ЧАСТЬ 2 АКСИАМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Лекция 2 ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННАЯ ТРАКТОВКА ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ИХ СЛЕДСТВИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: познакомить с элементарными сведениями из теории множеств; сформулировать аксиомы теории вероятностей, их следствия и правило сложения вероятностей. Элементарные сведения из теории множеств Множеством называется любая совокупность объектов произвольной природы, каждый из которых называется элементом множества. Примеры множеств: множество студентов на лекции; множество точек на плоскости, лежащих внутри круга радиуса r; множество точек на числовой оси, расстояние от которых до точки b с абсциссой а не превышает d; множество натуральных чисел. Множества обозначаются по-разному. Множество M натуральных чисел от 1 до 100 может быть записано как M {1, 2, , 100} {i целое; 1 i 100} {i 1, 2, , 100} . Множество точек на числовой оси, расстояние от которых до точки b с абсциссой а не превышает d, можно записать в виде S {x a d } или S {x : x a d} , где x – абсцисса точки. Множество точек плоскости, лежащих внутри или на границе круга радиуса r с центром в начале координат, 11 C {x 2 y2 r 2 } или C {( x, y ) : x 2 y2 r 2} , где x, y – декартовы координаты точки. Еще одна запись этого множества C { r} , где – одна из полярных координат точки. По числу элементов множества делятся на конечные и бесконечные. Множество M {1, 2, , 100} конечно и состоит из 100 элементов. Но множество может состоять и из одного элемента и даже вообще не содержать элементов. Множество всех натуральных чисел N1 {1, 2, , n, } бесконечно, также как бесконечно множество четных чисел N2 {2, 4, , 2n, } . Бесконечное множество называется счетным, если все его элементы можно расположить в какой-то последовательности и пронумеровать (оба множества, N1 и N 2 , являются счетными). Множества S и C бесконечны и несчетны (их элементы нельзя пронумеровать). Два множества A и B совпадают, если они состоят из одних и тех же элементов: {1, 4} и {4, 1} . Совпадение множеств обозначается знаком равенства: А=В. Запись a A обозначает, что объект а является элементом множества А или "а принадлежит А". Другая запись a A означает , что "а не принадлежит А". Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом . Множество В называется подмножеством (частью) множества А, если все элементы В содержатся и в А, и обозначается как B A или A B . Например, {1, 2, 3} {1, 2, , 100} . Подмножество может быть равно самому множеству. Графически можно изобразить соотношение множества и подмножества, как показано на рис. 2.1, где каждая точка фигуры В принадлежит и фигуре А, т. е. B A. Объединением (суммой) множеств А и В называется множество C A B A B , состоящее из всех элементов А и всех элементов В. Таким образом, объединение – это совокупность элементов, принадлежащих хотя бы одному из объединяемых множеств. Например: {1, 2, , 100} {50, 51, , 200} {1, 2, , 200} . 12 Геометрическая интерпретация объединения двух множеств А и В показана на рис. 2.2. A A B B А+B Рис. 2.1. Множество А и подмножество В Рис. 2.2. Объединение двух множеств Аналогично определяется объединение (сумма) нескольких множеств n A1 A2 An Ai , i 1 где результирующее множество есть множество всех элементов, входящих хотя бы в одно из множеств: A1 , A2 ,, An . Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество D, состоящее из элементов, входящих одновременно и в А, и в B : D A B A B AB . A Геометрическая интерпретация пересечения представлена на рис. 2.3. Аналогично определяется пересечение нескольких множеств n A1 A2 An B АB Рис. 2.3. Пересечение двух множеств Ai i 1 как множество, состоящее из элементов, входящих одновременно во все множества. Операции объединения (сложения) и пересечения (умножения) множеств обладают рядом свойств, которые аналогичны свойствам сложения и умножения чисел: 1. Переместительное свойство: A B B A, AB BA . 2. Сочетательное свойство: ( A B) C A ( B C ) , ( AB )C 13 A( BC ) . 3. Распределительное свойство: A( B C ) AB AC . Прибавление пустого множества и умножение на пустое множество аналогичны соответствующим операциям над числами, если считать нуль за пустое множество: A A, A . Некоторые операции над множествами не имеют аналогов в обычных операциях над числами, в частности A A A, A A A. Аксиомы теории вероятностей и их следствия. Правила сложения вероятностей Пользуясь элементарными сведениями по теории множеств, можно дать теоретико-множественную схему построения теории вероятностей и ее аксиоматику. При опыте со случайным исходом имеется множество всех возможных исходов опыта. Каждый элемент этого множества называют элементарным событием, само множество – пространством элементарных событий. Любое событие А в теоретико-множественной трактовке есть некоторое подмножество множества : A . Если же в свою очередь множество А распадается на несколько непересекающихся подмножеств A A1 A2 An ( Ai A j при i j ), то события A1, A2 ,, An называют "вариантами" события А. На рис. 2.4 событие А распадается на три варианта: A1, A2 , A3 . Например, при бросании игральной кости пространство элемен{1, 2, 3, 4, 5, 6} . Если событие A {выпадение тарных событий четного числа очков} {2, 4, 6} , то варианты события А : A2 {4}; A3 {6} , т. е. A A1 A2 A3 . 14 A1 {2}; Подмножеством множества можА но рассматривать и само – оно будет в этом случае достоверным событием. Ко А 1 А 2 А3 всему пространству элементарных событий добавляется еще и пустое множество ; это множество рассматривается тоже Рис. 2.4. Три варианта события А как событие, но невозможное. Теоретико-множественное толкование ранее рассмотренных свойств событий сводится к следующему: 1. Несколько событий A1, A2 ,, An образуют полную группу, если n Ai , т. е. их сумма (объединение) есть достоверное событие. i 1 2. Два события А и В называются несовместными, если соответствующие им множества не пересекаются, т. е. AB . Несколько событий A1, A2 ,, An называются попарно несовместными, если появление любого из них исключает появление каждого из остальных: Ai A j при i j. 3. Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в выполнении события А или события В, или обоих событий вместе. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в выполнении хотя бы одного из них. 4. Произведением двух событий А и В называется событие D, состоящее в совместном выполнении события А и события В. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном выполнении всех этих событий. 5. Противоположным по отношению к событию А называется событие A , состоящее в непоявлении А и соответственно дополняющее событие А до (см. рис. 2.5). На основе изложенного толкования событий как множеств формулируются A аксиомы теории вероятностей. Каждому событию А ставится в соответствие некоторое число, называемое веА роятностью события P ( A) . Поскольку любое событие есть множество, то вероятРис. 2.5. Событие А и противоность события есть функция множества. положное событие A 15 Эти вероятности событий должны удовлетворять следующим аксиомам: 1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей: 0 P(A) 1 . 2. Если А и В – несовместные события, т. е. AB P( A B) , то P( A) P( B) . Эта аксиома легко обобщается с помощью сочетательного свойства сложения на любое число событий. Если Ai A j при i j , то n P( n Ai ) P( Ai ) , i 1 (2.1) i 1 т. е. вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Эту аксиому называют "теоремой" сложения (для схемы случаев она может быть доказана), или правилом сложения вероятностей. 3 . Е сл и и м еется сч етн о е м н о жество н есо вм естн ых со бы ти й при i j ), то A1, A2 ,, An , ( Ai A j P( Ai ) P( Ai ) . i 1 i 1 Эта аксиома не выводится из предыдущей аксиомы и поэтому формулируется как отдельная. Для схемы случаев (схемы урн), т. е. для событий, обладающих свойствами полноты, несовместности и равновозможности, можно вывести классическую формулу (1.1) для непосредственного подсчета вероятностей из правила сложения (2.1). Пусть результаты опыта представляются в виде n несовместных случаев A1, A2 ,, An . Случай Ai благоприятен событию А, если он представляет подмножество А ( Ai A ), или, иначе говоря, это вариант собы- тия А. Так как A1, A2 ,, An образуют полную группу, то n Ai . i 1 16 Но все случаи A1, A2 ,, An несовместны, и к ним применимо правило сложения вероятностей n P( n Ai ) P( Ai ) i 1 P( ) 1 . i 1 Кроме этого, так как все события A1, A2 ,, An равновозможны, то P( A1 ) P( A2 ) P( An ) 1 . n Благоприятные событию случаи образуют m A его вариантов, и так как вероятность каждого из них равна 1 n , то по правилу сложения получаем P( A) 1 1 1 n n n mA . n mA Но это и есть классическая формула (1.1). Следствия правила сложения вероятностей 1. Сумма вероятностей полной группы несовместных событий равна единице, т. е. если n Ai ; Ai A j при i j, i 1 то n P( Ai ) 1 . i 1 Доказательство. Так как события A1, A2 ,, An несовместны, то к ним применимо правило сложения n n P( Ai ) i 1 P( Ai ) P( ) 1 . i 1 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: P( A) P( A ) 1 , так как события А и A образуют полную группу. Правило широко используется в задачах, когда проще вычислить вероятность противоположного события. 17 3. Если события А и В совместны, т. е. AB P( A B) P( A) P( B) P( AB ) . В AB АВ , то AB (2.2) Доказательство. Представим A B как сумму несовместных (непересекающихся) вариантов (см. рис. 2.6) A B { A, но не B} {B, но не A} А Рис. 2.6. Сумма двух совместных событий { AB} AB BA AB . По правилу сложения P( A B) P( AB ) P( BA ) P( AB) . (2.3) Но A B AB BA AB, P( A) P( AB ) P( AB) , AB, P( B) P( BA ) P( AB) , откуда получаем P( AB ) P( A) P( AB), P( BA ) P( B) P( AB). После подстановки полученных выражений в (2.3) имеем P( A B) P( A) P( AB ) P( A) P( B) P( AB ) P( AB ) P( B) P( AB ), что и требовалось доказать. Формулу (2.3) можно вывести и для более чем двух совместных событий.