А. Л. Ш т р а у с (Ульяновск, УлГУ). Задача оптимизации наблюдений временно ненаблюдаемых систем. В работе, представленной данным сообщением, рассматривается частично наблюдаемый случайный двумерный процесс, причем попеременно наблюдаются то первая, то вторая компоненты. За смену промежутков наблюдаемости отвечает пуассоновский процесс с заданной интенсивностью λ: каждый скачок пуассоновского процесса определяет переход к наблюдению следующей компоненты. Исходный процесс восстанавливается по наблюдениям, при этом получаем оценку частично наблюдаемого процесса и ошибку оценивания. Ставится задача оптимизации процедуры наблюдения в смысле минимизации частоты переключения промежутков наблюдения и одновременной минимизации ошибки оценивания. Введем вспомогательные процессы и обозначения: Xt = (Xt1 , Xt2 )T — частично наблюдаемый процесс, Yt = (Yt1 , Yt2 )T — наблюдения. Считаем, что Y1 периодически позволяет наблюдать X1 , Y2 периодически позволяет наблюдать X2 , но в различные промежутки времени. Запишем это P формально, вводя в рассмотрение пуассоновский λ процесс с интенсивностью λ: πtλ = ∞ i=1 I{t 6 τi }, где τi = inf{t: t > 0, πt = j} — λ моменты скачков процесса πt . Переключения R описываются R процессом телеграфного типа, порождаемым процессом πtλ : Nt = 1 − 0t Ns− dπsλ + 0t (1 − Ns− ) dπsλ . При этом 0 Nt ∈ {0, 1}. Обозначим Bt матрицу N0t 1−N управления наблюдениями. Процесt с Xt предполагается двумерным процессом Орнштейна–Уленбека, Yt — процессом, производные компонент которого в различные промежутки времени совпадают с компонентами процесса Xt . После регуляризации модели для осуществления процедуры классической фильтрации приходим к системе dXt = −Xt dt + dWt , dYtε = −Bt Xt dt + 1 dW t . ε Здесь Ytε — вспомогательный процесс, производная которого отличается от Yt наличием регуляризующей компоненты (1/ε)dW t , ε → ∞. Процессы πtλ , Wt , W t попарно независимы. Теперь можно перейти к построению оценки процесса Xt по схеe t = E (Xt |F Y,π ) — оценка частично наблюдаемого процесса, ме Калмана. Пусть X e t )(Xt − X e t )T — ошибка оценивания. γt = E (Xt − X Утверждение 1. Существует конечный limt→∞ {E Trγt }. Положим F (λ) = limt→∞ {E Trγt } + λ. Тогда задача минимизации частоты переключения промежутков наблюдения и одновременной минимизации ошибки оценивания принимает следующий вид: F (λ) → minλ , λ > 0. Утверждение 2. Существует λопт = arg minλ F (λ). Утверждение 3. Функция потерь F (λ) имеет следующий вид: s F (λ) = λ − λ + 1. λ+2 Функция F (λ) выпукла вверх и имеет единственный локальный минимум, который находится численно. Значение λ, доставляющее локальный минимум функции F (λ), и есть решение задачи оптимизации. Автор выражает благодарность А. А. Бутову за внимание к работе. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов (нелинейная фильтрация и смежные вопросы). M.: Наука, 1974, 696 с.