Ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâû åñòåñòâîçíàíèÿ Çàäà÷è ê çà÷åòó √ 1. Íàéòè äåéñòâèå S(q0 , q1 ; t) äëÿ ñèñòåìû ñ ëàãðàíæèàíîì L(q, q̇) ïðè äâèæåíèè ïî êëàññè÷åñêîé òðàåêòîðèè îò ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ∂S/∂q1 è q0 äî q1 = −mc2 1 − q̇ 2 c2 çà âðåìÿ t. Âû÷èñëèòü ∂S/∂t. 2. Ìîæåò ëè ñóììà äâóõ âðåìåíèïîäîáíûõ âåêòîðîâ áûòü à) ïðîñòðàíñòâåííîïîäîáíûì âåêòîðîì, á) èçîòðîïíûì âåêòîðîì? √ B = 3 e0 + e1 + e2 + e3 â ïðîñòðàíñòâå Ìèíêîâñêîãî ñ (1, −1, −1, −1) è îðòîíîðìèðîâàííûìè áàçèñíûìè âåêòîðàìè eµ . 3. Ðàññìîòðèì âåêòîð ñèãíàòóðîé à) Îïðåäåëèòü, ÿâëÿåòñÿ âåêòîð B ïðîñòðàíñòâåííîïîäîáíûì, âðåìåíèïî- äîáíûì èëè èçîòðîïíûì (ñâåòîïîäîáíûì). á) Íàéòè ìíîæåñòâî âñåõ âåêòîðîâ, îðòîãîíàëüíûõ âåêòîðó B. 4. Íàáëþäàòåëü, äâèæóùèéñÿ ñ ïîñòîÿííîé 4-ñêîðîñòüþ u, èçìåðÿåò ïàðàìåòðû m è 4-èìïóëüñîì p. ×åìó ðàâíà ÷àñòèöû ⃗ v? ñâîáîäíî äâèãàþùåéñÿ ÷àñòèöû ñ ìàññîé ïîêîÿ èçìåðÿåìàÿ íàáëþäàòåëåì îáû÷íàÿ ñêîðîñòü 5. Íàáëþäàòåëü, äâèæóùèéñÿ ñ ïîñòîÿííîé 4-ñêîðîñòüþ ñâîáîäíî äâèãàþùåéñÿ ÷àñòèöû ñ ìàññîé ïîêîÿ u, èçìåðÿåò ïàðàìåòðû m è 4-èìïóëüñîì p. ×åìó ðàâíà èçìåðÿåìàÿ íàáëþäàòåëåì ýíåðãèÿ ÷àñòèöû? 6. Ìîæåò ëè ÷àñòèöà äâèãàòüñÿ òàê, ÷òîáû âåêòîð 4-óñêîðåíèÿ îñòàâàëñÿ ïîñòîÿííûì? 7. Çåðêàëî äâèæåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî ñâîåé ïëîñêîñòè ñî ñêîðîñòüþ ëî ïàäàåò ëó÷ ñâåòà ïîä óãëîì v . Íà çåðêà- θ ê ïëîñêîñòè çåðêàëà. Êàêîé óãîë ñ ïëîñêîñòüþ v > 0 è v < 0. çåðêàëà îáðàçóåò îòðàæåííûé ëó÷? Ðàññìîòðåòü ñëó÷àè 8.  óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è íàéòè, êàê ìåíÿåòñÿ ïðè îòðàæåíèè ÷àñòîòà ñâåòà (÷àñòîòà ïðîïîðöèîíàëüíà ýíåðãèè ôîòîíîâ). 9. ×àñòèöà ñ ìàññîé ïîêîÿ m, ëåòÿùàÿ ñî ñêîðîñòüþ ⃗v , ñòàëêèâàåòñÿ ñ íåïîäâèæM è óïðóãî îòðàæàåòñÿ îò íåå (ëåòèò íàçàä). íîé ÷àñòèöåé ñ ìàññîé ïîêîÿ Íàéòè ñêîðîñòè ÷àñòèö ïîñëå ñòîëêíîâåíèÿ. 10. Ìîæåò ëè èçîëèðîâàííûé ñâîáîäíûé ýëåêòðîí à) èñïóñòèòü ôîòîí, á) ïîãëîòèòü ôîòîí? 11. Íåéòðàëüíàÿ ÷àñòèöà A ñ ìàññîé ïîêîÿ M íàëåòàåò íà òàêóþ æå ïîêîÿùóþñÿ ÷àñòèöó. Êàêîé ìèíèìàëüíîé ýíåðãèåé äîëæíà îáëàäàòü íàëåòàþùàÿ ÷àñòèöà, ÷òîáû ñòàëî âîçìîæíûì ðîæäåíèå òðåòüåé òàêîé æå ÷àñòèöû ïî ñõåìå A+A → A + A + A? 12. Ïðîòîí P ñ ìàññîé ïîêîÿ M íàëåòàåò íà ïîêîÿùèéñÿ ïðîòîí. Êàêîé ìèíèìàëü- íîé ýíåðãèåé äîëæåí îáëàäàòü íàëåòàþùèé ïðîòîí, ÷òîáû ñòàëî âîçìîæíûì ðîæäåíèå ïàðû ïðîòîí-àíòèïðîòîí ïî ñõåìå P + P → P + P + P + P̄ ? 13. ×àñòèöà ñ ìàññîé ïîêîÿ ïîëå E, m è çàðÿäîì íàïðàâëåííîå âäîëü îñè x. q ïîìåùåíà â îäíîðîäíîå ýëåêòðè÷åñêîå Íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â ëàáî- ðàòîðíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà, åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò ÷àñòèöà èìåëà íóëåâóþ ñêîðîñòü. Íàðèñîâàòü ìèðîâóþ ëèíèþ ÷àñòèöû â êîîðäèíàòàõ x, t. Íàéòè 4- âåêòîð óñêîðåíèÿ ÷àñòèöû. 14. Îïðåäåëèòü çàêîí äâèæåíèÿ ÷àñòèöû ñ ìàññîé ìàãíèòíîì ïîëå èìåëà ñêîðîñòü m è çàðÿäîì q â îäíîðîäíîì B , íàïðàâëåííîì ïî îñè z , åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò v âäîëü îñè x. Íàéòè 4-âåêòîð óñêîðåíèÿ ÷àñòèöû. ÷àñòèöà 15. Òåíçîð ýíåðãèè-èìïóëüñà ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê F µα Fαν − 1 4 η µν F αβ Fαβ . Íàéòè ñëåä òåíçîðà ýíåðãèè-èìïóëüñà íèòíîãî ïîëÿ. 2 Tµµ T µν = ýëåêòðîìàã-