Прикладная математика и информатика (группа МИ

Программа государственного экзамена для студентов группы МИ-71
направление 010400.62 “Прикладная математика и информатика”
подготовки бакалавра
2014/2015 уч.год
Экзамен проводится в устной форме, в билете 3 вопроса.
Теория вероятностей и математическая статистика
1. Определение
вероятности:
классическое,
геометрическое,
статистическое,
аксиоматическое. Сложение и умножение вероятностей.
2. Случайные величины. Функция распределения, ее свойства. Способы задания дискретных
и непрерывных случайных величин.
3. Числовые характеристики случайных величин. Свойства математического ожидания и
дисперсии.
4. Основные вероятностные распределения: биномиальное, геометрическое, Пуассона,
равномерное, нормальное, экспоненциальное.
5. Предельные теоремы: Муавра-Лапласа, Пуассона, закон больших чисел, центральная
предельная теорема.
6. Основные понятия математической статистики: генеральная совокупность, выборка,
вариационный ряд. Эмпирическая функция распределения, гистограмма частот.
7. Точечные оценки неизвестных параметров, их свойства (несмещенность, состоятельность,
эффективность). Свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии.
8. Методы получения точечных оценок: метод моментов, метод максимального
правдоподобия. Примеры.
9. Основной принцип проверки статистических гипотез. Критерии. Ошибки 1 и 2 рода.
Критерии согласия Колмогорова, хи-квадрат для проверки гипотезы о виде
распределения.
Случайные процессы и теория массового обслуживания
1. Определение случайного процесса. Случайный процесс как система согласованных
конечномерных распределений.
2. Однородные цепи Маркова. Свойства переходных вероятностей. Классификация
состояний марковской цепи с конечным множеством состояний.
3. Классификация состояний марковской цепи со счетным множеством состояний.
Необходимые и достаточные условия существования предельного и единственного
стационарного распределений счетной марковской цепи.
4. Процессы восстановления. Интегральное уравнение восстановления. Элементарная
теорема восстановления. Узловая теорема восстановления.
5. Пуассоновский процесс. Вероятностные характеристики и свойства траекторий.
6. Процессы гибели и размножения. Условия существования предельного распределения.
7. Построение полумарковского процесса. Полумарковское ядро и его свойства.
8. Системы массового обслуживания. Структура системы массового обслуживания;
символика Кендалла. Марковская модель массового обслуживания М|М|n|N. Анализ
модели при помощи метода элементарных экспоненциальных операций.
9. Система массового обслуживания М|G|1|∞. Метод вложенных цепей Маркова. Основной
закон стационарной очереди.
Исследование операций и прикладной стохастический анализ
1. Исследование функционала достижения на траекториях управляемого полумарковского
процесса.
2. Теорема о структуре аддитивного функционала накопления на траекториях управляемого
полумарковского процесса.
3. Лемма о сведении поиска экстремума дробно-линейного функционала к поиску
экстремума для специально подобранного линейного функционала. Теорема об
экстремуме дробно-линейного функционала.
4. Классическая детерминированная модель управления запасом. Описание модели,
постановка задачи и краткое изложение результатов исследования (без доказательства).
5. Стохастическая модель управления запасом непрерывного продукта в схеме регенерации.
Описание модели, постановка задачи оптимального управления. Теорема о представлении
стационарного показателя качества управления в форме дробно-линейного функционала и
решение задачи оптимального управления.
6. Полумарковская стохастическая модель управления дискретным запасом. Описание
модели, постановка задачи. Общая схема решения на основе анализа стационарного
стоимостного показателя качества управления.
Методы оптимизации
1. Выпуклая задача оптимизации. Теорема о глобальном минимуме в выпуклой задаче.
2. Конечномерная задача оптимизации с ограничениями в виде равенств. Метод множителей
Лагранжа. Теорема о необходимых условиях оптимальности первого порядка в задаче с
ограничениями в виде равенств (без док-ва).
3. Задача с ограничениями в виде равенств и неравенств. Активные и пассивные
ограничения. Теорема о необходимых условиях оптимальности в задаче с ограничениями
в виде равенств и неравенств (без док-ва).
4. Задача выпуклого программирования. Теорема Куна-Таккера (без док-ва)..
5. Классическое вариационное исчисление. Простейшая задача. Задача Больца. Общая
задача с граничными условиями. Теоремы о необходимых условиях экстремума.
6. Оптимальное управление. Принцип максимума Понтрягина. Формулировка принципа
максимума в форме Гамильтона.
7. Оптимальное управление. Принцип максимума Понтрягина. Формулировка принципа
максимума в форме Лагранжа.
8. Принцип максимума Понтрягина для классической задачи с фиксированным интервалом
времени и закреплённым левым концом траектории. Формулировка теоремы.
9. Оптимальное управление. Принцип оптимальности Беллмана. Общая формулировка
принципа и описание метода динамического программирования.
10. Применение метода динамического программирования на примере классической задачи
об оптимальном распределении ресурсов.
Математическая теория надежности
1. Основные показатели надежности и методики их расчета. Метод прямого перебора. Метод
сечений.
2. Последовательное соединение элементов и расчет показателей надежности системы.
3. Параллельное соединение элементов и расчет показателей надежности системы.
Теория риска
1. Аксиомы теории фон Неймана — Моргенштерна и существование функции полезности.
2. Определения ()-предпочтений, эффективной границы критериального множества,
множества эффективных решений.
3. Связь линейной теории полезности и ()-предпочтений в случае квадратичной функции
полезности.
4. Связь линейной теории полезности и ()-предпочтений в случае нормально
распределенных рисков.
Имитационное моделирование
1. Общий метод моделирования дискретной случайной величины.
2. Метод обратных функций как общий метод моделирования произвольной случайной
величины. Пример.
3. Вычисление оценки математического ожидания случайной величины. Точность метода.
Математическая теория страхования
1.
2.
3.
4.
Нормальная аппроксимация суммарного риска.
Сложно-пуассоновская аппроксимация суммарного риска.
Безусловная франшиза.
Эксцедентное (stop-loss) перестрахование.