УДК 62-50 Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления К.А. Рыбаков В статье вводится понятие спектральных характеристик линейных функционалов, исследуются их свойства. Рассматриваются возможные приложения полученных результатов при решении задач анализа и синтеза нелинейных нестационарных стохастических систем управления с использованием спектральной формы математического описания, в частности, для определения моментных характеристик вектора состояния, маргинальных и условных плотностей вероятности. Введение В работах [1–3] был предложен метод вероятностного анализа нелинейных нестационарных стохастических систем управления, основанный на спектральной форме математического описания [4,5], а в [6,7] этот подход был развит для решения задачи вероятностного анализа стохастических систем с переменной структурой (систем со случайными изменениями структуры) и стохастических непрерывно-дискретных систем. Для решения перечисленных выше задач были введены понятия характеристик) и спектральных спектральных характеристик характеристик функций (нестационарных линейных операторов спектральных (нестационарных передаточных функций) и исследованы их свойства, на основании которых были построены эффективные алгоритмы решения задачи вероятностного анализа, т.е. алгоритмы определения плотности вероятности вектора состояния системы управления как наиболее полной вероятностной характеристики. Однако в некоторых случаях для анализа и синтеза ряда систем требуется определение моментных характеристик вектора состояния, вероятностных характеристик активности структур для систем управления со случайными изменениями структуры, нахождение маргинальных и условных плотностей вероятности [8,9], причем на всех этапах вычислений удобно использовать спектральную форму математического описания систем управления. В связи с этим для решения подобных задач спектральным методом возникает необходимость представления линейных функционалов в спектральной форме математического описания. Спектральные характеристики линейных функционалов Пусть W – линейный функционал, определенный на действительном пространстве L2 ( W ) , где W Í R n ; { p ( i1 , i2 ,..., in , x )}i1 , i2 ,..., in = 0 – базис пространства L2 ( W ) [10], x = [ x1 ¥ x2 L xn ] . Будем T предполагать, что существует такая действительная функция w ( x ) , что для любой функции h ( x ) Î L2 ( W ) справедливо равенство W h ( x ) = ò w ( x ) h ( x ) dx . (1) W Будем называть спектральной характеристикой линейного функционала W , определенной относительно базисной ( системы { p ( i , i ,..., i , x )} ¥ 1 2 n i1 , i2 ,..., in = 0 , гиперстрочную матрицу ) W ( 0, n ) = Wi1i2 ...in (см. приложение 1), элементы которой вычисляются по формуле Wi1i2 ...in = ( p ( i1 , i2 ,..., in , x ) , w ( x ) ) L ( W ) , 2 где ( . , . ) L ( W) 2 (u ( x ) , v ( x )) i1 , i2 ,..., in = 0,1,2,... , (2) – скалярное произведение в пространстве L2 ( W ) , т.е. = ò u ( x ) v ( x ) dx L2 ( W ) W для любых u ( x ) , v ( x ) Î L2 ( W ) . Отображение, ставящее в соответствие линейному функционалу его спектральную характеристику, называется спектральным преобразованием и обозначается S : S [ W ] = W ( 0, n ) . Нетрудно видеть, что соотношение (2) также задает элементы спектральной характеристики ( W ( n, 0 ) = Wi1i2 ...in { p ( i , i ,..., i , x )} ) функции ¥ 1 2 n w( x) , определенной относительно базисной системы (см. приложение 2 и [3,6]). Таким образом, W ( 0, n ) = éëW ( n,0 ) ùû , где T i1 , i2 ,..., in = 0 éëW ( n, 0 ) ùû – транспонированная многомерная матрица [11,12]. T Замечание. Если функционал W непрерывен, то по теореме Рисса [10] существует единственная функция w ( x ) Î L2 ( W ) такая, что справедливо представление (1) и при этом W = w( x ) L2 ( W ) , однако в ряде случаев функция w ( x ) может принадлежать пространству обобщенных функций, тем не менее, ее спектральная характеристика вычисляется так же, как и спектральные характеристики функций из пространства L2 ( W ) [4,5]. Теорема 1. Пусть W – линейный функционал, определенный на пространстве L2 ( W ) , h ( x ) Î L2 ( W ) , W ( 0, n ) – спектральная характеристика функционала W , а H ( n,0 ) – спектральная характеристика функции h ( x ) . Спектральные характеристики W ( 0, n ) и H ( n,0 ) определены относительно базисной системы { p ( i1 , i2 ,..., in , x )}i1 , i2 ,..., in = 0 . Тогда ¥ W h ( x ) = W ( 0, n ) × H ( n,0 ) , (3) т.е. значение функционала W h ( x ) равно произведению спектральных характеристик функционала W и функции h ( x ) . Доказательство. Из соотношения W h ( x ) = ò w ( x ) h ( x ) dx = ( w ( x ) , h ( x ) ) L 2 W функциям базисной системы (W) , (1) ¥ 2 что формально тогда, представляя функцию h ( x ) в виде ряда по { p ( i , i ,..., i , x )} 1 следует, n i1 , i2 ,..., in = 0 и используя свойства скалярного произведения, получаем следующее выражение: ¥ ¥ æ ö W h ( x ) = ç w ( x ) , å H i1i2 ...in × p ( i1 , i2 ,..., in , x ) ÷ = å ( w ( x ) , p (i1 , i2 ,..., in , x ) ) L W × H i1i2 ...in = 2( ) i1 ,i2 ,...,in = 0 è ø L2 ( W ) i1 ,i2 ,...,in =0 = ¥ å ( p ( i , i ,..., i , x ) , w ( x ) ) i1 ,i2 ,...,in = 0 1 2 n × H i1i2 ...in = L ( W) 2 ¥ å i1 ,i2 ,..., in =0 Wi1i2 ...in × H i1i2 ...in , где Wi1i2 ...in – элементы спектральной характеристики функционала W (см. (2)), а H i1i2 ...in – элементы спектральной характеристики функции h ( x ) , т.е. H i1i2 ...in = ( p ( i1 , i2 ,..., in , x ) , h ( x ) ) L ( W ) , 2 i1 , i2 ,..., in = 0,1,2,... С учетом правила умножения многомерных матриц [11], отсюда следует, что W h ( x ) = W ( 0, n ) × H ( n,0 ) . < Приведем примеры линейных функционалов. 1. Линейный функционал d x ¢ , ставящий в соответствие функции h ( x ) Î L2 ( W ) значение этой функции в точке x¢ , x¢ Î W , т.е. d x ¢ h ( x ) = h ( x¢ ) . Известно [10], что d x ¢ h ( x ) можно представить в виде d x ¢ h ( x ) = ò d ( x - x¢ ) h ( x ) dx , где d ( x - x¢ ) W – d -функция векторного аргумента [10]. Тогда по определению спектральной характеристики линейного функционала S [d x ¢ ] = D x ¢ ( 0, n ) , где элементы гиперстрочной матрицы D x ¢ ( 0, n ) задаются выражением D i1i2 ...in = ò p ( i1 , i2 ,..., in , x ) d ( x - x¢ ) dx = p ( i1 , i2 ,..., in , x¢ ) , W i1 , i2 ,..., in = 0,1,2,... , следовательно, значение функции h ( x ) в заданной точке x¢ вычисляется по правилу h ( x¢ ) = D x ¢ ( 0, n ) × H ( n,0 ) , где H ( n,0 ) – спектральная характеристика функции h ( x ) , определенная относительно базисной системы { p ( i , i ,..., i , x )} ¥ 1 2 n i1 , i2 ,..., in = 0 . Заметим, что полученное соотношение представляет собой формулу обращения спектральных характеристик функций (см. приложение 2): ¥ å h ( x¢ ) = i1 ,i2 ,...,in = 0 H i1i2 ...in × p ( i1 , i2 ,..., in , x¢ ) , где H i1i2 ...in – элементы спектральной характеристики H ( n,0 ) , x¢ Î W . 2. Линейный функционал J , ставящий в соответствие функции h ( x ) Î L2 ( W ) значение интеграла от этой функции по множеству W , т.е. J h ( x ) = ò h ( x ) dx . W соответствует функция w ( x ) = 1 , следовательно, по Нетрудно видеть, что функционалу J определению спектральной характеристики линейного функционала S [J ] = J ( 0, n ) , где элементы гиперстрочной матрицы J ( 0, n ) задаются соотношением J i1i2 ...in = ò p ( i1 , i2 ,..., in , x ) dx , W i1 , i2 ,..., in = 0,1,2,... Тогда значение функционала J определяется выражением ò h ( x ) dx = J ( 0, n ) × H ( n,0 ) , W при условии, что интеграл в левой части этого выражения существует и существуют интегралы в соотношении для вычисления элементов спектральной характеристики функционала J . Следует отметить, что спектральная характеристика J ( 0, n ) функционала J выражена через спектральную характеристику W ( n,0 ) функции может быть w ( x ) = 1 , определенную относительно базисной системы { p ( i1 , i2 ,..., in , x )}i1 , i2 ,..., in = 0 , а именно J ( 0, n ) = éëW ( n,0 ) ùû . ¥ +¥ Пример 1. Вычислим интеграл òe - x2 2 T dx , используя в качестве базисной системы для -¥ спектрального преобразования функции Эрмита [13]. Рассмотрим функции Эрмита с параметрами m = 0 и D = 1 . Известно [13], что элементы 2 спектральной характеристики W (1,0 ) функции w ( x ) = 1 , определенной относительно выбранной базисной системы, вычисляются следующим образом: W0 = 4 4p , W1 = 0, i -1 Wi - 2 , i Wi = i = 2,3, 4,... é4 T Тогда J ( 0,1) = éëW (1,0 ) ùû = ê 4p ë 4p 2 4 0 ù 0 ... ú . û 3 4 4p 2 2 0 x2 Найдем спектральную характеристику функции h ( x ) = e - 2 относительно системы функций Эрмита. По определению элементы спектральной характеристики функции h ( x ) задаются соотношением +¥ ò F ( x ) h ( x ) dx , Hi = i = 0,1,2,... , i -¥ где F i ( x ) – функция Эрмита с номером i . Таким образом, +¥ Hi = ò Fi ( x ) e - x2 2 -¥ ìï 4 p , i = 0, dx = í ïî0, i = 1, 2,..., T т.е. H (1,0 ) = éë 4 p 0 0 0 0 0 ... ùû . Следовательно, в силу теоремы 1 и правила умножения многомерных матриц значение интеграла определяется выражением +¥ òe - x2 2 ¥ dx = J ( 0,1) × H (1, 0 ) = å Wi × H i = 4 4p × 4 p = 2p . < i =0 -¥ Введем новые обозначения. Пусть множество W представляется в виде W = W(1) ´ W( 2) , где W(1) Í R m , x(1) = [ x1 W( 2) Í R n - m , 1£ m < n , x2 ... xm ] Î W(1) , { ( )} { ( )} p( 2) im +1 ,..., in , x( 2) T ¥ образует i1 , i2 ,..., im = 0 ¥ im+1 ,..., in = 0 ( вектор x x( 2) = [ xm +1 ... xn ] Î W( 2) . T p(1) i1 , i2 ,..., im , x(1) а базис – в Пусть также пространства T x = éë x(1) виде x( 2 ) ùû , система ( ) L2 W(1) , а где функций система ( ) является базисом пространства L2 W( 2) . Функцию h ( x ) будем ) записывать в виде h x(1) , x( 2) . Кроме того, будем полагать, что функции базисной системы { p ( i , i ,..., i , x )} ¥ 1 2 n i1 , i2 ,..., in = 0 пространства L2 ( W ) порождаются всевозможными произведениями { ( )} ( ) ( функций базисных систем p(1) i1 , i2 ,..., im , x(1) ¥ i1 , i2 ,..., im = 0 { ( )} ¥ и p( 2) im +1 ,..., in , x( 2) im+1 ,..., in = 0 , т.е. ) p ( i1 , i2 , ...,im , im +1 ,..., in , x ) = p(1) i1 , i2 ,..., im , x(1) p( 2 ) im +1 ,..., in , x( 2 ) . ( ) Рассмотрим линейный функционал W(1) , заданный на пространстве L2 W(1) . Тогда в ( ) выражении W(1) h x(1) , x( 2) координаты x( 2) играют роль числовых параметров. ( ) Теорема 2. Пусть W(1) – линейный функционал, определенный на пространстве L2 W(1) , ( ) ( ) ( ) почти всюду на W( 2) , W(1) ( 0, m ) W(1) , определенная h x(1) , x( 2 ) Î L2 ( W ) , h x(1) , x( 2) Î L2 W(1) характеристика функционала { ( p(1) i1 , i2 ,..., im , x(1) определенная )} ¥ i1 , i2 ,..., im = 0 , относительно H ( n,0 ) – спектральная базисной системы относительно базисной характеристика функции { p ( i , i ,..., i , x )} ¥ 1 2 n – спектральная i1 , i2 ,..., in = 0 , системы ( ) h x(1) , x( 2) , E ( n - m, n - m ) – единичная матрица размерности 2 ( n - m ) . Тогда ( ) ( ) S éW(1) h x(1) , x( 2 ) ù = W(1) ( 0, m ) Ä E ( n - m, n - m ) × H ( n,0 ) , ë û (4) ( ) ( где спектральное преобразование применяется к функции h( 2) x( 2) = W(1) h x(1) , x( 2) { ( базисной системы p( 2) im +1 ,..., in , x( 2) )} ) относительно ¥ im+1 ,..., in = 0 . Доказательство. Из теоремы 1 следует, что ( ) ( где H ( ) ( m,0; x( ) ) ) ( ) h( 2) x( 2) = W(1) h x(1) , x( 2 ) = W(1) ( 0, m ) × H (1) m,0; x( 2 ) , 1 2 ( – спектральная характеристика функции h x(1) , x( 2) { ( определенная относительно базисной системы p(1) i1 , i2 ,..., im , x(1) ( ) и H i1i2 ...im x( 2) ) при фиксированном x( 2) , )} ¥ i1 , i2 ,..., im = 0 ( . Обозначим через Wi1i2 ...im элементы спектральных характеристик W(1) ( 0, m ) и H (1) m,0; x( 2 ) ) соответственно. Тогда ( ) h( 2) x( 2 ) = ¥ å i1 ,i2 ,...,im = 0 ( ) Wi1i2 ...im × H i1i2 ...im x( 2 ) . ( ) Найдем элементы спектральной характеристики функции h( 2) x( 2 ) относительно базисной { ( системы p( 2) im +1 ,..., in , x( 2) ( ( )} ¥ im+1 ,..., in = 0 ) : ( )) H im+1 ...in = p( 2) im +1 ,..., in , x( 2) , h( 2 ) x( 2 ) ¥ å = i1 ,i2 ,...,im = 0 ( ( ¥ æ ö = ç p( 2) im +1 ,..., in , x( 2 ) , å Wi1i2 ...im × H i1i2 ...im x( 2 ) ÷ = L2 ( W( 2 ) ) i1 ,i2 ,...,im = 0 è ø L2 ( W(2) ) ( ( )) ) Wi1i2 ...im × p( 2) im +1 ,..., in , x( 2) , H i1i2 ...im x( 2 ) ) ( L2 W( 2) ) ( ) ¥ å = i1 , i2 ,...,im = 0 Wi1i2 ...im × H i1i2 ...in , im +1 ,..., in = 0,1, 2,..., где ( ( ( )) ) H i1i2 ...in = p( 2) im +1 ,..., in , x( 2) , H i1i2 ...im x( 2) числа ( L2 W( 2 ) представляют ) собой элементы спектральной характеристики H ( n,0 ) . Формулу для вычисления H im+1 ...in можно переписать следующим образом: H im+1 ...in = ¥ å j1 , j2 ,..., jn = 0 W%im+1 ...in j1 j2 ... jn × H j1 j2 ... jn , im +1 ,..., in = 0,1, 2,... , где упорядоченная совокупность чисел ìïW j j ... j , im +1 = jm +1 , ..., in = jn , W%im+1 ...in j1 j2 ... jn = í 1 2 m ïî0, в остальных случаях образует многомерную матрицу W% ( n - m, n ) . Следовательно, по определению произведения и тензорного произведения многомерных ( ) матриц получаем выражение для спектральной характеристики функции h( 2) x( 2 ) : ( ) S é h( 2) x( 2) ù = W% ( n - m, n ) × H ( n,0 ) , ë û где W% ( n - m, n ) = W(1) ( 0, m ) Ä E ( n - m, n - m ) . Отсюда следует формула (4). < Замечание. Аналогичное утверждение можно сформулировать в случае, если x(1) и x( 2) образуются другим способом. Например, x(1) = [ x1 x3 x5 ... xn -1 ] , x( 2) = [ x2 T x4 x(1) = [ xm +1 ... xn ] , T x( 2) = [ x1 x2 ... xm ] , или T x6 ... xn ] , если n – четное; и т.п. T Переход от спектральной характеристики ( ) H ( 2) ( n - m,0 ) = S éW(1) h x(1) , x( 2) ù ë û к функции ( ) h( 2) x( 2 ) осуществляется по формуле обращения: ( ) h( 2) x( 2) = S -1 éë H ( 2) ( n - m, 0 ) ùû = ¥ å im+1 ,...,in = 0 ( ) H im+1 ...in × p( 2) im +1 ,..., in , x( 2) , (5) где H im+1 ...in – элементы спектральной характеристики H ( 2) ( n - m,0 ) , x( 2) Î W( 2) . Пример 2. h2 ( x2 ) = Запишем ò h ( x , x ) dx 1 2 и h1 ( x1 ) = 1 W1 { p ( i , x )} ¥ Пусть 1 1 1 выражение i1 = 0 для ò h ( x , x ) dx 1 2 2 W2 спектральных характеристик функций , где h ( x1 , x2 ) Î L2 ( W1 ´ W 2 ) , W1 , W 2 Í R . – базис пространства L2 ( W1 ) , а { p ( i , x )} ¥ 2 2 2 i2 = 0 – базис пространства L2 ( W 2 ) . Положим x(1) = x1 , x( 2) = x2 и рассмотрим линейный функционал J 1 , определенный на пространстве L2 ( W1 ) и ставящий в соответствие функции f1 ( x1 ) Î L2 ( W1 ) интеграл от этой функции по множеству W1 , т.е. J 1 f1 ( x1 ) = ò f ( x ) dx 1 W1 1 1 . Нетрудно видеть, что h2 ( x2 ) = J 1h ( x1 , x2 ) при фиксированном x2 . Тогда из теоремы 2 следует, что спектральная характеристика функции h2 ( x2 ) , определенная относительно базисной системы { p ( i , x )} ¥ 2 2 2 i2 = 0 , выражается следующим образом: é ù H 2 (1,0 ) = S éë h2 ( x2 ) ùû = S ê ò h ( x1 , x2 ) dx1 ú = ( J1 ( 0,1) Ä E (1,1) ) × H ( 2,0 ) , êë W1 úû где J1 ( 0,1) – спектральная характеристика функционала J 1 , определенная относительно базисной системы { p ( i , x )} ¥ 1 1 1 характеристика i1 = 0 ¥ 1 1 2 2 h ( x1 , x2 ) , функции { p ( i , x ) p ( i , x )} 1 , E (1,1) – двумерная единичная матрица, 2 i1 , i2 = 0 определенная H ( 2,0 ) относительно – спектральная базисной системы . Переход от спектральной характеристики H 2 (1,0 ) к функции h2 ( x2 ) осуществляется по формуле (5), которая в рассматриваемом примере примет вид: ¥ -1 ò h ( x1 , x2 ) dx1 = S éë H 2 (1, 0 )ùû = å H i¢¢2 × p2 (i2 , x2 ) , i2 = 0 W1 где H i¢¢2 – элементы спектральной характеристики H 2 (1,0 ) , x2 Î W 2 . Теперь предположим, что x(1) = x2 , а x( 2) = x1 . Проводя аналогичные рассуждения, получаем выражение для спектральной характеристики функции h1 ( x1 ) , определенной относительно базисной системы { p1 ( i1 , x1 )}i1 = 0 : ¥ é ù H1 (1,0 ) = S éë h1 ( x1 ) ùû = S ê ò h ( x1 , x2 ) dx2 ú = ( E (1,1) Ä J 2 ( 0,1) ) × H ( 2,0 ) , ëê W2 ûú где J 2 ( 0,1) J 2 , заданного на – спектральная характеристика линейного функционала пространстве L2 ( W 2 ) и ставящего в соответствие функции f 2 ( x2 ) Î L2 ( W2 ) интеграл от этой функции по множеству W 2 , т.е J 2 f 2 ( x2 ) = ò f ( x ) dx 2 2 2 W2 . Спектральная характеристика J 2 ( 0,1) определена относительно базисной системы { p2 ( i2 , x2 )}i2 = 0 . ¥ Формула обращения для спектральной характеристики H1 (1,0 ) функции h1 ( x1 ) имеет вид: ò W2 ¥ h ( x1 , x2 ) dx2 = S -1 éë H1 (1, 0 ) ùû = å H i¢1 × p1 ( i1 , x1 ) , i1 = 0 где H i¢1 – элементы спектральной характеристики H1 (1,0 ) , x1 Î W1 . < Рассмотрим линейные функционалы, заданные на множестве функций времени t и вектора x в предположении, что переменная времени играет роль параметра. Будем предполагать, что функции базисной системы {e ( i , i ,..., i , t , x )} ¥ 0 1 n i0 , i1 ,..., in = 0 пространства L2 (T ´ W ) , где T Í [ 0, +¥ ) – промежуток времени, порождаются всевозможными произведениями функций систем {q ( i0 , t )}i0 = 0 и { p ( i1 , i2 ,..., in , x )}i1 , i2 ,..., in = 0 , которые в свою очередь являются базисами ¥ ¥ пространств L2 (T ) и L2 ( W ) соответственно, т.е. e ( i0 , i1 ,..., in , t , x ) = q ( i0 , t ) p ( i1 ,..., in , x ) . Теорема 3. Пусть W – линейный функционал, определенный на пространстве L2 ( W ) , h ( t , x ) Î L2 (T ´ W ) , h ( t , x ) Î L2 ( W ) почти всюду на T , W ( 0, n ) – спектральная характеристика функционала W , определенная относительно базисной системы { p ( i , i ,..., i , x )} ¥ 1 2 n i1 , i2 ,..., in = 0 , H ( n + 1,0 ) – спектральная характеристика функции h ( t , x ) , определенная относительно базисной системы {e ( i0 , i1 ,..., in , t , x )}i0 , i1 ,..., in = 0 . Тогда ¥ S éëW h ( t , x ) ùû = ( E (1,1) Ä W ( 0, n ) ) × H ( n + 1,0 ) , (6) где спектральное преобразование применяется к функции h0 ( t ) = W h ( t , x ) относительно базисной системы {q ( i0 , t )}i0 = 0 . ¥ Доказательство проводится так же, как и доказательство теоремы 2. Запишем формулу обращения для спектральной характеристики H 0 (1,0 ) = S éë W h ( t , x ) ùû функции h0 ( t ) = W h ( t , x ) : ¥ h0 ( t ) = S -1 éë H 0 (1, 0 ) ùû = å H i0 × q ( i0 , t ) , (7) i0 = 0 где H i0 – элементы спектральной характеристики H 0 (1,0 ) , t Î T . Пример 3. Запишем выражение для спектральной характеристики функции времени h0 ( t ) = ò ò h ( t , x , x ) dx dx 1 2 1 , где h ( t , x1 , x2 ) Î L2 (T ´ W1 ´ W 2 ) , W1 , W 2 Í R . 2 W1 W 2 Пусть {q ( i0 , t )}i0 = 0 – базис пространства L2 (T ) , а { p1 ( i1 , x1 ) p2 ( i2 , x2 )}i1 , i2 = 0 – базис пространства ¥ ¥ L2 ( W1 ´ W 2 ) . Тогда, по теореме 3, получаем искомую спектральную характеристику в виде é ù H 0 (1,0 ) = S éë h0 ( t ) ùû = S ê ò ò h ( t , x1 , x2 ) dx1dx2 ú = ( E (1,1) Ä J ( 0,2 ) ) × H ( 3,0 ) , ëê W1 W2 ûú где H ( 3,0 ) – спектральная характеристика функции h ( t , x1 , x2 ) , определенная относительно {q ( i , t ) p ( i , x ) p ( i , x )} ¥ базисной системы 0 1 1 1 2 2 2 i0 , i1 , i2 = 0 , J ( 0,2 ) – спектральная характеристика линейного функционала J , заданного на пространстве L2 ( W1 ´ W 2 ) и ставящего в соответствие f ( x1 , x2 ) Î L2 ( W1 ´ W 2 ) функции J f ( x1 , x2 ) = ò ò f ( x , x ) dx dx 1 2 W1 W 2 1 2 W1 ´ W 2 , т.е. интеграл от этой функции по множеству . Спектральная характеристика J ( 0,2 ) определена относительно базисной системы { p1 ( i1 , x1 ) p2 ( i2 , x2 )}i1 , i2 = 0 . ¥ Напомним, что J ( 0,2 ) = éëW ( 2,0 ) ùû , где W ( 2,0 ) – спектральная характеристика функции T w ( x1 , x2 ) = 1 , определенная относительно базисной системы { p1 ( i1 , x1 ) p2 ( i2 , x2 )}i , i ¥ 1 2 =0 . Для перехода от спектральной характеристики H 0 (1,0 ) к соответствующей функции времени применяется формула обращения (7). < Сформулируем важное следствие из теорем 2 и 3. Пусть функции базисной системы {e ( i , i ,..., i , t , x )} ¥ 0 1 n i0 ,i1 ,..., in = 0 порождаются всевозможными произведениями функций базисных систем ¥ , i0 = 0 0 { p (i , i ,...,i , x )} ¥ {q ( i , t )} (1) 1 2 m (1) i1 , i2 ,..., im = 0 и { p (i ( 2) m +1 ,..., in , x( 2) ( ) )} ¥ im+1 ,..., in = 0 ( ( ) пространств L2 (T ) , L2 W(1) ) ( ) и L2 W( 2) , т.е. e ( i0 , i1 ,..., im , im +1 ,..., in , t , x ) = q ( i0 , t ) p(1) i1 ,..., im , x(1) p( 2 ) im +1 ,..., in , x( 2 ) . Пусть также ( ) W(1) – линейный функционал, заданный на пространстве L2 W(1) . Будем предполагать, что в ( ) ( выражении h( 2) t , x( 2) = W(1) h t , x(1) , x( 2 ) ) переменная времени t и координаты x( 2) играют роль ( ) числовых параметров. Функцию h ( t , x ) будем записывать в виде h t , x(1) , x( 2 ) . Теорема 4. Пусть W(1) ( 0, m ) – спектральная характеристика функционала W(1) , определенная { p (i , i ,..., i , x )} ( ¥ относительно ( ) базисной ( ) h t , x(1) , x( 2) Î L2 W(1) ( системы (1) 1 2 (1) m i1 , i2 ,..., im = 0 ) h t , x(1) , x( 2) Î L2 (T ´ W ) , , почти всюду на T ´ W( 2) , H ( n + 1,0 ) – спектральная характеристика ) функции h t , x(1) , x( 2) , определенная относительно базисной системы {e ( i , i ,..., i , t , x )} ¥ 0 1 n i0 , i1 ,..., in = 0 . Тогда ( ) ( ) S éW(1) h t , x(1) , x( 2) ù = E (1,1) Ä W(1) ( 0, m ) Ä E ( n - m, n - m ) × H ( n + 1,0 ) , ë û где спектральное преобразование применяется { ( к относительно базисной системы q ( i0 , t ) p( 2) im +1 ,..., in , x( 2 ) функции )} (8) ( ) ( h( 2) t , x( 2) = W(1) h t , x(1) , x( 2 ) ) ¥ i0 , im +1 ,..., in = 0 . Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству теоремы 2. ( ) Переход от спектральной характеристики H ( 2) ( n - m + 1,0 ) = S éë W(1) h t , x(1) , x( 2) ùû к функции ( ) ( ) h( 2) t , x( 2) осуществляется по формуле обращения: h( 2) t , x( 2 ) = S -1 éë H ( 2) ( n - m + 1, 0 ) ùû = ¥ å i0 , im+1 ,..., in = 0 ( ) H i0im+1 ...in × q ( i0 , t ) × p( 2 ) im +1 ,..., in , x( 2 ) , (9) где H i0im+1 ...in – элементы спектральной характеристики H ( 2) ( n - m + 1,0 ) , t Î T , x( 2) Î W( 2) . Замечание. Следует отметить, что в общем случае x(1) и x( 2) могут формироваться произвольным образом из координат вектора x . Пример 4. Найдем выражения для спектральных характеристик функций h2 ( t , x2 ) = ò h ( t , x , x ) dx 1 2 1 W1 Пусть {q ( i , t )} ¥ 0 i0 = 0 и h1 ( t , x1 ) = ò h ( t , x , x ) dx 1 2 W2 2 , где h ( t , x1 , x2 ) Î L2 (T ´ W1 ´ W2 ) , W1 , W 2 Í R . { p ( i , x )} ¥ – базис пространства L2 (T ) , а 1 1 1 i1 = 0 и { p ( i , x )} ¥ 2 2 2 i2 = 0 – базисы пространств L2 ( W1 ) и L2 ( W 2 ) соответственно. Тогда, используя результаты, полученные в примере 2 и утверждение теоремы 4, запишем искомые выражения для спектральных характеристик: é ù H 2 ( 2,0 ) = S éë h2 ( t , x2 ) ùû = S ê ò h ( t , x1 , x2 ) dx1 ú = ( E (1,1) Ä J1 ( 0,1) Ä E (1,1) ) × H ( 3,0 ) , êë W1 úû é ù H1 ( 2,0 ) = S éë h1 ( t , x1 ) ùû = S ê ò h ( t , x1 , x2 ) dx2 ú = ( E (1,1) Ä E (1,1) Ä J 2 ( 0,1) ) × H ( 3,0 ) , ëê W2 ûú где J1 ( 0,1) и J 2 ( 0,1) – спектральные характеристики функционалов J относительно базисных систем { p ( i , x )} ¥ 1 1 1 i1 = 0 и { p ( i , x )} ¥ 2 2 2 i2 = 0 1 и J 2 , определенные соответственно (см. пример 2), H ( 3,0 ) – спектральная характеристика функции h ( t , x1 , x2 ) , определенная относительно базисной системы {q ( i0 , t ) p1 ( i1 , x1 ) p2 ( i2 , x2 )}i0 ,i1 ,i2 = 0 . ¥ Для перехода от спектральных характеристик H 2 ( 2,0 ) и H1 ( 2,0 ) к соответствующим функциям применим формулу (9), тогда -1 ò h ( t , x1 , x2 ) dx1 = S éë H 2 ( 2, 0 )ùû = W1 ò W2 h ( t , x1 , x2 ) dx2 = S -1 éë H1 ( 2,0 ) ùû = ¥ å i0 ,i2 = 0 H i¢¢0i2 × q ( i0 , t ) × p2 ( i2 , x2 ) , ¥ å H¢ i0 ,i1 = 0 i0i1 × q ( i0 , t ) × p1 ( i1 , x1 ) , где H i¢¢0i2 и H i¢0i1 – элементы спектральных характеристик H 2 ( 2,0 ) и H1 ( 2,0 ) соответственно, t Î T , x1 Î W1 , x2 Î W 2 . < Вычисление моментных характеристик вектора состояния стохастических систем Рассмотрим задачу вычисления моментных характеристик вектора состояния стохастических систем управления с фиксированной структурой [14,15] по известной спектральной характеристике плотности вероятности вектора состояния. Пусть f ( t , x ) – плотность вероятности вектора состояния, тогда математическое ожидание m ( t ) и ковариационная матрица R ( t ) определяются следующим образом: m ( t ) = éë m1 ( t ) m2 ( t ) L mn ( t ) ùû , T é R11 ( t ) R12 ( t ) ê R ( t ) R22 ( t ) R ( t ) = ê 21 ê M M ê ëê Rn1 ( t ) Rn 2 ( t ) L R1n ( t ) ù ú L R2 n ( t ) ú , O M ú ú L Rnn ( t ) úû где n – размерность вектора состояния, mi ( t ) = ò x f ( t , x ) dx , (10) i Rn Rij ( t ) = ò x x f ( t , x ) dx - m ( t ) m (t ) , i j i (11) j Rn i, j = 1, 2,..., n . Операцию вычисления математического ожидания можно рассматривать как линейный функционал J (см. примеры линейных функционалов), заданный на пространстве функций времени и вектора состояния при условии, что переменная времени t фиксирована, W = R n . Перейдем к определению функций mi ( t ) и Rij ( t ) с использованием спектральной формы математического описания. Пусть M i (1,0 ) – спектральная характеристика функции mi ( t ) , определенная относительно базисной системы {q ( i , t )} ¥ 0 i0 = 0 пространства L2 (T ) , J ( 0, n ) – спектральная характеристика функционала J , X i ( n, n ) – спектральная характеристика оператора умножения на функцию ai ( x ) = xi (нестационарная передаточная функция усилительного звена с коэффициентом передачи ai ( x ) = xi ); спектральные характеристики J ( 0, n ) , X i ( n, n ) определены относительно базисной системы спектральная характеристика относительно базисной n пространства L2 ( R ) , F ( n + 1,0 ) – { p ( i , i ,..., i , x )} ¥ 1 2 n плотности системы i1 , i2 ,..., in = 0 вероятности вектора состояния, {e ( i , i ,..., i , t , x ) = q (i , t ) p (i ,..., i , x )} ¥ 0 1 n 0 1 n i0 , i1 ,..., in = 0 определенная пространства L2 (T ´ R n ) , E (1,1) – двумерная единичная матрица. Тогда по теореме 3 и свойству спектрального преобразования произведения функций [4,5] имеем M i (1,0 ) = ( E (1,1) Ä J ( 0, n ) ) × ( E (1,1) Ä X i ( n, n ) ) × F ( n + 1,0 ) , (12) i = 1,2,..., n , так как спектральная характеристика подынтегральной функции в выражении (10) равна ( E (1,1) Ä X ( n, n ) ) × F ( n + 1,0 ) . i Запишем выражение для представления функции Rij ( t ) . По аналогии со спектральной характеристикой функции mi ( t ) получаем, что é ù S ê ò xi x jf ( t , x ) dx ú = ( E (1,1) Ä J ( 0, n ) ) × ( E (1,1) Ä X ij ( n, n ) ) × F ( n + 1,0 ) , êë R n úû где X ij ( n, n ) = X i ( n, n ) × X j ( n, n ) – спектральная характеристика оператора умножения на функцию aij ( x ) = xi x j . По свойству спектрального преобразования произведения функций времени [5] S éë mi ( t ) m j ( t ) ùû = M i (1,1) × M j (1,0 ) , где M i (1,1) – спектральная характеристика умножения на функцию mi ( t ) , определенная относительно базисной системы оператора {q ( i , t )} ¥ 0 i0 = 0 , а M j (1,0 ) – спектральная характеристика функции m j ( t ) , причем спектральную характеристику M i (1,1) можно найти по известной спектральной характеристике M i (1,0 ) [4,5]: M i (1,1) = V (1, 2 ) e M i (1,0 ) , где V (1,2 ) – спектральная характеристика множительного звена (трехмерная нестационарная передаточная функция множительного звена), определенная относительно базисной системы {q ( i , t )} ¥ 0 i0 = 0 . Следовательно, спектральная характеристика Rij (1,0 ) функции Rij ( t ) определяется соотношением Rij (1,0 ) = ( E (1,1) Ä J ( 0, n ) ) × ( E (1,1) Ä X ij ( n, n ) ) × F ( n + 1,0 ) - (V (1,2 ) e M i (1,0 ) ) × M j (1,0 ) , (13) i, j = 1,2,..., n . Спектральные характеристики функций mi ( t ) и Rij ( t ) можно найти другим способом. Определим линейные функционалы M xi и M xi x j на пространстве L2 ( W ) : M xi h ( x ) = ò xi h ( x ) dx , W M xi x j h ( x ) = ò xi x j h ( x ) dx , h ( x ) Î L2 ( W ) , W T тогда M i ( 0, n ) = S éë M xi ùû = éë X i ( n,0 ) ùû , M ij ( 0, n ) = S éëM xi x j ùû = éë X ij ( n,0 ) ùû , где X i ( n, 0 ) и X ij ( n, 0 ) – T спектральные характеристики функций ai ( x ) = xi и aij ( x ) = xi x j соответственно, определенные относительно базисной системы { p ( i1 , i2 ,..., in , x )}i ,i ¥ 1 2 ,..., in = 0 пространства L2 ( W ) . Следовательно, если W = R n , то по теореме 3, свойству линейности спектрального преобразования и свойству спектрального преобразования произведения функций времени M i (1, 0 ) = ( E (1,1) Ä M i ( 0, n ) ) × F ( n + 1, 0 ) , (14) Rij (1,0 ) = ( E (1,1) Ä M ij ( 0, n ) ) × F ( n + 1,0 ) - (V (1,2 ) e M i (1,0 ) ) × M j (1,0 ) , (15) i, j = 1,2,..., n . Покажем, что соотношения (12) и (14) эквивалентны. Для этого преобразуем выражение ( E (1,1) Ä J ( 0, n ) ) × ( E (1,1) Ä X ( n, n ) ) , i используя свойства операций над многомерными матрицами [12]: ( E (1,1) Ä J ( 0, n ) ) × ( E (1,1) Ä X ( n, n ) ) = ( E (1,1) × E (1,1) ) Ä ( J ( 0, n ) × X ( n, n ) ) = i i ( = E (1,1) Ä éë J ( 0, n ) × X i ( n, n ) ùû ) T T ( = E (1,1) Ä éë X i ( n, n ) ùû × éë J ( 0, n )ùû T ). T T Известно [4,5], что спектральные характеристики операторов умножения представляют собой éë X i ( n, n ) ùû = X i ( n, n ) . Кроме того, J ( 0, n ) = éëW ( n, 0 ) ùû T симметрические матрицы, т.е. T и, следовательно, éë J ( 0, n ) ùû = W ( n, 0 ) , где W ( n, 0 ) – спектральная характеристика функции w ( x ) = 1 T , определенная ( относительно E (1,1) Ä éë X i ( n, n ) ùû × éë J ( 0, n ) ùû T ) T T базисной { p ( i , i ,..., i , x )} ¥ системы 1 = E (1,1) Ä ( X i ( n, n ) ×W ( n, 0 ) ) . T 2 По n i1 , i2 ,..., in = 0 свойству , поэтому спектрального преобразования произведения функций [4,5] X i ( n, n ) ×W ( n, 0 ) = X i ( n, 0 ) . Таким образом, E (1,1) Ä ( X i ( n, n ) × W ( n, 0 ) ) = E (1,1) Ä éë X i ( n, 0 )ùû = E (1,1) Ä M i ( 0, n ) , T т.е. T ( E (1,1) Ä J ( 0, n ) ) × ( E (1,1) Ä X ( n, n ) ) = E (1,1) Ä M ( 0, n ) , i i из чего следует эквивалентность соотношений (12) и (14). Эквивалентность соотношений (13) и (15) доказывается аналогично. Переход от спектральных характеристик M i (1,0 ) и Rij (1,0 ) к соответствующим функциям времени осуществляется по формуле (7): ¥ mi ( t ) = S -1 éë M i (1, 0 ) ùû = å M i ;i0 × q ( i0 , t ) , (16) i0 = 0 ¥ Rij ( t ) = S -1 éë Rij (1,0 ) ùû = å Rij ;i0 × q ( i0 , t ) , (17) i0 = 0 где M i ;i0 и Rij ;i0 – элементы спектральных характеристик M i (1,0 ) и Rij (1,0 ) соответственно, t Î T , i, j = 1,2,..., n . Замечание. В одномерном случае ( n = 1) функция R (t ) называется дисперсией и обозначается D ( t ) . Спектральную характеристику функции D ( t ) будем обозначать D (1,0 ) . Пример 5. Запишем выражения для спектральных характеристик математического ожидания и дисперсии состояния одномерной стохастической системы. Формулы (10) и (11) для одномерной стохастической системы примут вид: m ( t ) = ò xf ( t , x ) dx , D ( t ) = ò x 2f ( t , x ) dx - m 2 ( t ) . R Для R получения искомых полученными выше. Пусть спектральных {q ( i , t )} ¥ 0 i0 = 0 характеристик воспользуемся результатами, – базис пространства L2 (T ) , V (1,2 ) – спектральная характеристика множительного звена, определенная относительно этой базисной системы; { p ( i , x )} ¥ 1 i1 = 0 – базис пространства L2 ( R ) , а J ( 0,1) и X (1,1) – спектральные характеристики функционала J и оператора умножения функцию a ( x ) = x соответственно, определенные относительно базисной системы { p ( i , x )} ¥ 1 i1 = 0 ; F ( 2,0 ) – спектральная характеристика плотности вероятности состояния, т.е. функции f ( t , x ) , определенная относительно базисной системы {q ( i , t ) p ( i , x )} ¥ 0 1 i0 , i1 = 0 . Тогда спектральные характеристики M (1,0 ) и D (1,0 ) функций m ( t ) и D ( t ) соответственно выражаются следующим образом: M (1,0 ) = ( E (1,1) Ä J ( 0,1) ) × ( E (1,1) Ä X (1,1) ) × F ( 2,0 ) , D (1, 0 ) = ( E (1,1) Ä J ( 0,1) ) × ( E (1,1) Ä X 2 (1,1) ) × F ( 2, 0 ) - (V (1, 2 ) Ä M (1,0 ) ) × M (1, 0 ) . Переход от спектральных характеристик M (1,0 ) и D (1,0 ) к соответствующим функциям времени осуществляется по формулам (16) и (17). < Замечание. Используя понятие спектральных характеристик линейных функционалов, можно получить соотношения, аналогичные (12) и (13) (или (14) и (15)), для определения начальных и центральных моментов любого порядка по известной спектральной характеристике плотности вероятности. Перейдем к определению спектральных характеристик математического ожидания и ковариационной матрицы вектора состояния для систем со случайными изменениями <k > структуры [16–18]. Пусть f ( t , x ) – ненормированная плотность вероятности вектора состояния [16–18] для структуры с номером k , N – число структур системы. Тогда координаты вектора m ( t ) и элементы матрицы R ( t ) выражаются следующим образом [17]: N æ m< k > ( t ) m< k > ( t ) ö Rij ( t ) = å ç Rij< k > ( t ) + i < k > j ÷÷ - mi ( t ) m j ( t ) , ç P (t ) k =1 è ø N mi ( t ) = å mi< k > ( t ) , k =1 где n – размерность вектора состояния, а функции mi< k > ( t ) и i, j = 1,2,..., n , Rij< k > ( t ) (18) определяются соотношениями mi< k > ( t ) = ò x f (t , x ) dx , <k > (19) i Rn <k > ij R ( t ) = ò xi x jf R <k > ( t , x ) dx - mi< k > ( t ) m <j k > ( t ) P < k > (t ) n i, j = 1,2,..., n , , (20) k = 1, 2,..., N ; P < k > ( t ) – вероятность работы структуры с номером k : P <k > (t ) = ò f ( t , x ) dx . <k > (21) Rn <k > <k > Наряду с ненормированными плотностями вероятности f ( t , x ) , функциями mi ( t ) и Rij< k > ( t ) будем рассматривать нормированные плотности f <k > (t, x ) f% < k > ( t , x ) = < k > = P (t ) и моментные характеристики m% i< k > ( t ) = mi< k > ( t ) <k > % ò xif ( t , x ) dx = P < k > ( t ) , Rn (22) R%ij< k > ( t ) = Rij< k > ( t ) <k > <k > <k > % ò xi x jf ( t , x ) dx - m% i ( t ) m% j ( t ) = P < k > ( t ) , Rn (23) i, j = 1,2,..., n , k = 1, 2,..., N . <k > Замечание. Функция f ( t , x ) представляет собой совместную плотность вероятности f ( t , x, k ) вектора состояния и номера структуры при фиксированном k , а f% < k > ( t , x ) – условная плотность вероятности f ( t , x | k ) . По принятой в [17] терминологии, будем называть функции m < k > ( t ) = éë mi< k > ( t ) ùû n i =1 n R% < k > ( t ) = éë R%ij< k > ( t ) ùû i , j =1 и R < k > ( t ) = éë Rij< k > ( t ) ùû n i , j =1 взвешенными, а m% < k > ( t ) = éë m% i< k > ( t ) ùû n i =1 и условными моментными характеристиками. Спектральные характеристики M i< k > (1, 0 ) функций mi< k > ( t ) определяются аналогично спектральным характеристикам координат математического ожидания вектора состояния стохастических систем с фиксированной структурой (см. (12)): M i< k > (1,0 ) = ( E (1,1) Ä J ( 0, n ) ) × ( E (1,1) Ä X i ( n, n ) ) × F < k > ( n + 1,0 ) , i = 1,2,..., n , (24) k = 1, 2,..., N , <k > где F ( n + 1,0 ) – спектральная характеристика ненормированной плотности вероятности f < k > ( t , x ) , определенная относительно базисной системы {e ( i0 , i1 ,..., in , t , x )}i , i ,..., i ¥ 0 1 n =0 . <k > Из соотношения (21) и теоремы 3 следует, что спектральная характеристика P (1,0 ) <k > функции P ( t ) , определенная относительно базисной системы {q ( i , t )} ¥ 0 i0 = 0 , выражается следующим образом: P < k > (1,0 ) = ( E (1,1) Ä J ( 0, n ) ) × F< k > ( n + 1,0 ) , k = 1, 2,..., N . (25) <k > <k > Для спектральной характеристики Rij (1,0 ) функции Rij ( t ) справедливо соотношение Rij< k > (1,0 ) = ( E (1,1) Ä J ( 0, n ) ) × ( E (1,1) Ä X ij ( n, n ) ) × F < k > ( n + 1,0 ) - (26) - (V (1,2 ) e P < k > (1,0 ) ) × (V (1, 2 ) e M i< k > (1,0 ) ) × M <j k > (1,0 ) , -1 i, j = 1,2,..., n , k = 1, 2,..., N . Данное выражение получено с использованием свойства спектрального преобразования произведения функций времени [4,5], а именно é m< k > ( t ) m< k > ( t ) ù -1 <k > <k > <k > S ê i <k > j ú = ( P (1,1) ) × M i (1,1) × M j (1,0 ) , P (t ) êë úû <k > <k > где P (1,1) и M i (1,1) – спектральные характеристики операторов умножения на функции P < k > ( t ) и mi< k > ( t ) соответственно, определенные относительно базисной системы {q ( i , t )} ¥ 0 i0 = 0 , <k > <k> <k > <k > <k > причем P (1,1) = V (1, 2 ) e P (1,0 ) и M i (1,1) = V (1, 2 ) e M i (1,0 ) ; M j (1, 0 ) – спектральная <k > характеристика функции m j ( t ) , определенная относительно базисной системы {q ( i0 , t )}i0 = 0 . ¥ <k > <k > <k > <k > Для спектральных характеристик M% i (1,0 ) и R%ij (1,0 ) функций m% i ( t ) и R%ij ( t ) соответственно справедливы формулы % < k > ( n + 1, 0 ) , M% i< k > (1, 0 ) = ( E (1,1) Ä J ( 0, n ) ) × ( E (1,1) Ä X i ( n, n ) ) ×F % < k > ( n + 1,0 ) R%ij< k > (1,0 ) = ( E (1,1) Ä J ( 0, n ) ) × ( E (1,1) Ä X ij ( n, n ) ) × F ( ) - V (1,2 ) e M% i< k > (1,0 ) × M% <j k > (1,0 ) , i, j = 1,2,..., n , (27) (28) k = 1, 2,..., N , % < k > ( n + 1, 0 ) – спектральная характеристика функции f% < k > ( t , x ) , определенная относительно где F базисной системы {e ( i0 , i1 ,..., in , t , x )}i0 , i1 ,..., in = 0 . ¥ <k > <k > Нетрудно показать, что спектральные характеристики функций m% i ( t ) и mi ( t ) , а также <k > <k > функций R%ij ( t ) и Rij ( t ) связаны следующими соотношениями: -1 M% i< k > (1,0 ) = (V (1,2 ) e P < k > (1,0 ) ) × M i< k > (1,0 ) , -1 R%ij< k > (1,0 ) = (V (1,2 ) e P < k > (1,0 ) ) × Rij< k > (1,0 ) , i, j = 1,2,..., n , k = 1, 2,..., N . Переход от спектральных характеристик M i< k > (1,0 ) и Rij< k > (1,0 ) к соответствующим функциям времени осуществляется по формуле (7): ¥ mi< k > ( t ) = S -1 éë M i< k > (1, 0 ) ùû = å M i<;ik0 > × q ( i0 , t ) , i0 = 0 (29) ¥ Rij< k > ( t ) = S -1 éë Rij< k > (1,0 ) ùû = å Rij<;ki0> × q ( i0 , t ) , i0 = 0 (30) <k > <k > <k > <k > где M i ;i0 и Rij ;i0 – элементы спектральных характеристик M i (1,0 ) и Rij (1,0 ) соответственно, t Î T , i, j = 1,2,..., n , k = 1, 2,..., N . <k > <k > Формулы обращения спектральных характеристик M% i (1,0 ) и R%ij (1,0 ) аналогичны (29), (30), а именно ¥ m% i< k > ( t ) = S -1 éë M% i< k > (1, 0 ) ùû = å M% i<;ik0 > × q ( i0 , t ) , i0 = 0 (31) ¥ R%ij< k > ( t ) = S -1 éë R%ij< k > (1,0 ) ùû = å R%ij<;ki0> × q ( i0 , t ) , i0 = 0 (32) <k > <k > <k > <k > где M% i ;i0 и R%ij ;i0 – элементы спектральных характеристик M% i (1, 0 ) и R%ij (1,0 ) соответственно, t Î T , i, j = 1,2,..., n , k = 1, 2,..., N . <k > Запишем формулу обращения для спектральной характеристики P (1,0 ) : ¥ P < k > ( t ) = S -1 éë P < k > (1,0 ) ùû = å Pi0< k > × q ( i0 , t ) , i0 = 0 (33) <k > <k > где Pi0 – элементы спектральной характеристики P (1,0 ) , t Î T , k = 1, 2,..., N . Замечания. <k > <k > 1. В одномерном случае функции R ( t ) , R ( t ) и R% ( t ) будем обозначать через D ( t ) , D < k > ( t ) и D% < k > ( t ) , а их спектральные характеристики – через D (1,0 ) , D < k > (1,0 ) и D% < k > (1,0 ) соответственно. 2. Формулы (24), (26)–(28) могут быть записаны с использованием спектральных характеристик линейных функционалов M xi и M xi x j (см. (14) и (15)). 3. Как и в случае стохастических систем с фиксированной структурой, можно получить соотношения для спектральных характеристик начальных и центральных моментов любого порядка, причем как взвешенных, так и условных. Определение маргинальных и условных плотностей вероятности Пусть f ( t , x ) – плотность вероятности вектора состояния стохастической системы управления, x Î W = R n . Не ограничивая общности, будем рассматривать маргинальную плотность вероятности ( ) ò f (t, x ) dx( ) , f(1) t , x(1) = (34) 2 R n-m где 1 £ m < n , x(1) = [ x1 x2 ... xm ] Î R m , x( 2) = [ xm +1 ... xn ] Î R n - m , и условную плотность T T вероятности ( ) f( 2|1) t , x( 2 ) | x(1) = f (t, x ) ( f(1) t , x(1) ). (35) Будем предполагать, что функции базисной системы {e ( i , i ,..., i , t , x )} ¥ 0 1 n i0 , i1 ,..., in = 0 пространства L2 (T ´ R n ) порождаются всевозможными произведениями функций базисных систем {q ( i0 , t )}i = 0 , 0 ¥ { p (i , i ,..., i , x )} ¥ (1) 1 2 m (1) i1 , i2 ,..., im = 0 и { p (i ( 2) m +1 ,..., in , x( 2) )} ¥ im+1 ,..., in = 0 , которые в свою очередь являются m n-m базисами пространств L2 (T ) , L2 ( R ) и L2 ( R ) соответственно. Обозначим через J ( 2) n-m линейный функционал, определенный на пространстве L2 ( R ) , который ставит в соответствие ( ) h x( 2) Î L2 ( R n - m ) функции ( ) f(1) t , x(1) = J ( 2 )f значение ( t , x ) при фиксированных t интеграла ò R n-m ( ) h x( 2) dx( 2) . Следовательно, и x(1) . Из теоремы 4 и замечания к ней следует, что спектральная характеристика F (1) ( m + 1,0 ) ( ) { ( функции f(1) t , x(1) , определенная относительно базисной системы q ( i0 , t ) p(1) i1 ,..., im , x(1) )} ¥ i0 , i1 ,..., im = 0 , задается следующим выражением: ( ) F (1) ( m + 1,0 ) = E (1,1) Ä E ( m, m ) Ä J ( 2 ) ( 0, n - m ) × F ( n + 1,0 ) , (36) где E (1,1) – двумерная единичная матрица, E ( m, m ) – единичная матрица размерности 2m , J ( 2) ( 0, n - m ) – спектральная характеристика функционала J базисной системы { ( p( 2) im +1 ,..., in , x( 2) )} ¥ im+1 ,..., in = 0 ( 2) , определенная относительно , F ( n + 1,0 ) – спектральная характеристика функции f ( t , x ) , определенная относительно базисной системы {e ( i0 , i1 ,..., in , t , x )}i , i ,..., i ¥ 0 1 n =0 . Формула обращения для спектральной характеристики F (1) ( m + 1, 0 ) имеет вид: ( ) f(1) t , x(1) = S -1 éëF(1) ( m + 1,0 ) ùû = ¥ å i0 , i1 ,..., im = 0 ( ) F(1) ;i0 ,i1 ,...,im × q ( i0 , t ) × p(1) i1 ,..., im , x(1) , (37) m где F (1);i0 , i1 ,...,im – элементы спектральной характеристики F (1) ( m + 1,0 ) , t Î T , x(1) Î R . Перейдем к определению спектральной характеристики условной плотности вероятности ( ) ( ) ( f( 2|1) t , x( 2 ) | x(1) . Перепишем формулу (35) в виде f ( t , x ) = f(1) t , x(1) f( 2|1) t , x( 2 ) | x(1) ) и применим спектральное преобразование к левой и правой части полученного выражения. Тогда из свойства спектрального преобразования произведения функций следует, что F ( n + 1,0 ) = F (1) ( n + 1, n + 1) × F ( 2|1) ( n + 1,0 ) , ( ) где F (1) ( n + 1, n + 1) – спектральная характеристика оператора умножения на функцию f(1) t , x(1) , определенная относительно базисной {e ( i , i ,..., i , t , x )} ¥ системы 0 ( 1 n i0 , i1 ,..., in = 0 , F ( 2|1) ( n + 1,0 ) – ) спектральная характеристика функции f( 2|1) t , x( 2 ) | x(1) , определенная относительно той же ) не F (1) ( n + 1, n + 1) = F (1) ( m + 1, m + 1) Ä E ( n - m, n - m ) , где базисной системы. ( f(1) t , x(1) Функция зависит F (1) ( m + 1, m + 1) ( x( 2) , от – поэтому спектральная ) характеристика оператора умножения на функцию f(1) t , x(1) , определенная относительно базисной системы {q (i , t ) p (i ,..., i , x )} ¥ 0 (1) 1 m (1) i0 , i1 ,..., im = 0 , E ( n - m, n - m ) – единичная матрица размерности 2 ( n - m ) . Спектральная характеристика F (1) ( m + 1, m + 1) в свою очередь выражается через спектральную характеристику F (1) ( m + 1,0 ) [4,5]: ( ) F (1) ( m + 1, m + 1) = V (1, 2 ) Ä V% ( m, 2m ) e F (1) ( m + 1, 0 ) , где V (1,2 ) – спектральная характеристика множительного звена, определенная относительно ¥ базисной системы {q ( i0 , t )}i0 = 0 , а V% ( m, 2m ) – спектральная характеристика множительного звена, { ( определенная относительно базисной системы p(1) i1 , i2 ,..., im , x(1) F ( n + 1,0 ) = (((V (1,2 ) Ä V% ( m,2m )) e F (1) )} ¥ i1 , i2 ,..., im = 0 . Таким образом, ( m + 1,0 ) ) Ä E ( n - m, n - m ) ) × F ( 2|1) ( n + 1,0 ) и, следовательно, F ( 2|1) ( n + 1,0 ) = (((V (1,2) Ä V% ( m, 2m )) e F (1) ( m + 1,0 ) ) Ä E ( n - m, n - m ) ) -1 × F ( n + 1,0 ) . Учитывая свойства операций над многомерными матрицами, окончательно получаем выражение для спектральной характеристики условной плотности вероятности: (( ) F ( 2|1) ( n + 1,0 ) = æç V (1,2 ) Ä V% ( m, 2m ) e F (1) ( m + 1,0 ) è ) -1 Ä E ( n - m, n - m ) ö÷ × F ( n + 1,0 ) . ø (38) ( Для перехода от спектральной характеристики F ( 2|1) ( n + 1,0 ) к функции f( 2|1) t , x( 2 ) | x(1) ) применяется формула обращения ( ) f( 2|1) t , x( 2 ) | x(1) = S -1 éëF ( 2|1) ( n + 1, 0 ) ùû = ¥ å i0 ,i1 ,...,in = 0 F ( 2|1);i0i1...in × e ( i0 , i1 ,..., in , t , x ), (39) m n-m где F ( 2|1);i0 i1 ...in – элементы спектральной характеристики F ( 2|1) ( n + 1,0 ) , t Î T , x(1) Î R , x( 2) Î R . Пример 6. Найдем выражения для спектральных характеристик маргинальной плотности вероятности f1 ( t , x1 ) и условной плотности вероятности f2|1 ( t , x2 | x1 ) по известной спектральной характеристике плотности вероятности f ( t , x1 , x2 ) вектора состояния двумерной стохастической системы. Пусть {q ( i , t )} пространства f2|1 ( t , x2 | x1 ) = ¥ 0 i0 = 0 – базис пространства L2 (T ) , а L2 ( R ) . В рассматриваемом { p ( i , x )} ¥ 1 1 1 i1 = 0 примере f ( t , x1 , x2 ) , поэтому соотношения (36) и (38) примут вид: f1 ( t , x1 ) F1 ( 2,0 ) = ( E (1,1) Ä E (1,1) Ä J 2 ( 0,1) ) × F ( 3,0 ) , и { p ( i , x )} ¥ 2 2 2 i2 = 0 – базисы f1 ( t , x1 ) = ò f ( t , x1 , x2 ) dx2 , R где F1 ( 2,0 ) – спектральная характеристика функции f1 ( t , x1 ) , определенная относительно базисной системы {q ( i0 , t ) p1 ( i1 , x1 )}i0 , i1 = 0 , J 2 ( 0,1) – спектральная характеристика функционала J ¥ (см. пример 2), определенная относительно базисной системы { p ( i , x )} ¥ 2 2 2 i2 = 0 , F ( 3,0 ) 2 – спектральная характеристика функции f ( t , x1 , x2 ) , определенная относительно базисной системы {q ( i , t ) p (i , x ) p (i , x )} ¥ 0 1 1 F 2|1 ( 3,0 ) = 1 2 2 2 ; i0 , i1 , i2 = 0 (((V (1,2) Ä V% (1,2)) e F ( 2,0)) -1 1 ) Ä E (1,1) × F ( 3,0 ) , где F 2|1 ( 3,0 ) – спектральная характеристика функции f2|1 ( t , x2 | x1 ) , определенная относительно базисной системы {q ( i , t ) p ( i , x ) p ( i , x )} ¥ 0 1 1 1 2 2 2 i0 , i1 , i2 = 0 , V (1,2 ) – спектральная характеристика множительного звена, определенная относительно базисной системы {q ( i , t )} ¥ 0 i0 = 0 , а V% (1,2 ) – спектральная характеристика множительного звена, определенная относительно базисной системы { p ( i , x )} ¥ 1 1 1 i1 = 0 . Переход от спектральных характеристик F1 ( 2,0 ) и F 2|1 ( 3,0 ) к соответствующим плотностям вероятности осуществляется по формулам обращения (37), (39): f1 ( t , x1 ) = S -1 éëF1 ( 2,0 ) ùû = ¥ åF 1; i0 , i1 i0 , i1 = 0 f2|1 ( t , x2 | x1 ) = S -1 éëF 2|1 ( 3,0 ) ùû = × q ( i0 , t ) × p1 ( i1 , x1 ) , ¥ å i0 , i1 , i2 = 0 F 2|1;i0 i1i2 × q ( i0 , t ) × p1 ( i1, x1 ) × p2 ( i2 , x2 ) , где F1;i0 , i1 и F 2|1;i0 i1i2 – элементы спектральных характеристик F1 ( 2,0 ) и F 2|1 ( 3,0 ) соответственно, t Î T , x1 , x2 Î R . Замечание. Соотношения < (34)–(39) с точностью до обозначений справедливы для маргинальных и условных плотностей вероятности вектора состояния систем управления со случайными изменениями структуры. Примеры вероятностного анализа стохастических систем Приведем примеры вероятностного анализа стохастической системы с фиксированной структурой и системы со случайными изменениями структуры с использованием спектральной формы математического описания систем управления. Замечание. При решении задач анализа и синтеза спектральным методом на вычислительных машинах можно оперировать только с конечными матрицами, поэтому спектральные характеристики функций, линейных операторов и линейных функционалов усекаются по всем измерениям бесконечного порядка до некоторого порядка L , называемого порядком усечения. Методика вычисления погрешности расчета, обусловленной усечением матриц, приведена в [3–5]. Пример 7. Рассмотрим задачу вероятностного анализа линейной стационарной детерминированной системы второго порядка, заданной уравнением X&& + X = 0 , где t Î T = [ 0,2p ] , X Î R , с начальным условием X ( 0 ) = X 0 , X& ( 0 ) = X& 0 , причем X 0 и X& 0 – независимые случайные величины, имеющие гауссовское распределение с математическим ожиданием m = 1 и дисперсией D =1 2 . Поскольку начальное условие для рассматриваемой системы является случайной величиной, решение X ( t ) представляет собой случайный процесс, следовательно, задача состоит в нахождении плотности вероятности состояния системы. Отметим, что данная задача относится к классу задач анализа систем управления ансамблем траекторий [8]. Сделаем замену переменных. Пусть X 1 = X , а X 2 = X& , тогда исходное дифференциальное уравнение сводится к следующей системе дифференциальных уравнений: ìï X& 1 = X 2 , í& ïî X 2 = - X 1 , начальные условия для которой определяются выражениями X 1 ( 0 ) = X 0 и X 2 ( 0 ) = X& 0 . Эту систему можно рассматривать как частный случай двумерной стохастической системы с функцией сноса éx ù f ( t , x1 , x2 ) = ê 2 ú ë - x1 û и нулевой матрицей диффузии Следовательно, плотность вероятности f ( t , x1 , x2 ) вектора [ X1 [14], X2 ] T é0 0ù g ( t , x1 , x2 ) = ê ú. ë0 0û т.е. удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка-Колмогорова [14,19] ¶f ( t , x1 , x2 ) ¶t = - x2 ¶f ( t , x1 , x2 ) ¶x1 + x1 ¶f ( t , x1 , x2 ) с начальным условием f ( 0, x1 , x2 ) = ¶x2 ( ) 1 2 2 exp - ( x1 - 1) - ( x2 - 1) и нулевыми краевыми условиями. p { } Выберем в качестве базисной системы пространства L2 (T ) полиномы Лежандра Pi0 ( t ) [4,5], а для пространства L2 ( R ) – функции Эрмита {F ( x )} ¥ i1 1 i1 = 0 { } и F i2 ( x2 ) ¥ i2 = 0 ¥ i0 = 0 с параметрами m=0 и D= 1 [13,15]. 2 Пусть P (1,1) – двумерная нестационарная передаточная функция дифференцирующего звена первого рода, определенная относительно системы полиномов Лежандра [4,5], q (1,0;0 ) – вектор значений функций этой системы при t = 0 ; P (1,1) – двумерная нестационарная передаточная функция дифференцирующего звена второго рода, определенная относительно системы функций Эрмита [13]; F1 ( 3,3) и F2 ( 3,3) – спектральные характеристики операторов умножения на функции f1 ( t , x1 , x2 ) = x2 и f 2 ( t , x1 , x2 ) = - x1 соответственно, определенные относительно базисной системы {P (t ) F ( x ) F ( x )} ¥ i0 i1 1 i2 2 i0 , i1 , i2 = 0 , F ( 3,0 ) – спектральная характеристика плотности вероятности f ( t , x1 , x2 ) , определенная относительно той же базисной системы, а F 0 ( 2,0 ) – спектральная характеристика начальной плотности вероятности { } относительно базисной системы F i1 ( x1 ) F i2 ( x2 ) ¥ i1 , i2 = 0 f ( 0, x1 , x2 ) , определенная . Применяя спектральное преобразование к левой и правой части уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова с учетом начальных и краевых условий [1,2] и принимая во внимание тот факт, что матрица двумерной нестационарной передаточной функции дифференцирующего звена второго рода, определенной относительно системы функций Эрмита, является кососимметрической [13], получаем уравнение обобщенной характеристической функции [2,3]: Pt ( 3,3) × F ( 3,0 ) - q (1,0;0 ) Ä F 0 ( 2,0 ) = = - P1x ( 3,3) × F1 ( 3,3) × F ( 3,0 ) - P2x ( 3,3) × F2 ( 3,3 ) × F ( 3,0 ) , где спектральные характеристики операторов дифференцирования первого порядка по времени и координатам x1 и x2 задаются соотношениями Pt ( 3,3) = P (1,1) Ä E (1,1) Ä E (1,1) , P1x ( 3,3) = E (1,1) Ä P (1,1) Ä E (1,1) , P2x ( 3,3) = E (1,1) Ä E (1,1) Ä P (1,1) . Выражая из полученного уравнения неизвестную спектральную характеристику F ( 3,0 ) , получаем следующее выражение: F ( 3,0 ) = ( P t ( 3,3) + P1x ( 3,3) × F1 ( 3,3 ) + P2x ( 3,3) × F2 ( 3,3 ) ) × ( q (1,0;0 ) Ä F 0 ( 2,0 ) ) . -1 Так как состоянием исходной системы является координата X 1 , то необходимо найти маргинальную плотность характеристику F1 ( 2,0 ) вероятности функции f1 ( t , x1 ) = ò f ( t , x1 , x2 ) dx2 , f1 ( t , x1 ) R можно причем спектральную через спектральную выразить характеристику F ( 3, 0 ) , используя теорему 4 и результаты, полученные в примере 6. Тогда F1 ( 2,0 ) = ( E (1,1) Ä E (1,1) Ä J 2 ( 0,1) ) × F ( 3,0 ) , где J 2 ( 0,1) – спектральная характеристика функционала J 2 (см. пример 2), определенная относительно системы функций Эрмита. По формуле обращения получаем, что f1 ( t , x1 ) = S -1 éëF 2 ( 2,0 ) ùû = ¥ å F¢ i0 , i1 = 0 i0 i1 × Pi0 ( t ) × F i1 ( x1 ) , где F¢i0i1 – элементы спектральной характеристики F1 ( 2, 0 ) , t Î T , x1 Î R . График функции f1 ( t , x1 ) и графики ее сечений при различных значениях переменной времени t изображены на рис. 1 и 2 соответственно (порядок усечения спектральных характеристик равен восьми). 1 t0 t , x1 1 t 3 x t 2 t2 t t , x1 2 t Рис. 1. Плотность вероятности состояния системы. Рис. 2. Плотность вероятности состояния системы в различные моменты времени. Вычислим математическое ожидание состояния системы m ( t ) = M éë X 1 ( t ) ùû , для этого воспользуемся результатами, полученными в примере 5: M (1, 0 ) = ( E (1,1) Ä J1 ( 0,1) ) × ( E (1,1) Ä X 1 (1,1) ) × F1 ( 2, 0 ) , где M (1, 0 ) – спектральная характеристика функции m ( t ) , определенная относительно системы полиномов Лежандра, J1 ( 0,1) – спектральная характеристика функционала J 1 (см. пример 2), определенная относительно системы функций Эрмита, а X 1 (1,1) – спектральная характеристика оператора умножения на функцию a ( x1 ) = x1 , также определенная относительно системы функций Эрмита. Переход от спектральной характеристики M (1, 0 ) к соответствующей функции времени осуществляется по формуле (7): ¥ m ( t ) = S -1 éë M (1,0 ) ùû = å M i0 × Pi0 ( t ) , i0 = 0 где M i0 – элементы спектральной характеристики M (1, 0 ) , t Î T . Для проверки точности проведенных расчетов определим функцию m ( t ) другим способом. && + m = 0 . Найдем математическое ожидание левой и правой части уравнения X&& + X = 0 , тогда m Аналогичным образом можно получить начальные условия, а именно m ( 0 ) = 1 , m& ( 0 ) = 1 . && + m = 0 с учетом начальных условий, получаем Интегрируя дифференциальное уравнение m выражение для математического ожидания состояния системы: m ( t ) = cos t + sin t . На рис. 3 сплошной линией изображен график математического ожидания, полученного спектральным методом, а пунктиром – график функции m ( t ) = cos t + sin t . Как видно из результатов, спектральный метод обеспечивает достаточную точность даже при небольших порядках усечения спектральных характеристик. m t Рис. 3. Математическое ожидание состояния системы. < Пример 8. Найдем ненормированные плотности вероятности и моментные характеристики состояния одномерной системы стабилизации [17]. Первая структура этой системы изображена на рис. 4. При выходе координаты X из множества [ -D 0 , D 0 ] возможен срыв стабилизации и переход в режим поиска (рис. 5), причем интенсивность этого перехода постоянна и равна c1 . V k x0 V X x0 k X p+1 p+1 Рис. 5. Вторая структура системы стабилизации. Рис. 4. Первая структура системы стабилизации. В режиме поиска при попадании координаты X в область [ -D, D ] , где D > D 0 , система может перейти обратно в первое состояние, таким образом, осуществляется захват сигнала. Интенсивность захвата также постоянна и равна c2 . На рис. 4 и 5 используются следующие обозначения: V – стандартный гауссовский белый шум; k , x , x0 – числовые параметры. Отрезок времени функционирования системы T = [ 0,1] . Распределение начального состояния X ( 0 ) = X 0 определяется ненормированными плотностями <1> <2> вероятности f0 ( x ) = afN ( x ) , f0 ( x ) = (1 - a ) fN ( x ) , где fN ( x ) – плотность вероятности стандартной гауссовской случайной величины, 0 £ a £ 1 . Изменение состояния системы стабилизации для первой структуры описывается æ k +1 x ö k X ( t ) + 0 ÷ + dW (см. рис. 4). Так стохастическим дифференциальным уравнением dX = ç x ø x è x как переход в состояние поиска происходит вне отрезка [ -D 0 , D0 ] с интенсивностью c1 , то ( ) <1> соответствующая функция поглощения [16–18] имеет вид b12 ( t , x ) = c1 1 - I [-D0 , D0 ] ( x ) f ( t , x ) , где I [-D0 , D0 ] ( x ) – индикатор множества [ -D 0 , D 0 ] (см. [10]), f <1> ( t , x ) – ненормированная плотность вероятности состояния для первой структуры. æ 1 x ö k Для второй структуры справедливо уравнение dX = ç - X ( t ) + 0 ÷ + dW (см. рис. 5). x ø x è x Функция поглощения, характеризующая обратный переход в состояние захвата, задается <2> <2> формулой b21 ( t , x ) = c2 I [-D , D] ( x )f ( t , x ) , где I [-D , D] ( x ) – индикатор множества [ -D, D ] , f ( t , x ) – ненормированная плотность вероятности состояния для второй структуры. <1> <2> Ненормированные плотности вероятности f ( t , x ) и f ( t , x ) удовлетворяют системе обобщенных уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова [16–18], которые в рассматриваемом случае записываются следующим образом: ¶f <1> ( t , x ) ¶t ( 1¶ = x ( ( ( k + 1) x - x )f 0 ) ¶x <1> (t, x )) 2 <1> k 2 ¶ f (t, x ) + 2 2x ¶x 2 - c1 1 - I [ -D0 ,D0 ] ( x ) f <1> ( t , x ) + c2 I [-D ,D ] ( x ) f < 2> ( t , x ) , ¶f < 2> ( t , x ) ¶t <2> 2 <2> 1 ¶ ( ( x - x0 ) f ( t , x ) ) k 2 ¶ f ( t , x ) = + 2 x ¶x 2x ¶x 2 ( ) - c2 I [-D ,D ] ( x ) f < 2> ( t , x ) + c1 1 - I [-D0 ,D0 ] ( x ) f <1> ( t , x ) . 2 Данные уравнения следует интегрировать с начальными условиями f <1> a - x2 e , ( 0, x ) = 2p 2 f <2> 1 - a - x2 <1> < 2> и краевым условием f ( t , x ) x = ±¥ = f ( t , x ) x = ±¥ = 0 . e ( 0, x ) = 2p { } Выберем в качестве базисной системы пространства L2 (T ) полиномы Лежандра Pi0 ( t ) для пространства L2 ( R ) – функции Эрмита {F ( x )} ¥ i1 i1 = 0 ¥ i0 = 0 ,а с параметрами m = 0 и D = 1 . Пусть P (1,1) – двумерная нестационарная передаточная функция дифференцирующего звена первого рода, определенная относительно системы полиномов Лежандра, q (1,0;0 ) – вектор значений функций этой системы при t = 0 ; P (1,1) – двумерная нестационарная передаточная функция дифференцирующего звена второго рода, определенная относительно системы функций Эрмита; X (1,1) , I1 (1,1) и I 2 (1,1) – спектральные характеристики операторов умножения на функции a ( x ) = x , I [-D0 , D0 ] ( x ) и I [-D , D ] ( x ) соответственно, а F N (1,0 ) – спектральная характеристика функции fN ( x ) . Спектральные характеристики X (1,1) , I1 (1,1) , I 2 (1,1) и F N (1,0 ) определены <1> <2> относительно системы функций Эрмита; F ( 2,0 ) и F ( 2,0 ) – спектральные характеристики <1> <2> функций f ( t , x ) и f ( t , x ) соответственно, определенные относительно базисной системы {P ( t ) F ( x )} ¥ i0 i1 i0 , i1 = 0 . Запишем уравнения обобщенных характеристических функций для рассматриваемой системы стабилизации [6]: ìï P t ( 2,2 ) × F <1> ( 2,0 ) - A11 ( 2,2 ) × F <1> ( 2,0 ) - A12 ( 2,2 ) × F < 2 > ( 2,0 ) = q (1,0;0 ) Ä F <01> (1,0 ) , í t <2> <1> <2> <2> ïî P ( 2,2 ) × F ( 2,0 ) - A21 ( 2,2 ) × F ( 2,0 ) - A22 ( 2,2 ) × F ( 2,0 ) = q (1,0;0 ) Ä F 0 (1,0 ) , где P t ( 2,2 ) = P (1,1) Ä E (1,1) , æ æ k +1 x öö A11 ( 2, 2 ) = - ( E (1,1) Ä P (1,1) ) × ç E (1,1) Ä ç X (1,1) + 0 E (1,1) ÷ ÷ + x è x øø è 2 k + 2 ( E (1,1) Ä P 2 (1,1) ) - c1 E (1,1) Ä ( E (1,1) - I1 (1,1) ) , 2x ( ) ( A12 ( 2,2 ) = c2 ( E (1,1) Ä I 2 (1,1) ) , ) A21 ( 2, 2 ) = c1 E (1,1) Ä ( E (1,1) - I1 (1,1) ) , æ æ 1 öö x A11 ( 2, 2 ) = - ( E (1,1) Ä P (1,1) ) × ç E (1,1) Ä ç - X (1,1) + 0 E (1,1) ÷ ÷ + x è x øø è k2 + 2 ( E (1,1) Ä P 2 (1,1) ) - c2 ( E (1,1) Ä I 2 (1,1) ) , 2x F <01> (1, 0 ) = aF N (1, 0 ) , F <0 2 > (1, 0 ) = (1 - a ) F N (1, 0 ) . Известно [6], что решение полученной системы уравнений определяется следующим образом: ( ( 2, 2 ) ) × ( q (1,0;0 ) Ä F ) F <1> ( 2,0 ) = ( Z11 ( 2,2 ) - G1 ( 2,2 ) × Z 21 ( 2,2 ) ) × q (1,0;0 ) Ä F 0<1> (1,0 ) - G1 ( 2,2 ) × ( q (1,0;0 ) Ä F 0< 2 > (1,0 ) ) , -1 F < 2 > ( 2,0 ) = ( Z 22 ( 2, 2 ) - G 2 ( 2, 2 ) × Z12 -1 <2> 0 (1,0 ) - G2 ( 2,2 ) × ( q (1,0;0 ) Ä F 0<1> (1,0 ) ) ), где Z11 ( 2, 2 ) = P t ( 2,2 ) - A11 ( 2,2 ) , Z12 ( 2, 2 ) = - A12 ( 2,2 ) , Z 21 ( 2,2 ) = - A21 ( 2, 2 ) , Z 22 ( 2,2 ) = P t ( 2,2 ) - A22 ( 2,2 ) , G1 ( 2, 2 ) = Z12 ( 2, 2 ) × Z 22-1 ( 2,2 ) , G 2 ( 2, 2 ) = Z 21 ( 2, 2 ) × Z11-1 ( 2,2 ) . <1> <2> Переход от спектральных характеристик F ( 2,0 ) и F ( 2,0 ) к соответствующим плотностям вероятности осуществляется по формуле обращения: f < k > ( t , x ) = S -1 éëF < k > ( 2, 0 ) ùû = ¥ åF i0 ,i1 = 0 <k > i0i1 × Pi0 ( t ) × F i1 ( x ) , <k > <k > где F i0i1 – элементы спектральной характеристики F ( 2,0 ) , t Î T , x Î R , k = 1,2 . <1> <2> На рис. 6–9 изображены графики функций f ( t , x ) , f ( t , x ) и их сечений при различных значениях переменной времени t (порядок усечения спектральных характеристик равен шестнадцати), причем при расчете были выбраны следующие параметры системы стабилизации: a = 0.7, k = 1.4, x0 = 2, x = 0.5, D 0 = 2, D = 2.5, c1 = 2, c2 = 0.4 . 1 t, x 1 t, x t 0.1 t0 t 0.25 t1 x t Рис. 6. Плотность вероятности состояния системы стабилизации в режиме захвата. 2 Рис. 7. Плотность вероятности состояния системы стабилизации в режиме захвата при различных значениях переменной времени. t, x t0 2 t 0.1 t 0.25 t, x t1 x t Рис. 8. Плотность вероятности состояния системы стабилизации в режиме поиска. Рис. 9. Плотность вероятности состояния системы стабилизации в режиме поиска при различных значениях переменной времени. Перейдем к определению вероятностей работы структур и взвешенных моментных характеристик. Воспользуемся формулой (25), тогда спектральные характеристики функций P <1> ( t ) и P < 2 > ( t ) определяются соотношением P < k > (1,0 ) = ( E (1,1) Ä J ( 0,1) ) × F < k > ( 2,0 ) , k = 1,2 , где J ( 0,1) – спектральная характеристика функционала J (см. примеры 1 и 5), определенная относительно системы функций Эрмита. <1> < 2> Для перехода от спектральных характеристик P (1,0 ) и P (1,0 ) к соответствующим функциям времени используется формула обращения (33): ¥ P < k > ( t ) = S -1 éë P < k > (1,0 ) ùû = å Pi0< k > × Pi0 ( t ) , i0 = 0 <k > <k > где Pi0 – элементы спектральной характеристики P (1,0 ) , t Î T , k = 1,2 . На рис. 10 изображены графики вероятностей работы структур, полученных спектральным методом (сплошная линия) и методом ортогонального разложения (пунктир) [20]. Спектральные характеристики взвешенных математического ожидания и дисперсии состояния системы стабилизации определяются соотношениями (24) и (26), которые в данном случае принимают вид: M < k > (1,0 ) = ( E (1,1) Ä J ( 0,1) ) × ( E (1,1) Ä X (1,1) ) × F< k > ( 2,0 ) , D < k > (1,0 ) = ( E (1,1) Ä J ( 0,1) ) × ( E (1,1) Ä X 2 (1,1) ) × F < k > ( 2,0 ) - (V (1, 2 ) e P < k > (1,0 ) ) × (V (1,2 ) e M < k > (1,0 ) ) × M < k > (1,0 ) , -1 где V (1,2 ) – спектральная характеристика множительного звена, определенная относительно системы полиномов Лежандра, k = 1,2 . Рис. 10. Вероятности работы системы стабилизации в режимах захвата и поиска. <k > <k > Переход от спектральных характеристик M (1,0 ) и D (1,0 ) к соответствующим функциям времени осуществляется по формулам обращения: ¥ m< k > ( t ) = S -1 éë M < k > (1,0 ) ùû = å M i<0 k > × Pi0 ( t ) , i0 = 0 ¥ D < k > ( t ) = S -1 éë D < k > (1,0 ) ùû = å Di<0 k > × Pi0 ( t ) , i0 = 0 <k > <k > <k > <k > где M i0 и Di0 – элементы спектральных характеристик M (1,0 ) и D (1,0 ) соответственно, k = 1,2 . Математическое ожидание и дисперсия состояния системы стабилизации определяются выражениями m ( t ) = m <1> (t ) + m < 2> 2 é m< k > ( t ) ) ù ( < k > ú - m2 (t ) . (t ) и D (t ) = å ê D (t ) + < k > P (t ) ú k =1 ê ë û 2 Графики взвешенных моментных характеристик состояния системы стабилизации и графики функций m ( t ) и D ( t ) показаны на рис. 11 и 12, причем сплошной линией изображены графики функций, полученных спектральным методом, а пунктиром – графики функций, полученных методом ортогонального разложения. На рис. 10 и 11 видно, что графики функций, полученных спектральным методом и методом ортогонального разложения, практически совпадают, а на рис. 12 заметны расхождения. Это объясняется тем, что дисперсия не может быть представлена в виде значения линейного функционала (см. (11), (20) и (23)), что приводит к необходимости использования свойства спектрального преобразования произведения функций, или недостаточной точностью метода ортогонального разложения. Тем не менее, точность вычислений может быть повышена посредством увеличения порядка усечения спектральных характеристик. m t D t m 1 t m 2 D 2 t t D 1 t Рис. 11. Математическое ожидание состояния системы стабилизации. Рис. 12. Дисперсия состояния системы стабилизации. < Замечание. Все расчеты проводились с помощью специализированного программного обеспечения спектрального метода анализа и синтеза систем управления Spectrum [21]. Приложение 1 Многомерные матрицы Пусть m1 и m2 – заданные натуральные числа, M = m1 + m2 . Каждый из индексов i1 , i2 ,..., im1 , j1 , j2 ,..., jm2 пробегает бесконечный ряд целых неотрицательных чисел, т.е. i1 = 0,1, 2,..., i2 = 0,1, 2,..., ..., im1 = 0,1,2,..., j1 = 0,1,2,..., j2 = 0,1,2,..., ..., jm2 = 0,1, 2,... Упорядоченная совокупность в общем случае комплексных чисел Ai1i2 ...im1 j1 j2 ... jm2 называется многомерной матрицей размерности M , имеющей m1 строчных и m2 столбцовых индексов, и обозначается A ( m1 , m2 ) или (A i1i2 ...im1 j1 j2 ... jm2 ). Таким образом, первые m1 индексов являются строчными, а остальные – столбцовыми. Числа Ai1i2 ...im1 j1 j2 ... jm2 называются элементами многомерной матрицы. Разделение множества индексов на строчные и столбцовые позволяет задать структуру многомерной матрицы. Например, упорядоченную совокупность чисел X 0 , X 1 , X 2 ,... можно éX0 ù êX ú 1 интерпретировать как матрицу–столбец, тогда в принятых обозначениях X (1, 0 ) = ê ú . Эту же êX2ú ê ú ë M û совокупность X ( 0,1) = [ X 0 чисел X1 можно рассматривать как матрицу–строку, и тогда X2 L ]. Двумерная матрица A (1,1) представляется в виде прямоугольной таблицы чисел, т.е. é A00 êA A (1,1) = ê 10 ê A20 ê ë M A01 A11 A21 M A02 A12 A22 M Lù Lúú . Способ представления многомерных матриц в случае, когда Lú ú Oû количество строчных или столбцовых индексов больше единицы, изложен в [12]. Если элементы многомерной матрицы A ( m1 , m2 ) являются функциями времени, то эту зависимость целесообразно указывать в обозначении матрицы, отделяя переменную t от количества строчных и столбцовых индексов точкой с запятой, т.е. A ( m1 , m2 ; t ) . Многомерная матрица A ( m1 , m2 ) , у которой количество строчных и столбцовых индексов совпадает, т.е. m1 = m2 , называется гиперквадратной. Многомерная матрица A ( m1 , m2 ) называется гиперстрочной, если все ее индексы являются столбцовыми, т.е. m1 = 0 , и гиперстолбцовой, если все ее индексы строчные, т.е. m2 = 0 . Матрицу вида A ( 0,0 ) следует понимать как число. Рассмотрим основные операции над многомерными матрицами. 1. Суммой (разностью) ( B ( m1 , m2 ) = Bi1i2 ...im j j ... jm2 1 1 2 ) многомерных называется многомерная ( j j ... jm2 1 1 2 ( j j ... jm2 1 1 2 A ( m1 , m2 ) = Ai1i2 ...im матриц C ( m1 , m2 ) = Ci1i2 ...im матрица ) и ), т.е. C ( m1 , m2 ) = A ( m1 , m2 ) + B ( m1 , m2 ) ( C ( m1 , m2 ) = A ( m1 , m2 ) - B ( m1 , m2 ) ) , если Ci1i2 ...im j j ... jm2 1 1 2 = Ai1i2 ...im j j ... jm2 1 1 2 + Bi1i2 ...im j j ... jm2 1 1 2 (C i1i2 ...im1 j1 j2 ... jm2 = Ai1i2 ...im j j ... jm2 1 1 2 ) - Bi1i2 ...im j j ... jm2 1 1 2 для всех i1 , i2 ,..., im1 = 0,1, 2,... , j1 , j2 ,..., jm2 = 0,1,2,... ( 2. Произведением многомерной матрицы A ( m1 , m2 ) = Ai1i2 ...im1 j1 j2 ... jm2 многомерная Bi1i2 ...im j j ... jm2 1 1 2 ( B ( m1 , m2 ) = Bi1i2 ...im матрица = a Ai1i2 ...im j j ... jm2 1 1 2 многомерных B ( m3 , m2 ) = Bk1k2 ...km j j ... jm2 3 1 2 ), называется B ( m1 , m2 ) = a A ( m1 , m2 ) , т.е. если для всех i1 , i2 ,..., im1 = 0,1,2,... , j1 , j2 ,..., jm2 = 0,1,2,... 3. Произведением ( j j ... jm2 1 1 2 ) на число a ) ( A ( m1 , m3 ) = Ai1i2 ...im k1k2 ...km матриц называется многомерная матрица C ( m1 , m2 ) = A ( m1 , m3 ) × B ( m3 , m2 ) , если Ci1i2 ...im1 j1 j2 ... jm2 = ¥ å k1 , k 2 ,..., km3 = 0 1 3 ( ) и C ( m1 , m2 ) = Ci1i2 ...im j j ... jm2 1 1 2 Ai1i2 ...im k1k2 ...km × Bk1k2 ...km 1 т.е. для всех j j ... jm2 3 1 2 3 ), i1 , i2 ,..., im1 = 0,1,2,... , j1 , j2 ,..., jm2 = 0,1,2,... ( 4. Произведением многомерных матриц A ( m1 ,2m1 ) = Ai1i2 ...im1 j1 j2 ... jm1 k1k2 ...km1 ( ) и B ( m ,0) = ( B 1 k1 k2 ... km1 ) ) называется многомерная матрица C ( m1 , m1 ) = Ci1i2 ...im1 j1 j2 ... jm1 , т.е. C ( m1 , m1 ) = A ( m1 ,2m1 ) e B ( m1 ,0 ) , Ci1i2 ...im если j j ... jm1 1 1 2 ¥ å = k1 , k 2 ,..., km1 = 0 Ai1i2 ...im j j ... jm1 k1 k2 ...km1 1 1 2 × Bk1k2 ...km для 1 i1 , i2 ,..., im1 = 0,1,2,... , всех j1 , j2 ,..., jm1 = 0,1, 2,... 5. Тензорным ( произведением B ( m3 , m4 ) = Bk1k2 ...km l1l2 ...lm 3 4 ( ) 1 j j ... jm2 l1l2 ...l m4 3 1 2 1 j j ... jm2 l1l2 ...lm4 3 1 2 ( A ( m1 , m2 ) = Ai1i2 ...im матриц называется C ( m1 + m3 , m2 + m4 ) = Ci1i2 ...im k1k2 ...km Ci1i2 ...im k1k2 ...km многомерных j j ... jm2 1 1 2 многомерная ) и матрица ) , т.е. C ( m + m , m + m ) = A ( m , m ) Ä B ( m , m ) , если 1 3 2 4 1 2 3 4 = Ai1i2 ...im j1 j2 ... jm × Bk1k2 ...km l1l2 ...lm для всех i1 , i2 ,..., im1 = 0,1,2,... , k1 , k2 ,..., km3 = 0,1, 2,... , 1 2 3 4 j1 , j2 ,..., jm2 = 0,1,2,... , l1 , l2 ,..., lm4 = 0,1, 2,... 6. Многомерная ( B ( m2 , m1 ) = B j1 j2 ... jm i1i2 ...im матрица 2 1 ) ( называется транспонированной ) по отношению к многомерной матрице A ( m1 , m2 ) = Ai1i2 ...im1 j1 j2 ... jm2 , т.е. B ( m2 , m1 ) = éë A ( m1 , m2 ) ùû , если T B j1 j2 ... jm i1i2 ...im = Ai1i2 ...im j1 j2 ... jm для всех i1 , i2 ,..., im1 = 0,1, 2,... , j1 , j2 ,..., jm2 = 0,1,2,... 2 1 1 2 7. Гиперквадратная матрица A-1 ( m1 , m1 ) называется обратной по отношению к гиперквадратной матрице A ( m1 , m1 ) , если справедливо равенство A ( m1 , m1 ) × A-1 ( m1 , m1 ) = A-1 ( m1 , m1 ) × A ( m1 , m1 ) = E ( m1 , m1 ) , где гиперквадратная матрица E ( m1 , m1 ) называется единичной, т.е. для любой гиперквадратной матрицы B ( m1 , m1 ) выполняется тождество B ( m1 , m1 ) × E ( m1 , m1 ) = E ( m1 , m1 ) × B ( m1 , m1 ) = B ( m1 , m1 ) . Свойства операций сложения, вычитания, умножения на число, умножения, тензорного умножения, транспонирования и обращения многомерных матриц приведены в [11,12]. Приложение 2 Спектральные характеристики функций и линейных операторов Пусть x принадлежит множеству W Í R n , а система функций { p ( i , i ,..., i , x )} ¥ 1 2 n i1 , i2 ,..., in = 0 образует базис пространства L2 ( W ) . Гиперстолбцовая матрица ( ) H ( n, 0 ) = H i1i2 ...in , элементы которой представляют собой коэффициенты разложения функции h ( x ) Î L2 ( W ) в ряд по функциям базисной системы { p ( i , i ,..., i , x )} ¥ 1 2 n i1 , i2 ,..., in = 0 , т.е. H i1i2 ...in = ( p ( i1 , i2 ,..., in , x ) , h ( x ) ) L 2 (W) , i1 , i2 ,..., in = 0,1,2,... , называется спектральной характеристикой функции h ( x ) . Отображение, ставящее в соответствие функции h ( x ) ее спектральную характеристику H ( n,0 ) , называется спектральным преобразованием функции h ( x ) и обозначается S : S éë h ( x ) ùû = H ( n,0 ) . Обратный переход от спектральной характеристики H ( n,0 ) к функции h ( x ) осуществляется по формуле обращения: h ( x ) = S -1 éë H ( n,0 ) ùû = ¥ å i1 , i2 ,..., in = 0 H i1i2 ...in × p ( i1 , i2 ,..., in , x ) . Замечание. Понятие спектральных характеристик может быть распространено на более широкий класс функций, в том числе на обобщенные функции [4,5]. Перейдем к определению спектральных характеристик линейных операторов. Пусть A – линейный оператор, ( ) определенный на пространстве L2 ( W ) . Гиперквадратная матрица A ( n, n ) = Ai1i2 ...in j1 j2 ... jn , элементы которой определяются формулой Ai1i2 ...in j1 j2 ... jn = ( p ( i1 , i2 ,..., in , x ) , A p ( j1 , j2 ,..., jn , x ) ) L ( W) , i1 , i2 ,..., in = 0,1,2,... , 2 j1 , j2 ,..., jn = 0,1, 2,... , называется спектральной характеристикой оператора A , а отображение, ставящее в соответствие линейному оператору его спектральную характеристику, также называется спектральным преобразованием и обозначается S : S [ A ] = A ( n, n ) . A Теорема. Пусть L2 ( W ) , – линейный оператор, определенный на пространстве h ( x ) Î L2 ( W ) , A ( n, n ) и H ( n,0 ) – спектральные характеристики оператора A и функции h ( x ) соответственно, определенные относительно базисной системы { p ( i1 , i2 ,..., in , x )}i1 , i2 ,..., in = 0 . Тогда ¥ S éëA h ( x ) ùû = A ( n, n ) × H ( n,0 ) , т.е. спектральная характеристика образа функции h ( x ) равна произведению спектральной характеристики оператора A и спектральной характеристики функции h ( x ) . Доказательство. Обозначим через w ( x ) образ функции h ( x ) , т.е. w ( x ) = A h ( x ) . Представим функцию h ( x ) в виде ряда по функциям базисной системы { p ( i , i ,..., i , x )} ¥ 1 2 n i1 , i2 ,..., in = 0 и воспользуемся свойством линейности оператора A : é ¥ ù w ( x ) = A ê å H j1 j2 ... jn × p ( j1 , j2 ,..., jn , x ) ú = ë j1 , j2 ,..., jn =0 û ¥ å j1 , j2 ,..., jn = 0 H j1 j2 ... jn × A p ( j1 , j2 ,..., jn , x ) . Найдем коэффициенты разложения функции { p ( i , i ,..., i , x )} ¥ 1 2 n i1 , i2 ,..., in = 0 : w( x) по функциям базисной системы ¥ æ ö Wi1i2 ...in = ( p ( i1 , i2 ,..., in , x ) , w ( x ) ) L ( W) = ç p ( i1 , i2 ,..., in , x ) , å H j1 j2 ... jn × A p ( j1 , j2 ,..., jn , x ) ÷ , 2 j1 , j2 ,..., jn = 0 è ø L2 ( W) i1 , i2 ,..., in = 0,1,2,... Учитывая свойства скалярного произведения, получаем, что Wi1i2 ...in = Тогда ¥ å ( p ( i , i ,..., i , x ) , A p ( j , j ,..., j , x ) ) j1 , j2 ,..., jn = 0 по 1 2 n определению W ( n,0 ) = A ( n, n ) × H ( n,0 ) , 1 2 n произведения где W ( n,0 ) L2 × H j1 j2 ... jn = ( W) многомерных – спектральная ¥ å j1 , j2 ,..., jn = 0 Ai1i2 ...in j1 j2 ... jn × H j1 j2 ... jn . матриц справедливо характеристика равенство функции следовательно, S éëA h ( x ) ùû = A ( n, n ) × H ( n,0 ) . Приведем основные свойства спектрального w( x) , < преобразования линейных операторов, определенных на пространстве L2 ( W ) . 1. Спектральная характеристика тождественного оператора I представляет собой 2n -мерную единичную матрицу, т.е. S [ I ] = E ( n, n ) . 2. Спектральная характеристика композиции линейных операторов A и B равна произведению их спектральных характеристик, т.е. S [ A o B ] = A ( n, n ) × B ( n, n ) , где A ( n, n ) = S [ A ] , B ( n, n ) = S [ B ] . 3. Предположим, что для линейного оператора A существует обратный оператор A -1 . Тогда спектральная характеристика обратного оператора равна обратной спектральной характеристике -1 -1 оператора A , т.е. S éëA ùû = A ( n, n ) , где A ( n, n ) = S [ A ] . Замечание. Спектральные характеристики функций из пространств L2 (T ) и L2 (T ´ W ) , где T Í [ 0, +¥ ) и W = R n , а также линейных операторов, заданных на этих пространствах, определяются аналогично и обладают такими же свойствами. Список литературы 1. Семенов В.В. Уравнение обобщенной характеристической функции вектора состояния систем автоматического управления. // Аналитические методы синтеза регуляторов: Межвуз. науч. сб. – Саратов: СПИ, 1977, вып. 2. – с. 3–36. 2. Сотскова И.Л. Применение аппарата обобщенной характеристической функции к анализу стохастических систем управления ЛА. // Задачи стохастического управления: Тем. сб. науч. тр. – М.: МАИ, 1986. – с. 71–78. 3. Semenov V.V., Sotskova I.L. The spectral method for solving Fokker-Planck-Kolmogorov equation for stochastic control system analysis. // Proc. of 2nd IFAC symposium on stochastic control. Preprints, part 1. – 1986. – p. 131–136. 4. Солодовников В.В., Семенов В.В. Спектральная теория нестационарных систем управления. – М.: Наука, 1974. – 336 с. 5. Солодовников В.В., Семенов В.В., Пешель М., Недо Д. Расчет систем управления на ЦВМ: спектральный и интерполяционный методы. – М.: Машиностроение, 1979. – 664 с. 6. Рыбаков К.А., Сотскова И.Л. Анализ систем с переменной структурой в классе обобщенных характеристических функций. // Электронный журнал «Труды МАИ». – 2003, № 11. – http://www.mai.ru (11.04.03). 7. Рыбаков К.А., Сотскова И.Л. Анализ непрерывно-дискретных систем в классе обобщенных характеристических функций. // Теоретические вопросы вычислительной техники и программного обеспечения: Межвуз. сб. науч. тр. – М.: МИРЭА, 2003. – с. 81–89. 8. Пантелеев А.В., Семенов В.В. Синтез оптимальных систем управления при неполной информации. – М.: МАИ, 1992. – 192 с. 9. Рыбаков К.А., Сотскова И.Л. Синтез оптимальных систем с переменной структурой при неполной информации. // Электронный журнал «Труды МАИ». – 2003, № 13. – http://www.mai.ru (21.10.03). 10. Пугачев В.С. Лекции по функциональному анализу. – М.: МАИ, 1996. – 744 с. 11. Соколов Н.П. Введение в теорию многомерных матриц. – Киев: Наукова думка, 1972. – 175 с. 12. Гришин В.Н., Дятлов В.А., Милов Л.Т. Модели, алгоритмы и устройства идентификации сложных систем. – Л.: Энергоатомиздат, 1985. – 104 с. 13. Рыбаков К.А., Сотскова И.Л. Алгоритмическое обеспечение спектрального метода анализа систем управления в неограниченных областях изменения времени и фазовых координат. // Электронный журнал «Труды МАИ». – 2004, № 16. – http://www.mai.ru (28.06.04). 14. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. – М.: Советское радио, 1977. – 488 с. 15. Пугачев В.С., Синицын И.Н. Стохастические фильтрация. – М.: Наука, 1990. – 632 с. дифференциальные системы. Анализ и 16. Артемьев В.М. Теория динамических систем со случайными изменениями структуры. – Минск: Вышэйшая школа, 1979. – 160 с. 17. Казаков И.Е., Артемьев В.М., Бухалев В.А. Анализ систем случайной структуры. – М.: Физматлит, 1993. – 272 с. 18. Федосов Е.А., Инсаров В.В., Селивохин О.С. Системы управления конечным положением в условиях противодействия среды. – М.: Наука, 1989. – 272 с. 19. Красовский А.А. Статистическое исследование переходных процессов в нелинейных системах. // Современные методы проектирования систем автоматического управления. – М.: Машиностроение, 1967. – с. 520–544. 20. Казаков И.Е. Статистическая динамика систем с переменной структурой. - М.: Наука, 1977. – 416 с. 21. Рыбаков К.А. Программное обеспечение спектрального метода Spectrum. // Электронный журнал «Труды МАИ». – 2003, № 14. – http://www.mai.ru (26.12.03). Рыбаков Константин Александрович, аспирант кафедры математической кибернетики Московского авиационного института (государственного технического университета); e-mail: rkoffice@mail.ru, dep805@mai.ru.