Биномиальное распределение

Тест для студентов
Тест имеет 6 вопросов и 5 вариантов ответа, из которых только
один правильный.
Вопрос 1. Ответ:
A
B
С
D
E
Вопрос 2. Ответ:
A
B
С
D
E
Вопрос 3. Ответ:
A
B
С
D
E
Вопрос 4. Ответ:
A
B
С
D
E
Вопрос 5. Ответ:
A
B
С
D
E
Вопрос 6. Ответ:
A
B
С
D
E
Студент случайным образом выбирает ответы. Требуется
изучить закон распределения количества правильных ответов.
© Иванов О.В. 2006
2
Закон распределения
Случайная величина Х = {количество правильных ответов}.
Она принимает семь значений с некоторыми вероятностями:
Количество
правильных
ответов
0
1
2
3
4
5
6
p0
p1
p2
p3
p4
p5
p6
Х
Вероятность
p
© Иванов О.В. 2006
3
Найдем вероятности
Какова вероятность, что будет два правильных ответа?
2
4
2
p2 = С6 · (0,2) ·(0,8)
Вероятность правильного ответа в одном вопросе равна 0,2.
Всего правильных ответов два.
Остальные четыре ответа неправильные.
Еще учитываем количество способов выбора двух правильных
ответов из шести.
© Иванов О.В. 2006
4
Вычисляем…
После вычислений получим вероятность двух правильных
ответов.
© Иванов О.В. 2006
5
Вычисляем дальше…
Вероятность трех правильных ответов:
© Иванов О.В. 2006
6
Закон распределения
Заполняем таблицу распределения случайной величины:
© Иванов О.В. 2006
Количество
правильных
ответов
Вероятность
0
1
2
3
4
5
6
0,262
0,393
0,246
0,082
0,015
0,002
0,0001
7
Гистограмма распределения
Строим гистограмму распределения случайной величины:
Распределение
случайной величины
© Иванов О.В. 2006
8
Схема испытаний Бернулли
Схема Бернулли – схема проведения испытаний, которая
предполагает соблюдение следующих условий:
(1) Проводится определенное фиксированное количество
испытаний.
(2) Испытания являются независимыми, то есть результат
одного не зависит от исходов других.
(3) В каждом испытании могут произойти все возможные исходы,
которые классифицируются в терминах двух категорий: «успех»
и «неуспех».
(4) Вероятности исходов должны быть постоянны для каждого
испытания.
© Иванов О.В. 2006
10
Обозначения
Вероятность «успеха» в одном
испытании
Вероятность «неуспеха» в одном
испытании
Общее число испытаний
Число успехов в n испытаниях
Вероятность k успехов в n испытаниях
© Иванов О.В. 2006
11
Для задачи все условия соблюдены
(1) Проводится фиксированное количество испытаний – шесть.
(2) Все испытания независимы, поскольку правильный ответ на
один вопрос не зависит от ответа на любой другой вопрос.
(3) В каждом испытании ответ может быть правильным или
неправильным (успех-неуспех).
(4) Для каждого испытания имеется пять возможных исходов,
один из которых правильный. Вероятность правильного
ответа в каждом испытании составляет 1/5 (или 0,2). Тем
самым, вероятности постоянны для каждого испытания.
© Иванов О.В. 2006
12
Вычисление вероятностей
Метод 1. Применение формулы
В биномиальном распределении вероятности могут быть
вычислены по формуле:
© Иванов О.В. 2006
13
Вычисление вероятностей
Метод 2. Применение
таблицы
Мы можем находить
вероятности в таблице
биномиального
распределения.
Показано, как находить
значения вероятностей для
нашей задачи.
© Иванов О.В. 2006
14
Вычисление вероятностей
Метод 3. Применение компьютера
Пример нахождения значения вероятности в EXCEL:
© Иванов О.В. 2006
15
Биномиальное распределение
Случайная величина, равная количеству успехов при
проведении
испытаний
по
схеме
Бернулли,
имеет
биномиальное распределение.
© Иванов О.В. 2006
17
Свойства биномиального распределения
Является дискретным (конечное число значений).
Похоже на нормальное (bell-shaped - колоколообразное)
© Иванов О.В. 2006
18
Находим математическое ожидание
По формуле:
Можно преобразовать.
Тогда получим:
© Иванов О.В. 2006
19
Числовые характеристики
Математическое ожидание:
Дисперсия:
Стандартное отклонение:
© Иванов О.В. 2006
20
Новые обозначения
Математическое ожидание:
Дисперсия:
Стандартное отклонение:
© Иванов О.В. 2006
21
Пример с билетами
Математическое ожидание:
Дисперсия:
Стандартное отклонение:
© Иванов О.В. 2006
22
Пример с билетами
Число правильных ответов на шесть вопросов теста с пятью
вариантами ответа в каждом
представляет собой случайную величину
со средним значением 1,2 и стандартным отклонением 0,98.
© Иванов О.В. 2006
23
Call-центр
В течение часа в call-центр поступает в среднем 4 звонка от
клиентов, которым требуются услуги телемастера.
1. Какова вероятность, что в течение часа поступит ровно 4
звонка?
2. Какова вероятность, что более чем один клиент позвонит в
течение часа?
3. Какова вероятность, что за два часа позвонят ровно 6
клиентов?
© Иванов О.В. 2006
25
Распределение Пуассона
Распределение Пуассона есть распределение дискретной
случайной величины, которая равна числу успехов в
определенном интервале.
Интервал
может
измеряться
временем,
расстоянием,
площадью, объемом или другими единицами измерения.
© Иванов О.В. 2006
26
Формула для вероятностей
Вероятности распределения Пуассона находятся по формуле:
© Иванов О.В. 2006
27
Числовые характеристики
Математическое ожидание:
Дисперсия:
Стандартное отклонение:
© Иванов О.В. 2006
28
Call-центр
В течение часа в call-центр поступает в среднем 4 звонка от
клиентов, которым требуются услуги телемастера.
1. Какова вероятность, что в течение часа поступит ровно 4
звонка?
© Иванов О.В. 2006
29
Call-центр
В течение часа в call-центр поступает в среднем 4 звонка от
клиентов, которым требуются услуги телемастера.
2. Какова вероятность, что более чем один клиент позвонит в
течение часа?
© Иванов О.В. 2006
30
Call-центр
В течение часа в call-центр поступает в среднем 4 звонка от
клиентов, которым требуются услуги телемастера.
3. Какова вероятность, что за два часа позвонят ровно 6
клиентов?
© Иванов О.В. 2006
31
Бомбы второй мировой войны
При анализе попаданий снарядов V-1 вся территория Южного
Лондона была поделена на 576 зон площадью 0,25 км2. Всего
произошло 535 попаданий бомб.
В предположении, что зона выбрана
вероятность двойного попадания?
случайно,
какова
Как много зон будет поражено дважды?
© Иванов О.В. 2006
32
Характеристика распределения
Среднее значение попаданий в зону:
535
µ=
= 0,929
576
€
© Иванов О.В. 2006
33
Вероятность двукратного попадания
Вычислим по формуле распределения Пуассона:
© Иванов О.В. 2006
34
Сколько зон будет поражено дважды
Мы ожидаем, что из 576 зон дважды будут поражены:
576 · 0,170 = 97,9 зон
© Иванов О.В. 2006
35
Теория подтвердила практику
ЧИСЛО
СНАРЯДОВ
ВЕРОЯТНОСТЬ
ОЖИДАЕМОЕ
ЧИСЛО ЗОН
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ
ЧИСЛО ЗОН
0
0,395
227,5
229
1
0,367
211,4
211
2
0,170
97,9
93
3
0,053
30,5
35
4
0,012
6,9
7
5
0,002
1,2
1
© Иванов О.В. 2006
36
Вывод
Распределение Пуассона очень полезно для прогнозирования
результатов, связанных с массовыми явлениями случайного
характера.
© Иванов О.В. 2006
37
Приближение биномиального закона
Распределение Пуассона используется для приближения
биномиального распределения, когда число испытаний n велико,
а вероятность p мала.
Требуется выполнение двух условий:
1. n ≥ 100
2. np ≤ 10
© Иванов О.В. 2006
39
Игровые автоматы в дешевых магазинах
Предположим, вы ежедневно играете на одном том же автомате
утром один раз и ожидаете выпадения трех единиц:
111
Какова вероятность выиграть в течение года точно один раз?
© Иванов О.В. 2006
40
Решение
В году 365 дней: n = 365
Имеется только один выигрыш из 1000: p = 1/1000
Оба условия выполнены:
n ≥ 100
365 > 100
np ≤ 10
365·1/1000 < 10
Пользуемся приближением биномиального закона.
© Иванов О.В. 2006
41
Решение
Вычисляем среднее:
и затем вероятность:
© Иванов О.В. 2006
42