Васильев Валерий Александрович Лекция 1 Модели

Васильев Валерий Александрович
Лекция 1
Модели распределения
Имеется несколько участников, некоторый запас продуктов. Вопрос состоит в том, чтобы распределить этот запас продуктов между участниками так, чтобы удовлетворить желания каждого
участника в max степени.
N = {1, . . . , n} – конечное множество . Каждый номер, это номер эк. агента, участника модели
распределения. N – множество участников.
L = {1, . . . , l} – множество продуктов, номенклатура. Нас интересует сколько продуктов и в
каких масштабах измеряются их количества в предположении, что продукты бесконечно делимые.
Предполагаем, что для каждого продукта зафиксирован масштаб измерения (кг, 2 и т.п.).
Поэтому каждый набор продуктов, соответствующий номенклатуре, можно представить как l
l
– мерный вектор : x = (x1 , . . . , xl ), на который накладывается следующее ограничение : x ∈ R+
или x ≥ 0, т.е. все компоненты вектора x – неотрицательные вещественные числа, при этом xk –
количество k-го продукта в наборе x.
Если мы хотим подчеркнуть, что набор продуктов принадлежит участнику номер i , то записываем : xi = (xi1 , . . . , xil ).
Нам надо определить наборы xi , чтобы удовлетворить спрос каждого из участников при некоторых ограничениях.
Пусть у нас имеется исходный запас продуктов : w = (w1 , . . . , wl ), w ≥ 0, где wk – общее
количество продукта номер k .
Будем предполагать, что w 6= 0;, т.е. по крайней мере один из продуктов точно имеется в наличии.
Введем множество X(N ) = Z – совокупность допустимых распределений начального запаса w.
n
P
Z = {(x1 , . . . , xn ) | xi ≥ 0,
xi = w}, т.е. в данном случае (x1 , . . . , xn ) ∈ Z – некоторое конкретное
i=1
распределение исходного запаса w между участниками модели распределения.
l
В дальнейшем элементы xi ∈ R+
будем понимать как векторы - столбцы, а распределения
1
n
x = (x , . . . , x ) – как матрицы размерности m × n, составленные из столбцов xi , i = 1, . . . , n.
Оценки возможных допустимых распределений
Для каждого участника i ∈ N будем предполагать заданным его (бинарное)отношение предпочтения (бинарные – это потому, что в сравнении участвуют только два, а не большее количество
распределений). Бинарное отношение предпочтения будем обозначать Ri . Оно представляет из себя
подмножество декартового произведения Z × Z, а именно, Ri ⊆ Z × Z, где Z × Z – это совокупность
всех упорядоченных пар, образованных из элементов множества Z .
В дальнейшем обозначения (x, y) ∈ Ri или xRi y мы будем трактовать так: для участника i
распределение x не хуже чем распределение y.
С помощью Ri мы описываем результат решения этим i целого множества простейших задач
на оптимум: из двух распределений x и y на первое место поставить то, которое является лучшим
с точки зрения участника i (при равноценности этих распределений должны быть сформированы
обе пары : (x,y) и (y,x)). Приведем некоторые примеры бинарных отношений предпочтения.
I).Простейший способ, которым может генерироваться Ri – это задание бинарных отношений с
помощью функции полезности ui , определяющей для каждого x = (x1 , . . . , xn ) число ui (x) - "величину полезности"распределения x (по Эджворту – количество "ютилей", заключенных в x). В этом
случае Ri определяется следующим образом:
xRi y ⇔ ui (x) ≥ ui (y),
(∗)
т.е. то из распределений, которое дает больший (не меньший) уровень полезности считается лучше
(не хуже), чем другое.
Бинарное отношение задается функцией, если для него можно найти такую функцию ui , для
которой выполняется (*).
1
2
II). Пусть l = 2 и в R+
и мы сравниваем два набора
¡
6
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
rx
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
ry
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
по правилу
xRlex y ⇔ (x1 > y 1 )
_
(x1 = y 1 , x2 > y 2 )
,
W
где
– символ логической связки "или". По понятным причинам бинарное отношение Rlex
называется лексикографическим отношением предпочтения.
Самостоятельно
2
1) Доказать, что Rlex не задается никакой непрерывной функцией на R+
.
2
2) Доказать, что Rlex не задается никакой (в том числе и разрывной) функцией на R+
.
Подсказки :
2
1) Для непрерывной функции множество x ∈ R+
| u(x) ≥ const, замкнуто.
2) Мощность множества рациональных чисел меньше мощности множества вещественных чисел.
III). x ≥ y, векторы сравниваются покомпонентно, но такое сравнение не полное, потому что
возможно не для любых x, y.
Здесь мы приходим к вопросу, какого рода бинарные отношения надо рассматривать. Введем
требования к бинарным отношениям при сравнении распределений, отражающие идею рациональности экономического агента. Будем
W считать, что бинарные отношения являются :
1) полными, т.е. ∀x, y ∈ Z (x, y) (y, x) ∈ Ri .
Это свойствоо характеризует способность экономического агента решать проблему выбора для
любого двухэлементного множества ( I и II удовлетворяют этому условию, а III нет).
2) транзитивными, т.е. (x, y), (y, z) ∈ Ri ⇒ (x, z) ∈ Ri .
Транзитивность отражает "последовательность"(согласованность решений) экономического агента. ( I , II, III удовлетворяют этому условию).
Совокупность всех бинарных отношений, которые являются полными и транзитивными на множестве Z обозначим R . В нашей модели предполагается, что Ri ∈ R для всех i ∈ N .
Профилем предпочтений рассматриваемой модели будем называть упорядодоченный набор R =
(R1 , . . . , Rn ), где Ri ∈ R для всех i ∈ N . Это перечень вкусов, индивидуальных предпочтений,
которые характеризуют множество участников N .
Постановка задачи (наилучшего) коллективного выбора.
Каждому из профилей будем ставить в соответствие некоторое коллективное предпочтение, т.е.
бинарное отношение, характеризующее предпочтение системы в целом. Затем выбирая наилучшее
распределение в смысле коллективного предпочтения, будем предлагать его в качестве решения
задачи.
Основная идея: выведение общего правила оптимального выбора для всех участников в целом
на основе учета их индивидуальных предпочтений.
Будем стараться найти правило, которое каждому профилю ставило бы в соответствие коллективное предпочтение с тем, чтобы последнее удовлетворяло некоторым естественным предположениям.
2
Правило коллективного выбора.
Отображение P , определенное на всех профилях (R1 , . . . , Rn ) ∈ Rn и сопоставляющее каждому
из них (коллективное) предпочтение P (R1 , . . . , Rn ) из R
P : (R1 , . . . , Rn ) 7→ P (R1 , . . . , Rn ), R1 , . . . , Rn ∈ R
, где (R) - полное и транзитивное бинарное отношение для всех R = (R1 , . . . , Rn ) из Rn .
Схема решения проблемы группового выбора : Надо придумать универсальное правило, которое
каждому набору индивидуальных предпочтений ставит в соответствие коллективное предпочтение,
удовлетворяющее некоторым естественным аксиомам. Затем, имея коллективное предпочтение, выбрать наилучшее (max) по нему распределение из Z.
Требования, которые разумно предъявлить к правилу коллективного выбора:
1). Единогласие.
2). Независимость от посторонних альтернатив.
Введем обозначения:
Ri+ - строгая компонента бин. отношения Ri :
xRi+ y ⇔ (x, y) ∈ Ri , (y, x) ∈
/ Ri
(xRi+ y будем трактовать как то, что распределение x лучше распределения y (в смысле предпочтения Ri )).
xRio y ⇔ (x, y), (y, x) ∈ Ri
(xRio трактуется как эквивалентность (равнозначность) распределений x и y).
Аксиома 1 (аксиома единогласия)
Для всякого профиля R = (R1 , . . . , Rn ) и для любой пары распределений x, y ∈ Z cправедливо
соотношение:
∀i ∈ N (xRi+ y) ⇒ xP + y
(здесь, как и всюду далее, используется сокращение P P (R1 , . . . , Rn )). Выполнение аксиомы единогласия означает, что при любом профиле из того, что каждый в отдельности считает, что x лучше,
чем , следует, что для коллективного предпочтения будет то же самое.
Аксиома 2 (аксиома независимости от посторонних альтернатив).
Для любых распределений x, y ∈ Z и профилей R, R0 ∈ Rn выполняется соотношение
R|{x,y} = R0 |{x,y} ⇒ P (R)|{x,y} = P (R0 )|{x,y}
.
Аксиома означает, что если два различных профиля одинаково (по каждому из участников)
упорядочивают распределения x и y, то и отвечающие им коллективные предпочтения одинаково
упорядочивают x и y (коллективное предпочтение P (R1 , . . . , Rn ) на множестве {x, y} зависит лишь
от "расклада"индивидуальных предпочтений на этом же множестве).
Напомним, что понимается под сужением R|A профиля R на множество A ⊆ Z в общем случае:
R|A = (R1 |A , . . . , Rn |A )
, где Ri |A = Ri ∩ (A × A) – сужение предпочтения Ri на множество A .
Как видно из определения, множество Ri |A состоит в точности из тех пар (x, y) ∈ Ri , в которых
оба элемента x и y принадлежат множеству A.
Лекция N 2
Вспомним аксиому независимости от посторонних альтернатив.
Пусть даны профили : R = (R1 , . . . , Rn ) и R0 (R10 , . . . , Rn0 ).
Профили R и R0 совпадают на {x, y} - двухэлементном подмножестве, если для пары распределений x и y выполняется условие : ∀i ∈ N (xRi y ⇔ xRi0 y). A сама аксиома гласит, что если профили
3
R и R0 совпадают на множестве {x, y} то тогда xP (R)y ⇔ xP (R0 )y, где P (R), P (R0 ) – коллективные
предпочтения, отвечающие профилям R и R0 , соответственно.
Примеры правил коллективного выбора (правил агрегирования).
I). Правило большинства
Если за x отдают больше голосов, чем за y, то в коллективном предпочтении считается, что x
лучше y.
Это правило удовлетворяет аксиомам единогласия и независимости от посторонних альтернатив.
Но мы предполагаем с самого начала, что правило агрегирования каждому профилю ставит в
соответствие полное и транзитивное бинарное отношение. С полнотой у нас все в порядке. Но если
у нас более двух альтернатив, то транзитивность может нарушиться. Приведем пример:
1
x
y
z
1
y
z
x
1
z
x
y
Обычное (простое) правило большинства так упорядочивает наши альтернативы : x  y Â
z  x, т.е. нарушается транзитивность. Из-за этого правило большинства не тянет на правило
агрегирования.
Следует отметить, что правило Борда зависит от посторонних альтернатив, т.к., например, перемещение какой-либо альтернативы на нижнюю позицию во всех индивидуальных предпочтениях
приводит к изменению некоторых соотношений сумм по очкам (примеры были даны на семинарах).
II). Диктаторское правило
Мы говорит, что правило агрегирования P является (слабо) диктаторским, если ∃ такой участник
i (диктатор), что для любого профиля R и для всех x, y выполняется следующее соотношение:
xRi+ y ⇒ xP + y.
Например,если для каждого профиля R положить P (R) = Ri , то легко проверить, что такое
правило удовлетворяет аксиомам единогласия и независимости от посторонних альтернатив. Существует и менее вызывающее правило такого же типа:
III). Олигархическое правило.
Мы говорим, что правило агрегирования P является олигархическим, если ∃ такая коалиция
T ⊆ N, что для любого профиля R и ∀x, y выполняются следующее условие:
∀i ∈ T (xRi+ y) ⇒ xP + y.
Наряду с аксиомами единогласия и независимости от посторонних альтернатив в теории коллективного выбора изучается целый ряд других достаточно разумных требований. Например, требование, стимулирующее участие в выборах:
Аксиома участия.
Мы будем говорить, что правило P , определенное на произвольных конечных наборах индивидуальных предпочтений ( не обязательно фиксированного числа n), удовлетворяет аксиоме участия,
если выполняется такое требование: для всякого профиля R = (R1 , . . . , Rn ) и для всякого участника n + 1, c помощью которого образован новый профиль R̂ = (R1 , . . . , Rn , Rn+1 ), выполняется
следующее условие: если для P (R) наилучшей оказалось альтернатива a, то наилучшая для P (R̂)
альтернатива b, должна быть такой, что bRi a.
Содержательный смысл такой : если аксиома участия не выполняется, тогда ∃R такой, что учет
мнения участника i, приводит к тому, что в качестве наилучшего выбирается альтернатива, которая
окажется хуже, чем та, которая получилась бы, если бы мнение i не учитывалось.
Теперь мы хотим доказать, что всякое правило агрегирования, удовлетворяющее двум аксиомам
(единогласия и независимости) от посторонних альтернатив, обязательно является диктаторским.
Для этого докажем следующую теорему.
Т.Эрроу. T 1.
Если правило агрегирования P удовлетворяет условиям единогласия и независимости от посторонних альтернатив, то оно является диктаторским, т.е. ∃i ∀R∀x, y из того что xRi+ y ⇒ xP + y ( у
нас все бин. отношения полные и транзитивные).
4
Доказательство: разобъем его на кусочки и проведем с помощью доказательств лемм.
Определение 1. Коалиция T ⊆ N является решающей для пары x, y если для любого профиля
R для которого xRi+ y i ∈ T и yRj+ x j ∈ N \ T ⇒ xP + y.
Т.е. мы говорим, что коалиция T является решающей для пары x, y , если отношение участников
коалиции к элементам этой пары, определяет, что будет в смысле сравнения x, y в коллективном
предпочтении. Определяет в том смысле, что если оказывается, что для всех участников коалиции
T xRi+ y, а для всех остальных yRj+ x, то тогда в коллективном предпочтении непременно будет так,
как решила коалиция.
ПустьSTx,y множество всех решающих коалиций для пары x, y
T =
Tx,y – множество всех решающих коалиций для какой-нибудь пары распределений x, y.
{x,y}
Согласно условию единогласия, следует, что N ∈ T , т.е. T =
6 φ.
Также пустое множество φ ∈
/ T , т.к. не удовлетворяет условию единогласия и пустое множество
φ, не может быть никак решающей коалицией, согласно определению 1.
Наша задача состоит в том, что мы хотим доказать, что в T есть хотя бы одна одноэлементная
решающая коалиция. Если мы это докажем, то все что нам еще надо в теореме, будет не сложно
доказать.
Определение 2: Коалиция T ∈ T является минимальной, если никакая ее часть не принадлежит
множеству T .
Мы взяли все решающие коалиции (части конечного множества N, в котором содержится 2n−1
непустых коалиций ). Их количество конечно, т.к. они являются подмножествами конечного множества. Эти множества можно упорядочить частично, считая, что одно больше другого, если оно
содержит вопрос. Затем выбираем min по включению элемент min решающая коалиция, т.к. в ней
не содержится никакая другая решающая коалиция.
Теперь возьмем T, зафиксируем его и будем считать, что она является min решающей коалицией
для пары x, y .
Лемма 1. Одноэлементность min решающей коалиции T .
Всякая min решающая коалиция является одноэлементной T = {i}.
Следует помнить, что у нас ω 6= 0 и тогда в Z есть хотя бы три распределения.
Доказательство:
Зафиксируем z ∈ Z и z 6= x, y и рассмотрим профиль R который устроен так:
i
x
y
z
T \i
z
x
y
N \T
y
z
x
Как располагаются остальные элементы, нам не важно. Доказательство проведем от противного,
допустим, что T не одноэлементное, т.е. i ∈ T.
Могут быть следующие случаи:
1). T = N проанализировать самим
2). T 6= N
Мы предполагаем, что кроме x, y, z остальные элементы в профилях эквивалентны последнему
элементу в индивидуальных предпочтениях.
По определению того, что Т является решающей коалицией, следует:
1). xP + y , т.к. T – решающая коалиция i и T \i не решающая коалиция т.к. T у нас min решающая
коалиция.
2). Т.к. T \ i не является решающей коалицией и т.к. P – полное, то yP z.
3). zP x, т.к. i не является решающей коалицией.
Учитывая транзитивность P и 2) и 3) получаем, что yP x, но в 1) совсем другое и мы получаем
противоречие.
Сделаем замечание: Коалиция из того, что она не решающая должна обладать таким свойством,
что если два элемента x и y расположены так как они должны были бы быть расположены, тогда S
была бы решающей, должно вытекать, что если x лучше y согласно S, но y лучше x, у N \ S, тогда
не может быть что x лучше y, но согласно полноте P, мы должны записать yP x .
5
Итак, мы доказали, что T = {i} и теперь докажем, что i, который был решающим для пары x, y,
будет решающим и для всякой другой пары.
Лемма 2. Лемма об универсальности min решающей коалиции
∀x0 , y 0 {i} является решающей x0 , y 0
Доказательство:
Этапы:
I. Докажем, что T – решающая коалиция для пары x0 , y.
Сооружаем для этого следующий профиль:
i
x’
x
y
N \i
y
x’
x
В соответствии с аксиомой единогласия получаем:
1). x0 P + x
По определению решающей коалиции получаем:
2). xP + y
По транзитивности x0 P y, но можем доказать, что из xP y, yP + z =⇒ xP + z. Т.о. x0 P + y
В таблице x0 и y находятся в той самой позиции которая требуется по определению решающей
коалиции, а именно для i будет x0 , y, а для остальных y лучше x0 =⇒ по определению i – решающая
коалиция для x0 и y. По аксиоме независимости мы заключаем, что то же выполняется и для любого
другого профиля, лишь бы он только располагал x0 и y так же как в нашем случае.
II). x0 и y 0 анализируем.
i
x’
y
y’
N \i
y
y’
x’
Получаем:
1). По аксиоме единогласия yP + y 0 .
2). Т.к. i - решающая коалиция для x0 , y, то x0 P + y.
По транзитивности P мы получаем, что x0 P + y 0 , а отсюда несложно доказать , что x0 P + y 0 .
Следует заметить, что x0 и y 0 стоят в позиции для определения решающей коалиции, в нашем
случае i. Т.е. i – решающая коалиция для x0 , y 0 .
Лемма 3. i – диктатор
Мы хотим доказать, что для всякого профиля такого вида
i
x
N \i
(x,y)
y
где i упорядочивает x и y как показано в таблице, а остальные участники упорядочивают их
каким-то произвольным образом (не обязательно для всех одинаковое), в коллективном правиле
будет xP + y, т.е. i – диктатор.
Доказательство:
Пусть R - произвольный профиль вида:
i
x
N \i
(x,y)
y
здесь xRi+ y
Рассмотрим новый профиль R0 , который располагает x, y, z, где z 6= x, y, следующим образом:
6
i
x
z
N \i
z
(x,y)
y
Бин. отношения между x и y в P (R0 ) = P (R) . Мы получили
1). По аксиоме единогласия zP + y.
2). Т.к. i является решающей для любой пары (из универсальности решающей коалиции): xP + z.
По транзитивности из 1) и 2) мы получили, число xP + y.
Т.о. мы доказали, что для всякого профиля R, в котором i - тый участник располагает альтернативы так, что x лучше y, а остальные участники располагают их произвольно, то в коллективном
правиле получается, что xP + y, т.е. так как их упорядочил i, т.е. i – диктатор.
Лекция N 3.
Замечания к парадоксу Эрроу
1). Если трактовать результаты теоремы Эрроу, как применение к выбору в экономических
системах, то возможен только диктаторский подход к агрегированию.
2). Если рассматривать технические признаки изделия, то тогда попытка оценить в целом по
совокупности признаков на практике сводится к выбору единственного главного критерия.
3). Если же мы рассматриваем специальные виды профилей (например, однотупиковые), то
нормально работает правило большинства, которое в общем случае оказывается плохим из-за того,
что оно некоторым профилям может ставить в соответствие что-то такое нерациональное, например,
не традиционное бин. отношение, но которому уже нельзя найти max элемент, что является нашей
конечной целью.
В некоторых случаях, когда мы имеем определенную информацию, может сработать демократическое правило агрегирования.
Решение нашей задачи – это нахождение опт. распределения W. Но сначала мы попытаемся
сузить, насколько это возможно, область выбора Z = X(N ), по каким -то критериям. Т.е. исходя
из экономических соображений будем выкидывать из X(N ) = Z распределения, которые заведомо
не могут быть оптимальными по каким-то естественным правилам.
Сначала нам прийдется сузить множество всех полных и транзитывных бин. отношений на Z =
X(N ), которое обозначается R. Сейчас мы будем рассматривать только класс U бин. отношений,
которые задаются функциями.
Т.е. мы будем рассматривать для каждого участника бин. отношение предпочтения задаваемое
функцией ui : X(N )Z −→ R, т.е. ставим каждому распределению X(N ) в соответствие некоторое
число. Распределение из двух считается то лучше, на котором эта функция принимает наибольшее
значение. Т.о. функция измеряет уровень полезности распределения для участника модели.
Есть ситуации где эта функция проявляется естественным образом. Пусть есть община из n
участков. Они рассматривают три проекта строительства школы, где ее построить. И в качестве
оценки варианта строительства для каждого участка удобно применять расстояние. И нам надо min
расстояние до школы.
А иногда мы будем предполагать, что функции ui заданы не только на Z, а на всем l − n –
мерном пространстве.
Так как же отсечь заведомо ненужные альтернативы ?
∃ много вариантов, но мы изберем путь предложенный итальянским ученым Парето (18451923) Он предлагает отказаться от тех допустимых распределений, заведомо выбросить их из числа
претендентов на оптимальное, для которых можно подобрать другое допустимое распределение в
котором каждый из участников улучшает свою ф. полезности. Т.е. в качестве оптимальных следует
брать только такие распределения, которые не улучшаемы по каждому из участников.
Определение 1 : допустимое распределение x̄ ∈ Z, является слабо Парето-оптимальным, если не
∃ x ∈ Z, такого что u(x) >> u(x̄).
Введем следующие обозначения :
7
Если у нас есть вектора u, v ∈ Rm (конечномерное пространство), то тогда :
a). u ≥ v, т.е. каждая компонента вектора u ≥ каждой компоненты вектора v(ui ≥ vi ).
б). u > v ⇔ ui ≥ vi и ∃j, что uj > vj , т.е. хотя бы одна компонента u > компоненты v.
в). u >> v ⇔ ui > vi ∀i = 1, n
г). Скалярное произведение : u · v = (u, v)
Следует заметить, что u(x) − n мерный вектор, составленный из значений этих функций на этом
x; u(x) = (u1 (x), y2 (x), . . . , un (x)).
Так для краткости мы будем обозначать уровни полезности, достижимые участниками нашей
экономики на распределении x. Весь спектр уровней полезности изображается u(x), который характеризует это распределение с точки зрения участников экономики.
Т.е. распределение x̄ ∈ Z является слабо Парето-оптимальным если ни найдется другого допустимого распределения, в котором каждый из участников достигает большего уровня полезности.
Определение 2: распределение x̄ ∈ Z называется строго Парето-оптимальным, если не ∃x ∈ Z
такого, что u(x) > u(x̄).
Здесь требование оптимальности является более сильным, чем раньше. Но строго Парето-оптимальные
распределения считаются не устойчивыми, т.к. хотя бы один человек будет стремиться перейти к
другому распределению, что может дистабилизировать ситуацию. Т.е. в определении 1 надо чтобы
все стремились перейти к чему-то другому не из точки оптимума, а в определении 2 достаточно
инициативы хотя бы одного участника.
Введем следующие обозначения.
P 0 – множество слабо Парето-оптимальн. распределений.
P – множество строго Парето-оптимальн. распределений. Очевидно, что из определения P ⊂ P 0 .
Сейчас займемся анализом P 0 .
Запишем свойство опт. Парето-распределений подчеркивающее значимость их изучения.
Предложение 1: (внешняя устойчивость P и P 0 ). При условии, что ui непрерывные; для всякого
распределения x ∈ Z, ∃ распределение x̄ ∈ P, такое, что u(x̄) ≥ u(x). Если при этом, оказалось, что
x∈
/ P 0 , то ∃y ∈ P 0 такой, что u(y) >> u(x).
Доказательство: Пусть у нас есть произвольный зафиксированный x ∈ Z.
Обозначим множество Z(x) = {y ∈ Z|u(y) ≥ u(x)} (∗), причем Z(x) 6= ∅ т.к.P
x ∈ Z.
Теперь выбираем x̄ ∈ Z(x), который доставляет max функции uN (x) =
i∈N ui (x̄), т.е. x̄ ∈
Arg max uN – это множество опт. решений Z(x)
задача max функции uN на множестве Z, т.е. uN (x̄) = max uN (x).
x∈Z(x)
Доказать самим !
Z – замкнутое и ограниченное, т.е. компакт.
Пояснение:
Z определяется некоторым набором лин. уравнений и лин. неравенств. Лин.
- это
P неравенства
просто условия неотрицательности xi , а уравнения проистекают из того, что
xi = W. Т.е. у нас
i
l уравнений и l × n неравенств типа nil ≥ 0. Это множество является многогранником, который
является замкнутым множеством. А то что множество Z является ограниченным вытекает из того,
что все компоненты P
≥ 0 (из этого проистекает ограниченность снизу), а ограниченность сверху
следует из того, что
xi = W. И значит каждая компонента любого допустимого распределения
i
не превосходит соответствующей компоненты вектора W.
Функция uN (x) является непрерывной, как сумма непрерывных функций.
Для того чтобы доказать компактность Z(x), достаточно доказать, что оно является замкнутым
подмножеством множества Z. А ограничитель следует из ограниченности Z.
Т.е. для того, чтобы доказать, что ∃x̄, достаточно доказать, что Z(x) замкнуто, тогда x̄ будет
существовать по теореме Вейерштрасса. Т.е. доказав замкнутость Z(x) , мы докажем, что Z(x)
компакт. Но по определению:
\
Z(x) =
{y ∈ Z|ui (y) ≥ ui (x)} u(x) ≥ λ
i∈N
8
Мы знаем, что пересечение замкнутых множеств замкнуто, поэтому осталось доказать, что каждое их этих множеств является замкнутым. Ну а это вытекает из того, что все функции ui непрерывны, а для всякой непрерывной функции u множество тех x, на которых она принимает значения
≥ λ (какое-то число), замкнутое множество. А у нас именно такая ситуация, мы рассматриваем для
∀ функции и множество тех аргументов x, на которых значения этой функции ≥ λ (какого-то конкретного числа), т.е. мы рассматриваем верхнее Лебеговское множество этой функции, там где она
принимает значение ≥ λ. . Т.о. Z(x) – замкнуто ⇒ uN достигает на Z(x) своего max . Т.о. ∃x̄ –
максимизирующий на uN (x) на Z(x).
А теперь осталось доказать, что x̄ обладает требуемыми свойствами, т.е.:
1). Что покомпонентно u(x̄) ≥ u(x), а это вытекает из построения Z(x).
2). Что x̄ ∈ P, т.е. x̄ является строго Парето-оптимальным распределением.
Докажем 2). от противного.
Допустим, что x̄ ∈
/ P, тогда ∃y ∈ Z такой что u(y) > u(x̄)(2∗ ), суммируя покомпонентно, мы
получаем, что uN (y) > uN (x̄) уже проклевывается противоречие, с тем, что на x̄ наша функция
uN достигает max значения на Z(x). А теперь докажем, что y ∈ Z(x). Это следует из (2∗) и u(y) >
u(x̄) ≥ u(x).
Следовательно ∃y ∈ Z(x) : uN (y) > uN (x̄). Т.е. мы имеем, что в Z(x) нашелся другой y, для
которого значение функции uN больше, чем на x̄, а x̄ выбирался из условия, что на нем эта функция
достигает самого большого значения, значит мы получаем противоречие с предположением, что
x̄ ∈
/ P, т.е. x̄ ∈ P.
А теперь докажем, что если x ∈
/ P 0 , то ∃y ∈ P 0 : u(y) >> u(x).
0
Доказательство: Если x ∈
/ P , то тогда найдется по определению z ∈ Z для которого u(z) >>
u(x).
Построим для z ∈ Z :
Z(z) = {y ∈ z|u(y) ≥ u(z)}, а затем повторим все рассуждения которые были в первой части,
т.е. для множества Z(z) найдем x̄, который на этом множестве доставляет max функции uN (x̄) =
max uN (x).
x∈Z(z)
Ну а дальше легко доказать, что x̄ может выполнять роль того, y который у нас записан. Если в
двух словах, то это будет выглядеть так: Как мы уже доказали, для любого распределения Z Z(z)
является замкнутым, значит оно как часть компактного будет компактным. Т.о. x̄ существует и он
будет ∈ P ( по доказанному ранее).
Тогда x̄ ∈ P ⇒ u(x̄) ≥ u(x) >> u(x) ⇒ u(x̄) >> u(x).
Т.о. ∃y = x̄ ∈ P 0 : u(y) >> u(x), если x ∈
/ P 0.
Слабо и строго Парето-оптимальные распределения наилучшие среди всех остальных, они являются и максимальными.
Поиск Парето-оптимальных распределений.
Оказывается, что в некоторых достаточно простых ситуациях множество P 0 –это всего-навсего
оптимальные решения некоторых задач выпуклого программирования. Если мы введем хорошие
параметры, то оказывается отношение какого-то конкретного x ∈ P 0 – это просто
1). надо выбрать подходящие параметры
2). и с этими параметрами решить некоторую задачу выпуклого программирования.
Рассмотрим
всевозможные u – мерные вектора α(α1 , . . . , αn ) – это вектор весов параметров,
P
α≥0и
αi = 1.
i∈N
P
Тогда uα (x) =
αi ui (x) – взвешенная функция характеризующая эту или иную альтернативу
i∈N
с точки зрения общества в целом.
Предложение 2: Если x∗ является оптимумом функции uα на множестве Z, то x∗ ∈ P 0 ( т.е.
всякое оптимальное решение задачи максимизации uα на множестве Z является слабо Паретооптимальным распределением). Если при этом α >> 0, то x∗ ∈ P.
Доказательство: от противного.
Пусть x∗ не является слабо Парето-оптимальным распределением. Тогда найдется другой x, на
котором функции u1 , . . . , un принимают еще большее значение, чем на x∗ Т.о. мы имеем n неравенств:
9
u1 (x) > u1 (x∗ ) xα1
u2 (x) > u2 (x∗ ) xα2
un (x) > un (x∗ ) xαn
Неравенства знака не меняют т.к. α ≥ 0. По крайней мере ∃i : αi > 0. Просуммировав левую и
правую части, получаем: uα (x) > uα (x∗ ). Но это противоречит тому, что x∗ – максимум для uα .
Как на практике на самом деле можно было бы искать слабо (строго) Парето-оптимальные
распределения ?
Если мы хотим найти строго Парето - оптимальное распределение, то тогда мы берем какие-то
веса лишь бы они были ненулевые и максимизируем соответствующую функцию. Максимум будет
элементом множества P.
Если хотим найти элемент просто из P 0 то можно не заботиться, чтобы веса были все ненулевые.
Например, берем и max только одну функцию, остальные веса нулевые и то что найдется и будет
элементом множества P 0 .
Теперь нам надо доказать, что на самом деле при некотором естественном дополнительном предположении (о вогнутости), оказывается что обратное тоже верно, что каждый из элементов P 0 можно найти подобрав соответствующие веса.
Введем обозначения:
Для каждого x ∈ Z : u(x) = (u1 (x), . . . , un (x)) U = {u(x)|x ∈ Z} – совокупность всех возможных
n
значений функции полезности на множестве допустимых распределений. Ũ = U − R+
= {v ∈ Rn |
для которых ∃x ∈ Z, такой что v ≤ u(x) покомпонентно }. Множество Ũ называется насыщение U
снизу.
'
e
U
U
r u(x)
&
vr
e мы получили путем заполнения U
U
$
бесконечными квадратами.
%
¾
сторона бесконечного квадрата
Если нам доступен определенный уровень полезности, то нам доступны и все нижележащие
уровни полезности.
Введем обозначение:
◦n
Пусть точка x̄ ∈ Z, мы рассматриваем ūu(x̄), и обозначаем через R+ = {u ∈ Rn |u >> 0} и
◦n
обозначаем так K(x̄) = ū+ R+ , т.е. совокупность (N B! ui – вогнутые функции) всех векторов,
которые покомпонентно >> ū.
Лемма 1 : T
x̄ ∈ P 0 ⇔ Ũ K(x̄) = ∅, т.е. не пересекаются. Схема доказательства:
10
@
@
@
@
@
@
@
$
@
@@
@
@
@
r @
'
e
U
U
ū = u(x̄)
&
%
λ
u(x̄)
T - это по построению, конус, состоящий из всех векторов, которые покомпонентно >> u(x̄).
Ũ K(x̄) = ∅. означает, что во множестве Ũ нет ни одного элемента, который бы попадал во
множество K(x̄) Тогда по определению x̄ является слабо Парето-оптимальным распределением.
Что означает, что x̄ ∈ P 0 ? Т.е. не ∃x ∈ Z : u(x) > u(x̄). Т.е. во множестве U не ∃ ни одного
вектора, который был бы покомпонентно >> ū. Если K(x̄) не пересекаются с Ũ , то такого вектора
не найдется, т.к. в K(x̄) находятся вектора которые >> ū. Т.е. непересечение дает нам, что x̄ ∈ P 0 .
А если x̄ – слабо Парето-оптимально, то не ∃x : u(x) ∈ K(x̄), т.е. u(x) > u(x̄). А это означает, что
K(x̄) с U и Ũ не пересекается (по построению).
Надо самим доказать это математически более точно !
Мы предполагаем, что у нас выполняется условие, что ui – вогнутые функции.
Лемма 2: Если ui вогнутое, то множество Ũ выпуклое.
Эта лемма позволяет в дальнейшем использовать теорему отделимости для характеризации P 0 .
Доказательство на следующей лекции.
Лемма 3: Теорема Минковского:
T
Если выпуклые множества C1 и C2 ⊆ Rn не пересекаются (C1 C2 = ∅), то тогда ∃ вектора
∈ Rn , a 6= 0 и ∃ число в ∈ R, что выполняются следующие соотношения:
sup a · x ≤ b ≤ inf a · y
y∈C2
x∈C1
А если при этом C1 и C2 замкнуты и одно из них компактное, то тогда мы имеем:
sup a · x < b < inf a · y
y∈C2
x∈C1
Лекция 4
Эти три леммы понадобятся нам в дальнейшем для доказательства того, что при условии выпуклости функции полезности, слабо Парето-оптимальные распределения это те и только те, которые
соответственно являются решением экстремальной задачи max взвешенной суммы функций полезности.
Лемма 3, ее более слабое утверждение, было доказано в курсе мат. программирования, поэтому
мы ее доказывать не будем, но желательно доказать ее самостоятельно.
11
Лемма 2: Если функции полезности ui вогнутые, то тогда множество Ũ = {u ∈ Rn для некоторых
∃x ∈ Z : u ≤ u(x)} выпукло
Доказательство: Возьмем произвольные u, v ∈ Ũ и произвольное число t ∈ [0, 1] и доказать, что
выпуклая комбинация tu + (1 − t)v ∈ Ũ , т.е. согласно определению Ũ ∃ допустимые распределения
x, y, ∈ Z :
u(x) ≥ u
u(y) ≥ v
Если расписать вектора покомпонентно, то мы получим систему неравенств из n + n неравенств.
Умножим u(x) ≥ u на число t : tu ≤ tu(x) Умножим u(y) ≥ v на число 1 − t : (1 − t)v ≤ (1 − t)u(y).
А теперь складываем эти неравенства покомпонентно tu + (1 − t)v ≤ tu(x) + (1 − t)u(y). У нас
функции полезности вогнутые, а для каждого i справедливы такие неравенства: ui (tx + (1 − t)y) ≥
tui (x) + (1 − t)ui (y) ⇒ u(tx + (1 − t)y) ≥ tu + (1 − t)v, т.о. мы нашли такое распределение, что и на
этом распределении ≥ этой выпуклой комбинации. А теперь осталось установить, что эта выпуклая
комбинация тоже является допустимым распределением, т.е. речь идет о том, что Z выпуклое
множество, что если x, y ∈ Z, то и всякая их выпуклая комбинация ∈ Z. Если в двух словах,
это проистекает из того, что Z определяется как многогранник как решение некоторой системы
линейных
неравенств и уравнений, т.е. z состоит из неотрицательных распределений наборов ui (k) ≥
P
0 и
ui = W. Т.о. Z есть решение системы уравнений и неравенств, т.е. Z многогранник, а мы
должны это знать, что следовательно Z выпуклое.
Итак, Z выпукло,x, y ∈ Z ( по выбору), выпуклая комбинация тоже ∈ Z, раз Z выпукло. Ну и
мы имеем, что нам требовалось. А согласно определению Ũ , tu + (1 − t)v ∈ Ũ .
А теперь приступим к следующему, убедимся, что слабо Парето-оптимальное респределение
это просто-напросто в точности те, которые могут быть получены как решения задач вогнутого
программирования, именно max взвешенной суммы функций полезности на Z в множестве P 0 .
только это. А если мы еще добавим непрерывность к функциям полезности, то оказывается, что и
обратное тоже верно, т.е. множество P 0 в точности совпадает со множеством всех экстремальных
решений для функции uα
Введем обозначения:
4 - совокупность всех весов:
X
4 = {α = (α1 , . . . , αn ) ≥ 0,
αi = 1}
i∈N
α
α
x - элемент ∈ Arg max u
Z
Решение задачи uα → max, где uα =
α
α
P
αi ui (x) при условии, что x ∈ Z, мы будем обозначать
N
через x . А множество Arg max u , обозначаем совокупность всех решений этой задачи max при
Z
фиксированном наборе весов α.
Теорема 1: (теорема об экстремальной характеризации P 0 )
Если все ui вогнутые, то для всякого x ∈ P 0 ∃α ∈ 4, что x = xα Т.е. если ui вогнутые, то каждое
слабо Парето-оптимальное распределение является оптимальным решением задачи оптимизации
функции uα при подходящем выборе α т.е. для каждого слабо Парето-оптимального распределения
найдется система весов α, такая что этот самый x доставляет max значение взвешенной сумме uα
на множестве Z.
Доказательство:
зафиксируем произвольное распределение x̄ ∈ P 0 , согласно лемме 1, множеT
ства K(x̄) Ũ = ∅ (не пересекаются). По лемме 2, Ũ выпуклое множество, множество K(x̄) тоже
выпуклое, т.к. K(k̄) это совокупность всех векторов, которые покомпонентно строго больше вектора
u(x̄) т.е. это что-то вроде положительного ортанта, только без границ.
12
6
@
@
@
@
@
r
ū
6
безграничный конус
-
Взяв две точки внутри конуса и соединив их отрезком, несложно проверить, что все элементы
отрезка >> ū.
Т.о. есть два выпуклых множества, которые не пересекаются, а по лемме 3 (независимо от замкнутости) обязательно найдется линейный функционал, найдется вектор a 6= 0 (не нулевой), задающий линейный функционал, в обычной форме L(x) = a · x (скалярно умножить) , что при
подлежащем выборе числа b, гиперплоскость (это множество тех x, на котором наш линейный
функционал принимает значение = b) разделяет два множества 1 и 2 :
¡
¡
$ ¡b
¡
¡
¡
¡
'
%
¡
'
C1
&
¡
C2
¡
¡
¡
$
&
%
¡
¡
Т.о. по лемме 3 найдется n мерный вектор a 6= 0 и число b, что
sup au ≤ b ≤
u∈Ũ
inf
v∈K(x̄)
av ⇒ au ≤ b ≤ av (∗)
А теперь из (*) мы постараемся извлечь все, что нам надо. Ясно что в качестве кандидата на
роль вот этих самых весов у нас выступает вектор a, из него надо будет как-то строить эти веса.
Для того чтобы он был мало-мальски похож на то, что нам нужно, надо как min, чтобы этот вектор
a был бы неотрицательным. Т.е. установим следующее:
1). a ≥ 0 ( нет ни одной отрицательной компоненты). Действуем от противного, допустим, что
∃i, что ai < 0. Противоречие будем получать анализируя множество K(x̄). Давайте рассмотрим
для произвольного натурального числа m(m > 0) вектор vm , который заведомо ∈ K(x̄), потому что
он устроен таким образом: vm = ū + (1, . . . , m + 1, . . . , 1) ū = u(x) (прибавляем n мерный вектор, у
которого всюду единицы, кроме i – того места, на котором стоит m + 1).
Подсчитаем значение нашего линейного функционала на векторе vm :
X
avm = aū +
ai + m · ai
i∈N
А согласно (*) мы имеем:
avm = [aū +
X
i∈N
13
ai ] + mai ≥ b
при любом m Т.о. когда-нибудь наступит момент, что неравенство нарушится, мы получили
противоречие с (*), т.е. наше предположение неверно. Т.о. мы
P имеем, что ai ≥ 0 ∀i , ну а раз они
не отрицательны и вектор a отличен от нуля, то стало быть
ai > 0 (сумма компонент вектора a
i
строго больше нуля). P
P
Тогда пусть α = a/
ai т.е. нормируем вектор a. Очевидно тогда, что α ≥ 0 и
αi = 1. Ясно,
i∈N
i∈N
что α ∈ 4 (4 - название - симпликс). Последнее осталось проверить, что α и будет тем самым
для которого x̄ = xα (x̄ окажется решением задачи max взвешенной суммы функций полезности с
весами αPна множестве Z.)
Т.к.
ai > 0, то мы может записать, что
i∈N
αu ≤ αv
(∗∗)
Следует заметить, что согласно определению множества Ũ множество U = {u(x)|x ∈ Z} ⊆ Ũ .
Поэтому в левой части (**) нас на самом деле переписаны все возможные значения функции uα ,
поскольку
P
αu = αi ui не только для всех Ũ , но и для U Т.е. здесь на самом деле в левой части переписаны
P
все мыслимые значения которые принимает функция uα и она как видно из (**) ≤ b/ ai ≤
i
αv, а могут быть выбраны так, что они будут очень близки к ū. Вот из этого и будем получать
доказательство.
P
Т.о. αu
αi ui , а если в качестве u мы можем взять все значения функции u(x), то тогда
P=
α
u (x) =
αi ui (x). Очевидно, что согласно (**) inf αv ≤ αū, где v состоит из ū и некоторого
v∈K(x̄)
положительного
вектора:
v >> ū, умножив это неравенство покомпонентно на αi , а затем сложив,
P
P
получаем
αi ui > i αi ūi или αv > αū, а следовательно и для нижней грани выполняется это
i
неравенство.
Теперь нам осталось доказать, что
inf
v∈K(x̄)
α · v ≤ αū. v может быть приближено к ū как угодно
близко. Рассмотрим последовательность ṽm :
ṽm = ū + (1/m, . . . , 1/m) ∈ K(x̄)
m - произвольное, натуральное число. ṽm ∈ K(x̄), т.к. он покомпонентно
строго больше вектора ū.
P
1
1
α
=
αū+
Скалярное произведение на α, будет следующим: α·ṽm = αū+ m
i
i
m . Отсюда следует, что
inf αv = αū (Это вытекает из определения inf). Итак мы доказали, что αū = uα (x̄) ≥ αu(x) x ∈ Z
v∈K(x̄)
т.к. вектора вида u(x) содержались во множестве Ũ , как элементы множества U. Тогда получается,
что на распределении x̄, которое было слабо Парето-оптимальным функция uα принимает значения
≥, чем значения на любом другом допустимом распределении. Значит x̄ = xα - можно изобразить
как решение задачи на max функции uα на множестве Z.
Следствие 1: Если функции ui вогнутые и непрерывные, то x ∈ calR0 ⇔ ∃α ∈ 4 такая что
x = xα , т.е. x является решением задачи max uα , на множестве Z. В случае когда ui вогнутые и
непрерывные, то тогда из всего сказанного выше и в том числе из теоремы 1 вытекает, что для
того чтобы допустимое распределение x было слабо Парето-оптимальное необходимо и достаточно
чтобы нашлась система весов α такая что этот x является оптимальным решением функции uα на
Z.
Если у нас нет непрерывности, то мы можем гарантировать только одно, что если мы можем
гарантировать только одно, что если у нас нашелся хотя бы один слабо Парето-оптимальный, то
тогда обязательно найдутся и веса. Но обратное мы утверждать не можем, потому-что если функция, хотя бы одна, является разрывной, то уже тогда uα может максимум не достигать и мы не
можем найти для каждого α свой xα , который был бы в P 0 .
Т.о. просто ничего кроме вариации весами не требуется для того чтобы перечислить, отыскать
все, какие только есть слабо Парето-оптимальные распределения.
Сейчас мы займемся другой характеристикой слабо Парето-опти
мальных распределений. Дадим эту характеристику с помощью системы цен.
14
Сделаем предположение об автономности (C) функций полезности. Автономность. Функция
полезности i – того участка не зависит от того что получили в качестве наборов другие участники, кроме того что он сам получил, т.е. функция зависит теперь не от n × l переменных, а от
l переменных, а именно от того набора который получил участие i. Одна из форм формального
изобретения этого выглядит так: функция ui (x) называется автономной, если ∃ функция vi (xi ),
так, что ui (x) = v)i(xi ) где x = (x1 , . . . , xi , . . . , xu )
С этого момента и дальше, мы будем считать, что наши функции ui заданы для каждого i
на всем положительном ортанте, т.о. он имеет суждение обо всех неотрицательных наборах, а не
только о тех, которые получаются допустимым перераспределением W и даже иногда, если это нам
будет нужно, мы можем считать, что эти функции ui продолжим на все пространство l – мерное,
т.е. они могут быть заданы и вообще на всех наборах, в том числе и с разного знака компонентами,
l
l
но сначала мы предполагаем, что у нас R+
, а иногда R+
→ R.
i
Пусть ui (x) = ui (x ). Если у нас есть вектор цен p = (p1 , . . . , pl ) и x = (x1 , . . . , xl ), то стоимость
Pl
набора участника есть p · x = k=1 pu · xk : pu – стоимость единицы продукта k.
Теорема 2: (стоимостная характеристика на множества P 0 ).
Если функции ui автономны, непрерывные, вогнуты, строго возрастающие, а W >> 0, то для
того чтобы допустимое распределение x̄ ∈ P 0 необходимо и достаточно чтобы нашлись такие цены
l
p̄ >> 0 что для каждого участника i и для каждого набора xi ∈ R+
из того что [ui (xi / > ui (x̄i )
i
i
следует, что p̄x > p̄x̄ ](∗ ∗ ∗)
Строгое возрастание обычно понимается так, что если x > y (хотя бы одна компонента строго
больше), то тогда ui (x) >> ui (y). Это также можно обозвать строгой монотонностью.
Теорема утверждает, что можно характеризовать слабо Парето-оптимальное распределение с
помощью цен p̄ т.е. распределение x̄ оказывается слабо Парето-оптимальным, тогда и только тогда, когда при сравнении с ним всякое другое, дающее хотя бы одному участнику по функции
полезности больше, чем в этом x̄, оно конечно хорошее, но более дорогостоящее. Значит x̄ слабо
Парето-оптимально ⇔ если и можно для какого-то участника найти лучший набор, в смысле функции полезности ui (xi ) >> ui (x̄i ), то это только ценой превышения стоимости набора, который дается
ему по x̄ т.е. если этот x и лучше, то он стоит дороже, чем стоит набор x̄, который фигурирует как
элемент P 0 .
Доказательство : В доказательстве важную роль будет играть лемма 3 (теорема Минковского).
К этой лемме нам надо сконструировать два выпуклых множества, которые бы не пересекались.
А потом найти линейный функционал. Это и будет вектор цен p̄, который будет выполнять все те
функции, которые от него требуются.
Сначала докажем, что если есть вектор цен p̄, то тогда x будет слабо Парето-оптимальным.
Итак, допустим, что у нас есть допустимое распределение x̄ ∈ Z и вектор цен p̄ удовлетворяющий
условию (***). Докажем, что x̄ ∈ P 0 . Пойдем от противного, допустим, что ∃ другое допустимое
распределение x ∈ Z, которое удовлетворяет условию: ui (xi ) > ui (x̄i ) i ∈ N, т.е. barx не слабо
i
i
Парето-оптимально.
Тогда,
P i согласно (* * *) p̄x > p̄x̄ i ∈ N. Просуммировав эти неравенства,
P i
получаем p̄
x > p̄
x̄ ⇒ p̄w > p̄w, получили противоречие, значит наше предположение, что
i∈N
i∈N
x̄ не слабо Парето-оптимально неверно.
Докажем теперь вторую часть; где предполагается, что x̄P 0 и ищем вектор p̄, который удовлетворяет условию (***). Построение p̄ сводится к построению двух надлежащих выпуклых непересекающихся множеств, и потом найти функционал, который их разделяет, вектор, с помощью
которого строится линейная функция и вот этот вектор, возможно несколько подправленный, и
будет выполнять роль того самого вектора цен p̄ который нам нужен.
Итак, нам известно, что x̄ ∈ P 0 . Для каждого участника i ∈ N построим множество Mi (x̄) =
i
l
{x ∈ R+
на которых ui (xi ) > ui (x̄i )}−{x̄i } (вычитаем алгебраически), т.е. возьмем сдвиг множества
тех наборов на которых функция принимает
значения > чем на на вектор x̄i .
P
Теперь введем множество M (x̄) =
Mi (x̄) - эта алгебраическая сумма иногда называется сумi∈N
мой по Минковскому. Под суммой множеств понимается совокупность всех сумм составленных из
векторов принадлежащих этим множествам. Далее мы будем исследовать два нужных нам множества: M (x̄) и 0. Нам надо будет доказать выпуклость. И найти p̄.
15
Лекция N 5
Продолжаем доказательство нашей теоремы. Мы остановились на том, что надо было доказать, что
если x̄ ∈ P 0 , то тогда непременно найдутся такие цены p̄ >> 0 и удовлетворяют такому условию,
что если для каждого участника i, из того что для него нашелся допустимый набор xi ≥ 0, для
которого ui (x̄) > ui (x̄i ) следует, что p̄ · xi > p̄x̄i (+).
Мы уже построили множества Mi (x̄) - это грубо говоря все наборы для которых участник по
своей функции полезности
получает строго больше, чем по x̄i и минус x̄i , сдвиг такой. Потом мы
P
построили M (x̄) =
Mi (x̄).
i∈N
Мы остановились на том, что если бы доказать, что множество M (x̄) является выпуклым и не
содержит нуля, то мы получили бы два непересекающихся выпуклых множества, которые по лемме
3 можно разделить функционалом, т.е. некоторым вектором p̄, который будет играть роль цен p̄,
которые фигурируют в (+). Этим мы и будем заниматься.
Т.к. множество Mi (x̄) выпуклые, то их алгебраическая сумма, тоже выпуклое множество, т.е.
M (x̄) выпуклое. Т.е. нам надо доказать выпуклость Mi (x̄) А выпуклость Mi (x̄) вытекает просто из
условий, которые мы наложили на функцию полезности, что функция полезности каждого участника является вогнутой. Вспомним: Mi (x̄) = {xi − x̄i |xi ≥ 0, ui (xi ) > ui (x̄i )}. А это есть ни что
иное, как сдвиг верхнего Лебеговского множества функции ui . Верхнее Лебеговское это там где
ui (x) > λ = ui (x̄). Докажем выпуклость. Итак, мы берем два произвольных элемента из множества Mi , берем произвольное число t ∈ (0, 1) и берем выпуклую комбинацию этих двух элементов
и проверяем, что это снова попадаем в Mi . Итак, фиксируем некоторое число t ∈ (0, 1), берем два
произвольных элемента z i = xi − x̄i и z 0i x0i x̄i , которые попадают во множество Mi (x̄). Теперь нам
надо взять выпуклую комбинацию этих элементов z(t) = tz i + (1 − t)z 0i и показывает, что этот
элемент тоже ∈ Mi (x̄), но z(t) = [txi + (1 − t)x0i ] − x̄i (привели подобные).Теперь чтобы доказать
окончательно, что z(t) ∈ Mi (x̄), нам осталось только убедиться, что ui (txi + (1 − t)x0i ) > ui (x̄i ).
z(t) есть неотрицательный вектор, т.к. каждый из них по выбору не отрицательный (xi и x0i ), а
выпуклая комбинация неотрицательных будет снова неотрицательной.
Проверим, что ui (txi + (1 − t)x0i ) > ui (x̄i ). пользуясь вогнутостью функции и тем условием, что
на xi и x0i наша функция по предположению принимает значения строго больше чем на x̄i .
Если мы воспользуемся условием вогнутости, то получим следующее: ui (txi +(1−t)x0i ) ≥ tui (xi )+
(1 − t)ui (x̄i ). Но ui (xi ) и ui (x0i ) строго больше ui (x̄i ).
Когда мы берем выпуклую комбинацию этих двух чисел, то мы берем какой-то элемент из отрезка (ui (xi ); ui (x0i . Но тогда и любой элемент из этого отрезка будет строго больше ui (x̄i ). На картинке
это будет так:
6
r ui (x0i )
{r u (x )
i
i
r ui (x̄i )
-
Когда мы берем выпуклую комбинацию этих двух чисел, то мы берем какой-то элемент из
отрезка (ui (xi ); ui (x0i )). Но тогда и любой элемент из этого отрезка будет строго больше ui (x̄i ).
Можно записать так
ui (xi ) > ui (x̄i ) xt
ui (xi ) > ui (x̄i ) x(1 − t)
16
а затем складываем:
tui (xi ) + (1 − t)ui (x0i ) > ui (x̄i )
Т.о. множество является выпуклым, т.е. каждое множество Mi является выпуклым. Т.е.M (x̄)
выпуклое.
Докажем, что 0 ∈
/ M (x̄), тогда мы будем иметь два выпуклых непересекающихся множества и
тогда можно будет найти тот p̄, который их разделяет.
Докажем от противного, пусть 0 ∈ M (x̄) и x̄ ∈ P 0 . Из того, что 0 P
∈ M (x̄) мы получаем, что
найдутся такие xi ≥ 0 (допустимые), что ui (xi ) > ui (x̄i ) для всех i ∈ N и
(xi −x̄i ) = 0 (*), вот что
i∈N
означает, что 0 ∈ M (x̄), прямо по определению множества M, но это противоречит тому, что x̄ ∈ P 0 ,
i
i
0
n
т.к.
P ui (xi ) > ui (x̄ ) и само распределение x = (x , . . . , u ) является допустимым распределением,
P i
P
x =
x̄,
i∈N x = W. Это равенство вытекает из (*) т.к. из этого равенства мы имеем, что
i∈N
i∈N
P
а т.к. x̄i допустимое расширение, то
x̄i = W Т.о. мы получили противоречие с тем, что x̄ ∈ P 0
i∈N
т.е. 0 6= M (x̄).
Получили теперь p̄. Здесь мы воспользуемся теоремой Минковского и покажем, что (+) имеет
место. Согласно этой теореме ∃p̄ 6= 0, такой что 0 ≤ inf p̄ · z, мы берем sup на 0 и inf на M (x̄). А
z∈M (x̄)
из определения inf, мы имеем: 0 ≤ p̄ · z ∀z ∈ M (x̄) (**).
Упорядочим как-нибудь наши цели.
1). Сначала докажем, что для каждого i ∈ N и для любого z i ∈ Mi (x̄) имеет место p̄ · z i ≥ 0.
2). Потом докажем, что p̄ >> 0.
3). В конце докажем (+).
Доказательство
1). Зафиксируем произвольный i ∈ N, z i = xi − x̄i ∈ Mi (x̄), и покажем, что p̄ · z i ≥ 0 или
i
p̄x ≥ p̄x̄i .
Рассмотрим элемент z ∈ M (x̄), который есть
z = zi +
X
[(x̄j +
j inN \i
1
· lk ) − x̄j ]
m(n − 1)
где m - произвольное натуральное число ≥ 1, n – число участников модели, k – какой-то продукции ∈ L (выбираем один и тот же для всех участников j). Итак, мы сформировали вектор z,
по форме такой, как элементы из множества M (x̄) т.е. равный сумме из n слагаемых, каждый из
которых, как мы сейчас проверим, действительно ∈ своему множество Mi (x̄). И тогда мы получим,
что z ∈ M (x̄). Т.е. будем доказывать, что z ∈ M (x̄). В этой сумме слагаемое, отвечающее участнику
i по предположению ∈ своему множеству Mi (x̄) по выбору. Посмотрим на остальных участников.
Чтобы показать, что эти разности принадлежат соответствующим Mj (x̄), достаточно убедиться,
1
что: ui (x̄j + m(n−1)
· lk ) >> ui (x̄j ), но это очевидно, т.к. наши функции полезности являются строго
возрастающими, а здесь к x̄j мы даем еще некоторое положительное количество продукта N K Т.о.
z ∈ M (x̄).
Теперь нам надо оценить чему будет равно значение скалярное произведение p̄z, если мы покажем, что оно при любом
будет мало отличаться от p̄z i , то в пределе мы получим, что требуется.
P m
1
1
i
k
= p̄z i + p̄k m
≥ 0, т.к. вектор строился так, что его скалярное проИмеем: p̄z = p̄z + p̄
l m(n−1)
j∈N \i
изведение со всеми z ∈ M (x̄) было неотрицательным. Теперь воспользуемся теоремой о сохранении
неравенств в пределе. У нас в левой части очевидно сходящаяся последовательность. Т.о. имеем:
lim (p̄z i + p̄k
m→∞
1
)p̄z i ≥ 0 lim 0 = 0.
m→∞
m
Т.е. p̄z i ∈ 0. Если записать по другому, то для каждого i ∈ N и для каждого xi ∈ 0, который
дает ui (xi ) > ui (x̄i ) выполняется p̄xi ≥ p̄x̄i (++)
2). Докажем, что p̄ >> 0. но сначала докажем, что p̄ ≥ 0. Пойдем от противного, допустим,
что для какого-то продукта k p̄k < 0. Тогда для произвольного участника возьмем и добавим к
его набору x̄i единичку продукта k : x̄i + lk получим новый набор, который очевидно лучше, чем
17
набор x̄i т.е. ui (x̄i + lk ) > ui (x̄i ) в силу строго возрастания функции полезности. Получим теперь
противоречие l (++). Т.к. x̄i + lk лучше x̄i , то т.о. мы получаем, что p̄k ≥ 0, а по предположению
p̄k < 0 т.е. наше предположение неверно.
Т.е. мы доказали, что все компоненты вектора p̄ неотрицательны, нам осталось доказать, что
они все положительны. Пойдем от противного, допустим, что есть m -ая компонента для которой
p̄m , а т.к. вектор p̄ неотрицательный и он не равен нулю, то у него есть хотя бы одна положительная
компонента, пусть p̄k > 0. Сейчас мы должны получить противоречие, его мы получим следующим
образом, нам надо сначала найти участника у которого по его набору x̄ имеется ненулевое количество продукта k, а потом как-то воспользоваться тем, что у нас есть продукт, который ничего не
стоит. Почему ∃ хотя бы один участник у которого k - тый продукт
в его наборе x̄ наличествует в
P i
ненулевом количестве, просто потому, что у нас по условию
x̄ = W > 0 (строго положительна),
P i i∈N
т.е. каждый продукт имеется в ненулевом количестве
x̄k = Wk > 0, т.е. в этой сумме есть хотя бы
одно слагаемое строго больше нуля, значит ∃ такой i для которого x̄ik > 0, этого i - того участника
мы и возьмем сейчас: i = i(k) (зависит от k).
Итак, мы берем участника i который располагает набором x̄i , в котором имеется ненулевое
количество продукта N k, по которому цены строго положительны. Затем мы можем добавить этому
участнику какое-то небольшое количество продукта m, так, чтобы его функция полезности выросла,
а потом, пользуясь непрерывностью, можем чуть-чуть отнять у него некоторое количество продукта
k, и пользуясь непрерывностью сохранить неравенство для функции полезности, а потом подсчитать
баланс, что чего стоит, и получить противоречие. Вот такой смысл всего дальнейшего.
Проделаем следующие манипуляции:
а). дадим этому участнику некоторое небольшое число продукта: x̄i + Elm , E > 0, E – какое-то
число > 0.
По строгому возрастанию функции мы имеем:
ui (x̄i + Elm ) > ui (x̄i )
(∗ ∗ ∗)
Теперь воспользуемся непрерывностью ui . Т.к. функция непрерывная, то если выполняется (***),
то должно выполняться такое-же неравенство и для всех наборов, достаточно близких к набору,
что выписан в левой части (***). Т.е. для нашего E должен найтись такой δ ∈ (0, x̄ik ) (чтобы набор
оставался допустимым), что ui (x̄i + Elm − δlk ) > ui (x̄i ) (δ -достаточно малое). А используя (+ +)
мы получаем, что
x̄i (E, δ) · p̄ = p̄x̄i + p̄m · E − δ p̄k ≥ p̄x̄i ⇒ −δ p̄k ≥ 0,
поскольку δ > 0, p̄m · E = 0 т.к. p̄m = 0 и p̄k = 0, т.о. мы получили противоречие, т.е. не ∃pm = 0
Т.о. мы получили, что p̄ >> 0.
3). Нам надо доказать, что из ui (xi ) > ui (x̄i ) вытекает, что p̄xi > p̄x̄i .
Пойдем от противного, допустим, что для какого-то участника i и какого-то набора xi этого
неравенства нет, а по доказанному ранее p̄xi > p̄x̄i т.е. ∃ набор xi , который по функции полезности
лучше, а по деньгам такой же p̄xi > p̄x̄i . Попробуем извлечь противоречие. Какое тут может быть
противоречие ? Сначала посмотрим на самое начало цепочки, мы предположим, что набор xi лучше, чем набор x̄i , в силу того, что функция и строго возрастающая, ясно, что набор xi не может
быть нулевым, а если бы xi был нулевой ,то у нас было бы ui (xi ) ≤ ui (x̄i ), но у нас стоит неравенство ui (xi ) ≤ ui (x̄i ) ⇒ xi 6= 0, а значит какая-то его компонента строго больше нуля: xik > 0. Раз
xi лучше чем x̄i и у него есть хотя бы одна ненулевая компонента, мы можем чуть-чуть ее уменьшить, отобрать у него немного продукта с тем,чтобы строгое неравенство для функции полезности
сохранялось, а потом получить противоречие. Вот какая идея доказательства.
Итак, у нашего участника i есть ненулевое количество k - того продукта xik > 0, т.к. функция ui
непрерывная,то мы можем уменьшить это кол-во, т.е. рассмотреть новый вектор xi −δlk , где δ какоето достаточно маленькое, положительное число из интервала (0, xik ), так,что в силу непрерывности
у нас сохраняется неравенство ui (xi − δlk ) > ui (x̄i ). А используя (++), имеем : p̄xi − δ p̄k ≥ p̄x̄i , а по
нашему предположению p̄xi = p̄x̄i ⇒ −δ p̄k ≥ 0, поскольку δ > 0 и p̄k > 0 получили противоречие
Т.о. (+) выполняется.
18
Мы доказали, что Парето-оптимальные распределения обладают некоторым дополнительным
хорошим свойством, что если ввести хорошие цены p̄, то при условии, что дальнейший обмен разрешается только в рамках этих цен, нам невозможно найти какой-то обмен, который улучшил бы
положения участников в распределении x̄. Проиллюстрируем этот тезис более подробно.
Если мы введем бюджетное множество для каждого участника i : Bi (p̄, x̄i ) = {xi ≥ |p̄xi ≤
i
p̄x̄ } – это всевозможные наборы, которые может себе позволить участник, продав, допустим, свой
первоначальный запас x̄i . Наша теорема утверждает, что если цены выбраны разумно, то от добра
добра искать ему не придется, потому что соотношение (+), означает, что набор xi попадет в число
допустимых ему по ценам p̄ и функция полезности во множестве Bi достигает своего максимума:
ui (x̄i ) = max{ui (xi )|xi ∈ Bi (p̄, x̄i )},
т.е. лучше чем x̄i по ценам p̄ нет.
Соотношение (+) в наших новых обозначениях можно выразить так, что найдется строго положительный вектор p̄ такой, что для каждого участника i, набор x̄i доставляют max их функциям
полезности на множестве Bi (x̄i , p̄). И у нас нет никакого стимула для обмена x̄i на что-то другое.
Сделаем следующие замечания
I). Желательно доказать самим. В некоторых достаточно естественных условиях, наша характеристика слабо Парето-оптимальных распределений годится и для строго Парето-оптимальных
распределений. Это имеет место в следующем случае, если w >> 0, а ui непрерывные и строго
возрастающие, автономные, то P = P 0 . Все это имеется в нашей теореме, значит она доказана и для
строго Парето-оптимальных распределений.
Идея доказательства : оно идет от противного, мы знаем, что P ⊆ P 0 , а нам надо доказать,
что P 0 ⊆ P, а это можно доказать от противного, допустим, что есть распр. x ∈ P 0 и ∃y ∈ Z,
что ui (y) ≥ ui (x) и для какого-то по крайней мере одного участника ui0 (y) > ui0 (x), т.е. x не
строго Парето-оптимально. А дальше мы применяем прием, которым пользовались в доказетельстве
теоремы, что раз для i0 выполняется такое строгое неравенство, то тогда из-за строгого возрастания
наших функций и из-за неотрицательности векторов x и y получается, что у вектора y есть хотя
бы одна компонента строго большая нуля yki > 0, а значит есть ненулевое количество продукта k.
Тогда пользуясь непрерывностью и строгой монотонностью функции мы можем забрать немного
продукта k(0 < δ < yki0 ) у участника i0 и разделив поровну между остальными n − 1 добывать
им δ/n − 1 продукта k. Если δ достаточно маленькое, неравенство для i0 сохранится, а остальные
неравенства из-за строгого возрастания функции полезности, станут строгими неравенствами. И
мы получаем следующее, мы нашли допустимое распределение, которое чуть-чуть отличается от y,
в котором все неравенства выполняются как строгие, а это противоречит тому, что x ∈ P 0 .
II). Желательно доказать самим. Касается практического использования нашей теоремы. Если
в условиях теоремы 2 функции ui дифференцируемы, то для допустимого распределения x ∈ Z,
которые x >> 0 условие x ∈ P 0 записывается следующим образом: x ∈ P 0 ⇔ x ∈ Z и ∃ вектор
p̄ >> 0, ∃ числа λi > 0 такие, что ∇ui (x̄i ) = λi p̄ i ∈ N. Т.е. тогда все градиенты в точках x̄i
являются коллинеарными и одинаково направленными.
На картинке:
CC
линия уровня
C
C
@
@ C
µ
¡
@C ¡
r¡X
x̄i @
µ
X
i
@ XXXuX
XX
X
@
@
@ касательная
@
@
6
@
19
-
Пусть нам дали допустимое распределение x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Z. ui – выпуклые, дифференцируемы, строго возрастающие, w >> 0. Как проверить, что допустимое распределение является
строго Парето-оптимальным. Проводим линии уровня через x̄i , потом проводим касательную к
линии уровня в точке x̄i , а потом восстанавливаем перпендикуляр к касательной.
Для всех n участников, когда два продукта, мы можем проделать эти операции. Если все градиенты направлены в одну сторону, т.е. помещаются все на одну и ту же прямую, то тогда это будет
с необходимостью слабо Парето-оптимальным распределением. И наоборот оказывается верно, что
если мы возьмем какое-то слабо Парето-оптимальное распределение, то тогда с необходимостью
градиенты будут удовлетворять условию, что они будут коллинеарны и одинаково направлены. А
все это проистекает из доказанной теоремы и из признака оптимальности в дифференциальной
форме.
Лекция 6
Итак, подведем итог. Итак, мы попытались на основании индивидуальных предпочтений, построить коллективное предпочтение, ну а затем max эти предпочтения, выбрать наилучшее для
общества распределение. Вот оказалось, что если предъявить очень естественные требования к такому процессу агрегации индивидуальных предпочтений, то в общем как мы знаем по Т.Эрроу,
ничего хорошего от такого подхода ждать не приходится. Ну max, что мы обнаружили, что социальный или экономический оптимум достигается просто как оптимум какого-то индивидуума
из нашего общества. Т.е. прямой подход к решению этой проблемы привел нас в тупик. Мы попытались найти другим путем, не искать самое лучшее из каких-то априорных соображений, а
постепенно выметать, удалять из множества Z те распределения, которые заведомо не подходят
в качестве наилучшего выбора. Раньше у нас был только один инструмент для того, чтобы выметать такие плохие распределения, это когда распределение такое, что в нем каждому участнику
плохо, в том смысле, что можно перейти к другому распределению, где каждому станет лучше.
Вот с помощью всего, накладываемого всем коллективом мы выбрасывали из множества Z все те
распределения которые заведомо не являются Парето-оптимальными. Т.о. круг поиска сузился до
множества P 0 . Но множество P 0 еще достаточно большое, в нем слишком много распределений,
чтобы считать нашу задачу выполненной. Надо его как-то сокращать дальше, идеал – перейти к
одноэлементному подмножеству множества P 0 . Сам идеал редко достижим, но что-то близкое к
нему можно обеспечить, это когда мы постараемся выбрать в качестве наших социальных или экономических оптимумов Вальрасовские распределения. Но Вальрасовские распределения можно в
принципе определить на том же пути что и слабо Парето-оптимальные распределения. Вот сейчас
мы попытаемся перебросить мостик между P 0 и равновесными (Вальсаровскими) распределениями используя нашу последнюю теорему. Мы доказали что для всякого слабо Парето-оптимального
распределения, при подходящих условиях на ф. полезности, можно найти цены, которые бы создавали видимость свободы выбора для участников и можно бы надеяться, что при решении задачи
отыскания эк. оптимума, может быть одними ценами и можно обойтись, т.е. можно регулировать
отношения между участниками используя только цены. Итак, как примерно это могло бы выглядеть. Значит, мы из элемента x̄ ∈ P 0 на основании предыдущей теоремы доказали ∃ цен p̄ (l -мерный
вектор, сколько продуктов, столько и цен) такой, что если образовать бюджетные множества:
Bi (p̄, wi ) = {xi ≥ 0|p̄xi ≤ wi }
wi – сумма денег, которой располагает i - ый участник. В последней теореме мы доказали, что x̄i
при хороших ценах p̄ есть просто-напросто решение задачи: ui (xi ) → max на Bi (p̄, wi ) при условии,
что wi = p̄x̄i .
Т.е. процесс построения слабо Парето-оптимального распределения в свете новейших демократических идей можно было бы представить следующим образом: вот некий кланирующий орган
каким-то образом обнаружил слабо Парето-оптимальное распределение, ну и решил осчастливить
20
им весь коллектив состоящий из N участников, можно конечно напрямую создать, вот i - тому x̄i ,
но это получается чистая распределилка, можно поступить умнее, они какую-то функцию uα max,
нашли x̄, дальше воспользовавшись нашей последней теоремой нашли цены p̄, а дальше проделали
следующее: оценили каждое из x̄i по ценам p̄, получили wi , которое нужно вручить i тому участнику с тем, чтобы после этого он самостоятельно решил свою индивидуальную задачу оптимизации
своей функции полезности на собственном бюджетном множестве и чудесным образом, то что он
находит оказывается равным x̄i . У этой картинки есть и другая сторона, почему в принципе желательно перейти к управлению с помощью только цен, ну просто потому-что есть информационное
ограничение, чтобы скажем решить задачу max uα , этому регулирующему органу надо знать характеристики всех участников, более того надо знать кто конкретно как устроен, у кого конкретно
какие функции полезности, потому-что без этого uα не сочинишь и не смаксимизируешь, т.е. в сравнении с l - параметрами, которые сидят в ценах, ему нужно знать (регулирующему органу) l × n
параметров, как min, если например, ф. полезности линейны. Т.е. чисто информационные и вычислительные ограничения диктуют попытку освободиться от полной регламентации и уменьшению
размерности решаемой задачи, хотя бы до l, вот цены бы найти хорошие, при которых бы каждый
каким-то образом самостоятельно решил свою собственную задачу, т.е. речь идет о децентрализации принятий решений. Раньше регулирующий орган делал все за индивидуума: даже отыскивал
цены; теперь задача становится иначе: можно ли придумать некую схему при которой имея в распоряжении только l управляющих параметров, да и их желательно чтобы рынок сам устанавливал,
добиться того, чтобы результирующая распределения, полученная в результате решения задачи
max каждым из индивидумов отдельно, независимо от остальных, было бы по крайней мере такого
же качества как и те что мы умели получать раньше, т.е. слабо Парето-оптимальными. Как же это
сдалать? Мы совершили некоторый круг, мы для wi нашли x̄i , затем оценили в этих ценах, потом
дали этот wi . Чтобы избавиться от этой задачи, искать x̄i , можно позволить себе совершить либо
приватизацию, либо денационализацию и т.п. Т.е. идея такая, что бы легче было определять wi
при известных ценах p̄, давайте просто-напросто
P i раздадим этот общий ресурс W участникам, т.е.
w = W, т.е. мы раздаем общий ресурс W участникам
выделим каждому из них долю W i ≤ 0 и
i∈N
бесплатно, руководствуясь какими-то критериями (стат. и т.п.). А дальше задача определения wi
сводится к: wi = p̄ · · · wi , где p̄ – известны.
wi – частная собственность, с которой участник i может делать что угодно: продать, подарить
и т.п. В частности он может полностью продать wi по ценам p̄ и выручить сумму денег wi . А потом
располагая wi искать в своем бюджетном множестве то, что его устраивает больше всего. Ну и
правильные, хорошие цены должны по идее давать тот же результат, что и раньше, т.е. опт. выбор
должен быть таким, что совокупный набор этих наборов должен быть доступным распределением
и если так, то это уже будет хорошо, т.е. индивидуальные решения согласованы с возможностями экономики (эти x̄ можно получить перераспределением w). Если бы еще при этом то что мы
получили было бы слабо Парето-оптимальным , то уже мы бы получили какой-то конкретный механизм отыскания этих самых x̄, слабо Парето-оптимальных распределений не централизованным,
а децентрализованным способом. Тогда за этим регулирующим центром остается только задача
назначить правильные цены, а дальше участники разберутся каждый в отдельности, решая свою
подзадачу. Вот такая идея лежит в основе определения Вальсаровского равновесия. Итак, повторим еще раз, оказывается, что все так получаемые равновесные распределения не только слабо
Парето-оптимальны, а обладают еще некоторыми дополнительными свойствами, которые оказаваются того-же примерно типа, что и устойчивость слабо Парето-оптимальных распределений, но
только относительно не только множества всех участников в целом, но и каждой части участников.
На этом пути мы приходим к определению ядра, к определению блокирования и вот еще более
интересный факт, оказывается, что имея это определение блокирования, аналогичное в некотором
смысле доминированию, которое определяет слабо Парето-опт. распр., мы можем отыскать критерий с помощью которого выбрасываем не подходяшие распределения, доминируемые или блокируемые, в остатке получить в множестве Z в точности равновесное распределение и ничего больше,
т.е. оперируя некоторым критерием, который не выдвигает цены, никак не использует равновесные
или еще какие соотношения, мы можем прийти в итоге к распределениям, которые поддерживаются
равновесными ценами, которые в точности совпадают с множеством равновесных распред. Ну это
и будет тот финал, к которому мы стремимся, ничего лучше чем равновесное распределение, как
21
оптимум экономический, пока еще в теории по крайней мере, не придумано. Давайте постепенно
двигаться в этом направлении. Итак, мы произвели "приватизацию", под этим мы понимаем, что
каждому участнику дали набор wi так что w1 , . . . , wn образуют само по себе допустимое распреn
P
деление т.е. wi не отрицательно, а
wi = W. После этого мы вводим определение бюджетного
i=1
множества:
Определение 1: Бюджетным множеством участника при i ценах p̄ мы будем называть множество
всех допустимых наборов xi ≥ 0, которые в ценах p̄ стоят не больше, чем его начальный запас:
p̄ · xi ≤ p̄ · wi , т.е.
l
|p̄ · xi ≤ p̄ · wi }.
Bi (p̄) = {xi ∈ R+
Линия дает нам геометрическое место точек, где p̄ · xi = p̄ · wi .
x2
6A
@
@
CC
C
C
@ C
µ
¡
@C ¡
¡
µ
@
XX
i
@ XXXuX
XX
X
@
¡
µ p̄i
@
¡
6
w@
i r¡
0
@
@B
бюджетное множество
x1
А то что меньше стоит, располагается ниже линии AB. Но также xi ≥ 0. Т.е. получаем 4ABO
– бюджетное множество. Линия AB проведена перпендикулярно к вектору цен p̄.
Введем определение, касающееся оптимального поведения участника при ценах p̄. Он выбирает
наилучший элемент в этом бюджетном множестве. Мы обозначим множество всех этих наилучших
элементов через Di (p̄) и назовем это множество множеством спроса i участника при ценах p̄ :
Определение 2 : Di (p̄) = {x̄i ∈ Bi (p̄)|ui (x̄i ) = max{ui (x̄i )|xi ∈ Bi (p̄)}}. Вообще-то говоря Di (p̄)
множество, не обязательно одноэлементное, может быть пустым. И вот множество всех оптимальных решений задачи max ф. полезности на множестве B мы обозначаем через Di (p̄) и называем это
множество множеством спроса.
Определение 3: Допустимое распределение x̄ ∈ z является равновесным (или вальсаровским),
если ∃ такие цены p̄ при которых выполняются следующие условия: для каждого участника i x̄i ∈
Di (p̄).
Смысл такой: допустимое распределение является равновесным, если можно подобрать такие
"умные"цены p̄ которые децентрализуют процесс выбора компонент x̄, в том смысле, что каждая
компонента x̄i получается при этих ценах как результат решения задачи max ф.полезности этого
индивидуума на его бюджетном множестве. Т.е. если мы рассматриваем, как субъектов которые
не могут и не используются повлиять на цены, то тогда при заданных ценах p̄ все их возможности ограничены Bi (p̄) и наилучшее, что они могут сделать, это выбрать элементы из Bi (p̄). Вот
они такие элементы выбирают и если этот выбор удается сделать согласованным с возможностями
экономики, т.е. с тем суммарным запасом, который в ней есть, то тогда мы говорим, что наше распределение, полученное как результат решения многих частных задач max, является равновесным
распределением. Т.е. можно интерпринировать так: wi – предложение, а xi - спрос.
В этой ситуации мы будем считать, что p̄ равновесные цены, а набор (p̄, x̄) называется равновесным или вальсаровским состоянием (x̄ – равновесное распределение). Когда речь идет о распределении, то определение будет такое: доп. распределение называется равновесным если ∃ в нашей
терминалогии равновесные цены, обеспечивающие равновесность этого распределения вот в этом
смысле, т.е. x̄ есть равновесное распределение, если ∃p̄, что (p̄x̄) образуют равновесное состояние.
Конечно с ходу можно показать, что всякое равновесное распределение является слабо Паретооптим. Но мы пойдем дальше, мы докажем, что равновесное распределение обладает гораздо более
22
сильной устойчивостью, чем угроза со стороны коалиций состоящих из всех участников. Мы сейчас
введем понятие блокирования, которое формализует представление о том какие угрозы (возражения) могут предъявлять против того или иного распределения не только множество всех участников, но и любая часть этого множества. Т.е. введем понятие блокирования (доминирования) того
или иного распределения. Смысл примерно такой, поскольку у нас теперь участники являются
полновластными собственниками своего запаса wi , могут делать с ним все что угодно (продавать,
отдавать и т.п.), то ничего удивительного нет в том, что у них может появиться свое представление о том, что такое хорошо или плохо не только для всего коллектива, но и для его частей,
групп. Формализуем теперь это понятие, что такое плохое распределение с точки зрения какой-то
конкретной группы, коалиции S ⊆ N. В общем случае мы будем иметь 2n − 1 коалиций из множества N (их столько разных видов может быть). Т.е. если раньше была возможность критиковать
какое-то распределение с точки зрения только одной из частей, т.е. N, то теперь у нас появляется
возможность критиковать с точки зрения 2n − 1 частей, поэтому ничего удивительного нет, что распределения выдерживающие такую критику являются только небольшой частью слабо Парето-опт.
распределений.
Определение 4: Коалиция S ⊆ N блокирует (доминирует) допустимое распределение x ∈ Z, если
∃ такие допустимые наборы x̃ ≥ 0 участников коалиции (i ∈ S) что
i
1). uP
i (x̃) > u
i (x )∃i ∈ S
P
2).
x̃ =
wi т.е. x̃ могут быть получены простым перераспределением wi i ∈ S т.е. переi∈S
i∈S
i∈S
i∈S
распределением суммарного запаса членов коалиции S.
Определение 5: Допустимое распределение x̄ ∈ Z является не блокируемым (не доминируемым),
если ∃ никакой коалиции S блокирующей x. Если S = N, то x –слабо Парето-опт. распределение.
Если теперь через C = C(E) обозначить совокупность всех неблокируемых распределений нашей
модели, экономика E, то нетрудно обозначить прямо из определения, что C ⊆ P 0 .
Первое, в чем следовало бы убедиться, что этот способ уменьшения множества Z приводит к
лучшим результатам, чем тогда когда мы удаляли пользуясь правом вето большой коалиции, т.е.
докажем простенький факт, что C ⊆ P 0 – доказать самим.
Докажем, лучше более сильное утверждение. Мы хотим доказать что W ⊆ C. (W - множество
вальрасовских (равновесных) распределений.
Предложение 1. Докажем, что при любой содели E, при любых условиях на ф. полезности, на
начальные запасы, справедливо, что W ⊆ C.
Доказательство: от противного. Допустим, что есть такое распределение x̄ ∈ W, которое является равновесным т.е. для него ∃ соответствующие равновесные цены p̄ так что все получается
согласно определению равновесного распределения. И пусть оказалось, что x̄ блокируемо какой-то
коалицией, т.е. если мы предполагаем, что x̄ ∈
/ C ⇒ ∃ коалиция S, которая блокирует x̄. А это
означает, что найдутся такие наборы xi ≥ 0 ∀i ∈ S, что:
i
1). uP
ui (x̄i ) ∀i ∈ S
i (x ) > P
i
2).
x =
Wi
Поскольку на xi ф. полезности принимает большее значение, чем на опт. значении задачи max ui
i
i
на бюджетном множестве, то мы получаем, что это может быть тогда, когда p̄x
P >i p̄w P∀i ∈i
S. Т.е. x ∈
/ бюджетному множеству. А теперь просуммируем эти неравенства: p̄
x > p̄
W
i∈S
i∈S
P i
P i
получаем противоречие, т.к.
x =
W (по условию). Т.е. никакое равновесное условие, при
i∈S
i∈S
каких бы ни было условиях на нашу модель не может блокироваться никакой коалицией значит
любое равновесное распределение ∈ C т.е. W ⊆ C.
Итак, мы установили, что равновесные распределения являются слабо Парето-оптимальными,
раз оно никакой коалицией не блокируется, значит оно не блокируется коалицией из всех участников, а это и есть условие того, чтобы распределение было слабо Парето-опт. Не Парето-опт. распределения, это те распределения которые в нашей теперешней терминалогии блокируются коалицией
из всех участников.
Следствие 1: W ⊆ P 0 .
Про ядро мы можем проверить самостоятельно, из определений непосредственно вытекает, что
23
ядро конечно содержится в P 0 , потому-что там распределения которые ни чем не блокируются,
никакой коалицией в том числе и коалицией всех участников, а значит ядро заведомо ∈ P 0 . Ну вот
оказывается, что и то что мы хотели получать с помощью цен, вот эти равновесные распределения,
они автоматически P 0 более того они ∈ C.
Введем следующее определение – блокирование с помощью нечетких коалиций. Раньше мы занимались обычными, нормальными коалициями, которые образуют группы участников экономики.
А в общем перейдем на более высокий уровень абстракции, получим более мощный инструмент удаления неприемлемых распределений, а потом окажется, что этот более мощный метод фильтрации
неугодных распределений приводит в точности к тому, что в остатке именно W, ничего другого во
множестве Z не останется.
Введем обозначения:
σ0F – множество всех нечетких коалиций, это n – мерные неотрицательные вектора.
σ0F = {τ = (τ1 , . . . , τn ) ≥ 0, τ 6= 0|0 ≤ τi ≤ 1, i ∈ N }
Нечеткая в отличии от обычной, четкой, которая в рамках этого определения может быть представлена так: каждое множество S можно изобразить в виде его индикаторной функции, которая
элементу i присваивает значение один если i ∈ S и ноль в противном случае. Значит с помощью
такого вектора, имеющего именно этот вид, можно отождествить каждую коалицию с соответствующим элементом нашего множества τ0F . И все отличие нормальных коалиций от всех остальных
нечетких сведется только к тому, что обычные могут принимать значения только ноль или один,
а нечеткие принимают произвольные значения, если эти τi трактовать как степень участия этого эк. агента номер i в коалиции, то вот такое промежуточное значение означает, что он "грубо
говоря"половину времени участвует в коалиции одной а другую половину времени в другой. Так
что понятие нечеткой коалиции формализует эту идею, что участвовать в какой-то коалиции не
обязательно на полную катушку и на практике это часто имеет место, т.е. если время разбить на
кусочки, то соответствующие кусочки в соответствующих коалициях, нечетких, будут обозначать
эти самые степени участия в той или иной коалиции.
По другому это можно трактовать так, τi изображают долю участников типа i занятых в какойто коалиции, можно считать, что участников каждого типа на бесконечное число или достаточно
большое, и τi просто-напросто указывает нам долю участника этого типа номер i, который занят в
коалиции очень большого размера, в которой очень много участников одного и того же типа может
быть, но как много это и указывает τi , если взять отношение числа участвующих к числу всех
этого типа это и будет τi . Тут естественно возникают промежуточные значения между 0 и 1. Пока
нечеткую коалицию можно трактовать как долю участников типа i занятых в какой-то коалиции,
которая на самом деле не часть N – элементного множества, и часть очень большого множества
в котором по много, много экземпляров одного и того же типа представлено, или доля времени
которая уделяется на участие в этой коалиции.
Определение 6: Нечеткая коалиция τ ∈ σ0F блокирует (доминирует) некоторое допустимое распр.
x ∈ Z, если ∃ такие допустимые x̃i ≥ 0 для всех τi > 0, которые удовлетворяют следующим условиям:
1).ui (x̃i ) > ui (xi ) для всех i ∈ N (τ ) sup τ = {i|τi > 0}, для тех i, которые действительно участвуют в коалиции
P
P
2). надо, чтобы x̃i были согласованы с возможностями нечеткой коалиции:
τi x̃i =
τi wi .
i∈N (τ )
i∈N (τ )
Итак, мы будем говорить, что допустимое распределение x является не блокируемым (не доминируемым), если оно не блокируется никакой нечеткой коалицией. Формально, определение похоже
слово в слово на то что было раньше, но разница все таки есть и чтобы эту разницу подчеркнуть
мы множество всех распределений не блокируемых никакой нечеткой коалицией будем обозначать
через CF – нечеткое ядро. И это множество состоит из всех допустимых распределений, которые
не блокируются никакой нечеткой коалицией.
Теперь проверим, что это множество CF обладает тем же свойством, что и C т.е. все равновесные
распределения при любой ситуации, экономике не блокируются ни какой нечеткой коалицией. А
это уже говорит о том, что множество W все таки очень маленькое по сравнению с P 0 т.к. если
обычных коалиций было 2n − 1, то нечетких целый континум и если равновесные распределения
выдерживают блокирование с помощью нечетких коалиций, то тогда это очень маленькая часть C
24
и P 0 . В действительности оказывается, что при достаточно простых предположениях, W совпадает
с CF . Т.е. нечто определяемое в терминах цен оказывается возможно определить совершенно к ним
не прибегая, только в терминах перераспределения, улучшения имеющегося распределения.
Предложение 2: W ⊆ CF .
Доказательство: от противного. Возьмем произвольное равновесное распределение x̄ ∈ W,
которое поддерживается равновесными ценами p̄ и допустим x̄ ∈
/ CF . Тогда ∃ нечеткая коалиция
τ которая блокирует x̄. Тогда согласно определению, приведенному выше, найдутся допустимые
распределения xi ≥ 0 :
i
i
1). uP
i (x ) > ui (x̄
P) ∀i ∈i N (τ )
i
2).
τi x =
τi W
N (τ )
N (τ )
А раз xi дает большее значение чем x̄i , значит xi не ∈ бюджетному множеству, т.е. мы имеем, что
i
p̄x > p̄wi ∀i ∈ N (τ ) (это просто из определения равновесия). А теперь умножим все эти неравенства
на положительные
числа τi , по определению в N (τ ) сидят те i для которых τi >, 0 и сложим теперь:
P
P
p̄
τi xi > p̄
τi W i , но это противоречит 2). Значит всякое равновесное распределение без
N (τ )
N (τ )
всяких условий на экономику E, Ф. могут быть всевозможными, ∈ CF , оно не может блокироваться
никакой нечеткой коалицией.
Из предложения 2 на самом деле вытекает, что все равновесные распределения ∈ C т.к. в обычном ядре мы блокируем только с помощью какой-то части того, что в σ0F сидит. Во всяком случае
ясно, что CF ⊆ C.
Теперь настало время разобраться с тем при каких же условиях имеет место CF ⊆ W, и тем
самым имеет место CF ⊆ W. Оказывается, что эти условия точно такие же, как были в предыдущей
теореме по поводу P 0 . Более точно это можно сформулировать так:
Теорема 1: (Стоимостная характеризация CF )
P
Если функции полезности ui непрерывные, строго возрастающие и вогнутые, а W = W i >> 0,
N
то W = CF . Т.е. потому что получается в результате эквивалентного обмена по некоторым специально выбранным ценам, как результат оптимизации Ф. полезности на бюджетных множествах,
на самом деле может быть охарактеризовано как та часть множества Z, которая остается после
удаления всех распр. блокируемых какой бы то ни было нечеткой коалицией.
Прежде чем доказывать эту теорему, которая доказывается по той же схеме что и предыдущая
теорема, мы введем сначала некоторую геометрическую характеризацию, что такое, что данное
распределение принадлежит CF и установим выпуклость одного из двух множеств, которых нам
предстоит разделить гиперплоскостью, которая и окажется ценами, которые поддерживают равновесное распределение.
Для этого введем следующие объекты:
Для каждого участника i и для некоторого фиксированного допустимого распределения x̄ через
Mi (x̄) обозначим такие множества:
Mi (x̄) = {xi − wi |xi ≥ 0, ui (xi ) > ui (x̄i )}
Определим теперь M (x̄) – это то что характеризует x̄ в целом с точки зрения всего коллектива:
X
M (x̄) = {
τi z i |τ ∈ σ0F , z i ∈ Mi (x̄)}
N (τ )
τ – фиксированный элемент.
Теперь, первое что мы должны сделать, это дать характеристику, что данный x̄ ∈ CF . Оказывается эта характеристика довольно простая и имеет такой вид:
Предложение 3: Приведем его без доказательства, т.к. оно вытекает из определения. Распределение x̄ ∈ CF ⇔ 0 ∈
/ M (x̄). Т.е. когда мы берем какое-то допустимое распределение x̄, то чтобы
убедиться попадает оно в CF или нет, надо оказывается всего-навсего построить M (x̄). x̄, оказывается не блокируется никакой нечеткой коалицией тогда и только тогда, когда это множество M (x̄)
не содержит в себе начала координат. И наоборот, если (0,0) не попадает в M (x̄), то оказывается,
что x̄ является элементом нечеткого ядра. А если множество M (x̄) захватило (0,0), то тогда x̄ бло-
25
кируется какой-то нечеткой коалицией. Это проверяется просто по определению M (x̄).
x2
6
'
$
M (x̄)
'
$ случай 1
&
%
случай 2
&
x1
%
N B1 доказать предложение 3 самим
А пока будем считать, что этот факт установлен. Вот такая геометрическая характеризация элементов CF , которая состоит в отношении между нулем и M (x̄) нами установлена. Т.е. мы видим
характеризацию элементов CF в терминах двух множеств, что какие-то два множества не пересекаются: 0 и M (x̄). А это уже говорит о том, что у нас появляется возможность, потенциальная,
где-то там воспользоваться теоремой отделимости и получить соответствующие цены, если нужно
будет характеризовать распределение x̄ ∈ CF . Чтобы эта возможность реализовалась полностью,
нам естественно кое-чего тут не достает. Это соотношение у нас без каких бы то ни было условий
на ф. полезности доказывается, просто на основании определения. Поэтому тут вообще говоря про
выпуклость этого множества говорить не приходится, оно может быть и не выпуклым, в общем
случае. Надо найти условия при которых это множество выпуклое и лое и тогда мы будем в состоянии воспользоваться теоремой отделимости. Выпишем условия обеспечивающие выпуклость M (x̄)
и докажем соответствующий результат.
Предложение 4: Если функции полезности вогнутые, то множество M (x̄) выпуклое, где x̄ произвольное допустимое распределение, не предполагается, что x̄ ∈ CF .
Доказательство: идя доказательства простая и основывается на строении этого самого M (x̄).
Мы берем какие-то два произвольных элемента z и z 0 ∈ M (x̄) и берем произвольное число t ∈ (0, 1),
без концов, т.к. когда границы проверять нам нечего, эта комбинация будет равна одному из двух
элементов. Теперь рассматриваем выпуклую комбинацию: z̃ = tz + (1 − t)z 0 и нам надо доказать,
что эта комбинация M (x̄).
Из того, что z и z 0 ∈ M (x̄) прямо P
из определения вытекает, что для элемента z∃ нечеткая
коалиция τ и z i ∈ Mi (x̄) такие что z =
τi z i , а для z 0 ∃ своя нечеткая коалиция τ 0 и z 0i ∈ Mi (x̄)
i∈N (τ )
P 0 0i
такие что z 0 =
τi z .
i∈N (τ )
Оказывается, что нечеткая коалиция с помощью которой можно построить tz + (1 − t)z 0 есть
ничто иное как соответствующая выпуклая комбинация z̃ = tz + (1 − t)τ 0 .
Лекция 7
То что τ̃ ∈ σ0F вытекает из факта, что σ0F (множество всех нечетких коалиций) выпуклое множество. Проверяется это непосредственно, как мы помним множество нечетких коалиций это у нас
n мерный кубик, к которого выколото начало (0,0).
26
x2
6
для случая двух участников:
@
@
@
@
@
f
x1
Очевидно, что этот квадратик является выпуклым множеством. Это проявляется непосредственно,
надо доказать, что выпуклая комбмнация любых двух попадает в кубик (это очевидно, здесь нет
проблем); самое главное доказать, что эта штука не может быть нулем, но она нулем быть не может,
потому-что выпуклая комбинация двух векторов в каждом из которых по крайней мере есть одна
положительная компонента, ясно дело будет вектором, который отличен от нуля. Так, что нет
проблем проверить, что σ0F является выпуклым, ну а в силу его выпуклости τ̃ будет элементом σ0F
т.е. это будет тоже нечеткая коалиция.
Но нам надо еще построить элементы из Mi (x̄), мы их будем обозначать через z˜i и определять
их будем так:
tτi i (1 − t)τi0 0i
z˜i =
z +
z (∗)
τ˜i
τ˜i
i ∈ N (τ ) ∩ N (τ 0 ), т.е. для тех участников, которые с ненулевой интенсивностью участвуют одновременно и в той нечеткой коалиции τ и в τ 0 , т.е. τi и τi0 строго больше нуля. Далее мы полагаем
z˜i = z i (2*) если i ∈ N (τ )\N (τ 0 ) т.е. для тех i для которых τi больше нуля, а τi0 = 0. А также
z˜i z 0i (3∗), если i ∈ N τ 0 \N (τ ), т.е. для тех i для которых τi0 > 0, а τi = 0.
Чтобы представить z̃ в нужном виде, нам надо доказать, что z˜i ∈ Mi (x̄) для каждого i. Первое,
что мы проверим, что это верно для всех трех вышерепечисленных групп участников. А это проверяется достаточно легко, как мы помним, по доказательству предыдущей теоремы о стоимостной
характеризации Парето-оптимальных распределений, там уже появились Mi (x̄), но немножко правда отличные от того, что мы сейчас используем, мы сейчас вычитаем W i , а там вычиталась x̄i , вот
и вся разница. Там уже доказывалось, что множества такого вида при условии вогнутости функции
полезности, являются выпуклыми, вот на это мы и будем опираться.
Итак, в условиях нашего продложения множества Mi (x̄) являются выпуклыми( и это доказывается точно также, как и в предыдущей теореме).
А раз эти множества все выпуклые, то стало быть элементы z˜i из (*) будут ∈ Mi (x̄) т.к. в (*)
записана выпуклая комбинация двух векторов z i и z 0i , для этого надо проверить, что коэффициенты
в этой комбинации неотрицательны и сумма их равняется единице: берем первый коэффициент:
t > 0, τi > 0 и τ˜i = tτi + (1 − t)τi0 > 0, т.е. первый коэффициент > 0; берем второй коэффициент
(1 − t) > 0, τi0 > 0 и τ˜i > 0, т.е. второй коэффициент > 0. Проверим, что их сумма = 1 :
tτi
(1 − t)τi0 tτi + (1 − t)τi0 τ̃i
+
=1
τ̃i
τ̃i
τ̃i
τ̃i
То мы имеем следующие формулы для τ˜i :
τ̃i = tτi + (1 − t)τi0 для (*)
τ̃i = tτi для (2*), т.к. τi0 = 0
τ̃i = (1 − t)τi0 для, (3*) т.к. τi = 0
Т.о. мы доказали, что z˜i ∈ Mi (x̄) т.к. z 0 и z 0i ∈ Mi (x̄). Для (2*) и (3*) аналогично доказывается,
что z˜i ∈ Mi x̄.
Теперь нам нужно убедиться, что линейная комбинация z˜i взятых с коэффициентом τ˜i будет в
точности равна вектору z̃ : Нужно все аккуратно подсчитать:
27
P
P
τ˜i z˜i =
[tτi z i + (1 − t)τi0 z 0i ]+
N (τ )∩N (τ 0 )
P
P
+
tτi z i +
(1 − t)τi0 z 0i tz + (1 − t)z 0
N (τ )\N (τ 0 )
N (τ 0 )\N (τ )
P ˜i
Т.о. мы получили, что
τ̃i z = z̃, т.е. выпуклая комбинация представима в том самом виде
который необходим для M (x̄) значит z̃ попадаем в M (x̄).
Итак, сейчас мы создали все предпосылки для того, чтобы продолжить доказательство теоремы об условиях совпадения CF и W, потому-что в условиях вогнутости функции полезности, мы
имеем (из предложения 3) два выпуклых множества 0 и M (x̄) (из вогнутости функции полезности), и все что нам требуется чтобы построить нужные равновесные цены, это всего-навсего надо
воспользоваться теоремой отделимости (Минковского).
Итак, вернемся к доказательству теоремы о совпадении CF и W в условиях, когда функции
полезности вогнутые, непрерывные, строго возрастающие, суммарный начальный запас >> 0. Нам
известно, что в любой экономике W ∈ CF , стало быть для равенства, нам надо доказать, что CF ∈ W
(в пределах условия теоремы), т.е. какое бы не блокируемое распределение мы не взяли, можно
подобрать цены, при которых распределение оказывается и равновесным одновременно, т.е. решаем
соответствующие задачи max функции полезности участников на их бюджетном множестве. Вот
собственно об этом пойдет речь, т.е. главное, что нам предстоит сделать - это соорудить подходящие
цены, которые выполняли бы роль равновестных цен. Здесь незаменимым инструментом является
теорема о делимости.
Доказательство :
Пусть выполняются все условия нашей теоремы и некоторое распределение x̄ ∈ CF , надо доказать, что оно является равновесным. Чтобы это сделать, построим два выпуклых множества и 0
M (x̄) (по предложению 4, множество M (x̄) является выпуклым) (0 очевидно выпуклое множество).
По предложению 3, т.к. x̄ ∈ CF , мы имеем, что 0 ∈
/ M (x̄), а это означает, что два выпуклых множества не пересекаются. А раз они не пересекаются, то по теореме Минковского найдется такой вектор
p̄ 6= 0 (который изображает линейный функционал, разделяющий множества 0 и M (x̄) ), что для
него sup p̄ на первом множестве (0) не превосходит inf p̄ на втором множестве (M (x̄)) : p̄·0 = 0 ≤ p̄z,
где M (x̄) z - любой элемент из M (x̄). Из конструкции множества M (x̄) ясно, что для каждого участника i из N у нас выполняется, что Mi (x̄) ∈ M (x̄). Это вытекает просто-напросто из
что у
Pтого,
нас здесь, когда мы формировали M (x̄), исполдьзуются в качестве коэффициентов в
τi z i любые
нечетные коалиции,
в частности может быть и такая нечетная коалиция: τi = 0, . . . , 1, . . . 0). При
P i
таких τi в
τi z будет z i , а z i по условию берется из Mi (x̄) т.е.при таком τi эта часть множества
M (x̄) дает просто Mi (x̄).
Теперь перепишем неравенство (4*), которое справедливо для всех элементов, в т.ч. и для Mi (x̄),
для элементов из Mi (x̄), эти элементы имеют вид: xi − wi где u(xi ) > ui (x̄i ) (5*), если переписывать
это неравенство для элементов Mi , то перебрасывая в лево, в право, что требуется, мы можем
записать такое неравенство: p̄xi ≥ p̄ · wi (6∗) для всех xi удовлетворяющих (5*)ю Т.о. для каждого
участника i при ценах p̄ какой бы набор дающий ему лучшее значение, чем x̄ он не взял, стоимость
этого набора в ценах p̄, выполняется (6*).
На самом деле, мы уже почти у цели, чтобы убедиться, что p̄ с x̄ образуют равновесное состояние, если бы в (6*) было строгое неравенство, то у нас было бы то, что нам требуется, тогда
бы получилось, что x̄i был бы наилучшим в бюджетном множестве, определяемом вектором цен p̄.
Докажем, что на самом деле в (6*) строгое неравенство. Запишем ход нашего доказательства, план
наших действий:
1). Докажем, что для всех i : p̄x̄i = p̄ · wi , т.е. при наших ценах p̄ стоимость начальных запасов наших участников, равно такая же как стоимость x̄ т.е. наш набор x̄ попадает в бюджетное
множество.
2). компоненты p̄ >> 0 (все компоненты строго положительны).
3). что если для какого-то набора xi : ui (xi ) > ui (x̄i ), то, p̄ · xi > p̄ · wi ∀i .
Т.о. 1) и 3) показывают нам, что xi доставляет max функции полеэности ui на своем бюджетном
множестве.
1). Рассмотрим для произвольного участника i набор x̄i и добавим к этому набору необходимую
28
1
1 k
1
дольку m
какого-то k - того продукта: x̄i + m
l , где m
- какое-то натуральное число lk -единичный
k
ор. у которого на k - ом месте единица, l − l – мерный вектор.
1 k
Т.к. наши функции прлезности являются строго возрастающими то мы имеем: ui (x̄i + m
l )>
p̄k
i
i
i
ui (x̄ ), а тогда согласно (5*), мы имеем, что p̄x̄ + m ≥ p̄w (см. (6*)).
Если это верно для любого m, то при m → ∞ мы получаем следующее неравенство в пределе:
p̄x̄i ≥ p̄wi – оно выполняется для всех i и у нас имеется n таких неравенств. Если предположить,
что хотя
P бы одно
P из них
Pвыполняется
P i как строгое, то при суммировании этих неравенств мы имеем:
p̄ x̄i > p̄ wi но
x̄i =
w =W
N
N
N
N
т.к. x̄i является допустимсым распределением. Итак, мы получили противоречие т.е. p̄x̄i = p̄wi
2). Мы хотим доказать, что p̄ >> 0, но сначала мы докажем что он просто неотрицательный,
т.е. все компоненты ≥ 0. Для этого возьмем какого-то участника i, возьмем его набор x̄i и добавим
ему единицу k – того продукта: x̄i + lk . В силу строгого возрастания функции полезности мы имеем,
что ui (x̄i + lk ) > ui (x̄i ), а тогда в силу (5*) p̄x̄i + p̄k ≥ p̄wi , но p̄x̄i = p̄wi ⇒ p̄k ≥ 0, но т.к. мы брали
k произвольно, то мы получаем, что все компоненты вектора p̄.
А теперь докажем, что все компоненты p̄ строго положительны. Пойдем от противного, допустим, что какая-то m -ая компонента =0, но поскольку p̄ не отрицательный u 6= 0, то ∃p̄k > 0.
Извлчем из этого противоречие.
P i
Т.к. по условию W =
w >> 0 ⇒ все его компоненты > 0 т.е. wk > 0. Но т.к. x̄ допустимое
N
P i
распределение, то мы имеем, что
x̄k = wk > 0, x̄ik не отрицательны (из условия допустимости
N
распределения), то ∃ хотя бы одно слагаемое, что x̄ik > 0 : i = i(k). Т.е. мы выбираем того участника
у которого есть ненулевое количество продука k.
Теперь мы этому участнику i сначала добавим некоторое положительное E > 0 количество
продукта m, который ничего не стоит, ясно что этот набор лучше,чем x̄i , поэтому быдет выполняться
следующее неравенство: ui (x̄i + Elm ) > ui (x̄i ). Теперь воспользуемся непрерывностью поскольку ui ,
имеет место это неравенство, то оно выполняется и для всех наборов достаточно близких к этому
x̄i + Elm , т.е. ∃δ ∈ (0, x̄ik ), при котором это неравенство сохраняется даже если чуть-чуть уменьшим
набор на некоторое количество продукта k, который имеется в нулевом объеме у этого участника
(δ мы берем такое, чтобы набор остался допустимым, т.е. не было отрицательных компонент):
ui (x̄i + Elm − δlk ) > ui (x̄i )– выполняется из-за непрерывности функций.
В силу (5*) мы имеем, что: p̄x̄i +E p̄m −δ p̄k ≥ p̄x̄i = p̄wi , а p̄m = 0 (по предположению) ⇒ −δ p̄k ≥ 0,
но δ > 0 и p̄k > 0, т.е. мы получили противоречие, т.е. p̄ >> 0.
3). Возьмем набор xi для участника i для которого оказалось, что ui (xi ) > ui (x̄i ), но при этом
i
p̄x = p̄wi . Вот из этого нам надо будет извлечь противоречие.
Поскольку набор xi лучше, чем набор x̄i , то xi не может быть нулевым набором, т.к. наши
функции полезности строго возрастающие: xi 6= 0. Ну а раз он не нулевой и не отрицательный,
значит там есть какая-то компонента, которая больше нуля xik > 0. А теперь поступаем как в
пункте 2). Раз эта компонента > 0 и раз наши функции непрерывные, то чуть-чуть уменьшив xi по
k – той компоненте, мы можем сохранить наше неравенство, т.е. мы можем подобрать δ ∈ (0, xik ),
что ui (xi − δlk ) > ui (x̄i ). В силу (5*) p̄xi − δ p̄k ≥ p̄wi , но p̄xi = p̄wi по предположению ⇒ −δ p̄k ≥ 0,
но δ > 0 и p̄k > 0, т.е. мы получили противоречие, т.е. p̄xi > p̄wi .
Итак, мы закончили полностью характеризацию распределений из CF в условиях когда функции полезности непрерывные, вогнутые, строго возрастающие и ∃ запасы по каждому продукту не
нулевые. Характеризация эта такая: допустимое распределение x̄ не блокируется никакой нечеткой коалицией тогда и только тогда, когда это распределения является равновесным, т.е. для него
найдутся такие цены p̄ при которых выполняются все условия определения равновестного распределения.
Следующая наша задача - это извлеч из достаточно "тупой"материи, ну что такое нечеткое
ядро в конце концов, экономически объяснить довольно сложно, какое такое экономическое содержательное ограничение при этом нужно сформулировать. Надо как-то постараться развернуть тот
результат который у нас есть чтобы он был более интерпритируем в экономически содержательных
переменных. Вот этим мы сейчас и займемся. Это связано, мы имеем в виду эта интерпритация
29
того равенства которое мы доказали CF = W, с известной гипотезой Эджворта.
Гипотеза Эджворта: В целом в условиях перехода и совершенной конкуренции, множество
равновесных распределений ассимптотически эквивалентно множеству распределений из ядря, или
ядро ассимптотически (в пределе) эквивалентно множеству равновесных распределений при увеличении числа участников экономического объмена, ведущим к условиям современной конкуренции.
Здесь мы говорим об обычном ядре. Гипотеза говорит, что то обычное ядро оказывается достаточно мало, отличается отмножества равновестных распределений и чем больше этих участников, чем
ближе выполняются условия современной конкуренции в этой экономоке, тем меньше это отличие.
Дадим расшифровку некоторых понятий: что означают условия современной конкуренции или
условия близкие к условиям современной конкуренции. В нашей экономической системе, в простой
модели обмена это означает по-видимому, что участник имеет малое влияние на пропорции эконоi
мического обмена в экономике тогда, когда доля начальных запасов, которыми он располагает w
W
достаточно мала (→ 0), если она =0, то можно считать, что участник вообще говоря не располагает
никакими возможностями влиять на эти пропорции обмена, т.е. влиять на цены. Ну и стало быть
i
условия близкие к условиям современной конкуренции – это когда w
W ∀ близко к нулю и чем это
отношение ближе к нулю, тем мы ближе к условиям современной конкуренции, в которых предполагается, что никто не может повлиять на пропорции объмена, т.е. на цены. Итак, чтобы обеспечить
это условие, нам надо какую-то специальную экономику организовать, достаточно большого объема
i
в которой w
W при увеличении числа участников стремится к нулю. Есть довольно много способов
как это делать, но мы ограничимся самым простым, который был предложен по существу еще
Эджвортом: мы будем наряду с исходной моделью E (в которой есть участники характеризующиеся начальными запасами wi и своими функциями полезности : min(ui , wi ) ) рассматривать модели
в которых уже гораздо больше участников, но все они вот этого типа, каждого типа одно и тоже
i
количество участников и в этой экономике w
W становятся все меньше и меньше ∀i . Как это можно
сделать? Один путь состоит в том, чтобы ввести наряду с исходной моделью ее реплику объема
v : зафиксируем натуральное число v ≥ 0 и для этого v введем экономику E с индексом v : E( v),
которую будем трактовать как реплику объема v исходной экономики E. Что это такое ? Начнем
с участников, что из себя представляет множество участников этой самой реплики E(v) . Мы будем
обозначать это множество через Nv = {(i, m)|i ∈ N (i - тип участника),m = 1,¯v номер копии i - того
участника }. Мы можем считать для простоты, что все эти пары упорядочены лексикографически
(сначала идут те у которых i самое маленькое: (1, 1); (1, 2); (1, 3) и т.д. т.е. идут копии участника
номер 1. Мы знаем, что конкуренция на самом деле больше всего сильна там, где участники достаточно похожы друг на друга, еще более сильной она становится тогда, когда они просто идентичны
друг другу, так что (i, 1); (i, 2); . . . ; (i, v) – это все копии участника номер i нашей исходной экономики, копии в буквальном смысле, т.е. у каждого участника такого типа и функция полезности,
и начальные запасы точно такие же как и у участника i, т.е. мы дальше должны перейти к чему: показали множество участников, каждое из которых является копией просто-напросто, так мы
можем содержательно трактовать, какого-то из участников исходной экономики. Т.е. (i, m) m -ая
копия участника i. Теперь надо указать какие у них функции полезности и какие у них начальные
запасы: uim = ui , т.е. эти функции полезности совпадают с функциями полезности того участника,
l
копию которого изображает участник (i, m); wim = wi ; Xim = Xi = R+
. Короче говоря, реплика
исходной модели ² объема v это просто напристо объединение v копий исходной экономики ; вот мы
добавили и каждому участнику типа i еще (v − 1) его точных копий (характеристики копий те же,
что и у оригинала). Мы теперь уже имеем дело с экономикой в которой уже не n участников, а n · v
участников, если мы будем v → ∞, то количество участников этой самой реплики будет стремиться
тоже к бесконечности и надо полагать, что конкуренция между ними будет становиться все жеще
и жэще и будет приближаться к совершенной конкуренции. Итак, мы определили
P
P i
wim
wi
Заметим,
wim v
w и P wk im v Pkwi
i∈N (v)
i∈N
k
k
Пусть x какое-то допустимое распределение в исходной экономике (E), т.е. x ∈ Z = X(N ). Как из
этого распределения предназначенного для n участников, устроить распределение для n·v участников ? Это можно сделать очень просто, просто всем участникам одного и того же типа i дать xi , дать
поровну. Формально это можно сделать так: через v - тую реплику распределения x будем обозначать, называть пепликой этого распределения x такой у (x(v) = y) (уже распределение в экономике
30
E( v) ) у которого компоненты отвечающие наборам участников экономики E( v) определяются очень
просто: y im = xi i ∈ N, m ∈ 1,¯v. Т.е. мы сейчас по существу вводим допустимые распределения в
экономике E(v) , в которых каждый участник одного и того же типа получает одинаковые набора.
Введем обозначение:
Cv = {x ∈ Z| копии которых объема v : x(v) ∈ C(E(v) ) не блокируются в экономике E(v) } - ядро
экономики E(v) . Т.е. мы получаем при v = 1 исходную экономику E. Мы получили следующее Cv - это
те допустимые распределения исходной экономики, которые будучи представлены как допустимые
распределения в экономике E(v) не блокируются в ней никакой нормальной коалицией.
Сейчас мы должны выделить допустимые распределения, которые будучи размноженными не
блокируются в большой экономике, где очевидно больше коалиций, которые могут блокировать и
условия неблокируемости становится более суровыми. В исходной экономике было n участников,
блокирующих коалиций было 2n − 1. В экономике объема v в рекламе у нас будет 2nv − 1 коалиций
и стало быть есть надежда, что вот те дополнительные распределения, которые попадают в Cv при
каждом v, в том числе при v = 1, выдерживают блокирование каждой из реплик, т.е. попадают в Cv ,
что их будет становиться все меньше и меньше и в итоге все что останется совпадет со множеством
равновесных распределений. Вот, грубо говоря, какая идея стоит за всеми этими конструкциями.
И мы можем доказать это.
Теорема 2: (Дебре-Скарфа) (в каклй-то форме доказали гипотезу Эджворта).
Если выполняются условия предыдущей теоремы, т.е. функции полезности ui непрерывны, вогнуты, строго возрастающие, а суммарный запас W >> 0 (исходной экономики), то оказывается,
что множество равновесных распределений исходной экономики есть ничто иное как пересечение
Cv по всем
∞
T
v = 1, ∞ : W =
Cv ,
v=1
что множество равновесных распределений может быть получено как совокупность, грубо говоря, таких допустимых распределений исходной экономики, которые не блокируются ни в какой
реплике этой самой экономике E.
Вот если они выдерживают такое суровое испытание: взяли x, поместили в экономику E( v) и поглядели будет он блокироваться или нет. Оказалось, что при каждом v не блокируется. Вот тогда
не только в самой исходной E, а во всех остальных, вот когда это имеет место, тогда оказывается
это допустимое распределение может быть поддержано равновесными ценами, т.е. это будет равновестным распределением. Если хоть где-то заблокировали, все – значит это распределение не может
быть равновесным. Но сначала для доказательства теоремы 2, докажем предложение 5:
Предложение 5: Если допустимое распределение x̄ в исходной экономике явялется равновесным
т.е. x̄ ∈ W, то тогда для всякого v его реплика объема v : x̄(v) ∈ C(E(v) ).
Т.е. если мы возьмем равновесное распределение и попытаемся его продолжить до распределения
в экономике E(v) , был стандартный прием: даем всем участникам одного и того же типа x̄i , то
оказывается, что это длинное распределение уже будет не блокируемым в этом E( v) и тем самым
x̄, как мы это определяли, ∈ Cv .
Доказательство: Надо заметить, что при фиксированном v ≥ 1 мы можем организовать цены
p̄ при которых распределение x̄v будет не просто из ядра, а будет равновесным распределением в
экономике E( v) и эти цены организуют очень просто, это ровно те же самые цены p̄, при которых x̄ по
предположению был равновесным распределением. Т.е. докажем, что (x̄v , p̄) является равновесным
состоянием E( v).
Лекция N 8
Итак, у нас шел разговор о том что, если какое-то распределение в исходной экономике оказалось
равновесным, то тогда любая реплика этого распределения будет принадлежать ядру соответствующей реплики экономики E. Но на самом деле мы будем доказывать более сильное утверждение,
31
оказывается что реплика равновесного распределения тоже является равновесным распределением,
ну а будучи равновесным оно естественно, по одной из уже доказынных ранее теорем, бкдет принадлежать ядру. Вот такая у нас будет схема доказательства. Т.е. имея равновесное x̄ = x̄1 , . . . , x̄n )
в исходной экономике, мы доказываем, что при любом v реплика этого самого x̄ : x̄(v) будет принадлежать ядру реплики E(v) .
Еще раз напомним, имея x̄ = (x̄1 , . . . , x̄n ) распределение в исходной модели, под x̄(v) мы понимаем
распределение получаемое в экономике в v - раз большей т.е. в экономике ²(v), очень пристым
способом: каждому участнику типа i дается компонента x̄i нашего исходного распределения x̄. Т.е.
просто-напросто мы как бы размножаем это самое x̄, распределяя между участниками продукты
согласно тому, что доказано в x̄, ну с тем естественным требованием, чтобы участники одного и
того же типа, если берем две копии участника типа i : (i, m) и (i, m0 ), то они должны получать
естественно одно и тоже, т.е. и тот и другой получает x̄i .
Ну а теперь продолжим напрямую доказательство того, что при любом v, если x̄ было равновесным распределением в исходной экономике E, то x̄(v) ∈ C(E(v) ) (ядру реплики экономики E). Но
как мы уже заметили, на самом деле все сводится к тому. чтобы доказать, что x̄(v) принадлежит
не только ядру, а даже равновесию этой реплики. И мы это установили следующим образом:
1). Мы покажем, что для каждого участника реплицированной экономики E т.е. E( v), т.е. для
каждой пары (i, m), если через p̄ обозначить равновесные цены, отвечающие x̄, то бюджетное множество участника (i, m) в реплике при ценах p̄ это есть ничто иное, как бюджетное множество
участника номер i в исходной экономике E.
Bim (p̄) = Bi (p̄)(∗) где Bim (p̄){x ≥ 0|p̄x ≤ p̄wim },
но по определению реплики wim = wi , а отсюда становится очевидным равенство (*).
Анологично, для кождого участника (i, m) реплицированной экономики мы получаем, что множество спроса этого участка Dim (p̄) ( - это есть множество всех оптимальных решений задачи max
функции полезности этого участка на его бюджетном множестве), поскольку Bim (p̄) = Bi (p̄), а его
функция полезности uim по условию равняется ui (по построению), то очевидно, что Dim (p̄)Di (p̄).
Ну а поскольку у нас по определению x̄ был равновесным распределением и x̄i ∈ Di (p̄) ∀i ,
то отсюда мы получаем, что для каждой пары (i, m) : (x̄v )im = x̄i ∈ Dim (p̄), т.е. эта компонента
длинного распределения x̄(v) является решением задачи max функции полезности (i, m) участника
на его бюджетном множестве.
Теперь, чтобы закончить доказательство, что наше "длинное"x̄(v) является равновесным реапределением в экономике E(v) , осталось только проверить, что для x̄(v) имеет место материальный
баланс, т.е. сумма того, что предлагается по этому распределению всем участникам экономики E(v)
равняется ее ресурсам, т.е. сумме ее начальных запасов, т.е. имеет место допустимость этого распределения. Ну, а это проверяется очень просто чисто арифметически: пусть x̄(v) = y,Pэто длинное
P расy im =
wim .
пределение в котором n·v участников, наборов. И нам надо теперь доказать, что
i∈N
А теперь распишем отдельно левую и правую часть:
P
w
im
=
v
P P
w
i∈N m=1
N (v)
im
=v
P
N (v)
i
w , т.к. при фик-
i∈N
сированном i у нас wim = wi . Т.е. мы имеем v -кратный суммарный запас походной экономики E.
X
N (v)
y im =
v
XX
y im =
i∈N m=1
Ну, а так как x̄ допустимое распределение, то
v
XX
i∈N m=1
P
i∈N
x̄i =
P
i∈N
x̄i = v
X
x̄i
i∈N
wi . А отсюда получается, что v
P
i∈N
x̄i v
P
i∈N
Т.о. наш y действительно является допустимым распределением, т.е. может быть получено перераспределением суммарного запаса экономики E(v) .
Ну, а если мы соединим, что каждая исходная компонента y является решением задачи max
функции полезности соответствующего участника номер (i, m) на его бюджетном множестве, т.е.
∈ Dim (p̄), а также что суммарная величина того, что получает каждый из участников равняется
суммарному начальному запасу - а это и есть определение равновесного распределения, значит x̄v ∈
W (E(v) ). Ну, а поскольку множество Вальсаровских распределений W независимо от того, какая у
нас экономика (непрерывные, вогнутые там функции или тен) принадлежит ядру, т.е. W (E(v) ) ⊆
C(E(v) ), то мы получаем то что требовалось: реплика x̄ ∈ ядру реплики E.
32
wi .
Сейчас наша прямая цель, это перейти к доказательству теоремы Дебре-Скарфа о том, что
множество равновесных распределений совпадает с пересечением множеств Cv . Напомним, что Cv =
{ допустимые распределения x ∈ Z|x(v) ∈ C(E(v) )}. Нам вот такие фокусы, нет чтобы рассматривать
нормальное ядро, как оно было с самого начала для реплики E(v) , мы почему-то рассматриваем чтото приведенное, что-то получающееся из этого ядра.
Вся проблема в том, что нам надо будет потом сравнивать распределения из ядра и равновесные
распределения, когда объемы экономики все время растут и растут. У нас к сожалению получается
на каждом шаге, при каждом v разные пространства и поэтому сравнивать W (моножество равновесных распределений) с растущими по размерности распределениями из ядря невозможно. Надо
как-то сопоставить эти два множества: W, которое остается все время само собой, остается элементом из W это n × l - мерный вектор,а вот распределение из C(E(v) ) они уже имеют размерность
n × l × v, где v растет меняется. Так что напрямую сравнивать мы не можем, т.к. разные пространства. Поэтому приходится придумывать какой-то общий базис для того и другого множества, ну
вот в частности элементы из ядра реклицированной экономики E(v) можно в принципе помечать
вот таким способом, ну во-первых быть только такие распределения из ядра, которые являются
симметричными, т.е. в которых участники одного и того же типа получают одинаковые наборы, ну
а затем, смотреть просто-напристо не распределение в целом, а что в этом распределении получает
участник каждого из типов. Вот собственно говоря, Cv это и есть изображение того, что в длинном распределении x(v) получает участник типа 1, участник типа 2 и т.д. Ну а затем уже можно
сравнивать, это уже у нас будет нормальное распределение в исходном пространстве расмерности
∞
T
n × l, с W. Напомним, что наша задача состоит в том, чтобы доказать, что W =
Cv , т.е. что
v=1
равновесные распределения, грубо говоря, это те и только те которые не блокируются ни в какой
реплике исходной экономике E.
∞
T
Сделаем первый шаг в доказательстве этого факта, докажем, что W =
Cv . Чтобы это
v=1
проверить, берем произвольный элемент x̄ ∈ W и проверяем: действительно ли этот самый x̄ принадлежит каждому из Cv или нет. Эту проверку осуществить легко, по предыдущему мы знаем,
что для каждого v ≥ 1 реплика x̄ объема v : x̄(v) ∈ C(E(v) ), ну а это означает по определению, что
∞
∞
T
T
x̄ ∈ Cv , ну а так как v было взято произвольно, мы получаем, что x̄ =
Cv , т.е. W ⊆
Cv .
Докажем теперь, что
∞
T
v=1
Cv ⊆ W. Возьмем какое-то x̄ ∈
∞
T
v=1
v=1
v=1
Cv и постараемся доказать, что x̄
является равновесным распределением в исходной экономике, т.е. ∃ равновесные цены при которых
компоненты x̄ попадают в соответствующее множества спроса. Но действовать через цены очень
∞
T
сложно. Пойдем другим путем, от обратного. Пусть x̄ ∈
Cv , но x̄ ∈
/ W. Тут мы должны вспоv=1
мнить, что условия нашей теоремы точно такие же, как условия в которых мы доказывали, что
W = CF . Значит, если x̄ ∈
/ W ⇒ x̄ ∈
/ CF , т.к. в наших условиях CF = W. Тогда ∃ нечеткая коалиция
τ = (τ1 , . . . , τn ), которая блокирует x̄.
Вот тут как раз наступает интересный момент, где мы можем увидеть как на самом деле было
бы разумнее всего интерпретировать нечеткую коалицию и как мы определяем, что значит, что
она блокирует какое-то распределение. Если сказать хорошо, то это можно было бы выразить:
из того что ∃ нечеткая коалиция x̄, следует что есть такой τ, допустим, что у τ все компоненты
рациональные числа, раз эти числа рациональные ничто нам не мешает считать, что знаменатель у
этих дробей один и тот же, т.е. считать, что τi имеет следующий вид: τi = mvi , где mi и v натуральные
числа и mi не превосходит v. Итак, сейчас мы построили на основании вот такой вот нечеткой
коалиции, реплику исходной эеономики E объема v в которой нормальная коалиция, построенная
на основании вот этой самой τ, нечеткой, будет блокировать реплику x̄. Т.е. блокирование нечеткой
коалиции это все равно что блокирование нормальной коалицией, но в очень большой экономике,
какого-то объема v. И даже можно указать по виду τi , если он конечно хороший, когда все τi
рациональные, какой должна быть эта самая коалиция m, которая блокирует этот самый x̄(v) . В
этой коалиции должно быть mi участников типа i, вот то что показано в числителе, ну а объем ее
этой реплики – это то что стоит в знаменателе. Вот такой оказывается простой фокус, что эти вот
33
нечеткие коалиции это ничто иное как изобретение нормальной коалиции, но только не в исходной
экономике, а в достаточно большой экономике, достаточно большого объема v, n компоненты τi
напрямую указывают как должна быть устроена эта коалиция то что стоит в числителе показывает
сколько участников такого-то типа принимает участие вот в этой нормальной коалиции, но уже не
в нормальной, большой экономике. Поэтому ночего удивительного нет в том, что у нас есть теорема
при нечеткое ядро, а есть теорема и вот такого вида, они на самом деле тесно связаны.
Следует
заметить, что у нас может оказаться, что эта нечеткая коалиция, что мешает какому-то
√
τi = 22 (например), т.е. быть иррациональным числом. Ведь никто нам не гарантирует, что эти τi
все рациональные, поэтому так гладко, что мы хотели не происходит, значит надо бороться с этим.
Для этого надо будет немного подправить τ, так чтобы все компоненты у него стали рациональными
и их можно было бы выразить как дроби (которые нам нужны) mvi и соответственно x̄i надо будет
как-то подправить, чтобы выполнялось то, что требуется по условию: что τ блокирует x̄. Чтобы все
это аккуратно проделать, давайте запишем, что все таки проистекает из того, что τ блокирует x̄ и
что здесь надо подготовить соответственно. В соответствии с определением, раз мы допустили что
нечеткая коалиция τ блокирует x̄, это означает, что найдутся допустимые наборы xi для которых:
i
i
1).uP
(2*)
i (x ) > ui (x̄
P) i ∈i N (τ )
i
2).
τi x =
τi w
(*)
N (τ )
N (τ )
т.е. должен выполняться баланс. (это мы вспомнили определение).
Но так как у нас может оказаться, что какие-то компоненты τ иррациональные (а может быть
и все), а нам надо получить рациональные. Поэтому нам надо указать сейчас как мы должны
модифицировать τi ну и возможно и xi , чтобы сохранить все выше написанное для другой рациональнозначной неконечной коалиции, у которой все компоненты рациональные числа. Мы начнем
здесь таким образом. Ту которую мы ищем, где компоненты далжны быть рациональнозначной
нечеткой коалиции, у которой все компоненты рациональные числа. Мы начнем здесь таким образом. Ту которую мы ищем, где компоненты должны быть рациональными, τ 0 = (τ 0 , . . . , τn0 ) – мы ее
будем искать из условий:
1). все τi0 рациональные числа.
2). τi0 = 0 i ∈
/ N (τ )
3). τi ≤ τi0 ≤ 1 i ∈ N (τ )
4). Чтобы сформулировать это условие, мы обозначим через δi > 0 такое положительное число
i ∈ N (τ ), что выполняется следующее условие: если x̃i ≤ 0 и ||x̃i − xi || < δi , то ui (x̃i ) > ui (x̄i ).
Из-за того, что наши функции полезности непрерывны и у нас выполняются строгие неравенства
для функции полезности, мы можем всегда найти для каждого i из N (τ ) такое δi > 0, что любой
набор в δi – окрестности xi , для которого имеет место (2*), тоже будет давать строго большее
значение функции полезности, чем на x̄, вот в этом месте мы пользуемся непрерывностью функции
/ wi || xi ∈
/ wi
полезности. Итак, мы нашли δi > 0 и теперь записываем условие 4): τi0 − τi < τi δi /||xi ∈
0
– это условие на степень близости τi , т.е. был достаточно близок и τi .
А теперь мы должны проверить (2*) и (3*), предварительно построив что-то вместо xi , потому
что трудно ожидать, что тот же самый годится у нас здесь для τi0 , нам надо еще как-то xi подправить. Т.е. нам остается убедиться, что (2*) и (3*) выполняются и для новой нечеткой коалиции
τ 0 , уже с рациональными компонентами, и для нового x̃, вот которого мы сейчас и постараемся
изобразить. Теперь вместо xi мы будем рассматривать наборы y i , которые строятся по формуле:
yi =
τi i τi0 − τi i
x +
w.
τi0
τi0
По этой формуле у нас происходит перестройка x с тем, чтобы для нового τ 0 у нас хотя бы
условие (3*) выпрлнялось, оно вообще говоря не обязано выполняться для старого x, поэтому его
приходится корректирвать.
Итак, мы определили новую нечеткую коалицию τ 0 , которая удовлетворяет условиям 1) - 4).
Мы определили новые наборы y i на основании старых xi и новой коалиции τ 0 . И теперь наша цель
заключается в следующем, доказать что эта новая нечеткая коалиция τ 0 блокирует x̄ спомощью
этих самых y i . Для этого надо проверить (2*) и (3*).
34
Начнем с (2*), что ui (y i ) > ui (x̄i ) (4*). Для этого нам достаточно воспользоваться тем что
выбрали δi так, что все наборы находящиеся в δi - окрестности xi тоже лучше, чем x̄i .
Итак, оценим следующую разницу: ( если это разница окажется < δ, тогда по выбору δi у нас
будет выполняться условие (4*)):
||y i − xi || =
τi0 − τi i
τi δi
||w − xi || < 0 ≤ δi
0
τi
τi
т.к.τi ≤ τi0 . Стало быть ||y i − xi || < δi , а раз y оказывается в δi -окрестности x, то по выбору
этого δi получаем, что (4*) выполняется. P
P 0 i
Докажем, что выполняется (3*), т.е.
τi0 y i =
τi w .
N (τ 0 )
X
τi0 y i =
N (τ 0 )
X
N (τ 0 )
τi (xi − wi ) +
N (τ 0 )
X
τi0 wi
N (τ 0 )
P
– это получили согласно формуле для y i .
τi (xi − wi ) = 0, т.к. у нас для них выполняется (3*).
N (τ 0 )
P 0 i P 0 i
Т.о. мы доказали, что
τi y
τi w (5*).
N (τ 0 )
N (τ 0 )
Итак, мы доказали, что наша нечеткая коалиция τ 0 с помощью наборов y i блокирует тот же
самый x̄.
Воспользуемся полученными результатами, в том духе о котором мы уже говорили раньше,
именно с помощью коалиции τ 0 = (τ10 , . . . , τn0 ) и наборов y i построить реплику нашей исходной
экономике E и коалиции в этой большой реплике, которая бы блокировала x̄(v) . Что естественно
приводило бы к противоречию. Это делается следующим рбразом:
Вот мы имеем нечеткую коалицию τ 0 = (τ10 , . . . , τn0 ) с рациональными компонентами τi0 = mvi ,
где v общее для всех и mi ≤ v, причем для i ∈ N (τ 0 ), т.е. там где строго больше нуля, понятно, что
mi ≥ 1. Мы также получили y i для которых выполняется:
i
i
0
1). uP
i (y ) > ui (x̄
P ) i0 ∈iN (τ )
2).
τi0 y i
τi w .
N (τ 0 )
N (τ 0 )
Теперь давайте организовывать ту самую реплику и ту самую коалицию M, ну и то что ей
причитается: выдаем участникам этой коалиции соответствующий набор продуктов, так чтобы эта
коалиция с помощью этих наборов заблокировала x̄(v) , реплику распределения x̄. И мы могли бы
получить то противоречие к которому мы идем. Мы допустили, что x ∈
/ W. А теперь мы получили
∞
T
противоречие с условием, что x̄ ∈
Cv .
v=1
Значит, первое, как выглядит коалиция M с помощью которой мы будем блокировать наш x̄(v)
в реплике объема равного знаменателю (в нашем случае v) в τ 0 :
M = { все пары (i, m)|i ∈ N (τ 0 ) ( т.е. для которых mi ≥ 1), m = 1, . . . , mi }. Т.е. коалиция
M состоит из такого количества реплик участников номер i, какое указано в числителе для соответствующего τi0 , если их там нет вообще, mi = 0, значит и в коалиции M у нас нет ни одного
представителя типа i, а если он там есть в какой-то ненулевой доле, то тогда в коалицию i мы
включаем все mi копий этого участника i. Вот у нас получилась коалиция в экономике E( v). Теперь
ее надо снабдить соответствующим распределением, так, чтобы оно было бы в пределах возможности этой коалиции и чтобы это распределение было лучше чем x̄( v). Это делается довольно просто,
обозначим через z im = y i , где i ∈ N (τ 0 ) и m = 1, . . . , mi , т.е. каждому участнику типа i даем то
самое y i , которое мы сами построили. У нас z im ≥0, т.е. допустимый набор, распределение, т.к.
wi ≥ 0 (по условию), xi ≥ 0, а y i есть просто их выпуклая комбинация (коэффициент ≥ 0 и их
сумма =1).
Как доказать, что коалиция M с помощью набора z im , который вручается каждому из ее представителей, блокирует x̄(v) , давайте его по прежнему обозначать через y. Как это проверить ? Надо
доказать, что uim (z im ) > uim (y im ) для всех (i, m) ∈ M. По определению у нас z im = y i , uim = ui
и y im = x̄i . Т.е. мы имеем, что ui (y i ) > ui (x̄i ), а это выполнено согласно (*).
Теперь надо доказать, что предполагаемое коалицией M новое распределение z вместо x̄( v)
является допустимым для этой коалиции, т.е. оно получено перераспределением ее суммарного
запаса, т.е. надо доказать, что:
35
X
z im =
X
M
W im .
M
Рассмотрим по отдельности, правую и левую часть.
X
M
wim =
X
mi
X
i∈N (τ 0 ) m=1
X
M
X
wi =
z im =
mi wi (где i ∈
/ N (τ 0 ) mi = 0)
i∈N (τ 0 )
X
mi
X
yi
i∈N (τ 0 ) m=1
X
mi y i .
i∈N (τ 0 )
Теперь,
убедиться , что они равны, надо вспомнить (5*) Переписываем в (5*)Pτi0 в виде
Pчтобы
mi i P mi i
дробей:
mi y i =
v y
v w . А теперь умножим левую и правую часть на v и получим:
N (τ 0 )
N (τ 0 )
N (τ 0 )
P
mi wi , т.е. это равенство имеет место у нас по построению. И очевидно, это и есть то, что нам
N (τ 0 )
требовалось доказать.
Итак, мы получили, что M блокирует x̄(v) в экономике Ev . А это означает, что x̄(v) ∈
/ C(E(v) ) (
прямо по определению). А из этого вытекает, что сам x̄ ∈
/ Cv , т.к. Cv – это те и только те допустимые
распределения реплики которых надлежащего объема попадают в C(E(v) ). А мы предположили,
∞
T
Cv0 . Т.е. мы получили противоречие предположению (NB ! вообще говоря здесь v и v 0
что x̄ ∈
v 0 =1
разные).
Следует заметить, что эта теорема очень важная, т.к. других теорем как-то обосновывающих
механизм ценообразоапния в самом общем виде, как устанавливаются на рынке равновесные пропорции обмена, просто нет. Есть разные частные случаи, мелкие модели в которых все довольно
шатко, а эта теорема худо-бедно какую-то общую схему, поясняющую как вообще возникают эти
самые равновесные пропорции, равновесные цены дает. И вот видимо, соотношение которое было
∞
T
написано раньше, что W =
Cv – это все-таки не вполне удовлетворяет как-бы сказать вот, ну
v=1
законный вопрос, и что ж такого тут вообще чудесного, как эта связь на самом деле образуется.
Дадим несколько замечаний, которые помогут лучше представить эту связь и лучше понять смысл
этого ревенства.
Запишем следующие пункты:
I). Cv+1 ⊆ Cv
В итоге, в пределе эти множества Cv стягиваются к множеству W, т.е. Cv с ростом v уменьшается и в пределе "равны"W.
C1 — ядpо исходной экономики ε
$
'
C2
'
$
C3
'$
#Ã
¿
¾»
º·
W
¹¸
½¼
ÁÀ
"!
&%
&
%
&
%
Это получается из-за того, что ясное дело у нас множество участников как устроено, что N (v) ⊆
N (v + 1) в N (v + 1) есть не только v копий, а есть и (v + 1) копия каждого участника. Поэтому
разумеется в N (v + 1) коалиций будет больше, чем в N (v), а из этого вытекает, что если бы мы
36
допустили, что Cv+1 ⊆ Cv , то тогда получалось бы, что есть такие распределения в Cv+1 (x ∈ Cv+1 ),
которые блокируются коалициями из N (v), т.е. x ∈
/ Cv . Но коалиция из N (v) является одновременно
и коалицией из N (v + 1), значит если блокируется в N (v) значит блокируется в N (v + 1). Получаем
противоречие, т.е. Cv+1 ⊆ Cv .
II). Если добавим к условию теоремы то, что функции полезности должны быть строго вогнутые,
то тогда оказывается, что C(E( v)) и Cv которые мы используем, это фактически одно и тоже. Т.е.
если мы допустим, что наши функции полезности являются строго вогнутыми, т.е. выполняется
следующее условие:
ui (tx + (1 − t)y) > tui (x) + (1 − t)ui (y)
где x 6= y, т.е. это такие функции полезности у которых линии уровня не содержат ни одного
прямолинейного кусочка. Тогда мы можем записать следующее равенство: C(E(v) ) = {x(v) |x ∈ Cv },
т.е. в ядрях реплик E(v) содержатся только симметричные распределения, т.е. такие распределения,
которые участникам одного и того же типа дают одинаковые наборы прдуктов и которые, стало
быть, могут быть получены из Cv просто вот таким образом: берем Cv , берем его размножаем, берем
реплику объема v, это и есть в точности все элементы ядра экономики E(v) . Т.е. когда мы берем Cv
мы на самом деле в этом случае нисколько не урезаем множество C(E(v) ), в принципе в нем конечно
если нет строгой вогнутости могут быть и не симметричные распределения, т.е. такие распределения которые дают участникам одного и того же типа разные наборы. В случае строгой вогнутости
можно говорить не просто о соотношении между Cv и W, а можно говорить уже о распределениях
равновестных в экономике E(v) и распределениях неблокируемых в E(v) . Т.е. в такой ситуации, то что
мы доказали можно проинтерпритировать следующим образом: можно в принципе не приводить к
общему знаменателю эти самые ядра больших экономик E(v) , а прямо с ними с E(v) и работать,
т.е. смотреть одновременно для каждого v как соотносится множество равновесных распределений
W (E(v) ) и ядро в этой же самой экономике C(E(v) ). В общем случае всегда W (E(v) ) ⊆ C(E(v) ). Что
оказывается можно доказать ? Можно доказать, что какую бы последовательность yv ∈ C(E(v) ) мы
ни выбрали, вот взяли произвольные не блокируемые распределения в каждой из реплик экономике E, так оказывается расстояние между этими yv и множеством W (E(v) ) (под расстоянием между
точкой и множествоам как известно понимается наименьшее из расстояний между этой точкой и
точками нашего множества:
это и будет расстоянием между точкой и множеством
#Ã
?
ρ = inf
aa W
aa
"!
Так вот, расстояния между этими неблокируемыми распределениями и множеством равновесных
распределений при v → ∞ стремится к нулю:
r
x a
ρ(y(v) , W (E(v) )) −→ 0
Т.е. разница между неблокируемыми, т.е. элементами из ядра, и равновесными распределениями
в пределе сглаживания до нуля.
Лекция 9
Итак, наша задача на ближайшее время – доказать теорему существования равновесных распределений. Помимо общих соображений к решению этой задачи подталкивает и такое опасение: а
не занимались ли мы в теореме Дебре-Скарфа проверкой тривиального равества ∅ = ∅? К счастью,
∞
T
оказывается, что именно в тех условиях, в которых мы доказали равенства W = CF и W =
Cr ,
r=1
гарантируется непустота множества W (т.е. гарантируется наличие по крайней мере одного допустимого распределение, которое может быть поддержано равновесными ценами).
37
Как видно из соотношения
W =
∞
\
Cr ,
(∗)
r=1
для доказетельства того, что W 6= ∅ (в предположениях теоремы о совпадении нечеткого ядра и
множества равновесных распределений), достаточно проверить, что каждое из этих множеств Cr
не пустое и компактное (как уже отмечалось, множества Cr образуют монотонно убывающую последовательность, что, вместе с их непустотой и компактностью, и обеспечивало бы, по одной из
известных теорем анализа, наличие общей для всех точки). Напомним, что простейшим вариантом упомянутой теоремы математического анализа является теорема о вложенных промежутках
(замкнутых интервалах). Итак, мы должны убедиться, что множества Cr , стоящие в правой части
равенства (*), мало того, что компактны, но еще и непустые. А вот чтобы доказать, что они непустые, нам надо убедиться, что непустыми будут соответствующие ядра, т.к. Cr – это производные
от ядер. Значит, только установив условия непустоты ядер реплик E(r) , мы можем продвинуться в
доказательстве соотношения W 6= ∅.
В предлагаемой схеме доказательства ключевое понятие – ядро. Чтобы разобраться основательно с этим понятием, нам придется проделать довольно длинный (в чисто формальном плане – даже
окольный) путь, на котором вместо модели обмена главным ориентиром является кооперативная
игра. Среди достоинств такой схемы отметим следующие. 1)Теория кооперативных игр помимо самостоятельной ценности представляет мощный инструмент исследования экономических явлений
(именно с этой целью как известно НМ теория кооперативных игр и создавалась Дж. фон Нейманом и О.Моргенштерном). 2)На предлагаемом пути удается получить полное и сравнительно
элементарное доказательство существования равновесия в достаточно общей ситуации/ используя
лишь простейшие факты лирейного программирования и математического программирования. 3)По
ходу доказательства выясняются фундаментальные свойства модели обмена в целом и экономического равновесия в частности. 4)Доказываемая лемма Скарфа – мощный инструмент используемый
в доказательстве теорем о неподвижной точке а также в разработке соответствующих алгоритмов.
*****
Кооперативные игры.
Теория кооперативных игр – это та часть математической теории конфликтных ситуаций, которая занимается проблемами кооперации, т.е. вопросами принятия коллективных решений с учетом
всех потенциально осуществимых объединений автономных участников.
Начнем формальные рассматрения с определения кооперативной игры n лиц. Последняя представляет собой пару (N, G), где N = {1, 2, . . . , n} – множество участников игры (игроков), а G
– некоторое отображение, характеризующее возможности, имеющиеся в распоряжении каждого
из объединений этих участников. Точное определение G приведем немного позже, а сначала еще
раз подчеркнем специфику рассматриваемых игр – помимо отдельно взятых индивидуумов полноправными участниками дальнейших рассмотрений являются и все их объединения – коалиции
S ⊆ N. Ясно, что всего коалиций, исключая пустую, будет 2n − 1. Таким образом, число коалиций с
увеличением числа участников растет экспоненциально, что, безусловно, порождает значительные
трудности при анализе конкретных кооперативных игр. Нелегкой задачей является и определение
возможностей каждой из коалиций, как в смысле выбора совместных стратегий, так и в вычислении соответствующих выигрышей. Поэтому для простоты ************ опртраТакже для каждой
коалиции указываются возможности, которые имеются в распоряжении этой коалиции, эти возможности задаются с помощью G. Т.е. каждой коалиции S ставится в соответствие множество G(S), так
называемое множество допустимых уровней полезности этой коалиции. Элементы множества G(S)
мы будем называть дележами. G(S), вообще говоря, некоторое произвольное подмножество пространства Rs (G(S) ⊆ Rs ). Векторное пространство Rs есть конечномерное пространство векторов,
число компоненты которых равняются числу элементов множества S, эти компоненты нумеруются(индексируются) элементами этого множества S, ну и для определенности, поскольку вектор это у
нас упорядоченная система чисел(по определению), мы будем считать, что элементы в S упорядочены по возрастанию. Так что, например, если мы имеем коалицию S = {2, 5, 7}, то соответствующий
вектор u ∈ R{2, 5, 7, } будет такого вида: u = (u2 , u5 , u7 ).
Итак, прямо по определению множество G(S) составлено из всевозможных векторов вида приведенного выше, во всяком случае под каждым таким вектором понимается просто-напросто уровни
38
полезности участниками этой коалиции S, если они выступают совместно. Т.е. G(S) описывает возможности возникающие при кооперации участников коалиции S. Мы также будем предполагать,
что если достигнем какой-то уровень, то достижимы и все меньшие уровни.
На игры G мы будем накладывать условия, которые можно будет выразить так. Сейчас мы
перешли к тому какой класс кооперативных игр как правило будет у нас исследоваться. Это будет
такой класс, который выделяется по крайней мере следующими двумя свойствами:
I). Мы будем предполагать, если не оговорено противное, что G(S) замкнутое множество в своем
конечномерном пространстве.
II). G(S) насыщено к низу или удовлетворяющее условию свободного расходования, что если
x ∈ G(S), а вектор у нас покомпонентно меньше вектора x (y ≤ x), то тогда предполагается, что
y ∈ G(S).
6
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡ G(S) ¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
rx
-
(Это случай коалиции из двух участников.)
Сейчас, чтобы как-то освоиться с этой идеей, этим понятием, что вот можно и такие объемы
рассматривать и что они тоже какой-то смысл имеют, мы рассмотрим два конкурентных примера,
как возникают такого вида игры :
Пример 1: Мы занимались моделью обмена E и мы вводили множество X(S) для каждой коалиции S, это множество допустимых распределений этой коалиции S :
X X
W i }.
X(S) = {(xi )s ≥ 0|
xi
i∈S
i∈S
Оказывается, что со всякой моделью обмена, со всякой экономикой того касса, который мы
рассматриваем, можно связать игру G. Часто мы будем отождествлять пару (N, G) с G, ясно что
раз функция G указана, то про N можно не говорить. Вот как значит строится по модели E такая
игра G. Ну это надо указать, согласно определению кооперативной игры, функцию GE (S) (индекс
E – это наша экономика, по которой мы строим ассоциированную с ней кооперативную игру). Это
выглядит так: для каждой коалиции GE (S) – это просто-напросто есть множество всевозможных
векторов y соответствующего пространства Rs , для которых ∃ (xi )s ∈ X(S) такое, что yi ≤ ui (xi )
для всех i ∈ S :
GE (S) = {y ∈ Rs |∃(xi )s ∈ X(S) : yi ≤ ui (xi ) ∀i ∈ S}
Вот как определяется кооперативная игра модели обмена или рынка. Мы что на самом деле
делаем здесь ? Прямо по построению видно, что эти самые множества GE (S) представляют из себя
ничто иное, как всевозможные уровни полезности, достижимые в результате перераспределения
суммарного запаса коалиции S между участниками этой коалиции, ну и плюс что меньше либо
равно чем эти уровни полезности. Т.е. GE (S) –это всего навсего описание возможности коалиции
S, учитывающие только уровни полезности, которые достигаются этой коалицией (Все остальное
остается за кадром: как именно это достигается, в результате каких именно обменов – это нам здесь
становится уже не важно). Если нам дало только само GE (S), то нам не указано, вот в самом
исходном определении игры G. как именно, с помощью каких стратегий достигнуты те или иные
уровни полезности, просто указаны, перечислены все наши возможности по получению тех или
39
иных уровней полезности, сами они указаны, а как они достигнуты это не указывается. Т.е. игра
в отличие от модели обмена задается меньшим объемом информации и это уже хорошо, т.к. нам
требуется уже меньше информации для решения каких-то вопросов. Мы знаем, что модель обмена
задается как минимум n × l параметрами, а это горазжо больше, чем в игре GE (S) где мы все время
работаем с векторами размерностью не более n, даже для самой большой коалиции N дележи у
элементов G(N ) это всего навсего n -мерные вектора, грубо говоря размерность в l раз понижается.
Пример 2: игры с побочными платежами ( игры с трансферабельной полезностью). В отличии
от предыдущей ситуации, где у нас основой для построения была модель обмена, рынок и игры GE
мы называем игры ассоциированные с рынком, то здесь у нас в основе лежит не рынок, а некоторая функция V, которая каждой коалиции S показывает max гарантированный подход в деньгах,
который доступен коалиции S, если она действует оптимальным образом. Гарантированный – это
можно понимать и в том смысле, что независимо от того что делают ее контрагенты, конкуренты,
т.е. коалиция N − S. Ну вот, когда наши возможности, мы имеем в виду возможности в N для
каждой коалиции S указаны прямо в деньгах, то тогда по этой функции V (S) можно построить
игру, уклыдывающуюся в наше общее определение. Это понятно как делается, раз мы имеем дело
с деньгами (деньги одинаково значимы для всех), то можно с этой самой V (S) связать игру Gv (S),
где возможности
коалиции S определяются вот таким образом: это всевозможные y ∈ Rs такие, что
P
y(S) =
yi ≤ V (S), для каждой коалиции S мы обозначим ее возможности по получению того
i∈S
или иного дележа, уровня полезности в условиях, когда то, чем измеряется гарантированный доход
каждой коалиции, является бесконечно делимым, передаваемым друг другу продукт-деньги:
X
Gv (S) = {y ∈ Rs |y(S) =
yi ≤ V (S), S ⊆ N }
i∈S
Вот здесь игра с побочными платежами тоже по-видимому приближает какой-то содержательный смысл, потому, что прямо по определению множества Gv (S), получается, что если какой-то
дележ y доступен коалиции S, то получается, что ей доступен и любой другой дележ получающийся из этого y простой передачей от участника i к участнику j какого-то количества 4 денег: у i
-того y было у него станет yi − 4, а у j –того прибыло -yj +4; вот если мы y так трансформировали,
посредством передачи денег от i- того j– тому, но все преобразования такого типа допускаются, т.к.
сумма не меняется.
Итак, побочные платежи и игры с побочными платежами, они по-видимому отражают те экономические ситуации в которых принято или исторически сложилось, что наряду с нормальными,
стратегическими действиями, связанные скажем с перераспределением начальных запасов, еще и
разрешается устраивать перераспределение по функциям полезности, передавать некоторые бесконечно делимые единицы (не только деньги) от одного участника к другому для того, чтобы,
например, компенсировать какие-то очень уж выгодные для коалиции в целом, но очень не выгодные для каких-то отдельных участников, чье наличие в коалиции необходимо тем не менее, их
приходится прикармливать вот таким образом для того чтоб в целом коалиция что-то выиграла.
Ну, а если говорить чисто с математической точки зрения, то чем хороши эти игры ? Они на
самом деле устоены max простым способом: пусть S = {2, s} и нарисуем для них Gv (S), где V (S) = 2.
участник 5
6
@r 2
¡
@
¡
¡
¡
¡
¡
@
¡
r (u2 , u5 )
¡
¡
¡
@
¡
¡
¡
¡
@
¡
¡
¡
¡
@
¡
¡
¡
¡
¡
@ 2
¡
¡
¡
¡
¡
@r
¡
¡
¡
¡
@
@
¡
¡
Gv (S)
¡
¡
участник 2
-
40
Каждая точка на плоскости, мы ее будем называть критериальной плоскостью,т.к. она изображает значения критериев, оценивающих положение того или иного участника, т.е. грубо говоря
значения функции полезности. Каждая точка (u2 , u5 ) показывает какие уровни полезности соответствуют этому дележу. Следует заметить, что здесь ограничений на объемы передаваемой полезности
нет.
В этом случае множество G, в отличие от других ситуаций где оно может как угодно кривым быть, косым и хитро устроенным, здесь множество достаточно простое. Поэтому интересуясь
главным для нас на данный момент вопросом: когда ядро не пусто, мы разумеется начнем с этого конкретного примера, вот его будем анализировать сначала, чтобы найти какие-то наводящие
конструкции, понятия которые можно использовать при изучении более сложного вопроса, касающегося более общих кооперативных игр. Для этого нам надо сначала ввести понятие ядра игр. Для
этого нам надо сначала ввести понятие блокирования, указать, что означает что какая-то коалиция
S блокирует какой-то дележ игры G, а уже после этого мы назовем ядром, как это уже и раньше
было, множество неблокируемых длежей.
Определение 1: В игре G коалиция S блокирует некоторый дележ x ∈ G(N ) если ∃ дележ
y ∈ G(S) в котором yi > xi ∀i ∈ S. Т.е. дележ большой коалиции N блокируется коалицией S, если
у нее есть такой дележ, который лучше для каждого из участников, чем x.
Соответственно, мы называем ядром игры G : C(G) –это множество состоящее из всех не блокируемых дележей из G(N ) (вообще говоря оно может быть и пустым, ядро).
Теперь можно задаться вопросом, а когда C(G) ∈
/ ∅, может быть оно всегда пусто. Чтобы найти
по крайней мере подходящие перемены, в которых можно говорить, когда C(G) ∈
/ ∅, мы начнем с
анализа самой простой игры: Gv и для нее попытаемся найти эти термины. Итак, мы рассматриваем
игру Gv , т.е. игру с побочными платежами и попытаемся решить для нее вот этот вопрос, при каких
условиях, какой должна быть функция V (ясно, что это должны быть условия на функцию V ) при
которых эта игра имеет непустое ядро.
1). Начнем с того, что попытаемся выяснить какой же вид может иметь это самое ядро, если
оно есть у этой игры. Оказывается, что в данном случае: C(Gv ) это просто напросто совокупность
таких n - мерных векторов(это должны быть дележи из множества G(N )), которые удовлетворяют
условию,
P что для каждой коалиции
= X(S) ≥ V (S) (2*)
S
i∈S
S ⊆ N и X(N ) = V (N ) (3*):
C(Gv ) = {x ∈ RN |X(S) =
X
xi ≥ V (S) S ⊆ N, X(N ) = V (N )}.
i∈S
В этом случае, ядро есть множество решений системы линейных неравенств (2*) и одного уровня
(3*). Т.е. это такие вектора, что сумма их компонент в точности равняется V (N ) и еще что требуется
от этих дележей, так это то чтобы ни одна из коалиций S не была обижена в таком дележе, т.е.
чтобы каждая коалиция S получала в сумме по этому дележу не меньше того, что составляет ее
максимальный гарантированный выигрыш. Если для коалиции S окажется, что X(S) < V (S), то
тогда коалиция S имеет законное право отколоться от остальных и свое V (S) разделить между
собой.
Желательно самим доказать, что C(Gv ) имеет такой вид, но мы сделаем следующую подсказку: ну, во первых, ясно, что такие дележи из-за равенства (3*) являются допустимыми. Второе, как доказать, что если X(S) < V (S), то этот дележ обязательно блокируется коалицией S.
Итак, пусть нашлась коалиция S, что для нее X(S) < V (S), а также X(N ) = V (N ). Положим
4 = V (S) − X(S) > 0 (по нашему предложению). А теперь распределим это 4 поровну между
участниками коалиции S, т.е. разделить 4 на S равных кусочков и дать их каждому из участников
коалиции S : yi = xi + 4
S , где S– число участников коалиции S, ∀i ∈ S. Тогда по построению этот
дележ
будет
допустимым
дележом, он будет принадлежать G(S). Для этого надо проверить, будет
P
ли
yi ≥ V (S) :
i∈S
X
X
yi =
xi + 4 = X(S) + V (S) − X(S) = V (S).
i∈S
i∈S
41
Таким образом дележ y ∈ G(S). Второе что нужно проверить, что компоненты y строго больше
компонент x, нуа это прямо по определению, т.к. компоненты y получены из компонент x прибавлением положительной величины, согласно нашему предположению, т.е. y >> x, ну а это и требуется в
определении блокирования.Т.о., если какой-то дележ x не удовлетворяет (2*) и(3*) по крайней мере
для одной коалиции S, то он именно этой коалицией S и блокируется, той самой, которую этот дележ
обижает. Ну и второй этап, это естественно, надо показать, что если дележ x ∈ C(Gv ), то тогда он
не блокируется никакой коалицией. То что он будет элементом этого множества принадлежит G(N )
мы уже обсуждали, т.к. есть условие X(N ) = V (N ), т.е., если он здесь, то он ∈ G(N ). Теперь как
проверить, что он ничем не блокируется ? Ну очень просто, с помощью (2*), вот допустим, что наш
x, который удовлетворяет (2*) и (3*) блокируется какой-то коалицией S. Тогда это означает, что коалиция S в состоянии предположить такой дележ y, который покомпонентно
строго больше
P
P
P x и этот
y ∈ G(S). Условие, что yi >> xi ∀i ∈ S приводит к тому, что
yi ≥
xi ≥ V (S) ⇒
yi > V (S),
i∈S
i∈S
i∈S
P
но условие допустимости требует, чтобы
yi ≤ V (S), т.е.мы получили противоречие, предполоi∈S
жив что x блокируется y. Вообщем, мы закончили с обсуждением первого факта, которое нам надо
будет использовать в дальнейшем, что оказывается для игр с побочными платежами описание ядра
очень простое и оно сводится к тому, что это ядро имеет вид решения системы из (2*) и(3*), т.е.
ядро в этом случае есть многогранник. А это существенное облегчение, поскольку множество само
сравнительно простое, поэтому и вопрос о его пустоте или не пустоте по идее и решаться должен не
очень сложно, что сложно, это вопрос, грубо говоря, совместности системы линейных неравенств.
2).Второе замечание которое мы можем сделать, оно основано на уже установленном виде этого самого ядра. Значит, как можно по другому сформулировать то, что у игры Gv вот это самое
множество является не пустым, кроме того что эта система совместна, как это можно по другому
выразить. Это можно выразить следующим образом, если мы возьмем (2*) как ограничения, а затем на этом множестве будем минимизировать функционал X(N ), то понятно, что дело сводится
к тому: каково наименьшее значение функции X(N ). Если это ноименьшее значение = V (N ), то
тогда ядро по видимому будет не пустым, если этот min строго больше чем V (N ), то тогда очевидно что ядро является пустым. Теперь все это формально. Рассмотрим такую задачу линейного
программирования: α
S ⊆ N (+) -таких ограничений 2n − 1 штук, по числу коалиций (без пустой коалиции). Еще раз
повротим, что вопрос о том является множество C пустым или нет сводится к тому является ли
оптимальное значение в этой задаче равным V (N ) или строго большим V (N ). Т.е. второе замечание
заключается в том очевидно утверждении, что
C(Gv ) ∈
/ ∅ ⇔ min X(N )|(+) = V (N ).
Построим данное утверждение в какую-нибудь сторону. Проанализируем нашу задачу, здесь
среди условий допустимости есть такое: X(N ) ≥ V (N ), т.к. в этих ограничениях участвуют все
коалиции, в том числе и N. Раз X(N ) ≥ V (N ), то min X(N ) ≥ V (N ). Ну и если этот min на самом
деле равен V (N ), то это означает, что найдется такой вектор x, который удовлетворяет (+) и плюс
к этому X(N ) = V (N ), а по определению это и есть C(Gv ), т.е. есть x ∈ C(Gv ). Ну и наоборот,
если оказывается, что min X(N )||(+) > V (N ), то разумеется ни одного элемента в этом множестве
C нету, удовлетворяющим (+). Потому что если хотя бы один такой x был, поскольку для него
X(N ) = V (N ), томы получили бы. что min в этой задаче по крайней мере ≤ V (N ), а он у нас
оказался > V (N ) ( строго большим).
Ну, а теперь вспомним теорему двойственности и постараемся с помощью этой теоремы конкретизировать, более детально выписать условия разрешимости задачи α при которой (такой разрешимости) min X(N ) = V (N ).
42
Наряду с задачей α давайте рассмотрим двойственную к ней задачу. Нам надо представить
себе чем являются вектора задающие ограничения прямой задачи. Ясно, что для ограничений (+)
соответствующий вектор, если его понимать как вектор-строку имеет вид:
-это индикаторная функция множества S. Тогда (+) можно записать так: x · ls ≥ V (S) S ⊆ N вот так в векторной форме можно изобразить каждое из ограничений прямой задачи. AX(N ) → min
мы перепишем теперь так : x · lN → min .
Теперь мы можем записать двойственную задачу:
α∗
 P
V (S) · ys → max


 S⊆NP
ys · ls = lN

S⊆N


ys ≥ 0 S ⊆ N
Стало быть вопрос касающийся непустоты ядра сводится к тому, какое min значение может принимать X(N )α или, что тоже самое какое max значение может принимать функционал в α∗ . Здесь
важно то обстоятельство, что обе эти задачи оказываются разрешимыми, т.е. и в той и в другой
задаче есть допустимые решения. Ну а это очевидно, если в α∗ мы возьмем все ys = 0, кроме yN = 1,
то этот вектор очевидно будет допустимым в α∗ . Что касается α, то там тоже есть допустимые вектора: если допустить, что все V (S) положительны, тогда кто нам мешает взять каждую компоненту
вектора X ровной самой большой из этих величин V (S), тогда понятно, что сумма этих компонент
для любой коалиции S будет больше чем V (S). Ну а раз есть в той и другой задаче допустимые
решения, то тогда и в той и другой задаче всегда есть оптимальные решения и оптимальные значения на этих решениях совпадают. Т.о. если вернуться к нашей исходной постановке, все что нам
∗
нужно здесь выяснить – это какое max значение
P может принимать целевая функция в α , если
ys V (S) ≤ V (N ) Вот этот max = V (N ), очевидно,
этот max ≤ V (N ), это можно записать так:
S⊆N
тогда и только тогда когда вышезаписанная сумма ≤ V (N ) для любого допустимого решения ys .
Проверяется это очень легко, если мы возьмем у такой, что ys = 0 где S ∈
/ N и yN = 1, тогда max
в α∗ = V (N ); P
и наоборот, если max в α∗ = V (N ), то тогда для всех допустимых y выполняется
неравенство:
ys V (S) ≤ V (N ).
S⊆N
Итак, мы пришли к тому, что получили следующее утверждение:
X
C(Gv ) ∈
/∅⇔
ys V (S) ≤ V (N ).
S⊆N
Так что мы уже сейчас получили в терминах самой функции V которыя задает игру, условие ,
которое гарантирует, что ядро игры G не пустое. Вот это совйство функции V, надо как-то постараться его выделить, потому что оно нам в последствии пригодится в более общей ситуации и тогда
уже мы можем пытаться искать соответствующие условия для более общего класса игр. Вот как по
другому можно сформулировать вот это условие. Чтобы сформулировать это по другому и как-то
более компактно, давайте введем следующие определения:
σ0 = 2N \{∅}{S|S ⊆ N, S ∈
/ ∅}
–совокупность подмножеств множества N, семейства всех непустых коалиций.
Теперь введем определение сбалансированного покрытия множества N.
Определение 2: Мы будем говорить, что семейство коалиций σ ∈ σ0 (σ – это часть σ0 ) является
или образует сбалансированным покрытием множества N, если ∃ такие ys ≥ 0 S ∈ σ, такие что
43
P
ys · ls = lN . Значит вот есть какой-то набор коалиций, мы говорим, что он образует сбаланси-
S∈σ
рованное покрытие, если можно подобрать такие веса ≥ 0, так что просуммировав эти коалиции
с этими весами, понимаемыми, скажем, как толщина этой коалиции, мы получаем все множество
N, взятое с толщиной единица, вот здесь lN это вектор y у которого все помпоненты = 1; ls . Это
тоже вектора, у которых тоже по соответствующим подмножествам компоненты = 1, но мы их берем с весами ys , которые могут эту единицу изменить. В общем, то что мы сейчас определили это
на самом деле напрямую связано с тем, что мы имели в двойственной задаче, это как бы условие
двойственности у нас записано.
Определение 3: Мы будем говорить, что игра Gv называется B сбалансированной, если для любого
P σ – сбалансированного покрятия N и соответствующих весов ys ≥ 0 выполняется неравенство
ys V (S) ≤ V (N ) (ys из определения 2).
σ
Теорема: C(Gv ) ∈
/ ∅ ⇔ игра Gv является B сбалансированной.
Лекция N 10
В этой леции мы перейдем к формулировке условий для более общего класса игр, без побочных
платежей. Итак, вспомним, что называется сбалансированным покрытием: у нас есть множество
N = {1, . . . , n} и мы через σ0 обозначим множество всех непустых коалиций σ0 = 2N \{∅} этой игры.
Мы чаще будем рассматривать подсемейство коалиций, мы бедем рассматривать произвольное σ ∈
σ0 и мы называли это семейство σ обзазующим сбалансированное
мнодества N , если
P покрытие
ys · ls = lN . Вот это называлось
можно было указать такие числа ys ≥ 0 для всех S ∈ σ такие что
S∈σ
сбалансированным покрытием семейства коалиции из которых с помощью некоторых весов можно
было образовать разложение множества N на сумму векторов ls , где ls –индикаторная функция
множества S.
Давайте сначала разберемся немного с тем что же это за штука такая, что это за сбалансированное покрытие, потому что дальше они нам нужны будут очень по существу при выписывании
условий непустоты ядра общей игры. Сначала приведем несколько примеров: ясно, что в качестве
сбалансированного покрытия годится любое разбиение множества N. Самое правильное разбиение,
когда множество коалиций состоит всего навсего из одного элемента; вот у нас всего навсего одно
множество в этом семействе σ = {(N )}, понятно, что полагая yN = 1 мы получаем сбалансированное
покрытие.
Рассмотрим второй вариант, который может
быть: когда у нас рассматривается некоторое разT
биение множества N : {S1 , . . . , Sm }, где Si Sj = ∅ при i ∈
/ j и U Si = N. Вот второй простейший
пример, когда вот это самое семйство оказывается сбалансированным покрытием; ну значит здесь
вP
чем проблема? В том, чтобы просто указать веса для каждого множества, так что с этими весами
ys · ls = lN , понятно, что здесь в качестве таких весов можно взять ysi = 1. Итак, второй приS∈σ
мер, это когда произвольное разбиение, ну скажем на два множества S и N − S, ясно, что это тоже
образует сбалансированное покрытиея, берем веса =1 и все получается.
Кроме этих более или менее тривиальных покрытий есть оказывается и такие: если мы возьмем
все двухэлементные коалиции множества N, т.е. рассмотрим σ = {{i, j}}, образует ли это множество
коалиций покрытие? Наверное да, потому что они очень равномерно устроены эти двухэлементные
коалиции( мы берем все какие можно коалиции). Значит, по видимому веса у них у всех будут
одинаковые и даже можно подсчитать какими эти веса должны быть, вот здесь для двухэлемент1
, это следует из равенства
ной коалиции по видимому ys должен равняться следующему: ys = n−1
P
s
N
ys · l = l , если мы здесь просуммируем по какому-то индеску i при равных весахys , то таких
S∈σ
слагаемых у нас будет n − 1 штук (в которых i -тый участвует в соответствующей коалиции, в
n − 1 коалиции он участвует). Значит чтобы эта сумма равнялась единице, надо чтобы эта величина
44
1
была равна n−1
. Т.е. если мы возьмем все двухэлементные коалиции, а в качестве весов возьмем
1
числа n−1 ,то очевидно что вот такая система с пересекающимися коалициями, раньше у нас были
разбиения, там они не пересекались (это были кусочки N ), а сейчас мы допускаем и пересечение,
ну и тем неменее можно оказывается подобрать такие веса вот в этом случае, чтобы получалось то
что требуется по условию сбалансированного покрытия. Вообще, не только двухэлементные конечно, можно например. такие как просто m элементные коалиции σ = {{i1 , . . . , jm }}, ну в частности
если m = n у нас будет наша первая ситуация.Самим убедиться в том, что такое покрытие при
любом m, лишь бы тут содержались все m – элементные коалиции, оно тоже гарантировано является сбалансированным покрытием, ну видимо здесь тоже надо подобрать какой-то коэффициент
y общий для всех этих коалиций, одинаковый из-за того что это устроено
все какие
P равномерно,
можно коалиции данного типа здесь присутствуют, а потом исходя из
ys · ls = lN можно просто
S∈σ
вычислить какой должен быть ys .
Вот теперь можно сформулировать одно из главных условий для игр общего вида, игр без побочных платежей, обеспечивающих непустоту ядру, а потом убедиться что для некоторых специальных
классов игр, для игр рынка например, это достаточно легко проверяется, поэтому у нас появляется
надежный инструмент, не требующий перебора всех коалиций, как они там чего блокируют, а достаточно простое условие с помощью которого мы будем с ходу убеждаться, что данная игра имеет
ядро или нет. Это будет определение 1, определение сбалансированности произвольной игры G.
Определение 1: Вот у нас есть произвольная игра G, которая каждой коалиции S ставит в соответствие подмножество G(S) из соответствующего пространства Rs (S → G(S) ⊆ Rs ). Мы будем
говорить, что эта игра является S –сбалансированной, если для любого сбалансированного покрытия σ и для любого n–мерного вектора x = (x1 , . . . , xn ) из того что xs ∈ G(S) для всех S ∈ σ следует,
что сам x ∈ G(N ), где xs = (xi )i∈s – это сужение вектора x на какое-то подмножество координат.
Итак, есть у нас игра G, мы говорим что она является S – сбалансированной, если какое бы
сбалансированное покрытие мы не взяли и какой бы потенциальный n – мерный дележ x не взяли, такой что его части, кусочки отвечающие коалициям попадающим в σ, достижимы усилиями
соответствующих коалиций G(s), то с необходимостью должны быть так, что и сам x достижим
усилиями большой коалиции N. Вот тогда игра называется S – сбалансированной. Т.е. все что
достижимо меньшими коалициями, образующими сбалансированное покрытие, то должно быть
достижимо усилиями большой коалиции, это условие можно считать необходимым требованием
осмысленности кооперирования, потому что, если окажется, что большая коалиция не в состоянии
достичь маленькие коалиции порознь, то тогда какой резон в такой кооперации. А вот то что здесь
написано, оно как раз говорит о том, что в игре имеется некоторый стимул для кооперации.
Ну вот в частности еще один пример, для каких сбалансированных покрытий это выполняется,
мы уже примеры приводили выше: покрытия могут состоять просто из разбиения N, ну например, на два множества S и N − S. Вот рассмотрим такое примитивное покрытие G. Это свойство
утверждает, что всякий дележ, достижимый отдельно коалицией S и коалицией N − S, могут быть
склеены (эти дележи) в один большой дележ, который достижим уже коалицией N. Т.е. чего бы
там какая-то коалиция S не старалась что-то такое достичь, чего бы она там не нашла для себя в
каком-то смысле наилучшего, с помощью вот такой склейки этого же самого можно обеспечить с
помощью усилий свей коалиции N.
А теперь мы введем еще несколько понятий, которые нам потребуются чтобы сформулировать
теорему о непустоте ядра в самом общем случае:
1). Для каждого игрока i давайте обозначим через u0i max гарантированную полезность, котарую
он обеспечивает сам по себе без кооперации с другими игроками, т.е. это sup чисел и, что и ∈ G({i}) :
u0i = sup{u|u ∈ G({i})} –это max уровень полезности достаточный участнику i в рамках его
множества G(i). Мы естественно предполагаем, то что без этого никаких разговоров об ядре и быть
не может, что эти sup все конечны. т.е. u0i < ∞, потому что если хотя бы один индивидум есть
в нашей компании у которого возможности не ограничены, то он, ясное дело, заблокирует любой
дележ, поэтому мы будем считать, что u0i < ∞. Ну и вот этот самый вектор составленный из u0i мы
будем обозначать через u0 : u0 = (u01 , . . . , u0n ).
II). Сейчас мы введем стандартное требование, которое считается обычно выполненным, это то
что множество Ĝ(S) это все те дележи из G(S), которые покомпонентно ≥ u0s , они еще называются
индивидуально рациональными дележами коалиции S. Значит вот это множество, мы будем счи45
тать, непусто для каждого S из N : Ĝ(S) = {u ∈ G(S)|u ≥ u0s } ∈
/ ∅ S ⊆ N, т.е. каждая коалиция
S может достичь своими усилиями такого дележа, в котором каждый из участников получает не
меньше, чем он получал бы сам по себе, действуя индивидуально. У нас, u0s это просто сужение
вектора u0 на подмножество S, это вырезка из вектора u0 , когда мы выбрасываем все компоненты
не принадлежащие S. Чтобы был вообще смысл говорить о кооперации, понятно что такие множества (Ĝ(S)) должны были быть не пустыми, ну хотя это не обязательно. Вообще мы для простоты
принимаем такое требование.
III). Все множества G(S) должны быть замкнутыми. Это чисто техническое требование, которое
позволяет использовать подлежащую математическую технику.
А теперь мы можем дать формулировку теоремы:
Теорема: ( о непустоте ядра) (была доказана Скарфом).
Если игра G S –сбалансирована и удовлетворяет условиям II-III, то ее ядро не пусто.
Эта теорема указывает достаточное условие непустоты ядра произвольной игры без побочных
платежей. Что для этого достаточно ? Достаточно, чтобы игра была S– сбалансирована в смысле
определения 1 и чтобы все множества G(S) были замкнуты, а Ĝ(S) все были не пустыми, в том
числе, чтобы Ĝ(N ) было не пустое.
К сожалению средств, таких чтобы сразу в лоб начинать доказывать эту теорему у нас нет. И нам
надо сначала обзавестись этими техническими средствами, а потом уже окольным путем подойти к
доказательству этой теоремы, причем мы докажем эту теорему для случая специального класса игр
G, так называемо конечно-порожденных, которые могут быть конечной информацией, ну а потом,
може быть мы докажем теорему в полном объеме (полное доказательство дано в пособии Васильева).
Мы как минимум доберемся до конечно-порожденного случая, причем не просто докажем теорему
существования, а построим конечный алгоритм, который позволяет в такой ситуации прямо найти
этот элемент ядря.
Доказательство теоремы распадается на несколько этапов. На первом этапе мы сформулируем
некоторое утверждение, которое называется леммой Скарфа. Затем мы покажем, что ∃ алгоритм
который строит то, что указывается в лемме Скарфа, именно два базиса: допустимое базисное
множество (ДБМ) и ординальное базисное множество (ОБМ). А потом применим этот алгоритм
для доказательства нашей теоремы Скарфа о непустоте ядра для конечно- -порожденных игр.
Чтобы сформулировать лемму Скарфа, введем обозначения:
Пусть A и C – две прямоугольные матрицы, рпзмерностью n – строчек, m –столбцов: n × m, ну
естественно будем считать, что m > n так по нашим условиям получается, которые нам нужны для
доказательства теоремы Скарфа. А b пусть какой-то положительный вектов, n – мерный в ∈ Rn и
b >> 0.
Теперь введем понятие станрадтности:
Мы будем говорить, что матрица A находится в стандартной форме, если выполняется такое
условие: первые столбцы этой матрицы A aj есть просто напросто орты aj = lj j = 1, n. Т.е.
подматрица составленная из первых ее столбцов есть просто напросто единичная матрица. Мы
будем говорить, что матрица C находится в стандартной форме, если выполняются такие условия:
1). Cii (это элемент стоящий на главной диагонали подматрицы C, составленный из первых n
столбцов) должно быть наименьшим элементом в своей строке, т.е. i- той строке: Cii = min Cij j =
1,¯m.
2). Элементы стоящие не на главной диагонали, но в этой же подматрице, должны быть больше
или равны всех элементов состоящих в той же самой строке, но в другой подматрице матрицы C,
составленной из остальных столбцов n + 1, n + 2 и т.д.:
Cij ≥ max Cik j = 1, n i ∈
/ j.
k≥n+1
Т.е. все внедиагональные элементы подматрицы матрицы C, составленной из первых n столбцов,
должны быть не наибольшими в своей строке, но уж во всяком случае большими либо равными всех
элкментов этой же строки, расположенных в другой подматрице матрицы C.
Для простоты введем следующие обозначения:
Пусть
¾
A1 , A 2
C1 , C2
46
это подматрицы матрицы A и C соответственно, что A1 , составлена из первых n столбцов, а A2
из всех остальных столбцов. Точно такие и для матрицы C. Т.е.:
A = [A1 A2 ] C = [C1 C2 ]
Тогда условие стандартности A состоит в том, что подматрица A, просто единичная матрица.
Сейчас мы введем понятие ДБМ и ОБМ:
Определение 2: Мы называем подмножество номеров столбцов матрицы A, состоящее из n элементов:P
K = {j1 , . . . , jn } –ДБМ, если выполняется такое условие, вот такая система линейных уравнений
xj aj = b, где {aj } – лнз и с условием неотрицательности x, который ищется, если эта
j∈K
система имеет неотрицательное решение X(K). Заметим, столбцы aj образуют базис, пространство
Rn , т.е. лнз, т.е. их столько сколько надо n штук.
NB! относительно прошлой лекции, касательно последней теоремы. Мы сначала привели доказательство, а потом формулировали то, что получили, т.е. последняя теорема там доказана полностью.
Желательно доказать самим:
Для игры с побочными платежами Gv условия B – сбалансированности и S – сбалансированности
эквивалентны: Gv B – сбалансирована ⇔ Gv S– сбалансировала.
Итак, ДВМ – это равно то же самое, что мы раньше изучали в математическом программировании, когда исследовали задачи линейного программирования: Ax = b x ≥ 0 –такие вот мы будем
рассматривать в дальнейшем системки для матрицы A и вектора b. И вот если понимать это как
условия допустимости в задаче линейного программирования, то множество K которое мы здесь
называем ДБМ это тоже самое ДБМ, что и было в такого рода ситуациях в задачах линейного
программирования.
Введем теперь определение, касающееся матрицы C, нам надо что-то такое подобное ДБМ сформулировать для матрицы C.
Определение 3: Берем n - элементное множество, составленное из номеров столбцов матрицы C
и называем это n– элементное множество L = {j1 , . . . , jn } – ОБМ. Вот это множество L называется
ОБМ, если не ∃ номера j для которого выполнялось бы условие C j >> покомпонентно вектора π L ,
где π L – это построчечный min, образованный из столбцов с номерами {j1 , . . . , jn } : πiL = min Cij .
j∈L
Итак, тут у нас есть множество L номеров столбцов матрицы C, какие-то там C j1 , . . . , C jn , вот
у нас значит матрица соответствующая, квадратная образовалась: [C j1 , . . . , C jn ]. Как образуется
вектор π L ? Ну просто напросто мы для каждой строчки вычисляем подстрочечный min и вот он и
будет соответствующим элементом вектора π L . Этот вектор π L в дальнейшем мы будем называть
подстрочечным минимумом соответствующей подматрицы матрицы C, подматрицы отвечающей
номерам j1 , . . . , jn .
Приглядимся еще раз повнимательней к определению, что значит ординальное. Вот это множество L является ординальным, если оказывается, что этот самый подстрочечный min не может
быть строго покомпонентно меньше никакого из столбцов матрицы C. Т.е. по другому, если это
попытаться эквивалентным образом выразить, вот это свойство, которое записано выше, что не ∃
такого столбца матрицы C, который покомпонентно строго больше этого подстрочечного min, по
другому это же самое можно выразить так: что для всякого номера J = 1, m ∃ такой номер строки
i, что πiL ≥ Cij .
Итак, мы определили что называется ОБМ, оно еще иногда называется примитивным базисным
множеством.
Теперь у нас есть все формулировки для того чтобы дать лемму Скарфа, на которой основана в
дальнейшем сама теорема о непустоте ядра. Эта лемма Скарфа говорит о том, что при некоторых
условиях, ну они по существу все уже у нас выписаны кроме небольшого количества, существует
такое ДБМ матрицы A, которое в тоже самое время является ОБМ матрицы C.
Лемма Скарфа 1: Если матрицы A и C находятся в стандартной форме, а множество решений
системы {Ax = b; x ≥ 0 ограничено сверху (т.е. ∃ такая const, что всякое неотрицательное решение
этой системы удовлетворяет условию: все его компоненты ≤ этой const,) то ∃ ДБМ, которое является
и ОБМ (матрицы C.)
47
Эту лемму мы будем доказывать в условиях невырожденности, потому что мы будем доказывать некий алгоритм, который позволит нам конструктивно по матрицам A, C и вектору b найти
этот самый K, который окажется одновременно и ДБМ и ОБМ. А теперь сформулируем условия
невырожденности:
Для матрицы A : матрица A удовлетвлряет условию невырожденности, если для всякого ДБМ
K выполняется условие: X(K) (под X(K) мы понимаем именно те компоненты x, которые отвечают
K) >> 0, т.е. все xj >> 0 где j ∈ K. Обозначим это через (A).
Для матрицы C ( обозначим через (C)) : Для каждой строчки i все элементы этой строки Cij
различны, т.е. Cij ∈
/ Cij 0 если j ∈
/ j 0 . Это условие обеспечивает, что вот этот самый построчечный
min, из условий определяющие ОБМ, максимумы там, они все достигаются ровно на одном элементе,
т.е. т. что стоит на главной диагонали оно не просто меньше или равно, а сторго меньше всего
остального в этой строке, а не диагональные элементы не просто больше либо равны, а строго
больше соответствующих элементов.
Теперь мы сначала докажем пару лемм для этих невырожденных ситуаций, а потом сформулируем алгоритм, который позволяетя прийти к ДБМ, которое одновременно является и ОБМ.
Первая из приведенных лемм относится к ДБМ:
Лемма 2:(касается свойств ДБМ в условиях невырожденности).
Если матрица A находится в стандартной форме, удовлетворяет условию невырожденности (A)
и множество решений системы {Ax = b x ≥ 0 ограничено сверху, то для всякого ДБМ K и столбца
j0 ∈
/ K ∃!j ∗ ∈ K такой что K\{j ∗ } ∪ {j0 } снова ДБМ.
Суть этой леммы в том, что при условиях перечисленных выше, какое бы ДБМ K мы не взяли и
какой бы элемент j0 ∈
/ K не попытались туда ввести, чтобы получилось новое ДБМ – это, во первых,
всегда можно сделать и, во вторых, это делается единственным образом, т.е. тот столбец который
нужно вывести из ДБМ, чтобы на его место поставить j0 , существует всегда и единственен.
Доказательство: Мы предполагаем, что выполнены все условия леммы 2; берем произвольное
ДБМ K, берем некий столбец j0 ∈
/ K. И докажем, что K\j ∗ ∪ j0 = K 0 – тоже будет ДБМ, т.е.
отвечающие ему столбцы будут лнз, решение системы будет неотрицательное и никакого другого
вместо j ∗ из K выкинуть нельзя, чтобы на его место поставить
j0 с сохранением всех этих свойств.
P
xj aj = b разрешима, причем решение
Т.к. по условию K есть ДБМ, то такая система (∗)
j∈K
единственно, из-за того, что столбцы лнз и x все неотрицательны.
Т.к.
/ K, то разложим aj0 по
P j0 j∈
P
j
j0
j0
gj a = 0. А теперь умножим
gj a ⇒ a −
базису, найти такие коэффициенты gj , что a =
j∈K
j∈K
P
²gj aj = 0. А теперь сложим (*) и (2*):
это уравнение на положительное число ² > 0 : (2∗)²aj0 −
j∈K
P
(xj − ²gj )aj = b.
²aj0 +
j∈K
У нас получается , что при каждом ² > 0 справедливо это равенство, ну а так как наша задача
состоитв том чтобы ввести в базис столбец с номером j0 за счет того чтобы что-то из этого старого
базиса вывести, то анализ этого равенства показывает как этого можно достичь. Ну этого, понятное
дело, можно достичь регулируя ² таким образом чтобы во втором слагаемом все коэффициенты при
некоторых ² оказались бы ≥ 0, а один из них обратился в ноль, тем самым этот столбец j ∗ вышел бы
из базиса, а в базис вошел столбец j0 Так вот, если мы такое ² подберем, чтобы все коэффициенты у
второго слагаемого остались ≥ 0, а по крайней мере один обратился в ноль, то мы тем самым нашли
бы новое базисное решение в котором уже при столбце aj0 был бы ненулевой коэффициент ² > 0,
а при каком-то из старых столбцов этот составной коэффициент обратился бы в ноль. Ну и значит
мы получили бы новое базисное решение, новое базисное множество в котором присутствует j0 и
отсутствует j ∗ . Вот такая у нас идея. А из этой идеи вытекает, что ² должен быть выбран таким
образом, что для всех положительных gj у нас выполнялось неравенство:
xj − ²gj ≥ 0 ⇒ xj ≥ ²gj ⇒ ² ≤
xj
gj
для всех j ∈ K+ . Тогда максимально возможное значение ² при котором все еще коэффициенты
x
будут ≥ 0, будет равно следующему: ²∗ = min gjj – его мы и будем брать в качестве нужного нам ².
gj >0
48
Теперь осталось только разобраться, что у нас тут получается с существованием и единственностью, то что мы все эти наши операции проделывали в предположении, что у нас множество
положительных gj не пустое, иначе почему min-то брать было. Ну и во вторых нам надо позаботиться о том, чтоб этот самый ²∗ достигался ровно на одном j, на том самом j ∗ , который нам
нужен. Давайте начнем с начала почему у нас неприменно есть gj > 0. А это очевидно вытекает
из того условия. что наше множество неотрицательных решений системы {Ax = b; x ≥ 0 ограничено сверху. Почему ? Допустим, что в нашем случае все gj оказались ≤ 0, это означает что при
любом ² > 0, сколь угодно большом, все коэффициенты xj − ²gj > 0, а в целом xj − ²gj по всему
K будет образовывать неотрицательное решение нашей системы Ax = b, но оно тогда получается
не ограниченным сверху из-за того что, по крайней мере, вот эта компонента отвечающая j0 может
быть сколь угодно большой, занчит если gj > 0 не существует, то мы получаем противоречие с
нашим предположением, что множество неотрицательных решений нашей системы Ax = b огранигено сверху, т.к. при этом можно взять любое ² > 0 и тогда при этом ² > 0 все это дело вместе
взятое образует неотрицательное решение нашей системы Ax = b. Устремляя ² к ∞, мы получаем
противоречие с ограниченностью, значит множество K+ (K+ это j для которых gj > 0) не пустое,
т.е. все операции которые мы здесь осуществляли, вот взятие min, это законные операции.
Теперь установим, что min, достигается в одном месте, это и будет означать единственность того j ∗ , который мы будем выводить из базиса. Как получается единственность? Ну это опять надо
поглядеть чего мы добиваемся, когда ищем min . Мы добиваемся того, чтоб на том самом элементе,
x ∗
вот допустим это осуществляется на gjj ∗ = ², значит там где достигается min, там разумеется прямо
по определению (xj ∗ − ²∗ gj ∗ ) = 0, значит мы зануляли какую-то координату, какую-то компоненту
в этом решении. Что случилось бы, если бы у нас наряду с этим j ∗ еще где-то запулилось, ведь
то что min достигается не на одном, а на двух означало бы, что мы нашли допустимое базисное
решение системы Ax = b, которое не удовлетворяет условию невырожденности. Для невырожденности требуется чтоб все n компоненты были строго больше нуля, а у нас здесь всего не более n − 1
ненулевых компонент, а должно быть все n штук, значит получили противоречие с тем, что у нас
выполняется условие невырожденности.
А теперь более сложная часть касающаяся ОБМ.
Лемма 3: (о перестройке ОБМ).
Если матрица C находится в стандартной формуле и удовлетворяет условию невырожденности
(C), то для всякого ОБМ L и элемента j ∗ ∈ L такого, что L\{j ∗ } ∩ {n + 1, . . . , m} ∈
/ ∅ то ∃!j0 такой
что множество L0 = L\j ∗ ∪ j0 является ОБМ.
Очем идет речь, у нас есть ОБМ, но в отличие от ДБМ, мы не какой-то построенный собираемся
вводить, а на первом этапе выводим что-то из этого ОБМ, выводим такой элемент j ∗ , что если его
выкинуть, то среди оставшихся будут по крайней мере один столбец с номером n + 1 или больше,
вот если такое выполняется относительно j ∗ , то тогда неприменно ∃!j0 такой что L\j ∗ ∪ j0 снова
будет ОБМ, т.е. здесь перестройка идет из нутри, сначала мы выбрасываем. а потом уже ищем со
стороны кого-нибудь кого приглашаем вместо этого j ∗ .
Лекция 11
Итак, мы сформулировали лемму 2 о перестройке ОБМ и наша первая задача - это доказать
лемму. Ну а затем мы воспользуемся этими двумя леммами о перстройке для построения алгоритма,
который будет давать нам базис, который одновременно и допустимый, и ординальный.
Итак, докажем нашу лемму:
Доказательство: Итак, мы имеем ОБМ L, мы предположили, что еси из L\j∗ , то тогда, то что
остается не содержится целиком среди первых n номеров (6⊆ {1, . . . , n}). Ну то есть во множестве
L\j∗ есть хотя бы один номер, который ≥ n+1, т.е. там есть хотя бы один такой столбец матрицы C2 .
И мы сейчас собираемся доказать, что непременно ∃! такой столбец с номером j0 , что {L\j∗ }∪j0 = L0
будет давать снова ОБМ, причем L0 n – элементное множество и надо заметить, что j∗ 6= j0 , т.к.
если j∗ = j0 , то у нас было ОБМ и остается ОБМ.
49
Чтобы стала более понятна идея, продемонстрируем это на более простой ситуации, когда у нас,
например, n = 4. Нарисуем соотвутствующую матрицу составленную из столбцов с номерами из
L, мы проведем наши манипуляции: удалим какой-то и будем искать j0 такой, какой нам нужен.
Прежде чем нарисуем матрицу, зафиксируем следующий факт, который очевидным образом ветекает из определения ОБМ: что если у нас есть ОБМ и мы построили соответствующую подматрицу
матрицы C отвечающую номерам этого ОБМ, то, что мы там делали, мы искали построчечный
min, строчек у нас n, минимумов тоже будет n, столбцов тоже n, вот оказывается, что не только
в каждой строке, в силу невырожденности задачи (есть ровно один min), но и в каждом столбце
этот min единственный, в смысле min попадающий в столбец ∃ для каждого столбца, ну естественно он единственный. Почему это так ? Допустим, что у нас есть столбец на элементах каждого
не реализовался ни один из построчечных min, тогда этот столбец покомпонентно строго больше
построчечного min, но это противоречит ординальности. Итак, мы получили, что min, которые мы
ищем в каждой строчке этой матрицы, реализуются по одному в каждой строчке и по одному в
каждом столбце.
50
Итак, нарисуем нашу табличку.
j1
j2
j3
X
j4
j...
X
X
X
X
C j1
C j2
C j3
X X
C j4 C j...
Номера j1 , . . . jn составляют ОБМ X – построчечные min .
Пусть мы нашли какой-то столбец, ну например, j1 , такой, что среди оставшихся, есть хотя
бы один номер ≥ 5, в нашем случае. И вот столбец j, мы удаляем и хотим найти что-то , что
позволит нам вместе с оставшимися тремя организовать новое ОБМ. Вот вопрос, как это может
произойти ? Будем рассуждать следующим образом, после удаления столбца j1 = j∗ ( в нашем
случае), усеченая матрица C, в которой уже n − 1 столбца (3, в нашем случае), тоже может быть
подвергнута той же процедуре, что и исходная матрица, т.е. мы можем подсчитать подстрочечный
min этой усеченой матрицы, если мы будем действовать таким образом, то понятно, что в усеченой
матрице min новый, появится в той самой строке, из которой ушел старый min вместе со столбцом j∗ .
В усеченой матрице получили новый min X поскольку у нас здесь строк стало больше на единицу чем
слобцов, то ясно дело, что обнаружится столбец в котором будут два min (один старый X в строчке
i и один новый X в строчке i∗∗ ). Ну а теперь надо найти столбец матрицы C, такой, чтобы при
вычислении подстрочечного min для этой уже полноценной матрицы из четырех столбцов, у нас вот
этот столбец на котором оказалось два min, разгрузился от одного из них, это необходимое условие,
потому что иначе у нас если бы остались эти два min на одном столбце, то не было бы ординального
базиса, тогда бы новый столбец не имел бы min и это противоречило бы ординальности. Итак, когда
мы присоединяем какой-то столбец, который допустим, что ∃ и вместе с оставшимися тремя образует
ОБМ, то при подсчете нового построчечного min в этом новом ОБМ, у нас происходит следующее:
на этот новый столбец переходит либо X в случае i∗ , либо X в строчке i∗∗ . Вот вопрос, какой именно
из них сюда перейдет и как в соответствии с этим действовать? Оказывается, возможна ровно одна
ситуация: min может перейти только от старого, только по строчке i∗ . Почему это так? Это можно
доказать прямо от противного. Допустим, что наш min в новом столбце переходит со строчки i∗∗ ,
т.е. у нас образуется min . И формально вроде бы все нормально: в каждом столбце по одному min,
ну и снова, раз ординальный базис, мы предполагаем, что нет ни одного столбца в матрице C,
который бы доминировал этот новый построчный min . Покажем, что в этой ситуации обязательно
появится противоречие, что такого не может быть, чтобы эта вот подматрица была ОБМ. Пусть с
1
столбце C j по строчке i∗∗ реализовался min, тогда выполняется одно из двух: либо Cij∗∗ > Cij∗∗
, либо
j
j1
Ci∗∗ < Ci∗∗ . Вот эти две ситуации мы рассматривем и из каждой ситуации извлечем противоречие.
1
Рассмотрим первую ситуацию, когда Cij∗∗ > Cij∗∗
, ну тогда здесь будет нарушаться условие
ординальности, потому что мы получаем тогда такой столбец C j , который покомпонентно нечто
строго большее построчечного min в старом базисе L, т.к. в C j все элементы с самого начала больше
1
X и Cij∗∗ > Cij∗∗
. Итак, это предположение влечет, что L не является ОБМ.
1
Теперь посмотрим, что проистекает у нас, когда оказалось, что Cij∗∗ < Cij∗∗
. Тогда у нас ока0
j1
зывается, что столбец C . будем доминировать построчечный min в новом ОБМ (C j1 >> π L ).
То мы опять получили противоречие, мы то предполагаем, что построили ОБМ,а оно оказалось не
таким,т.е. L0 не ОБМ.
Стало быть, в результате полученных противоречий, если вообще и есть такой новый столбец j0 ,
который вместе с оставшимися тремя образует ОБМ, то когда мы подсчитываем новые построчечные min для этой новой матрицы, происходит следующее: все min такие были в исходной усеченой
матрице остаются на своих местах, кроме одного старого, который был бы в строке i∗ , он переходит в столбец C j . То мы должны учмтывать это обстоятельство, когда мы ищем столбец который
должен быть вместо j∗ , образовывать с оставшимися ОБМ. Какой это должен быть столбец стало
быть ? Это должен быть столбец, такой, что у него все компоненты, кроме i∗ , должен быть строго
больше построчечного min усеченой матрицы. Т.о. мы получаем множество из которого надо искать
наш столбец. Это множество образуется таким образом: берется все столбцы матрицы C с номерами
51
j, такие у которых все компоненты кроме i∗ строго больше построчечного min усеченой матрицы.
Вот так мы и будем действовать.
Запишем все формально для общего случая. Итак, был у нас базис L, был построчечный min π L ,
0
взяли мы L0 = L\j∗ и поэтому L0 построим построчечный min усеченой матрицы πiL = πi0 = min0 Cij .
j∈L
И оказалось, что при подсчете этого min на одном из столбцов исходной матрицы C1 , отвечающей
этому ОБМ L, построчечный min реализовывался дважды. Значит у нас нашелся такой столбец j
из L0 , что i∗ у него старый min, который был в базисе L, и в строчке i∗∗ возник новый min . Ну
а теперь мы формируем множество J, которое состоит из тех номеров столбцов матрицы C, для
которых Cij > πi0 и для всех i, кроме i = i∗ :
J = {j|Cij > πi0 , i 6= i∗ }.
Теперь чем говорить о том как мы из этого множества будем выбирать то, что нам следует. Надо
сказать пару слов о том, что оно пустое для начала, потому что если оно пустое, чего там выбирать
тогда. Итак, первое что мы должны зафиксировать, что множество J 6= ∅, т.к. в этом множестве
содержится элемент i∗ : i∗ ∈ J, т.е. один из первых n номеров столбцов. Давайте теперь вспомним
условие стандартности, по условию стандартности недиагональные элементы матрицы C1 строго
больше всех элементов стоящих в той же строке подматрицы C2 . А по условию нам известно, что
L0 = L\j∗ содержит хотя бы один столбец матрицы C2 , точнее говоря номер ≥ n + 1, а значит
построчечный min π 0 меньше либо равен покомпонентно этого столбца матрицы C2 , а раз так, то
тогда π 0 строго меньше всех компонент Ci∗ , кроме i∗ . Ну и стало быть у нас выполняется для этого
самого столбца то что требуется там, т.е. если мы проверили, что нам требовалось, то единственное
что нужно было чтобы столбец, который попадет доминировал по всем компонентам кроме одной
этот подстрочный min . Итак, значит множество J не пустое, потому что там по крайней мере один
элемент есть. Ну а теперь мы в этом множестве J выбирем такой номер j0 , который определяется из
0
условия Cjj∗ = max Cij∗ . Смысл этого такой: среди столбцов или номеров, точнее из множества J мы
j∈J
выбираем тот номер, который соответствует столбцу с наибольшей i∗ компонентой (т.е. компонента
из строки i∗ ), причем по условию невырожденности эти все компоненты разные. Полученный таким
образом j0 мы вводим в L вместо j∗ .
Ну а то, что старый min, который был в i∗ переходит в j0 доказывается аналогично, как для
рассмотренного выше случая, когда n = 4.
Теперь вопрос, если этот самый нужный нам j0 ∈ J, то какие у него должны быть свойства ? Ну у
него должны быть такие свойства, что при присоединении этого столбца к остатку, не может найтись
столбец матрицы C, который покомпонентно был бы строго больше нашего нового построчечного
min . А наш min как организован? Часть компонент именно с номерами 6= i∗ ( это построчечный
min, который был в усеченой матрице), ну и новый получается из строчки i∗ в новый столбец
этого старого min . Стало быть, если мы допустим что есть какой-то столбец в нашей матрице C,
который покомпонентно строго больше нового построчечного min, то этот новый столбец, который
мы предположили что ∃, должен быть строго больше элементов старого построчечного min и стало
быть этот столбец должен ∈ J. Значит, мы доказываем, что это множество L̃ = L0 ∪ j0 ОБМ,
и доказываем от противного. Допустим, что ∃ такой столбец C j который строго больше нового
построчечного min π L̃ = π̃ : C j >> π̃. Из этого предположения тогда вытекает, что j обязательно
∈ J, т.к. он, в силу того что строго больше по всем компонентам, строго больше по всем компонентам
кроме i∗ , а эти компоненты, кроме i∗ , это компоненты усеченого построчечного min . У нас j0 ∈ J,
но у него компонента i∗ самая большая, какая только может быть, а по предположению C j должен
быть и по этой компоненте строго больше, значит мы получаем противоречие: j0 выбран из того
же множества J, в котором находится этот j, и у него компонента с номером i∗ самая большая. И
стало быть не может быть такого, что у этого самого j будет выполняться неравенство Cij∗ > π̃i∗ ,
что требуется по условию, если мы допустили, что наш базис не является ординальным. Итак, мы
получили противоречие, т.е. не ∃C j >> π̃. Т.е. L̃ – ОБМ прямо по определению ОБМ.
Значит одна часть теоремы у нас доказана, что ∃, а другая часть, что это новое L̃ или j0 единственный, она вытекает просто из невырожденности. Т.к. если и можно что-то из J ввести в старый
базис вместо j∗ , то только вот этот элемент j0 , у которого компонента i∗ самая большая, потому
52
что если мы введем что-то другое, где она не самая большая, то тогда взяв столбец из J у которого
эта компонента самая большая, мы получили противоречие с ординальностью.
Ну а теперь мы докажем лемму Скарфа, о том что при определенных условиях на матрицу A, C
у нас гарантировано существование ДБМ, которое в то же самое время и будет ОБМ -ом. Вот эта
лемма играет ключевую роль придоказательстве теоремы Скарфа о непустоте ядря сбалансированной игры.
Доказательство леммы Скарфа. Мы будем рассматривать невырожденный случай, т.е. когда у
нас наряду со всеми условиями леммы Скарфа, предполагается еще, что матрицы A и C удовлетворяют условию невырожденности. Что касается общего случая, то как это делается в математике,
общий случай сводится к невырожденному просто апроксимацией общего случая невырожденными
задачами. Кто догадается как это делается и расскажет на экзамене получит за это от 0.5 до
1 балла.
Итак, наша цель состоит в том, что в условиях леммы Скарфа, к которым добавлено еще условие невырожденности, доказать, что эта лемма справедлива, т.е. что ∃ базис K, который является
одновременно и ДБМ и ОБМ. Доказывать будем таким образом, построим некоторый алгоритм,
который по заданной с самого начала исходной парочке – ОБМ и ДБМ, которые вообще говоря, не
совпадают между собой, через несколько шагов получили ту самую парочку. которая нам нужна
будет, т.е. и ДБМ и ОБМ будут одним и тем же множеством.
ДБМ у нас перестраивается каким образом ? Вводим j0 однозначно определяем коэффициенты
разложения этого столбца по старому базису, находим ²∗ , находим j∗ где этот ²∗ реализуется и вот
этот самый j∗ и выводим из ДБМ, а на его место вводим j0 . В условиях невырожденности у нас все
это однозначно происходит, единственный j∗ такой ∃, который можно убрать, чтобы на его место
поставить j0 .
ОБМ у нас перестраивается каким образом? Мы удаляем j∗ , при условии что там среди оставшихся есть с номерами ≥ n+1, а затем новый j0 , который вводим на место j∗ , строим по следующему
алгоритму: мы образуем построчечный min усеченной матрицы π 0 , а потом по π 0 строим J, потом в
J ищем столбец у которого компонента с номером i∗ самая большая, это и есть искомый столбец j0 .
Вот этими инструментами мы будем пользоваться для построения искомой парочки двух базисов, которые одновременно совпадают между собой и являются ДБМ и ОБМ.
А начинается процесс следующим образом, вот у нам есть матрица A, матрица C, как там в условиях леммы Скарфа, мы строим пару базисов, один из которых является ДБМ: K0 = {1, 2, . . . , n},
то что он является допустимым не вызывает сомнения, т.к. матрица A находится в стандартной
форме, т.е. первые n мест есть орты и ≥ 0. Что касается начального ОБМ, то мы его ищем в
следующей форме: L0 = {j, 2, . . . , n}, т.е. мы ищем ОБМ в такой форме, чтобы оно отличалось
от ДБМ только по первой позиции. Причем j находится из того условия. что среди всех столб0
цов подматрицы C2 этот j-тый столбец имеет max первую компоненту: C1j = max C1j , причем
j 0 =n+1,m
j определяется единственным образом, т.к. у нас ситуация невырожденности. Что касается того,
что этот базис действительно является ординальным, то тут нет особых сомнений. Почему? Просто надо проверить, что выполняется условие ординальности, что нет такого столбца, который был
бы покомпонентно строго больше нашего построчечного min нашей матрицы с номерами столбцов
{j, 2, . . . , n}. Ясно, что построчечный min по строчкам 2, . . . , n это будет исходный, построчечный
min по всей матрице C, а что касается первой строчки, то понятно, что по первой строчке min у нас
будет реализовываться на этом столбце номер j. Теперь допустим, что у нас есть какой-то столбец
0
0
C j , который строго больше этого построчечного min : C j >> π, за счет чего может найтись такой
столбец, ясно что этот столбец, его номер j 0 ≥ n + 1, т.к. если j 0 ≥ n + 1, то тогда соответствующее
условие: строго больше построчечного min не будет выполняться, т.к. у нас построчечный min по
строчкам 2, 3, . . . , n это есть глобальный min в строчке. Ну а тогда у него получается, что первая
0
компонента больше чем первая компонента C j , но мы выбирали j так, чтобы C1j = max C1j . Т.о.
j 0 =n+1,m
j0
получили противоречие, т.е. не ∃C >> π (просто по построению). Т.о. L0 – ОБМ.
Дальше, отправляясь от этой парочки, мы будем сохранять то же соотношение между ОБМ и
ДБМ, которое сложилось у нас на самом начальном этапе, именно, все остальные пары, мы будем
двигаться от одной к другой, перестраивая либо ОБМ, либо ДБМ, сохраняя это соотношение, что
53
если имеется несовпадение, то только по первой позиции, вот как здесь в K0 и L0 : 1, и j, ясно, что
j не может быть единицей изначально, просто по построению. И дальше мы будем двигаться таким
же образом чтобы при всем том что эти базисы меняются, отличаться они будут только по одной
позиции, по первой, n остановимся тогда, когда по этим первым позициям возникает совпадение, а
когда это совпадение появится, то у нас будет базис, который и ДБМ, и ОБМ.
Действовать будем следующим образом: мы проделаем первые два шага, конкретно, потом укажем способ как это в общей ситуации происходит перестройка от одной пары к другой, а дальше
убедимся, что этот процесс действительно заканчивается на парочке, которая нам нужна.
В качестве первого шага (нечетного шага) предполагается осуществить следующую перестройку
ДБМ: то что мешает совпадению, то что находится в ОБМ – элемент j введем в базис K0 в расчете
на то что он вытекает именно первый элемент, если это произойдет то мы сразу после первого шага
получим то что требуется – у нас будет совпадение двух базисов, если только удасться ввести j
так, чтобы он вытеснил именно единицу, а не что-то другое. Если же это не получится, ну тогда
мы помещаем j в то место где он выталкивает соответствующий элемент, а затем будем работать
с ОБМ, его перестраивать. Сейчас уточним как осуществляется первый шаг: на первом шаге мы
получаем пару базисов K1 и L1 следующим образом –L1 это то же самое что и было раньше, т.е.
L0 = {j, 2, . . . , n}, а в K0 мы вводим j и оказалось, что это j вытесняет не единицу, а что-то другое,
например, k-ый элемент, и мы получили K1 = {1, . . . , k −1, j, k +1, . . . , n}, а потом в L0 мы поменяем
местами j -ый и k - ый элемент местами и мы получим L1 = {K, 2, . . . , k − 1, j, k + 1, . . . , n}, т.е. K1
и L1 отличаются опять только по первой позиции.
На втором (четном) шаге согласно лемме 2 о перестройке ОБМ перестраиваем L1 удаляя k, что
мешает совпадению по первой позиции в расчете что на его место придет единица и если бы это
произошло, то на этом шаге мы бы остановились, т.к. получили бы два базиса которые совпадают
между собой. Если же нет, то поступаем так K2 = K1 = {1, 2, . . . , k − 1, j, k + 1, . . . , n}, а L2 такое
что вместо k пришел какой-то j1 : L2 = {j1 , 2, . . . , j, . . . , n}.
Т.е. мы согласно лемме 2 удалили из ОБМ и тогда, поскольку у нас среди оставшихся есть
элемент j с номером большим чем n + 1, у нас работает лемма 2: ∃!j1 , который займет место k и
при этом новый набор будет ОБМ. И опять K2 и K2 отличается только по первой позиции, прямо
по построению.
Идея значит следующая: мы переходим от одной пары к другой сохраняя это условие, чтобы
отличались эти пары только по первой позиции, причем переход осуществляем поочередно, чередуя
перестройку ДБМ и ОБМ, т.е. на нечетном шаге (m-шаг) m = 2k + 1 мы перестраиваем ДБМ, т.е.
вводим в ДБМ предыдущей пары элемент стоящий на первом месте в ОБМ в этой паре. А на четком
шаге m = 2k переход осуществляется посредством перестройки ОБМ, а перестройка эта происходит
потому же самому правилу что и на втором шаге, т.е. если в ОБМ на первом месте стоит что-то
отличное от единицы, то мы просто напросто удаляем это из ОБМ и на его место однозначно
входит что-то другое, и если входит единичка, то мы останивливаемся, т.к. процесс закончен, а если
единичка не вошла, то продолжается процесс дальше.
Теперь нам осталось проверить, что этот алгоритм заканчивается через конечное число шагов и
именно на той паре которая нам нужна (на паре совпадающих ДБМ и ОБМ), т.е. либо нам удасться
в конце концов эту единичку вытолкнуть, когда перестраиваем ДБМ, либо когда мы удалили j1 из
ОБМ и на его место войдет единица.
Докажем теперь это. Мы допускаем от противного, что наш алгоритм не сходится. Это означает,
что выполняется одна из двух альтернатив: 1). либо наш алгоритм продолжается бесконечное число
шагов, 2). либо он где-то останавливается из-за того, что невозможно осуществить движение по
правилам этого алгоритма.
Что означает 2)? Мы не можем идти согласно нашим правилам только в одном единственном
случае, а именно когда нам нужно перестраивать ОБМ, а оказывается, что все элементы кроме
первого имеют номера от 1 до n, т.е. среди оставшихся кроме первого нет ни одного элемента
с номером ≥ n + 1 (лемма 2 насчет этого случая нам ничего не говорит). Можно показать, что
альтернатива 2). на самом деле в некотором роде эквивалентна альтернативе 1)., а альтернатива
1). приводит к циклам.
Теперь более подробно, что значит что у нас образовалась парочка K и L, такая, что надо
перестраивать ОБМ, а мы его перестраивать не можем, потому что находимся не в условиях леммы
54
2, т.е. мы не можем двигаться дальше
K = {1, 2, . . . , n}
L = {1, 2, . . . , n}
- у нас может быть только такая.
Ситуация когда мы не можем двигаться дальше, ну а эта та самая позиция в которой мы начинали. Т.е. если мы пришли к ситуации в которой процесс останавливается из-за невозможности
двигаться согласно правилам, то это означает всего навсего что мы просто вернулись к исходно
позиции K0 , L0 , в которой мы могли двигаться и.к. перестраивали ДБМ.
А теперь вернемся к альтернативе 1)., когда у нас процесс идет бесконечно долго, т.е. мы все
время движемся по таким парочкам K и L, что у K на первом месте всегда стоит единичка, если
бы ее не было мы бы уже пришли к тому, что требуется: K = {1, j2 , j3 , . . . , jn } – ДБМ, а L =
{j1 , j2 , j3 , . . . , jn } – ОБМ, причем j1 всегда отличное от единицы, т.к. мы двигаемся бесконечно.
Если мы изобразим все мыслимые пары, которые можно составить из номеров столбцов матриц
A и C, то мы получим набор, что если эти парочки условно обозначить точками, вершинок n каждая
вершина отождествляется с какой-то парочкой K и L:
r K ,L
½Z 0 0
½
Z
½
½
Z
согласно алгоритму
@
Z
½
½
Z
@
@
R½
½
Z?
Z
½
½
Z
½
Z
r
½
~r K1 , L1
Z
­
J
]
продолжается бесконечно
J
­?
J
­
J
­
J
­
J
­
­
J¾
r
rÀK2 , L2
не можем дальше двигаться
по технической причине
(такое соединение называется неориентированный граф).
n 2
Следует заметить, что вершин у нас конечное число, т.к. пар K, L не более чем (Cm
) , т.к. эти
пары образуются следующим образом: мы берем n -элементов подмножества m - элементного множества (m - число столбцов в матрицах A и C). Т.о. наш граф конечен, если понимать под этим
конечность числа вершин. Стало быть, если наш процесс продолжается бесконечное число шагов, то
этот процесс рано или поздно приведет к возникновению цикла, т.е. если мы будем рассматривать
эту траекторию, то можно указать первый такой шаг на котором мы возвращаемся туда, где уже
побывали и значит ∃ в нашей цепи вершина которая посещается по крайней мере два раза, вот мы
эту вершину зафиксируем и тем самым получим цикл u получим замкутый контур. Разберемся,
какое же здесь возникает противоречие. Рассмотрим сначала альтернативу 1). Противоречие возникает из-за того, что раз у нас здесь возник цикл не в начальной, а в какой-то промежуточной
вершине, то эта вершина оказалась смежной целым трем стрелочкам, а это означает, что из этой
вершины по нашим правилам выйти в три другие позиции нашего типа, а этого быть не может,
согласно нашим правилам можно менять только либо ДБМ (один ход), либо ОБМ (другой ход), т.е.
можно выйти только в другие две вершины, в три выйти нельзя, значит получаем противоречие.
Рассмотрим альтернативу 2), когда мы возвращаемся в начальную позицию. Ну тогда, по тем
же самым соображениям, мы получаем, что из начальной позиции можно выйти в две соседние,
не в одну (как у нас было), а в две, а это тоже противоречие, т.к. из начальной позиции можно
осуществлять перестройку только ДБМ.
Сделать замечание насчет стрелочек, если мы вошли из одного состояния в другое, то мы можем
вернуться обратно в исходное состояние.
Т.о. наше предположение неверно и алгоритм в итоге сходится.
55
Вернемся теперь к самостоятельному на доказательству общего случая без условия невырожденности и сделаем некоторые замечания: всякая общая ситуация с матрицей A и вектором b
приводится к невырожденной очень простым образом, вектор b надо немного шевельнуть или точнее сказать для любого ² нейдется такое b0 = b + ², при котором уже наша задача для A становится
невырожденной, т.е. там все базисы уже оказываются не вырожденными, т.е. матрица A и b которые были вырождены можно апроксимировать невырожденными очень просто: матрица A остается
такой какой и была, а меняется только чуть-чуть вектор b0 , ну и понятно раз для любого ² этот
b0 ∃, то можно пределом получить то, что нам требуется. Но это все надо рассматривать вкупе для
ОБМ и для ДБМ.
Для ОБМ, для матрицы C сделать условие невырожденности тоже довально просто. Если C
не удовлетворяет условию невырожденности, значит там есть совпадающие элементы в каких-то
строчках, ну так надо просто-напросто чуть-чуть их расклеить, так чтобы они отличались на ² (это
всегда можно сделать) и устремляя ² к нулю мы получили апроксимацию вырожденной матрицы C
невырожденной. Ну, а дальше просто напросто надо поглядеть за тем, чтобы там эта самая парочка
которая будет для каждой пары невырожденных она устремлялась в пределе к той самой паре, для
исходных A и C вырожденных, которая нам нужна.
Лекция N 12
Итак, в прошлый раз мы доказали Лемму Скарфа о том, что при определенных условиях ∃
одновременно и ОБМ и ДБМ. Ну а теперь начнем снимать с этого результаты. Вся эта маханика
двигалась к тому чтобы докузать теорему Скарфа о непустоте ядра. S – сбалансированных игр. Мы
постепенно шаг за шагом сначала для специальнлгл класса игр, так называемых конечнопорожденных игр, ну а потом для общего случая будет дана схема доказательства вот этой самой теоремы
Скарфа.
Напомним общее определение конечно-порожденной игры, а потом сформулируем и докажем
теорему о том, что для S – сбалансированных конечно-порожденных игр ядро всегда не пусто.
Вот, для начала зафиксируем вещественные числа u01 , u02 , . . . , u0n и вектора uk,s из соответствующих конечномерных пространств Rs (uk,s ∈ Rs k = 1, . . . , ks . где S все не менее чем двухэлементные
подмножества множества N (|S| ≥ 2) S ⊆ N. И вот когда у нас это множество игроков зафиксировано, мы можем построить конечно-порожденную игру с помощью вот такого набора данных:
во первых, мы для каждого индивидуума указываем его max гарантированный выигрыш, когда он
играет сам по себе; во вторых, мы для всех остальных не одноэлементных коалиций S указываем
для каждого S набор векторов, вершиной таких, который может быть из одного состоит элемента,
может быть из двух, ну вообще говоря из некоторого количества Ks , для каждой коалиции этот
набор свой. Ну, а теперь, когда вектора и числа заданы, мы можем определить по этим данным
игру G, которая определяется так:
а). для одноэлементных коалиций: G(i) = {u ∈ R{i} |u ≤ u0i }, т.е. это соответствующая полуось,
это такие вещественные u, что u ≤ u0i .
ks
S
б). для двух и более элементных коалиций G(S) =
{u ∈ Rs |u ≤ uk,s }, т.е. перечень их возk=1
можностей, что они могут получить как выигрыш, действуя совместно, определяется векторами
uk,s и если нарисовать это на графике, то получим следующее: (мы здесь взяли двух элементную
коалицию i и j - того участников):
56
uj
6
u1,s
u2,s
us,s
-
ui
Чтобы изобразить множество дележей допустимых усилиями этой коалиции, нам надо на соответствующей плоскости ui , uj в соответствующем пространстве R{i,j} изобразить просто-напросто
конечный набор точек, определяемых uk,s . И тогда согласно определению множества G(S) с помощью вот этих вершин все множество G определяется следующим образом: надо под каждой
вершиной расположить все, что меньше либо равно, ну а затем объединить все эти бесконечные
квадраты, определяемые этими вершинами. И все что находится под этим объединением и есть
множество G(S) (на графике граница G(S) изображена черной ручкой).
Вот такие игры просты для исследования, т.к. они задаются конечной информацией.
По поводу этих игр мы будем предполагать (для простоты). что все uk,s
≥ u0i i ∈ S(∗), т.е. кажi
дый игрок из коалиции S получает не меньше, чем получил бы самостоятельно. Это вполне естественное предположение, потому что другие вершины не имеют смысла, т.к. если один из участников
в ней получает строго меньше, чем u0i , то тогда он эту вершину может заблокировать и отношения
к ядру такая вершина не имеет, ну а раз она не имеет, то тогда зачем ее рассматривать.
Ну, а теперь мы можем доказать предложение 1 о непустоте ядра для S - сбалансированных,
конечно-порожденных игр.
Предложение 1: Если игра G - конечно-порожденная, удовлетворяет условию (*) и S - сбалансирована, то C(G) 6= ∅.
Это по существу просто переформулировка теоремы Скарфа в которой вместо общей игры берется конечно-порожденная, S -сбалансированная и выполняется (*).
Схема доказательства такая: надо по данным нашей игры построить матрицы A и C, и вектор
b и проверить, что с одной стороны выполняются все условия леммы Скарфа о совпадении ДБМ и
ОБМ, дальше что этот самый базис и дает нам элемент ядра. Ну мы уже знаем, что он дает таким
простым способом: берем построчечный min по ОБМ, получаем дележ который с одной стороны
∈ G(N ) и во вторых не блокируется никакой коалицией S.
Доказательство:
Очевидно, что в качестве этого вектора b надо взять единичный вектор:
 
1
 
b =  ...  = lN , потому что где-то нам надо будет воспользоваться сбалансированностью, а в самом
1
определении сбалансированности фигурируют индикаторные или характеристические функции ls
или lN . Это самое простое что сходу можно угвдать. Что касается матриц AG и CG , то тут надо
подумать, что это такое могло бы быть. Опять идем от того, что где-то использовать S - сбалансированность, а для сбалансированности нужны в общем случае вектора ls , поэтому и предполагается
в качестве соответствующих столбцов ak,s взять такие столбцы ak,s = ls k = 1, . . . , ks , |s| ≥ 2, а первые столбцы имеют такой вид: ai = li i = 1, n (это для одноэлементных коалиций). Итак, первые
n- столбцов это орты и формально они соответствуют индикаторным функциям одноэлементных
коалиций и все остальные тоже есть ни что иное, как индикаторные функции коалиции S, но только поскольку у нас каждая коалиция может оперделяться несколькими вершинами uk,s , поэтому
нам приходится размножать эти индикаторные функции, мы будем брать их для каждой коалиции
57
S столько же сколько вершин определяет эту самую G(S), чтобы у нас было соответствие между
матрицей C и матрицей A. Итак, в качестве матрицы A берем матрицу организованную следующим
образом: первые n столбцов li i = 1, n, а дальше идут столбцы ak,s , которые упорядочены следующим образом: сначала упорядочеваем все двухэлементные коалиции, потом трехэлементные и т.д.,
а внутри для каждой коалиции S сначала идут a1,s , a2,s . . . , т.е. т.к. пронумерована совокупность
вершин определяющих G. Вот, мы зафиксировали порядок и получили матрицу AG .
Теперь рассмотрим матрицу C, как она строится. Для матрицы C тоже надо сначала соорудить
что-то что могло быть претендентом на роль ее столбцов, вот мы введем столбцы C k,s и будем их
определять следующим образом.
½ k,s
ui
i ∈ S, т.е. совпадают с соответствующей вершиной
Cik,s
числуMi i ∈ S, чтоMi > max{uk,s
i |i ∈ S}(2∗)
0
Следует заметить, что для одноэлементных коалиций uk,s
i ui , а на всех остальных местах стоят
M2 , M3 и т.д. т.е. Mi где i 6= S.
Т.о. мы сейчас задали столько же столбцов для матрицы C, сколько и скорее всего это дло и
годится в качестве исходного материала для матрицы C, так мы и сделаем, в качестве столбцов
матрицы C, которых столько же сколько в AG и которые соответственным образом, мы выбираем
C k,s .
Итак, мы задали матрицы AG , CG и вектор b и стало быть формально мы сейчас находимся
как бы в условиях леммы Скарфа, ну у нас те же самые объекты в распоряжении. Чтобы воспользоваться леммой нам надо проверить кое-что, что фигурирует как условия нашей леммы. Ну
первое, это надо чтобы AG и CG находились в стандартной форме, второе - это чтобы множество
неотрицательных решений определяемых AG и b было бы ограничено сверху. И вот если все это
дело выполняется, то тогда нам было гарантировано ∃ -ние базиса, который будет одновременно и
ДБМ, и ОБМ. И вот это мы сейчас и будем реализовывать.
Итак, стандартность матрицы AG . Там требовалось не много, надо только чтобы первые n столбцов этой матрицы, т.е. подматрица A1 , состоит из ортов. Но это условие очевидно выполняется, т.к.
по построению первые n столбцов это индикаторные функции одноэлементных коалиций, т.е. это
орты. Вектор b у нас строго положительный.
Теперь проверим условие ограниченности сверху множества допустимых решений системы{AG x =
b, x ≥ 0. Это проверяется довольно просто, нам надо доказать, что множество всех неотрицательных
решений этой системы является ограниченным снизу, это само собой, и сверху (снизу, т.к. x ≥ 0).
Т.е. надо доказать ограниченность сверху. Но здесь можно заметить, что каждая строчка этой системы уравнений характеризуется тем свойством, что в качестве коэффициентов при переменных
в этой строке может выступать только ноль или единица (из вида матрицы AG ), переменные при
этих коэффициентах по условию неотрицательны, значит соответствующая строчка должна равняться
соответствующей компоненте вектора b, единице в нашем случае. Т.е. мы получили, что
P
aij xj = 1 для каждой строки i. А отсюда вытекает, что xj ≥ 1, потому что они все неотрицательны. Тогда сумма больше либо равна каждого слагаемого. Т.е. множество решений ограничено
сверху единичкой.
А теперь проверим, что для C выполняется условие стандартности. Там у нас следующие требования: во первых, в подматрице C1 , составленная из первых n столбцов, элементы стоящие на
главной диагонали, т.е. u0i , были меньше либо равны любого числа в той же строчке всей матрицы
C.
 0


u1
M1 . . . M1
 M2 u02


. . . M2 



 ·


·
·
·




C=


·
·
·
·



 ·


·
·
·
Mn Mn . . . u0n
Но, если мы вспомним условие (*), то понятно, что тогда у нас будет выполняться то что требуется (еще раз, из-за условия (*) и выбора Mi ).
58
Также для стандартности требуется, чтобы недиагональные элементы C1 были ≥ всех элементов
этой строки, но уже в подматрице C2 . Что находится в этой строке в подматрице C2 ? Либо Mi
для тех коалиций S, которые не содаржат i, либо i- тая компонента какой-то вершинки коалиции S
которая содержит i- того игрока. И это у нас будет выполняться из условия (2*) на Mi .
Т.о. все требования леммы Скарфа выполняются для матриц A, C и векторов b. Ф раз это
все выполняется, тогда справедливо заключение, что найдется такое ДБМ для матрицы A K =
{j1 , . . . , jn ), которое одновременно будет и ОБМ для матрицы C. Ну, а теперь, многие уже догадались, что система {AG x = b, x ≥ 0 она на самом деле, система которая определяет сбалансированные
покрытия, потому что в правой части стоит lN , в левой стоят индикаторные функции коалиций S.
Поэтому с помощью допустимости этого базиса K мы установим, что у нас образовалось сбалансированное покрытие с помощью соответствующих коалицой, а с помощью ординальности этого
базиса мы построим, прямо выбирая построчечный min в этой подматрице матрицы C, отвечающей
этому базису, получим элемент ядра.
Итак, у нас есть базисное множество K, которое одновременно ДБМ и ОБМ, и есть отвечающие
этому базисному множеству столбцы подматрицы A : akj ,sj и есть столбцы матрицы C : ckj ,sj , где
j ∈ K. Вот мы из этих столбцов и сформируем то что нам требуется. Условие что K ДБМ означает,
что ∃ такие
неотрицательные числа xj , что
P
1).
xj akj ,sj = b = lN xj ≥ 0
k ,s
2). вектор u = (u1 , . . . , un ), где ui = min ci j j , обладает теми свойствами которые полагаются по
j∈k
определению ОБМ.
Начнем с 1). что оно собственно у нас означает. Оно означает, как видно из определения akj ,sj ,
что это просто - напросто мы получили сбалансированное покрытие множества N состоящее из
коалиций Sj , просто по определению akj ,sj = lsj , ну и стало быть коалиции Sj образуют сбалансированное
покрытие множества N, поскольку мы нашли неотрицательные числа xj , такие, что
P sj
xj l = lN , т.е. отсюда вытекает что семейство коалиций Sj ({Sj }) это есть сбалансированное
покрытие N. Вот что вытекает из условия, что наше K есть ДБМ.
Теперь займемся 2)., т.е. вектором u, он построен как построчечный min подматрицы C составленной из столбцов с номерами из K. Это значит, прямо по определению, что для каждой коалиции
Sj , вот проекция этого вектора n на Sj - компоненты : usj ≤ ukj ,sj (просто потому, что в качестве
части соответствующей столбца ckj ,sj у нас выстуапет u, соответствующая вершина, ukj ,sj . Ну а
раз компоненты ni min - ые в своей строке, то они будут ≥ в частности и компонент всех столбцов
стоящих в нашей подматрице, с номером i. Ну это можно было бы записать по другому ui ≤ ukj ,sj
для всех j для которых i ∈ S. А это означает, что проекция вектора и на коалицию Sj попадает
под вершинку ukj ,sj т.е. попадает в G(Sj ), т.е. usj ∈ G(Sj ) (просто по определению построения G).
Т.е. для вектора и выполняется то, что требуется в определении сбалансированности игры: что
берем и, берем какое-то сбалансированное покрытие (в нашем случае Sj) и смотрим попадает ли
проекция вектора u на эти коалиции в соответствующие G или не попадают. У нас по построению
и получается, что попадает для каждой коалиции Sj . А так как наше K есть ОБМ, а игра у нас
S - сбалансирована, значит вектор u, поскольку все его проекции попадают куда надо, сам по себе
принадлежит множество G(N )(u ∈ G(N )), т.е. он достижим усилиями большой коалиции. Итак, это
следствие того, что G предполагалась S -сбалансированной.
Теперь нам осталось доказать последнее что этот самый u элемент G(N ), допустимый то есть,
не блокируется никакой коалицией, А условие блокирования в конечном-порожденных играх выглядит очень просто: чтобы элемент u из G(N ) блокировался какой-то коалицией S необходимо и
достаточно просто чтобы он блокировался какой-то ее вершиной, чтобы для какой-то вершины все
копмоненты этой вершины были бы строго больше соответствующих компонент нашего вектора u.
И т.о. нам надо проверить что построенный таким образом u ни одной вершиной не блокируется,
что не может быть такого, что найдется какое-то S, K так чтобы uk,s >> us . Ну, а теперь мы используем, что у нас есть ОБМ. Раз базис является ординальным, то тогда получается по определению
ординальности, что никакой столбец этой матрицы C не может сторого больше покомпонентно нашего вектора u. Ну, а теперь нетрудно заметить, что раз нет такого столбца, то нет и никакой
вершины, т.к. если бы такая вершина нашлась (какая-то uk,s >> us ), то тогда получилось бы (допустим, что нашлась и доказываем от противного), что столбец матрицы C с номером k, s будкт тем
самым который покомпонентно строго больше, чем вот этот самый us (ck,s >> us ). Это вытекает из
59
следующих двух факторов: 1) вспомним, что ck,s частью составлен из uk,s (по компонентам из S)
и частью из M : C k,s , V ), где M - остальные компоненты, а эти компоненты у нас по определению
построены в виде Mi , где i ∈ N − S, но эти Mi по построению выбирались строго больше любого
uk,s i ∈ S. Стало быть, если мы допустили, что uk,s , то тогда получается, что для этой части C k,s по
предположению выполняется строгое неравенство, а для остальной части C k,s , которая составлена
из Mi , это получается по выбору самих чисел Mi , согласно (2*). Т.о. допуская что u блокируется
какой-то вершиной мы нашли столбец матрицы C который покомпонентно строго больше этого и,
чего быть не может, т.к. u построен из ОБМ, а для ОБМ по определению должно быть так, что
для построчечного min не найдется ни одного столбца матрицы C, который бы покомпонентно был
строго больше нашего u. Т.е. мы получили, что наш u не блокируется никакой вершиной uk,s , а это
означает, что он вообще ничем не блокируется, значит u ∈ C(G).
Теперь, скажем несколько слов о том, как это довести до ума для общей ситуации. В теореме
Скарфа у нас предполагалось, что игра S - сбалансирована, что множества G(S) замкнуты, ну
естественно насыщенные снизу (с каждым дележом всякое меньше принадлежит) и последнее что
нам требовалось, чтобы множество G̃(S) = {u ∈ G(S)|ui ≥ u0i , i ∈ S} было ограничено сверху, ну
снизу они ограничены по условию этими u0i . И надо доказать, что при этих условиях игра имеет не
пустое ядро. Приведем схему доказательства.
Схема доказательства теоремы Скарфа:
Итак, мы находимся в условиях теоремы Скарфа, игра G такая как и было сказано. Значит нам
надо доказать опираясь на результат который только что был установлен для конечно-порожденных
игр, что эта игра имеет не пустое ядро. Значит достигается это за счет того, что играми типа
конечно-порожденных можно апроксимировать как угодно точно любую игру. Вот такая главная
идея, либо мы будем просто напросто апроксимировать нашу игру G конечно-порожденными играми. А имея для них теорему мы можем предельным переходом получить что этот результат верен
и для общего случая. Но сначала сделаем некоторые обозначения, давайте возьмем и зафиксируем
какое-нибудь упорядочевание всех рациональных чисел: Q = {Γ1 , Γ2 , . . . , Γm , . . . , }, т.е. пронумеруем все рациональные числа. А дальше через Qm для каждого натурального m будем обозначать
множество составленное из чисел u01 , . . . , u0n и еще плюс отрезок из первых m элементов Q :
Qm = {u01 , u02 , . . . u0n , Γ1 , Γ2 , . . . , Γm }.
И дальше, грубо говоря, речь будет идти о том просто-напросто, что мы будем апроксимировать
наше множество G(S) с помощью векторов с компонентами из этого множества и чем оно будет становиться больше, тем апроксимация будет все точнее и точней, ну а в итоге, в пределе мы как бы
получим совуршенную апроксимацию нашего множества G(S). Если формально, то дело происходит следующим образом: во первых, для каждого m обозначим через Gm кооперативную игру без
побочных коалиций, которая для каждой коалиции S определяет множество достижимых дележей
по такой формуле: ( это есть просто-напросто совокупность всех векторов дележей и нашей исходной игры G, выбранных среди индивидуально-рацианальных ( из G̃ ), таких, что все компоненты
этого и должны ∈ Qm для всех i ∈ S. Это одна часть множества Gm , но оно должно быть насышено
снизу, поэтому из него надо вычесть Rs+ ) : G̃(S) = {u ∈ G̃(S)|ui ∈ Qm i ∈ S} − Rs+ для каждой
S ⊆ N.
В фигурных скобочках берутся все дележи из множества G̃(S), у которых компоненты принимают значения только из Qm , там есть по крайней мере один такой вектор u0i i ∈ S, по конструкции
G̃(S), который сам содержит u0i i ∈ S, ну может быть там и еще что-то есть. Это зависит от того
какие здесь числа в качестве первых выбраны, если там очень большие, они выскакивают за пределы возможности коалиций S, то на первых шагах ничего не будет добавляться, в этой первой части
будет сидеть только u0i i ∈ S, один вектор, один делет, ну а потом с ростом m там будет что-то
появляться постепенно и чем дальше, тем больше будет появляться дележей в этой части, ясно что
их конечное число, т.к. они устроены из компонент которых только конечное число, а векторов из
конечного набора чисел понятно дело построить можно только конечное число различных, Значит
здесь на самом деле выписано не что иное как множество вершин uk,s для этой игры Gm . Потому
что дальше что происходит ? Мы из каждой этой вершинки вычитаем положительный конус Rs+ ,
т.е. мы берем наряду с вершинкой все что находится под ней, когда вычитаем из вектора все векто60
ра которые имеют неотрицательные компоненты, что мы тогда делаем, мы, грубо говоря, спускаем
этот самый u, из которого вычитаем, пониже. Вот таким образом, здесь Gm имеет такую же форму,
только не явную как у нас было в начале, а по существу, как и для конечно-порожденной игры, т.е.
для каждого m, то что мы получили по этой формуле задает нам конечно-порожденную игру Gm ,
т.к. это имеет место для всех S.
Кто хочет получить от 0.5 до 1 балла на экзамене, должен проверить, что то, что мы
построили является S - сбалансированной игрой. (Ну это, в общих словах, вытекает из того, что
общая игра была S - сбалансированной). Посказка: если говорить более точно, то все что здесь
надо проверять, это показать, что для любого сбалансированного покрытия, вектор, который имеет
проекции на эти покрытия ∈ G(S), попадает в G(N ). Надо для каждого такого сбалансированного
покрытия взять по одной вершине из множеств G(S) отвечающие этому покрытию и по этим вершинам устроить вектор, который по каждой компоненте равен min из этих компонент для наших
вершин. Ну все вершинки нельзя взять, потому что там какие-то не сдержат i- того участника, а
вот по тем которые его содержат берем просто min . И в итоге получаем некоторый вектор u. Все
что нам осталось сделать, это доказать что его компоненты, этого вектора u, принадлежат множеству Qm , а это и будет означать, что сам он ∈ Gm (N ), а это и будет означать что наша игра
сбалансирована.
Тогда, согласно предложению 1, мы имеем хотя бы один элемент в ядре игры Gm : um ∈ C(Gm ).
Следует заметить, что условие (*) из предложения 1 выполняется, т.к. u ∈ G̃(S). Итак, мы воспользовались предложением 1, мы получили, что для каждого m ядра являются не пустыми.
А теперь наша цель состоит в том, чтобы доказать, что с помощью этих um выбрав некоторый
предельный, если окажется что они стремяться к некоторому ū(um → ū, то выбрав этот предельный
элемент, доказать что он и будет элементом ядря уже исходной игры. Вот такая будет идея, она
безусловно реализуема, т.к. um будучи элементами ядра по построению обладают свойством, что
эти um все ∈ G̃m (N ), ну а по построению G̃m (N ) ⊆ G̃(N ), т.к. у нас всякая игра Gm является частью исходной игры G, т.к. для каждого m у нас по построению имеет место Gm (S) ⊆ G(S) S ⊆ N.
Ну а раз у нас по предположению, как было в теореме Скарфа, множество G ограничено снизу
ui и сверху по предположению, а оно еще и замкнуто G(N ) само по себе, ясно тогда что G̃(N )
компактное множество, а раз оно компактное и последовательность um это элементы попадающие,
все они находятся в этом компактном множестве, то эта последовательность имеет сходящуюся
подпоследовательность, ну вот если не сама последовательность, то тогда ее некоторая подпоследовательность umk сходится и ее пределом является ū и это ū ввиду замкнутости G тоже принадлежит
G̃ : umk → ū ∈ G̃(N ) ⊆ G(N ). Ну а раз так, тогда это получается допустимый дележ, дележ коалиции N и уже можно рассуждать о том какой он: хороший или плохой. Наша цель доказать, что
этот дележ принадлежит ядру, т.е. не блокируется никакой коалицией исходной игры G. Докажем
от противного, допустим что какая-то S блокирует ū, это означает, что есть такой дележ u ∈ G(S),
что ui > ūi i ∈ S. А так как множество рациональных чисел всюду плотно во множестве действительных чисел, в частности между любыми действительными числами можно найти рациональное
число, то тогда вот это блокирование произвольным каким-то дележом о котором мы пока ничего не
знаем из G(S), можно заменить блокированием с помощью рационально-значного дележау которого
все компоненты рациональны, или можно сказать что для любых вещественных чисел u > V всегда
∃ рациональное число W ∈ (u, v). Производим следующую замену : ui ≥ wi > ūi i ∈ S, где wi рационально-значный дележ. И что у нас получается в итоге, во первых есть рационально-значный
дележ у коалиции S, который блокирует ū. Дальше, поскольку эти неравенства (wi > ūi i ∈ S) выполняются для предельной точки ū, то они понятное дело будут выполняться, начиная с некоторого
m, и для всех элементов последовательности umk , которая сходится к этой предельной точке, т.е.
мы можем записать что начиная с некоторого m wi > umk (3∗)i ∈ S. Мы получаем таким образом
что наша коалиция S уже теперь в исходной игре G блокирует не только дележ ū, но и все дележи
umk , т.е. начинает блокировать все элементы последовательности umk , начиная с некоторого mk ,
а umk , это элементы ядер игр Gmk , а мы находим какой-то райионально-значный дележ из G(S),
а не из Gm , который блокирует ū вместе с umk i . Чтобы довести противоречие до конца, осталось
только заметить, что первое, что мы зафиксировали m0 такой что для всех mk > m0 выполняется
wi > umk i i ∈ S. Ну а теперь, поскольку компоненты вектора w все рациональные числа, то понятное дело, что при достаточно большом m00 (натуральное число) все эти компоненты w попадают во
61
множество Qm : А из этого уже будет вытекать, что w ∈ Gm0 0 (S). Следует заметить, что каждое
рациональное число имеет в нашей нумерации номер не больше чем m00 . А если мы теперь выберем число m̄ > m00 , то у нас соединяться следующие два факта: первое, что число все элементы
umk будут блокироваться дележом w, т.к. они начинают блокироваться с m0 , а мы выбираем число
m̄ > m0 , так что в силу этого неравенства все эти umk для mk > m̄ у нас будут выполняться (3*).
Ну а это значит, что дележ w блокирует все вот эти элементы последовательности umk с номерами
достаточно большими, большимы чем m̄. А с другой стороны этот wi попадает уже в Gm (S) для
этих же самых m > m̄, просто потому что так устроена игра Gm , в нее попадают все вектора, у
которых компоненты из множества Qm . Ну и мы получаем, что найдется такой номер m, а точнее для всех m > m̄ при которых с одной стороны дележ umk будет блокироваться, и при этом
блокироваться самой игрой Gm , т.к. дележ w будет ∈ уже Gm (S). Ну вот из этого и получается
противоречие, у нас по условию игры апроксимирующие G все были с непустым ядром и наши
элементы um выбирались как элементы ядра, а с другой стороны оказалось, что они блокируются
в этих играх, значит получаем противоречие с выбором umk .
Итак, схема в целом сводится к следующему: с помощью упорядочивания рациональных чисел
мы вводим апроксимации исходной игры G играми Gm , которые обладают тем свойством, что они
при каждом m ∈ G(S) и постоянно расширяются, как бы заполяя это множество G(S) все больше и
больше и в пределе, по-существу, словаются с исходной игрой G. Значит дальше мы обнаруживаем,
что для каждого m такая игра Gm является сбалансированной и удовлетворяет всем остальным
требованиям, которые были в предыдущей теореме, и поэтому имеет непустое ядро. Мы выбираем
по элементу из ядра каждой такой игры, получаем последовательность, которая оказывается ограниченной и стало быть имеет сходящуюся. Вот предел этой сходящейся последовательности и будет
элементом ядра исходной игры.
Лекция 13
Теорема о существовании равновесных распределений.
Если функции
ui , вогнутые, непрерывнуе и строго возрастающие, а начальный сумP полезности
wi = w >> 0, то множество равновестных распределений W = W (E) 6= ∅ всегда.
марный запас
N
Поскольку ее доказательство довольно комбинированное, сложное, потому что там много частей,
мы для начала набросаем схемы доказательства, а затем доказательство будет распадаться на ряд
предложений и ряд лемм.
Схема доказательства: схема состоит в том, чтобы воспользоваться теоремой Дебре-Скарфа,
которая была доказана ровно в этих же предположениях. По теореме Дебре-Скарфа у нас имеет
место такое соотношение между равновесными и не блокируемыми в рамках распределениями:
∞
T
W =
Cv . Тогда напрашивается следующий вариант рашения вопроса о том, когда W 6= ∅ : W 6=
∅ :⇔
v=1
∞
T
v=1
Cv 6= ∅. Ну, а чтобы доказать, что
∞
T
v=1
Cv 6= ∅. мы последовательно докажем следующие
факты:
а) в наших условиях для любого натурального v ≥ 1 множество Cv 6= ∅.
б) для каждого v ≥ 1 в наших условиях Cv - компоненты, т.е. замкнутые и ограниченные подмножества l × n- мерного пространства.
в) множество Cv образует монотонно-убывающую последовательность т.е. для каждого v ≥
1 Cv+1 ⊆ Cv .
Т.е. в условиях нашей теоремы множество Cv представляет из себя последовательность компактов, непустых и вложенных друг в друга. А в мат. анализе у нас была теорема о вложенной
последовательности отрезков (промежутков), что мы если имеем дело с последовательностью вложенных друг в друга компактов, то если они все не пустые, то тогда обязательно их пересечение
62
имеет по крайней мере одну общую точку. Вот у нас ровно эта ситуация и обнаруживается, если
∞
T
мы конечно все это дело докажем, то
Cv 6= ∅ ⇒ W 6= ∅, значит ∃ равновестное распределение.
v=1
Предложение 1. О непустоте ядра экономики E(C(E)).
Если функция полезности ui вогнутые и непрерывные, то C(E) =
6 ∅. Видим, что требований
здесь меньше, чем в теореме о ∃ равновесных распределений, т.е. грубо говоря, ядро ∃ чаще чем
равновесие.
Следствие 1. ( вытекает из предложения 1).
Если функции полезности ui вогнутые и непрерывные, то при любом натуральном v ≥ 1 C(E(v) ) 6=
∅ (ядро реплики экономики E не пусто).
Доказательство следствия 1: если ui вогнутые и непрерывные, то они такие же и в реплике E(v) ,
а тогда согласно предложению 1 у нас будет получаться то что требуется. Что функции полезности
ui вогнутые и непрерывные в реплике, вытекает непосредственно из определения реплики, т.к.
реплика это v - штук нашей исходной экономики, взятых как одно целое, просто наряду с номером
участника i = 1, n, появляется номер копии этого участника i.
Доказательство предложения 1: мы разобъем его на несколько кусочков, которые назовем леммами.
Лемма 1:
C(E) 6= ∅ ⇔ C(GE ) 6= ∅ (не пусто ядро игры экономики E). Доказать самостоятельно, доказательство вытекает прямо из определения GE .
Начиная с леммы 2 мы постепенно будем доказывать, используя лемму 1, непустоту ядра экономики E через доказательство непустоты ядра игры GE , а для игры по теореме Скарфа при определенных условиях ядро не пусто. Вот эти условия мы и будем проверять. Первое что мы проверим,
что наша игра GE является S – сбалансированной. Оказывается что для того, чтобы условие S- сбаоансированности выполнялось, достаточно всего навсего вынутости функции полезности ui . Така
что S - сбалансированность на языке моделей обмена обеспечивается очень простым требованием
– надо чтобы была убывающая предельная отдача, чтобы была вогнутость функции полезности ui .
Лемма 2. Если ui вогнутые, то игра GE (игра модели обмена, рынка) S - сбалансирована.
Доказательство : Пусть есть n- мерный вектор u = (u1 , . . . , un ) и пусть есть какое-то сбалансированное покрытие
δ = {S}, состоящее из коалиций S, таких, что для них ∃ коэффициенты λS ≥ 0
P
λS lS = lN , т.е. мы с помощью коалиций S в буквальном смысле покрыли, т.е. предстатакие что
S∈δ
вили это N как объединение этих S, но правда с разной толщиной, тут λS можно интерпритировать
как толщину этих покрытий. И оказалось что проекции вектора u на все элементы сбалансированного покрытия попадают в G(S), для всех S ∈ δ оказалось, что us , это кусочек вектора и за вычетом
компонент, которые не попадают в S, ∈ GE (S), т.е. us ∈ GE (S). А для S - сбаланстрованности необходимо тогда, чтобы u ∈ GE (N ), т.е. вектор и был в пределах возможности большой коалиции N.
Вот это мы и будем доказывать.
Раз по условию проекция us попадает в G(S), то это по построению GE означает, что у нас
для каждой коалиции S ∈ δ∃ допустимое распределение в рамках коалиции S, т.е. ∃xs = (xi,s
i∈s
- наборов которые достаются участникам коалиции S и эти наборы должны быть допустимыми, т.е. они ∈ X(S), где X(S) -всевозможные перераспределения суммарного запаса коалиции S.
Итак, по определению что us ∈ GE (S), получаем что для каждого S найдется допустимое распределение коалиции S в рамках этой модели обмена, такое что us как вектор покомпонентно
≤ u(xs ) : (∗)us ≤ u(xs ) = (ui (xi,s ))i∈s . Т.о. по построению GcalE , усилиями коалиции S достижимо
все что находится в пределах возможности перераспределений ее начального суммирного запаса,
т.е. можно достич все меньшее. Теперь нам надо склеить вот из этих вот распределений, допустимых
в рамках той или иной коалиции S, некоторое распределение в рамках большой коалиции N, так
чтобы значения функции полезности на этом длинном распределении были бы покомпонентно ≥
нашего u, тогда очевидно по определению u ∈ G(N ). Вот сейчас мы и займемся построением такого
допустимого распределения уже в рамках большой коалиции N. Оказывается, что его компоненты
этого распределения, соответствующие наборы xiP
(можно было бы написать xi,n , но мы упустим u)
i
будут определяться следующей формулой: x =
λs xi,s (2*), где δi -это те коалиции из набора δ
S∈δi
63
(исходного), которые содержат i - того участника или δi = {S ∈ δ|i ∈ S}, т.е. те коалиции покрытия
в которых участвует игрок номер i. т.е. эта формула интерпритируется так: мы просто- напросто
берем все коалиции в которых участвует i - тый игрок, берем все что он там получает в этих коалициях, а потом усредняем с помощью коэффициента λs и получаем то что придназначается i -тому
игроку в этом большом
длинном распределении
P
P для коалиции из всех участников.
Из формулы
λs lS = lN вытекает, что
λs = 1 по каждой строке = 1, т.к. если мы зафиксиS∈δ
P
руем строчку wi (i - того игрока), то возникает такая сумма:
(т.к. ls = 1 i ∈ s), то эта сумма = 1,
S∈δ
i
P
т.к. справа все компоненты у нас единицы, т.о.
= 1 в i той строке векторного уравнения ( прямо
S∈δi
по определению сбалансированного покрытия). Т.о. xi это выпуклая комбинация xi,s , то из этого мы
сразу же можем получить такое
что значение функции на этом наборе для
P заключение:
P участника
номер i : ui (xi ) оно будет ≥
λs ui (xi,s ), а согдасно (*), мы имеем, что все это ≥ (
λs )ui = ui
S∈δi
S∈δi
(участник i ∈ S по функции полезности
получает P
не меньше чем i - тая
фиксиP
P компонента нашего
рованного вектора u) : ui (xi ) ≥
λs ui (xi,s ) ≥ (
λs )ui = ui , т.к.
λs = 1 ⇒ ui (xi ) ≥ ui ∀i. А
S∈δi
S∈δi
S∈δi
отсюда мы получаем, что u ≤ u(x) = (ui (x) )i∈N . Значит мы доказали сейчас, что распределение x
составленное из xi дает значения функции полезности не меньше чем соответствующие компоненты
вектора u, т.е. вектор u, если x было бы допустимым, попадалPбы в GP
E (N ).
Теперь проверим допустимость распределения x, т.е. что
xi =
wi .
i∈N
i∈N
P P
P i
λs xi,s согласно (2*). Проделаем теперь следующие операции:
x =
Мы получаем, что
i∈N
i∈N S∈δi
зафиксировав некоторый коэффициент λs соберем при нем все эти самые xi,s по i из S. Коэффициент λs по условию определяется только коалицией S, значит мы можем тогда переписать эту
сумму, если проделаем эту операцию, фиксируем коэффициент λs , потом приводим к нему все эти
xi,s i ∈ S(S− фиксированное) а потом просуммируем по S, то у нас получится следующее:
X
X
XX
λs (
λs xi,s
xi,s ),
i∈N S∈δi
т.к. x
i,s
S∈δ
i∈S
компоненты допустимого распределения коалиции S, то получаем что:
X
X
X
X
λs (
xi,s ),
λs (
wi )
i∈S
S∈δ
S∈δ
i∈S
Теперь уже нам осталось проделать обратную операцию, т.е. зафиксировать какой-то i, т.е. wi ,
собрать при нем коэффициент λs где S ∈ δi , а потом просуммировать по i, и таким образом мы
перейдем к неравенству исходного типа:
X
X
X
X X
λs (
wi )
(
λs )wi
wi ,
т.к.
P
S∈δ
i∈S
i∈N S∈δi
i∈N
λs = 1. Т.е. наш x является опустимым распределением. Ну то что он состоит из неотрица-
S∈δi
тельных компонент xi очевидно, т.к. раз xi,s были неотрицательными векторами, то их выпуклая
комбинация (2*) тоже будет неотрицательным вектором.
Лемма 3. О ограниченности GˆE (S) и о непустоте, конечно. В теореме Скарфа есть условие,
что Ĝ(S) были бы все непустые и ограниченными сверху, ну а ограниченными с снизу они по
определению, потому-что Ĝ - это все допустимые дележи для коалиции, в которых каждый участник
получает не меньше, чем мог получить бы самостоятельно, т.е. больше чем u0i . И нам надо показать,
что это множество что-то содержит и ограничено сверху, т.е. есть const такая что компоненты
элементов из Ĝ(S) не превосходят этой константы.
Если функции полезности ui непрерывны. то все эти множества GˆE (S) 6= ∅ и ограничены.
Для доказательства определимся с уровнями полезности, которые получает каждый участник:
64
u0i = max{u|u ∈ GE (i), т.е. если он действует один } = ui (wi ). Вот что он может гарантировать
себе если он будет действовать один сам по себе, прямо по определению. Напомним, что GˆE (S) =
{u ∈ GE (S)|u ≥ u0s }, т.е. ограничено снизу u0i . И нам надо доказать что это множество не пусто и
ограничено сверху. Ну то, что оно не пусто, это понятно, т.к. в качестве u, которое должно сюда
попадать, можно взять u0s = (u0i )s ∈ GˆE (S), т.к. неравенство в GˆE (S) : u ∈ u0s у нас выполняется как
равенство. Т.о. GˆE (S) всегда не пустое множество.
Теперь осталось только проверить ограниченность сверху, т.к. ограниченность снизу у нас есть
прямо по определению. Нам нужно найти такое число, что все элементы GˆE (S) были бы меньше
либо равны этого числа. Что предлагается в качестве этого числа ? P
Вот давайте обозначим через
X̂(S) множество всех наборов следующего типа X̂(S) = {0 ≤ x ≤
wi }. Ясно, что для любого
i∈s
допустимого распределения коалиции S
выполняется неравенство:
xs = (xi,s )s в виду неотрицательности xi,s ≥ 0 у нас
0 ≤ xi,s ≤
X
xj,s =
j∈s
X
wi
i∈s
Т.о. в, что бы ни получал участник какой-то коалиции S в допустимом распределении этой
коалиции не превышает суммарного запаса этой коалиции. Это вытекает просто из неотрицательности наших наборов. Ну а поскольку элементы из GˆE (S) имеют вид u P
≤ u(xs ) (значения
функции
P j
s
s
полезности на x ), где x - допустимое распределение коалиции S, т.е.
xj,s =
w .
j∈s
j∈s
А если мы докажем, что стоящая справа величина ограничена сверху для каждого i т.е. ui ≤
ui (xi,s )i∈s, то наше множество ограничено. Ну и теперь чтобы доказать, что у нас есть эта верхняя
оценка, достаточно простоPубедиться что величина ui (xi,s ) ограничена сверху. Ну у нас функция
ui непрерывная, а xi,s ≤
wi , множество X̂(S) является компонентом, т.к. оно ограничено и заi∈s
мкнутое ( как решение конечной системы линейных неравенств). Стало быть наша непрерывная
функция ui на этом компактном множестве достигает своего max значения, пусть это max значение
равняется ūi : ūi = max ui . Тогда у нас получается что все дележи из X̂(S) подчинены тому требоX̂(S)
ванию, что поскольку вот эта верхняя оценка для ui ∃, что эта величина ui (xi,s ) ≤ ūi , то получается
что и наш дележ тоже этому неравенству удовлетворяет.
Вот мы таким образом, для каждой коалиции S установили верхнюю оценку возможных значений дележей этой коалиции, просто как max значение функции полезности этого участника на
множестве X̂(S) на множестве мыслимых наборов,Pкоторые могут ему достаться при перераспределении суммарного запаса этой коалиции (0 ≤ x ≤
wi ). Поэтому max уровень полезности который
он может заполучить с помощью функции полезности, есть просто max этой функции ui на X̂(S). А
т.к. дележ это такие вектора, которые ≤ значений функции полезности на конкретном допустимом
распределении, то мы получаем, что раз те, которые сверху ограничены ui , то мы получаем что и
компоненты дележа ui тоже ограничены сверху этим самым ū.
Ну последнее, что требовалось по теореме Скарфа, что то, чтобы множества GE (S) были замкнутыми.
Лемма 4. Замкнутость GE (S).
Если функции полезности ui непрерывные, то множества GE (S) замкнутые ∀S ⊆ N.
Доказательство: Зафиксируем некоторую коалицию S и выберем последовательность дележей
u(m) ∈ GE (S) (достижимых усилиями коалиции), таких что они к чему-то сходятся имеют предел:
u(m) → ū. И чтобы проверить замкнутость надо доказать, что ū ∈ GE (S) (прямо согласно определению). Ну а раз u(m) ∈ GE (S), то это означает, что ∃x(m) ∈ X(S) такие что u(m) ≤ u(x(m) ) (значений
функции полезности на допустимом распределении x(m) ). Или покомпонентно u(m) ≤ ui (xi,(m) ).
(3*)
x(m) – это элементы множества X(S), аналога множества Z = X(N ), которые есть выпуклое,
замкнутое и ограниченное множество, т.е. выпуклый компакт. Ясно что те же рассуждения показывают, что и для любой коалиции S. X(S) тоже будет компактным множеством, где X(S) P
– это
набор неотрицательных векторов, таких что их сумма равняется фиксированной величине –
wi .
i∈s
65
Значит это множество ограниченное, т.к. каждый вектор xi будет ≥ суммарного запаса, т.е. есть
оценка сверху, он будет неотрицательным, оценка снизу есть. А замкнутость вытекает из того, что
они, что они, эти самые x определяется как системы линейных кравнений и неравенств:
½ P
xi,s =
i,s
x ≥0
P
wi
(l − штук, сколько продуктов по каждому продукту в отдельности)
(l × s штук)
Итак, X(S) – компакт. Последовательность x(m) , которую мы выбираем из X(S) в силу того
что это компакт, имеет сходящуюся последовательность к какой-то предельной точке, причем эта
предельная точка будет тоже элементом X(S), поскольку это компакт. Не уменьшая общности, мы
будем считать, что x(m) сходится к некоторому x̄, который ввиду замкнутости X(S) принадлежит
ему т.е. x̄ ∈ X(S).
(m)
Теперь зафиксируем индекс какого-то участника i ∈ S получим, что lim ui = ūi . А из (3*) в
силу теоремы о сохранении неравенств получим, что:
(m)
lim ui
≤ lim ui (xi,(m) ),
но т.к. ui непрерывные, то:
(m)
lim ui
≤ lim ui (xi,(m) ) = ui (lim xi,(m) )ui (x̄i ).
Т.о. мы получили, что ūi ≤ ui (x̄i ), т.е. каждая компонента делажа ū меньше либо равна значения
функции полезности на i -той компоненте допустимого распределения x̄ этой коалиции S. Раз для
каждой компоненты выполняется, то мы можем записать:
ū ≤ u(x̄) = (ui (x̄i ))i∈s
Но поскольку x̄ допустимое распределение коалиции S, то мы нашли для ū допустимое распределение на котором каждый участник получает не меньше ū, а это значит по определению GE (S),
что ū ∈ GE (S), т.е. предельная точка попадает в GE (S) т.е. множество замкнутое.
Итак, мы доказали все необходимые условия теоремы Скарфа, а тогда по этой теореме получается, что ядро у игры G не пустое. А тогда по лемме 1 мы получаем что C(E) 6= ∅. Итак, с
предложением 1 мы все свои дела полностью завершили.
Предложение 2. (Симметричность неблокируемых распределений). Если функции полезности ui
вогнутые, непрерывные и строго возрастающие, то для любого v ≥ 1, для любого не блокируемого
распределения z реплики E(z ∈ C(E)) выполняется: uim (z im ) = ui1 (z i1 ) i ∈ N, m = 2, 3, . . . , v.
Это условие означает слабую симметричность допустимых распределений. Нормальная симметричность могла бы состоять в слудующем, поскольку ядро достаточно узкое множество, там
к распределениям предъявляются достаточно жесткие требования, а учпстники одного и того же
типа у нас просто одинаковые ( при фиксированом i : i1, i2, i3, . . . – это почти i - того участника),
то естественно было бы предполагать, что участники одного и того же типа просто должны получать одинаковые наборы. У нас нельзя гарантировать, что все участники одного типа получили
один и тот же набор, но можно гарантировать равенство значений функции полезности (слабая
симметричность).
Доказательство: от противного. Допустим, что по крайней мере в одной группе одинаковых
участников вот этого равенства нет, т.е. есть i0 ∈ N для которого найдется m0 копия этого участника
так что:
ui0 m0 (z i0 m0 ) = min ui0 m (z i0 m ) < max ui0 m (z i0 m ). т.е.
m=1,v
m=1,v
есть в этой группе по крайней мере два участника, что один из них получает строго больше
второго. Ну и мы выбираем того, который получает самое маленькое значение полезности по z. А
теперь мы формируем коалицию наиболее обиженных участников нашей реплики, в которую включаем i0 m0 и во вторых, мы для каждого другого типа i через i, mi обозначим номер того участника
типа i, который в своей группе получает min из возможных значений функции полезности, т.е.:
66
ui,m0 (z i,mi ) = min ui,m (z i,m )
m=1,v
Т.е. ∀i ищем среди m наименьший уровень полезности в группе одного типа. Вот так мы строим
коалицию M, она будет блокировать наш z, которая имеет такой вид:
M = (i0 , m0 ) ∪ {i, mi |i 6= i0 },
B{. . .} тоже есть аутсайдеры, но возможно слабыми, они возможно на самом деле получают
столько же сколько все остальные, знаем что они не больше чем все остальные получают. Эта
коалиция M содержит ровно n участников, по одному представителю каждой группы. И вот, мы
сейчас докажем, что эта коалиция заблокирует этот самый z. Как это можно сделать ?
Давайте предоставим каждому из участников этой коалиции M набор
xi =
v
1 X im
z = xi,mi
v m=1
-среднее от того, что группа одинаковых получила в целом. Докажем допустимость этого набора:
X
X
X
xi =
wi (в M у нас n участников).
wim
i∈N
(i,m)∈M
i∈N
Итак,
X
i∈N
P
v
P
xi
v
1 X X im 1
z
v
v
m=1
i∈N
X
wim
(i,m)∈N(v)
v
1 X X im
w =
v
m=1
i∈N
z im -это сумма всех наборов, которые представлены в этом распределении z, но z у нас
i∈N m=1
допустимое распределение, т.е. оно равно сумме начальных запасов.
v
n
1 X X im 1 X i X i
w
vw =
w
v
v i=1
m=1
i∈N
i,m
i∈N
i
т.к. w
при каждом m это w .
Итак, наш набор допустимый, а значит мы можем с помощью этих наборов угрожать z.
Лекция N 14
N B! Внесем некоторые изменения в формулировку, т.е. слабая симметричность, она в этой форме как была дана (где требовалось только вогнутость ui ), справедлива лишь для слабого блокирования когда у нас разрашается при блокировании чтобы разве лишь один, ну может быть и больше,
были бы в стого лучшем положении, чем в предыдущем распределении, и остальные просто тоже и
имели положение. Поэтому добавляем в определение предложения 2, что ui непрерывные и строго
возрастающие.
Итак, напомним схему доказательства: мы допустили, что есть допустимое распределение z ∈
C(E). И надо доказать, что функции полезности участников одного и того же типа принамают на
наборах, которые этим участникам достаются, одно и тоже значение: uim (z im ) = ui1 (z i1 ) ∀m =
2, 3, . . . v− это называется симметричностью.
Чтобы доказать это мы предполагаем противное, что в нашем распределении z есть по крайней мере одна группа, скажем с номером группы i0 , где разные копии получают разные значения функции полезности на своих наборах. Мы там конкретно выбрали участника с номером
(i0 , m0 ) = (i0 , mi0 ). И для этого участника:
67
ui0 mi0 (z i0 mi0 ) = min ui0 ,m (z i0 ,m ) < max ui0 ,m (z i0 ,m ),
m=1,v
m=1,v
т.е. взяли в этой группе участника, у которого значение функции полезности самое маленькое.
А для всех остальных групп выбираем представителя с номером mi для которых:
uimi (z imi ) = min uim (z i,m )
m=1,v
т.е. в каждой группе вибираем по наиболее пострадавшему участнику. А там где у всех одинаковые значения функции полезности, мы просто фиксируем кого-нибудь.
И мы соответствующее множество этих представителей обозначим через M = {(1, m1 ), (2, m2 ), . . . , (n, m
Это и будет та самая коалиция, которая и заблокирует распределение z, через это и получим противоречие, т.е. z у нас не блокируемо.
v
P
z im .
Мы указали какие наборы конкретно должны получить эти представители: ximi = xi = v1
m=1
Можно это обозначить xi , т.к. из каждой
P группы
P уiнас только один участник. Причем это допустимое распределение коалиции M, т.е.
xi =
w.
i∈N
i∈N
Теперь нам надо доказать, что вот эти наборы xi , которые мы им дали, не хуже, чем то, что получает участник этой коалиции в распределении z и при этом по крайней мере один из участников,
а именно этот самый i0 mi0 , представитель i0 типа, он получает даже строго больше чем получал в
z. Ну а потом после этого мы уже без большого труда, пользуясь непрерывностью и строгим возрастанием, немножечко подшевелить ximi , так чтобы строго больше было не только у i0 участника,
ну и у всех остальных, а это и будет нам давать, в нашем смысле нормальное блокирование.
Итак, начнем реализовывать нашу программу, а сначала покажем, что для i0 :
ui0 mi0 (xi0 mi0 > ui0 mi0 (z i0 mi0 ). Воспользуемся здесь вогнутостью, а ui = ui,m , то они тоже будут
вогнутыми и стало быть, учитывая, что наш ximi есть выпуклая комбинация вот этих z im , т.к.
у нас тут v слагаемых, коэффициент при каждом v1 , а они нетрицательны и их сумма очевидно
равна единице, значит это есть выпуклая комбинация. А для вогнутой функции, как мы знаем,
справедливо неравенство не только для двух слагаемых, а справедливо и для любого конечного
числа слагаемых. Если у нас есть выпуклая комбинация, то значение функции от суммы больше
либо равно соответствующей комбинации значений функции на этих слагаемых. Поэтому мы можем
v
P
записать: ui0 mi0 (xi0 ) ≥ v1
ui0 mi0 (z i0 m ).
m=1
Теперь дакажем, что среднее арифметическое чисел ≥ min из этих чисел. А это на самом деле
так, если у нас хотя бы два числа разные. Поэтому:
v
1 X
ui m (z i0 mi0 ) > ui0 mi0 (z i0 mi0 ). (4∗)
v m=1 0 i0
А для остальных участников мы имеем:
uimi (xi ) =
v
1 X
uim (z im ) ≥ uimi (z imi )
v m=1
Т.о. из этих соотношений получается, что каждый участник коалиции M получает в xi не меньше чем он получал в распределении z, причем по крайней мере один из них, например, i0 , получает
строго больше, он улучшил свою позицию. Но чтобы заблокировать, нам надо чтобы в этом распределении всем стало лучше, а не только одному.
Чтобы это проделать, свпомним что у нас по условию ui непрерывные и строго возрастающие.
Поэтому если мы здесь чуть-чуть пошевелим xi0 , уменьшим например, то при достаточно малом
уменьшении у нас это строгое неравенство все еще бужет сохраняться, более того, если мы еще
то что отняли у i0 добавим другим в ненулевом колличестве, из-за строгого возрастания функции
полезности у этих участников неравенства станут строгими.
Итак, поскольку у нас ui0 (xi0 ) строго больше, то ясно что вектор xi0 не может быть строго
больше, то ясно что вектор xi0 не может быть нулевым, т.е. у него что-то должно быть, потому
68
что если бы это был ноль, тогда такого строгого неравенства не могло бы быть из-за монотонности,
из-за того, что функция строго возрастающая. Значит xi0 > 0, мы не гарантируем, что у него все
компоненты > 0, но одна точно > 0, пусть это будет k− ая компонента. Тогда мы вместо того что
предположили коалиции M дадим им новые наборы x̃i : для участника i0 это будет xi0 − δek , где
δ > 0, т.е. мы отняли кусочек k− ого продукта, причем так отняли, что: ui0 mi0 (x˜i0 ) > ui0 mi0 (z i0 mi0 )
(это выполняется в силу непрерывности): а остальным мы прибавляем это δ продукта k : xi +
δ
k
i = 1, n i 6= i0 .
n−1 e
Проверим, что x̃i допустимое. Это очевидно, т.к. оющая сумма не изменилась. Т.о. мы нашли
распределение, которое блокирует z, но z ∈ C(E(v) ). Получили противоречие.
Следствие 2: Если ui вогнутые, непрерывные, строго возрастающие, то Cv 6= ∅ ∀v ≥ 1.
Доказательство: Поскольку наши предположения гарантируют нам справедливость следствия
1, т.е. C(E(v) ) 6= ∅ ∀v . Возьмем какое-нибудь z ∈ C(E(v) ). Даже если этот z сам по себе несимметричен, т.е. у него разные представители одного и того же типа получают разные наборы, мы
посредством усреднения сделаем эти наборы одинаковыми и получим то, что нам надо. По предложению 2 все участники одного и того же типа получают одинаковое значение функции полезности,
вот этим мы и воспользуемся.
Возьмем и построим вместо z нового представителя ядра, который уже будет репликой некоторого допутимого распределения в исходной экономике. А именно, обозначим через xi среднее
v
P
потребление в группе номер i : xi = v1
z im , т.е. с помощью этого распределения из ядра построm=1
им вот такие наборы представляющие для каждого участника исходной экономики, просто среднее
потребление в i− той группе этой вот самой реплики.
А затем обозначим через z̄ = x(v) v− тую реплику этого самого x = (x0 , . . . , xn ). Мы построили
допустимое распределение x, это проверено в предложении 2. Итак, z̄ − v− кратная реплика допустимого распределения x, т.е. это z̄-распределение в E(v) , в котором каждый из участников типа i
получает ровно xi .
И теперь, нам осталось доказать, чтобы проверить что Cv 6= ∅ : если мы покажем, что этот z̄
тоже попадает в ядро E(v) , то тогда мы получаем что нашелся x, реплика которого попала в ядро, а
значит сам x попадает в Cv ( по определению). Для этого достаточно убедиться, что значения функции полезности участников принимаемые на наборах z̄ не хуже чем значения на соответствующих
наборах из z, тогда раз z ничем не блокировалось, то и x̄ тоже блокироваться не будет.
Итак, первое что мы покажем, это что:
uim (z̄ im ) ≥ uim (z im ), а uim (z̄ im ) = uim (xi ),
т.к. каждый участник одного типа получает одинаковое количество. А xi - это среднее арифv
P
0
метическое u ui - вогнутые, тогда справедливо, что: uim (xi ) ≥ v1
uim0 (z im ) но все значения
функции полезности одинаковые, тогда мы имеем, что:
m0 =1
v
0
1 X
1
uim0 (z im ) = vuim (z im ) = uim (z im ).
v 0
v
m =1
Т.о. при переходе, при усреднении исходного распределения z у нас значения функции полезности только возрастут, во всяком случае не ухудшатся.
Если теперь допустим, что z̄ блокируется какой-то коалицией S, то тогда этой же коалицией
будет блокироваться распределениеz :
¯ ) ≥ uim (z im ).
uim (ẑ im ) > uim (z im
А z у нас из ядра, этого быть не может. А значит z̄ не блокируемое распределение. И раз z̄ = x(v) ,
то отсюда вытекает по опеределению Cv , что x ∈ Cv , т.е. Cv 6= ∅.
Напомним, что Cv = {x ∈ X(N )|x(v) ∈ C(E(v) }
69
Предложение 3. Замкнутость Cv . А из замкнутости и ограниченности будут вытекать компактность и значит все Cv будут компактными.
Если функции полезности ui непрерывные, то C(E) замкнутое множество.
Это нам нужно для того, чтобы дальше доказать, что сами Cv будут замкнутыми множествами. Если ядро пустое, то оно по определению замкнутое, поэтому мы будем доказывать это дело,
предполагая, что оно не пустое.
Доказательство: Берем какую-то произвольную последовательность элементов из ядра, которая имеет предел, сходится к некоторому элементу : x(m) ∈ C(E), x(m) → x̄, x̄− распределение.
И требуется доказать, что x̄ ∈ C(E). Будем доказывать от противного. Допустим, что ∃ коалиi
ция S, которая блокирует x̄. Это значит, что
P найдутся
P iкакие-то наборы x ∀i ∈ S, для которых
i
i
i
выполняются неравенства ui (x ) > ui (x̄ ) и
x =
w.
i∈S
i∈S
А так как функция ui непрерывная ∀i, а x(m) → x̄, то в силу непрерывности мы получаем, что
начиная с некоторого номера m0 для всех m > m0 у нас будут выполняться эти строгие неравенства
не только для предельной точки, но и для тех, которые к этой предельной точки достаточно близки,
т.е. будут выполняться ui (xi ) > ui (x(m),i ) ∀i ∈ S.
¯ C(E), а это значит что C(E) замкнуто.
Но это противоречит тому, что оно блокируемое т.е. ∈
Следствие 3.
Если ui непрерывные, то Cv компактно ∀v ≥ 1.
Доказательство: Возьмем какую-то последовательность x(m) ∈ Cv , по определению Cv это
означает, что (x(m) )(v) ∈ C(E(v) ). И пусть x(m) → x̄. И нам надо доказать, что x̄ ∈ Cv . А поскольку
(m)
у нас x(m) → x̄. то понятно, что x(v) → x̄(v) , прямо по определению конструкции вектора реплики.
Из этого соотношения мы получаем, что (x(m) )(v) ∈ C(E(v) ). а из предложения 3 мы имеем, что
x̄(v) ∈ C(E(v) ). А это по определению Cv означает, что сам x̄ ∈ Cv .
А теперь убедимся, что Cv - монотонно-убывающая последовательность.
Предложение 4: Для всех v ∈ 1 справедливо Cv+1 ⊆ Cv .
Доказательство 4: От противного. Вот мы взяли какой-то x ∈ Cv+1 и доказали, что x ∈
/
Cv , т.е. что x ∈ Cv+1 \Cv (т.е. принадлежит разности множеств). А по определению множеств Cv
это означает, что x(v) ∈
/ C(E(v) ) прямо по построению. Ну а это означает, что этот самый x(v) =
z (переобозначили) блокируется какой-то коалицией M ⊆ N (v), а N (v) ⊆ N (v + 1) ( прямо по
определению). Итак, раз z блокировалось коалицией M ∈ N (v), то оно блокируется в реплике v + 1
нашей
Т.е., блокирование означает, что:
( экономики.
im
uP
) >P
uim (z im ) ∀(i, m) ∈ M
im (z̃
wim
z̃ im =
i∈M
i∈M
Но это и означает, что коалиция M блокирует z и в Ev+1 . Т.е. мы получаем, что xv+1 ∈
/ C(E(v+1) ),
а это означает, что x ∈
/ Cv+1 , получили противоречие.
Итак, подведем итог, того что мы доказали:
1). Cv 6= ∅
2). Cv -компакты, т.е. они часть z, а z - компактное, оно замкнутое и ограниченное множество.
3). ∀v C1 ⊇ C2 ⊇ C3 ⊇ . . . , т.е. убывающая последовательность. А тогда по соответствующей
∞
T
теореме анализа получаем, что
Cv W 6= ∅, а значит W 6= ∅.
v=1
Модель Эрроу-Дебре.
Это есть обобщение модели обмена, с которой мы имели дело. Отличие состоит только в том,
что у нас появляется еще и производственный сектор. Поэтому наряду со множеством участников
N = {1, . . . , i, . . . , n}, появляется множество участников производителей M = {1, . . . , j1 , . . . , m}.
И соответственно между ними возникает взвимодействие в рамках этой модели. Считаем сначала
характеристики участников:
70
xi ∈ Rl – потребительское множество i- того участника, где l - номер продукта, напомним что
номенклытура продуктов у нас это множество L = {1, . . . , l}. У каждого i есть функция полезности
ui : xi → R. Есть еще начальные запасы у этого участника W i ∈ Rl , Этим описание потребительского сектора N и заканчивается.
Произвольное множество, задается произвольными множествами участников Yj ⊆ Rl , которые
описывают всевозможные типы экономической активности этих самых производителей. Значит вектор, который лежит в Yj , означает, что отрицательные компоненты это количество продуктов затрачиваемых при производстве, а положительные компоненты - это то, что выпускается.
И кроме того, есть связь между этими
P двумя секторами, заданы числа αij ≥ 0, такие, что для
каждого j у нас выполняется условие:
αij = 1. Т.е. αij это доля акций i- того потребления в
i∈N
прибыли j- того производителя.
Итак, как это выглядет в связке. Первое что нам нужно определить, чтобы как-то работать дальше вот с этими равновесными распределениями, элементами ядра, нам нужно определить такое допустимое распределение в данном случае. Допустимое распределение - это набор (x0 , . . . , xn , y 0 , . . . , y m ) xi ∈
X(N ), y j ∈ Yj и при этом выполняется балансовое соотношение:
X
X
X
xi =
wi +
yj
i∈N
i∈N
i∈M
А равновесным распределением будем называть допустимое распределение
(x̄0 , . . . , x̄n , ȳ 1 , . . . , ȳ m ) и вектор цен p̄ ∈ Rl , вообще говоря не пулевой, но это можно и не требовать,
что выполняются следующие условия:
1). p̄ȳ j = max p̄y j = πj (p̄), т.е. достигается max прибыль. (это условие оптимальности для произj∈Y
водителей).
P
αij πj (p̄)}, т.е. x̄i должны быть допустимы с точки
2). x̄i ∈ Bi (p̄) = {xi ∈ X(N )|p̄xi ≤ p̄wi +
j∈M
зрения бюджета i.
3). ui (x̄i ) = max{ui (xi )|xi ∈ Bi (p̄)} ( а потребители max свою полезность).
А теперь перейдем к теореме существования. Мы сформулируем только условия, ничего не доказывая.
Для потребителей:
I). (что из себя представляет Xi - выпуклое, замкнутое и ограниченное снизу множество. А
ограниченное снизу означает, что ∃z i что xi ≥ z i ∀xi ∈ Xi .
II). (относительно начального запаса). Требуется чтоб для всякого участника i ∃xi << wi , где
i
x ∈ X.
III). Функции полезности ui предполагаются непрерывными, вогнутыми и строго возрастающими.
Для производителей:
I). Требуется, чтобы для каждого производителя j ∈ M, множество Yj было бы выпуклым,
замкнутым и 0 ∈ Yj (это дает возможность
ничего не делать).
P
II). Если обозначить Y =
Yj – агрегированное производственное множество, то вот этот
j∈M
T
Y должен быть такой Y Rl+ = {0} – это условие отсутствия ”рога изобилия”, т.е. если бы это
пересечение состояло из чего-нибудь еще кроме нуля, это означало бы, что ничего не затрачивая,
т.к. все компоненты
были бы неотрицательны, мы что-то получаем.
T
III). Y −Y = {0} (-Y, это все элементы Y умноженные на -1) - это условие необратимости
производства. Если бы пересечение содержало бы какой-то ненулевой элемент, то означало бы, что
если мы из мяса делаем сосиски, то из сосисек мы моглы бы сделать такое-же количество мяса.
И вот при этих шести условиях W ( множество равновесных распределений) 6= ∅.
71