НАУЧНЫ Е ВЕДО М ОСТИ Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 111 2012. №7 (126). Выпуск 22/1 УДК 004 ОБНАРУЖЕНИЕ И ИСПРАВЛЕНИЕ ОШИБОК ПРИ УМНОЖЕНИИ ЧИСЕЛ Н.И. КОРСУНОВ А.А. НАЧЕТОВ А. В. ГЛУШАК Б елгородский государст венн ы й национальны й и сследоват ельски й у ниверсит ет В статье рассматривается метод функционального контроля и коррекции ошибки умножения чисел путем приведения ошибки умножения к отклонению одного из входных операндов. Ключевые слова: обнаружение ошибки, коррекция ошибки, отклонение операнда. e-m ail: korsunov@ intbel.ru e-m ail: aleksandr@ n achetov.org.u a П ри ф ункционировании процессоров, связанны х с обработкой сигналов наиболее часто используемой операцией является ум нож ение чисел [1]. П оэтом у ош ибки вы полне­ ния операции умнож ения сущ ественно сказы ваю тся на точности циф ровой обработки сигналов и вопросы коррекции ош ибки ум нож ения чисел являю тся актуальны ми. И звестен м етод обнаруж ения ош ибки [2], в основе которого леж ит м ногократное дублирование и определение ош ибки умнож ения по м аж ори тарном у принципу. Д анны й м етод вклю чает обнаруж ение отказавш его устройства умнож ения при параллельном вы ­ полнении одной и той ж е операции и требует сравнение результатов нескольких уст­ ройств с последую щ им их представлением уравнениям и маж оритарной логики для вы бо­ ра отклю чаем ого устройства. О сновное ограничение связано с работой больш инства уст­ ройств без внесения ош ибок. П ри использовании врем енной избы точности требуется вы ­ полнение не м енее трех последовательны х операций ум нож ения. Однако, при этом не га­ рантируется достоверность определения неисправного устройства, так как м ож ет оказать­ ся в течение времени вы полнения контроля неверное вы полнение больш инства опера­ ций, поэтом у использование данного м етода оправдано только при кратковрем енном действии помехи, а в други х случаях приводит к р езком у р осту избы точности, р е а л и з а ­ ц и я которого при использовании временной избы точности ведет к значительной потере бы стродействия. Д ругой м етод обнаруж ения ош ибки умнож ения на прим енении ариф м етических кодов [3] связан с вы числением остатков по вы бран н ом у модулю. В контроле с помощ ью ариф м етических кодов необходим о при ум нож ении каж дой пары элем ентов вы полнять следую щ ие операции. 1. Вы числяется произведение C = A B 2. Вы числяется остаток C по m od P . 3. Вы числяю тся остатки A по m od P и B по m od P . 4. Вы числяется C * = A по m od P • B по m od P . 5. Вы числяется остаток C * по m od P . 6. Сравниваю тся C и C * по m od P . Это приводит при аппаратной реализации к р осту оборудования, а при програм м ­ ной - к зн ачительном у увеличению времени. Б лок-схем а алгоритм а контроля умнож ения при использовании ариф м етических кодов представлена на рис.1. 112 НАУЧНЫ Е ВЕДО М ОСТИ Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2012. № 7 (126). Выпуск 22/1 А лгори тм включает: вы числение остатков A1, B1 операндов AB по вы бранном у м одулю P ; вы числение произведений С и С 1 и их остатков C P и C 1P по модулю P , и сравнение этих остатков для принятия реш ения о возникновении ош ибки. Реализация дан ны х м етодов требует преобразований исходны х операндов и ре­ зультата, вы полнение той ж е операции над преобразованны м и операндам и с последую ­ щим преобразованием результата и сравнение с его ранее полученны м преобразованны м результатом . Рис. 1. Блок-схема алгоритма контроля умножения при использовании арифметических кодов Д остоинство данного м етода контроля является возм ож ность параллельны х пре­ образований с исходны м и и преобразованны м и данны м и. О днако, сущ ественны м н едос­ татком контроля с использованием ариф м етических кодов является отсутствии возм ож ­ ности коррекции ош ибки. НАУЧНЫ Е ВЕДО М ОСТИ Ijw jj С е р и я И с то р и я . П о л и то л о ги я . Э к о н о м и к а . И н ф о р м а т и к а . ^^g 2 0 1 2 . № 7 (1 2 6 ). В ы п у с к 22/1 Ц елью исследований, излож енны х в статье, является не только обнаруж ение не только обнаруж ение ош ибки вы полнения ум нож ения чисел, но и ее коррекция. Суть предлагаем ого метода состоит в следую щ ем . П усть вы полняется операция ум нож ения С * = A *B * , (1) в результате которой получено С * = С * + АС. (2) Т ак как (1) есть ф ункция двух перем енны х, то при ум нож ении с ош ибкой предста­ вим (2) в виде [4]: С (A, B ) = С (A* B *)+ В ) АА + аС ^в B ) А В = A* B * + [BAA + AAB], (3) где вы раж ение в квадратны х скобках представляет собой ош ибку АС, приведенную к отклонению значений сом нож ителей и их исходны х значений А*, В*. Введем переменную А а = АЛ + — АВ. (4) B Введение переменной А а (4) приводит к тому, что вы раж ение в квадратны х скоб­ ках в (3) представляется линейной ф ункцией введенной перем енной и определяет ф унк­ цию ош ибки ум нож ения С 1 = С 0 + А С 1 = A oВ о + В оА а (5) Т ак как произведение представляется сем ейством параллельны х прям ы х в плоско­ сти (CA') проходящ их через ноль под углом тан ген с которы х равен В , то ош ибка А С так­ ж е представляется в плоскости А С В сем ейством прям ы х проходящ их под углом , тангенс которого равен -\[а , через точки оси координат, задаваем ы е значениям и A . Это позволяет, зная А С и В , определить значения A , либо по значениям A, В и А С определить А а . Л инейная зависим ость произведения и ош ибки произведения и ош ибки позволяет по значениям двух произведений при ф иксированном значении A = A 0определить н али­ чие ош ибки, в произведении вы званное воздействием помехи. Н алож им ограничение на длительность пом ехи, определяем ую врем енем вы полнения двух умнож ений. Тогда, если первое ум нож ение дает значение С 1, определяем ое (5), то второе ум ­ нож ение дает С 2 = С 0 + А С 2 = AAB1 + В 1А а , (6) а так как в соответствии с (4) А а не зависит от В , то С 2 = (A0 + А а ) + (А 0 + А В ) = A0В 0 + В 0А а + A 0АВ + А В А а (7) В ы читая из (7) значение полученное при первом ум нож ении (5) получаем SC = С 2 - С 1 = A0АВ + А В А а (8) Вы брав приращ ение А В = 1 , получаем SC = A 0 + А а = A (9) И спользуя вы раж ение (9) м ож но наличие ош ибки ум нож ения определить в виде отклонения значения A , эквивалентного наличию ош ибки произведения как 114 НАУЧНЫ Е ВЕДО М ОСТИ Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2012. №7 (126). Выпуск 22/1 А а = A - A 0, (10) и, если А а превы ш ает некоторы й порог, то ф орм ируется сообщ ение «ош ибка ум н ож е­ ния», установление ф лаж ка в единицу. А лгори тм реализую щ ий данны й м етод приведен на рис. 2. В соответствии с описанны м подходом к обнаруж ению ош ибки умнож ения, алго­ ритм определения ош ибки м ож ет бы ть представлен в виде приведенном на рис. 2 и вклю чает следую щ ую последовательность шагов: 1. П роводят ум нож ение чисел A0В 0представленны х при норм ализации (5). 2. У вели чиваю т сом нож итель В 0на 1 и проводят ум нож ение А 0на В 1 = В 0 + 1 (7). Если предполагать использование двух устройств ум нож ения при действии той ж е пом е­ хи, то ограничение на длительн ость помехи мож но снять, при одноврем енном вы п олне­ нии двух умнож ений. 3. Вы читаю результаты полученны х произведений и определяю т абсолю тное зн а­ чение разности (9). 4. Из полученного значения вы читаю т сом нож итель А (10). 5. С равниваю т полученное значение с пороговы м и в зависим ости от результата сравнения ф лаж ок устанавливается в единицу или в ноль. Н ачало Ввод А, В Cl = А В B l = В -Ь 1 С; = ЙР, ■ 1 п а С В ■ Ё т» е н и к б и Вы вод «ош В ы вод «ош ибка» МКонец Рис. 2. Блок-схема алгоритма обнаружения ошибки умножения предложенным методом НАУЧНЫ Е ВЕДО М ОСТИ Ijw jj С е р и я И с то р и я . П о л и то л о ги я . Э к о н о м и к а . И н ф о р м а т и к а . ^^g 2 0 1 2 . № 7 (1 2 6 ). В ы п у с к 22/1 Врем енны е затраты на обнаруж ение ош ибки определяю тся т= 2тон ... + 2 т пе ~ . + т, + т ~д е пд где т0й - время вы полнения ум нож ения, тл - время слож ения/вы читания, ти - время добавления единицы , тср - время установки флажка. При обнаруж ении ош ибки с использованием ариф м етических кодов выполняют: 1. Н ахож дение остатков операндов сом нож ителей. 2. Вы числение произведения чисел. 3. О пределение остатка полученного произведения. 4. Вы числение произведения остатков сомнож ителей. 5. О кругление остатка произведения остатков. 6. С равнение полученны х остатков и устан овка флаж ка. К ак и в предлож енном подходе обнаруж ения ош ибки ум нож ения использую т два ум нож ения и сравнение с установкой флаж ка. Но в отличии от предлож енного оп ределе­ ния наличия ош ибки, где вы полняется два слож ения и добавление единицы , при исполь­ зовании ариф м етических кодов определяю т четы ре остатка по вы бранном у модулю , вре­ мя вы числения которы х превы ш ает сум м арное время трех слож ений. Кроме этого, при использовании ариф м етических кодов непрем енны м условием является вы полнение ум нож ения остатков без ош ибки, при этом нет возм ож ности даж е косвенного округления величины ош ибки. П редлож енны й подход при увеличении врем енны х затрат, вследствие н епосредст­ венного ф орм ирования значения отклонения сом нож ителя, позволяет корректировать ош ибку произведения. Таким образом , приведенны й м етод обнаруж ения ош ибки ум нож ения по сравне­ нию с обнаруж ением ош ибки с использованием ариф м етических кодов не требует вы ­ полнения хотя бы одного ум нож ения абсолю тно точно, более бы стродействую щ ий и ф орм ирует значение , которое м ож ет бы ть использовано для коррекции ош ибки ум н ож е­ ния при увеличении врем енны х затрат. Л и тература 1. Сергиенко А.Б. Ц иф ровая обработка сигналов: У чебное пособие для студентов вы сш их учебны х заведений, обучаю щ ихся по направлению подготовки ди плом ирован ­ ны х специалистов "И нф орм атика и вы числительная техника" / Сергиенко А.Б.; Рец.: С.П. Еркович, Г.И. Ревунков; М -во образования РФ., Ф едеральная целевая програм м а "К ультура России". П оддерж ка полиграф ии и книгоиздания России. - СПб.: П итер, 2003. - 604 с.: ил., табл. - (Учебник для вузов. - Прил.: с. 5о8-582.-Б иблиогр.: 583-585.А лф авитны й указ.: с. 586-603 2. Л уц и к Ю .А., Л ук ьян ова И.В. Ариф м етические и логические основы вы числи­ тельной техники 3. Корн Г. Справочник по м атем атике для научны х работников и инж енеров = M athem atical handbook for scientists and engineers: D efinitions, theorem s and form ulas for reference and review/ K orn G.A., K orn T.M .: О пределения, теорем ы , ф орм улы / Корн Г., Корн Т.; П од общ. ред. И.Г. Арам ановича; Пер.: И.Г. А рам ановича, А.М . Березмана, И.А. Вайнштейна, Л.З. Румшинского, Л.Я. Цлафа. - 2-е изд.. - М.: Наука, 1970. - 720 с.: ил.. - Библиогр.: с. 682-684.-Указ. важ нейш их обозначений: с. 685-687.-П редм етны й указ.: с. 688-720 4. П атент № 2439674Российская Ф едерация, М П К. Способ ф орм ирования отказо­ устойчивой вы числительной систем ы и отказоустойчивая вы числительная систем а / А.С. Сы ров, В.П. Ан дреев и др.; опубл. 10.01.2012. Бюл. № 1. 116 НАУЧНЫ Е ВЕДО М ОСТИ Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2012. № 7 (126). Выпуск 22/1 DETECTION AND CORRECTION OF ERRORS IN MULTIPLY N.I. KORSUNOV A.A. NACHETOV A.V. GLUSHAK In the article a method of functional control and error correc­ tion by multiplying the number of multiplication error reduction in the rejection of one of the input operands. Belgorod National Research Urnv^stiy Key words: error detection, error correction, the deviation of the operand. e-mail: aleksandr@nachetov.org.ua