ОТНОСИТЕЛЬНО НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ РАЗМЕЩЕНИЯ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ R1n И НА ГРАФАХ Д. К. Замбицкий На практике встречаются различного рода задачи, в которых нахождение оптимального варианта размещения пунктов обслуживания сводится к минимизации суммы взвешенных расстояний до потребителей. В данной работе рассматриваются некоторые задачи размещения в различных метрических пространствах и предлагаются эффективные алгоритмы их решения. I. Пусть x1 , x2 ,, xm заданные точки на действительную ось, где размещены потребители с соответствующими потребностями p ( x1 ), p ( x2 ),, p ( xm ) . Необходимо производитель, найти точку чтобы x∗ , где будет транспортные размещен расходы f1 ( x ) = ∑ p (x j ) ⋅ x − x j были минимальными. m j =1 Можно доказать, что функция f1 ( x ) , как кусочно-линейная выпуклая вниз функция, достигнет минимума в точке x∗ = xq , тогда и только тогда, когда выполняется двойное неравенство: q −1 q m 1 ( ) ( ) Q = p (x j ) . p x ≤ Q ≤ p x , где ∑ ∑ ∑ j j 2 j =1 j =1 j =1 (1) Неравенство (1) стоит в основу алгоритма нахождения точке x ∗ , где будет размещён производитель. Эффективность алгоритма оценивается трудоемкостью O (m ⋅ log 2 m ) . Следует отметить, что множество точек x ∗ состоит из одной единственной точки x∗ = xq , или из множества всех точек отрезка [x q ] , xq +1 . ( ) Допустим теперь, что потребности p x j , j = 1, m не являются детерминированными величинами, а носят случайный характер с 357 известным законом распределения вероятностей. В данном случае, местонахождения пункта обслуживания в оптимальном варианте размещения будет меняться при различных реализациях случайных событий. В этих новых условиях, мы имеем дело с задачей перспективного стохастического планирования, в которой решение должно быть выбрано вполне конкретно (детерминировано). При нахождении оптимального варианта размещения в задачи с вероятностными потребностями используются [1,2] различные критерии: минимизации математического ожидания суммарных затрат, дисперсии (критерий минимального отклонения), а также минимизации вероятности отклонения. II. Пусть теперь R1n - линейное метрическое пространство с n метрикой X = ∑ x (i ) ; S = {X 1 , X 2 ,, X m } - множество i =1 заданных точек из R1n , а P : S → R + - некоторая положительная ( ) функция. Требуется найти множество точек X ∗ = x∗(1) , x∗(2 ) ,, x∗(n ) , которые минимизируют функционал F ( X ) = ∑ p (X j )⋅ X − X j = ∑ p (X j )⋅∑ x (i ) − x (ji ) m m n j =1 j =1 i =1 Легко доказать, что решение поставленной задачи в пространстве R1n сводится к решению n соответствующих задач на X ∗ представляет собой некоторый параллелипипед P пространства R1n , размерность которого удовлетворяет неравенству 0 ≤ t ≤ n . Итак, для решения поставленной задачи в пространстве R1n мы осях координат. Множество решений t { } должны упорядочить числа x (ji ) , j = 1, m в порядке возрастания, для каждой числовой оси, и применяя неравенство (1), получим соответствующие координаты x∗(i ) , i = 1, n искомой точки X ∗ . Эффективность алгоритма оценивается трудоёмкостью O (n m ⋅ log 2 m ) . 358 ( ) Допустим теперь, что потребности p X j , j = 1, m являются независимыми случайными величинами с ожиданием M p X j и дисперсией D p X j . [ ( )] [ ( )] математическим Если в качестве критерия взять математическое ожидание суммарных затрат, то задача заключается в нахождении элементов X ∗ пространства R1n , которые минимизируют функционал M [F ( X )] = ∑ M [ p (X j )]⋅ ∑ m n j =1 i =1 x (i ) − x (ji ) . По критерию минимального отклонения, задача заключается в нахождении элементов пространства X∗ R1n , которые минимизируют дисперсию случайной величины ∑ p(X j )⋅ ∑ x (i ) − x (ji ) , т. е., которые минимизируют функционал m n j =1 i =1 [ 2 ] n D [F ( X )] = ∑ M p (X j ) ⋅ ∑ x (i ) − x (ji ) . j =1 i =1 m По критерию минимизации вероятности отклонения, задача размещения пункта обслуживания потребителей с вероятностными потребностями, формулируется [1] следующим образом: при заданном пороге , найти вариант размещения минимизирующий величину P {F ( X ) > } . Точка X ∗ пространства R1n , является с максимальной вероятности - оптимальным вариантом размещения пункта обслуживания, если имеет место P {F ( X ∗ ) > } ≤ P {F ( X ) > }. III. Задача о нахождении медиан графа. Если метрическое пространства определяется некоторым неориентированным конечным графом, то получаем известную задачу о нахождении медиан графа [1]. Пусть задача транспортная сеть G = ( X , U ) , представляющая собой обыкновенный связный граф порядка n, для каждой вершины y ∈ X известен спрос p ( y ) ≥ 0 , а каждому ребру u ∈ U приписано «длина» l (u ) > 0 . 359 Необходимо найти такую вершину x ∗ графа G для размещения пункта обслуживания, чтобы транспортные расходы f (x ) = p ( y ) ⋅ d ( x , y ) были минимальными, где d (x , y ) - ∑ y∈X кратчайшее расстояние между вершинами x и y. Разработаны эффективные алгоритмы решения задачи для случаев, когда граф является деревом, а также, когда граф обладает ребрами сочленения и точками сочленения. Если спрос p ( y ) является случайной величиной с известным законом распределения, то и в этом случае, мы сможем свести задачу к детерминированному виду (нахождение дисперсионной медианы и - медианы). IV. Задача Вебера на графах. Характерным для некоторых задач размещения [3] является тот факт, что выбор оптимального варианта связан с минимизацией суммы взвешенных расстояний как между искомыми пунктами, так и между искомыми и заданными пунктами. Типичной среди них является задача Вебера на графах. Итак, пусть n существующих объектов (потребителей) размещены в вершинах x j , j = 1, n обыкновенного связного графа G = ( X , U ) и в определённом периоде нуждаются в m видах услуг ( ) в объёме pi x j ≥ 0 , i = 1, m, j = 1, n . Требуется разместить в вершинах графа G новых объектов (центров обслуживания) z i , i = 1, m , каждый из которых будет обеспечивать соответствующий объем i - ых услуг. Отметим, что в задаче Вебера каждый центр обслуживания zi отправляет потребителям для удовлетворения их потребностей поток величины i j = pi x j и одновременно центром обслуживания z k , i < k ( ) дополнительный поток i k ≥ 0 . Задача заключается в выборе такого варианта размещения центров обслуживания z i , i = 1, m ,чтобы функция 360 m −1 F ( z1 , z 2 ,, z m ) = ∑∑ i j ⋅ d (zi , x j ) + ∑ ∑ i k ⋅ d ( zi , z k ) m n i =1 j =1 m i =1 k =i +1 достигала наименьшего значения. Разработан эффективный алгоритм решения задачеи Вебера в пространстве R1n , на сетях в виде дерева и на медианных графах. Литература 1. 2. 3. Фрэнк Г., Фриш И. Сети, связь и потоки. Москва, 1978. Ермольев Ю.М., Ляшко И.И., Михалевич В.С., Тюптя В.И. Математические методы исследования операций. Киев, 1979. Трубин В. А. Эффективный алгоритм решения задачи Вебера в прямоугольной метрикой. Кибернетика, N 6, Киев, 1978. 361