Теорема Любое вполне упорядоченное множество порядково изоморфно некоторому ординалу Подробное доказательство в ZFC Для упорядоченного множества X и элемента x ∈ X условимся обозначать множество {y ∈ X : y < x} символом x↓. Индукция по элементам вполне упорядоченного множества Для любой теоретико-множественной формулы ϕ следующее утверждение является теоремой ZFC. Если Y — произвольное вполне упорядоченное множество и для любого y ∈ Y из (∀ z ∈ y↓) ϕ(z) следует ϕ(y), то ϕ(y) для всех y ∈ Y . Положим Y0 := {y ∈ Y : ¬ϕ(y)}. Предположим вопреки доказываемому, что Y0 6= ∅. Положим y := min Y0. Поскольку (∀ z ∈ y↓)(z ∈/ Y0), мы имеем (∀ z ∈ y↓) ϕ(z). Следовательно, ϕ(y), что противоречит включению y ∈ Y0. Обозначим через f : D → V формализацию утверждения «множество f является функцией с областью определения D ». Для f : D → V и E ⊆ D положим f [E] := {f (e) : e ∈ E}. Всюду ниже X — произвольное вполне упорядоченное множество. Для x ∈ X и f : x↓ (∀ y ∈ x↓) f (y) = f [y↓] . → V будем писать x C f вместо Положим XC := x ∈ X : (∃ f : x↓ → V)(x C f ) . Лемма 1. Если x ∈ XC , то (∃! f : x↓ → V)(x C f ). Пусть x ∈ X , f, g : x↓ → V, x C f и x C g. Докажем (∀ y ∈ x↓) f (y) = g(y) индукцией по y ∈ x↓. Пусть y ∈ x↓ и (∀ z ∈ y↓) f (z) = g(z) . Покажем, что f (y) = g(y). Из x C f следует f (y) = f [y↓]. Из x C g следует g(y) = g[y↓] . Из (∀ z ∈ y↓) f (z) = g(z) следует f [y↓] = g[y↓]. Таким образом, для всякого x ∈ XC имеется единственная функция f x : x↓ → V, удовлетворяющая условию x C f x, т. е. такая, что f x(y) = f x[y↓] для всех y ∈ x↓. Лемма 2. Пусть x ∈ XC и y ∈ x↓. Тогда y ∈ XC и f y = f x |y↓ . Как легко видеть, из x C f x вытекает y C f x|y↓. Следовательно, y ∈ XC. Поскольку y C f x|y↓ и y C f y , мы имеем f y = f x|y↓ по лемме 1. Определим(функцию F : X → V, полагая f x [x↓], если x ∈ XC ; F (x) := ∅, если x ∈/ XC. (Отметим, что существование такой функции F можно обосновать с помощью схемы аксиом подстановки.) Лемма 3. Пусть x ∈ XC . Тогда F (x) = F [x↓]. Покажем, что F |x↓ = f . Пусть y ∈ x↓. Покажем, что F (y) = f x(y). По лемме 2 мы имеем y ∈ XC и f y = f x|y↓. Следовательно, F (y) = f y [y↓] = f x|y↓[y↓] = f x[y↓] = f x(y). Таким образом, F (x) = f x[x↓] = F |x↓[x↓] = F [x↓]. Лемма 4. Справедливо равенство XC = X . Достаточно показать, что (∀ x ∈ X) x C F |x↓. Докажем последнее утверждение индукцией по x ∈ X . Пусть x ∈ X и (∀ y ∈ x↓)(y C F |y↓). Покажем, что x C F |x↓. Пусть y ∈ x↓. Покажем, что F |x↓(y) = F |x↓[y↓]. Поскольку y C F |y↓, мы имеем y ∈ XC. По лемме 3 мы имеем F (y) = F [y↓]. Следовательно, F |x↓(y) = F (y) = F [y↓] = F |x↓[y↓]. Лемма 5. Для всякого x ∈ X мы имеем F (x) = {F (y) : y ∈ X, y < x}. В частности, если x, y ∈ X и y < x, то F (y) ∈ F (x). Утверждение леммы 5 непосредственно вытекает из лемм 3 и 4. Лемма 6. Для всякого x ∈ X множество F (x) является ординалом. Покажем, что для всякого x ∈ X множество F (x) транзитивно. Пусть x ∈ X и γ ∈ β ∈ F (x). Покажем, что γ ∈ F (x). По лемме 5 найдутся y, z ∈ X такие, что z < y < x, γ = F (z) и β = F (y). Поскольку z < x, по лемме 5 мы имеем γ = F (z) ∈ F (x). Покажем, что для всякого x ∈ X все элементы множества F (x) транзитивны. По лемме 5 все элементы множества F (x) имеют вид F (y), а значит, они транзитивны по доказанному выше. Таким образом, для всякого x ∈ X множество F (x) транзитивно и все его элементы транзитивны, т. е. F (x) является ординалом. Положим A := F [X] = {F (x) : x ∈ X}. Лемма 7. Множество A является ординалом. По лемме 6 все элементы множества A транзитивны. Остается показать, что само множество A транзитивно. Пусть β ∈ α ∈ A. Покажем, что β ∈ A. Поскольку α ∈ A, имеется x ∈ X такой, что α = F (x). Поскольку β ∈ α = F (x), по лемме 5 имеется y ∈ X такой, что β = F (y). Следовательно, β = F (y) ∈ A. Лемма 8. Функция F является порядковым изоморфизмом X на ординал A. По определению A функция F является сюръекцией X на A. Покажем, что для любых x, y ∈ X из y < x следует F (y) < F (x). По лемме 5 из y < x следует F (y) ∈ F (x), т. е. F (y) < F (x). Покажем, что для любых x, y ∈ X из F (y) < F (x) следует y < x. Пусть F (y) < F (x). Покажем, что y < x. Если бы x = y или x < y, то с учетом доказанного выше мы бы имели F (x) = F (y) или F (x) < F (y) вопреки неравенству F (y) < F (x). Следовательно, y < x (в силу линейности порядка на X ). x