2/3 (141)

Экз. вопросы (и пр. задания) по Математике
ФПс, 3 семестр
Список литературы
[1]
Конспект лекций
[2]
Сборник задач по математике. Теория вероятностей и математическая статистика /Под ред. А .Е.
Ефимова. – М.: Наука, 1990 – 431 с.
[3]
Теория вероятностей: Учебник. - М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004.
[4]
Н. И. Чернова, Теория вероятностей: курс лекций. Эл. издание.
[5]
Математика. Теория вероятностей. Часть 1. Случайные события. - Кемерово, КузГТУ, 2008. - 2.0 п.л.
- Георгинская О. С., Грибков В. И. и Золотарева.
[6]
Математика. Теория вероятностей. Часть 2. Случайные величины. - Кемерово, КузГТУ, 2009 - 2.0
п.л. - Георгинская О. С., Грибков В. И. и Золотарева.
[7]
Математика. Теория вероятностей. Часть 3. Совместные распределения. - Кемерово, КузГТУ, 2010 2.0 п.л. - Георгинская О. С., Грибков В. И. и Золотарева.
[8]
Дм. Письменный, Конспект лекций по высшей математике, М.: Айрис Пресс, 2006.
[9]
Г. А. Липина, Комбинаторика: методические указания. - КузГТУ, 2006.
Примечание:
1. Вышеуказанные пособия [2] − [8] вы можете скачать по безопасной ссылке на Яндекс.Диске:
https://yadi.sk/d/xMsMVBNYdxzfX
2. Необходимо знать определения терминов, формулировки и доказательства (если доказывалось на
лекции) теорем (свойств), и уметь приводить и решать примеры по указанной в экз. билете тематике.
Комбинаторика и классическая вероятность
1. Формулы чисел перестановок, сочетаний и размещений без повторения элементов.
2. Эксперимент со сл. исходами. Случайное событие. Вероятность сл. события. Свойства
вероятности: невозможные, достоверные, несовместные, противоположные события, одно
событие влечёт другое.
3. Классическая формула вероятности. Применение формул комбинаторики.
4. Формула геометрической вероятности. "Задача о встрече".
5. Статистическая вероятность. Теорема Бернулли.
Алгебра событий и теоремы о вероятностях
1. Операции над событиями и их свойства. Круги Эйлера.
2. Вероятность суммы двух событий. Вероятность суммы двух несовместных событий.
3. Понятие условной вероятности. Формула условной вероятности.
4. Вероятность произведения двух событий. Независимость событий. Вероятность
произведения двух независимых событий.
5. Вероятность произведения n событий.
6. Вероятность наступления хотя бы одного из n событий.
7. Полная группа событий. Формула полной вероятности. Задача о покупке лотерейного билета.
8. Формула Байесса. "Задача о чёрном ящике".
9. Серия повторных независимых испытаний. Формула Бернулли.
10. Формулы Муавра-Лапласа. Формула Пуссона.
Случайные величины и законы распределения
1. Дискретная сл. величина: примеры, диапозон возможных значений, ряд и полигон
рспределения.
2. Дискретная сл. величина: ряд распределения и функция распределения. Точечные и
интервальные события.
3. Числовые характеристики дискр. сл. величины. Индикаторная сл. величина и её числ.
характеристики.
4. Производящая функция и числ. характеристики дискр. сл. величины.
5. Биномиальное распределение B(n, p) и его числ. характеристики.
6. Распределение Пуассона и его числ. характеристики.
7. Геометрическое и геометрическое +1 распределения и их числ. характеристики.
8. Функция распределения F (x) непрерывной сл. величины и её свойства. Формула
вероятности попадания сл. величины в интервал.
9. Функция плотности f (x) распределения для непрерывной сл. величины и её свойства.
Формула вероятности попадания сл. величины в интервал.
10. Числовые характеристики непрерывной сл. величины: матем. ожидание, дисперсия и среднее
квадратическое отклонение.
11. Числовые характеристики непрерывной сл. величины: медиана, моменты и квантили
(квартили, децили, процентили).
12. Свойства математического ожидания и дисперсии: M (kX + b) =, D(kX + b) =. Операции
центрирования, нормирования и стандартизации.
13. Равномерный закон распределения R[a, b].
14. Экспоненциальный закон распределения E[λ].
15. Нормальный закон N [a, σ] и стандартный нормальный закон распеделения.
16. Правило трёх σ. Функция Лапласа Φ(x).
17. Вероятность отклонения нормальной сл.в. от среднего значения P (|X − m| > ε).
Случайный вектор. Совместный закон распределения
системы сл.в.
1. Совместное распределение двух дискретных сл. величин. Таблица распределения.
2. Совместное распределение двух непрерывных сл. величин. Функция F (x, y) и плотность
f (x, y) распределения и их свойства.
3. Распределения компонент и условные распределения компонент. Независимость двух сл.
величин.
4. Числовых характеристики сл. вектора: центр распределения, ковариация и корреляция.
5. Коэффициент корреляции между двумя сл. величинами и его свойства. Взаимосвязь между
независимостью и корреляцией двух сл. величин.
6. Математическое ожидание и дисперсия суммы двух случайных величин.
7. Математическое ожидание произведения и дисперсия суммы двух независимых случайных
величин.
8. Линия регрессии одной сл. величины относительно другой.
Практические задания
1. Из колоды в 36 карт извлекаются наудачу 3 карты (одну за одной без возвращения). Найти
вероятность события, что "хотя бы одна карта будет червовый туз".
2. Из урны, содержащей 9 зеленых и 3 желтых шаров, наудачу и последовательно извлекают
по одному шару до появления зеленого. Найти вероятность того, что придется производить
четыре извлечения, если выборка производится без возвращения.
3. (new!) В задаче "о встрече"найти интервал ожидания, при котором вероятности "встречи"и
"невстречи"будут равными.
4. В ящике 10 шариков для игры в настольный теннис, в том числе 8 новых и 2 играных. Для
игры наудачу выбирают один шарик и после игры возвращают обратно. Затем для второй
игры также наудачу выбирают один шарик. Какова вероятность, что вторая игра будет
проводится новым шариком?
5. В коробке 3 лампочки, каждая из которых имеет брак с вероятностью 1/4. Лампочки
извлекаются из коробки без возвращения до появления первой небракованной. Составить
закон распределения для случайной величины числа извлеченных бракованных лампочек и
найти математическое ожидание m и дисперсию σ 2 .
6. В урне белые, красные и черные шары, - по три каждого цвета. Наудачу вынимаются три
шара. Какова вероятность что они окажутся все одного цвета (разных цветов)?
7. Из колоды в 36 карт наудачу выбираются 2 карты. Являются ли независимыми события:
«обе карты красной масти», «обе карты — короли».
8. Проведена серия из 10 независимых испытаний, с вероятностью успеха в каждом испытании
равной 0,5. Какова вероятность, что ровно половина испытаний будет успешным?
9. Величина Х имеет нормальное распределение с параметрами m = 2 и σ = 3. Величины Y и
Z выражаются через Х : Y = 0, 1X + 2, Z = (X–6)/10. Определите соответствующие
параметры для величин Y и Z.
10. Три лампочки проверили на наличие дефекта. Вероятность наличия дефекта у каждой
лампочки равна 0,10. Составить закон распределения числа дефектных лампочек и
определить числовые характеристики: среднее и дисперсию.
11. Проведена серия из 4 независимых испытаний, с вероятностью успеха 0,8 в каждом
испытании. Составить закон распределения частоты успеха и определить ее числовые
характеристики.
12. Функция плотности для случайной величины X имеет вид:
(
c(2x − x2 ), если x ∈ [0, 2],
f (x) =
0,
если x ∈
/ [0, 2].
Определите значение параметра с и найдите выражение для функции распределения.
13. Случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами: m = 5 и σ 2 = 0.09.
Определите вероятность отклонения данной величины от среднего более чем на 0.9.
14. Запишите выражение функции плотности для стандартизированной случайной величины,
если исходное ее распределение является нормальным с параметрами: a = 5 и σ 2 = 0.01.
15. (new!) Запишите выражение функции плотности для стандартизированной случайной
величины, если исходное ее распределение является равномерным с параметрами: a = 1 и
b = 3.
16. Закон распределения случайной величины Х задан функцией распределения

2

x /9, если x ∈ [0, 3],
F (x) = 1,
если x > 3,


0,
если x < 0.
Найти квантили порядков 0.25, 0.75. и медиану распределения.
17. Закон распределения случайной величины Х задан

2
3

x /3 − 2x /27,
F (x) = 1,


0,
функцией распределения
если x ∈ [0, 3],
если x > 3,
если x < 0.
Найти моду, медиану(!) и среднее значение для Х .
18. Определите условный закон распределения и условное математическое ожидание сл.в. Х при
условии, что вторая сл.в. Y принимает значение 0, если известно их совместное
распределение:
P (X = 0; Y = 0) = 0.1; P (X = 1; Y = 0) = 0.2; P (X = 2; Y = 0) = 0.3; P (X = 0; Y = 1) = 0.1;
P (X = 1; Y = 1) = 0.1; P (X = 2; Y = 1) = 0.2.
Являются ли данные величины X и Y независимыми?
19. Определите ковариацию и корреляцию для пары случайных величин (X, Y ) по их
совместному распределению:
P (X = 0; Y = 0) = 0.1; P (X = 1; Y = 0) = 0.2; P (X = 2; Y = 0) = 0.3; P (X = 0; Y = 1) = 0.1;
P (X = 1; Y = 1) = 0.1; P (X = 2; Y = 1) = 0.2.
Являются ли данные величины X и Y независимыми?
20. Случайная величина Z есть сумма трех случайных независимых величин: X1 ∈ N [0, 1],
X2 ∈ N [−1, 2], X3 ∈ N [5, 3]. Определить значения числовых характеристик величины Z:
среднего, стандартного отклонения, моды, медианы, правосторонней критической точки
уровня значимости α = 0,1.
21. (new*) Пусть сл.в. X ∈ E[λ], а сл.в. Y = max{X, A}, где A - некоторое положительное число.
Найдите функцию распределения для сл.в. Y .
22. (new**) Пусть сл.в. ξ ∈ E[λ], сл.в. X = [ξ], Y = {ξ}. Определите законы распределения сл.в.
X и Y , ковариацию cov(X, Y ) и являются ли величины X и Y зависимыми?