6. Основы фрактальной геометрии. 6.1. Понятие о фрактальных объектах. 6.2 Фрактальная размерность. 6.2.1 Размерность подобия. 6.2.2. Размерность Хаусдорфа-Безиковича. 6.2.3. Размерность Минковского. 6.3 Примеры фрактальных объектов и их размерности. 6.3.1 Множество Кантора. 6.3.2 Кривая Коха. 6.3.3. Кривая Гильберта. 6.3.4 Ковёр и салфетка Серпинского. 6.3.5 Фракталы в трехмерном пространстве. 6.3.6 Множество Мандельброта и множество Жюлиа. 6.4. Мультифракталы 6.1. Понятие о фрактальных объектах. «Какова протяженность побережья Британии?» Для евклидовых объектов длина ломаной L(δ) практически не зависит от линейки δ и имеет вполне определенный предел при ее измельчении : L(δ ) = N ⋅ δ = L = const δ →0 Этот предел и называется длиной данной кривой (спрямляемые кривые). Для природной извилистой (изрезанной) линии (например, береговой) измеренная длина неограниченно возрастает при увеличении масштаба: L(δ ) ~ δ a → ∞ , a < 0. δ →0 Измерение длины береговой линии. Зависимость результата от линейки (эффект Ричардсона) Для природных объектов в общем случае длина зависит от масштаба рассмотрения. Эта зависимость носит степенной характер (т.е. показывает самоподобие) Б.Мандельброт в 60-х годах ХХ-го столетия ввел понятие фрактальной (от латинского fractus - "дробный", и frahgere "ломать") геометрии, определяя фрактал, как "структуру, состоящую из частей, которые в каком-то смысле подобны целому". Подобие разномасштабных геологических объектов 6.2 Фрактальная размерность. До сих пор мы использовали понятие "размерность" в трёх значениях: • Размерность Евклидова пространства (E = 1,2,3). • Топологическая размерность объекта: dT = 0 (точка), dT =1 (отрезок прямой), dT = 2 (плоская фигура) и т.д. Топологическая размерность не превосходит размерность евклидова пространства, в котором находится данное множество dT ≤ E. • Количество переменных, описывающих в динамическую систему N = 1, 2, 3,... Все эти размерности могут быть только целыми числами. В качестве количественной меры геометрической сложности множества (объекта) Б.Мандельброт предложил использовать фрактальную размерность D, показывающую, насколько плотно и равномерно элементы данного множества заполняют евклидово пространство (D ≤ E ) Размерность подобия. N=r D или N = δ− D N - количество уменьшенных в r раз копий, необходимое для заполнения исходного объекта (или будем измерять объект уменьшенной линейкой δ=1/r) Размерность подобия : DS = ln(N) ln(r) или DS = − ln (N) ln(δ ) для Евклидовых объектов, выражается целым числом (1,2,3), что совпадает с . топологической размерностью dT Фрактальная размерность не зависит от масштаба рассмотрения ln(N) DS = − lim δ →0 ln (δ ) Размерность Хаусдорфа-Безиковича Для фрактальных множеств L( δ) = N (δ) ⋅ δ → ∞ δ→0 Количество отрезков N = N(δ) также неограниченно возрастает, причем быстрее, чем убывает величина δ. Однако априори не ясно, как быстро будет происходить этот рост. Для того, чтобы оценить скорость этого роста, вводят меру M = N ( δ) ⋅ δ D D и исследуют её поведение при δ → 0 в зависимости от D. Оказалось, существует критическое значение D = DH, такое, что: 0, при D > D H M D δ→ →0 const , при D = D H M D δ→ →0 ∞, при D < D H M D δ→ →0 размерность Хаусдорфа-Безиковича: ln(N) DH = − lim δ → 0 ln ( δ) Фракталом называется множество, у которого размерность Хаусдорфа-Безиковича DH больше топологической размерности dT. Размерность Минковского. ln(S / δ 2 ) DM = − lim δ →0 ln(δ ) или ln S (δ ) +2 DM = − lim δ →0 ln(δ ) Фрактальную размерность иногда называют дробной размерностью. Однако дробность D не является необходимым условием фрактальности. Существуют фрактальные объекты, размерность D которых выражается целым числом. Ключевым в определении фрактала является условие Мандельброта D > dT. Определения размерности подобия DS , размерности Минковского DM и размерности Хаусдорфа-Безиковича DH весьма близки по смыслу. Часто размерность подобия используют для приблизительного определения размерности Хаусдорфа-Безиковича. Можно показать, что для регулярных, фракталов эти меры совпадают. Поэтому говорят просто о фрактальной размерности D Поскольку фрактальная размерность в большинстве случаев принимает нецелые (дробные) значения, то иногда её называют дробной размерностью. Однако дробность D не является необходимым условием фрактальности. Существуют фрактальные объекты, размерность D которых выражается целым числом. Ключевым в определении фрактала является выполнение условия Мандельброта D > dT 6.3 Примеры фрактальных объектов и их размерности. Множество Кантора. Построение "канторовой пыли". Топологически «канторова пыль» – совокупность точек (dT=0) ln(N) ln(2) D= = ≈ 0.63092 ln(r) ln(3) Кривая Коха. Построение кривой Коха. (dT=1) Снежинка Коха ln(N) ln(4) D= = ≈ 1.26185.... ln(r) ln(3) Кривая Коха не имеет "характерных" размеров – присутствуют все размеры - от 1 до 1/N. Кривая Гильберта. Самоподобная кривая (dT=1) Гильберта проходит сколь угодно близко от любой точки квадрата и, следовательно, заполняет двумерное пространство Построение кривой Гильберта. D=2 Ковёр и салфетка Серпинского Построение ковра Серпинского. D= ln(N) ln (8) = ≈ 1.8928 ln (r) ln (3) Топологически ковер Серпинского - это линия (dT=1) Салфетка Серпинского D ≈ 1.58496… Салфетка Серпинского являются двумерной "канторовой пылью" – т.е. топологически это множество точек (dT=0). Фракталы в трехмерном пространстве. Трехмерный аналог салфетки Серпинского Топологически – канторова пыль (dT=0) D= ln(N) ln(4) = =2 ln(r) ln(2) Губка Менгера топологически - собой поверхность (dT=2) ln (N) ln (20) D= = ≈ 2.7268... ln (r) ln (3) Фрактал Тёркотта. D =2.585... Множество Мандельброта и множество Жюлиа. Дискретная динамическая система zn+1 = zn2 + b Множество Мандельброта: z0 = 0, параметр b - варьируется Демонстрация множества Мандельброта Множество Мандельброта и множество Жюлиа. Дискретная динамическая система zn+1 = zn2 + b Множество Жюлиа: b - фиксировано, z0 - варьируется Множества Жюлиа, полученные при разных значениях параметра b. Дополнительная литература к главе 6 • • • • Вишик М.И. Фрактальная размерность множеств. // Соросовский образовательный журнал. 1998, №1, с.122-127. Жиков В.В. Фракталы. // Соросовский образовательный журнал. 1996, №12. с.109-117. Зельдович Я.Б., Соколов Д.Д. Фрактали, подобие, промежуточная асимптотика. // Успехи физических наук, 1985, т.146, с.493-506. Золотухин И.В. Фракталы в физике твёрдого тела // Соросовский образовательный журнал. 1998, №7, с.108-113.