Вопросы к экзамену по математике для студентов 1 курса (2 семестр). 1 . Предел числовой последовательности. 2. Монотонные последовательности. Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности (без док.). Число е. 3. Функции одной переменной. Свойства функций: монотонность, ограниченность. Обратная функция. Сложная функция. Основные элементарные функции, их графики. 4. Определение предела функции одной переменной (в точке, при x ; конечный предел; предел, равный ). Правосторонний и левосторонний пределы. 5. Бесконечно малые функции одной переменной. Теорема о связи предела с бесконечно малой функцией. 6. Классификация бесконечно малых функций. 7. Свойства бесконечно малых функций одной переменной. 8. Теорема о связи бесконечно большой и бесконечно малой функции одной переменной. 9. Свойства предела функции одной переменной, связанные с арифметическими операциями над функциями. 10.Предельный переход в неравенстве для функции одной переменной. 11.Первый замечательный предел. 12.Второй замечательный предел. 13.Точки разрыва функции одной переменной. 14.Непрерывность функции одной переменной в точке и на промежутке. Свойства непрерывных функций. Непрерывность в точке слева и справа. 1 5 . Теорема Вейерштрасса для функции одной переменной (без док.). 1 6 . Производная функции одной переменной в точке. Теорема о необходимом условии существования производной. Геометрический смысл производной. 17.Правила вычисления производной функции одной переменной. 18. Производные основных элементарных функций. 1 9 . Дифференцируемость функции одной переменной. 2 0 . Дифференциал функции одной переменной, его геометрический смысл. 2 1 . Монотонность функции одной переменной. Признак монотонности функции. 2 2 . Теорема Ферма. 2 3 . Экстремум функции одной переменной. Необходимое условие экстремума. Первое достаточное условие строгого экстремума. 2 4 . Теорема Ролля. 2 5 . Правило Лопиталя. 26.Асимптоты графика функции. 2 7 . Выпуклость функции одной переменной. Признак выпуклости функции (без док.). 28.Производные высших порядков функции одной переменной. 29.Формула Тейлора. 30.Разложение функции по формуле Тейлора по степеням х (sin х, соs х, ех). 31.Функции нескольких переменных: определение, график функции, предел и непрерывность функции нескольких переменных. Теорема Вейерштрасса (без док.). 32.Частные производные функции нескольких переменных. 33.Дифференцируемость функции двух переменных. Полный дифференциал. 34.Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции нескольких переменных на замкнутом ограниченном множестве. 35.Экстремум функции нескольких переменных. Теорема о необходимом условии экстремума. Теорема о достаточном условии строгого экстремума функции двух переменных (без док.). 36.Производная функции по направлению. Градиент функции. Связь между производной по направлению и градиентом. 37.Свойства градиента функции двух переменных. 38.Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод множителей Лагранжа. 39. Первообразная функции. Теорема о множестве первообразных функции. Неопределенный интеграл. 40.Вычисление неопределенного интеграла методом интегрирования по частям. 41.Свойства первообразной и неопределенного интеграла. Теорема Лагранжа. Следствие: признак постоянства функции. 42.Метод замены переменной при вычислении неопределенного интеграла. 43.Определение определенного интеграла. сумм Римана и определенного интеграла. Геометрический смысл 44.Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о его производной. 45.Формула Ньютона-Лейбница. 46.Свойства определенного интеграла. 47.Вычисление определенного интеграла методом интегрирования по частям. 48.Метод замены переменной в определенном интеграле. 49.Несобственный интеграл на бесконечном промежутке интегрирования. 50.Несобственный интеграл от неограниченной функции на конечном промежутке интегрирования.