ОБОЗРЕНИЕ Т о м 21 ПРИКЛАДНОЙ И ПРОМЫШЛЕННОЙ МАТЕМАТИКИ Выпуск 1 2014 В. И. А с т а ф ь е в, П. В. Р о т е р с (Самара, СамГТУ). Продуктивность разработки месторождений углеводородов многоскважинными двоякопериодическими кластерами. Работа посвящена исследованию продуктивности многоскважинных двоякопериодических систем вертикальных добывающих скважин (многоскважинных кластеров). Предполагается, что все скважины (элементы кластера) расположены в однородном замкнутом резервуаре постоянной толщины и работают с заданными дебитами в псевдо стационарном режиме. Замкнутый резервуар рассматривается как элемент бесконечного двоякопериодического массива скважин, а решение уравнений фильтрации жидкости представляется с помощью дзета и сигма-функций Вейерштрасса [1, 2]. Такой подход позволил найти распределение давления и скоростей в различных резервуарах и вычислить коэффициент продуктивности для различных резервуаров. Рассмотрим двоякопериодический кластер, состоящий из n вертикальных скважин с дебитами Q1 , Q2 , . . . , Qn , расположенных в точках (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ). Двоякопериодичность такого кластера определяется периодами ω1 и ω2 . В работах [1, 2] было построено решение для случая, когда в параллелограмме периодов расположена одна скважина. Решение позволило представить распределение поля скоростей и давления на комплексной плоскости z = x + iy в следующем виде: Q V = νx − i ν y = − ζ(z) + αz − βz , 2πh i h zz z2 p = pw + q Re ln σ(z) + α − ln rw , −β (1) 2 2 где ζ(z) и σ(z) — дзета и сигма-функции Вейерштрасса, q = Qμ /2πkh, α = (βω − 2ζ(ω/2))/ω, β = π/Δ, Δ = Im(ω 1 , ω2 ), ω = mω1 + nω2 (m, n = 0, ±1, ±2, . . .). Используя метод суперпозиции, решение для многоскважинного кластера можно представить в виде [3]: V (x, y) = − n X Qk (ζ(z − zk ) + α(z − zk ) − β(z − z k )), 2πh k=1 n X (2) h n ( z −zk )2 o |z −zk |2 i qk ln R − Re ln σ(z −zk ) + α −β . (3) 2 2 k=1 √ p Q 2n )2 (1−q 2n )2 | , q = eiπτ , q = e−iπ/τ , τ = Здесь R = Δ/ 4 π 2 Imτ |(qq1 )1/6 ∞ 1 1 n=1 (1−q ω2 /ω1 . Выражение Jk = qk /Δpk для коэффициента продуктивности k -й скважины в кластере и общий коэффициент продуктивности J = (q1 +q2 +∙ ∙ ∙+qn )/(p1 +p2 +∙ ∙ ∙+pn ) для всего кластера задаются соотношениями: p(t) − p(x, y) = Jk−1 = n X i=1 sik ln R , Rki J −1 = c Редакция журнала «ОПиПМ», 2014 г. n X k=1 sk Jk−1 = X sk α k , 2 XV Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике где ski = qk /qi , sk = qk /(q1 + q2 + ∙ ∙ ∙ + qn ), Δk = sk Δ, αk = Pn i=1 ln(R/Rik ). (k) 2 ), Представление коэффициента продуктивности как Jk−1 = (1/2) ln(4Δk /γCA rw (k) где CA — форм-фактор Дитца [4] для k-й скважины в кластере, приводит к выражению: n (k) 2 s Y ik CA γCA Rik = sk . (4) CA 4Δ i=1 i6=k Данное выражение позволяет находить форм-факторы для многих сложных резервуаров. В табл. 1 представлены их значения, вычисленные по формуле (4), для различных форм резервуара. Все они соответствуют значениям, которые были опубликованы в работе [4]. Таблица. Значения форм-фактора Дитца, вычисленные на основе формулы (4). Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 13-03-97008-р −поволжье −а. Научные доклады 3 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Астафьев В. И., Ротерс П. В. Моделирование двоякопериодических систем добывающих скважин. — Вестник СамГУ, 2010, № 4 (78), с. 5–11. 2. Астафьев В. И., Ротерс П. В. Моделирование двоякопериодических систем добывающих скважин. 2. Коэффициент продуктивности. — Вестник СамГУ, 2011, № 8 (89), с. 118–127. 3. Астафьев В. И., Ротерс П. В. Моделирование и оптимизация разработки месторождений многоскважинными двоякопериодическими кластерами. — Вестник СамГУ, 2013, № 9/2 (110), с. 170–183. 4. Dietz D. N. Determination of Average Reservoir Pressure From Build-Up Surveys. Rejswijk: SPE, 1964, p. 955–959.