Глава 0. Основы теории множеств и отображений. §1. Множества. Логические символы. Операции над множествами. Два способа задания множеств: 1) перечисление, 2) указание характеристического свойства. Опр.0.1.1. Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Равенство множеств обозначается как А = В . Множество А называется подмножеством множества В (или: А содержится в В, или В содержит А), если все элементы множества А являются элементами множества В. Обозначение подмножества: А В. Логические символы: – для всех – существует – следует – тогда и только тогда Предложение 0.1.1 Множества А и В равны тогда и только тогда, когда А содержится в В и В содержится в А. (А = В) ((А В) и (В А)) Определение 0.1.2. Пусть даны множества А и В. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих или множеству А, или множеству В. А В = {c: cA или cB} Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих и множеству А, и множеству В. А В = {c: cA и cB} Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих множеству А, но не принадлежащих множеству В. А\ В = {c: cA и cB} Симметрическая разность множеств А и В – множество (А\ В) (В\А). Обозначение симметрической разности: А В. Формулы двойственности (в скобках слева – любое число множеств!): 1) А \ (B C D) = (A \ B) (A \ C) (A \ D) 2) А \ (B C D) = (A \ B) (A \ C) (A \ D) Леонард Эйлер (1707–1783), Джон Венн (1834–1923), А. де Морган(1806–1871) §2. Отображения множеств. Свойства отображений. Опр.0.2.1. Пусть даны множества X и Y. Декартовым произведением множеств X и Y называется множество, состоящее из упорядоченных пар, в которых первый элемент принадлежит множеству X, а второй – множеству Y. Обозначение: X Y. X Y = {(x,y) : xX, yY}. Опр.0.2.2. Пусть задано подмножество F в декартовом произведении X Y. Тогда говорят, что множество F задает соответствие между множествами X и Y. Опр.0.2.3. Пусть даны множества X и Y и соответствие между ними, заданное множеством F. Говорят, что множество F задает отображение из множества X во множество Y, если для каждого элемента x множества X найдется, причем только один, элемент y множества Y , такой, что (x,y) F, то есть x X ! y Y : (x,y) F. ( ! – «существует единственный») В случае, когда F задает отображение, в каждой паре (x,y) F элемент y называется образом элемента x . При этом пишут y = F(x) . Множество X называется областью определения отображения F , множество Y – областью значений отображения F. Записывается это так: F: X Y , y = F(x). Замечание. Мы будем задавать отображение правилом y = f(x). Писать будем так: f : X Y , y = f(x). Опр.0.2.4. Пусть задано отображение f : X Y , y = f(x). Пусть А X . Образом множества А при отображении f называется множество элементов из Y, которые являются образами элементов множества А. Обозначение: f(А). f(А) = {y Y : x А, y = f(x)}. Пусть В Y. Прообразом множества В при отображении f называется множество элементов из X , образы которых принадлежат множеству В. Обозначение: f –1 (В). f –1 (В) = {x X : y = f(x) В } Множеством значений отображения f: X Y , y = f(x), называется образ всей области определения при отображении f, то есть f(X). Опр.0.2.5. Пусть задано отображение f : X Y , y = f(x). Это отображение называется инъекцией, если образы разных элементов при отображении f различны, то есть x1 x2 f(x1) f(x2). Отображение f называется сюръекцией, если каждый элемент области значений является образом некоторого элемента из области определения, то есть y Y x X : y = f(x). Отображение, которое является инъекцией и сюръекцией, называется биекцией, или взаимно - однозначным отображением. Предложение 0.2.1. Отображение f : X Y , y = f(x) является биекцией тогда и только тогда, когда y Y ! x X : y = f(x). Опр.0.2.6. Пусть отображение f : X Y , y = f(x) является биекцией. Тогда отображение g : Y X , x = g(y) = f –1{y}, называется обратным к отображению f. Обозначается: y = f –1(x). Опр.0.2.7. Пусть f : X Y, g : Y Z. Отображение h: X Z , z = h(x) = g(f(x)) называется композицией отображений f и g . Обозначение композиции: h = g ◦ f . При этом f называется внутренней функцией, g – внешней. Другое название композиции: сложная функция. §3. Числовые множества. Мощность множеств. Джузеппе Пеано (1858 – 1932), Георг Кантор (1845 – 1918) Аксиомы Пеано для множества N: Р1. элемент n0 N Р2. отображение S: N N\{n0} (S(n) – следующий за n) Р3. m, k N , S(m) = S(k) m = k. Р4. Если М N, n0 М, m М S(m) М, то М = N (аксиома индукции). Если множество N удовлетворяет Р1 – Р4, то это множество натуральных чисел . Обозначения: = {1, 2, 3, …} – множество натуральных чисел (1 n0), = {0,1,–1, 2, –2, 3, –3,…} – множество целых чисел, = { m – несократимая дробь, где m , n } – множество рациональных чисел, n = { a = <sgn(a) a0, a1 a2 a3…>, где sgn(a){+, –}, a0{0,1,2,3,…}, a1, a2 , a3, ... {0,1,2,…,9}, без 9 в периоде} – множество вещественных чисел. Опр. 0.3.1. Пусть дано непустое множество А. Это множество называется конечным, если существует натуральное число n и взаимо-однозначное соответствие (т.е. биекция) f такая, что f: A {1, 2, 3,…, n}. Если же для каждого натурального n биекции f: A {1, 2, 3,…, n} не существует, то множество А называется бесконечным. Опр. 0.3.2. Пусть даны множества А и В. Говорят, что эти множества имеют одинаковую мощность, или А и В равномощны, если существует взаимо-однозначное соответствие f : A В. Обозначение: сard A = card B или |A| = |B|. Опр. 0.3.3. Пусть А – бесконечное множество. Если множество А равномощно множеству , то множество А называется счётным. Если же сard A card , то множество А называется несчётным. Пример 0.3.1. Множество чётных натуральных чисел, множество целых чисел – счётные. Теорема 0.3.1. Множество рациональных чисел является счётным. Теорема 0.3.2. Множество вещественных чисел является несчётным. Опр. 0.3.4. Пусть А – бесконечное множество. Если множество А равномощно множеству , то говорят, что множество А имеет мощность континуума, пишут: сard A = c. Замечание. Таким образом, есть по крайней мере две различные мощности бесконечных множеств: счётная и континуальная. Опр. 0.3.5. Пусть даны множества А и В. Если существует инъекция f : A В, то говорят, что мощность множества А не больше мощности множества В. Если при этом множества А и В не равномощны, то говорят: мощность множества А меньше мощности множества В. Обозначение: сard A < card B. Вопрос. Мы выяснили, что сard < card . Существует ли множество А такое, что сard < сard A < card ? Гипотеза континуума: «Множества А со свойством сard < сard A < card не существует» – не может быть доказана или опровергнута. Её можно принять как аксиому, а можно принять как аксиому противоположное утверждение. (1936г., Курт Гедель, 1963 г., Пол Коэн) ГЛАВА 1. Вещественные числа §1. Сравнение вещественных чисел. Роль рациональных чисел в Смысл десятичной записи числа а = <sgn(a) a0 , a1 a2 a3 a4…> – в последовательном измерении отрезка длины а: если а = <+8, 5 a2 a3 a4…>, то | 0 | 1 ||||||||||| 0 1 | | | | | | | | 8 а9 a0 = 8 ||||||||||| 8 а 9 a1 = 5 Опр.1.1.1. Два вещественных числа а = <sgn(a) a0 , a1 a2 a3 a4…> и b = <sgn(b) b0 , b1 b2 b3 b4…> совпадают (равны), если sgn(a) = sgn(b), a0 = b0, a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3 и так далее. Только число 0 = <+0,0000…> <–0,0000…> не имеет знака. Число а ≠ 0 называется положительным, если sgn(a) = +, и отрицательным, если sgn(a) = –. Опр.1.1.2. Пусть даны два различных вещественных числа а и b. Определим неравенство а < b. 1случай. а – отрицательное, b – неотрицательное. Тогда а < b. 2 случай. а, b – неотрицательные. Если существует n{0} такое, что a0 = b0, a1 = b1, a2 = b2, …, an –1 = bn –1, an < bn, то а < b. 3 случай. а, b – отрицательные. Если существует n{0} такое, что a0 = b0, a1 = b1, a2 = b2, …, an –1 = bn –1, an > bn, то а < b. Предложение 1.1.1.(Свойства сравнения вещественных чисел) I.1. Для любых двух вещественных чисел а и b верно одно и только одно из трех утверждений: а < b, b < a либо а = b (сравнимость). I.2. Для любых трех вещественных чисел а, b и с верно: если а < b и b < с, то а < с (транзитивность). Предложение 1.1.2. (Принцип Архимеда для множества вещественных чисел) Для любого вещественного а найдется натуральный номер N такой, что а < N. Лемма 1.1.1. (О приближении вещественных чисел рациональными) Пусть а, , > 0. Тогда найдутся рациональные r, s такие, что r a s и s – r < . Лемма1.1.2.(Плотность множества в ) Для любых а, b таких, что a < b, найдется r такое, что а < r < b. Лемма 1.1.3.(Достаточное условие равенства вещественных чисел) Пусть вещественные числа а и b таковы, что для каждого рационального > 0 найдутся рациональные r, s такие, что r a s, r b s и s – r < . Тогда a = b. §2. Точные грани числовых множеств. В этом параграфе A , A . Опр.1.2.1. Множество A называется ограниченным сверху, если существует число m такое, что для всех a A выполнено: a m. Число m называется верхней гранью множества A. Множество A называется ограниченным снизу, если существует число l такое, что для всех a A выполнено: a l. Число l называется нижней гранью множества A. Множество A называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу. Опр. 1.2.2. Пусть множество A ограничено сверху. Наименьшая из верхних граней множества A называется точной верхней гранью A, или супремум A. Обозначается: sup A. Пусть множество A ограничено снизу. Наибольшая из нижних граней множества A называется точной нижней гранью A, или инфимум A. Обозначается: inf A. Если множество A не ограничено сверху, то пишут: sup A = + , если A не ограничено снизу, то пишут: inf A = – . Лемма 1.2.1. (Критерий точных граней) I. Пусть A ограничено сверху. Число М есть точная верхняя грань множества A тогда и только тогда, когда выполнены два условия: (1) a A: a М, (2) m < М a A: a > m. II. Пусть A ограничено cнизу. Число L есть точная нижняя грань множества A тогда и только тогда, когда выполнены два условия: (1) a A: a L, (2) l > L a A: a < l. Теорема 1.2.1. (О существовании точных граней) Пусть A , A , A ограничено сверху [снизу]. Тогда обязательно существует точная верхняя [нижняя] грань множества A. §3. Сумма и произведение вещественных чисел. Опр. 1.3.1. Пусть a, b . Суммой чисел a и b называется такое число с , что для любых рациональных чисел r1, r2, s1, s2 из условия r1 a s1, r2 b s2 следует: r1 + r2 с s1+ s2. Обозначение: с = a + b. Опр. 1.3.2. Пусть a, b , a, b 0. Произведением чисел a и b называется такое число с, что для любых рациональных чисел r1, r2, s1, s2 из условия 0 r1 a s1, 0 r2 b s2 следует: r1r2 с s1s2. Обозначение: с = ab. В случае, когда sgn(a) = – или sgn(b) = –, для определения произведения чисел a и b пользуемся правилом знаков: | a || b |,еслиsgn(a) sgn(b), с ab | a || b |,еслиsgn(a) sgn(b). Теорема 1.3.1. (Существование и единственность суммы вещественных чисел) Для любых a, b существует, причем единственное, с , такое, что с = a + b. Теорема 1.3.2. (Существование и единственность произведения вещественных чисел) Для любых a, b существует, причем единственное, с , такое, что с = ab. Теорема 1.3.3. (Основные свойства сложения в ) II.1. a, b : a + b = b + a (коммутативность сложения) II.2. a : a + 0 = a (0 – нейтральный элемент по сложению) II.3. a, b, c : (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность сложения) II.4. a ! b : a + b = 0 (b – обратный к а элемент по сложению) Теорема 1.4.4. (Основные свойства умножения в ) III.1. a, b : ab = ba (коммутативность умножения) III.2. a : a1 = a (1 – нейтральный элемент по умножению) III.3. a, b, c : (ab)c = a(b c) (ассоциативность умножения) III.4. a \{0} ! b : ab = 1 (b – обратный к а элемент по умножению) Теорема 1.3.5. (Связь сложения и умножения в ) IV. a, b, c : (a + b) c = ac +b c (дистрибутивность) Теорема 1.3.6. (Связь сложения и сравнения в ) V. a, b, c : a < b a + c < b + c Теорема 1.3.7. (Связь умножения и сравнения в ) VI. a, b, c : a < b, c > 0 a c < b c § 4. Рациональные и вещественные степени вещественных чисел Теорема 1.4.1. (Существование корня из вещественного числа) Пусть a , а > 0, n . Тогда существует единственное число b такое, что b > 0 и bn = a (то есть b n a ). Опр. 1.4.1. Пусть a , а > 0, r m . Число n a m , где корень n понимается в n смысле теоремы 1.4.1., обозначается через ar. Пусть a , а > 1, x . Вещественное число sup{ ar ; r x, r} обозначается ax. Пусть a , а (0; 1), x . Вещественное число a 1 x обозначается ax. Замечание. Теперь необходимо доказать, что при данных определениях выполнены все основные свойства операции возведения в степень: (a, x, y , a > 0) axay = ax+y, (ax)y = axy, ax < ay , если a >1 и x < y. В дальнейшем мы будем считать эти свойства известными и пользоваться ими при изучении степенных и показательных функций.