n - НГТУ им. Р.Е. Алексеева

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е. Алексеева»
Кафедра “Электроэнергетика, электроснабжение и силовая
электроника”
Составители: Флаксман Е.А., Гребенщиков В.И.
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА
Методические указания к выполнению расчетно-графической
работы №1
Приближение функций
Нижний Новгород 2015
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
В основе большинства численных методов математического анализа
лежит подмена одной функции f(x) (известной, неизвестной или частично
известной) другой функцией φ(х) , близкой к f(x) и обладающей такими
свойствами, что позволяют легко производить над нею те или иные
аналитические или вычислительные операции. Такая подмена называется
приближением или аппроксимацией функции f(x) функцией φ(х).
В качестве функций φ(х) будем использовать только многочлены или
функции, составленные из многочленов, так как Вычисления значений
многочлена легко автоматизировать, производная и интеграл от многочлена,
в свою очередь также являются многочленами, в таком случае говорится о
полиномиальной
или
кусочно-полиномиальной
аппроксимации
соответственно. Наряду с многочленами для аппроксимации используют
ряды Фурье, экспоненциальные и другие элементарные функции.
Задача о приближении функции ставится так: данную функцию y=f(x)
требуется заменить полиномом Pn(x) заданного порядка т так, чтобы
отклонение f(x) от Pn(x) на заданном множестве Х={х} было наименьшим.
Отклонение двух функций понимается здесь по-разному в зависимости
от различных типов решаемых задач теории приближений: интерполирование, среднеквадратичное приближение, равномерное приближение и так
далее.
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
Простейшим интерполяционным многочленом (полиномом) является
интерполяционный полином Лагранжа (1)
N
( x  x1 )  ( x  x j 1 )  ( x  x j 1 )  ( x  x N )
j 0
( x j  x1 )  ( x j  x j 1 )  ( x j  x j 1 )  ( x j  x N )
PN ( x)   y j
(1)
Это выражение представляют обычно в более компактной форме. Для
этого вводят вспомогательную функцию (2):
N
 n 1 ( x)  ( x  x0 )  ( x  x1 )... ( x  xn )   n 1 ( x  x j )
(2)
j 0
Тогда полином Лагранжа примет вид (3)
N
PN ( x)   y j 
j 0

n 1
( x)
( x  x j )   n 1 ( x j )
/
(3).
Для интерполяции характерно совпадение функции f(x) с функцией
φ(х) в
точках х0, х1 … хn , которые называются узлы
интерполяции f(x j ) = φ( х j)
j = 0,1, 2, ... n.
С геометрической точки зрения график функции Р(x) при
интерполировании должен проходить через все точки x0 , y0  , x1, y1  ,…, xn , yn  .
2
Подчеркнем, что для значений х, не являющихся узловыми, значения
функции Р(x) ничем не регламентированы, и в принципе могут значительно
отличаться от значений функции f(x).
В общем случае в точках, отличных от узлов интерполяции Rn(x) = f(x)Pn(x)  0. Эта разность и есть погрешность интерполяции, и называется
остаточным членом интерполяционного полинома.
Остаточный член интерполяции можно оценить теоретически в том
случае, если функция f(x) n+1 раз дифференцируема.
f ( n 1) ( x)   (4),
Если известна величина M n 1  xmax
a , b 
то оценить абсолютную погрешность интерполяционной формулы в
любой точке x* отрезка интерполяции a, b для случая аналитически заданной
M n 1
(5).
 n 1 ( x* )
(n  1)!
Пример. Используя таблицу значений функции y  f(x) , построить
функции f(x) можно с помощью неравенства Rn ( x* ) 
многочлен Лагранжа и вычислить значение погрешности интерполяции в
точке x*=0,8 для y  ln(x) и сравнить ее с оценкой (5).
i
x
y
0
0,1
-2,30259
1
0,5
-0,69315
2
0,9
-0,10536
3
1,3
0,26236
Искомый многочлен Лагранжа может быть записан в виде
( x  0,5)  ( x  0,9)  ( x  1,3)
( x  0,1)  ( x  0,9)  ( x  1,3)
 0,69315 

(0,1  0,5)  (0,1  0,9)  (0,1  1,3)
(0,5  0,1)  (0,5  0,9)  (0,5  1,3)
( x  0,1)  ( x  0,5)  ( x  1,3)
( x  0,1)  ( x  0,5)  ( x  0,9)
 0,10536 
 0,26236 

(0,9  0,1)  (0,9  0,5)  (0,9  1,3)
(1,3  0,1)  (1,3  0,5)  (1,3  0,9)
 5,99632  ( x  0,5)  ( x  0,9)  ( x  1,3)  5,41521  ( x  0,1)  ( x  0,9)  ( x  1,3) 
 0,82313  ( x  0,1)  ( x  0,5)  ( x  1,3)  0,68324  ( x  0,1)  ( x  0,5)  ( x  0,9)
P3 ( x)  2,30259 
Вычислим значение интерполяционного многочлена и точное значение
функции в точке x*=0,8:
P3 (0,8)  0,20036,
Фактическая
y(0,8)  0,22314.
погрешность
интерполяции
составляет
R 3 (0,8)  f (0,8)  P3 (0,8)  0,02278
Абсолютная погрешность метода интерполяции с помощью оценки (5)
составляет
6  0,8
 0,0105  0,0064 .
24
4
R 3 (0,8) 
Для аппроксимации функции часто применяется интерполяционный
полином Ньютона. Он строится как для не равноотстоящих узлов
интерполяции, так и для равноотстоящих.
Если узлы интерполяции не являются равноотстоящими, то может
применяться две формулы интерполяции Ньютона – интерполирование
3
“вперед” (6) и интерполирования “назад” (7), которые дают большую
точность в начале и в конце таблицы соответственно.
PN ( x)  y 0  ( x  x0 )  f ( x0 , x1 )  ( x  x0 )  ( x  x1 )  f ( x0 , x1 , x 2 ) 
...  ( x  x0 )  ( x  x1 )...(x  x N 1 )  f ( x0 , x1 ,..., x N 1 )
(6)
PN 1 ( x)  y N  ( x  x N )  f ( x N , x N 1 )  ( x  x N )  ( x  x N 1 )  f ( x N , x N 1 , x N  2 )  ...
(7)
 ( x  x N ) x  x N 1    x  x N 1   ...  x  x1   f  x N , x N 1 ,...,x0 
Где f ( x0 , x1 ) 
y1  y 0
x1  x0
f ( x n 1 , x n ) 
y n  y n 1
(8)
x n  x n 1
разделенные разности первого порядка,
f ( x0 , x1 , x 2 ) 
f ( x1 , x 2 )  f ( x0 , x1 )
x 2  x0
f ( x n 2 , x N 1 , x N ) 
f ( x N 1 , x N )  f ( x N 2 , x N 1 )
(9)
x N  x N 2
разделенные разности второго порядка определяются через разности
первого порядка, в общем случае разности n порядка вычисляются по
формуле,
f ( x j 1 , x j ,..., x j n ) 
f ( x j , x j 1 ,..., x j n )  f ( x j 1 , x j ..., x j n1 )
x j  n  x j 1
(10)
разность N-1 порядка.
f ( x j 1 , x j ,..., x j n ) 
f ( x j , x j 1 ,..., x j n )  f ( x j 1 , x j ..., x j n1 )
x j  n  x j 1
(11)
Разделённые разности обычно располагаются в специальной таблице,
которая строится по следующей схеме.
x0 y0
f(x0,x1)
x1 y1
f(x0,x1,x2)
f(x1,x2)
f(x0,x1,x2,x3)
x2 y2
f(x1,x2,x3)
f(x0,x1,x2,x3,x4)
f(x2,x3)
f(x1,x2,x3,x4)
x3 y3
f(x2,x3,x4)
f(x3,x4)
x4 y4
Остаточный член интерполяционной формулы Ньютона равен:
RN ( x) 
N
M n 1
 (x  x j )
( N  1)! j  0
(12)
Если все узлы интерполяции являются равноотстоящими, то шаг таблицы
h  x j 1  x j ,
h – шаг интерполяции, то при построении интерполяционного полинома
Ньютона можно использовать таблицу разностей:
4
x0 y0
∆y0
x1 y1 ∆y12
∆y1
x2 y2 ………………….∆y1N-1
……………
∆yn-1
xn yn
где ∆yki=∆yk+1i-1-∆yki-1
а интерполяционные формулы Ньютона “вперед” и “назад” соответственно
(13) и (14)
y0
2 y0
N y1
PN ( x)  y0 
 ( x  x0 ) 
 ( x  x0 )  ( x  x1 )  ... 
 ( x  x0 )  ... ( x  x N 1 ) (13)
h
2!h 2
N!h N
y N 1
2 y N  2
N y 0
 (x  xN ) 

(
x

x
)(
x

x
)

...

 (x  xN )
N
N 1
h
2!h 2
N !h N
 ( x  x N 1 )  ... ( x  x1 )
PN ( x)  y N 
(14)
При равноотстоящих узлах погрешность определяется следующим
образом:
RN ( x) 
N
n 1 y

(x  x j )
h n 1  (n  1)! j  0
(15), что по сути одно и тоже с (12).
Пример. Используя таблицу значений функции y  f(x) , построить
многочлен Ньютона. Вычислить погрешность интерполяции в точке x*=1,5
для функции y  sin(
i
x
y
0
0,0
0,0
1
1,0
0,5
 x
6
2
2,0
0,86603
) и сравнить ее с оценкой (12).
3
3,0
1,0
Определив конечные разности, запишем искомый полином Ньютона
“вперед” согласно формуле (6):
P3 ( x)  0,5 x  0,06699 x( x  1,0)  0,01635 x( x  1,0)( x  2,0)
Вычислим значение интерполяционного многочлена и точное значение
функции в точке x*=1,5:
P3 (1,5)  0,70589,
Фактическая
y(1,5)  0,70711.
погрешность
интерполяции
составляет
R 3 (1,5)  f (1,5)  P3 (1,5)  0,00122
Абсолютная погрешность метода интерполяции с помощью оценки
(12) составляет
R 3 (1,5)  (0,0751 / 24)  0,5625  0,0017 .
5
Интерполяция с помощью сплайн-функций. Слово “сплайн” переводится
как “гибкая линейка”. Такую линейку можно использовать для проведения
кривых через заданную совокупность точек, изгибая и придерживая ее так,
чтобы ребро проходило через все точки на плоскости. Равновесие гибкой
линейки описывается уравнением  //// ( x)  0 , т.е. интерполяционный полином
на участке между каждой парой соседних точек имеет третью степень:
 ( x)  ai  bi ( x  xi 1 )  ci ( x  xi 1 ) 2  di ( x  xi 1 )3 ,
(16)
xi 1  ÷  xi ,0  i  N .
Коэффициенты a,b,c,d определяются следующим образом: сначала
определяем коэффициенты ci , причем
c1  0,
hi 1ci 1  2(hi 1  hi )ci  hi ci 1  3(
yi  yi 1 yi 1  yi  2

),
hi
hi 1
c N 1  0 .
где шаг интерполяции
2  i  N 1
(17)
hi  xi  xi 1 , 1  i  N
После нахождения коэффициентов
определяют по следующим формулам:
a i  y i 1 , 1  i  N , (19)
(18)
ci остальные коэффициенты
y i  y i 1
c  2ci
 hi i 1
, 1  i  N 1 ,
hi
3
y  y N 1
2c
bN  N
 hN N ,
(20)
hN
3
c c
d i  i 1 i , 1  i  N  1 ,
3hi
c
dN   N .
(21)
3hN
bi 
Пример. Построить кубический сплайн для функции, заданной в узлах
интерполяции, полагая, что f (0)  f (3)  0 и вычислить значение функции
f(2,5).
Составим таблицу экспериментальных данных и по формулам (17)-(21)
определим aj, bj, cj, dj.
j
1
2
3
4
xj
0
1
2
3
yj
0
1
1
3
hj-1
1
1
1
aj-1
1
1
3
bj-1
1,25
0,5
2
cj-1
0
-0,75
0
dj-1
-0,25
0,25
0
Согласно данным таблицы:
0  x 1
P( x)  1  1,25 x  0,25 x 3
1 x  2
2 x3
P( x)  1  1,5( x  1)  0,75( x  1) 2  0,25( x  1) 3
P( x)  3  2( x  2)
6
Вычислим значение функции f(2,5). Точка x=2,5 принадлежит отрезку
2  x  3 , получаем f (2,5)  4 .
СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
При интерполировании функции строят некоторую новую функцию,
совпадающую с заданной в фиксированных узлах. В ряде случаев
целесообразно приближать функции не по точкам, а в среднем, например,
когда необходимо иметь аналитическую зависимость для широкого
диапазона значений аргумента, а не только в окрестности.
Для функции yj =f(xj), j=0,1...N и многочлена вида
 n ( x)  a0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n , где i  0,1,...n  N условием наилучшего
среднеквадратичного приближения является:
N
S   [ y ( x j )   n ( x j )]2  min .
(22)
j 0
Минимума S можно добиться только за счет изменения коэффициентов
многочлена  (x)
N
S
 n

 2  ai  x ij  y j   x kj  0 ,
a k
j 0  i 0

Условия экстремума имеют вид:
k  0,1,...n (23)
Эту систему для удобства преобразуют к виду
n
N
N
i 0
j 0
j 0
 ai  x kj i   y j  x kj ,
k  0,1,...n
(24)
Система (24) называется нормальной системой метода наименьших
квадратов (МНК) и представляет собой систему линейных алгебраических
уравнений относительно коэффициентов a i . Решив систему, построим
многочлен n ( x) , приближающий функцию f(x) и минимизирующий
квадратичное отклонение.
Пример. Для таблично заданной функции с помощью МНК найти
приближающие многочлены первой и второй степени. Для каждого из
приближающих многочленов вычислить сумму квадратов ошибок.
i
x
y
0
0,0
0,0
1
1,7
1,3038
2
3,4
1,8439
3
5,1
2,2583
4
6,8
2,6077
5
8,5
2,9155
Найдем приближающий многочлен первой степени P1 ( x)  a0  a1  x .
Для нахождения неизвестных коэффициентов составим систему уравнений:
6a0  25,5a1  10,9292

25,5a0  158,95a1  62,517
7
Решив систему получим a 0  0,4713, a1  0,3177.
Таким образом найден приближающий многочлен первой степени
P1 ( x)  0,4713  0,3177  x
5
Сумма квадратов ошибок составляет S   P1 ( xi )  yi 2  0,4872 .
i 0
Найдем
приближающий
многочлен
второй
степени
2
P2 ( x)  a 0  a1  x  a 2  x . Для нахождения неизвестных коэффициентов
запишем систему уравнений:
6a0  25,5a1  158,95a 2  10,9292

25,5a0  158,95a1  1105,43a 2  62,517
158,95a  1105,43a  8176,71a  415,045
0
1
2

Решив данную систему, найдем a 0  0,1295, a1  0,6193 a2  0,0355.
Таким образом, сформирован приближающий многочлен второй
степени P2 ( x)  0,1295  0,6193  x  0,0355  x 2 .
5
Сумма квадратов ошибок составляет S   P2 ( xi )  yi 2  0,0946
i 0
Варианты заданий к расчетно-графической работе.
Задание 1. По заданной таблице значений функции составить формулу
интерполяционного многочлена Лагранжа. Построить его график и отметить
на нем узловые точки Aj(xj,yj), j=0,1,2,3. Это же задание выполнить с
помощью инструментальных программных средств.
Таблица 1
Вариант x0
1
-1
2
2
3
0
4
7
5
-3
6
1
7
-1
8
2
9
-4
10
-1
x1
0
3
2
9
-1
2
-1
4
-2
1,5
x2
3
5
3
13
3
4
2
5
0
3
x3
4
6
5
15
5
7
4
7
3
5
y0
-3
4
-1
2
7
-3
4
9
2
4
y1
5
1
-4
-2
-1
-7
9
-3
8
-7
y2
2
7
2
3
4
2
1
6
5
1
y3
-6
2
-8
-4
-6
8
6
-2
10
-8
Вариант
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
x0
2
-9
0
-8
-7
1
7
-4
-3
0
x1
4
-7
1
-5
-5
4
8
0
-1
3
x2
7
-4
4
0
-4
9
10
2
1
8
x3
8
-1
6
2
-1
11
13
5
3
11
y0
-1
3
7
9
4
-2
6
4
11
1
y1
-6
-3
-1
-2
-4
9
-2
8
-1
5
y2
3
4
8
4
5
3
7
-2
6
-4
y3
12
-9
2
6
10
-7
-10
-9
-2
-8
Задание 2. Вычислить с помощью калькулятора одно значение
заданной функции для промежуточного значения аргумента с помощью
интерполяционного многочлена Лагранжа и оценить погрешность
интерполяции. Этот же результат получить с применением математических
пакетов.
Сравнить результат интерполирования со значением функции,
вычисленным по ее аналитическому выражению, заданному в таблице.
Таблица 2
8
Вариант f(x)
1
f(x)=1/x *lg x +x2
x
Вариант f(x)
3,8 11
f(x)=2,1 sin 0,37x
x
4,1
2
f(x)=ln2,3x – 0,8/x
3,5 12
f(x)=1,7
3
f(x)=2,1 sin 0,37x
0,5 13
f(x)=1/x *lg x +x2
4,4
4
f(x)=1,7
f(x)=ln2,3x – 0,8/x
2,5
5
f(x)=1/x *lg x +x2
4,1 15
f(x)=2,1 sin 0,37x
5,2
6
f(x)=ln2,3x – 0,8/x
3,9 16
f(x)=1,7
7
f(x)=2,1 sin 0,37x
3,3 17
f(x)=1/x *lg x +x2
0,4
8
f(x)=1,7
f(x)=ln2,3x – 0,8/x
3,7
9
f(x)=1/x *lg x +x2
2,9 19
f(x)=2,1 sin 0,37x
7,5
10
f(x)=ln2,3x – 0,8/x
5,3 20
f(x)=1,7
3
3
x - cos (0,4-0,7x) 4,8 14
x - cos (0,4-0,7x) 4,0 18
3
3
3
x - cos (0,4-0,7x) 7,6
x - cos (0,4-0,7x) 6,8
x - cos (0,4-0,7x) 8,6
Функции f(x) заданы в таблицах узловых значений – табл.3,4,5,6.
Таблица 3
x
f(x)=1/x *lg x +x2
4,5
6,1
7,7
8,5
20,3952
37,3387
59,4051
72,3593
Таблица 5
x
f(x)=2,1 sin 0,37x
2,8
4,0
6,4
7,6
1,8068
2,0913
1,4673
0,6797
Таблица 4
x
f(x)=ln2,3x – 0,8/x
4,7
5,4
6,8
7,5
2,2103
2,3712
2,6322
2,7411
Таблица 6
x
f(x)=1,7
6,1 3,8524
7,5 3,1905
8,2 2,8409
9,6 2,6137
3
x - cos (0,4-0,7x)
Задание 3. Для функции, заданной таблицей узловых значений
(таблица 1), вычислить коэффициенты и составить формулы кубического
сплайна. Результат интерполирования проверить путем вычисления значений
сплайна в узловых точках. Построить график кубического сплайна и
отобразить на нем узловые точки с помощью одного из инструментальных
программных средств.
Задание 4. По заданной таблице значений функции (таблица 7)
составить таблицу разделенных разностей и формулы интерполяционного
многочлена Ньютона («вперед» и «назад»). Вычислить с помощью
9
калькулятора два значения заданной функции в точках x=(x2+x3)/2 с
помощью интерполяционных многочленов Ньютона и оценить погрешность
интерполяции. С помощью инструментальных программных средств
построить графики и отметить на них узловые точки.
Таблица 7
Вариант Таблица
1
8
2
9
3
10
4
11
5
8
6
9
7
10
8
11
9
8
10
9
Таблица 8
x
sin x
0,60 0,56464
0,65 0,60519
0,70 0,64422
0,75 0,68164
0,80 0,71736
Вариант
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Таблица
10
11
8
9
10
11
8
9
10
11
Таблица 9
x
cos x
0,05 0,99375
0,10 0,99500
0,15 0,99877
0,20 0,98007
0,25 0,96891
Таблица 10
x
sin x
1,10 0,89121
1,15 0,91276
1,20 0,93204
1,25 0,94898
1,30 0,96356
Таблица 11
x
cos x
1,00 0,54090
1,05 0,49757
1,10 0,45360
1,15 0,40849
1,20 0,36236
Задание 5. По заданной таблице значений x и y (таблица 12) построить
методом наименьших квадратов две различные эмпирические формулы и
сравнить качество полученных приближений. Задание выполнить двумя
способами: с помощью ручных расчетов на калькуляторе и с помощью
инструментального средства.
Таблица 12
1 x 1,73
y 0,63
2 x -1,33
y 2,25
3 x 1,00
y 0,28
4 x 1,20
y 2,59
5 x 1,10
y 1,73
6 x 1,74
y 0,66
7 x 1,92
y 1,48
8 x 1,28
y 2,10
9 x -4,84
2,56
1,11
-3,84
2,83
1,64
0,19
1,57
2,06
1,74
2,98
2,32
0,45
2,84
2,69
1,76
2,62
-4,30
3,39
1,42
-3,23
3,44
2,28
0,15
1,94
1,58
2,38
3,53
2,90
0,36
3,76
4,07
2,24
3,21
-3,76
4,22
1,94
-2,76
4,31
2,91
0,11
3,31
1,25
3,02
3,89
3,48
0,33
4,68
5,67
2,72
3,98
-3,22
5,05
2,30
-2,22
5,29
3,56
0,09
2,68
0,91
3,66
4,01
4,06
0,30
5,60
7,42
3,20
4,98
-2,68
5,87
2,89
-1,67
6,55
4,19
0,08
3,05
0,66
4,30
4,25
4,64
0,29
6,52
9,35
3,68
6,06
-2,14
6,70
3,29
-1,13
8,01
4,84
0,07
3,42
0,38
4,94
4,32
5,22
0,28
7,44
11,36
4,16
7,47
-1,60
7,53
3,87
-0,60
10,04
5,48
0,06
3,79
0,21
5,18
4,38
5,80
0,27
8,36
13,54
4,64
9,25
-1,06
10
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
-0,09
0,68
-2,16
2,4
4,03
1,16
0,18
1,00
12,49
-0,64
29,51
-2,45
0,87
1,54
-2,52
1,2
-10,85
-1,04
10,80
0,41
0,45
0,80
9,22
-0,11
1,13
-1,69
2,91
3,10
1,88
0,26
1,71
4,76
-0,36
18,86
-1,94
1,19
1,91
-3,08
2,0
-6,15
-0,67
8,08
0,97
1,17
1,51
6,35
-0,13
1,58
-1,36
3,42
2,44
2,60
0,32
2,42
2,55
-0,08
12,05
-1,43
1,68
2,28
-3,54
2,8
-4,14
-0,30
5,97
1,53
1,56
2,22
5,31
-0,16
2,03
-1,12
3,93
1,96
3,32
0,36
3,13
1,60
0,20
7,70
-0,92
2,23
2,65
-3,93
3,6
-3,02
0,07
4,44
2,09
1,82
2,93
4,77
-0,19
2,48
-0,95
4,44
1,58
4,04
0,40
3,84
1,11
0,48
4,92
-0,41
3,04
3,02
-4,27
4,4
-2,30
0,44
3,31
2,65
2,02
3,64
4,45
-0,26
2,93
-0,75
4,95
1,29
4,76
0,43
4,55
0,82
0,76
3,14
0,10
4,15
3,39
-4,57
5,2
-1,81
0,81
2,46
3,21
2,18
4,35
4,23
-0,39
3,33
-0,65
5,46
1,04
5,48
0,46
5,26
0,63
1,04
2,01
0,61
5,66
3,76
-4,84
6,0
-1,45
1,18
1,83
3,77
2,31
5,06
4,07
-0,81
3,83
-0,52
5,97
0,85
6,20
0,48
5,97
0,50
1,32
1,28
1,12
7,72
4,13
-5,09
6,8
-1,17
1,55
1,36
4,33
2,44
5,77
3,44
Контрольные вопросы.
1. В каких случаях может потребоваться аппроксимация функции?
2. Какими критериями пользуются для определения «близости» функций?
3. На чем основывается доказательство существования и единственности
интерполяционного многочлена для таблично заданной функции?
4. В какой форме строится интерполяционный многочлен Лагранжа?
5. Как находятся конечные разности различных порядков через значения
функции в узловых точках?
6. Почему
интерполяционную
формулу
Ньютона
«вперед»
нецелесообразно применять в конце отрезка интерполирования, а
«назад» – в начале отрезка интерполирования?
7. Как производится оценка погрешности метода интерполяции при
аналитическом и табличном задании функции?
8. Каким образом можно минимизировать погрешность многочленной
интерполяции?
9. Как формулируется задача обратного интерполирования?
10. Какой недостаток «кусочного» интерполирования с помощью
многочленов Лагранжа и Ньютона устраняется при интерполировании
сплайнами?
11. Что означает сходимость и расходимость интерполяционного
процесса?
12. В чем суть приближения таблично заданной функции по методу
наименьших квадратов?
11
13. Чем метод наименьших квадратов отличается от метода
интерполяции?
14. Какие элементарные функции чаще всего используются в качестве
приближающих?
15. Как можно определить вид приближающей функции?
16. Какое из двух приближений одной и той же таблично заданной
зависимости считается лучшей?
Библиографический список.
1. Численные методы. Сборник задач: учеб.пособие для вузов/ В.Ю.
Гидаспов, И.Э. Иванов, Д.Л. Ревизников и др.; под ред. У.Г. Пирумова.
–М.: Дрофа, 2007.
2. Численные методы: учебное пособие для студентов высш, учеб,
заведений/М.П. Лапчик, М.И. Рагулина, Е.К. Хеннер; под ред. М.П.
Лапчика. – 4-е изд., стер.-М.: Издательский центр “Академия”, 2008.
3. Волков Е.А. Численные методы: Учебное пособие. 4-е изд., стер.-СПб.:
Издательство“Лань”, 2007.
12