ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ

47
ИнВестРегион № 1 / 2011
МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ИННОВАЦИОННОЙ ЭКОНОМИКИ
УДК 338.2
ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ
ИННОВАЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ
В.И. Алферов
Докторант Воронежского государственного архитектурно-строительного университета,
alferov@vgasu.vrn.ru
В статье предложено оптимальное решение задачи календарного планирования,
когда все работы выполняются с постоянной интенсивностью и заканчиваются
одновременно.
Ключевые слова: задача, интенсивность, план, ресурс.
З
адачи календарного планирования в основном рассматриваются при предположении,
что времена перемещения ресурсов с работы
на работу малы по сравнению с продолжительностью работ. Однако во многих случаях времена перемещения ресурсов с продолжительностями работ и этого нельзя не учитывать.
Задачи календарного планирования рассматриваются, как правило, без учета времени перемещения ресурсов между работами. Постановка задач календарного планирования с учетом
времени перемещения ресурсов была сделана
В. Н. Бурковым еще в 60-х годах прошлого века
[1]. Однако до сих пор методы решения задач
с учетом времени перемещения ресурсов слабо
разработаны. Это, безусловно, объясняется комбинаторной сложностью их решения. Так, простейшая задача выполнения независимых работ
одной бригадой эквивалентна задаче «коммивояжера», которая относится к классу NP – трудных
задач, не имеющих эффективных алгоритмов
решения [5]. В статье делается постановка задачи календарного планирования с учетом времени перемещения ресурсов для случая независимых работ и рассматривается метод ее решения
для вогнутых зависимостей скоростей выполнения работ от количества ресурсов.
Имеется n независимых работ и ресурсы
в количестве N. Задана матрица α = | lij |, i=0,n,
j=1,n времен перемещения ресурсов между работами и времен перемещения ресурсов из пункта О их нахождения к пункту j выполнения
работы i. Заданы объемы работ Wi и зависимость fi (Ui) скорости выполнения работ от количества ресурсов U i, i=1,n . Определим граф
перемещений ресурсов (граф ПР [1]), состоящий
из (n + 2) вершин. Вершина О – это вход сети,
соответствующей N размещения ресурсов, вершины 1,n – соответствующей работам проекта,
вершина Z – выход соответствует пункту сбора
ресурсов после выполнения всех работ (рисунок). Длины дуг равны временам перемещения
ресурсов (числа без скобок). Времена перемещения ресурсов к пункту сбора Z не играют
роли, нас интересует время завершения всех
работ проекта.
Определим поток ресурсов величины N в графе ПР. Зная моменты прихода и ухода ресурсов
на каждой работе, можно вычислить продолжительность проекта.
Пример 1. Проект состоит из четырех работ:
i
1
2
3
4
Wi
15
6
20
12
Примем линейную зависимость скорости работ от количества ресурсов
Wi=Ui,i=1,n .
(1)
Пусть количество ресурсов N = 10. Возьмем
N ресурсов графа ПР (числа в скобках на ри-
сунке). Примем, что ресурсы не уходят с работы
до ее окончания. Определим моменты t 0i окончанием работ:
Работа 3: t n3 = 3, t 03 = 3+W3= 8.
4
Работа 2:
Работа 4:
t n2 = 2, t 02 = 2+W32= 4.
t n4 = 1, t 04 = 1+W34= 5.
Работа 1: в момент t H4 = t 02 +l21=5 приходит
3 единицы ресурсов, а в момент t 11 = t 04 +l41=6
приходят еще 3 единицы ресурсов.
Имеем
t 0 = t 1 +W1-3 = 8 .
1
1
6
Проект завершится через 8 единиц времени.
48
ИнВестРегион № 1 / 2011
МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ИННОВАЦИОННОЙ ЭКОНОМИКИ
Рисунок. Граф перемещения ресурсов
Задача. Определить поток ресурсов по графу
ПР, включая моменты прихода и ухода ресурсов
с каждой работы, так чтобы все работы были
выполнены и продолжительность проекта была
минимальной.
Пусть fi (Ui) – вогнутые функции Ui, i=1,n. Если
времена перемещений равны нулю, то в 1960‑х
годах В. Н. Бурковым были получены условия оптимальности распределения ресурсов [3]:
а) все работы заканчиваются одновременно;
б) все работы выполняются с постоянной интенсивностью.
Из этих условий следуют уравнения для определения минимальной продолжительности проекта Т:
i
Σ ni=1 φi ( W
Т )= N.
(2)
Покажем что условия (а) и (б) остаются справедливыми для оптимальности распределения
ресурсов и при учете времени их перемещения.
Теорема. В оптимальном решении задачи все
работы выполняются с постоянной интенсивностью и заканчиваются одновременно.
оремы. Предположим противное, что часть Δ ресурсов приходит из начального пункта на работу i, выполняет ее в течение времени τi, затем
переходит на работу j и выполняет ее в течение
времени τj. Общее время выполнения объемов
i и j равно
(3)
T = α0i +τi + lij + τj .
Рассмотрим другой вариант выполнения объемов работ τi fi (Δ) и τj fj (Δ). А именно, примем,
что ресурсы из начального пункта 0 направляются непосредственно на работы i и j. Для выполнения работы i в объеме τi fi (Δ) за время
Т требуются ресурсы в определенном количестве. Для выполнения работы j в объеме τj fj (Δ)
за время Т требуются ресурсы в количестве
U i = φi
τi fi(∆)
T-α0i
,
(4)
а для выполнения работы j в объеме τi fi (Δ)
за время Т – ресурсы в количестве
U j = φj
τj fj(∆)
T-α0j
.
(5)
Заметим, что Доказательство. Из условий теоремы следует, что в оптимальном решении отсутствует
перемещение ресурсов между работами. Действительно, если часть ресурсов с одной работы
i перемещается на другую j, то интенсивность
выполнения работы i и j изменяется, что противоречит условиям теоремы. Если же перемещается весь ресурс, то работа i завершается
раньше работы j, что противоречит условиям те-
T – α0i = τi + τj +lij > τi + τj ,
T – α0j = τi + τj +α0j +lij ≥ τi + τj ,
так как α0i +lij ≥ α0j .
Из (4), (5) имеем
fi (Ui) = τi fi(∆) < τi fi(∆)≤ f (α ∆) ,
i i
T-α0i
τi+τj
(6)
ИнВестРегион № 1 / 2011
МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ИННОВАЦИОННОЙ ЭКОНОМИКИ
fj (Uj) = τj fj(∆) < τj fj(∆)≤ f (α ∆) ,
j j
T-α0j
τi+τj
где,
,
αi = τi
τi+τj
αj = τj
τi+τj
(7)
.
Из (6), (7) следует, что Ui + Uj < αi∆ + αj∆ = ∆ .
Таким образом, те же объемы работ i и j могут быть выполнены меньшим количеством ресурсов без перемещения ресурсов с работы i
на работу j.
Отсюда следует, что в оптимальном календарном плане отсутствуют перемещения ресурсов
с работы на работу. Количество ресурсов, требуемое для выполнения i-й работы за время Т,
равно
Wi
T-α0i
U i = φi
.
(8)
Wi
=N.
T-α0i
(9)
Заметим, что при α0i уравнение (9) переходит
в уравнение (2).
Пример 2. Определим оптимальный календарный план для графа ПР (рисунок) с данными таблицы.
Вычислим уравнение (9)
15
6
20
12
+
+
+
= 10 .
T–2
T–2
T–3
T–1
Его решение Т ≈ 7,5,
U1 = 15/5,5 ≈ 2,7,
U2 = 6/5,5 ≈ 1,1,
U3 = 20/4,5 ≈ 4,4,
U4 = 12/6,5 ≈ 1,8.
(12)
Если Хij определены, то продолжительность
проекта определяется как минимальное Т, удовлетворяющее системе неравенств:
(
Σi φ i
xij
T-αij
) ≤ N ,j = 1,m .
j
(13)
{Xij , i = 1,n, j = 1,m} и Т,
удовлетворяющих ограничениям (12), (13) и минимизирующих Т.
Можно решать обратную задачу: при заданном Т определить
{Xij , i = 1,n, j = 1,m} и Nj ,j = 1,m
минимизирующие
Σi,j φi
x
(T-αijij )
(14)
при ограничении (12), которое распадается на n
независимых задач минимизации
x
(T-αijij )
(15)
Σi,j Xij = Wi .
(16)
при ограничении
Tm = Σi τi + mini α0i ,
τi =
Σi Xij = Wi,i = 1,n .
Σi φ i
Таким образом, для случая вогнутых зависимостей задач распределения ресурсов эффективно решается на основе уравнения (9). К сожалению, в случае вогнутых зависимостей это
не так. Если все lij = 0, то, как известно, оптимальный календарный план состоит в последовательном выполнении работ максимальным
количеством ресурсов. Минимальная продолжительность проекта определяется выражением
где
Если l ij велики (например, все l ij больше чем Т m ), то минимальная продолжительность проекта определяется уравнением (9).
Решения задачи в промежуточных случаях
неизвестны.
Пусть имеются несколько пунктов расположения ресурсов, причем в j-м пункте находятся
ресурсы в количестве N j (j=1,m) . Обозначим
αji – минимальное время перемещения ресурсов из пункта расположения j к пункты выполнения работы i, Хij – часть i-й работы, выполняемая ресурсами, расположенными в пункте j.
Очевидно
Задача заключается в определении
Минимальная продолжительность проекта определяется из уравнения
Σi φ i
49
Wi
.
fi (N)
(10)
(11)
Представленные в статье результаты позволяют определить оптимальное распределение
ресурсов при вогнутых зависимостях скорости
работ от количества ресурсов. Важно отметить,
что уравнение (9) является обобщением уравнения (2). Определение оптимального распределения ресурсов при вогнутых зависимостях
скорости работ от количества ресурсов является
NP-трудной задачей.
Одним из направлений в решении этой задачи является рассмотрение разрешимых частных
случаев, а другим – разработка эвристических
алгоритмов.
50
МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ИННОВАЦИОННОЙ ЭКОНОМИКИ
ИнВестРегион № 1 / 2011
ЛИТЕРАТУРА
1. Бурков В.Н. Сетевые модели и задачи управления / В.Н. Бурков [и др.]. – М. : Сов. радио,
1967. – 144 с.
2. Алферов В.И. Разработка графиков движения бригад по объектам строительства /
В.И. Алферов, С.А. Баркалов, Г.Д. Юшин // Вестн. Воронеж. гос. техн. ун-та. – 2009. – Т. 5,
№ 1. – С. 30–35.
3. Алферов В.И. Прикладные задачи управления строительными проектами / В.И. Алферов [и др.].
– Воронеж : Центр.-Чернозем. кн. изд-во, 2008. – 765 с.
4. Алферов В.И. Управление проектами в дорожном строительстве / В.И. Алферов, С.А. Баркалов,
П.Н. Курочка. – Воронеж : Научная книга, 2009 –340 с.
PROBLEMS OF OPTIMUM DISTRIBUTION OF RESOURCES
OF INNOVATIVE PROJECTS
V.I. Alfyorov
In article the optimum decision of a problem of scheduling when all works are carried
out with constant intensity is offered and come to an end simultaneously.
Key words: a problem, intensity, the plan, a resource.
ИННОВАЦИОННЫЙ ИНФОРМАЦИОННО-КОНСУЛЬТАЦИОННЫЙ ЦЕНТР
В 2004 году по инициативе и поддержке Департамента промышленности, транспорта, связи и инноваций Воронежской области в областной универсальной научной библиотеке им. И. С. Никитина
открылся Инновационный информационно-консультационный центр (ИИКЦ) Воронежской региональной общественной организации «Научно-техническое общество». Этот центр был создан с целью поддержки государственной инновационной политики, развития инновационной системы Воронежской
области, оказания помощи новаторам, ученым и специалистам, читателям областной библиотеки им.
Никитина в получении патентов и коммерциализации результатов научно-технической деятельности,
повышения эффективности использования естественнонаучной и технической литературы, патентного фонда библиотеки.
Основными задачами центра являются:
• помощь в оформлении заявок на изобретения, полезные модели, промышленные образцы,
в подготовке материалов на регистрацию обозначений и фирменных наименований в качестве товарных знаков, ведении переписки по заявкам с Федеральным институтом промышленной собственности;
• разъяснение отдельных положений и нормативных актов патентного законодательства;
• эффективная организация патентно-информационного обеспечения изобретательской и патентно-лицензионной работы в Воронежской области;
• участие в подготовке и оформлении лицензионных договоров о передаче различных видов объектов интеллектуальной собственности.
Инновационный информационно-консультационный центр проводит бесплатные консультации
по инновационным и патентно-правовым вопросам два раза в неделю: в среду с 17:00 до 19:00,
в субботу с 15:30 до 17:30. Работают в центре опытные патентоведы, директор ИИКЦ – Богоявленская Ида Георгиевна.
Приглашаем всех, кому нужна помощь по данным вопросам, посетить наш центр, который работает при секторе спецвидов технической документации библиотеки по адресу: пл. Ленина, д. 2,
комната 306. Контактный телефон: 255-45–72, http://www.vrnlib.ru.
Информация подготовлена заведующей отделом естественнонаучной
и технической литературы Ленченковой Еленой Николаевной.