
α1
α2
r
У(1) ≡У
(2)
≡У˙
α1
У
α1
Х1
Х(1)
α2
Х(2) ≡ Х˙
Рис. 10.1. Два элементарных поворота
В результате после первого поворота согласно формуле (9.11)
х(1)
х
у(1)
= R3(α1) у
z(1)
z
.
(10.2)
После второго поворота уже повернутой СК Ох(1)у(1)z(1) имеем на основе
формулы (9.11):
х(2)
у(2)
х(1)
= R3(α1) у(1) .
z(2)
(10.3)
z(1)
Объединив (10.2) и (10.3) получаем общий результат после двух
поворотов:
х˙
х(1)
у˙ = R2(α2)
у(1) .
z˙
z(1)
(10.4)
Распространяя формулу (10.4) на случай «n» вращений, получаем:
х˙
х
у˙ = Rin(αn)…Ri2(α2) Ri1(α1)
у
z˙
z
.
(10.1)
Правила применения матриц поворота для преобразования
прямоугольных координат какого – либо вектора.
Пусть даны углы Эйлера, связывающий взаимную ориентировку двух
прямоугольных СК:
α1, α2, …, αn
(10.5)
и даны координаты вектора в исходной СК
r = {х,у,z}.
(10.6)
Требуется получить координаты этого вектора в штриховой СК (с общим
началом О исходной СК)
r = {х˙, у˙, z˙}.
(10.7)
1. Отыскивается такой угол поворота αk, среди заданных α1, α2,… αn,
плоскость которого перпендикулярна одной из осей координат исходной СК.
2. Осуществляется первое преобразование координат вектора r по формуле:
r(1)=Rik(αk)r.
3. Снова выбирается такой угол поворота среди оставшихся углов,
плоскость которого перпендикулярна одной из осей уже повернутой
СК.
4. Осуществляется второе преобразование
х(2)
y(2)
х
=
Ris(αs) Rik(αk)
z(2)
y
.
z
5. Повторяем действия 3 и 4 до тех пор, пока не произойдет совмещение
осей исходной СК со штриховой СК.
Тема 11. Применение матриц поворота для определения углов Эйлера ,
ориентирующих плоскость орбиты спутника относительно ИСК Охуz.
Пусть по начальным условиям движения спутника
rо = {хо ,уо, zо}
и
о
о
о,
о}
в tо
(11.1)
получена векторная константа площадей
с = rо × r˙о .
(11.2)
Требуется определить углы Эйлера i и Ω для плоскости орбиты спутника.
Решение: покажем на рис.11.1 ИСК Охуz углы:
i – наклонение плоскости орбиты,
Ω – долгота восходящего узла орбиты.
i
z
с
у˙
rо ˙
m
О
rо
Ω
х
i
Ω
у
Линия
узлов
орбиты
Рис. 11.1 Углы Эйлера i, Ω плоскости орбиты спутника
Из (10.2), раскрывая векторное произведение, получаем три скалярных
равенства вектора
с = {сх, су ,сz }
сх = уоzо˙ - zоуо˙
су = zохо˙ - хоzо˙
.
(11.3)
сz = хоуо˙ - уохо˙
Для вычисления углов Эйлера i и Ω воспользуемся преобразованиями
вращения. Для этого введем штриховую СК с осью аппликат вдоль вектора с,
с осью абсцисс вдоль линии узлов орбиты ОΩ, ось ординат дополняет СК до
правой. В штриховой СК вектор с будет иметь координаты:
с = {0,0,с}, где с = |с | .
(11.4)
Теперь преобразуем координаты вектора с из (11.4) в проекции на оси ИСК
Охуz по формуле:
Сх
Су
Cz
0
= R3(-Ω) R1 (-i)
0 .
(11.5)
c
Раскрывая матрицу поворота и перемножая их, получаем преобразование
координат вектора с из штриховой СК в ИСК Охуz, получаем:
cх
1
0
cy = R3(-Ω) 0
cz
0
0
cos(-Ω) sin(-Ω)
cos(-i) sin(-i) 0
= -sin(-Ω) cos(-Ω)
0 -sin(-i) cos(-i) c
cx
0
0
0
0
0 * -csini ,
1
ccosi
csini sinΩ
cy = -csini cosΩ .
cz
(11.6)
ccosi
Формулы (11.6) дают прямую связь углов Эйлера i, Ω прямоугольными
координатами векторной константы площадей с. Обратная связь –
определение углов i и Ω по сх, су, сz получается из решения трех уравнений
(11.6) относительно трех неизвестных i, Ω, с при условии, что даны сх, су, сz.
tg Ω = cx/(-cy) .
(11.7)
Обратить внимание на то, что знак минус в знаменателе в формуле для tgΩ,
нельзя переносить ни в числитель ни в целом в дроби, то есть формально
равенство справедливо
tg Ω = -cx/cy = -cx/cy ,
но при вычислении кругового значения Ω = arctg(cx/-cy) ≠ arctg(-cx/cy).
Тема 12. Интеграл площадей в полярной формуле
Мы получили интеграл площадей в ИСК Охуz в виде
с = r × r˙.
ε
z
с
δ
х
О
(12.1)≡(6.8)
r
i
u
у
Ω
ξ
Рис. 12.1. Интеграл площадей в орбитальной СК Оξεδ
Интеграл площадей (6.8) справедлив в любой ИСК. Выберем ИСК,
связанную с плоскостью орбиты Оξεδ. В орбитальной СК Оξ; векторная
форма интеграла площадей не меняется с = r × r˙.
Координатная форма (12.1) примет вид:
с = {сξ, сε, сδ}, r = {ξ, ε, δ }, i = {ξ, ε, δ}.
(12.2)
Применяя мнемоническое правило для раскрытия векторного произведения
«по кольцу» получаем
сξ = εξ˙ - ξε˙
сε = δξ˙ - ξδ˙
.
(12.3)
сδ = ξε˙ - εξ˙
Из рис. 12.1:
ξ = 0, ξ˙ = 0 ,
(12.4)
поэтому (12.3) принимает вид:
сε ≡ 0 , сδ ≡ 0 , сξ = с = |c|,
(12.5)
с = ξε˙ - εξ˙ .
(12.6)
Введем полярные координаты спутника u и r в орбитальных СК (рис. 12.1 и
рис. 12.2):
ε
mвt
r
О
Полюс полярной
СК
Линия
узлов
Ω
ξ
Полярная ось
Рис. 12.2 Полярная СК
Угол u – полярный угол точки m,
Расстояние r – полярное расстояние.
В небесной механике полярный угол u называется аргументом широты
спутника.
r - геоцентрическое расстояние до спутника. Связь прямоугольных (ξ ε δ) и
полярных (u, z) координат спутника вытекает из рис. 12.2
ξ = εcosu, ε = rsinu, и δ = 0.
(12.7)
Отсюда находим связь скоростей изменения прямоугольных ξ˙, ε˙, δ˙ и
полярных u˙, r˙ координат. Дифференцируя (12.7) по t, получаем:
ξ˙ = r˙cosu - ru˙sinu
(12.8)
ε˙ = r˙sinu + ru˙cosu
Подставляя (12.7) и (12.8) в интеграл площадей (12.6) в орбитальной СК,
получаем
с = rcosu(r˙sinu + ru˙cosu – rsinu(r˙sinu - ru˙sinu) = r2u˙ ,
c = r2u˙ .
(12.9)
Выражение (12.9) носит название полярной формы интеграла площадей.
Тема 13. Физический смысл модуля векторной константы площадей.
Для вычисления физического смысла «с» в полярной СК рассмотрим два
бесконечно близких положения спутника (рис. 13.1) в моменты t и t+ ∆t j
с
О
∆u
∆S
Ω
u
m˙( t+∆ t)
m (t)
Линия
узлов
Рис. 13.1 К определению физического смысла модуля вектора константы
площадей
Вычислим площадь ∆S сектора Оmm˙ (ввиду малости угла ∆u)
∆S = (1/2) r∆ur
и перейдем к пределу отношения ∆S к ∆t и ∆u к ∆t
Lim(S/∆t)
= lim((r2∆u)/2∆t) = (r2/2)lim(∆u/ ∆t).
∆ t→0
(13.1)
Из курса дифференциального исчисления следует, что
Lim(∆S(t)/ ∆t) = dS/dt = S˙
∆ t→0
(13.2)
Lim(∆u/ ∆t) = du/dt = u˙
.
∆ t→0
Величина u˙ имеет физический смысл угловой скорости движения
спутника, а величина S˙ - секториальная скорость движения спутника (или
площадная скорость)
Подставляя в (13.1) выражение (13.2), получаем, что
S˙ = r2u˙/2 .
(13.3)
Сравнивая теперь (13.3) с (12.9) приходим к выводу, что
с= r2u˙ ,
(12.9)
модуль векторной константы площадей равен удвоенной секториальной
скорости:
с= 2S˙ ,
(13.4)
S = с/2 .
(13.5)
Тема 14. Второй закон Кеплера в классической и современной формулировке
Современная формулировка закона Кеплера выражается формулой (13.4):
«Удвоенная секториальная скорость движения спутника есть величина
постоянная».
Для получения классической формулировки второго закона Кеплера
рассмотрим четыре положения спутника m на орбите (рис. 14.1) таких, что
интервал времени удовлетворяют условиям:
t2 – t1 = ∆t и t4 – t3 = ∆t .
(4.1)
m(t3)
m(t2)
∆ S3,4
m(t4)
∆ S1,2
m(t1)
Рис. 14.1 – второй закон Кеплера в классической формулировке
Вычислим площади секторов ∆S12 и ∆S34 с помощью выражения (13.5) S =
с/2
∆ S12 = ʃ S˙dt = ʃ (cdt/2) =(c(t2 – t1))/2 = (c∆t)/2 ,
(14.2)
∆ S34 = ʃ S˙dt = ʃ (cdt/2) = (c(t4 – t3))/2 = (c∆t)/2 .
(14.3)
Из сравнения (14.2) и (14.3) следует,
∆S12 = ∆S34 .
(14.4)
Отсюда следует формулировка второго закона Кеплера: «За равные
промежутки времени ∆t радиус – вектор спутника огибает равные площади.
Тема 15. Интервал энергии спутника.
Дифференциальное уравнение, выведенное на основе трех законов Ньютона
r˙˙ + μr/r = 0.
(15.1)
Выражение (15.1) приведем к виду, удобному для интегрирования. Для
этого умножим скалярно (15.1) на удвоенный вектор скорости спутника r˙=V
2r˙r˙˙ + μ2r˙r/r3 = 0 .
(15.2)
Покажем, что первое слагаемое в (15.2) есть равенство
2r˙r˙˙ = (d/dt)(r2) .
(15.3)
Действительно, дифференцируя правую часть (15.2), получаем
(d/dt)(r˙2) = 2r˙r˙˙ , следовательно равенство (15.3) справедливо. Покажем,
что второе слагаемое в (15.2) есть равенство
2μr˙r/r3 = - 2μd/dt(1/r) .
Вычислим
(15.4)
(d/dt)(r2) = 2rr ,
(15.5)
r2 = rr = rrcos(0) = r2 .
(15.6)
Выражение (15.6) в векторной алгебре носит название скалярного квадрата:
аа = а2 = а2 .
Вычислим
(d/dt)(r2) = (d/dt)(r2) = 2rr˙ .
(15.6*)
(15.7)
Сравнивая (15.7) и (15.5), находим
(d/dt)(r2) = 2rr˙ = 2rr˙.
(15.8)
Подставляем (15.8) в левую часть (15.4) имеем
2μr˙r/r3 = - 2μrr˙/r3 = -2μr˙/r2 = -2μd/dt(-1/r) ,
(d/dt)(-1/r) = +r˙/r2 .
(15.9)≡(15.4)
(15.10)
Теперь, подставляя (15.4) и (15.3) в исходное уравнение (15.2) получаем
уравнение, удобное для интегрирования
(d/dt)(r˙2) - 2μd/dt(1/r) = 0 .
(15.11)
Интегрируя (15.11), получаем
r˙2 - 2μ/r = ʃ 0dt = h,
или, учитывая r˙≡V и r˙2 = V2 = V2, окончательно имеем
V2 = 2μ/r + h .
(15.2)
Выражение (15.12) носит название в небесной механике интеграла энергии.
Это название следует из выяснения физического смысла введенной
произвольной постоянной интегрирования h.
Величина h называется константой энергии.
Чтобы выяснить физический смысл h, умножим равенства (15.12) на
половину массы спутника
m = const
mV2/2 + ( - μm/r) = mh/2 ,
(15.13)
где mV2/2 – кинетическая энергия спутника с массой m,
- μm/r = - fμm/m – потенциал.
Тогда левая часть (15.13) есть сумма кинетической и потенциальной энергии
спутника, следовательно mh/2 есть полная энергия спутника.
Отсюда следует, закон сохранения полной энергии в, так называемой,
замкнутой механической системе, состоящей из двух тел (центральное тело и
спутник), и на которую действует только внутренняя сила системы – сила
взаимного тяготения. Полная энергия спутника остается постоянной во все
время движения спутника по орбите (рис. 15.1):
V2<V1
r2>r1
m(t2)
r2
V2
V1
t1
m
r1
M
Рис. 15.1 Изменение кинетической и потенциальной энергии движения
спутника
ЧАСТЬ № 3
Тема 30 Прогнозирование движения спутников.
Тема 30.1 Постановка задачи
Мы будем рассматривать прогнозирование невозмущенного движения спутника,
поскольку
теория
возмущенного
движения
спутника
базируется
на
формулах
возмущенного движения.
В невозмущенном движении предполагается, что действует только одна сила –
центрального тяготения, т. е. в любой точке пространства, где бы не находился спутник,
он испытывает только силу притяжения к центру масс центрального тела.
Как известно, центральное поле тяготения описывается только одним параметром
μ=fM,
(30.1)
где f – универсальная постоянная тяготения,
М – масса центрального тела.
Для
прогнозирования
движения
спутника
кроме
математической
модели
действующих сил (описываемых одним параметром μ) нужно знать нужно знать
начальные условия (НУ) движения спутника. В качестве НУ могут быть использованы:
r0={x0, y0, z0} – вектор положения спутника,
r0`=V={ x`0, y`0, z`0} – вектор скорости спутника,
T0={d0, t0} – начальный момент времени(начальная эпоха),
(30.2)
d0- ××d××m××g дата начальной эпохи,
t0 - ××h××m××s время эпохи (промежуток времени от 0h d0 до момента t0).
Таким образом задача ставится так.
Дано:
1) математическая модель сил, действующих на космический аппарат (КА),
описываемая одним параметром
μ=fM;
(30.1),
2) НУ движения спутника
{ r0, r0` } в T0 .
(30.2).
r0={x0, y0, z0}, r0`=V={ x`0, y`0, z`0}
(30.3)
Требуется определить:
положение с скорость КА
на заданный момент времени
T0={d0, t0}.
(30.4)
Схему решения задачи можно представить в виде нескольких этапов.
НУ: { r0, r0` } в T0
НУ:E0 ={ a,e,i,Ω,ω,M0} в T0
r0={ξ, ε, ς },
r0`=V={ ξ `, ε `, ς `}
r0={x0, y0, z0},
r0`={ x`0, y`0, z`0}
1) переход от НУ в виде
вектора положения r0 и вектора
скорости r0` к элементам
орбиты.
2) прогнозирование движения в
орбитальной СК на эпоху Т
3)преобразование координат из
орбитальной СК в СК Oxyz
заданную пользователем.
Схема 30.1 Блок-схема прогнозирования
Тема 30.2 Определение Кеплеровых элементов орбиты по НУ движения
спутника (этап1 рис. 1)
Исходные данные: μ, r0={x0,y0,z0}, r`0=V0={x`0,y`0,z`0}, Т0 относительно инерциальной
системы СК (в частности «небесной»).
Требуется получить : {a, e, i, Ω, ω0,M0} на Т0.
Решение задачи основано на четырех интегралах дифференциального уравнения
r``+ μ/r2 · r0 .
(30.5)
Интеграл площадей
r×r`=c,
(30.6)
где r0 – орт вектора r , r=r· r0.
Интеграл Лапласа
λ = r`×с- μ· r0 .
(30.7)
V2=2μ/r+h, h= -μ/a.
(30.8)
Интеграл энергии
Уравнение Кеплера
E-esinE=M, M=M0+n(T0-t0) , n= μ/a3.
(30.9)
Рис. 30.2 Начальные условия r0, V0, T0 и элементы орбиты Е0={a, e, i, Ω, ω0,M0}
Применяя интегралы (30.6) - (30.9) к начальному моменту (таким образом, они
справедливы для любого Т), получаем первые три константы
c= r0×r0`= r0· V0;
λ= V02-2μ/r0,
где
(30.10)
V0=| V0| ;
r0==| r0| .
Отсюда находим большую полуось орбиты
a=h/ μ;
и эксцентриситет
(30.11)
e=λ/ μ.
(30.12)
Находим первую группу элементов, которые характеризуют размеры и форму
орбиты. Далее находим углы Эйлера, определяющие ориентировку орбит эллипса
относительно инерциальной СК Oxyz.
-наклонение орбиты:
i=arccos(k·c0); c0= c/c, c= | c| ;
(30.13)
Ω0=k×c/ |k×c |, f=i· Ω0, g=j· Ω,
(30.12)
-долготу узла орбиты Ω:
область определения tgΩ=g/f, 0<=Ω<=2π .
-перицентр орбиты:
е0=с0×Ω0; f=λ0· Ω0= cosω ; g= е0· λ0= sinω,
(30.14)
область определения tgω=g/f, 0<ω<=2π.
И наконец, находим последний шестой элемент орбиты, который на орбите
определяется пятью элементами {a, e, i, Ω, ω}, а именно по элементу М0 в Т0. Для его
получения используем уравнение Кеплера; но для его применения нужно получить
вначале истинную аномалию спутника σ0 на эпоху Т0. Из рис. 30.2 векторной алгебры
имеем
mº=cº× λ, f= r0`· λ0=cos σ0, g= r0`· mº=sin σ0,
tg σ0=g/f, 0<= σ0<=2π.
(30.15)
(30.16)
Теперь решение выполняется по цепочке σ0→Е0→М0.
tgE0=(
1-е2 sinσ0)/(cosσ0+е); 0<=Е0<=2π.
(30.17)
Из уравнения Кеплера находим М0
М0=Е0-е sin σ0 .
(30.18)
Таким образом, мы решили 6 элементов орбиты{a, e, i, Ω, ω,M0} на эпоху Т0.
Тема 30.3 Прогнозирование движения спутника в орбитальной системе
координат
Постановка задачи
Дано:
1)μЕ=fM – гравитационный параметр центрального тела с массой М,
2)НУ движения спутника относительно ИСК Oxyz в виде Кеплеровых элементов
орбиты {a, e, i, Ω, ω,U0} на эпоху Т0
Т0={d0,t0}.
Требуется определить:
(30.19)
1)положение спутника
r(T) ={ξ(T), ε(T), δ(T)},
(30.20)
r`(T) =V(T)={ξ`(T), ε`(T), δ`(T)}
(30.21)
2)скорость спутника
на текущий момент времени Т={d,t} в наипростейшей СК, т.е. орбитальной подвижной
СК Оξεδ.
Решение задачи.
Орбитальная СК Оξεδ – эта такая СК, у которой основная координатная плоскость
(плоскость, содержащая оси абсцисс и ординат) параллельна или совпадает с плоскостью
орбиты Земли; вообще, прилагательные орбитальная, экваториальная, горизонтальная в
названии СК указывает на один из характерных признаков выбранной СК. Как известно,
орбитальная плоскость сохраняет свою ориентировку неизменной относительно ИСК,
следовательно и орбитальная СК тоже будет являться инерциальной, если ее оси абсцисс
и ординат будут неподвижны в плоскости орбиты.
В
орбитальной
СК
теория
движения спутника
описывается
простейшими
формулами.
Преимущества такого подхода состоит в том, что получив траекторию движения
спутника в орбитальной СК в дальнейшем производится только преобразование
полученных координат в нужную для пользователя систему отсчета. Хотя подвижная
орбитальная СК становится неинерциальной, тем не менее в сохраняются все формулы
невозмущенного движения. Покажем на рисунке 30.3 подвижную ИСК и вектор
положения r(Т) и вектор сокрости V(Т) в текущий момент времени Т.
ξ
Vr
V
O
r
Vτ
rº
ε
σ
O
O`
π
λ линия
апсид
τº
ε
Рис.30.3 Положение r(Т), скорость V(Т)= r`(Т) в текущий момент времени Т и
орбитальной подвижной СК Оξεδ.
На рис. 30.3 вектор положения r(Т) спутника в текущий момент времени в
подвижной орбитальной СК Оξεδ имеет на любой момент времени проекцию.
ѐ
ξ(T)
ξ(T)=|r|,
ξ(T)
r(T)= ε(T)
ε(T)=o=const;
δ(T)
δ(T)=o=const;
r(T)=
(30.22)
0
0
Оξεδ
Вектор скорости V в осях подвижной орбитальной СК будет иметь координаты
(проекции) из рис. 30.3
ξ`(T)
V=r`(T)=
ε`(T)
δ`(T)
Vr (T)
V=r`(T)=
Vτ(T)
0
(30.23)
ξ`(T)=|Vr|=|Vr|,
ε`(T) =|Vτ|=|Vτ|,
δ`(T)=0,
Vr – радиальная составляющая скорости спутника,
Vτ – трансверсальная составляющая скорости спутника.
На основе интегралов невозмущенного движения (площадей, энергии, Лапласа и
уравнения Кельвина) раскрываем формулы (30.22) и (30.23):
r(T)=ρ/(1-e cosσ(T)),
(30.24)
уравнение орбиты в полярных координатах r, σ:
Vr=
μ/p e sinσ,
Vτ=
μ/p (1+ е cosσ),
(30.25)
где фокальный параметр орбиты p и истинная аномалия спутника σ(Т) выражается через
НУ (30.19) следующим образом:
p=a(1-e2)=const.
(30.26)
Цепочка преобразований НУ:
U0(T0)→σ0(T0)→E0(T0)→M0(T0)→M(T)→E(T)→ σ(T).
(30.27)
{U0, е, а, Т0}→ σ(T) раскрывается с помощью формул:
1) σ0(T)= U0-ω;
2) tgE0=(
или
1-е2 sinσ0)/(cosσ0+e); E0 Є [0;2π]
(30.28)
(30.29)
tgE0/2=
(1-е)/(1+e) ·tgσ0/2; E0 Є [0;2π];
(30.30)
3) М0=Е0-еsinЕ0,
(30.31)
Уравнение Кеплера.
4) М(Т)=М0+n(Т-Т0),
(30.32)
n= μЕ/а3
(30.33)
- третий закон Кеплера.
5) Итеративное решение уравнения:
Е(к)=М(Т)+е sinЕ(к-1), где к=1,2, …n до тех пор, пока │ Е(к)- Е(к-1)│>ε,
ε – заданная погрешность вычисления.
6) tgσ= 1-е2 sinЕ(Т))/(cosЕ(Т)-e);
(30.34)
σЄ [0;2π]
(30.35)
σЄ [0;2π];
(30.36)
или
tgσ/2= (1+е)/(1-e) ·tgЕ/2;
Тема 30.4 Прогнозирование движения спутника относительно земной системы
координат
Постановка задачи.
Дано:
1)
r(Т) в орбитальной подвижной СК Оξεδ на текущий момент времени
2)
{Ω, ω, i, σ(Т)} – элементы орбиты на момент Т;
3)
S0(d) и ωЕ – параметры модели вращения Земли, S0(d) – угол,
Т;
определяющий
положение
начального
меридиана
(меридиана
Гринвича)
h
относительно ИСК (в случае небесной СК Оxyz) в полночь (т.е. 0 ) даты d эпохи
Т={d, t}.
Требуется определить: положение спутник в земной СК ОxGyGzG на текущий момент
времени Т.
Решение задачи вытекает из рис. 30.4 связи трех СК: орбитальной Оξεδ, небесной
(ИСК) Оxyz и земной ОxGyGzG.
xG(Т)
r(Т)=
r(T)
yG(Т) =R3(S(T))R3(-Ω)R1(-i)R3(-U(T))
0
zG(Т)
0
,
(30.37)
где R3(-Ω)R1(-i)R3(-U(T)) – координаты КА в небесной СК Oxyz,
R3(S(T))R3(-Ω)R1(-i)R3(-U(T)) – координаты КА в земной СК OxGyGzG,
U(T)=σ(T)+ω,
(30.38)
S(T)=S0(d)+ ωE(T-T0),
(30.39)
угол S(T) – звездное время на меридиане Гринвича в текущий момент времени Т.
Zγ
δ
ZG
ε
i
P
р
ξ
m(T)
σ
r
yG
О
Ω
γ
Ω
xγ
S(T)
G
yγ
xG
Рис. 30.4 Преобразование координат спутника из орбитальной СК в земную СК
На рисунке 30.2:
точка О – цент масс центрального тела (например, Земли),
точка m – спутник (например, ИСЗ), в текущий момент времени Т={d,t},
точка Р – северный полюс мира,
точка р – северный полюс вращения Земли,
ОР и Ор – ось Земли,
точка γ – точка весеннего равноденствия,
Оγ – линия узлов орбиты Земли относительно Солнца,
Оxγyγzγ – инерциальная СК, в частности – это небесная СК (вторая экваториальная),
ОрG – начальный (земной) меридиан, меридиан Гринвича,
ОγΩG – плоскость экватора Земли,
ОxGyGzG – земная(неинерциальная)СК(в геодезии- геоцентрическая общеземная СК).
Как было показано в разделе 30.3, положение КА в орбитальной (подвижной) СК
Оξεδ определяется вектором
r
r= 0
0
tgσ= 1-е2 sinЕ(Т))/(cosЕ(Т)-e); σЄ [0;2π];
(30.40)
E(k)=M+e sinE(k-1);
M=M0+(T-T0);
n= μE/a3 ;
р=а(1-е).
(Считается, что {a, e, i, Ω, ω,М0} известны).
Теперь, чтобы получить вектор положения КА r в нужной СК, надо преобразовать
вектор r из орбитальной СК Оξεδ в общеземную СК ОxGyGzG. Для этого достаточно
сделать четыре элементарных поворота СК Оξεδ до совмещения с общеземной СК
ОxGyGzG.
1-й поворот на угол «-U» вокруг оси 3,
2-й поворот на угол «-i» вокруг оси 1,
3-й поворот на угол «-Ω» вокруг оси 3,
4-й поворот на угол «+S(T)» вокруг оси 3.
Тема 30.5 Трасса искусственного спутника Земли (ИСЗ)
Трассой ИСЗ называется след пересечения радиуса-вектора спутника с поверхностью
Земли. Трасса обычно в плоской проекции поверхности Земли приближенно так, что
рельеф поверхности Земли не учитывается, а так же как правило не учитывается и сжатие
Земли. Поэтому в большинстве случаев трасса ИСЗ представляет собой след пересечения
радиуса-вектора спутника с земной сферой, изображаемой в плоской проекции (рис. 30.5).
φ
π/2 (90°)
1-й
виток
π/3 60°
2-й виток
(оборот)
π/6 30°
i
Ω`
О
π
(180°)
3π/ 2
(270°)
λ
Ω`` 2π (360°)0°
π /2
(90°)
π
(180°)
-i
-π/6 -30°
-π/3 - 60°
-π/2 -90°
Рис. 30.5 Трасса ИСЗ
На рисунке 30.5 φ и λ – географические координаты подспутниковой точки на
поверхности сферической модели Земли.
Подспутниковой точкой называется точка пересечения радиуса-вектора спутника с
поверхностью земной сферы. Чтобы рассчитать координаты подспутниковой точки
достаточно перейти от прямоугольных координат спутника {xG ,yG ,zG} в общеземной СК к
сферическим координатам КА { φ, λ } по формулам, вытекающим из рис. 30.6.
ZG
p
m(Т)
r
φ
O
a
λ
b
y
G
c
xG
Рис. 30.6 Связь прямоугольных { xG ,yG ,zG} и сферических { φ, λ } координат
спутника
На рисунке 30.6 видна прямая связь прямоугольных {xG ,yG ,zG} и сферических
{φ,λ,r} координат спутника из трех треугольников: Omc, Oac, Obc.
xG=r cosφ cosλ,
yG= r cosφ sinλ,
(30.41)
zG= r sinφ.
Обратная связь прямоугольных {xG ,yG ,zG} и сферических { φ, λ, r } координат
следует из решения системы из трех уравнений (30.40) относительно трех неизвестных:
φ,λ,r.
tgλ=yG/xG, λЄ[0;2π];
tgφ=zG/
(x2+y2)
, φЄ[-π/2;+π/2];
(30.42)
r= x2G+ y2G+ z2G .
Имея элементы орбиты КА {a, e, i, Ω, ω,М0, Т0}, рассчитываем координаты спутника
{φi,λi,} на заданные моменты времени Тi, i=1, 2, …, к по формулам (30.38) – (30.41).
В результате получим эфемериду (таблицу положения КА в сферических
координатах); в произвольной плоской проекции строим трассу КА. На рис. 30.5 точка Ω`
- положение восходящего узла орбиты на первом витке и точка Ω`` - на втором витке.
Дуга экватора Ω`Ω`` - есть смещение восходящего узла Ω орбиты за один оборот
спутника Р (переид обращения спутника).
Дуга
Ω`Ω``=ωЕР,
(30.43)
где ωЕ – угловая скорость вращения Земли.
Тема 30.6 Зоны радиовидимости искусственных спутников Земли
В небесной механике различаются две зоны радиовидимости:
- зона земной радиовидимости,
- зона небесной радиовидимости.
Зона земной радиовидимости – сферический сегмент поверхности земного шара, который
виден с борта КА. Зона небесной радиовидимости - это сферический сегмент небесной
сферы радиуса r (r – модуль геоцентрического радиуса-вектора спутника), который виден
из пункта наблюдения, расположенного на земной поверхности.
m
Небесная сфера
радиуса r
hmin
r1
m
M1
математический
горизонт
M2
R
β R
Земная сфера
радиуса R
O
Рис. 30.7 Зона земной радиовидимости с борта КА (сферический сегмент дуги
М1m’M2 сферического радиуса β)
математический
горизонт
q
p
М
hmin
r
β
hmin
r
β
R
ρ
О
земная сфера
радиуса R
небесная сфера
радиуса r
Рис. 30.8 Зона небесной радиовидимости НП (сферический сегмент дуги pq
сферического радиуса β)
В трехмерном пространстве сферический сегмент можно изобразить на рис. 30.9
(сферический сегмент дуги радиуса β).
M1
p
β
q
β
r
β
β
небесная сфера
радиуса R
О
Рисунок 30.9 – Сферический сегмент радиуса β
На рис. 30.7 и 30.8 точки М, М1, М2 обозначают положение наблюдателя,
точка О – центр масс Земли,
точка m – КА,
Угол hmin – угловая высота, ниже которой радиоизмерение практически невозможны
из-за сильных радиопомех – слишком малое отношение силы ЭМС к радиошуму. Обычно
hmin<=15º:20º.
Вычислим сферический радиус β зоны радиовидимости. Из треугольника ОМ 1m
(рис. 30.7) по теореме синусов имеем: r/ sin(90+hmin)= R/ sin(90-(hmin+β)); r/ coshmin= R/
cos(hmin+β); разрешая отсюда cos(hmin+β),
cos(hmin+β)=R/r· coshmin
(30.44)
β=arcos(R/r· coshmin .
(30.45)
или
Угол β обычно достаточно рассчитать с погрешностью около 1º, поэтому можно
использовать приближенные значения для r и R.
Задав hmin и приняв R≈aE – средний радиус земного эллипсоида или большая полуось
земного эллипсоида (аЕ=6378137 м) и приняв r≈a (a – большая полуось орбиты КА, если
е<0,01). Можно вычислить угол β по формуле (30.44).
Определение географических координат границы зоны земной радиовидимости. Под
географическими координатами мы будем понимать геоцентрическую долготу λ
и
географическую широту φ подспутниковой точки. Покажем на рис. 30.10 единичную
земную сферу (ее фрагмент), подспутниковой точки, положение наблюдателя на ней М,
«i»-ую точку на границе зоны радиовидимости.
ZG
ZH
z
yH
p
Ai
N
M
mi
R=1
экватор
Φ
O
G
β
xH
E
φi
Λ
xG
λi
yG
Земная сфера
(радиусом 1)
Рис.30.10 К определению географических координат φi, λi точек mi на границе
радиовидимости
На рис. 30.8 :
точка М – проекция наблюдателя на земную сферу,
углы Λ и Φ – геоцентрические долгота и широта наблюдателя М,
φi, λi – географические широта и долгота точки mi на границе зоны радиовидимости,
угол β – сферический радиус зоны радиовидимости,
О – центр масс Земли,
Ор – ось вращения Земли,
ОрG – начальный меридиан,
OxGyGzG – геоцентрическая земная экваториальная СК,
OxHyHzH - геоцентрическая земная горизонтальная СК,
угол Аi – азимут точки mi.
Пара углов Аi и β определяют сферические координаты точки mi в осях СК OxHyHzH.
Воспроизведем фрагмент рис 30.10 на следующих рисунках.
zG
mi
Z
R=1
φi
O
λi
E
N
xG
yG
q
Рис 30.11 Связь прямоугольных {xH ,yH ,zH} и сферических{λi, φi, 1} координат в
точке mi
Выражения (30.46) вытекают из прямоугольных треугольников Omiq, Oqx и Oqy.
xG= R cosφi cosλi,
yG= R cosφi sinλi,
(30.46)
zG= R sinφi.
zH
Z
mi
β
R=1
O
E
Ai
N
xH
yH
q
Рис 30.12 Связь прямоугольных геоцентрических горизонтальных {xH ,yH ,zH} и
сферических{Аi, βi, R=1} координат в точке mi
Из прямоугольных треугольников Omiq, OqЕ, OqN получаем
xH=R sinβ sinА,
yH=R sinβ cosА,
zH=R cosβ.
(30.47)
Установим связь между прямоугольными координатами {xH,yH,zH} и {xG,yG,zG}точки
m с помощью матрицы поворота. Для этого воспользуемся рис. 30.10 и правилом
преобразования координат:
xG
yG
=R3[-(90+Λ)] R1[-(90-Φ)] .
(30.48)
zG
Переход от {xH ,yH ,zH} к {xG ,yG ,zG} можно осуществить двумя элементарными
поворотами.
Наша цель, задавая массив сферических координат точек mi{Аi, βi} i=1, 2, …, n,
вычилить географические координаты{λi, φi} точек mi{Аi, βi} i=1, 2, …, n по всему
периметру зоны радиовидимости.
Алгоритм расчета координаты{λi, φi} можно изобразить блок-схемой, где n –
требуемая плотность точек на границе зоны.
- задание сферических
координат ;
Аi, βi; i=1, 2, …, n
- расчет прямоугольных
горизонтальной СК,
формулы (30.47);
{xH ,yH ,zH}i
- расчет прямоугольных
координат в
экваториальной СК;
{xH ,yH ,zH}i
- переход от прямоугольных
координат к сферическим,
формулы (30.45)- (30.48).
{λi, φi}; i=1, 2, …, n
Из решения системы (30.46), состоящей из трех уравнений с тремя неизвестными
{λi, φi ,R} при заданных{xG ,yG ,zG}, получаем:
R=
x2G+y2G+z2G;
(Но R=1, поэтому здесь его можно не искать)
tgλi=yG/xG, λi Є[0;2π];
tgφi = zG/
x2G+y2G,
(30.49)
φi Є[-π/2; π/2].
Получив массив координат точек mi в виде таблицы со столбцами
mi ,λi ,φi и
строчками 1,2,…,n, наносим точки mI на проекцию, в которой построена трасса спутника.
i=1
φ
π/2 (90°)
i=2
π/3 60°
A1
q1
A2
π/6 30°
О
π
(180°)
Ω`
2π (360°)0°
3π/ 2
(270°)
Λ→
S1
S2
π /2 (90°)
1-й виток
λ
2-й виток
i=8
-π/6 -30°
-π/3 - 60°
-π/2 -90°
Рис. 30.13 Зона радиовидимости трассы спутника на двух витках и точки входа,
выхода и кульминации в зоне радиовидимости
Тема 30.7 Некоторые системы координат, используемые в небесной механике
30.7.1 Основные признаки классификации систем координат и система
обозначений
Все многообразие СК, используемых в небесной механике, можно классифицировать
по четырем признакам:
1) по виду координат
- прямоугольные (декартовые СК),
- косоугольные (декартовые СК),
- цилиндрические (сферические СК),
- сферические (сферические СК),
- эллипсоидальные (сферические СК) и др.
В небесной механике используются прямоугольные и сферические СК.
2) по положению начала координат
- геоцентрические,
- топоцентрические,
- гелиоцентрические,
- барицентрические и др.
В небесной механике используются геоцентрические и топоцентрические.
3) по ориентировке основной координатной плоскости (т. е. плоскости, содержащей
оси абсцисс и ординат)
- экваториальные,
- орбитальные,
- горизонтальные (горизонтные),
- эклиптические и др.
В небесной механике используются экваториальные и орбитальные.
4) по ориентировке первой координатной оси (оси абсцисс) в основной
координатной плоскости
- небесные,
- земные и др.
Обе используются в небесной механике.
Примем следующую систему обозначений координат (рис. 30.14)
m
ρ
r
R
O
Рис.30.14 Основной векторный треугольник, используемый в небесной механике
В решении эфемеридных и орбитальных задач небесной механики используется
векторный треугольник с вершинами в центре масс Земли О, в спутнике m и в точке
стояния наблюдателя М. с помощью векторного треугольника ОmМ решаются прямые
эфемеридные и обратные (орбитальные или геодезические)задачи. Из векторного
треугольника, принимая принцип обхода, например, по часовой стрелке, получаем
+r-ρ-R=0.
(30.50)
Отсюда вытекает решение прямой и боратной задач небесной механики.
Например,
1)прямая задача: дан вектор положения наблюдателя М R={XG, YG, ZG} в земной СК
ОxGyGzG; дан вектор r положения спутника m r= {xγ, yγ, zγ} в небесной СК Оxγyγzγ.
Требуется рассчитать эфемериду спутника в топоцентрической горизонтальной СК
МxHyHzH в сферических координатах A, h, ρ, т. е. определить вектор ρ={ A, h, ρ },где А –
азимут, h – высота угловая, ρ – топоцентрическое расстояние до спутника.
Векторное решение вытекает из основного уравнения (30.49)
ρ= r-R.
(30.51)
Скалярное же решение описывается более сложным образом, где учитывается
различие СК как по положению начала координат, ориентировки СК, так и их вида.
Примем следующие принципы обозначений координат :
координаты спутника будем обозначать малыми буквами;
1.
координаты наблюдателя – заглавными;
2.
небесные координаты будем отмечать нижним индексом
γ
(гамма), γ – точка
весеннего равноденствия или восходящий узел орбиты Земли;
3.
земные координаты будем обозначать нижним индексом
G
(первая буква
начального меридиана Гринвича);
4.
горизонтальные координаты будем отмечать нижним индексом
H
(первая kfnbycrfz
буква слова «горизонт»);
5.
топоцентрические координаты в отличие от геоцентрических будем помечать
знаком «˜» - тильда.
Тема 30.8 Принцип преобразования координат из одной системы в другую
Наиболее просто преобразование координат осуществляется в прямоугольную
систему координат. Если же исходные криволинейны и преобразуемые координаты, то
нужно сначала криволинейные координаты преобразовать в прямоугольные, затем их
преобразовать из одной системы в другую.
В общем случае преобразования координат состоит из четырех этапов:
1- преобразование криволинейных координат в прямоугольные;
2-параллельный перенос прямоугольных координат из одного начала в другое;
3-поворот перенесенной прямоугольной СК в прямоугольную искомую СК;
4-преобразование координат повернутой СК в криволинейные координаты.
Покажем на рисунке 30.15 прямое и обратное преобразование криволинейных и
прямоугольных координат.
Рис. 30.15 Прямое и обратное преобразование криволинейных и прямоугольных
координат.
1)
Прямое преобразование:{λ,φ,r}→{x,y,z}.
x
Даны сферические координаты
λ,φ,r λвектора r.
y
b
Требуется получить его прямоугольные координаты x,y,z.
Решение вытекает из трех треугольников (рис. 30.15) Oxq, Oqm, Oyq.
q
x=r cosφ cosλ,
y=r cosφ sinλ,
(30.52)
z=rsinλ.
2)
Параллельный перенос СК из одного О начала в другое О`.
z``
z`
z
y`
p
r`
k`
k
k
j`
Δr0
j
i
O
x
i
y
j
i`
y``
x``
x`
Рисунок 30.16 Параллельный перенос и поворот исходной СК Oxyz до совмещения с
новой O`x`y`z`.
Напишем векторное равенство (из треугольника ОО`m):
r`=r-δr0 .
(30.53)
Представим (30.53) разложением в проекциях на оси СК: Oxyz и O`x`y``z``:
x``i`+y``j+z``k=xi+yj+zk-(δx0i+ δy0j+ δz0k) .
(30.54)
Умножая скалярно на орт i левую и правую части, получаем:
x``(i·i)+ y``(j·i)+ z``(k·i)=x`, x``=x- δx0.
(30.55)
Аналогично умножая скалярно на орт i левую и правую части, получаем:
x``(i·i)+ y``(j·i)+ z``(k·i)=x`, x``=x- δx0.
(30.56)
Объединяя (30.54) – (30.56):
x``
y`` =
z``
x
y z
δx0
δy0
δz0
(30.57)
Итак, при параллельном переносе одноименные компоненты вектора вычитаются,
если координаты всех трех векторов спроектированы на параллельные оси.
В векторной форме (30.58):
r`=r r-δr0.
(30.58)
3) Поворот СК.
Дано:
1. r`={x``,y``,z``}= x``i+y``j+z``k;
(30.59)
2. α, β, γ, … - углы Эйлера, задающие взаимную ориентировку двух СК O`x`y`z` и
O`x`y``z`` (или Oxyz).
Требуется определить преобразованные координаты вектора r` в проекциях на оси
СК O`x`y`z`, т.е.:
r`={x`,y`,z`}= x`i`+y`j`+z`k`.
(30.60)
Решение :
Приравнивая выражение (30.61) и (30.60), получаем:
x`i`+y`j+z`k=x``i`+y``j+z``k, r`= r`.
(30.61)
Умножая скалярно (30.62) последовательно сначала на орт i`, затем на j` и на k`,
получаем:
x`=(i·i`)x``+(j·i`)y``+(k·i`)z``,
y`=(i·j`)x``+(j·j`)y``+(k·j`)z``,
(30.62)
z`=(i·k`)x``+(j·k`)y``+(k·k`)z``.
Перепишем (30.63) в матричном виде
x`
(i•i`) (j•i`) (k·i`) x``
y` = (i•j`) (j•j`) (k•j`) y``
z` (i•k`) (j•k`) (k•k`) z``
(30.63)
Введем матрицу общего (результирующего) поворота Ω:
(i•i`) (j•i`) (k·i`)
Щ = (i•j`) (j•j`) (k•j`)
(i•k`) (j•k`) (k•k`)
(30.64)
Тогда преобразование вращения (30.64) перепишется так:
x`
x``
y` = Щ y``
z`
z``
,
(30.65)
где матрица поворота находится, как правило, с помощью заданных углов Эйлера α 1,
α2,…, αn.
Ω=Rin(αn)… Ri2(α2) Ri1(α1),
где Rik(αk) – элемент матрицы поворота.
(30.66)
Объединяя два этапа в одно преобразование, подставляем в (30.66) вместо
{x``,y``,z``} равенство (30.57), получаем:
x`
y`
z`
x
y z
=Ω
δx0
δy0
δz0
.
(30.68)
Или перепишем (30.68) в векторно-матричной форме:
r`= Ω(r-δr0),
(30.69)
r`= Ωr-Ω δr0, Ω δr0= δr0`, r`= Ωr- δr0`.
(30.70)
или
4)
Обратное преобразование: {x,y,z}→{λ,φ,r}.
Даны прямоугольные координаты x,y,z вектора r.
Требуется получить его сферические координаты λ,φ,r.
Решение вытекает из обращения системы (30.51) из трех уравнений относительно
трех неизвестных:
r=
x2+y2+z2,
tg λ= y/x; λЄ[0;2π],
(30.71)
tg φ= r/( x2+y2); φЄ[-π/2; π/2].
Тема 30.9 Пример решения прямых и обратных задач небесной механики в
различных СК.
Дано:
1)ρ={A,h,ρ} – топоцентрический радиус-вектор спутника m в момент времени
Т={d,t}, в горизонтальной сферической СК,
2)R={Λ, Φ, R} – геоцентрический радиус-вектор наблюдателя М в земной
экваториальной сферической СК (Oxyz)G,
3){S(d), ωE} – главные параметры вращения Земли,
4){i,Ω,ω} – некоторые элементы орбиты спутника.
Требуется определить:
r={ξπ, επ, δπ} - геоцентрический радиус-вектор спутника m на момент времени
Т={d,t} в неподвижной орбитальной СК (Oxyz)π, с осью абсцисс Oxπ , направленной в
перигей орбиты π.
Решение:
покажем на рис. 30.17 три точки О, m, M и три СК MxHyHzH, OxGyGzG, Oξπ,επ,δπ , в
которых даны исходные данные и требуется получить результат.
y˜H
m
N
ρ
z˜H
r
M
zG
x
˜
R
O
x
yG
γ
G
x˜H
H
xG
Рисунок 30.17 – Положение наблюдателя М и спутника m в различных СК.
z˜H
m
Z
ρ
M
x˜H
h
A
N
y˜H
E
Рисунок 30.18 – Горизонтальная топоцентрическая сферическая СК.
На рис.30.18:
М – наблюдатель,
m – спутник,
Z – зенит (геоцентрический) наблюдателя,
Е – точка востока,
N – точка севера,
А – азимут спутника, отсчитываемый от точки севера по ходу часовой стрелки через
точку Е от 0° до 360°,
h – угловая (геоцентрическая) высота спутника над горизонтом.
Покажем на рис. 30.19 положение наблюдателя М в геоцентрической земной
экваториальной сферической СК и связь с горизонтальной топоцентрической СК.
A
P
меридиан
наблюдателя
m
y˜H
ZG
ρ
q
z˜H
Z
h
E
x˜H
M
R
yG
Φ
O
Λ
G
экватор
Рисунок 30.19 – Земная геоцентрическая экваториальная СК OxGyGzG и
топоцентрическая горизонтальная СК Mx˜Hy˜Hz˜H.
Покажем на рис. 30.20 орбитальную СК Оξπεπδπ, в которой требуется найти вектор
r={ξπ, επ, δπ}.
επ
ZG
Zγ
P
δπ
ξπ
m
r
O
xγ
γ
S
λ
π
Q
Λ
Ω
Ω
G
xG
xG
h
Рисунок 30.20 – Орбитальная СК
О – геоцентр,
Р – северный полюс вращения Земли,
γ – точка весеннего равноденствия,
G – точка пересечения меридиана Гринвича с экватором,
Q - точка пересечения меридиана наблюдателя с экватором,
S – истинное звездное время на текущий момент времени T={d,t}.
Решение:
с помощью рисунков (30.17) – (30.20) получаем аналитическое решение в виде
следующих форму на основании блок-схемы (рис. 30.21).
ρ={A,h,ρ}
переход
от
сферических
к
топоцентрическим
прямоугольным
координатам спутника в горизонтальной
СК ОxHyHzH
1
ρ={x˜H,y˜H,z˜H}
- переход от прямоугольных координат из
горизонтальной
СК
(Oxyz)H
в
экваториальную земную СК МxGyGzG с
помощью углов Эйлера {Λ,Φ}
2
ρ={x˜G,y˜G,z˜G}
R={Λ,Φ,R}
-преобразование сферических координат
НП в прямоугольную геоцентрическую
экваториальную СК ОxGyGzG
3
R={XG,YG,ZG}
-параллельный перенос (или
преобразование) топоцентрических
координат спутника
4
r={xG,yG,zG}
5
-преобразование геоцентрических земных
координат спутника в геоцентрические
орбитальные координаты с осью абсцисс,
направленной в перигей π
r={ξπ, επ, δπ}.
Рисунок 30.21 Блок-схема решения задачи
Этап 1
ρ cosh sinA
G
ρ=
G
G
=
ρ cosh cosA
ρ sinh
(30.72)
Этап 2
ρ cosh sinA
G
ρ=
=R3[-(π/2+Λ)] ·R1[-(π/2-Φ)]
G
ρ cosh cosA
ρ sinh
G
(30.73)
Этап 3
R cosΦ cosΛ
XG
R= YG
R cosΦ sinΛ
=
R sinΦ
ZG
(30.74)
Этап 4
xG
r=
yG
=
zG
G
XG
G
+ YG
G
ZG
(30.75)
ξ
r=
ε
xG
=R3(ω) R1(i) R3(Ω) R3(-S)
δ
yG
zG
(30.76)
где
S=S0(d)+ωEM; T={d,t}; M=t(UTC)+ΔUT1(d),
(30.77)
ΔUT1(d) – поправка во всемирное координированное время t(UTC) за переход ко
всемирному времени М.
Тема 31 Постановка задачи возмущенного движения искусственных спутников
Земли
В небесной механике возмущенным движением небесного объекта называется
всякое движение под действием помимо центральной силы тяготения любой другой силы,
оказывающей влияние на траекторию ИСЗ.
Сумма всех
сил,
отличных
от
силы центрального тяготения, называется
возмущающей силой. Если эту силу поделить на массу спутника, то (в соответствии со
вторым законом Ньютона: сила пропорциональна массе и ускорению, F=mw) получится
возмущающее ускорение спутника.
Постановку задачи возмущенного движения рассмотрим в сравнении с постановкой
задачи невозмущенного движения.
невозмущенное движение
возмущенное движение
Дано:
1)три закона Ньютона классической механики,
2)начальные условия движения ИСЗ (КА) в виде вектора положения r0`={x`0,y`0,z`0}
и вектора скорости r0`={x`0,y`0,z`0};
3)математические модели (ММ) сил, действующих на КА.
-ММ
силы
центрального -ММ силы центрального тяготения (или ускорения)
тяготения (или ускорения)
F=f (Mm/r2) (-r/r),
F=f (Mm/r2) (-r/r),
-ММ силы, аномалиями гравитационного поля Земли
где
-r/r=r0
положения
–
КА,
(1.1)
орт
он
(1.1)
вектора F1;
же
с -ММ сил, создаваемых движениями Луны, Солнца,
обратным знаком есть орт F0 – планет: F2, F3, F4;
силы центрального тяготения.
-ММ силы сопротивления атмосферы F5;
-ММ силы прямого светового давления F6;
-ММ силы светового давления отраженного от Земли и
Луны F7, F8;
-ММ силы, вызываемой тепловой радиацией Земли F9;
-ММ сил, вызываемых приливами и отливами в твердой
и жидкой оболочках Земли F10, F11;
-ММ электромагнитных сил F12;
-ММ сил, вызываемых релятивистским эффектом F13;
-ММ активных сил, вызываемых утечками сжатого
воздуха в баллонах КА F14;
-ММ других сил.
Требуется: получить вектор положения КА r и его скорости r` как функцию времени Т
начальных условий движения КА и параметров ММ сил, действующих на КА
r(T)=r(r0,r0`,C;T), r`(T)= r`(r0,r0`,C;T).
F3
F1
m
F4
F7
F5
F6
F2
r
O
F
Рисунок 31.1 – Схема математических моделей сил, действующих на КА
На рис. 31.1 точка О – центр масс Земли, точка m – КА.
Тема 32 Понятие возмущающего ускорения спутника
Обозначим через F равнодействующую всех сил, оказывающих влияние на
траекторию КА. Она будет равна векторной сумме:
F=F0+F1+…+Fn=
Fi ,
(32.1)
где F0 – сила центрального тяготения, Fi , i=1,…,n – возмущающие силы.
Если из равнодействующей F вычесть силу центрального тяготения F0, то разность
двух векторов даст (суммарную) возмущающую силу FВ:
FВ= F- F0.
(32.2)
m(T)
FB
F
F0
O
Рисунок 32.1 – Введение возмущающей силы FВ, как разности F-F0
O
Из равенства (32.2) получим возмущающее ускорение
Φ= FВ/m,
где m – масса КА,
n
FВ=
(32.3)
n
Fi, Φ= Φi= Fi/m.
i=1
(32.4)
i=1
Тема 33 Дифференциальное уравнение возмущенного движения
В соответствии со вторым законом Ньютона:
F=m·r``,
(33.1)
где F – равнодействующая всех сил, оказывающих влияние на движение КА,
r – текущий радиус-вектор КА,
r`` - ускорение КА,
m – масса КА.
Выделим из F силу центрального тяготения
F=F0+FB=mr``.
(33.2)
Но сила центрального тяготения по универсальному закону Ньютона:
F0=f ·(Mm/r2)· (-r/r).
(33.3)
Поставляя (33.3) в (33.1) с учетом (33.2), получаем:
mr``+ f ·(Mm/r2)· (-r/r)=FB
или, деля на m левую и правую части (33.4), находим:
(33.4)
r``+ μ/r2 (r/r) = Φ ,
(33.5)
где μ=f/M – универсальный гравитационный параметр.
Выражение (33.5) и есть ДУ возмущенного движения КА в векторной форме.
Сравним ДУ невозмущенного движения:
r``+ μ/r2 (r/r) = 0.
(33.6)
Отличие только в правой части. Уравнение (33.5) является более общим, т. к. при
Φ=0 оно переходит в (33.6).
Векторное уравнение (33.5) перепишем в координатной форме. Для этого нужно
каждый вектор, входящий в равенство представить его разложением по координатам:
r=xi+yj+zk,
(33.7)
т. к. i, j, k – орты инерциальной СК, то
r``=x``i+y``j+z``k,
(33.8)
Φ= Φxi+ Φyj+ Φzk.
(33.9)
Проставляя (33.7) в (335) и умножая скалярно последовательно сначала на орт i,
затем j и k, окончательно получим:
x``= μ/r2 · x = Φx,
y``= μ/r2 · y = Φy,
(33.10)
z``= μ/r2 · z = Φz.
Выражение (33.10) – это ДУ возмущенного движения спутника в координатной
форме.
Тема 34 Аналитические и численные методы решения ДУ возмущенного
движения спутника
В уравнении возмущенного движения спутника
r``+(μ/r2)·(r/r)= Φ ,
(34.1)=(33.5)
где искомые функции – вектор положения спутника:
r=r(t)={x(t), y(t), z(t)}
(34.2)
r`=r`(t)={x`(t), y`(t), z`(t)}
(34.3)
и вектор скорости:
известная функция – вектор возмущенного ускорения:
Φ={Φx, Φy, Φz},
(34.4)
где
Φx= Φx (r(t), r`(t); c; t),
Φy= Φy (r(t), r`(t); c; t),
Φz= Φz (r(t), r`(t); c; t)
и гравитационный параметр центрального тела μ= f/M.
(34.5)
ДУ возмущенного движения (отличающееся от (34.1) только нулевой правой частью)
r``+(μ/r2)·(r/r)=0
(34.6)
имеет точное аналитическое решение (которое было получено в предыдущих разделах
небесной механики).
Решение ДУ невозмущенного движения (34.6) представляет собой замкнутые явные
формулы для вычисления вектора положения r(t) и вектора скорости r`(t) как функции
времени элементов орбиты
{a, e, i, ω, Ω, tπ}
(34.7)
и параметра М математической модели силы центрального тяготения, т. е.
r(t)=r (Eπ; c={μ}; t)
r`(t)= r`(Eπ; c={μ}; t)
(34.8)
В отличие от ДУ невозмущенного движения (34.6), ДУ возмущенного движения
(34.1) не имеет точного аналитического решения в замкнутых формулах подобно
решению (34.7). Существует две группы методов решения ДУ возмущенного движения
(34.1):
1) приближенные методы аналитического решения (методы Делоне, Цептеля,
Пуакуре, Якоби и др.);
2) численные методы приближенного решения ДУ (34.1).
Из многочисленных аналитических методов решения ДУ возмущенного движения
(34.1) мы рассмотрим только один – метод Лагранжа – вариации произвольных
постоянных интегрирования.
Тема 35 Метод Лагранжа.
35.1 Оскулирующие орбиты и Оскулирующие элементы орбит
Идея метода Лагранжа состоит в том, чтобы предоставить аналитическое решение
возмущенного движения в виде тех же самых формул, что и решение невозмущенного
движения. Однако элементы орбиты, входящие в эти формулы необходимо рассматривать
как функции времени, а не как константы. Т. е. аналитическое решение ДУ возмущенного
движения имеет вид:
r(t)=R3(-Ω(t)) R1(-i(t)) R3(-U(t))
r(t)
0
0
U(t)=ω(t)+σ(t);
p(t)=a(t) (1-e(t)2);
r(t)=p(t) /(1+e(t) cosσ(t));
tg σ(t) = 1-e2(t) sinE(t)/(cosE(t)-e(t) );
E(t)-e(t) sinE(t)=M(t);
(35.1)
M(t)=n(t) (t-tπ).
n(t)=
μ/a3(t).
Элементы орбиты:
{a(t), e(t), i(t), ω(t), Ω(t), tπ}
(35.2)
называются оскулирующими элементами, а орбита, которую они представляют
называется оскулирующей. Геометрическую интерпретацию оскулирующих орбит и их
переменные покажем на рис. 35.1
r`1
t1
t2
оскулирующая
орбита в t1
F1
t3
F1
r1
tn
F1
возмущающая
траектория
спутника
z
O
F2
y
оскулирующая
орбита в tn
x
Рисунок 35.1 – Оскулирующие орбиты и возмущающая траектория спутника
относительно инерциальной СК Оxyz.
Согласно идее Лагранжа, оскулирующие элементы орбиты могут быть определены
вектором
положения
r(t)
и
вектором
скорости
r`(t)
по
обычным
формулам
невозмущенного движения:
c(t) = r(t) x r´(t);
λ(t) = - c(t) x r´(t) - μ(r(t)/r(t));
h(t) = V²(t) - 2μ/r(t) ;
a(t)=- μ/h(t); e(t)=|λ (t)|;
i(t)=arcos (k·c(t));
tg Ω(t) = g/f; g= Ωº·j; f= Ωº·i;
Ωº = k x c(t);
tgω(t) = g/f, g= eº· λ ; f= Ωº· λº;
eº = cº(t) x Ωº ;
dº = cº(t) x λº (t);
tgσ(t) = g/f, g= dº · rº(t); f= λº· rº(t);
tgE(t)= 1-e2(t) sinσ(t) /(cosσ(t)+e(t);
M(t) =E(t) –e(t) sinE(t);
(35.3)
tπ(t) = t-M(t) / n(t) ;
n(t) = μ/a3(t) .
Итак, по векторам r(t) и r`(t) с помощью формул (35.3) мы получили шесть
оскулирующих элементов орбиты: {a(t), e(t), i(t), ω(t), Ω(t), tπ}.
На рис. 35.1 показаны оскулирующие орбиты, соответствующие векторам r(t) и r`(t).
Оскулирующие (эллипсоидальные) орбиты должны удовлетворять трем условиям:
1)проходить через точку m, в которой в данный момент времени t находится спутник;
2)проходить так, чтобы касательная к нему совпадала с вектором скорости r`(t) в этот
момент времени t;
3) проходить так, чтобы один из фокусов (эллипса) орбиты располагался в
притягивающем центре - точке О.
Если такие оскулирующие (эллипсы) орбиты строить непрерывно вдоль возмущенной
траектории спутника, то мы получим семейство оскулирующих орбит (рис. 35.1). в
результате возмущенная траектория будет являться огибающей (кривой) семейства
оскулирующих орбит.
Определение оскулирующей орбиты
Оскулирующая орбита – это мгновенное (виртуальное) коническое сечение, которое
определяется вектором положения и вектором скорости спутника, находящегося на
возмущенной траектории, в момент времени t (на основании формул (35.2)).
Таким образом, оскулирующая орбита может считаться постоянной в пределах
ограниченного отрезка времени в зависимости от заданной точности расчета траектории
(рис. 35.2).
t0-Δt
ε
t0
t0+Δt
ε
z
возмущающая
траектория
оскулирующая
орбита в t0
y
x
Рисунок 35.2 – Пределы применимости оскулирующей орбиты на момент t0 на
интервале [t0-Δ; t0+Δ] при заданной погрешности расчета возмущающей траектории.
ЧАСТЬ № 2
Тема 16. Интеграл Лапласа.
Продолжаем интегрировать движение спутника
μ(r/r3)
+
r´´
=
0
(16.1)
Приведем к виду, удобному для получения еще одного интеграла, независимого от первых
двух: интеграл площадей и интеграл энергии.
Для этого умножим равенство (16.1) на векторную константу площадей с первое слагаемое
в
(16.1) и на r x r´ - второе слагаемое , так как
c
=
x
r
r´
(16.2)
c
x
r´´
μ/r3
+
(r
x
x
r´)
r
=
x
c
0
=
0
(16.3)
Но c x r´´ = d/dt(c x r´) => dc/dt x r´ + c x d/dt(r´) = c x r´´
(16.4)
проверка
Преобразуем второе слагаемое в (16.3), где имеется, так называемое двойное векторное
слагаемое, которое раскрывается по правилу: «БАЦ – ЦАБ».
(a
x
b)
x
c
=
b
·
(a
–
c)
c
(a
·
b)
(16.5)
Применяя (16.5) к (16.3), находим
μ/r3(r x r´) x r = [ r´(r · r) - r(r · r´)] μ/r3 = μ/r3 (r´r² - rrr´)
r´ · r – r · r
3
т.к. d/dt(r²) = 2r · r´ = μ/r r (r´· r – r · r´) = μ
= μ d/dt (r/r) =>
r²
μ
=>
(
r´
r
=
·
–
r
r
·
/
r)
r
/
r²
)
d/dt
(μ
rº)
(16.6)
Подставляя (16.4) к (16.6)
c x r´´ = d/dt (c x r´) и
μ/r3(r
(16.6)
x
r´)
x
d/dt
(
μ
r
=
В равенство (16.3), получаем
d/dt
x
[c
r´
μ
+
r
/
r]
=
0
(16.7)
Интегрируя (16.7),находим
c
x
r´
+
μ
r
/
r
∫
=
(-λ)
d/dt
dt
∫0dt
=
=
-λ
(16.8)
Где - λ - произвольная векторная константа которая взята специально со знаком «-»,для
того чтобы вектор λ был направлен как будет показано ниже , в ближайшую точку
орбит.
И так выражение
λ
=
-
x
c
r´
μ
-
rº
(16.8*),
где rº = r / r - орт носит название в небесной механике интеграла Лапласа.
Произвольная постоянно может быть определена как обычно, по начальным условиям
движения
спутника.
r0 = r(t0) и r´0 = r´(t0) в начальный момент времени t0.
Так как интеграл Лапласа справедлив для любого момента времени то он справедлив и для
начального t0. По этому
λ = - c x r´0 - μ r´0/ r0 , где c = r0 x r´0
(16.9)
Для выяснения физического смысла λ необходимо преобразование (16.8).
Тема №17 Физический смысл вектора Лапласа
17.1 Уравнение орбит полярных координатах.
ДУ:
(17.1)
Мы получили три интеграла:
-площадей
(17.2)
-энергии
(17.3)
-лапласа
(17.4)
r´´+
c
(μ/r²)rº
=
=
=
-
c
0
x
r
h
λ
=
r´
v²
x
r´
-
2μ/r
μ
rº
Наша цель: получить явные выражения для векторов положение r и вектора скорости r´в
виде функции времени t и НУ r0, r´0 в t0. Чтобы достичь конечной цели нужно выяснить
физический смысл константы (переменной) интегрирования с, h,. Первые две константы
с, h: для них установлен физический смысл. Установим физический смысл константы λ.
Для этого умножим сколярно интеграл Лапласа (17.4) на текущий радиус-вектор спутника
r.
λ · r = -( c x r´)· r - μ rº· r
смешанное произведение
λ · r = (r x r´)· с - μ (r · r)/ r
с
λ
·
r
с²
=
-
μr
(17.5)
Раскроем левую часть (17.5)
λ
·
r
=
·
|λ|
|r|
Cos
(λ,^r)
(17.6)
или
λ
·
r
λrCosv
=
(17.7)
Где угол v = λ,^r - как угол между вектора Лапласа и текущим радиус-вектором
спутника r обозначает, как правило, v и называется истиной аномалией спутника .
С учетом (17.7) перепишем (17.5)
λrCosv
=
с²
-
μr
(17.8)
Разрешая уравнение (17.8) относительно r, получаем
с²
r
=
(17.9)
μ + λCosv
Обычно (17.9) записывают так (учитывая то что μ ≠ 0)
с²/μ
(17.10) - уравнение орбиты в полярных константах r и v.
r=
μ + λ/μ·Cosv
Чтобы установить физический смысл вектора Лапласа λ нужно сопоставить уравнение
(17.10) с уравнением конического сечения в полярных координатах, при этом полярные
константы нужно выбрать особым образом.
17.2 . Конические сечения.
Всякая кривая второго порядка есть коническое сечение.
К кривым второго порядка относят:
- окружность
- эллипс
- парабола
- гипербола
- вырожденный случай - прямая.
Конические сечения получаются как результат. Сечение поверхности конуса (прямого,
кругового) плоскостью. Если плоскость пересечет конус ортогонально оси симметрии
конуса, то в сечении получится окружность (рис. 17.1). Если плоскость пересечет конус
параллельно
образующей
линии конуса
в сечение
парабола (рис. 17.2). Если
плоскость пересекает конус параллельно оси симметрии конуса
в сечение
гипербола.
Если плоскость проходит через вершину конуса и параллельна образующей
прямая
линия как касательная конуса. Если плоскость пересечет не параллельно и не
перпендикулярно оси симметрии
эллипс.
π
L
π
Н
H
Рис.17.1 π || H, то L – окружность
Рис.17.5 π перпендикулярна Н, то L – эллипс
π
π
Q
L
Н
H
Рис.17.2 Если π||Q, то L – парабола
Рис.17.3 Если π || H, то L - гипербола
От выбора, то есть от выбора расположения начало координат О и выбора ориентировки
осей координат, а так же выбора вида координат (прямоугольных, полярных) зависит вид
уравнений конических сечений. Например, если выбрать начало координат О в центре
симметрии кривой ориентировать оси прямоугольника С координат по оси симметрии
кривой, то получается, так называемое коническое уравнение второго порядка.
x²/a² + y²/b² = ± 1 (17.11), где +1 – уравнение эллипса а и b;
y
- 1 – гипербола.
m
π
L
y
x
O
x
Рис.17.6 эллипс в Oxyz с
полуосями
Q
Рис.17.4 если π проходит через О и касается образующей, L – прямая (два
луча)
Если вместо двух переменных x и y выбрать один, так называемый лонгальный параметр
Е, то уравнение (17.11) перепишем в виде двух параметрических уравнений.
x
(17.12)
=
aCosE,
y
=
bSinE
Если же переместить начало координат О из центра симметрии эллипса в один из его
фокусов (F1 или F2) и заменить вид координат – вместо прямоугольных x и y, взять
полярные координаты ρ и φ, то уравнение (17.11) перепишем так (рис. 17.7)
ρ
=
p
/
1
εCosφ
+
(17.13)
y
m2
m
b
ρ
O
F2
aε
р
F1
x
a
Рис.17.7 Эллипс в полярных координатах
Расстояние между фокусами эллипса F1 и F2
F1
F2
=
2aε
(17.14)
и называется фокальным расстоянием. В формуле (17.13) - это половина хорды, проходит
через один из фокусов кривой (F1 или F2) перпендикулярно оси симметрии (или точнее,
большой полуоси эллипса а) на рис. 17.7 p = F1 Q и p ┴ а. Он связан с большей полуосью
формулой
p
=
a(1
ε²)
-
(17.15)
ε
=
–
(a²
b²)
/
a²
(17.16)
(17.16) – эксцентриситет эллипса. Теперь сопоставляя уравнения кривой второго порядка
(из аналитической геометрии) (17.13) с уравнением (17.10), заключаем, что
r ρ, v
c²/μ
φ
λ/μ
p,
ε
(17.17)
Уравнение (17.10) – уравнение конического сечения в полярных координатах r и v с
полюсом в центре масс центрального тела, (так как исходное уравнение γ мы интегрируем
в инерциальную систему координат r´ + (μ/r²)rº = 0)
Являющегося одним из фокусов (F1 или F2) конического сечения. Далее фокальный
параметр орбиты p равен
p
=
c²/μ
(17.18)
и является одной из констант интегрирования эксцентриситета орбиты
ε ≡ e = λ/μ (17.19),( в небесной механике эксцентриситет обычно обозначают «е» ).
Из того, что v => φ, выясняется направления вектора Лапласа – вектор λ направлен по оси
симметрии эллипса в ближайшую точку орбиты π (рис. 17.8)
b
P
r
O
m
π
v
λ
x
полюс полярной СК
F
ae
Рис.17.8 Центр орбины в полярной СК
r = p/ 1+eCosv (17.20) ≡ (17.10) – уравнение орбиты в полярных координатах.
Из сопоставления выражения, получается как следствие интеграла Лапласа,
с²/μ
r
=
(17.10)
μ + λ/μ·Cosv
с каноническим выражением конических сечений
ρ
=
p
/
1
+
εCosφ
(17.13)
следует, что равенство (17.10) представляет собой уравнение конического сечения
(окружность, эллипсоид, парабола, гипербола) и переписывается окончательно в виде
r
=
p/
1+eCosv
(17.20),
где
р = c²/μ, ε ≡ e = λ/μ, v = < λ^r(t)
р – фокальный параметр орбиты,
е – эксцентриситет,
v – истинная аномалия спутника.
Из сопоставления (17.10) и (17.13) следует, что притягивающий центр (центральное тело)
находится в одном из фокусов конического сечения (в любом), что вектор Лапласа
направлен по оси симметрии конического сечения в ближайшую точку орбиты. Чтобы
показать, что вектор направлен в ближайшую точку орбиты, для этого вычислим при угле
v = 0° и при v = 180°.
Если vπ = 0º, то rπ = p / (1 + e)
Если vα = 180º, то rα = p / (1 - e)
В прямоугольных точках rπ ≤ r ≤ rα
Таким образом, из сопоставления (17.10) и (17.13) вытекает следующий смысл векторной
константы Лапласа λ.
- модуль вектора Лапласа λ = |λ| = eμ - характеризует эллиптичность орбиты:
Если λ = 0,то е = 0 и орбита есть окружность.
Если λ = 0, е < 0, то орбита - эллипс.
Если λ = μ, е = 1, то орбита - парабола.
Если λ > μ, е > 1, то орбита - гипербола.
Всякий вектор в трехмерном пространстве должен характеризовать три параметра. Мы
установили только для вектора Лапласа, нужно установить физический смысл для
направления вектора Лапласа. Таким образом, два оставшихся параметра в векторе λ
характеризует его направление в пространстве, которое определяется осью симметрии
конического сечения и ближайшей точки орбиты фокуса.
Тема 18. Точки и линии орбиты спутника.
С помощью интеграла площадей мы установили, что орбита спутника – плоскостная
кривая, лежащая в плоскости , лежащая в инерциальной системе координат. Эта кривая:
замкнутая или разомкнутая и представляет собой одно из конических сечений. Это
коническое сечение постоянной орбиты ориентирования внутри орбитальной плоскости.
(рис. 18.1 )
U
P
b
m(t)
r
α
O´
v
λ
ω
π
линия узлов орбиты
ae
a
Рис.18.1. Точки и линии эллиптической орбиты.
На рис. 18.1 О' – центр симметрии конического сечения
F1 и F2 – фокусы симметрии конического сечения
π – перицентр орбиты
α – апоцентр орбиты
Оπ - линия апсид орбиты
ОΩ - линии узлов орбиты
Угол v - истинная аномалия спутника
Угол ω - аргумент широты орбиты
ω = <Ωº^λº - угол между линии узлов и вектором Лапласа
Область определения угла ω є [0, 2π)
Угол u = <Ωº^r - аргумент широты спутника
Область определения u є [0, 2π)
Из аналитической геометрии кривых второго порядка (или конического сечения) следует,
что
p = a(1 - e²) = c²/μ
b
=
a
1
-
e²
(18.1)
e² = (a² – b²)/a²
Получим формулу для определения аргумента широты орбиты ω по вектору Лапласа λ и
вектором константы площадей c . По начальным условиям движения спутника r0 и r0 в t.
Мы получаем векторы с и λ по формуле
c = r0 x r´0
λ
=
-
x
c
r´0
μ
-
(18.2)
Далее находим орт линии узлов Ωº
Ωº
=
x
k
c
/
rº0
x
|k
c|
(18.3)
И теперь используя принцип определения узла в пределах полной окружности, получае
eº
90 - ω
λ
ω π
Ω
Ωº
eº
x
cº
=
Ωº
(18.4)
Cos(90º
-
ω)
=
Sinω
=
λºeº
=
g
(18.5)
Cosω
λºΩº
=
=
f
(18.6)
tgω = g/f, ωгл = arctg (g/f)
ωгл, если g > 0 и f > 0,
ω = π + ωгл, если f < 0,
2π + ωгл, если g < 0 и f > 0.
Тема 19. Связь константы площадей энергии спутника h с большой
полуосью орбиты a.
Для установления связи h и a воспользуемся интегралом энергии.
v²
=
2μ/r
+h
(19.1)
Так как интеграл энергии справедлив для любой точки орбиты, вычислим его в точке
перицентра орбиты π.(рис19.1)
Vπ
Ω´
r
v
u
λ
ω
π
2π
Ω
V²π
=
2μ/rπ
+h
(19.2)
Но из уравнения орбиты
r = p/ 1+eCosv (17.20), получаем
vπ = 0º, rπ = p / (1 + e) = a (1 - e²)/1 +e = a (1 - e)(1 + e)/1 + e = a (1 - e)
rπ
=
a
(1
-
e),
rα
=
a
(1
+
e)
(19.3)
Вычислим линейную скорость спутника
V в точке π, как произведение угловой
скорости радиуса – вектора спутника r. Относительно фокуса О - это σπ на длину вектора
r, то есть
Vπ
=
v´π
·
rπ
(19.4)
Угловую скорость υ получим из полярной формы интеграла площадей
c
=
r²u´
(19.5)
Но из рисунка 18.1 имеем
u
ω
=
+
v
(19.6)
Дифференцируя (19.6) и учитывая , что ω – константа, получаем, что
(19.7)
Тогда интеграл площадей, записывают
c
=
u´≡ v´
r²v´
(19.8)
Сравнивая (19.8) и (19.4) получаем, что
Vπ
(19.9)
Учитывая, что c =
Получаем, что Vπ =
(19.10)
=
c
/
rπ
μp
μp
/ 2π =
μa(1 - e²)
После алгебраического преобразования получаем
h = - μ/a (19.11) – установлена связь константы с большой полуосью.
Тема№20. Период обращения спутника. Третий закон Кеплера.
/ a(1 - e)
В невозмущенном движении период обращения спутника имеет смысл только для
замкнутых орбит (эллипс, окружность). Периодом обращения называется промежуток
времени между двумя последовательными прохождениями спутника через одну и ту же
(любую) точку орбиты.
m в t ( m в t +T )
λ
r (t)
Рис.20.1 период обращения спутника.
На рис.20.1 точка О – центральное тело
точка m - любая точка орбиты, через которую проходит спутник дважды в
моменты
t1=t
и
t2=t+T
(20.1),
где T – период обращения
T=
t2
–
t1
(20.2)
Установим связь Т с большой полуосью орбиты а. Для этого дважды вычислим S эллипса
орбиты, один раз из геометрических соображений , другой раз из динамических
соображений.
Из аналитической геодезии.
2а
2b
Рис. 20.2 Площадь орбитального эллипса из геометрии
S прямоугольника = 4аb
S эллипса =π ab
20.3)
(
Вычислим из динамических соображений , воспользовавшись вторым законом Кеплера ,но
в современной формулировке.
S´=
(20.4)
½
С
Где S´ – скорость изменения площади (секториальная скорость) движения спутника на
орбите,
C- константа площадей
с=
μр
(20.5)
Возьмем интеграл по t от выражения (20.4)
t+T
t+T
∫
S´dt
=∫
(20.5)
t
t
t+T
∫
S´dt
(20.6)
t
=
S
½
орбитального
С
эллипса
dt
из
динамики
t+T
∫ ½ С dt
= ½ С ( t + T – t ) = ½
μр
T
(20.7)
t
μр
Таким образом, S эллипса из динамики =
T
(20.8)
2
Поскольку площади S эллипса из геометрии должна быть равна площади из динамики S
эллипса из динамики то, приравнивая (20.3) и (20.8), получаем
½
μр
T = π ab , но
p = a ( 1 – e2 ), b = a
1 – e2
по этому
T = 2πab /
μр
Итак ,
T
(20.9)
2π
=
= 2πa а
1 – e2
/
μ а ( 1 – e2 ) = 2π /
/
μ/а3
μ/а3
Формула (20.9) связывает через константы π и μ, период обращения спутника T с большой
полуосью его орбиты а. Отсюда следует, что параметр T определяем размер орбиты
(полуось а), но большая полуось связана с константой энергии h по формуле.
h
(20.10)
=
-
μ/а
Но mh/2 - полная энергия спутника ,следовательно период обращения спутника T связан с
полной энергией спутника и является одной из констант интегрирования
дифференциального уравнения движения спутника.
r´´ + μ/r2• rº = 0
Среднее движение спутника.
Выясним физический смысл знаменателя в формуле
T
(20.9)
=
Из (20.9)
(20.11)
2π
/
имеем
μ/а3
μ/а3
=
2π
/
Т
Но 2π - полный угол, который описывает радиус-вектор r за время T (период).
Следовательно величина
μ/а3
есть средняя угловая скорость движения спутника по
орбите. В небесной механике используется термин - среднее движение спутника
обозначается «n»
n
(20.12)
=
μ/а3
Тогда формула (20.11) переписывается так
n
=
2π
/
Т
или
Т
=
2π
/
n
(20.13)
Из формул (20.11, 20.12) или (20.9) следует третий закон Кеплера в современной
формулировке
μ
=
n2a3
(20.14)
Из (20.14) следует третий закон Кеплера: «произведение квадрата среднего движения
спутника на куб большой полуоси его орбит есть величина постоянная ».
Получим выражение с помощью (20.14) из которой следует формулировка третьего закона
(Кеплера) (рис.20.3)
Рассмотрим одно центровое тело O, вокруг которого движение нескольких спутников
( проекция солнечной системы )
m2
m3 m1
Рис. 20.3 Третий закон Кеплера в классической формулировке
Применим (20,14) к системе спутников m1, m2,….,
n12a13=
n22a23=
(20.15)
n32a33=…=μ
Для двух спутников m1 и m2, получаем отношение
n12/
n22
=
(20.16)
a23/
a13
Из формулы (20.17) следует третий закон Кеплера в классической формулировке ;
«квадраты периодов обращения двух спутников относительно одного и того же
центрального тела
как
кубы больших полуосей их орбит».
Заменим в (20.16) средние движение n периодом T
(2π / Т1)2 a23
Т12
=
или
(2π / Т2)2 a13
Т22
a23
=
a13
(20.17)
Кеплер установил этот закон эмпирическим путем по Тиха Браги. Мы получили этот закон
как частный случай трех законов Ньютона.
Тема№21. Связь трех констант интегрирования;
Лапласа, энергии и площадей.
Наша цель показать, что три произведения постоянного интегрирования ДУ движения
спутника λ, h и с. Они являются между собой зависимыми величинами. Для этого
воспользуемся интегралом Лапласа и площадей.
λ = с x r´ - μrº;
c = r x r´
( 21.1)
Возьмем в квадрат левую и правую части интеграла Лапласа
λ 2 = [ - (с x r´ + μrº)] = (с x r´)2 +2(с x r´)(μr) + μ2 (rº)2
λ 2 = λ 2 – как скалярный квадрат
(21.2)
(21.3)
(с x r´)2 = │ с x r´│2 = │сv Sin (с^v)│2 = (сv)2
(21.4)
r ≡ v – двоякое обозначение вектора скорости
2(с x r´)(μrº) = 2μ (с x r´)rº = 2μ (с x r´) r/r = 2μ/ r (с x r´) r =
= 2μ/ r (r´ x r) с = 2μ/ r (- с2) = - 2μс2/ r
2(с x r´)(μrº) = - 2μс2/ r
(21.5)
λ 2 = μ2 + с2h
(21.6)
ТЕМА №22. Радиальная трансверсальная составляющие скорости движения спутника.
Скорость движения спутника
всегда направлена по касательной к его орбите. Этот
вектор скорости раскладывается на две ортогональных составляющих: радиальную и
трансверсальную, рис.22.1
Vr
V
mвt
r
rº
v
Vτ
τº
Рис.22.1. Радиальная и трансверсальная скорость движения спутника.
На рисунке 22.1 показана орбитальная дуга, притягивает центр О, перицентр π, вектор
Лапласа λ, текущее положение спутника m в t, его радиус-вектор r и вектор скорости v ,
касательный к орбите в точке m.
Vr - вектор радиальной скорости спутника;
Vτ - вектор трансверсальной скорости спутника;
rº - орт радиального направления (он же орт радиус-вектора спутника
τº - орт трансвкрсального направления
)
Вектор скорости спутника v можно представить разложение по ортам rº и τº, как сумму
двух векторов
V = Vr + Vτ
(22.1)
Или
V = Vr rº+ Vτ τº
(22.2)
Из курса физики вектор скорости V есть производная по времени то радиус - вектора r/t.
V = d/ dt (r (t)) = r´(t)
(22.3)
Но радиус-вектор r (t) можно представить как произведение его модуля r (t) на орт rº(t).
r (t) = r (t) • rº(t)
(22.4)
Берем производную от равенства (22.4) получаем
V = d/ dt (r (t) rº(t)) = d/ dt [r (t)] rº(t) + r (t) d/ dt[rº(t)]
(22.5)
Обозначим
d/ dt (r (t)) = r´
(22.6)
Из курса физики производная от любого вектора r, вращающегося с угловой скоростью ω
вокруг оси, проходящей через начало вектора r в направлении ωº, равна векторному
произведению r, рис. 22.2 .
d/ dt (r) = ω x r
(22.7)
ωº
V
m
r
O
ω
Рис.22.2 Представление линейной скорости.
V = d/ dt (r) = ω x r
(22.7)
V=ωxr
(22.7´)
Применим формулу (22.7´) для вычисления производной и d/ dt (rº (t)), рис.22.3.
сº
m
λ
r
π
σ
r´º rº
Рис.22.3
Орт rº вращается с угловой скоростью σ´ - скорость изменения истинной аномалии со
временем, от сюда следует, что σ´ ≡ ω – модуль угловой скорости (22.7´).
Орт оси вращения вектора rº есть орт сº – векторной константы площадей с.
ω = σ´сº
(22.8)
тогда r´º = ω x rº
(22.9)
или r´º = σ´сº x rº
τº
или r´º = σ´ τº
где τº = сº x rº
(22.10),
(22.11).
Перепишем (22.5) с учетом (22.10)
V = Vr rº + rσ´ τº
(22.12)
Сравнивая (22.12) с (22.2)
V = Vr rº+ Vτ τº (22.2), приравнивая их правые части и приравнивая скалярные множители
при одинаковых ортах, получаем
Vr = r´ , Vτ = r σ´
(22.13)
Из формул (22.13) следует, что радиальная составляющая скорости отвечает за изменение
длины радиуса – вектора спутника, а трансверсальная составляющая – отвечает за
линейную скорость и движения спутника по виртуальной окружности радиуса r.
Установим связь радиальной Vr и трансверсальной Vτ скорости спутника с параметрами
орбиты: р - фокальный параметр орбиты, е – эксцентриситетом орбиты и углом σ–
истинной аномалии силы.
Для этого воспользуемся двумя интегралами:
- уравнением орбиты в полярных координатах
r
=
(22.14),
- интегралом площадей в полярных координатах
c = r²σ´, c =
p/
1+eCosσ
μp
(22.15)
Дифференцируя (22.14) по t, получаем
Vr = r´ =
Итак,
(22.16)
p(e+Sinσ)σ´ p =
(1+eCosσ)² p
Vr
μp
p
eSinσ =
=
μ
/
μ/p
eSinσ
p
eSinσ
Для получения трансверсальной скорости Vτ как функции р, е и σ сравнивают два
выражения (22.13) с (22.15)
Vτ = r σ´
c = r²σ´
Vτ = с/r
(22.17)
Или с учетом (22.14) и (22.15), находим
Vτ
(22.18)
=
μ
/
p
(1+eCosσ)
Формулы (22.16) и (22.18) устанавливаем связь Vr и Vτ с направлением орбиты р, е и σ.
Полезны формулы, связи скорости:
V² = Vr² + Vτ²
(22.19)
V = 2μ / r + h
(22.20) - интеграл энергии .
ТЕМА №23. Эксцентрическая аномалия (геометрическая интерпретация) спутника.
Для определения положения спутника на заданной орбите в небесной механике
используется три аномалии:
Истинная,
Эксцентрическая,
Средняя.
Истинная была введена в разделе уравнения орбиты нормальных координат. Она
отслеживает истинный угол вращения спутника рис.23.1.
mвt
r(t)
λ
σ
O,F
Рис. 23.1 Истинная аномалия
Истинная аномалия более сложным образом связана со временем t. Эксцентрическая
аномалия Е связана со временем Е(t) более простой формулой, чем σ(t).
Средняя аномалия М связана со временем наиболее просто по линейному закону.
Все три аномалии связаны между собой.
σ
(
E
(
M
(t)))
=
σ
(t)
(23.1)
Покажем на рис.23.2 геометрическую интерпретацию эксцентрической аномалии.
m´(t)
а
α
О´
E
.F2
O F1 q
m(t)
σ
π
λ
Рис. 23.2 Эксцентрическая аномаоия
На рис.23.2 О' – центр симметрии орбитального эллипса, О – притягивающий центр
( центральное тело ), m – положение спутника на орбите в текущий момент времени,
вектор qm перпендикулярен линии апсид Оπ,
угол πОm = σ – истинная аномалия спутника, которая отслеживает истинный угол σ
поворота радиус – вектора спутника r относительно вектора Лапласа λ ( или линии апсид ),
угол πО'm' = Е – эксцентрическая аномалия спутника, вершина угла Е находится не в
центре масс тела, а в центре симметрии орбитального эллипса, точка m' – виртуальная
точка движения по окружности радиуса в центре с центром симметрии эллипса и
получается как результат пересечения перпендикулярно вектору qm с окружностью.
Из рис.23.2 видно, что две точки m и m' при движении спутника m по орбите сливаются в
одну точку в двух случаях:
1. когда спутник находится в перицентре π,
2. когда спутник находится в апоцентре α.
Правильное применение терминов перицентр ( перигей ), апоцентр ( апогей ) и т.п.
Когда центральное тело безымянное или же обсуждается задача двух без относительно
какого либо центрального тела, то точки орбиты π и α называется перицентром и
апоцентром. Если же уентральное тело имеет имя, или решение конкретной реальной
задачи двух тел,то название точек меняется ( см. в таблице ).
центральное тело перицентр апоцентр
Земля( спутник: Луна, иск. Спутник ) перигей
апогей
Солнце ( спутник 6 Земля, Венере и т.д. )
перигелий афелий
Луна ( иск. спутник )
переселений апоселений
Тема№24. Эксцентрическая аномалия спутника. Аналитическая связь двух аномалий.
Для получения формулы выражающие эксцентриситет аномалии через истинную или
наоборот введем три орбитальных системы координат. Орбитальная система- основная
плоскость совпадает с плоскостью орбиты.
1. Система координат Oξε с началом притягивающим центре О и осью Oξ абсцисс,
направленный по линии апсид Oπ.
y
ε
m´
b
α
O
ε
m
линия апсид
E
ac o ξ q
a
полярная ось
λ
ξ
x
Рис. 24.1 Связь истинной и эксцентрической аномалии.
2.Полярная система координат с полюсом в точке О и полярной осью направлена по линии
апсид с полярными координатами r и σ.
r – полярное расстояние
σ – полярный угол
( в небесной механике r – модуль радиус-вектора спутника, σ – истинная аномалия
спутника)
3. Прямоугольная система координат О´xy с началом O´ в центре симметрии орбиты и
осью абсцисс O´y направленной по линии апсид. Уравнение орбиты спутника в системе
координат О´xy имеет вид (см. аналитический геометрический метод ).
x²/a²
+
y²/b²
=
(24.1)
Уравнение орбиты спутника в полярной системе координат ( r,σ) имеет вид
1
r = p/ 1+ eCosσ
(24.2)
где p = a(1-e²), e² = a² – b² / a² , b =
(24.3)
a
1
e²
-
ae = О´О– полуфокальное расстояние
Уравнение орбиты спутника в параметрической форме
x = aCosE
(24.4)
y = bSinE
Уравнение дано без выводов, где Е - параметр. Если подставить (24.4) в (24.1),то получим
тождество, что свидетельствует о правомерности введение уравнения (24.4).уравнение
орбиты в координатах ξ и ε (из рис. 24.1)
ξ
(24.5)
=
rCosσ,
ε
=
rSinσ
С другой стороны , с центром (24.4) и рис.24.1 получаем
ξ = x – ae = aCosE – ae = a(CosE – e)
ε = y = bSinE = a 1 - e² Sin E
ξ = a(CosE – e)
y
=
(24.6)
a
1
-
e²
Sin
E
Сопоставляя (24.6) и(24.5), находим искомую связь
rCosσ = a(CosE - e)
rSinσ = a
(24.7)
1
-
e²
Sin
E
Заменим r с помощью формулы
r
=
a(1
(24.8),
которая получается из рис.24.1 по теореме Пифагора
r² = ξ² + ε² = [a(CosE – e)]² + (a
-
eCosE)
1 - e² Sin E )²
Подставляя (24.8) в (24.7), получаем окончательно –
Cosσ
(24.9)
=
CosE
–
e
/
–
1
eCosE
Sinσ =
1 - e²
Sin E / 1 – eCosE
(24.9)
Формулы (24.9) устанавливают связь Е и σ в одну сторону: Е => σ. Получим обратную
связь:
σ =>Е. Можно воспользоваться формулой для тангенса половинного угла
tg
α/2
(24.10)
=
1
–
Cosα/
1
+
Cosα
+
Cosσ
Заменим в (24.10) α на σ
tg
σ/2
(24.11)
=
1
–
Cosσ/
1
Подставив в (24.11) равенство (24.9), получим окончательно
tg σ/2
(24.12)
=
tgE/2 =
(24.13),
1
+
e
/
1
–
e
tg
E/2
1
+
e
/
1
–
e
tg
σ/2
формулы (24.9),(24.12),(24.13) устанавливают связь Е <=> σ.
Тема№25. Уравнение Кеплера.
Уравнение Кеплера - последний
дифференциального уравнения.
четвертый
независимый
интеграл
r´´ + μ/r²•rº = 0
решаемого
(25.1)
Уравнение устанавливает связь угла поворота равенств со временем t. Для получения этой
связи воспользуемся интегралом площадей в полярной форме
с
=
(25.2)
Где σ´=dσ/dt -скорость измерения истинной аномалией σ со временем t.
r²•σ´
Из (25.2) получаем интеграл r²•dσ/dt = c или разделяя переменные σ и t, так чтобы они
находились в различных частях равенства.
r²
(25.3)
dσ
=
cdt
и интегрируя t(σ)
∫
(25.4)
σ=0 t(σ= 0)
r²dσ
=
∫
Интеграл (25.4) сложен
σ
∫ a(1 - e²) /1 + eCosσ dσ = ?
σ=0
Необходимо привести его к табличному виду
r
=
a
(
(25.5)
1
–
cdt
eCosE
)
Остается найти dσ через dE.
Для этого воспользуемся формулой
Cosσ
=
CosE
–
e
/
(25.6)
Дифференцируя по σ левую часть и по Е правую, находим
–
1
eCosE
-SinEdE (1 – eCosE) – (CosE – e)(eSinE)
-Sinσdσ =
(1 – eCosE)²
Завершить самостоятельно; используем для Sinσ формулу (24.9)
Итог: dσ = 1 - e²
dE / 1 - eCosE
(25.7)
Подставляя (25.7), (25.5) в (25.4), получаем
E(σ)
∫ a²(1 - eCosE)²
E(σ=0)
E(σ)
∫
(1
(25.8)
E(σ=0)
-
t(σ)
/ 1 – eCosE dE = ∫ cdt
t(σ=0)
1 - e²
t(σ)
eCosE)
dE
=
∫
c
/
a²
1
-
e²
dt
t(σ=0)
Выражение (25.8) легко интегрируется.
Интегрируя левую часть (25.8), находим
E
–
(25.9)
E(σ)
eSinE
=
E
–
eSinE
E(σ=0)
Учитывая, что при σ=0, эксцентрическая аномалия Е так же равна нулю.
Интегрируя правую часть (25.9), находим
t(σ)
с
μp
t =
e²
t
t =
a² 1 - e²
t(σ=0)
a
μa(1 - e²)
(t - tπ) = n (t - tπ)
1 - e²
(25.10)
a
1-
mвt
линия апсид λ
π
Из третьего закона Кеплера n²a3 = μ имеем n =
μ/а3
Где n- среднее движение спутника,
а- большая полуось орбиты,
μ - гравитационный параметр центрального тела.
Объединяя (25.10) и (25.9) согласно (25.8), находим окончательно, что
E
–
eSinE
=
n
(t
tπ)
(25.11)
Выражение (25.11) носит название в небесной механике – уравнение Кеплера.
Оно связывает эксцентрическую аномалию спутника Е со временем t через три параметра :
e, a, tπ - константы.
Уравнение Кеплера – четвертый интеграл r´´ + (μ/r²)rº = 0, для четвертого интеграла
достаточно построить траекторию спутника и выразить явно радиус спутника r как
функцию времени t: r(t).
Тема№26. Средняя аномалия спутника.
В
уравнение
Кеплера
Е
–
eSinE
=
n
(t
tπ)
(26.1)≡(25.11),
выясним физический смысл правой части n (t - tπ) - ?
Параметр n - есть угловая скорость (средн.) движения спутника по орбите. Тогда
произведение n (t - tπ) представляет собой угол, который обозначен через μ.
μ
=
n
(t
tπ)
(26.2)
При текущем времени t , равном tπ, из формулы (26.2) следует, что μ = 0. Отсюда вытекает,
что угол μ отсчитывается от точки π - перицентра. Угол μ в небесной механики называется
средней аномалией спутника. И этот угол отслеживает движение фиктивной точки по
окружности с постоянной угловой скоростью n. (см.рис.26.1). Момент tπ истинная σ и
эксцентрическая Е аномалии равны 0. В tπ : σπ = 0, Еπ = 0 и как следует из (26.2), Мπ так
же равняется 0. То есть образованные все три аномалии учитываются от одного и того же
направления – линии апсид (или, что то же самое от вектора Лапласа ).
В небесной механики вводят понятие средней аномалии спутника в начальную эпоху t0,
по формуле, на основе (26.2)
M0
=
M(t0)
=
n
(t0
tπ)
(26.3)
Тогда выражение (26.2) для средней аномалии M перепишется так:
M
=
M0
+
n
(t
–
t0)
(26.4)
m´
m´´
F2
O´
F1
E
π
m
M
λ
Рис.26.1 три аномалии спутника: σ(t), E(t), M(t).
Подстановкой в (26.4) формулы (26.3) самостоятельно проверить совпадение с формулой
(26.2) С учетом введенных обозначений для средней аномалии M уравнение Кеплера
(25.11) ≡ (26.1) обычно записывают в виде
E – eSinE = M
.
(26.5)
Тема№27. Итеративный метод решения уравнения Кеплера.
Уравнение Кеплера M = E – eSinE
(27.1) ≡
(26.5)
в одну сторону решается явно (то есть когда дана эксцентрическая аномалия Е и ищется
средняя аномалия спутника M ,при условии, что эксцентриситет известен). В обратную
сторону (то есть когда дано M ,а ищется Е то нет в математике способов решения таких
нелинейных (трансцендентных уравнений) явно аналитического решения получить не
возможно, то есть
M =>
E - проблема аналитического решения.
Для таких трансцендентных уравнений (когда искомая функция входит под знак
тригонометрической функции так и явно) существует множество численных методов, мы
рассмотрим один - итерационный способ решения. Этот способ применим только тогда,
когда
e ≤ 0.66
(27.2)
Итеративная формула имеет вид
E(k)=
(27.3),
M
+
eSinE(k-1)
Где k = 1, 2…. – порядковый номер итерации
В качестве начального значения Е (0) можно принять любое число, например Е(0) = 0º,или
Е(0) =М (в последнем случае на одну итерацию будет меньше).
Процесс итерации:
к = 0 Е(0) = М
к = 1 Е(1) = М + e sin Е(0)
………………………………………
k = k E(k) = M + e sin Е(k-1)
продолжая до тех пор пока не выполнится критерии окончания итерации: два
последовательных значения эксцентрической аномалии E(k) и Е(k-1) не станут различаться
между собой на заданную величину погрешности расчетов ε.
│E(k) - Е(k-1)│≤ ε
( в радианах ).
Тема 28. Связь трѐх аномалии спутника v, Е и М со временем t полѐта.
Приведем здесь сводку формул, полученных в предыдущих разделах, связывая три
аномалии спутника v, Е и М, как между собой, так и со временем t.
tg (v/2) =
1 + e /1 - e
tgE/2
(28.1)
tg (Е/2) =
1 + e /1 - e
tgσ/2
(28.2)
М = Е – е sin E
(28.3)
(28.7)
M = n (t - tπ)
(28.4)
M = M0 + n(t – t0)
(28.5)
n=
μ/а3
(28.6)
С помощью формул (28.7) решается все множество задач связанных с полетом спутника от
одной точки орбиты до другой. В этих задачах вычисляется либо время полета между
двумя точками либо угол поворота.