Классическая вероятность

Лекции по прикладной
математике. Часть 1.
─ Предмет теории вероятностей и математической
статистики
Вероятность
─ Пространство исходов, события, классическая
вероятность, действия над событиями
─ Условная вероятность и независимость
─ Формула полной вероятности
─ Основные формулы комбинаторики
1.1 Предмет теории вероятностей
и математической статистики
Теория вероятностей производит пересчет заданных вероятностей «простых» событий
в вероятности «сложных» событий*.
Математическая статистика по наблюденным данным восстанавливает вероятности
событий или проверяет, правы ли мы в своих предположениях относительно этих
вероятностей*.
Пример 1. В российской Премьер лиге футбольная команда на домашнем поле одержива
ет победу в 48% случаев, играет в ничью в 26% случаев и побеждает в выездном матче в
26% случаев.
Пример 2. В трех лабораториях ставят эксперименты по измерению скорости света, в ре
зультате которых получают различные результаты. Какова же истинная скорость света?
Пример 3. Проводится испытания двух лекарств. 5 из 9 пациентов, принимающих препар
ат А имеют положительную динамику . 7 из 10 пациентов, принимающих препарат В име
ют положительную динамику. Каков вывод?
Где используется: медицинская диагностика, физика, распознавание речи,
бюджетирование, социология, маркетинг … практически везде**.
[*] Теория вероятностей. Математическая статистика. Бочаров П.П., ПечинкинА.В. 2-е изд. - М.: Физматлит, 2005. — 296 с.
[**] для интересующихся см., например, книгу Несовершенная случайность. Л. Млодинов.
2
1.2 Пространство исходов, события,
классическая вероятность (1)
Эксперимент, испытание, опыт – действие, результат которого невозможно точно
предсказать и которое можно повторить с первоначальным комплексом исходных данных
бесконечное число раз (хотя бы теоретически), и для которого невозможно точное
предсказание результата при его повторении*.
Пространство элементарных исходов (Ω) – множество
элементарных (неделимых) результатов (исходов) опыта.
всех
возможных
Пример 4. Число ошибок в коде программного продукта MATLAB.
  {0,1,2,...}
Пример 5. Главный инженер наблюдает за работой трех теплогенерирующих компаний
(ТГК). В каждый момент времени каждая ТГК может либо генерировать энергию, либо
нет.
  {(0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,1,1)}
Пример 6. Игральная кость (dice) подбрасывается 1 раз.   {0,1,2,...}
Пример 7. Подбрасывается 2 игральные кости одновременно.
  {(1,1), (1,2), ..., (6,6)}  {(i, j ), i  1,6, j  1,6}
3
1.2 Пространство исходов, события,
классическая вероятность (2)
Задача 1. Время жизни элементарной частицы. Выписать Ω.
Задача 2. Автомобильный консультант инспектирует парк автопарк дилера. По каждому
автомобилю он записывает тип двигателя (дизель, бензин) и тип кузова (седан, хэтчбэк,
универсал, джип). Выписать Ω.
Задача 3. Предположим из процесса производства случайным образом выбрали 3 детали
и каждую проверили на наличие и отсутсвие дефектов. Выписать Ω.
Задача 4. Из колоды в 52 карты случайным образом выбирают 13 карт и смотрят сколько
из них королей. Выписать Ω.
Задача 5. Вы останавливаете на улице случайного прохожего и спрашиваете день и
месяц его рождения. Выписать Ω.
Задача 6. Вы назначили встречу коллеге в метро в промежутке между 13:00 и 13:10.
Выписать Ω.
Задача 7. Вы подбрасываете правильную монету. Вас интересует результат подбрасыван
ия и время `полета` монеты. Выписать Ω.
4
1.2 Пространство исходов, события,
классическая вероятность (3)
Каждому элементарному исходу опыта, пространство элементарных исходов
которого Ω={a,b,c,d…,z}, присваивается число 0 до 1, называемое вероятностью этого
исхода. Эти вероятности обязательно должны обладать свойствами:
1. 0 ≤ pa ≤ pb ≤ pc ≤ … ≤ pz ≤ 1;
2. pa + pb + pc + … + pz = 1.
Вероятность исхода a записывается как P(a) или pa.
Если все элементарные исходы опыта, пространство элементарных исходов
которого Ω={a,b,c,d…,z}, равновозможны, то вероятность каждого элементарного исхода
равна
1 ,
||
где |Ω| - мощность множества Ω (общее число элементов в множестве).
Пример. Подбрасывается правильная монета. Ω={орел, решка}.
P(орел)=1/2, P(решка)=1/2.
Пример. Подбрасывается 2 игральные кости.   {(i, j ), i  1,6, j  1,6}
P(i,j)= 1/36.
5
1.2 Пространство исходов, события,
классическая вероятность (4)
Задача 8. Из колоды в 52 карты наудачу достается одна карта. Выписать Ω. Найти вероят
ность каждого элементарного исхода.
Задача 9. Из колоды в 52 карты наудачу достается одна карта и затем она кладется обра
тно в колоду. После этого опять наугад достается одна карта. Выписать Ω. Найти вероят
ность каждого элементарного исхода.
Задача 10. Проводится опыт в котором возможно 3 элементарных исхода: a, b, c. Пусть
исход a в два раза вероятнее исхода b, а исход b в три раза вероятнее исхода c. Опреде
лить вероятности элементарных исходов.
Задача 11. Проводится опыт в котором возможно 5 элементарных исходов: a, b, c, e, f.
Пусть исход a в три раза вероятнее исхода b, а исходы b, c, e, f все равновероятны. Опр
еделить вероятности элементарных исходов.
Задача 12. Часто вместо вероятности успеха p говорят об отношении шансов, что есть от
ношение вероятности успеха к вероятности неудачи, т.е. p/(1-p).
(а) если отношение шансов равно 1, чему равно p?
(б) если отношение шансов равно 2, чему равно p?
(б) если p=0.25 чему равно отношение шансов?
6
1.2 Пространство исходов, события,
классическая вероятность (5)
Событие – произвольный набор элементарных исходов опыта.
Т.е. событие - это исход опыта, но только необязательно неделимый.
Обозначения – A, B, C2, H1 и т.д.
Пример 8. Игральная кость подбрасывается один раз. A={выпадение четного числа
очков} – событие, которое заключается в том, что выпадет либо 2, либо 4, либо 6.
B={выпадение не менее двух очков} – событие, которое заключается в том, что выпадет
либо 2, либо 3, либо 4, либо 5, либо 6.
Пример 9. Производится эксперимент по тестированию программного продукта на
наличие ошибок в коде. Очевидно, Ω={0,1,2,3,…}. Интересует событие А, что в коде
будет обнаружено больше 10 ошибок и событие В, что в коде будет не больше 3
ошибок. Тогда, A={11,12,13, …}, B={0,1,2,3}.
Пример 10. Из колоды в 52 карты наугад выбирает 1 карта. Событиями могут быть,
например, А={выбранная карта – туз}, В={выбранная карта – король пик}, С={выбранная
карта – синего цвета}.
7
1.2 Пространство исходов, события,
классическая вероятность (6)
Говорят, что событие произошло (наступило, появилось, имеет
место), если наступил элементарный исход, принадлежащий этому
событию. В противном случае событие не произошло.
Пример 11. Идет финальный футбольный матч между командами РУДН и МГУ.
Рассмотрим события А={победил РУДН}, В={победил кто-нибудь}, C={не победил никто}.
В результате победила команда РУДН. Тогда событие А произошло, событие В
произошло, событие С не произошло.
Если событие происходит при каждом проведении
эксперимента, то это событие называется достоверным
(обозначается, как Ω).
Если событие не может произойти ни при одном
проведении эксперимента, то событие называется
невозможным (обозначается, как ø).
Пример 12. Подбрасываются 2 игральные кости. Рассмотрим событие А={сумма очков
на верхних гранях не меньше 2}, В={сумма очков на верхних гранях равна 30}.
Получается, что А – достоверное событие, В – невозможное событие.
8
1.2 Пространство исходов, события,
классическая вероятность (7)
Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из
событий называется объединением событий (обозначается
AUB, A+B читается «А или В»)*** Ω
Событие, состоящее в наступлении обоих событий А и В
называется
произведением
(пересечением) событий
(обозначается AB, читается «А и В»)***
Событие, состоящее в том, что событие А не происходит,
называется
противоположным
событием
для
А
(обозначается Ā, читается «не А»)***
События называются несовместимыми, если их совместное
наступление невозможно (обозначается AB = ø)***
[***]Курс теории вероятностей. Гнеденко Б.В. 8-е изд., испр. и доп.—М.: Едиториал УРСС, 2005.— 448 с.
9
1.2 Пространство исходов, события,
классическая вероятность (8)
Задача 13. Опыт – бросание двух монет. Являются ли совместимыми события
A={появление герба на первой монете}, B={появление решки на второй монете}.
Задача 14. Опыт – вынимание наугад 2-х карт из колоды в 52 карты. Являются ли
совместимыми события A={появление двух черных карт}, B={появление туза},
С={появление дамы}.
Задача 15. Опыт – выстрел по мишени. Являются ли равновозможными события
A={попадание}, B={промах}.
Задача 16. Опыт – бросание правильной игральной кости. Являются ли
равновозможными события A={появление не менее трех очков на верхней грани},
B={появление не более четырех очков на верхней грани}.
Задача 17. Опыт – бросание 2-х монет. Рассмотрим события
A={появление орла на первой монете}, B={появление решки на первой монете},
С={появление орла на второй монете}, D={появление решки на второй монете},
E={появление хотя бы одного орла},
F={появление хотя бы одной решки},
G={появление одного орла и одной решки}, H={непоявление ни одного орла},
K={появление двух орлов}.
Определить каким из приведенных событий равносильны следующие события:
1) AUC, 2) AC, 3) EF 4) G+E, 5) GE, 6) BD, 7) EUK
10
1.2 Пространство исходов, события,
классическая вероятность (9)
Задача 18¥. По мишени производится три выстрела. Рассматриваются события Аi –
попадание по мишени при i-м выстреле.
Представить в виде сумм, произведений или сумм произведений событий Аi и Āi
следующие события: B={произошло 3 промаха}, С={произошло хотя бы одно попадание},
D={произошел хотя бы один промах}, E={произошло не меньше двух попаданий},
F={произошло не больше одного попадания}, G={произошло попадание в мишень не
раньше, чем при третьем выстреле}.
Задача 19¥. Назвать противоположные события для события A={выпадение двух гербов
при бросании двух монет}, B={три попадания при трех выстрелах}, С={выигрыш
первого игрока при игре в шахматы}, D={победа в одном футбольном матче российской
премьер лиги}.
Задача 20. Назвать противоположные события для события A={выпадение двух гербов
и одной решки при бросании трех монет}, B={ни одного попадания при 10 выстрелах},
С={сегодня на улице дождь}, D={произошло землетрясение магнитудой 7 баллов по
шкале Меркалли}.
Задача 21. Рассмотрим события: A={человек женского пола}, B={у человека черные
волосы}, E={у человека карие глаза}. Что означают события 1) AB, 2) AĒ, 3)ĀBE, 4)A(BUE)
Задача 22. Даны три события: A,E,O. Изобразите с помощью диаграмм Эйлера — Венна
следующие события: A+EO, (A+E)(A+O), AE+AO, Ā+Ē+Ō.
[¥] Задачи и упражнения по теории вероятностей. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. 5-е изд., испр. - М.: Академия, 2003.— 448 с.
11
1.2 Пространство исходов, события,
классическая вероятность (10)
В случае, когда пространство элементарных исходов конечно и все элементарные
исходы равновозможные, вероятность события А (обозначается P(A)) вычисляется как
отношение общего числа элементарных исходов, составляющих событие А, к числу
всех возможных элементарных исходов:
P( A) 
число элементарных исходов, составляющих А
общее число элементраных исходов опыта
Если вероятность некоторого события А равна, например, 0.15, то это
нужно трактовать так: при многократном повторении опыта на каждые
100 испытаний приходится 15 появлений события А.
Свойства вероятности
1) 0 ≤ P(A)≤1
2) P(Ω)=1
3) P(AUB)=P(A)+P(B), если AB=ø
4) P(Ā)=1-P(A)
5) P(ø)=0
6) P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) для любых А и В
12
1.2 Пространство исходов, события,
классическая вероятность (11)
Пример 13. Игральная кость подбрасывается 1 раз. Найти вероятность событий
А={выпал орел} и B={выпало что-нибудь}. P(A)=1/2, P(B)=2/2=1.
Пример 14. Из колоды в 52 карты наугад достают одну карту. Рассмотрим события:
А={выбранная карта червовой масти}, B={выбранная карта трефовой масти},
C={выбранная карта бубновой масти}.
Найти вероятность события (A+B+C). P(A+B+C)=39/52.
Пример 15. Из колоды в 52 карты наугад достают одну карту. Найти вероятность
события A={выбранная карта-туз}. P(A)=4/52.
Пример 16. Подбрасывается 2 правильные игральные кости, одна - синяя, другая красная. Найти вероятность событий A={число очков на верхней грани красной кости
больше числа очков на верхней грани синей кости} и Ā. P(A)=15/36. P(Ā)=21/36.
Пример 17. Из колоды в 52 карты наугад достают одну карту. Найти вероятность
события A={выбранная карта черной масти}. P(A)=26/52=1/2.
13
1.2 Пространство исходов, события,
классическая вероятность (12)
Задача 23. В полуфинал российской футбольной премьер лиги вышли четыре команды
№1, №2, №3, №4 одинаковой силы. Найти вероятность событий А={команда №1
одержит победу} и B={команда №1 выйдет в финал}.
Задача 24. В мешке лежат 200 шаров, каждый из которых либо красный, либо синий и
либо полосатый, либо сплошной. Всего в мешке 55 красных полосатых шаров, 91
полосатых шаров, 79 красных шаров. Из мешка наугад достается 1 шар. Найти
вероятности событий А={выбранный шар - красный или полосатый} и B={выбранный
шар сплошной (не полосатый)}.
Задача 25. Вы останавливаете на улице прохожего и спрашиваете в какой месяц у
него день рождения. Предположим, что день рождения может равновозможно
выпасть на любой день в году. Чему равна вероятность событий А={день рождения
прохожего приходится на январь месяц}, B={день рождения прохожего приходится на
февраль месяц}?
Задача 26. PIN-код кредитной карты состоит из 4-х цифр от 0 до 9. Чему равна
вероятность события А={наугад набранные 4 цифры совпадают с PIN-кодом}?
Чему равна вероятность события B={PIN-код угадали не более, чем за 3 попытки}?
Чему равна вероятность события С={PIN-код угадали не более, чем за 9999 попыток}?
14
1.2 Пространство исходов, события,
классическая вероятность (13)
Задача 27. Производитель противотуманных фар автомобиля тестирует фары в
условиях высокой влажности и температуры и проверят их по двум критериям:
интенсивность испускаемого фарами света и срок эксплуатации. В результате
тестов 130 фар получены следующие данные:
Срок эксплуатации
Удовлетворительно
Интенсивность света
Удовлетворительно
неудовлетворительно
Неудовлетворительно
117
3
8
2
Чему равна вероятность события А={наугад выбранная фара удовлетворяет обоим
критериям}?
Задача 28. Двое играют в техасский холдем (texas holdem). В колоде - 52 карты. В
банке 100$. Найти вероятность выигрыша каждого игрока для каждого из следующих
случаев:
1) рука первого игрока {7 бубей, 7 крестей}, рука второго игрока {8 червей, 6 пик},
на столе {2 бубей, 3 крестей, туз червей, 10 бубей}
2) рука первого игрока {2 бубей, 2 крестей}, рука второго игрока {3 бубей, 3
крестей}, на столе {9 червей, король крестей, туз бубей, 7 бубей}
3) рука первого игрока {3 бубей, 4 крестей}, рука второго игрока {3 червей, 3
крестей}, на столе {4 бубей, 7 крестей, 9 бубей, 10 червей}
15
1.2 Пространство исходов, события,
классическая вероятность (14)
Задача 29. Из колоды в 52 карты достают одну карту. Рассмотрим события
А={выбранная карта - туз}, O={выбранная карта красного цвета}, E={выбранная карта –
либо валет, либо дама, либо король}. Найти вероятности событий: 1) P(AO), 2) P(AE),
3) P(OĒ), 4) P(A+ŌE)
Задача 30. В урне 10 белых и 20 черных шаров. Из урны наугад достают 1 шар. Найти
вероятность события А={выбранный шар – белый}.
Задача 31. В урне 10 белых и 10 черных шаров. Из урны наугад достают 1 шар и
откладывают в сторону. Этот шар оказался черным. После этого из урны беру еще
один шар. Найти вероятность события А={выбранный шар – белый}.
Задача 32. В урне 100 белых и 10 черных шаров. Из урны наугад сразу достают 2 шара.
Найти вероятность события А={обе шара - белые}.
Задача 33. Имеется две урны. В первой 9 белых и 8 черных шаров. Во второй 7 белых
и 6 черных шаров. Из каждой урны наугад выбирается по одному шару. Найти
вероятность события А={оба шара будут белыми}.
Задача 34. В барабане револьвера семь гнезд, из них в пяти заложены патроны.
Барабан приводится во вращение, в результате чего против ствола случайным
образом оказывается одно из гнезд. Нажимается спусковой крючок. Найти
вероятность событий А={при повторении опыта 2 раза подряд, пистолет не выстрелит
оба раза } и Ā.
16
1.2 Классическая вероятность.
Дополнительные задачи (15)
Задача. Два игрока по очереди бросают игральную кость, каждый по одному разу.
Выигравшим считается тот, кто получит большее число очков. Найти вероятность выигрыша
первого игрока.
Задача. Датчик случайных чисел генерирует двузначное случайное число. Какова
вероятность того, что сгенерированное число делится на 5?
Задача. Одновременно бросаются два кубика (игральные кости). Найти вероятность того,
что суммарное число выпавших очков меньше 5.
Задача. В магазин поступило 30 новых телевизоров, среди которых 5 имеют скрытые
дефекты. Найти вероятность того, что купленный телевизор не имеет скрытых дефектов.
Задача. Игральная кость подбрасывается один раз. Найти вероятности событий: A= {число
очков на верхней грани равно 6}, B = {число очков кратно 3}, C = {число очков меньше 5}.
Задача. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера.
Кубики перемешиваются, а затем наугад вытаскивается один из них. Найти вероятности
событий: A= {кубик имеет три окрашенные грани}, B= {кубик имеет две окрашенные грани},
C={кубик имеет одну окрашенную грань}.
17
1.2 Классическая вероятность.
Дополнительные задачи (16)
Задача. На шахматную доску случайным образом ставят две ладьи: белую и черную. Какова
вероятность того, что ладьи не бьют друг друга?
Задача. Одновременно подбрасывается две кости. Найти вероятности событий: A =
{количество очков на верхних гранях одинаково}, B = {на верхних гранях выпадет в сумме 8
очков}, C = {сумма очков четна}, D ={хотя бы на одной кости появится цифра 6}.
Задача. Два игрока по очереди бросают игральную кость, каждый по одному разу.
Выигравшим считается тот, кто получит большее число очков. Найти вероятность выигрыша
первого игрока.
Задача. Брошены три монеты. Найти вероятность того, что выпадут два «герба».
Задача. При стрельбе была получена частота попадания 0,6. Сколько было произведено
выстрелов, если получено 12 промахов?
Задача. Лица A и B стоят в очереди, в которой еще восемь человек. Какова вероятность того,
что между ними ровно два человека?
18
1.2 Классическая вероятность.
Дополнительные задачи (17)
Задача. Из чисел от 100 до 199 наугад выбирают одно число. Чему равна вероятность того,
что первая и третья цифры в выбранном числе превосходят вторую цифру ровно на 1?
Задача. Из чисел от 1 до 99 выбирают наугад одно число. Обозначим его через n. Чему
равна вероятность того, что число n(n+1)(n+2) делится на 8?
Задача. В классе меньше 30 человек. Вероятность того, что наугад выбранная девочкаотличница, равна 3/13, а вероятность того, что наугад выбранный мальчик-отличник, равна
4/11. Сколько в классе отличников?
Задача. В ящике 10 красных и 6 синих пуговиц. Какова вероятность того, что две наудачу
вынутые пуговицы будут одноцветными?
Задача. В кармане имеется несколько монет достоинством 2 коп. и 10 коп. (на ощупь не
различимых). Известно, что двухкопеечных монет втрое больше, чем десятикопеечных.
Наугад вынимается одна монета. Какова вероятность того, что это окажется монета
достоинством 10 коп.?
19
1.2 Классическая вероятность.
Дополнительные задачи (18)
Задача. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает её наугад.
Определить вероятность того, что ему придётся звонить не более чем в 3 места.
Задача. Мастер, имея 10 деталей, из которых 3 – нестандартных, проверяет детали одну за
другой, пока ему не попадется стандартная. Какова вероятность, что он проверит ровно две
детали?
Задача*. В одном ящике 3 белых и 5 черных шаров, в другом ящике – 6 белых и 4 черных
шара. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут белый шар, если из
каждого ящика вынуто по одному шару.
Задача. Все натуральные числа от одного до двадцати записаны на одинаковых карточках и
помещены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урну наудачу взята одна
карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется простым;
составным; не простым и не составным?
Задача. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 20. Какова вероятность того,
что это число окажется делителем 24 ?
Задача. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 100. Какова вероятность
того, что выбранное число при делении на 8 дает в остатке 2?
20
1.2 Классическая вероятность.
Дополнительные задачи (19)
Задача. Наудачу выбрано двузначное число. Какова вероятность того, что выбранное число
имеет простые делители, больше 10 ?
Из множества {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} наудачу выбрано число q, после чего составлено
уравнение x2+4x+q=0. Какова вероятность того, что корни уравнения окажутся:
действительными числами;
целыми рациональными числами;
действительными иррациональными числами?
Задача. Определим операцию δ следующим образом: наугад выбирается двузначное число,
кратное 6 , затем оно складывается с наугад выбранным простым двузначным числом и
затем полученная сумма делится на 2. Чему равна вероятность того, что в результате
операции δ появится целое число?
21
1.3 Условная вероятность и независимость (1)
Условной вероятностью события В при условии события А (P(A)≠0) называется
отношение вероятности пересечения событий А и В к вероятности события А, т.е.
P( AB )
.
P( A)
События А и В называются независимыми, если условная вероятность события В при
условии А совпадает с безусловной вероятностью события В, т.е.
P( B | A)  P( B) или P( AB)  P( A) P( B).
P( B | A) 
События А, B, C, D, …, Z называются независимыми в совокупности, если для
любого набора событий вероятность совместного наступление равна произведению
вероятностей отдельных событий (Например, P(BCD)=P(B)P(C)P(D) или
P(ABCD…Z)=P(A)P(B)P(C)P(D)…P(Z) и т.д.).
Пример 18. Опыт – подбрасывание игральной кости. Рассмотрим события
А={выпадение четного числа очков}, В={выпадение нечетного числа очков}. Т.к. AB=ø,
то P(B|A)=0.
Пример 19. Предположим кто-то подбросил 2 игральные кости (одну синюю и одну
красную) и объявил (не показывая результат подбрасывания), что на верхних гранях
выпала по крайней мере одна 6. Чему при этом равна вероятность события А={на
красной игральной кости выпала 6}. Пусть событие В={на верхних гранях выпала по
крайней мере одна 6}. Тогда P(A|B)=6/11.
22
1.3 Условная вероятность и независимость (2)
Пример 20. Опыт – подбрасывание игральной кости. Рассмотрим события
А={выпадение 4 или 6 на верхней грани}, В={выпадение четного числа очков}.
Здесь P(B|A)=1.
Пример 21. Предположим кто-то подбросил 2 игральные кости (одну синюю и одну
красную) и объявил (не показывая результат подбрасывания), что ровно на одной из
верхних граней выпала 6. Чему при этом равна вероятность события А={на красной
игральной кости выпала 6}. Пусть событие В={ровно на одной из верхних граней
выпала 6}. Тогда P(A|B)=1/2.
Пример 22. Предположим кто-то достает одну карту из колоды в 52 карты и
объявляется (не показывая карту), что эта карта пиковой масти. Чему при этом равна
вероятность события А={выбранная карта валет, дама, король}. Пусть событие
В={выбранная из колоды карта – пиковой масти}. Тогда P(A|B)=P(AB)/P(B)=3/13.
Пример 23¥. Из колоды в 52 карты вынимается одна карта. Рассмотрим события:
A={появление туза}, B={появление красной масти}, C={появление бубнового туза},
D={появление 10}. Выяснить зависимы или независимы следующие пары событий:
1) A и B, 2) A и С, 3) B и C, 4) B и D, 5) C и D.
Ответ:
1) независимы т.к. P(A)=1/13. P(A|B)=1/13. 2) зависимы т.к. P(A)=1/13. P(A|C)=1.
3) зависимы, т.к. P(B)=1/2. P(B|C)=1. 4) независимы, т.к. P(B)=1/2. P(B|D)=1/2.
5) Зависимы т.к. несовместимы.
23
1.3 Условная вероятность и независимость (3)
Задача 35‡. Вероятность попасть в самолет равна 0.4. Вероятность его сбить равна 0.1.
Найти вероятность того, что при попадании в самолет он будет сбит.
Задача 36‡. Вероятность того, что прибор не откажет к моменту времени t1 равна 0.8.
Вероятность того, что прибор не откажет к моменту времени t2 (t2 > t1 ) равна 0.6. Найти
вероятность того, что прибор не отказавший к моменту времени t1, не откажет и к
моменту времени t2.
Задача 37‡. В семье двое детей. Рождение мальчика и девочки – независимые и
равновероятные события. Вычислить вероятность того, что оба ребенка – мальчики,
если известно, что в семье есть мальчик.
Задача 38‡. Пусть события А и В независимы и не являются невозможными. Доказать,
что они обязательно совместны (т.е. могут произойти одновременно).
Задача 39‡. Из 100 студентов в аудитории, 50 человек знают английский язык, 40 –
французский и 35 немецкий. Английский и французский языки знают 20 студентов.
Английский и немецкий – 8 студентов. Французский и немецкий – 10 студентов. Все три
языка знают 5 человек. Один из студентов вышел из аудитории. Рассмотрим события:
Е={вышедший студент знает английский}, F={вышедший студент знает французский},
D={вышедший студент знает немецкий язык}.
Вопрос: а) какие пары событий независимы?
б) являются ли E,F,D независимыми в совокупности?
[‡] Сборник задач по математике для втузов. Ч.3. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для втузов /
Под ред. А.В. Ефимова. – 2-е изд., перераб. и доп. –М.: Наука.
24
1.3 Условная вероятность и независимость (4)
Задача 40‡. На шахматную доску наудачу ставятся два слона
(bishop
) – белый и черный. Каждый слон может занять
равновероятно любую клетку шахматной доски. Какова
вероятность того, что слоны не побьют друг друга, при условии,
что белый слон попадет на одно из крайних полей доски?
Задача 41‡. На шахматную доску наудачу ставятся две ладьи
(rook, tower
) . Пусть событие А={ладьи попали на клетки
разного цвета}. Событие B={ладьи побьют друг друга}.
Найти P(B|A).
Задача 42‡. Студент знает 20 из 25 вопросов экзамена. Экзамен
считает сданным, если студент ответит не менее, чем на 3 из 4
вопроса в билете. Взяв билет, студент обнаружил, что знает
первый вопрос. Чему равна вероятность того, что студент сдаст
экзамен?
Задача 43‡. Иван и Петр поочередно бросают правильную
монету. Выигрывает тот, у кого раньше появится «орел». Иван
бросает первым.
а) Найти вероятности выигрыша для каждого из игроков.
б) Найти вероятность выигрыша для каждого из игроков, если
Петру разрешается делать два броска при его подходе, а Ивану
только один.
25
1.3 Условная вероятность и независимость (5)
Задача 44‡. Сколько раз нужно бросить пару игральных костей, чтобы с вероятностью не
меньше 0.5 появилась сумма очков на верхних гранях, равная 12?
Задача 45. Игральная кость подбрасывается 5 раз. Чему равна вероятность того, что на
верхних гранях появятся только нечетные числа?
Задача 46. Игральная кость подбрасывается 3 раза. Чему равна вероятность того, что на
верхних гранях появятся различные числа?
Задача 47. Из колоды в 52 карты 3 раза наугад (randomly) выбирается карта, записывается
ее достоинство и карта возвращается обратно. Чему равна вероятность события А={было
выбрано 2 черные карты и 1 красная карта}.
Задача 48. Из колоды в 52 карты наугад (randomly) достается 3 карты. Чему равна
вероятность события А={было выбрано 2 черные карты и 1 красная карта}.
Задача 49. Устройство может состоять из N независимо работающих элементов. Каждый
элемент с вероятность 0.1 выходит из строя. Для какого значения N вероятность того, что по
крайней мере один элемент работает равна 0.995?
26
1.3 Условная вероятность и независимость (6)
Задача. В семье – двое детей. Какова вероятность, что старший ребенок – мальчик, если
известно, что в семье есть дети обоего пола?
Задача. Шесть карточек, которые занумерованы от 1 до 6, помещаются в коробку. Затем
наугад достают одну карточку и возвращают ее обратно. Потом наугад достают еще раз одну
карточку. Если сумма цифр на двух карточках равна 8, то чему равна вероятность того, что
одна из двух карточек была с номером 5?
Задача. Игральная кость подбрасывается два раза. Известно, что сумма очков равна 10.
Какова вероятность при этом условии того, что один раз появляется 6 очков ?
Задача. Бросили игральную кость. Какова вероятность того, что выпало простое число очков,
если известно, что число выпавших очков нечетно?
Задача. В ящике лежат 12 красных, 8 зеленых и 10 синих шаров. Наудачу вынимаются два
шара. Какова вероятность, что вынутые шары разного цвета, если известно, что не вынут
синий шар?
Задача. Брошены три игральные кости. Чему равна вероятность того, что на одной из них
выпала единица, если на всех трех костях выпали разные числа?
27
1.3 Условная вероятность и независимость (7)
Задача. Игральная кость бросается до тех пор, пока не выпадет единица. Известно, что для
этого потребовалось четное число бросаний. Найти вероятность того, что единица впервые
выпадет при втором бросании.
Задача. Из колоды карт (52) последовательно вынуты две карты. Найти a) вероятность того,
что вторая карта окажется тузом (неизвестно, какая карта была вынута вначале), b)
условную вероятность того, что вторая карта будет тузом, если первоначально был вынут туз.
Задача. Из множества чисел {1,2,3,…100} случайно без возвращения выбираются три числа.
Найти условную вероятность того, что третье число попадет в интервал, образованный
первыми двумя, если известно, что первое число меньше второго.
Задача. Игральная кость подбрасывается 3 раза. В результате сумма очков на верхних
гранях равна 12. Найти вероятность того, что а) в результате первого броска выпало 4, б)
каждый раз выпала 4.
28
1.3 Условная вероятность и независимость (3)
Работоспособность систем различной конфигурации
Многие технические, организационные и др. системы (например, мосты, двигатель
автомобиля, системы кондиционирования, биологические\экологические системы,
цепочка исполнения приказов в гражданских\военных ведомствах, системы контроля
качества на производстве) могут быть представлены в виде набора элементов,
взаимодействующих друг с другом определенной схеме.
Пример 24. (последовательное соединение) Подобные системы находятся в
работоспособном состоянии, если все их элементы находятся в работоспособном
состоянии. Рассмотрим событие Аi={i-й элемент находится в работоспособном
состоянии}, i=1,2,…n. Вероятности P(Аi) считаются известными. Найти вероятность
события A={система находится в неработоспособном состоянии}.
P(A)=1-P(Ā)=1-P(А1 А2 А3 … Аn-1 Аn).
Если элементы отказывают независимо, то
P(A)=1-P(Ā)=1-P(А1)×P(А2)×P(А3)×…×P(Аn-1) ×P(Аn).
Примером систем с последовательным соединением могут служить:
а) автомобильные высокоскоростные магистрали, состоящие из нескольких участков, каждый из которых может
быть перекрыт в случае аварии;
б) иерархическая организационная структура, в которой информация передается с одного уровня на другой;
в) пищевая цепь, в которой организмы последующего звена поедают организмы предыдущего звена, и таким
образом осуществляется цепной перенос энергии и вещества, лежащий в основе круговорота веществ в природе.
29
1.3 Условная вероятность и независимость (4)
Пример 25. (параллельное соединение) Подобные системы находятся в
работоспособном состоянии, если хотя бы один из их элементов находится в
работоспособном состоянии. Рассмотрим событие Аi={i-й элемент находится в
работоспособном состоянии}, i=1,2,…n. Вероятности P(Аi) считаются известными.
Найти вероятность события A={система находится в неработоспособном состоянии}.
P(A)=P(Ā1 Ā2 Ā3 … Ān-1 Ān)=[по формуле условной вероятности]=
=P(Ā1)×P(Ā2|Ā1)×P(Ā3|Ā1Ā2)×P(Ā4|Ā1Ā2Ā3)×…×P(Ān|Ā1Ā2Ā3…Ān-1).
Если элементы отказывают независимо, то
P(A)=P(Ā1)×P(Ā2)×P(Ā3)×…×P(Ān-1)×P(Ān)=
=[1-P(A1)]×[1-P(A2)]×[1-P(A3)]×…×[1-P(An-1)]×[1-P(An)].
Примером систем с параллельным соединением могут служить:
а) система организации печати в компании. Документ возможно распечатать, если есть хотя бы один работающий
принтер ;
б) система доступа в сеть интернет через WiFi , 3G и по витой паре.
30
1.3 Условная вероятность и независимость (5)
Пример 26. (смесь параллельных и последовательных соединений) Подобные системы
находятся в работоспособном состоянии, если хотя бы один из их элементов находится
в работоспособном состоянии. Рассмотрим событие Аij={i-й элемент j-й подсистемы
находится в работоспособном состоянии}, j=1,2,…n. Вероятности P(Аij) считаются
известными. Все элементы отказывают независимо. Найти вероятность события
A={система находится в неработоспособном состоянии}.
P(A)=1-P(Ā)=
=1-P(подсистема 1 работает)×
×P(подсистема 2 работает)×
…
×P(подсистема n работает).
Примером может служить процесс сбора автомобиля на заводе. Это последовательный процесс. В случае
отсутствия необходимых деталей автомобиля процесс останавливается (что может привести, например, к
забастовке). В повышения надежности процесса производители заключают договора с несколькими
производителями деталей, которые осуществляют поставки параллельно.
31
1.3 Условная вероятность и независимость (6)
Задача 50. Рассмотрим ГЭС (см. рисунок). Два генератора работают параллельно. Пять
турбин работают параллельно. ГЭС вырабатывает электроэнергию, если работает
водоприемник, хотя бы 3 из 5 турбин, и хотя бы 1 из 2 генераторов. ГЭС проходит
ремонт каждые 2 года. Все элементы выходят из строя независимо. Вероятности того,
что элемент из строя в течение двух лет представлены в таблице. Найти вероятность
события A={до следующего ремонта ГЭС не прекратит вырабатывать энергию}.
Вероятность
отказа
Изображения с images.google.ru
0,05
Водоприемник
0,01
Генератор
0,001
Турбина
32
1.3 Условная вероятность и независимость (7)
Пример 27¥. В урне 5 белых и 7 черных шаров. Из урны наугад вынимают два шара.
Найти вероятность события А={оба шара белые}. Событие А представимо в виде А=BC,
где
событие
B={первый
шар
белый},
C={второй
шар
белый}.
P(A)=P(BC)=P(B)P(C|B)=(5/12)*(4/11).
Пример 28¥. В урне 5 белых и 7 черных шаров. Из урны наугад вынимают один шар,
записывают его цвет и возвращают в урну. Затем наугад вынимают еще один шар.
Найти вероятность события А={оба шара белые}. Событие А представимо в виде А=BC,
где событие B={первый шар белый}, C={второй шар белый}. События B и С независимы.
Поэтому P(A)=P(BC)=P(B)P(C)=(7/12)*(7/12).
Задача 51. Сумма заказа, поступившего в компанию с вероятностью 0.42 составляет
более 10 000 руб. Если поступил заказ на сумму свыше 10 000 руб., то клиент
оплачивает покупку по кредитной карте с вероятностью 0.63. Суммы различных
заказов не зависят друг от друга. Найти вероятность события А={следующие три заказа
будет на сумму свыше 10 000 руб. каждый и каждый будет оплачен наличными}.
Задача 52. Имеется коробка с 9 новыми теннисными мячами. Для игры берут наугад
три мяча. После игры их кладут обратно. Найти вероятность события А={после трех игр
в коробке не останется неигранных мячей}.
Задача 53. Игральная кость подбрасывается 6 раз. Найти вероятность события
А={каждая цифра появилась на верхней грани по одному разу}.
33
1.3 Условная вероятность и независимость (8)
Задача 54. Игральная кость подбрасывается 12 раз. Найти вероятность события
А={каждая цифра появилась на верхней грани ровно по два раза}.
Задача 55. Игральная кость подбрасывается 7 раз. Найти вероятность события
А={цифра 6 не появилась ни разу}.
Задача 56. Игральная кость подбрасывается 5 раз. Найти вероятность события А={на
верхних гранях выпали только четные числа}.
Задача 57. В коробке лежат 20 предохранителей, 5 из которых бракованные. Из
коробки наугад (не глядя) последовательно достают 2 предохранителя. Найти
вероятность события А={оба выбранных предохранителя бракованные}.
Задача 58. Система состоит из 4 независимо работающих элементов (см. рисунок
ниже). Вероятность того, что каждый элемент находится в работоспособном состоянии
равна 0.9. Найти вероятность событий А={система находится в работоспособном
состоянии} и В={элемент №3 не работает, при условии, что вся система работает}.
34
1.3 Условная вероятность и независимость (9)
Задача 59. Предположим в первом ящике находится 4 белых и 3 черных шара. Во
втором ящике находятся 3 белых и 5 черных шаров. Из первого ящика наугад
выбирается 1 шар и помещается во второй ящик. Затем из второго ящика наугад
достают шар. Найти вероятность события А={выбранный шар - черный}.
Задача 60. Неправильная монета, у которой решка выпадает в два раза чаще, чем орел,
подбрасывается 3 раза. Чему равна вероятность события А={выпадет 2 орла и 1 решка}.
Задача 61. Система состоит из 5 элементов (см. рисунок). Вероятность того, что
элементы №1, 2, 3, 4, 5 находятся в работоспособном состоянии равны 0.7, 0.7, 0.8,
0.8, 0.8 соответственно. Чему равна вероятность событий А={система находится в
работоспособном состоянии} и В={элемент 1 не работает, при условии, что система
работает}. Все элементы работают независимо друг от друга.
35
1.4 Формула полной вероятности (1)
События H1, H2, H3 , … Hn образуют полную группу несовместных событий, если
1. H1 U H2 U H3 … U Hn = Ω
2. H1, H2, H3 , … Hn попарно непересекаются (т.е. H1 H2 = ø, H2 H3 = ø и т.д.)
Такие события H1, H2, H3 , … Hn называются гипотезами.
Предположим в результате опыта может произойти одна из гипотез
H1, H2, H3 , … Hn. Пусть нас интересует событие А и нам известны
вероятности P(H1), P(H2), … P(Hn) и P(A|H1), P(A|H2), …P(A|Hn).
Как найти вероятность события А?
P(A)=P(H1)P(A|H1) + P(H2)P(A|H2) + … + P(Hn)P(A|Hn) – формула полной вероятности
36
1.4 Формула полной вероятности (2)
Пример 29‡. Партия транзисторов, среди которых 10% дефектных, поступила на
проверку. Схема проверки такова, что с вероятностью 0.95 обнаруживает дефект (если
он есть) и с вероятностью 0.03 обнаруживается дефект, даже если его нет (т.е.
исправный транзистор признан дефектным). Какова вероятность события А={случайно
выбранный транзистор признан дефектным}?
Решение:
H1={поступивший на проверку транзистор дефектный},
H2={поступивший на проверку транзистор исправный}.
P(H1)=0.1, P(H2)=0.9.
A={случайно выбранный транзистор - дефектный}.
P(A|H1)=0.95, P(A|H2)=0.03.
P(A)=P(H1)P(A|H1) + P(H2)P(A|H2)=0.1*0.95+0.9*0.03=0.122.
Пример 30‡. В продажу поступают плазменные панели с трех заводов (Sharp, Panasonic,
Samsung). Продукция Sharp содержит 20% панелей со скрытым дефектом, продукция
Panasonic – 10%, продукция Samsung – 5%. Вы пришли в магазин М.Видео. Какова
вероятность приобрести исправную плазменную панель, если магазин М.Видео закупает
30% панелей с завода Sharp, 20% панелей с завода Panasonic, 50% панелей с завода
Samsung? Ответ: 0,895.
37
1.4 Формула полной вероятности (3)
Пример 31‡. Сотовый телефон может работать в двух режимах: (1) нормальном, (2)
режиме экономии батареи. Нормальный режим наблюдается в 70% случаев работы
телефона. Вероятность того, что телефон выключится (разрядится, run out of battery) в
течение недели, если он в нормальном режиме равна 0.1, а если он в режиме экономии
батареи – 0.7. Найти полную вероятность того, что телефон выключится. Ответ: 0.28.
Пример 32¥. Имеется 2 коробки. В первой коробке находится 10 белых и 9 черных шаров;
во второй – 8 белых и 7 черных. Из первой коробки во вторую перекладывают, не глядя,
один шар. После этого из второй коробки берут, не глядя, один шар. Найти вероятность
того, что этот шар будет белым. Ответ: 0.533.
Пример 33¥. В условиях примера 32, из первой коробки во вторую перекладывают, не
глядя, три шара. После этого из второй коробки берут, не глядя, один шар. Найти
вероятность
того,
что
этот
шар
будет
белым.
Ответ:3*10/[(8+7+3)*(10+9)]+(8+7)*8/[(8+7+3)*15]
Пример 34¥. Завод выпускает автомобили, каждый из которых с вероятностью 0.01
имеет дефект. Имеются 3 компании-контролера. Автомобиль осматривается
равновероятно только одним контролером. Вероятность обнаружения дефекта (если он
имеется) для 1, 2 и 3 контролера равна 0.1, 0.2, 0.3. Если автомобиль не забракован
контролером, он попадает к дилеру, который обследует его и с вероятностью 0.5
обнаруживает дефект, если он имеется. Определить вероятность событий
А={автомобиль будет забракован}, B={автомобиль будет забракован контролером},
C={автомобиль будет забракован дилером}.
Ответ: P(A)=P(B)+P(C), P(B)=0.01*(0.1+0.2+0.3)/3, P(C)= 0.01*(1-[(0.1+0.2+0.3)/3])0.5.
38
1.4 Формула полной вероятности (4)
Задача 62. Геофизическая служба провела исследования сейсмической опасности в
районе Сахалина по шкале интенсивности землетрясений Меркалли (дискретная шкала,
интенсивность землетрясения от 1 до 12). Вероятность того, что в течении 100 лет
максимальный уровень по шкале Меркалли будет равен Х приведена в таблице 47-1.
Инженерная служба провела независимое исследование сейсмической прочности
различных зданий и сооружений в районе Сахалина. В результате для различных
объектов они получили вероятности обрушения в случае землетрясения уровня Х (см.
таблица 47-2).
Таблица 47-1
X
Таблица 47-2
P(MAX=X)
X
Мосты
Железобетонные
здания
Сооружения
из кирпича
6
0.3
<6
0
0
0
7
0.1
6
0
0
0
8
0.03
7
0.01
0
0.02
9
0.01
8
0.03
0.01
0.08
10
0.003
9
0.1
0.03
0.20
11
0.001
10
0.20
0.10
0.40
12
0.0003
11
0.50
0.30
0.80
12
0.90
0.60
1
<6
Найти:
1) P(MAX=<6)
2) вероятность обрушения для
каждого типа сооружения.
39
1.4 Формула полной вероятности (5)
Задача 63. Катастрофы на химическом заводе подразделяются на уровни 1, 2, 3 по
степени опасности. Предположим химический завод имеет сейсмические
характеристики (вероятности катастрофы в результате землетрясения уровня Х),
представленные в таблице 48-1.
Вероятность землетрясения уровня X дана в таблице 47-1.
Для определения числа потенциальных жертв химической катастрофы было проведено
отдельное исследование. Результаты исследования (вероятность того, что число
жертв равно Y) представлены в таблице 48-2.
Таблица 48-1
Таблица 48-2
X
Катастрофа
уровня 1
Катастрофа
уровня 2
Катастрофа
уровня 3
Уровень катастрофы
Число жертв
0
Число жертв
[1; 10]
Число жертв
>10
<6
0
0
0
1
0.99
0.01
0
6
0.1
0
0
2
0.90
0.08
0.02
7
0.3
0.1
0
3
0.50
0.40
0.10
8
0.4
0.2
0.1
9
0.3
0.3
0.2
10
0.1
0.5
0.3
11
0
0.4
0.6
12
0
0.2
0.8
Найти вероятность того, что в результате
землетрясения число жертв будет
a) 0
б) [1;10]
в) >10
40
1.4 Формула полной вероятности (6)
Задача 64. Предположим в задаче 47 вероятность обрушения всех сооружений
оказалась слишком высокой и руководство Сахалина решила провести модернизацию
всех зданий и сооружений. После модернизации прочность каждого сооружения
повысилась на единицу (т.е. вероятность обрушения сооружения в результате
землетрясения уровня Х после модернизации равна вероятности обрушения в
результате землетрясения уровня (Х-1) до модернизации).
Найти вероятность обрушения для каждого типа здания.
Задача 65. Звонки в службу поддержки бывают двух типов: либо претензия(75%), либо
информационный запрос (25%). Из звонков-претензий 40% связаны с компьютерным
аппаратным обеспечением (hardware complaints), 57% связаны с программным
обеспечением (software complaints), 3% связаны с периферийными устройствами
(peripheral devices complaints). Из информационных звонков 50% связаны с
техническими вопросами и 50% с коммерческими.
Найти вероятность события А={поступающий звонок, связан с проблемами с
периферийными устройствами} и В={поступающий звонок, связан коммерческими
вопросами}.
Задача 66¥. Из чисел 1, 2, … 15 одно за другим выбирают наугад 2 числа. Найти
вероятность события А={разность между первым выбранным числом и вторым будет не
больше 1}.
41
1.4 Формула полной вероятности (7)
Задача 67¥. В автобусе едут 10 пассажиров. На следующей остановке каждый из них
выходит с вероятностью 0,1. Кроме того, в автобус с вероятностью 0,8 не входит ни
один новый пассажир, а с вероятностью 0,2 входит один новый пассажир. Найти
Вероятность того, что когда автобус снова тронется в путь после следующей остановки в
нем будет по-прежнему 10 пассажиров.
Задача 68¥. Имеется n экзаменационных билетов, каждый содержит 2 вопроса.
Студент знает ответ только на k<2n вопросов. Считается, что экзамен сдан, если
студент ответил на оба вопроса своего билета или на один вопрос из своего билета и
на один по выбору преподавателя из других билетов. Найти вероятность того, что
экзамен будет сдан.
Задача 69¥. Из чисел 1, 2, … 10 одно за другим выбирают наугад 2 числа. Найти
вероятность события А={разность между первым выбранным числом и вторым будет не
меньше 3}.
Задача 70¥. Имеется 3 коробки. В коробке №1 находится 2 белых и 2 черных шара. В
коробке №2 находится 3 белых и 3 черных шара. В коробке №3 находится 4 белых
шара. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее один шар. Найти
вероятность события А={выбранный шар - белый}.
42
1.4 Формула полной вероятности (8)
Задача 71. Инспектор в производственном цехе в 99% случаем обнаруживает дефект в
детали, если деталь имеет дефект, и в 0.5% случаев обнаруживает дефект в детали,
которая не имеет дефекта. Владельцу цеха известно, что доля дефектной продукции
составляет 0.9%. Найти вероятность того, что в наугад выбранной инспектором детали
обнаружится дефект.
Задача 72. Компания, которая отслеживает статистику посещений своего веб-сайта,
выяснила, что чем больше страниц просматривает посетитель, тем вероятнее, что он
оставит на сайте свою контактную информацию на сайте (см. таблица 72). Найти
вероятность того, что посетитель веб-сайта оставит на сайте свою контактную
информацию.
Таблица 72
Число просмотренных страниц
1
2
3
>3
Процент посетителей
40
30
20
10
Процент посетителей, оставивших
свою контактную информацию
10
10
20
40
Задача 73. Предположим, что погода каждый день может быть либо теплой (с
вероятностью 0.25), либо холодной (с вероятностью 0.15), либо жаркой. Кроме того,
каждый день может либо пойти дождь, либо нет. В теплый день дождь идет с
вероятностью 0.4, в холодный день – с вероятностью 0.3, в жаркий день – с
вероятностью 0.5. Найти вероятность того, что в наугад выбранный день не будет
дождя.
43
1.4 Формула полной вероятности (9)
Задача 74§. В сборочный цех поступают детали с трех поточных линий.
Производительности этих линий относятся как 8:5:4. Вероятность брака для первой
линии составляет 0,02; для второй линии - 0,03; для третьей линии - 0,04. Найти
вероятность того, что наугад взятая деталь бракована.
Задача 75§. На уничтожение цели противника вылетело два самолета разных типов.
Самолет первого типа может уничтожить цель с вероятностью 0,9, второго типа - с
вероятностью 0,8. Однако противовоздушная оборона противника может сбить самолет
первого типа с вероятностью 0,95, самолет второго типа - с вероятностью 0,85. Какова
вероятность уничтожения цели?
Задача 76§. В цехе 24 установок с автоматическим контролем и 16 с ручным.
Вероятность изготовления некондиционной продукции для установок с автоматическим
контролем составляет 0,006, с ручным контролем - 0,004. Какова вероятность того, что
взятая на лабораторный анализ продукция цеха оказалась кондиционной?
Задача 77§. Вероятность попадания в танк при одном выстреле составляет 0,15. При
одном попадании танк загорается с вероятностью 0,15, при двух - с вероятностью 0,25,
при трех - с вероятностью 0,29. По танку сделано три выстрела. Какова вероятность
его загорания?
[§] П.К.МАЦЕНКО, В.В.СЕЛИВАНОВ Руководство к решению задач по теории вероятностей. Учебное пособие для студентов высш
их технических учебных заведений.
44
1.4 Формула полной вероятности (10)
Задача. В группе 30 студентов. Студент из 30 билетов знает 25. Каким по счету он должен
идти на экзамен , чтобы вероятность вытащить ``плохой'' билет была бы для него
минимальной? Билет, который вытащили, «не возвращается».
Задача. Билет, номер которого состоит из 4-х цифр, считается счастливым, если сумма
первых двух цифр совпадает с суммой двух последних. Найдите вероятность того, что
наудачу выбранный билет окажется счастливым.
Задача. A говорит правду в 3 случаях из 4, а B в 4 случаях из 5. Из урны, в которой было 9
разноцветных шаров, в том числе один белый,
вынули один шар. A и B посмотрели на него и оба сказали, что шар белый. Найти
вероятность того, что они сказали правду.
Задача. Четыре грани игральной кости A красные и две -- белые; у кости B две грани
красные и четыре -- белые. Один раз бросается монета. Если выпал герб, то все время
бросается только кость A, если решка - только кость B.
а) Найти вероятность получить красную грань при одном бросании кости. б) Найти
вероятность того, что третье бросание кости даст красную грань, если первые два бросания
дали красные грани.
45
1.4 Формула полной вероятности (11)
Задача. Студент знает не все экзаменационные билеты. В каком случае вероятность
вытащить неизвестный билет будет для него наименьшей, когда он тащит билет первым или
последним?
Задача. Известно, что события A и B независимы и не пересекаются. Найти min{P(A),P(B)}.
Задача. Жюри из 3-х человек два члена жюри независимо друг от друга принимают
правильное решение с вероятностью Р, а третий для выяснения решения бросает монету.
Окончательное решение выносится большинством голосов. Другое жюри из одного человека
выносит правильное решение с вероятностью Р. Какое из этих жюри выносит правильное
решение большей вероятностью?
Задача. В доме n гостей, каждый пришел в шляпе и шляпы у всех одинаковые (на вид). Чему
равна вероятность того, что ни один из гостей не уйдет из дома в своей шляпе?
Задача. В доме n гостей, каждый пришел в шляпе и шляпы у всех одинаковые (на вид). Чему
равна вероятность того, что по крайней мере половина из них уйдет из дома в своих шляпах?
46
1.4 Формула полной вероятности. Формула Байеса (1)
Пример 35. Человек пришел в автосалон в Москве и купил автомобиль BMW (Bayerisch
Motoren Werke). Данный автомобиль мог быть собран либо на заводе в г. Калининград
(Россия), либо в г. Регенсбург (Германия), либо в г. Лейпциг (Германия), либо в
г. Спартанбург (США). Вероятность того, что он был собран на соответствующем
заводе представлена в таблице. В течение гарантийного срока автомобиля поступила
претензия по качеству его сборки . Чему равна вероятность того, что автомобиль был
собран на заводе в г. Спартанбург?
Таблица ?
Город, где располагается завод
Вероятность, что автомобиль собран на заводе
Вероятность претензии (claim)
Калининград
0.2
0.05
Регенсбург
0.24
0.11
Лейпциг
0.25
0.03
Спартанбург
0.31
0.08
Решение:
Определим два события: А={поступила претензия по качеству сборки}, В={автомобиль
собран на заводе в г. Спартанбург}. Требуется найти P(B|A)!
Находится по формуле Байеса.
Вероятность P(A)=0.0687 (находится по формуле полной вероятности).
Вероятность P(B)=0.31 (из таблицы ?). Вероятность P(A|B)=0.08 (из таблицы ?).
Ответ: P(B|A)=0.361.
47
1.4 Формула полной вероятности. Формула Байеса (2)
Задача 78. В примере 35 чему равна вероятность того, что автомобиль был собран на
заводе в а) Калининграде, б) Регенсбурге, в) Лейпциге?
Задача 79. В примере 35 в течение гарантийного срока не поступило ни одной
претензии по качеству сборки автомобиля. Чему равна вероятность того, что
автомобиль был собран на заводе в а) г. Калининград, б) г. Регенсбург, в) г. Лейпциг,
г) г. Спартанбург?
Задача 80. Известно, что 1% населения страдает заболеванием Y. Анализ крови с
вероятностью 97% обнаруживает заболевание Y у человека, который действительно
болен заболеванием Y. Однако с вероятностью 6% анализ крови обнаруживает
заболевание Y у человека, который заболеванием Y не болен.
Найти вероятность того, что у человека, сдавшего анализ крови, обнаружится
заболевание Y.
Если в анализе крови обнаружено заболевание Y, чему равна вероятность того, что
человек болен заболеванием Y?
Если в анализе крови не обнаружено заболевание Y, чему равна вероятность того, что
человек не болен заболеванием Y?
Задача 81§. В закрытой коробке лежит шар неизвестного цвета. С равной вероятностью
белый или черный. В коробку опускается белый шар и после тщательного
перемешивания один шар извлекается. Он оказался белым. Какова вероятность того,
что в урне остался белый шар?
48
1.4 Формула полной вероятности. Формула Байеса (3)
Задача 82§. Три орудия одновременно выстрелили один раз по цели. Ровно два
снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие попало в цель,
если вероятности попадания для орудий равны соответственно 0.7, 0.8, 0.9.
Задача 83§. Вероятности попадания при каждом выстреле для трех стрелков равны
соответственно 1/10, 1/11, 1/12. При одновременном выстреле всех трех стрелков
имеется два попадания. Определить вероятность того, что промахнулся первый
стрелок.
Задача 84§. Для поиска пропавшего самолета выделено 8 вертолетов, каждый из
которых может быть использован в одном из двух районов, где самолет может
находиться с вероятностями 0,9 и 0,1. Как следует распределить вертолеты, чтобы
вероятность обнаружения самолета была наибольшей. Найти вероятность
обнаружения самолета при оптимальной процедуре поиска. Считается, что каждый
вертолет обнаруживает находящийся в районе самолет с вероятностью 0.5, и поиски
осуществляются каждым вертолетом независимо от других.
Задача 85¥. Пассажир может обратиться за покупкой билета в одну из трех касс.
Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местоположения и равны
соответственно 0.1, 0.2, 0.3. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира
билеты в кассе №1 закончатся, равна 0.1, в кассе №2 - 0.2, в кассе №3 - 0.3. Пассажир
направился за билетом в одну из касс и купил билет. Найти вероятность того, что это
была касса №3.
49
1.4 Формула полной вероятности. Формула Байеса (4)
Задача 86¥. Рассматривается посадка самолета на аэродром. Если позволяет погода,
летчик сажает самолет, наблюдая за аэродромом визуально. В этом случае
вероятность благополучной посадки равна 0.9991. Если аэродром затянут низкой
облачностью, летчик сажает самолет вслепую, по приборам. Вероятность безотказной
работы приборов «слепой» посадки равна 0.99999. Если приборы слепой посадки
сработали нормально, то самолет садится благополучно с той же вероятностью, что и
при визуальной посадке. Если же приборы не сработали, то летчик может
благополучно посадить самолет с вероятностью 0.1. Найти вероятность благополучной
посадки самолета, если известно, что в 90% всех случаев посадки аэродром затянут
низкой облачностью.
Задача 87¥. В условиях предыдущей задачи известно, что самолет приземлился
благополучно. Найти вероятность того, что летчик пользовался приборами слепой
посадки.
Задача 88. Предположим, что погода каждый день может быть либо теплой (с
вероятностью 0.25), либо холодной (с вероятностью 0.15), либо жаркой. Кроме того,
каждый день может либо пойти дождь, либо нет. В теплый день дождь идет с
вероятностью 0.4, в холодный день – с вероятностью 0.3, в жаркий день – с
вероятностью 0.5. Если сегодня нет дождя, то чему равна вероятность того, что
сегодня холодно?
50
1.4 Формула полной вероятности. Формула Байеса (5)
Задача 89. Коробка №1 содержит 3 красных и 7 синих шаров. Коробка №2 содержит 8
красных и 4 синих шара. Коробка №3 содержит 5 красных и 11 синих шаров. Вы наугад
выбираете коробку и достаете из нее один шар. Он оказался синий. Чему равна
вероятность того, что этот шар из коробки №1?
Задача 90. На острове обитают редкие птицы трех различных видов. Вид №1
составляет 45% всех птиц, из которых 10% особей помечены специальной меткой. Вид
№2 составляет 38% всех птиц, из которых 15% особей помечены специальной меткой.
Вид №3 составляет 17% все птиц, из которых 50% особей помечены специальной меткой.
Вы попали на остров и увидели птицу, отмеченную специальной меткой. Чему равна
вероятность того, что это птица вида №1, №2 или №3.
Задача 91. Вентиль может рассчитан на использование при четырех температурных
режимах (низкая, средняя, высокая и очень высокая температура). При низкой
температуре вентиль протекает с вероятностью 0.003. При средней и высокой
температуре он протекает с вероятностью 0.0009 и 0.014 соответственно. При очень
высокой температуре вероятность протекания равна 0.018. Обычно 12% времени
вентиль используется при низкой температуре, 55% времени при средней, 20% при
высокой и 13% при очень высокой температуре. Если оказалось, что вентиль не
протекает, чему равна вероятность того, что он работает в условиях средней
температуры?
51
1.4 Формула полной вероятности. Формула Байеса (6)
Задачаg. Для сдачи зачета студентам необходимо подготовить 30 вопросов. Из 25 студентов
10 подготовили ответы на все вопросы, 8 – на 25 вопросов, 5 – на 20 вопросов и двое – на 15
вопросов. Вызванный наудачу студент ответил на поставленный ему вопрос. Найдите
вероятность того, что этот студент: а) подготовил все вопросы; б) подготовил только
половину вопросов.
Задачаg. На карточках написаны буквы, образующие слово «комбинаторика». Но две
карточки из этого набора утеряны. Остальные положили в коробку. Затем из коробки наугад
достали 1 карточку. Какова вероятность того, что на ней окажется гласная буква?
Задачаh. Руководитель группы не ошибается с вероятностью 0.95, остальные участники
группы – с вероятностью 0.9. В группе 10 человек и решение принимается большинством
голосов. Найти вероятность правильного принятия решения.
Задачаh. В коробке было 2 белых и 2 красных шара. 3 шара случайно потерялись. Какова
вероятность того, что в коробке остался красный шар?
Задачаh. Из урны, содержащей белые и черные шары (всего 4 штуки), наудачу вынуты 2
шара – белый и черный. Какой состав урны наиболее вероятен?
[g] Задачник-практикум по теории вероятностей с элементами комбинаторики и математической статистики. Н.Я. Виленкин, В.Г. Потапов.
[h] Практикум по теории вероятностей и математической статистике. Тверь 2001. Составители: Ю.К. Подставкин, С.Л. Попцов, Ю.С. Хохлов.
52
1.4 Формула полной вероятности. Формула Байеса (7)
Задачаh. (Задача о разорении) У игрока А – х рублей, а у игрока В – y рублей. А и В играют
друг с другом в игру. В каждой партии игры есть победить и проигравший. Проигравший
отдает 1 рубль сопернику. Какова вероятность разориться игроку А, если игроки
равносильные? А если нет?
Задачаh. Из коробки, содержащей 6 белых и 4 красных шара, случайно потеряли 3 шара
одного цвета. С какой вероятностью после этого из урны можно извлечь белый шар?
Задачаh. Остап Бендер достает очередной гарнитур из 12 стульев. Вероятность того, что в
этом гарнитуре спрятан клад, равна x. Клад с равной вероятность может быть в любом из
стульев. После вскрытия первых одиннадцати стульев клад не обнаружен. Какова
вероятность того, что он есть в двенадцатом стуле?
Задача. Туристы вышли из пункта О, выбирая наугад на разветвлении дорог один из
возможных путей. Какова вероятность того, что они попадут в пункт А?
53
1.5 Основные формулы комбинаторики (1)
Эксперимент: имеется 3 группы элементов. В 1-й группе — 10 элементов,
во 2-й группе — 20 элементов, в 3-1 группе — 30 элементов. Из каждой группы наугад
выбирают 1 элемент. Чему равно число способов N сделать этот выбор?
Ответ: N=10×20×30=6000.
Основная формула комбинаторики: N = n1 × n2 × n3 × … × nm.
Пусть имеется группа из n различных элементов.
Из этой группы выбираем m элементов.
Необходимо сосчитать число способов сделать этот
выбор. Если при выборе не учитывается порядок, то
выборка называется сочетанием из n элементов
по m (обозначается как Cnm ).
Как сосчитать число способов сделать этот выбор? Ответ: Cnm 
n!
m!(n  m)!
54
1.5 Основные формулы комбинаторики (2)
Пусть имеется группа из n различных элементов.
Из этой группы выбираем m элементов.
Необходимо сосчитать число способов сделать этот
выбор. Если при выборе учитывается порядок, то
выборка называется размещением из n элементов
m
по m (обозначается как An ).
Как сосчитать число способов сделать этот выбор?
m
Ответ: An  n(n  1)...(n  m  1) 
n!
(n  m)!
Если после выбора элемент возвращается в группу, то выборка называется выборкой с
возвращением, иначе — без возвращения.
Если рассматривается выборка без возвращения, то сочетание (размещение) называют
сочетанием (размещением) без повторений.
Если при выборе c возвращением учитывается
порядок, то выборка называется размещением из
n по m с повторениями. Как сосчитать число
способов сделать этот выбор? Ответ: n m
55
1.5 Основные формулы комбинаторики (3)
Если после выбора элемент возвращается в группу, то выборка называется выборкой с
возвращением, иначе — без возвращения.
Если при выборе c возвращением учитывается
порядок, то выборка называется размещением из
n по m с повторениями. Как сосчитать число
способов сделать этот выбор? Ответ: n m
Размещение без повторений из n элементов
по n называют перестановкой из n элементов
(обозначается как Pn ). Как сосчитать число
способов сделать этот выбор? Ответ: Pn  n!
56
1.5 Основные формулы комбинаторики (4)
Пример 36. Имеется 6 карточек, образующих слово «МАСТЕР». Они перемешаны и
сложены в ящик. Далее выбирают 4 карточки и выкладывают последовательно слева
направо.
1) Найти вероятность того, что в результате выбора будет слово «ТЕМА».
2) Найти вероятность того, что в результате будет слово, оканчивающееся на «А».
3) Найти вероятность того, что в результате будет слово, у которого 1 буква – «М», а
последняя - «А».
Решение: Используем классическое определение вероятности.
4
1) |Ω|= A6 . A={слово ТЕМА}. |A|=1. P(A)=1/30.
4
3
2) |Ω|= A6 . A={слово ***А}. |A|= A5 . P(A)=20/30.
2
4
3) |Ω|= A6 . A={слово Т**А}. |A|= A4 . P(A)=12/30.
Пример 37. К новому году четырем детям были приготовлены подарки. Дед мороз
вручил их случайным образом. Найти вероятность события А={каждый ребенок получил
свой подарок}.
Решение: Используем классическое определение вероятности.
|Ω|=P4. A={ каждый ребенок получил свой подарок }. |A|=1. P(A)=1/24.
Пример 38. Из урны, содержащей 10 пронумерованных шаров, наугад вынимают один за
другим все шары. Найти вероятность того, что номера будут идти по порядку.
Решение: Используем классическое определение вероятности.
|Ω|= P10. A={номера будут идти по порядку}. |A|=1. P(A)=1/3628800.
57
1.5 Основные формулы комбинаторики (5)
Пример 39. Имеется колода в 36 карт. Найти вероятность того, что в колоде все
четыре туза расположены рядом.
Решение: Используем классическое определение вероятности.
|Ω|= P36=36!. А={в колоде четыре туза расположены рядом }.|A|=33·4! 32!.
P(A)=1/1785.
4
Другой способ: |Ω|= C36
. |A|=33. P(A)=33/58905=1/1785.
Пример 40. Сейф открывается при наборе определенной комбинации из 4-х цифр от 0 до
9. Какова вероятность открыть сейф с первого раза, не зная комбинацию.
Решение: Используем классическое определение вероятности.
|Ω|=104=10000. А={определенные 4 цифры в определенной последовательности}.|A|=1.
P(A)=1/10000.
Пример 41. Батарея из 10 орудий ведет огонь по группе из 100 самолетов. Каждое
орудие выбирает себе цель случайно и независимо от других. Найти вероятность того,
что все 10 орудий будут стрелять по одной и той же цели.
Решение: |Ω|=10010. А={все 10 орудий будут стрелять по одной и той же цели}={выбран
один самолет}.|A|=100. P(A)=1/1009.
Пример 42. Батарея из 10 орудий ведет огонь по группе из 100 самолетов. Каждое
орудие выбирает себе цель случайно и независимо от других. Найти вероятность того,
что все 10 орудий будут стрелять по разным целям.
10
Решение: |Ω|=10010. А={все 10 орудий будут стрелять по разным целям}. |A|= A100.
P(A)=100!/(10010·90!).
58
1.5 Основные формулы комбинаторики.
Гипергеометрическая схема (6)
Эксперимент: Пусть имеется 20 шаров 2-х типов: 10 черных и 10 красных. Выбираем
случайным образом 5 шаров. Вероятность того, что среди выбранных окажутся 2 черных
и 3 красных определяется по формуле
C102 C103
5
C20
В общем случае схема применяется, когда имеется n элементов k типов (n1 – 1-ого
типа, n1 – 2-ого типа, …), случайным образом выбирается m элементов и нужно найти
вероятность того, что среди выбранных m элементов находится m1– 1-ого типа, m2 – 2ого типа, ... .
Cnm11 Cnm22 ...Cnmkk
Данная вероятность рассчитывается по формуле
Cnm
Пример 43. Из колоды в 36 карт случайным образом выбирается 10 карт. Найти
вероятность того, что среди выбранных карт будет 4 пики, 3 крести, 2 бубны, 1 червы.
Решение: А={среди выбранных будет 4 пики, 3 крести, 2 бубны, 1 червы }.
P(A)= C94·C93·C92·C91/ C3610.
Пример 44. В партии из 50 деталей имеется 10 дефектных. Для контроля выбривается 5
изделий. Найти вероятность того, что из них ровно 1 изделие – дефектное.
Решение: А={ровно 1 изделие – дефектное}. P(A)= C101·C404/ C505.
59
1.5 Основные формулы комбинаторики.
Гипергеометрическая схема (7)
Пример 45. Полная колода в 52 карты делится случайным образом на две пачки по 26
карт. Найти вероятности следующих событий: A={в каждой из пачек по 2 туза}, B={в одно
из пачек 0 тузов, в другой 4 туза}, C={в одной из пачек 1 туз, в другой 3 туза}
Решение: A={в каждой из пачек по 2 туза}={в одной пачке 2 туза}.
P(A)= C42·C4824/ C5226.
P(B)= 2·(C40·C4826/ C5226).
P(C)= 2·(C41·C4825/ C5226).
Задача 92. Пароль от учетной записи в Вконтаке состоит из 8 символов. В качестве
символа может быть одна из букв латинского алфавита или цифра (0-9). Чему равно
общее число возможных паролей? Чему равна вероятность угадать пароль с первого
раза, если все пароли равновозможные? Со второго?
Задача 93. Компания Nestle планирует вывести на рынок новый продукт, для
изготовления которого у нее есть 5 различных рецептов. Компания Nestle решила
сравнить рецепты путем их тестирования на группе потребителей. В процессе
тестирования, каждому участнику группы предлагается попробовать продукты,
изготовленные по каждому из 5 рецептов и оценить их вкус. Самому вкусному присвоить
номер 1, чуть менее вкусному – номер 2 и т.д. Чему равно общее способов оценить вкус
5 продуктов?
60
1.5 Основные формулы комбинаторики.
Гипергеометрическая схема (8)
Задача 94. И опять компания Nestle планирует вывести на рынок новый продукт, для
изготовления которого у нее есть уже 15 различных рецептов. Компания Nestle решила
сравнить рецепты путем их тестирования на группе потребителей. В процессе
тестирования, каждому участнику группы предлагается попробовать продукты,
изготовленные по каждому из 15 рецептов и выбрать 3 наиболее вкусные. Чему равно
общее число способов сделать выбор?
Задача 95. В коробке находятся 1500 микрочипов из которых 11 содержат дефект. Из
коробки наугад достают 3 микрочипа. Чему равно общее число способов сделать выбор?
Чему равна вероятность того, что все 3 микрочипа окажутся дефектными? 2 микрочипа
окажутся дефектными?
Задача 96. Из колоды в 52 карты наугад достают 4 карты (без возвращения). Чему равна
вероятность, что среди выбранных карт находит 2 вальта (jack) и 2 дамы (queen)?
Задача 97. Чему равно число различных способов рассадить 15 людей в одном ряду (15
мест) в кинотеатре? Чему равно число различных способов рассадить 15 людей за
круглым столом (15 мест) в ресторане (после кинотеатра)?
Задача 98. Из колоды в 52 карты наугад достают 5 карт без возвращения. Чему равно
число способов сделать этот выбор таким образом, чтобы среди 5 карт было 2 карты
красной масти и 3 карты черной масти?
61
1.5 Основные формулы комбинаторики.
Гипергеометрическая схема (9)
Задача 99. Сколько трехзначных чисел удовлетворяют следующим критериям: первая цифра
отлична от 0, две другие отличны от друг друга?
Задача 100. В коробке находится Х зеленых шаров, 3Х+6 красных шаров и 2 желтых шара.
Если в коробке нет шаров другого цвета, то чему равна вероятность того, что вынутый
наугад шар окажется зеленым или желтым?
Задача 101. В колоде карт остались 2 карты бубновой масти, две черви, две крести и две
пики. Из колоды наугад достают 2 карты. Чему равна вероятность того, что они обе не будут
бубновой масти?
Задача 102. В коробке находит 10 шаров из которых 3 красных и 7 синий. Из коробки наугад
достают 2 шара. Чему равна вероятность того, что, по крайней мере, один шар синий?
Задача 103. Сколько существует 5-тизначных чисел в которых первые две цифры – четные,
остальные нечетные и цифра на 4-м месте не встречается ни на каком другом месте в числе?
62
Литература
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
Задачи и упражнения по теории вероятностей. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. 5-е из
д., испр. - М.: Академия, 2003.— 448 с.
Теория вероятностей и ее инженерные приложения. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.
2-е изд., стер. - М.: Высшая школа, 2000.— 480 с.
Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статисти
ке.Гмурман В. Е. 9-е изд., стер.—М.: Высшая школа, 2004.— 404 с
Probability and Statistics for Engineers and Scientists. Anthony J. Hayter. Cengage Lea
rnig, 2012. 826p.
Applied Statistics and Probability for Engineers. 3-d edition. Douglas C. Montgomery,
George C. Runger. John Wiley & Sons.
Кокотушкин В.А. Расчётные задания по теории вероятностей и математической ст
атистике: Учебное пособие М.: Изд-во РУДН, 2005 (в библиотеке)
Пяткина Д.В. Учебно-методическое пособие по теории вероятностей и математиче
ской статистики для инженеров. 2012. (в библиотеке)
63