ТЕОРИЯ вЕРОЯТнОсТЕй И маТЕмаТИчЕскаЯ сТаТИсТИка сбОРнИк задач

П Р О Ф Е С С И О Н А Л Ь Н О Е О Б РА З О В А Н И Е
М. С. Спирина, П. А. Спирин
ТЕОРИЯ вероятностей
и математическая
статистика
Сборник задач
Рекомендовано
Федеральным государственным автономным учреждением
«Федеральный институт развития образования (ФГАУ «ФИРО»)
в качестве учебного пособия для использования в учебном процессе
образовательных учреждений, реализующих программы
среднего профессионального образования по специальностям
«Компьютерные сети и комплексы»,
«Программирование в компьютерных системах»,
«Информационные системы»
Регистрационный номер рецензии
558 от 20.12.2013 г. ФГАУ «ФИРО»
УДК519.2(075.32)
ББК 22.17я723
С722
Рецензент —
зам. директора ГНУ ГОСНИТИ Россельхозакадемии Р. Ю. Соловьев
Спирина М. С.
С722 Теория вероятностей и математическая статистика. Сбор­
ник задач : учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. об­
разования / М. С. Спирина, П.А.Спирин. — М. : Издательский
центр «Академия», 2014. — 192 с.
Приведены краткие теоретические сведения по основным элементам ком­
бинаторики, понятиям и теоремам теории вероятностей, рассмотрены случай­
ные величины и методы математической статистики — выборки статистиче­
ских испытаний и др.
Разобрано большое количество задач по всем основным разделам курса,
представлены задачи для самостоятельного решения с ответами.
В приложении даны справочные таблицы, краткие сведения по основам
дифференциального и интегрального исчисления и алгоритмы (в табличной
форме) решения ключевых задач, соответствующих программе учреждений
среднего профессионального образования.
Для студентов учреждений среднего профессионального образования.
ISBN 978-5-7695-9949-1
УДК 519.2(075.32)
ББК 22.17я723
Оригинал-макет данного издания является собственностью
Издательского центра «Академия», и его воспроизведение
любым способом без согласия правообладателя запрещается
ISBN 978-5-7695-9949-1
© Спирина М. С., Спирин П. А., 2014
© Образовательно-издательский центр «Академия», 2014
© Оформление. Издательский центр «Академия», 2014
Список обозначений
Математические операции
⊂ — включение (подмножество)
∈ — принадлежность элемента множеству
∈
/ — непринадлежность элемента множеству
X
— суммирование
|M |, n(M ) — мощность множества M
∅ — пустое множество
∪ — объединение (сумма) множеств
∩ — пересечение (произведение) множеств
A − B, A\B
— разность множеств A и B
S
Ai — объединение множеств Ai
i
T
Ai — пересечение множеств Ai
i
mes A — мера множества A
Ā — дополнение множества A, нереализация случайного события A
n! — факториал числа n, т. е. произведение натуральных чисел от 1 до n
A × B — декартово (прямое) произведение множеств
AиB
B n — n-я декартова степень множества B
min(a1 , a2 , . . .) — минимальное из входящего в скобку списка
чисел
M (x), M x — математическое ожидание случайной величины x
D(x), D x — дисперсия случайной величины x
(x) — среднеквадратическое отклонение случайной
величины x
≈ — приближенно равно
≃ — оценочно равно
≪ (≫) — намного меньше (больше)
N — множество натуральных чисел
R — множество действительных чисел
n1 . . . nk , n1 , nk — множество целых чисел от n1 до nk включительно
3
P (A), P {A} — вероятность случайного события A
P (A|B), PB (A) — условная вероятность случайного события A
при условии B
P (l) — распределение Пуассона с параметром l
E(l) — показательное распределение
Fx (x) — функция распределения случайной величины x
fx (x) — плотность вероятности случайной величины x
N (m, D) — нормальное распределение с математическим
ожиданием m и дисперсией D
U [a, b] — равномерное распределение на отрезке [a, b]
def
= — равно по определению
den
≡, = — равно согласно вводимому этим равенством
обозначению
Cnm — число сочетаний без повторений по m элементов из n возможных
m
Ĉn — число сочетаний с повторениями по m элементов из n возможных
—
число
размещений без повторений из n элеAm
n
ментов по m
Âm
n — число размещений с повторениями из n элементов по m
Pn — число перестановок без повторений из n элементов
P̂n1 ... nm — число перестановок из n1 + . . . + nm элементов с повторяющимися ni элементами m различных сортов
Навигаторы
Задача
Задача
KO
!
—
—
—
—
—
n—
Yl
4
задача-образец c решением в тексте задачника
задача-модель
Капитан Очевидность спешит на помощь
обратите внимание!
лирические отступления
теория вероятностей и математическая статистика,
учебник
Сокращения
СC
СВ
ДСВ
НСВ
ФР
ПВ
ЗБЧ
ЦПТ
НПИ
—
—
—
—
—
—
—
—
—
случайное событие
случайная величина
дискретная случайная величина
непрерывная случайная величина
функция распределения
плотность вероятности
закон больших чисел
центральная предельная теорема
независимые повторные испытания
Предисловие
Подбор задач в данном учебном пособии осуществляется таким образом, чтобы подробно разобрать и доступно объяcнить
наибольшее число типовых задач, возможно, за счет общего количества. Приоритет, таким образом, отдается пониманию студентом смысла действий при решении задач по сравнению с действиями при решении однотипных задач.
В тексте задачника даны определения и важнейшие формулы
для решения задач.
Задачи, разобранные непосредственно в тексте задачника,
выделяются одинарным подчеркиванием. Задачи, задающие модель для решения аналогичных задач, т. е. представляющие собой теоретический материал, выделяются двойным подчеркиванием.
Целая и дробная части десятичных дробей отделяются точками, как это принято в международной литературе (например,
p ≈ 3.1415). Несмотря на это, точка с запятой используется вместо запятой в тех случаях, когда отделяемые ею числа могут
иметь дробную часть и возможна двусмысленность (например,
tn,b , но t8;0.95 ≈ 2.31).
Абзацы с лирическим отступлением, посвященные теоретическим
свойствам или альтернативным, более экономным, но менее стандартным, методам решения задач, выделены так же, как данный.
Настоящий сборник задач дополняет соответствующий учебник: Спирина М. С. Теория вероятностей и математическая статистика / М. С. Спирина, П. А. Спирин. — М. : Издательский
центр «Академия», 2007. — 352 с. (для учреждений среднего профессионального образования): сохранены структура изложения
тем и уровень сложности, а некоторые задачи, данные здесь в
качестве самостоятельных, разобраны в учебнике. В тексте знаl
чок « Yn
» обозначает ссылку именно на этот учебник.
6
В то же время в качестве приложений добавлены сведения о
дифференциальном и интегральном исчислении на том минимуме сложности, который необходим для понимания основ теории
вероятностей и решения соответствующих задач.
Глава 1
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
1.1.
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Комбинаторикой называется раздел математики, в котором решаются задачи на составление различных комбинаций из конечного числа элементов и подсчет всех возможных таких комбинаций.
1. Правило суммы. Если множества A и B конечны и
A ∩ B = ∅, то n(A ∪ B) = n(A) + n(B). Если два множества
пересекаются, то количество элементов в их объединении можно найти по формуле: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).
2. Правило произведения. Если из множества A элемент
можно выбрать n(A) = k способами, а из множества B (непересекающегося с A) элемент можно выбрать n(B) = m способами,
то упорядоченную пару (a, b) (где a ∈ A, b ∈ B ) можно выбрать
k · m способами.
Пусть M — конечное множество, состоящее из m элементов,
f : M → {1, 2, . . . , m} — функция, задающая порядок на M . Тогда пару hM, f i назовем упорядоченным множеством, или
перестановкой из m элементов.
KO Например, количество ячеек таблицы Пифагора.
Число таких функций на множестве из n элементов называется числом перестановок из n элементов, обозначается Pn
и равно
Pn = n!
(1.1)
Перестановки из двух элементов изображены на рис. 1.1.
Задача 1.1. Перечислите все перестановки из трех элементов.
Р е ш е н и е. Поскольку перестановки отражают лишь взаимное расположение нетождественных объектов и не зависят от природы самих объектов, удобнее всеРис. 1.1. Перестановки из двух го перечислить перестановки на
числах: 1, 2, 3.
элементов
8
Сначала «переведем» перестановки из двух шаров, изображенных на рис. 1.1, на язык чисел {1, 2}:
12
и 21 .
Теперь, в каждой из двух перестановок добавив «3» на каждое из трех свободных мест (после, между, до), получим 3! = 6
искомых перестановок из трех элементов:
123
132
312
и 213
231
312 .
Задача 1.2. Перечислите все перестановки из четырех элементов.
Перестановки с повторением. Рассмотрим n элементов m
различных типов (m 6 n), причем в каждом типе все элементы
одинаковы. Тогда перестановки из всех этих элементов с точностью до порядка следования однотипных элементов называются
перестановками с повторением. Если ni — количество элеменm
X
тов i-го типа (т. е.
ni = n), то число перестановок с повторением равно
i=1
P̂n1 ... nm =
(n1 + . . . + nm )!
.
n1 ! · . . . · nm !
(1.2)
Очевидно, в случае когда m = n, т. е. имеется по одному представителю каждого сорта, все ni = 1, и формула (1.2) переходит
в (1.1).
Задача 1.3. В коробке находятся 1 зеленый шар (З), 2 красных
(К) и 1 черный (Ч), шары не пронумерованы. Определите число
всех перестановок из этих четырех элементов и перечислите их.
Р е ш е н и е. В условиях формулы (1.2) имеем: n = 4, m = 3,
4!
n1 = n3 = 1, n2 = 2. Тогда P̂121 =
= 12.
1! · 2! · 1!
Для перечисления воспользуемся решением предыдущей задачи 1.2, где вместо 1 будем писать З, вместо 2 — Ч, вместо 3
и 4 — К. Повторяющиеся перестановки, которые появятся после
отождествления 3 и 4, считаем одной перестановкой:
ЗЧКК, ЗКЧК, ЗККЧ, ЧЗКК, ЧКЗК, ЧККЗ,
КЗЧК, КЗКЧ, КЧЗК, КЧКЗ, ККЗЧ, ККЧЗ.
9
Задача 1.4. В коробке находятся непронумерованные шары:
1 зеленый (З), 1 красный (К), 1 черный (Ч) и 2 голубых (Г).
Определите число всех перестановок и перечислите их.
Размещением из n элементов по m называется упорядоченное подмножество, содержащее m элементов всего множества,
состоящего из n нетождественных элементов. Число размещений m элементов из n возможных (0 6 m 6 n) обозначается Am
n
(от франц. arrangement — размещение). Оно равно
Am
n =
n!
.
(n − m)!
(1.3)
Размещением с повторениями из n элементов по m называется упорядоченное множество, содержащее m элементов
всего множества, состоящего из n нетождественных элементов,
причем в подмножестве m элементов может быть произвольное
число клонов каждого элемента всего множества, поэтому соотношение между m и n может быть произвольным.
Число размещений с повторениями m элементов из n возможных (0 6 m 6 n) обозначается1 Âm
n . Если каждый элемент
всего множества, состоящего из n нетождественных элементов,
обозначить своим символом, например соответствующей цифрой
n-значного алфавита, то Âm
n — число m-значных чисел в этом
алфавите (в этой системе счисления), тогда
m
Âm
n =n .
(1.4)
Например, Â2 = 102 = 100, т. е. не более чем проверка того, что
10
KO двузначных десятичных
чисел (включая начинающиеся на 0) — дей-
ствительно, сто: 00, 01, 02, . . . , 09, 10, 11, . . . , 98, 99.
Задача 1.5. Найдите число вершин и граней куба.
Задача 1.6. Найдите число ребер куба.
Задача 1.7. Произвольно перенумеровав грани-клеточки одноцветного кубика Рубика, сколько различных вариантов кубов
можно теоретически выпилить из целого кубика?
Р е ш е н и е . Как известно, кубик Рубика имеет размеры 3 ×
× 3 × 3, поэтому, распилив его полностью, можно сделать Â33 =
= 33 = 27 атомарных кубиков. Далее, можно выпиливать кубы
1
10
В зарубежной литературе Ām
n.
размером 2×2×2. Любой такой куб обязательно будет содержать
центральный атомарный куб, а противоположным (по кубу размером 2) ему будет вершинный атомарный куб исходного кубика
Рубика, поэтому число кубов размера 2 равно числу вершин куба, каковых Â23 = 23 = 8. Наконец, исходный куб, который один.
Итого
Â33 + Â32 + Â31 = 27 + 8 + 1 = 36
вариантов.
Докажите методом математической индукции свойство
!
n
X
k=1
k3 =
1 2
n (n + 1)2 .
4
Сочетанием из n элементов по m называется (неупорядоченное) подмножество, содержащее m элементов множества, состоящего из n нетождественных элементов. Число сочетаний
из n элементов по m обозначается Cnm (от франц. combinaison —
комбинация, сочетание):
n!
Cnm =
(1.5)
.
m! (n − m)!
Сочетанием с повторениями из n элементов по m называется (неупорядоченное) подмножество, содержащее m элементов
множества, состоящего из n элементов, в которых каждый элемент может участвовать несколько раз. Число сочетаний из n
элементов по m обозначается Ĉnm и равно
(n + m − 1)!
Ĉnm =
.
(1.6)
m! (n − 1)!
Элементы комбинаторики удобно классифицировать согласно признакам частичности множества и важности порядка следования элементов в интересующем подмножестве (а также возможности повторения элементов в наборах), табл. 1.1.
Задача 1.8. Восемь студентов обменялись рукопожатиями.
Сколько было рукопожатий?
Р е ш е н и е. В рукопожатии участвует «подмножество», состоящее из двух студентов (m = 2), тогда как все «множество»
студентов составляет 8 человек (n = 8).
Так как в процессе рукопожатия приоритета в паре нет и
порядок не важен, выбираем формулу сочетаний
11
12
Перестановки
Важен
Pn = n!
P̂n... nm =
(n1 + . . . + nm )!
n1 ! · . . . · nm
c повторениями
Тривиальный вариант —
само исходное множество N = 1
Не важен
без повторений
Все множество
Порядок
Т а б л и ц а 1.1. Элементы комбинаторики
Am
n =
Ĉnm =
n!
(n − m)!
m
Âm
n = n
c повторениями
(n + m − 1)!
m!(n − 1)!
c повторениями
Размещения
n!
m!(n − m)!
без повторений
Cnm =
без повторений
Сочетания
Часть множества
C82 =
8!
7·8
=
= 28.
2! 6!
1·2
Задача 1.9. Перед стартовым свистком баскетбольного матча
стартовые пятерки двух играющих команд обменялись рукопожатиями. Сколько было рукопожатий?
Задача 1.10. Сколькими способами можно составить триколор
с горизонтальными полосами из пяти различных по цвету отрезов материи?
Р е ш е н и е. Порядок важен, так как перестановка материи
внутри трехцветного флага обозначает разные страны. Поэтому выбираем формулу размещений без повторений, где множество отрезов материи содержит n = 5 цветов, а подмножество —
m = 3 цвета:
A35 =
5!
5!
=
= 3 · 4 · 5 = 60.
(5 − 3)!
2!
Задача 1.11. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было
выполнять переводы с любого из шести языков на любой другой?
Задача 1.12. Сколько имеется вариантов составления расписания на понедельник, если предметов у студентов 9, а в понедельник четыре пары занятий и предметы не повторяются?
Р е ш е н и е. а) Для студентов порядок не важен, поэтому вы9!
6·7·8·9
бираем сочетания без повторений: C62 =
=
= 126.
4!5! 1 · 2 · 3 · 4
б) Для преподавателей порядок важен, поэтому выбираем
9!
формулу размещений без повторений: A49 = = 6·7·8·9 = 3 024.
5!
Задача 1.13. Сколькими способами можно расставить на
книжной полке девять книг, среди которых есть трехтомник
А. С. Пушкина и четырехтомник М. Ю. Лермонтова?
Р е ш е н и е. Так как три тома Пушкина должны стоять рядом, причем по возрастанию номера тома слева направо, рассматриваем их как одну «книгу», то же — для четырехтомника.
Итого: 2 «мультикниги» и 2 «просто книги». Поэтому общее число вариантов задается перестановками без повторений из 4 элементов: P4 = 4! = 24.
13
Задача 1.14. Сколькими способами можно назначить в группе
из 30 человек трех дежурных, если:
а) их роль в процессе дежурства одинакова;
б) во время дежурства их функциональные обязанности
различны?
Задача 1.15. Сколько существует шестизначных телефонных
номеров, у которых: а) возможны любые цифры; б) все цифры
различные?
Задача 1.16. Сколькими способами можно выделить делегацию
в составе трех человек, выбирая их среди четырех супружеских
пар, если:
а) в состав делегации входят любые трое из данных восьми
человек;
б) делегация должна состоять из двух женщин и одного
мужчины;
в) в делегацию не входят члены одной семьи?
Задача 1.17. Из присутствующих в кафе проф. Д. В. Гальцов
знает русский, английский и французский, Е. Г. Петраш — русский и французский, проф. Ф. Томарас — греческий, английский
и французский, его жена Х. Томара — греческий и английский,
наконец, П. Спирин — русский1 и английский.
Сколько вариантов одновременных дискуссий может происходить за столом одновременно, если:
а) каждый участвует в одной подгруппе;
б) каждый может участвовать не более чем в одной подгруппе;
в) каждый может участвовать в произвольном количестве
дискуссий?
Задача 1.18. В колледже учится 2 000 студентов. Можно ли
утверждать, что хотя бы двое из них имеют одинаковые инициалы и имени, и фамилии?
Задача 1.19. Интернет-адреса протокола IPv4 представляют собой (в десятичной системе) четверку чисел вида
«***.***.***.***», где каждая тройка *** есть натуральное чис1
14
Как ему кажется.
ло от 0 до 255.1 Сколько всего IP-адресов протокола IPv4 может
быть?
KO На момент написания задачника практически все IP-адреса IPv4 исчерпаны.
1.2.
АЛГЕБРА СОБЫТИЙ
Под случайным событием принято понимать всякий факт,
который может произойти в данных условиях. Элементарным
событием (исходом) назовем каждый из возможных результатов
случайного испытания. Множество всех возможных в результате испытаний элементарных событий называется пространством
элементарных событий и обозначается Ω. Обозначать события
принято заглавными буквами латинского алфавита: A, B , C
и т. д.
Достоверным называется событие Ω, которое обязательно
произойдет в данном испытании в результате выполнения комплекса условий S .
Невозможным называется событие ∅, которое никогда не
произойдет в результате выполнения совокупности условий S .
Суммой событий A и B называется событие A ∪ B (A + B ),
состоящее в наступлении хотя бы одного из событий A или B .
Для применения правила суммы используют ключевое слово
«или».
Произведением событий A и B называется событие AB (A · B ,
A ∩ B ), состоящее в совместном выполнении одновременно и
события A, и события B . Для применения правила произведения используют ключевое слово «и».
Несовместными называют события, если наступление одного
из них в том же испытании исключает наступление другого.
Два события A и B несовместны, если их произведение есть
невозможное событие: AB = ∅.
Несколько событий образуют полную группу событий, если в
результате испытаний произойдет хотя бы одно из них. Сово1
Если есть доступ к Интернету, зайдите на сайт myip.ru, который возвратит ваш IP-адрес. Если он представляет собой четверку чисел — то у вас
действует протокол IPv4.
15
купность несовместных событий Ai образует полную группу
событий, если в результате единичных испытаний произойдет
хотя бы одно из этих событий:
X
Ai = Ω.
i
Если события попарно несовместны: (Ai Aj = ∅, i 6= j ), в результате единичных испытаний произойдет в точности одно
из этих событий.
Противоположными называются два несовместных события A
и Ā, образующие полную группу событий: AĀ = ∅, A+ Ā = Ω.
Благоприятствующими событию A называют те элементарные
исходы ai , при которых наступает событие A: ai ∈ A.
Равновозможными называют такие элементарные события,
которые при создании комплекса условий S имеют одинаковые шансы для их наступления.
Для операций суммы и произведения СС особую важность
имеют законы двойственности (законы де Моргана):
A + B = Ā · B̄
A · B = Ā + B̄.
(1.7)
Задача 1.20. Вычислите случайные события:
1) A + Ω;
3) A + ∅;
5) A + A;
2) A · Ω;
4) A · ∅;
6) A · A.
Задача 1.21. «Подбрасывание монеты». Будем называть
«орлом» ту сторону монеты, где расположен герб, и «решкой» —
противоположную, содержащую информацию о достоинстве монеты. Элементарным случайным событием в ситуации бросания
монеты будем называть выпадение орла (O) или решки (P ). Тогда пространством элементарных событий (исходов) единичного
подбрасывания является конечное множество Ω = {O, P }.
Задача 1.22. Монету подбросили три раза. Определите пространство соответствующих элементарных событий и его мощность.
den
Р е ш е н и е. Обозначим1 {O, P } = B . Поскольку подбрасывания монет независимы, то пространством элементарных собы1
{O, P } совпадает с Ω из предыдущей задачи, но уже не является пространством элементарных событий (для которого мы зарезервировали символ Ω) нашей задачи.
16
тий такого эксперимента будет третья степень множества B , а
числом — третья степень (по правилу призведения) его мощности:
Ω = B 3 = {OOO, OOP, OP O, OP P, P OO, P OP, P P O, P P P } ,
n(Ω) = [n(B)]3 = 23 = 8 .
Сравнивая результат Â32 с решением задачи 1.5 (см. с. 10), можно
заметить совпадение результата с числом вершин куба. Более того,
KO переобозначив O → 1, P → 0 (или наоборот!), мы получим, что Ω
состоит из всех трехзначных двоичных чисел, а каждое число представляет собой тройку координат вершин обычного трехмерного куба
со стороной a = 1.
Задача 1.23. Запишите событие «при проведении пяти испытаний выпало два орла и три решки» и определите пространство
соответствующих элементарных событий.
Р е ш е н и е. Пространство соответствующих элементарных
событий содержит C52 = 10 исходов и имеет вид:
Ω = {OOP P P, OP OP P, OP P OP, OP P P O, P OOP P,
P OP OP, P OP P O, P P OOP, P P OP O, P P P OO}.
Задача 1.24. Запишите события и определите пространство соответствующих элементарных событий при подбрасывании монеты:
1) герб выпал до восьмого подбрасывания;
2) герб выпал до восьмого подбрасывания, а число подбрасываний было четным;
3) было проведено 6 испытаний, причем число выпадений
герба было в два раза больше, чем выпадения решки;
4) было проведено 7 испытаний, причем орел выпал 3, а
решка — 4 раза;
5) первый раз решка выпала при третьем бросании;
6) первый раз решка выпала при числе подбрасываний не
более шести, но при четном числе подбрасываний.
Задача 1.25. «Игральная кость». Под игральной костью будем понимать однородный кубик правильной формы, на каждой из шести граней которого точками изображено одно из чисел i = 1 . . . 6. Выражение «Выпало некоторое число» означает
фиксацию этого конкретного числа на верхней грани кубика.
17