Практикум по теории статистики

Камчатский государственный технический университет
Кафедра экономики и управления
Р.А. Кильдеева
ПРАКТИКУМ ПО СТАТИСТИКЕ
Методическое пособие для студентов экономических
специальностей очной и заочной форм обучения
Петропавловск-Камчатский
2005
УДК 311(075.8)
ББК 60.6
К51
Рецензент
Ю.С. Морозова,
кандидат экономических наук,
доцент кафедры менеджмента КамчатГТУ
Кильдеева Р.А.
К51
Практикум по статистике. Методическое пособие для
студентов экономических специальностей очной и заочной
форм обучения. – Петропавловск-Камчатский: КамчатГТУ,
2005. – 240 с.
Практикум по статистике составлен в соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта высшего
профессионального образования и типовой учебной программой
дисциплины «Статистика».
Рекомендовано к изданию решением учебно-методического
совета КамчатГТУ (протокол № 6 от 18 марта 2005 г.).
УДК 311(075.8)
ББК 60.6
© КамчатГТУ, 2005
© Кильдеева Р.А., 2005
2
ГЛАВА 1. СТАТИСТИЧЕСКОЕ НАБЛЮДЕНИЕ
Любое статистическое исследование, любое познание общественной жизни начинается со сбора сведений (данных, фактов) об
изучаемых явлениях и процессах. Научно организованная работа
по сбору статистической информации о явлениях и процессах общественной жизни называется статистическим наблюдением.
Статистическое наблюдение имеет программу и организационный
план и проводится с наблюдением ряда требований, важнейшими
из которых являются достоверность и полнота информации.
Практические занятия по данной теме проводятся для того,
чтобы помочь изучающему курс общей теории статистики усвоить
основные темы и выработать практические навыки для проведения
статистического наблюдения. С этой целью предусматривается решение следующих типовых задач:
1.1. Программа статистического наблюдения
Методические указания и решение типовой задачи
Статистическое наблюдение следует проводить по строго определенному плану, включающему как программные, так и организационные вопросы. В плане статистического наблюдения основной вопрос – программа наблюдения. При её составлении исходят
из цели и задач исследования. Программа статистического наблюдения включает: определение объекта наблюдения и единиц совокупности; разработку программы описания единиц совокупности,
установление перечня признаков, по которым дается характеристика явления, или, иначе, перечня вопросов, по которым собираются
сведения; формулировку вопросов программы и подсказ ряда возможных ответов; последовательность постановки вопросов в программе. Исходя из целей и задачи статистического исследования
необходимо проверить и закрепить знания по этим вопросам путем
проектирования программы наблюдения.
Задача 1. Поставлена задача, исследовать успеваемость студентов первого курса Всесоюзного заочного финансовоэкономического института (ВЗФЭИ) и факторы, на неё влияющие
по результатам зимней экзаменационной сессии.
3
Требуется определить объект наблюдения, единицу совокупности и составить программу наблюдения.
Итак, определим объект статистического наблюдения. Казалось бы, вопрос прост, так как объектом наблюдения являются студенты первого курса ВЗФЭИ. Но это не совсем так. Необходимо
уточнение. Во-первых, подлежат обследованию не все студенты, а
только принимающие участие в зимней экзаменационной сессии.
Студенты заочник ВЗФЭИ условно подразделяются на две категории: «городские», проживающие в городах или пригородах, где
имеются территориальные подразделения института (территориальные факультеты, филиалы или учебно-консультационные пункты), и «периферийные», прикрепленные к этим подразделениям и
проживающие на остальной части обслуживаемой ими территории.
Из этого контингента некоторая часть студентов не могла принять
участие в зимней экзаменационной сессии из-за болезни, в связи с
командировками и по другим уважительным причинам. Эти студенты не подлежат обследованию. Значит, обследованию подлежат
только те студенты, которые приняли участие в зимней экзаменационной сессии. Во-вторых, так как поставлена задача не только
дать оценку успеваемости по результатам зимней экзаменационной
сессии, но и характеризовать факторы успеваемости, то необходимо объект обследования отделить от той части студентов, которые
были приняты в результате перевода из других институтов или были приняты в институт не в данном учебном году (имели академические отпуска, оставлены на повторное обучение), но приняли
участие в зимней сессии. Эта часть студентов также обследованию
не подлежит. Следовательно, объект исследования – совокупность
студентов первого курса ВЗФЭИ приема текущего года, участвовавших в зимней экзаменационной сессии.
Далее определим единицу совокупности. Мы установили, что объект исследования – это совокупность студентов первого курса ВЗФЭИ.
Значит, единицей этой совокупности является отдельный студент.
Далее переходим к разработке программы статистического
наблюдения, к перечню признаков, которыми необходимо характеризовать каждого студента. Правильно составленная программа статистического наблюдения обеспечивает успех исследования. В неё
включают наиболее существенные признаки, отвечающие поставленной цели. Важно установить не только признаки, но четко, ясно дать
ей формулировки, подсказать ожидаемые ответы. Вопросы програм4
мы записывают в статистический формуляр (бланк, анкету, форму
отчетности и т.д.). Центральный признак в нашем примере – результаты сессии. Чтобы получить сведения о них, каждому студенту зададим следующий вопрос: какие оценки он получил по каждому предмету на зимней сессии? Ответ на поставленный вопрос получим в
словесной форме: отлично. Хорошо. Удовлетворительно или в форме
подчеркивания соответствующего подсказа.
Далее выявим признаки-факторы успеваемости. Прежде всего
установим признаки, характеризующие студента первого курса до
его поступления в вуз: тип учебного заведения, которое закончил
(средняя школа, техникум), окончена ли школа с золотой медалью,
техникум – с отличием (да., нет), средний балл аттестата, длительность перерыва в учебе после окончания учебного заведения
(сколько лет не учился), стаж практической работы до поступления
в институт (число лет, если менее одного года, то месяцев), работает ли студент по избранной в вузе специальности или нет. Перечисленные признаки дают характеристику теоретической подготовки и возможностей учебы в вузе. Важными признаками –
факторами успеваемости являются признаки, характеризующие
учебу студентов в 1 семестре. В условиях заочного вуза занятия на
1 курсе для студентов, живущих в городах и пригородах, где имеются территориальные подразделения вуза, т.е. городских студентов и периферийных, проходят по-разному. Первые занимаются по
типу вечернего обучения с посещением занятий два-три раза в неделю, вторые вызываются осенью на установочную сессию, а в
межсессионный период (по их просьбе) получают письменные консультации. Поэтому нас интересует явка студентов на установочную сессию и посещаемость очных занятий городскими студентами, а также своевременность выполнения практических
письменных заданий (курсовых, контрольных и аудиторных работ).
При ответе на вопрос о своевременности выполнения практических
письменных работ по каждому предмету следует указать: выполнено в срок, выполнено с опозданием на одну неделю, на две недели, свыше двух недель. При социологических обследованиях нужно включать общие и демографические признаки: фамилию,
инициалы студента (в контрольных целях), пол (мужской, женский), возраст (число исполнившихся лет), состояние в браке (состоит в браке, не состоит), национальность, наличие детей (нет,
есть, если есть, то сколько).
5
Есть много других факторов, которые влияют на успеваемость
студентов. Но нельзя без предела расширять программу наблюдения. Есть факторы, которые трудно статистически измерить (например, способность студента к усвоению учебного материала, работоспособность, бюджет его времени). Следует помнить, что в
программе статистического наблюдения нужно ставить только такие вопрос, которые не допускают различного толкования и на которые можно получить достоверные ответы.
Заключительной частью работы по составлению программы
наблюдения является определение порядка расположения вопросов
в статистическом формуляре и разработка его формы. Обязательным элементом статистического формуляра является наличие
титульной а адресной части. В титульной части указываются наименование статистического наблюдения, дата и орган, утвердивший форму, дата получения сведений, а в адресной - наименование
или фамилия, имя, отчество обследуемой единицы совокупности и
её адрес. В нашем примере в адресной части следует указать наименование территориального подразделения института (филиал,
факультет, учебно-консультационный пункт, например Орловский
УКП). За образец при разработке формуляра рекомендуем взять
переписной лист переписи населения, приведенный в приложении
1. Порядок расположения вопросов в формуляре должен быть таким, чтобы ответы на предыдущие вопросы логично контролировали правильность ответов на последующие вопросы. Поэтому
лучше начать с общих и демографических данных: фамилия, имя,
отчество. Пол, возраст, семейное состояние, наличие детей, национальность. Такая последовательность вопроса позволяет контролировать ответы на них. Далее следует перейти к вопросам, характеризующим студента первого курса до поступления в институт,
вопросу о типе учебного заведения, которое закончил (среднюю
школу, техникум), о времени его окончания (год окончания), о
стаже практической работы (число лет, месяцев), о работе по специальности или нет. Вопросы о времени окончания учебного заведения, о стаже работы (если работа и учеба не были совмещены)
проверяются по данным о возрасте. Затем необходимо поставить
вопросы о результатах приемных испытаний (число баллов по аттестату, диплому, число баллов на вступительных экзаменах), учеба в 1 семестр, результатах зимней экзаменационной сессии.
6
После установления порядка тщательно сформулированные
вопросы располагают так, чтобы было достаточно места для ответа,
а также и для возможных исправлений. Рекомендуется на формуляре оставлять место для шифровки.
Задачи
1.1. Определите объект наблюдения, единицу совокупности и
разработайте программу статистического наблюдения для изучения
успеваемости студентов: 1) первого курса заочного института по
результатам весенней экзаменационной сессии; 2) второго курса
заочного института в связи с затратами времени на самостоятельную подготовку.
1.2. Определите объект наблюдения, единицу совокупности и
разработайте программу статистического наблюдения для изучения
связи между результатами государственных экзаменов и текущей
успеваемости студентов дневных и заочных факультетов.
2. Назовите форму ответа на вопросы переписного листа переписи населения (прил. Д1). Результаты классификации представьте в табл. 1.1.
Таблица 1.1.
Номер
п/п
Форма ответа
1
2
3
Номер вопроса переписного листа,
на который дается ответ
в соответствующей форме
Словесная
Численная
Альтернативная
3. Для улучшения организации труда и отдыха составьте проект программы статистического изучения бюджета времени, выделив при этом три группы затрат времени по назначению – рабочее,
внерабочее время и свободное время следующих групп населения:
1) студента дневного факультета; 2) студента заочного факультета;
3) рабочего промышленного предприятия; 4) работника торговли.
4. Определите перечень важнейших вопросов (признаков),
характеризующих как единицу совокупности: 1) промышленное
предприятие; 2) сельскохозяйственное предприятие; 3) торговое предприятие; 4) предприятие связи; 5) семью; 6) отдельного человека.
7
5. Разработайте проект плана статистического обследования и
определите цель наблюдения, объект наблюдения, единицу совокупности, составьте программу наблюдения, формуляр и инструкцию к нему, спроектируйте макеты статистических таблиц, предназначенных для характеристики итогов обследования: 1) переписи
промышленных предприятий; 2) сельскохозяйственной переписи;
3) торговой переписи; 4) переписи школ.
1.2. Организация статистического наблюдения
Методические указания и решение типовой задачи
К организационным вопросам статистического наблюдения
относятся: определение единицы наблюдения, установление времени и сроков его проведения, определение форм и видов наблюдения, а также способов регистрации фактов.
Задача 2. Используя данные типовой задачи 1, решим организационные вопросы статистического наблюдения. Единицей наблюдения, от которой получат статистические сведения при обследовании факторов успеваемости студентов первого курса ВЗФЭИ,
будет территориальное подразделение института (филиал, факультет, учебно-консультационный пункт). Статистическими формулярами – носителями информации являются анкеты, которые должны
заполнять методисты этих подразделений.
Временем проведения наблюдения является январь-февраль,
так как зимняя сессия проводится в разное время для городских и
периферийных студентов. Заполнение анкет должно быть ограничено коротким периодом времени (например, десятидневным сроком) после окончания сессии. При выборе времени наблюдения
решается вопрос о критическом моменте. Он очень важен при единовременных наблюдениях, таких, как перепись населения. В нашем
примере критический момент мы не фиксируем из-за разного времени окончания зимней экзаменационной сессии и ограничимся указанием, что анкеты должны быть заполнены в десятидневный срок
после окончания сессии. Общие и демографические сведения, а также ведения об окончании школы, техникума, вступительных экзаменов, о посещении занятий и своевременности выполнения письменных работ можно записать до начала экзаменационной сессии.
8
Далее определим форму организации статистического наблюдения и его виды. Выделяют два способа организации сбора статистических сведений – отчетность и специально организованное наблюдение. Виды наблюдения классифицируют по полноте охвата
единиц совокупности – сплошное и не сплошное (выборочное, основного массива, анкетное, монографическое); по учету фактов во
времени – текущее (постоянное), периодическое и единовременное.
Изучение факторов успеваемости студентов организуется путем
специально организованного наблюдения и проектируется по виду
как сплошное и единовременное наблюдение. Однако данное исследование можно организовать и как не сплошное наблюдение, но
в этом случае оно должно быть выборочным, поэтому далее должны быть решены вопросы об определении численности единиц выборочной совокупности, о способах отбора и др.
Затем переходим к вопросу о способах учета фактов статистического наблюдения. Различают три способа учета фатов: непосредственный учет (путем осмотра, измерения и т.д.), документальный учет (на
основе документов в основном учетного характера) и опрос обследуемых лиц (экспедиционный способ, саморегистриция, корреспондентский способ). Для нашего исследования применим документальный
способ учета. Методисты территориальных подразделений заполняют
анкеты на основании следующих документов учетного характера: личных дел студентов (по общим и демографическим вопросам, о типе
учебного заведения и времени его окончания, стаже работы, специальности), журналов посещаемости занятий, книг регистрации выполнения
заданий по дисциплинам (о своевременности выполнения практических
занятий, контрольных и аудиторных работ).
Задачи
6. Изучение показателей организации труда и отдыха проводится в порядке несплошного наблюдения. Определите форму,
наилучший вид несплошного наблюдения, способ отбора, время,
место и критический момент по данным задачи 5 гл. 1.
7. В табл. 1.2 дан перечень нескольких статистических наблюдений. Укажите, в какой форме и виду статистического наблюдения относится каждое из них.
8. В приведенном перечне статистических наблюдений (задача
7) выделите несплошные виды наблюдений и укажите их виды:
выборочное, основного массива, анкетное или монографическое.
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Отчет промышленного
предприятия о выполнении плана реализации продукции
Перепись промышленных предприятий
Учет
использования
рабочего времени
Учет автомобилей на 1
января каждого года
Перепись населения
Регистрация актов гражданского состояния
(рождений,
смертей,
браков, разводов)
Перепись скота на 1
января ежегодно
Проверка
полноты
учета скота в 10% хозяйств населения (10%ные контрольные обходы)
Ежеквартальный учет
остатков товаров в
торгово-складской сети
10
единовременное
периодическое
статисти- специческая
ально
отчеторганиность
зованное
текущее
На б л ю д е н и е
не сплошное
Формы и виды наблюдения
По полноте
Формы организации
По учету
охвата едистатистического
фактов во
ниц совонаблюдения
времени
купности
сплошное
Номер п/п
Таблица 1.2
1.3. Приемы контроля результатов статистического наблюдения
Методические указания и решение типовой задачи
Статистический материал, собранный в результате статистического наблюдения, должен быть точным, достоверным. Поэтому
первичный материал перед его обработкой подвергается предварительному контролю, который может быть логическим и арифметическим (счетным).
Задача 3. Имеются следующие данные из формы № 3-торг
«Отчет о поступлении, продаже и остатках товаров» торговой организации за квартал (тыс. руб.):
Номер п/п
Наименование
товарных групп
Остатки товаров
на начало квартала
Поступило товаров
за квартал
Передано в общественное
питание и прочий документированный
расход, не являющийся
розничной продажей
Продано в розницу
и прочий недокументированный расход
(гр. 1 + гр.2 – гр.3 – гр.5)
Остатки товаров
на конец квартала
Таблица 1.3.
1
2
3
4
А
Мясо
Масло животного
Сахар
Кондитерские изделия
Итого
1
32
20
35
55
142
2
270
95
215
210
790
3
60
5
13
8
86
4
212
900
213
197
712
5
30
20
32
60
142
Требуется проверить правильность исчисления данных гр. 4 и
итоговых показателей. Следует иметь в виду, что движение товаров
в торговом предприятии можно представить в балансовой форме,
которая имеет вид следующего уравнения:
остаток
на начало
периода
+
поступление
за период
=
расход
за период
+
(гр. 1 + гр. 2 = гр. 3. + гр. 4 + гр. 5.
Отсюда гр. 4 = гр. 1 + гр. 2 – гр. 3 – гр.5)
11
остаток
на конец
периода
При контроле можно применить логическую и арифметическую проверки.
Начинаем проверку с первой товарной группы – мясо. Сличаем остатки, поступление и продажу. Наблюдаются незначительные расхождения. Далее проверяем арифметически: 32 + 270 =
= 60 + 212 + 30, т.е. 302 = 302. Имеется балансовое равенство.
Проверяем (гр.4) «продано в розницу»: 32 + 270 – 60 – 30 = 212.
Ответы увязываются логически и арифметически. По товарной
группе – масло животное – обращает на себя внимание в гр. 4
цифра 900. Проверяем, есть ли балансовая увязка: 20 + 90 ≠ 5 +
+ 900 + 20. Равенства нет.
Исходя из взаимосвязи показателей исчисляем данные гр. 4.
Получили 90(20 + 95 – 5 – 20 = 90). Теперь проверяем балансовое
равенство: 20 + 95 = 5 + 90 + 20, т. е. 115 = 115. Оно имеется. Значит, допущена ошибка. Видимо, при заполнении отчета механически вместо цифры 90 записана цифра 900, т.е. подставлен лишний
нуль. Вносим исправление: в гр.4, стр. 2 вместо 900 ставим 90.
Аналогично проверяем каждую строку отчета по товарной
группе. По товарной группе – сахар – не получается балансовой
увязки (35 + 215≠13 + 213 + 32). Проверяем расчет гр.4: 35 + 215 –
– 13 – 32 = 205. В отчете записано 213, значит, допущена арифметическая ошибка. Вносим исправления: вместо 213 записываем 205.
По кондитерским изделиям балансовая увязка получается
155 + 210 = 8 + 197 + 60, т. е. 265 = 265. Ошибки нет. Далее проверяем итоговые показатели отчета, суммируя данные по каждой
графе отдельно, и затем увязываем в балансовое равенство. Итоги
по гр.1, 2, 3, 5 подсчитаны правильно. По гр. 4 с учетом внесенных
исправлений получаем 704 (212 + 90 + 205 + 197) и записываем
вместо 712. Теперь итоговые данные соответствуют балансовой
схеме: 142 + 790 = 86 + 704 + 142, т. е. 932 = 932.
Отчет проверен, исправления внесены, данные можно использовать для оперативной и аналитической работы.
Задачи
9. Имеются следующие данные о стоимости годовой продукции и полуфабрикатов по трем заводам фирмы «Восход» за отчетный год (тыс.руб.):
12
Таблица 1.4
Номер
завода
1
2
3
Итого
Стоимость годовой
продукции
450
520
760
1570
Стоимость
полуфабрикатов
110
90
160
360
Всего
560
610
860
1930
Произведите арифметический контроль и внесите исправления.
10. Имеются следующие отчетные данные о численности промышленно-производственного персонала завода за год (чел.):
Таблица 1.5
Категория работников
Рабочие
Ученики
ИТР
Служащие
Младший обслуживающий персонал
Пожарно-сторожевая охрана
Итого
Среднегодовая численность работников
Цех № 1
Цех № 2
Всего
320
375
695
30
25
50
35
37
67
17
14
32
6
6
12
5
5
10
413
460
873
Произведите арифметический контроль и внесите исправления.
11. Имеются данные баланса межрайонного грузооборота продукта А за отчетный период (тыс. руб.):
Таблица 1.7
Район
отправления
Никольский
Петровский
Сергеевский
Итого прибыло
Никольский
15
33
17
65
Район прибытия
Петровский
Сергеевский
30
20
5
15
21
25
51
50
Итого
отправлено
65
48
53
166
Произведите арифметический контроль грузооборота по районам и внесите исправления.
12.1. Имеются следующие данные о розничном товарообороте
торговой организации за отчетный год (форма №1-торг; тыс. руб.):
13
Таблица 1.8
Код
строки
План
Фактически
Б
1
2
Из общего объема
продажи товаров организациям, учреждениям и предприятиям
(мелкий опт)
3
01
450
475
20
02
150
160
-
03
90
1000
Х
04
690
635
20
А
Розничный товарооборот
торговой сети
Розничный товарооборот
общественного питания
Реализованная продукция
собственного производства (включая оптовую продажу)
Весь розничный товарооборот (стр. 01+ стр.02)
Произведите логический и арифметический контроль данных и
внесите исправления.
12.2. Имеются следующие данные о посевной площади озимой
пшеницы, валовом сборе и урожайности колхозов за отчетный год:
Номер п/п
Таблица 1.9
1
2
3
4
Наименование товара
«Заветы Ильича»
«Красный Октябрь»
«Первомайский»
«60 лет Октября»
Итого
Посевная
площадь, га
Валовой сбор
озимой пшеницы, ц
Средняя
урожайность,
ц с 1 га
450
700
630
880
2 660
9 450
22 400
15 750
20 240
67 840
21,0
32,0
25,0
13,0
25,5
Произведите логический и арифметический контроль и внесите исправления.
13. С помощью логического контроля установите, есть ли
ошибки в записи ответов переписного листа сплошной переписи:
13.1. 1) фамилия, и., о.
2) пол
3) возраст
- Цветков Е.И.
- мужской
- 5 лет
14
4) состояние в браке
5) национальность
6) образование
7) источник средств
существования
- состоит в браке
- русский
- не имеет начального
- стипендия
13.2. 1) фамилия, и., о.
2) пол
3) возраст
4) состояние в браке
5) национальность
6) образование
7) источник средств
существования
- стипендия
- Цветкова И.С.
- мужской
- 25 лет
- состоит в браке
- русская
- средне специальное
Установите возможность исправления обнаруженных ошибок.
14. С помощью логического контроля подвергните проверке
следующую запись ответов на вопросы переписного листа выборочной переписи населения 2002 г.
14.1. 1) фамилия, и., о.
2) пол
3) возраст
4) состоит ли в браке
5) национальность
6) родной язык
7) образование
8) источник средств
существования
9) место работы
10) занятие по этому месту
работы
11) общественная группа
- Антонов Н.В.
- мужской
- 50 лет, родился в феврале 1952 г.
- нет
- русский
- русский
- высшее
- работа на предприятии, в
учреждении
- мебельная фабрика
- главный бухгалтер
14.2. 1) фамилия, и., о.
2) пол
3) возраст
4) состоит ли в браке
5) национальность
6) родной язык
7) образование
8) источник средств
существования
9) место работы
- Антонова И.С.
- мужской
- 5 лет, родилась 16 января 1934 г.
- да
- украинка
- русский
- среднее специальное
- рабочий
- стипендия
- детский сад «Солнышко»
15
10) занятие по этому месту
работы
11) общественная группа
- воспитатель
- служащая
В ответах на какие вопросы вероятнее всего произведены
ошибочные записи? Установите возможность их исправления.
Критический момент переписи 12 ч. ночи с 16 на 17 января.
ГЛАВА 2. СВОДКА И ГРУППИРОВКА
СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ
2.1. Построение рядов распределения
по количественному признаку, по атрибутивному признаку
Методические указания и решение типовых задач
В результате первой стадии статистического исследования –
статистического наблюдения – получают сведения о каждой единице совокупности. Задача второй стадии статистического исследования состоит в том, чтобы упорядочить и обобщить первичный
материал, свести его в группы и на этой основе дать обобщенную
характеристику совокупности. Этот этап в статистике называется
сводкой.
Различают простую сводку (подсчет только общих итогов)
и статистическую группировку, которая сводится к расчленению
совокупности на группы по существенному для единиц совокупности признаку. Группировка позволяет получить такие результаты,
по которым можно выявить состав совокупности, характерные черты и свойства типичных явлений, обнаружить закономерности и
взаимосвязи.
Результаты сводки могут быть представлены в виде статистических рядов распределения.
Статистическим рядом распределения называют упорядоченное распределение единиц совокупности на группы по изучаемому
признаку. В зависимости от признака ряды могут быть вариационные (количественные) и атрибутивные (качественные). Количественные признаки – это признаки, имеющие количественное выра16
жение у отдельных единиц совокупности, например заработная
плата рабочих, стоимость продукции промышленных предприятий,
возраст людей, урожайность отдельных участков посевной площади и т.д.
Атрибутивные признаки – это признаки, не имеющие количественной меры. Например, пол (мужской, женский), отрасль народного хозяйства, вид продукции, профессия рабочего и т.д. Вариационные ряды могут быть дискретными или интервальными.
Дискретные ряды распределения – это ряд, в котором варианты выражены целым числом. Примером может служить распределение рабочих по тарифным разрядам:
тарифный разряд
1-й
2-й
3-й
4-й
5-й
6-й
число рабочих, чел.
10
20
40
60
50
20
200
Интервальный ряд распределения – это ряд, в котором значения
признака заданы в виде интервала. Например, распределение рабочих по разрядам можно представить в виде интервального ряда:
тарифный разряд
1 – 2-й
3 – 4-й
5 – 6-й
число рабочих, чел.
30
100
70
200
При определении интервальных рядов распределения необходимо определить, какое число групп следует образовать и какие взять
интервалы (равные, неравные, закрытые, открытые). Эти вопросы решаются на основе экономического анализа сущности изучаемых явлений, поставленной цели и характера измерений признака. Рассмотрим методику составления ряда распределения на примере.
Задача 1. Имеются следующие данные о работе 24 заводов одной из отраслей промышленности:
17
Номер п/п
Таблица 2.1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Среднегодовая
стоимость основных
производственных
фондов, млн. руб.
Среднесписочное
число работающих за отчетный
период, чел.
Производство
продукции за
отчетный период, млн. руб.
Выполнение
плана, %
3,0
7,0
2,0
3,9
3,3
2,8
6,5
6,6
2,0
4,7
2,7
3,3
3,0
3,1
3,1
3,5
3,1
5,6
3,5
4,0
1,0
7,0
4,5
4,9
94,1
360
380
220
460
395
280
580
200
270
340
200
250
310
410
635
400
310
450
300
350
330
260
435
505
8 630
3,2
9,6
1,5
4,2
6,4
2,8
9,4
11,9
2,5
3,5
2,3
1,3
1,4
3,0
2,5
7,9
3,6
8,0
2,5
2,8
1,6
12,9
5,6
4,4
114,8
103,1
120,0
109,5
104,5
104,8
94,3
108,1
125,0
101,4
102,4
108,5
102,1
112,7
92,0
108,0
111,1
96,9
114,1
108,0
107,0
100,7
118,0
111,9
104,7
––––––
Если по каждому абсолютному показателю таблицы подвести
итоги, то получим простую сводку. Однако только по итогам и отдельным показателям трудно судить о характере распределения
заводов, например по проценту выполнения плана, по числу работающих или по стоимости основных фондов, о том, какие значения
показателей являются наиболее характерными для данной отрасли
за отчетный год. Для этого имеющиеся данные надо привести в
систему по интересующему нас признаку. В качестве изучаемого
признака возьмем, например, стоимость основных фондов и построим по нему ряд распределения с равными закрытыми интервалами. Величина интервала в этом случае определяется по формуле
18
х мах − х мin
,
число групп
где хмах и хmin – соответственно максимальное и минимальное значения стоимости основных фондов.
Образуем пять групп заводов. Тогда величина интервала будет
равна:
7,0 − 1,0
i=
= 1,2 .
5
Теперь образуем группы заводов, отличающиеся друг от друга
по среднегодовой стоимости основных производственных фондов на
эту величину. Первая группа заводов будет иметь размер основных
производственных фондов в пределах от 1 до 2,2 млн. руб., вторая
группа определится в пределах границ от 2.2 до 3.4 и т.д. Распределив заводы по группам, подсчитаем число заводов в каждой из них.
Техника подсчета проста. Можно сделать выборку нужных значений из табл. 2.1 и занести их предварительно в рабочую таблицу:
i=
Группы заводов по стоимости
основных производственных фондов, млн. руб.
1,0 – 2,2
2,2 – 3,4
3,4 – 4,6
4,6 – 5,8
5,8 – 7,0
Число заводов
ΙΙΙ
ΙΙΙΙ ΙΙΙΙ
ΙΙΙΙ
ΙΙΙ
ΙΙΙΙ
Примечание. Каждая черта соответствует единице совокупности, т.е. одному заводу. Счет ведется пятерками – каждые четыре
черты перечеркиваются пятой.
На основании рабочей таблицы составляется ряд распределения заводов по размеру основных фондов:
Таблица 2.2
Группы заводов по стоимости
основных производственных
фондов, млн.руб.
1,0 – 2,2
2,2 – 3,4
3,4 – 4,6
4,6 – 5,8
5,8
Итого
Число заводов
3
9
5
3
4
24
19
Удельный вес заводов
группы в процентах к
итогу
12,5
37,5
20,8
12,5
16,7
100,0
Этот способ подсчета сводится к следующему. Предварительно составляется ранжированный ряд распределения, т.е. ряд, в котором значение признака располагается в возрастающем или убывающем порядке, и счет ведется по группам.
Построим ранжированный ряд заводов по стоимости основных
производственных фондов в возрастающем порядке:
Таблица 2.3
Номер
группы
I
II
III
IV
V
Стоимость основных
производственных фондов, млн. руб.
1.0
2.0
2.0
2.7
2.8
3.0
3.0
3.1
3.1
3.1
3.3
3.3
3.5
3.5
3.9
4.0
4.5
4.7
4.9
5.6
6.5
6.6
7.0
7.0
Номер завода по порядку
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
По данным ранжированного ряда хорошо видно изменение
стоимости основных производственных фондов и легко обозначить
границы групп. В группу заводов с размером стоимости основных
фондов 1 – 2,2 войдут первые по порядку три завода, во вторую
группу 2.2 – 3,4 войдут следующие по порядку девять заводов и
т.д. Составив предварительно макет таблицы и заполнив его, получим табл. 2.3, аналогичную табл. 2.2.
20
Как видно из табл. 2.2, ряд распределения состоит из двух
элементов: 1) значения признака; 2) абсолютной численности единиц признака.
Для большей наглядности абсолютные величины могут быть
дополнены относительными показателями (частностями), выраженными в процентах. Таким образом, обобщение данных в виде
ряда распределения позволяет видеть вариацию и состав совокупности по изучаемому признаку, сравнивать между собой группы,
изучать их в динамике. Итак, ряд распределения заводов по стоимости основных производственных фондов показывает, что для
данной отрасли характерной является группа заводов с основными
фондами от 2.2 до 3.4 млн. руб., которая составляет 37,5% всех заводов, и что более половины заводов (58,3%) имеют стоимость основных фондов в размере от 2,2 до 4,6 млн. руб.
Интервалы в рядах распределения могут быть неравными –
прогрессивно возрастающими или прогрессивно убывающими. Это
характерно для совокупностей с большими колебаниями значений
признака.
Примером может служить следующий ряд распределения:
Таблица 2.4
Группы заводов по объему
продукции, млн. руб.
До 100
100-200
200-400
400-700
700-1 000
Свыше 1 000
Число заводов
2
3
5
4
6
10
30
Удельный вес заводов
в процентах к итогу
6,7
10,0
16,7
13,3
20,0
33,3
100,0
Этот ряд имеет также открытые интервалы в первой и последней группах.
Рассмотрим ряды распределения по атрибутивному признаку.
Задача 2. По данным табл. 2.1 произведем группировку по атрибутивному признаку, выделив две группы заводов: не выполнивших план и выполнивших план.
Подсчитав число заводов по группам, и оформив результаты в
виде таблицы, получим следующий ряд распределения заводов по
результатам производственной деятельности.
21
Таблица 2.5
Группы заводов
Число заводов
Не выполнившие план
Выполнившие план
Итого
3
21
24
Удельный вес заводов
в процентах к итогу
12,5
87,5
100,0
Табл. 2.5 дает наглядное представление о составе совокупности и характеризует производственную деятельность отрасли.
При построении атрибутивных рядов распределения не возникает проблемы расчета численности групп, размера интервалов, так
как сам признак часто предопределяет их число. Например, распределение населения по полу дает всего две группы населения:
мужчин и женщин; распределение по образованию – столько
групп, сколько видов образования, и т.д.
Задачи
1.1. По данным табл. 2.1 постройте ряд распределения по числу работающих, образовав пять групп заводов с равными интервалами. Сделайте выводы.
1.2. По данным табл. 2.1 произведите распределение заводов
по проценту выполнения плана, образовав следующие группы заводов: 1) не выполнившие план; 2) выполнившие план. Заводы,
выполнившие план, распределите на следующие подгруппы по
проценту выполнения плана: от 100 до 104,9%, от 105 до 114,9%,
свыше 115%. Сделайте выводы.
1.3. По данным табл. 2.1 произведите распределение заводов
по объему выпущенной продукции, образовав четыре группы заводов с равными интервалами. Сделайте выводы.
2.1. Имеются следующие данные:
Таблица 2.6
Колхоз
«Гвардеец»
«Герой»
«Алга»
«Комсомолец»
«Родина»
«Рассвет»
Оплата одного человеко - дня, руб.
27
26
17
28
30
23
22
Колхоз
«Россия»
«Дружба»
«Маяк»
«Знамя»
«Труд»
«Победа»
Оплата одного человека - дня, руб.
35
18
19
32
18
23
Произведите группировку колхозов по размеру оплаты одного
человеко-дня, образовав четыре группы колхозов. Сделайте выводы.
2.2. Уборка картофеля по колхозам области по состоянию на
20 сентября характеризовалась следующими показателями:
Таблица 2.7
Номер
колхоза
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Выполнение
плана, %
83
67
50
47
41
41
39
33
32
32
30
27
7
10
12
11
11
Номер
колхоза
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
Выполнение
плана, %
12
14
15
26
27
30
27
30
23
16
44
53
6
16
23
17
17
Номер
колхоза
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Выполнение
плана, %
70
17
18
28
24
33
20
21
18
28
16
31
45
20
23
22
Произведите группировку колхозов области по проценту выполнения плана уборки картофеля. Укажите наиболее характерную
величину процента выполнения плана.
2.3. На основании годовых отчетов имеются следующие данные о производстве продукции промышленными предприятиями
отрасли:
Таблица 2.8
Номер
предприятия по
порядку
1
1
2
3
4
Производство продукции, шт.
2
350
175
990
3100
Номер
предприятия по порядку
3
15
16
17
18
Производство продукции, шт.
4
356
2700
1900
130
23
Номер
предприятия по порядку
5
29
30
31
32
Производство продукции, шт.
6
91
230
150
260
Окончание таблицы 2.8
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
2370
180
1400
250
1800
80
75
1253
530
240
3
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
4
1000
220
270
4850
5200
90
100
510
5100
2700
5
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
6
305
840
220
205
305
840
310
380
150
290
Произведите группировку предприятий по размеру продукции,
образовав не более восьми групп.
3.1. В результате обследования рабочих механического цеха
завода получены следующие данные о профессиональном составе
рабочих:
Таблица 2.9
Номер рабочего
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Профессия
токарь
токарь
фрезеровщик
наладчик
строгальщик
фрезеровщик
фрезеровщик
токарь
сверловщик
токарь
токарь
револьверщик
токарь
револьверщик
наладчик
фрезеровщик
сверловщик
Номер рабочего
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
Профессия
сверловщик
строгальщик
токарь
токарь
токарь
фрезеровщик
револьверщик
слесарь
токарь
строгальщик
фрезеровщик
револьверщик
шлифовщик
шлифовщик
револьверщик
слесарь
слесарь
Постройте ряд распределения рабочих цеха по профессиям. Определите удельный вес рабочих в каждой группе. Сделайте выводы.
3.2. Получены следующие данные о рабочих экспериментального цеха завода:
24
Таблица 2.10
Номер рабочего
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Профессия
механик
слесарь-сборщик
слесарь-сборщик
механик
механик
слесарь
слесарь-сборщик
механик
механик
слесарь
слесарь-лекальщик
слесарь-лекальщик
механик
слесарь
слесарь-сборщик
слесарь
Формы оплаты труда
повременная
сдельная
сдельная
повременная
повременная
сдельная
сдельная
повременная
повременная
сдельная
сдельная
сдельная
повременная
сдельная
сдельная
сдельная
Произведите группировку рабочих цеха, построив ряды распределения: 1) по профессиям; 2) по форме оплаты труда. Сделайте
краткие выводы.
3.3. В результате обследования инженерно-технических работников завода по уровню образования получены следующие показатели:
Таблица 2.11
Табельный
номер работника
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Образование
2
высшее
среднетехническое
высшее
среднетехническое
среднетехническое
среднетехническое
высшее
8 классов общеобразовательной школы
высшее
среднетехническое
высшее
среднетехническое
высшее
среднее
высшее
25
Пол
3
мужской
мужской
мужской
женский
мужской
мужской
женский
мужской
женский
женский
женский
мужской
мужской
женский
женский
Окончание таблицы 2.11
1
16
17
18
19
20
21
22
23
24
2
среднетехническое
среднетехническое
среднетехническое
среднее
8 классов общеобразовательной школы
среднетехническое
высшее
среднее
среднетехническое
3
мужской
мужской
женский
мужской
мужской
мужской
мужской
женский
женский
По данным обследования произведите группировку инженерно-технических работников: 1) по полу; 2) по уровню образования.
Сделайте краткие выводы.
2.2. Построение группировки типологической,
структурной и аналитической
Методические указания и решение типовых задач
Статистические ряды распределения позволяют систематизировать и обобщать статистические материалы. Однако они не дают
всесторонней характеристики выделенных групп. Чтобы решить
ряд конкретных задач выявить особенности в развитии явлений,
обнаружить тенденции, установить зависимости, необходимо произвести группировку статистических данных. Для этой цели выбирается группировочный признак и разрабатывается система показателей сводки, которыми будут характеризоваться выделенные
группы. Определение и обоснование показателей целиком зависят
от цели исследования и поставленной задачи. В зависимости от цели и задач исследования различают следующие виды группировок:
типологические, структурные, аналитические.
К типологическим группировкам относятся все группировки,
которые характеризуются качественными особенностями и различия между типами явлений. Здесь особая роль принадлежит выбору
группировочных признаков. За основание группировки должны
быть взяты наиболее существенные признаки, которые непосредственно характеризуют сущность явлений. Группировки должны
быть обоснованны экономически.
26
Структурные группировки имеют большое практическое значение для изучения структуры однотипных явлений. Примерами
могут служить группировки предприятий по проценту выполнения
плана, по числу рабочих и т.д. Значение такого рода группировок
заключается в том, что с их помощью могут быть выделены и изучены группы предприятий передовых, средних, отстающих; выявлены неиспользованные резервы производства, например в области
улучшения использования основных фондов, повышения производительности труда, улучшения качества продукции и т.д. Группировка населения по возрасту, например, необходима для проведения различных расчетов, связанных с медицинским, культурным,
бытовым обслуживанием населения, для вычисления специальных
демографических показателей и т.д. Пример структурной группировки также может служить составленная нами группировка предприятий по размеру основных фондов, представленная в табл. 2.15.
Группировки, которые применяются для исследования взаимосвязи между явлениями, называются аналитическими. Используя аналитические группировки, определяют факторные и результативные
признаки изучаемых явлений. Факторные – это признаки, оказывающие влияние на другие, связанные с ними признаки. Результативные
– признаки, которые изменяются под влиянием факторных.
Чтобы исследовать взаимосвязь между отобранными признаками с помощью метода аналитических группировок, необходимо
произвести группировку единиц совокупности по факторному признаку и по каждой группе исчислить средние значения результативного признака, вариация которого от группы к группе под влиянием группировочного признака будет указывать на наличие или
отсутствие взаимосвязи.
Задача 2. Рассмотрим практическое применение метода группировок по данным табл. 2.1. Поставим задачу выявить в данной
отрасли промышленности распределение предприятий по мощности, а также влияние этого признака на объем производства. Прежде всего выберем группировочный признак, по которому будет
производится группировка. Из экономической теории известно, что
мощность предприятия в значительной степени определяется размером основных фондов (здания, сооружения, машины, оборудование и т.д.). Чтобы выявить распределение предприятий по мощности, разобьем совокупность заводов отрасли на группы по
размеру стоимости основных фондов. Метод образования групп
27
был изложен при построении рядов распределения. Были выделены
пять групп заводов по размеру основных производственных фондов и определено их число в каждой группе заводов. Полученные
группы заводов охарактеризуем показателями: стоимостью основных фондов, числом рабочих и валовой продукцией предприятий.
Оставим макет таблицы с системой показателей, куда занесем результаты группировки заводов по среднегодовой стоимости основных производственных фондов:
человек
в % к итогу
млн. руб.
в % к итогу
Валовая
продукция
в % к итогу
Б
1-2,2
2,2-3,4
3,4-4,6
4,6-5,8
5,8-7,0
Число
рабочих
млн. руб.
А
I
II
Основные
фонды
Заводы
в % к итогу
Группы заводов по
среднегодовой
стоимости основных производственных фондов,
руб.
число заводов
Номер п/п
Таблица 2.12
1
2
3
4
5
6
7
8
Итого
Для заполнения макета таблицы предварительно составим рабочую таблицу (см. табл. 2.14):
Таблица 2.13
I
1 - 2,2
Номер п/п
1
А
Группы заводов
по среднегодовой
стоимости основных производственных фондов,
млн. руб.
2
Б
Итого
Номер
завода
Основные производственные фонды, млн. руб.
3
1
4
2
3
9
21
3
2,0
2,0
4,0
5,0
28
Число
рабочих
5
3
220
270
330
820
Валовая
продукция,
млн. руб.
6
4
1,5
2,5
1,6
5,6
Окончание таблицы 2.13
1
II
2
2,2 - 3,4
Итого
III
3,4 - 4.6
Итого
IV
4,6 – 5,8
Итого
V
5,8 – 7,0
Итого
ВСЕГО
3
1
5
6
11
12
12
14
15
17
9
4
16
19
20
23
5
10
18
24
3
2
7
8
22
4
24
4
3,0
3,3
2,8
2,7
3,3
3,0
3,1
3,1
3,1
27,4
3,9
3,5
3,5
4,0
4,5
19,4
4,7
5,6
4,9
15,2
7,0
6,5
6,6
7,0
27,1
94,1
5
360
395
280
200
250
310
410
635
310
3150
460
400
300
350
435
1945
340
450
505
1295
380
580
200
260
1420
8630
6
3,2
6,4
2,8
2,3
1,3
1,4
3,0
2,5
3,6
26,5
4,2
7,9
2,5
2,8
5,6
23,0
3,5
8,0
4,4
15,9
9,6
9,4
11,9
12,9
43,8
114,8
Групповые показатели рабочей таблицы занесем в соответствующие строки и графы макета таблицы и получим окончательную
сводную групповую таблицу с результатами группировки заводов
по среднегодовой стоимости основных производственных фондов
(табл. 2.14).
Таким образом, в отличие от ряда распределения (табл. 2.2),
группировка позволяет сделать конкретные и содержательные выводы. Данная группировка показывает, что наиболее крупные
предприятия имеют лучшие производственные показатели. Около
29% предприятий (группы IV – V) имеют 45% всех основных фондов и дают 52% всего объема промышленной продукции, имея
лишь 31% общего числа рабочих.
29
5,0
27,4
19,4
15,2
27,1
94,1
5,3
29,1
20,6
16,2
28,8
100
820
3150
1945
1295
1420
8630
9,5
36,5
22,5
15,0
16,5
100
5,6
26,5
23,0
15,9
43,8
114,8
в % к итогу
в % к итогу
12,5
37,5
20,8
12,5
16,7
100
Валовая продукция
млн. руб.
человек
Число
рабочих
в % к итогу
3
9
5
3
4
24
Основные
фонды
млн. руб.
1-2,2
2,2-3,4
3,4-4,6
4,6-5,8
5,8-7,0
Итого
Заводы
в % к итогу
I
II
III
IV
V
Группы заводов по среднегодовой стоимости основных
производственных фондов, руб.
число заводов
Номер п/п
Таблица 2.14
4,8
23,1
20,1
13,9
38,1
100
Выделенные группы можно охарактеризовать и другими показателями: выпуском продукции на 1 руб. основных фондов, на 1
рабочего, на 1 завод и т.д.; можно сравнить показатели каждой
группы с первой.
Задача 3. По данным табл. 2.1 исследуем характер зависимости между экономической эффективностью и мощностью предприятий. Для этого необходимо, прежде всего определить, какой из
названных двух признаков является факторным и какой результативным. Из экономической теории известно, что размер предприятия, его мощность определяется стоимостью основных производственных фондов, от величины которых зависит и объем производства.
Следовательно, этот признак должен быть взят в основание группировки как факторный признак. Исходя из имеющихся данных в качестве показателей экономической эффективности возьмем стоимость
выработанной продукции в среднем на одного рабочего и на рубль
основных фондов. Первый показатель характеризует эффективность
труда, а второй – эффективность основных фондов. Произведем группировку по размеру основных фондов, взяв те же пять групп предприятий, которые были выделены в табл. 2.14. Применив изложенный
выше метод группировки, получим сводную таблицу, характеризующую зависимость между размером основных производственных фондов и объемов валовой продукции (табл. 2.15).
В таблице ясно видна прямая зависимость показателей эффективности от величины стоимости основных фондов.
30
Валовая продукция на одного рабочего, руб.
4
5,6
26,5
23,0
15,9
43,8
114,8
5
1,87
2,94
4,6
5,3
10,83
4,78
6
820
3150
1945
1295
1420
8630
7
6829,3
8412,7
11825,2
12278,0
30492,9
13302,4
Валовая продукция на 1
руб. основных фондов
Число рабочих
3
1,66
3,04
3,88
5,07
6,77
3,92
В среднем на
один завод
2
5
27,4
19,4
15,2
27,1
94,1
Валовая
продукция,
млн. руб.
Всего
по группе
1
3
9
5
3
4
24
В среднем
на один завод
А
1,0-2,2
2,2-3,4
3,4-4,6
4,6-5,8
5,8-7,0
Итого
Основные производственные
фонды, млн.
руб.
Всего
по группе
Группы заводов по размеру основных
производственных фондов, млн. руб.
Число заводов
Таблица 2.15
8
1,120
0,967
1,185
1,046
1,616
1,219
Эффективность работы промышленных предприятий зависит
не только от размера основных фондов, но и от числа рабочих, использования оборудования и т.д. Отбирая разные факторные признаки и уточняя систему показателей, можно дать разностороннюю
характеристику взаимосвязи отдельных факторов.
Задачи
4. Численность городского и сельского населения Камчатской
области изменялось следующим образом:
Таблица 2.16
Год
Все население,
тыс. чел.
1999
2000
2001
2002
2003
396,1
389,1
384,2
380,2
376,9
в том числе
городское
320,1
315,0
311,5
308,5
306,4
сельское
76
74,1
72,7
71,7
70,5
В процентах ко всему
населению
городское
сельское
80,8
19,2
81
19
81,1
18,9
81,1
18,9
81,3
18,7
Укажите группировочные признаки и дайте краткий анализ результатов.
5.1. По данным табл. 2.1 задачи 1 произведите группировку заводов по численности работающих, образовав пять групп заводов.
31
Каждую группу охарактеризуйте числом заводов, числом работающих, объемом выпущенной продукции. Наряду с абсолютными
показателями по группам исчислите их процентное соотношение.
Сделайте выводы.
5.2. По данным табл. 2.1. произведите группировку заводов по
проценту выполнения плана, образовав следующие четыре группы
заводов: 1) не выполнившие план; 2) выполнившие план от 100 до
104,99 % свыше 115%. Каждую группу заводов охарактеризуйте
числом заводов, стоимостью основных фондов, объемом выпущенной продукции по плану и фактически, процентом выполнения
плана. Результаты представьте в таблице, по данным которой определите недовыполнение плана по выпуску продукции за счет заводов, не выполнивших планового задания.
5.3. По данным табл. 2.1. сгруппируйте предприятия по размеру
выпущенной продукции, образовав не более пяти групп предприятий. По каждой группе подсчитайте: число предприятий, число работающих, стоимость основных фондов, стоимость продукции. Наряду с абсолютными размерами показателей исчислите удельные
веса групп в общем итоге. Сделайте краткие выводы.
6.1. Имеются следующие данные по 25 заводам отрасли:
1,7
4,8
3,7
6,1
9,4
9,6
2,1
2,6
4,5
8,4
9,7
2,3
Продукция за
отчетный год,
млн.руб.
Продукция за
отчетный год,
млн.руб.
1,3
2,1
2,2
2,8
3,8
5,5
1,8
1,9
4,3
5,6
6,3
1,6
Основные производственные
фонды, млн. руб.
Основные производственные
фонды, млн. руб.
280
480
420
503
710
1020
490
500
620
990
930
430
Среднесписочное число рабочих, чел.
Среднесписочное число рабочих, чел.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Завод
Завод
Таблица 2.17
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
560
610
910
740
390
430
510
1250
340
390
250
960
490
3,1
2,8
7,8
4,2
1,4
1,8
2,2
9,9
1,0
1,6
1,0
2,1
2,1
3,4
6,3
9,8
7,3
1,8
2,6
4,8
16,1
1,3
2,3
1,3
2,9
3,4
32
Применяя метод аналитической группировки, выявите характер зависимости между изменением численности рабочих и выпуском продукции. При группировке по факторному признаку образуйте четыре группы заводов с равными интервалами. Результаты
представьте в таблице. Сделайте краткие выводы.
6.2. По исходным данным задачи 6.1. гл. 2, применив метод
аналитической группировки, выявите характер зависимости выпуска продукции от величины основных производственных фондов.
При группировке по факторному признаку образуйте четыре группы заводов с равными интервалами. Результаты представьте в табличной форме. Сделайте выводы.
6.3. Имеются следующие производственные показатели по заводам отрасли за отчетный период:
Произведено
продукции,
тыс.т.
Общая
сумма
затрат,
тыс.
руб.
Себестоимость
единицы
продукции, руб.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
9,0
1,7
4,6
11,5
2,1
10,6
6,0
8,5
11,6
1,6
4,2
81
16
40
86
19
82
51
70
87
15
40
9,00
9,41
8,70
7,48
9,05
7,43
8,50
8,00
7,50
9,36
9,52
Завод
Завод
Таблица 2.18
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
Произведено
продук
ции,
тыс.т.
7,4
4,8
2,6
4,0
11,0
7,8
2,0
5,9
7,0
3,1
9,8
3,8
Общая
сумма
затрат,
тыс.
руб.
Себестоимость единицы продукции,
руб.
61
43
24
36
86
65
17
51
58
28
78
33
8,25
9,17
9,23
9,00
7,81
8,33
8,50
8,64
8,28
9,03
7,62
8,62
Применяя метод аналитической группировки, выявите характер зависимости между размером выпуска продукции и себестоимостью единицы продукции. При группировке по факторному признаку образуйте пять групп заводов с равными интервалам.
Результаты представьте в табличной форме. Сделайте выводы.
6.4. По совхозам области имеются следующие данные по зерновым культурам:
33
Таблица 2.19
Совхоз
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Валовой сбор,
тыс. ц
8,8
5,9
12,8
15,4
1,9
2,3
7,6
4,6
6,3
5,4
2,5
10,6
11,2
10,1
11,8
6,6
5,6
10,8
3,8
10,8
3,8
2,8
9,4
21,9
Урожайность,
ц с 1 га
6,0
8,6
10,1
12,1
14,0
12,2
6,2
8,9
10,8
11,3
7,4
8,4
10,9
7,5
6,5
7,3
9,6
9,6
9,7
9,6
9,7
7,6
6,9
10,1
Затраты
общие, тыс.руб.
97,2
47,0
102,0
98,5
13,6
17,2
94,4
46,9
46,4
35,7
24,7
144,7
65,2
110,7
107,5
49,2
39,1
66,4
54,8
66,4
54,8
40,2
54,6
138,2
Себестоимость
1 ц, руб.
11,00
0,79
7,96
6,3
7,5
7,42
12,40
10,19
7,52
6,61
9,88
13,65
5,82
10,96
9,11
7,45
6,98
6,14
14,42
6,14
14,42
14,35
5,80
6,31
Применяя метод аналитической группировки, выявите характер связи между урожайностью зерновых культур и себестоимостью 1 ц зерна. При группировке по факторному признаку образуйте четыре группы совхозов с равными интервалами. Результаты
представьте в табличной форме. Сделайте выводы.
2.3. Приемы вторичной группировки
Методические указания и решение типовых задач
Перегруппировка ранее сгруппированных статистических данных называется вторичной группировкой. К этому методу прибегают в тех случаях, когда в результате первоначальной группировки нечетко проявился характер распределения изучаемой
совокупности. В этом случае производят укрепление или уменьше34
ние интервалов. Вторичная группировка также используется для
приведения к сопоставимому виду группировок с различными интервалами с целью их сравнения.
Задача 4. Рассмотрим метод укрепления интервалов на основе
данных табл. 2.20.
Таблица 2.20
Группы магазинов по размеру
товарооборота за IV квартал,
тыс. руб.
До 10
10-15
15-20
20-30
30-50
50-60
60-70
70-100
100-200
Свыше 200
Итого
Число магазинов
Товарооборот за
IV квартал, тыс. руб.
15
8
13
3
9
7
3
8
22
12
100
93
112,0
200,0
68,0
378,0
385,0
180,0
600,0
2400,0
3744,0
8160,0
Приведенная группировка недостаточно наглядна. Она позволяет видеть структуру совокупности, но не показывает четкой и
строгой закономерности в изменении товарооборота по группам.
Уплотним ряд распределения, образовав 6 групп:
Таблица 2.21
Группы магазинов по
размеру товарооборота
за IV квартал, тыс. руб.
До 10
10-20
20-50
50-100
100-200
Свыше 200
Итого
Число
магазинов
Товарооборот за IV
квартал, тыс. руб.
15
21
12
18
22
12
100
93,0
312,0
446,0
1165,0
2400,0
3744,0
8144,0
Товарооборот
в среднем на 1
магазин,тыс.руб.
6,2
14,8
37,1
64,8
109,0
312,0
81,60
В табл. 2.21 новые группы образованы путем суммирования
первоначальных групп. Так, во вторую группу магазинов с товарооборотом от 10 до 20 тыс. руб. вошли магазины II, III групп (8+13);
35
соответственно суммировались и размеры товарооборота по группам. Группировка получилась компактной и наглядной. Совершенно четко проявилась тенденция: чем крупнее магазины, тем выше
уровень товарооборота. Рассмотрим метод вторичной группировки.
Задача 5. Имеются следующие данные о распределении колхозов по числу дворов (домохозяев):
Таблица 2.22
Номер п/п
1
2
3
4
5
Номер п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
I район
Группы колхозов
по числу дворов
До 100
100-200
200-300
300-500
Свыше 500
Итого
II район
Группы колхозов
по числу дворов
До 50
50-70
70-100
100-150
150-250
250-400
400-500
Свыше 500
Итого
Удельный вес колхозов группы
в процентах к итогу
4,3
18,4
19,5
28,1
29,7
100,0
Удельный вес колхозов группы
в процентах к итогу
1,0
1,0
2,0
10,0
18,0
21,0
23,0
24,0
100,0
Приведенные данные не позволяют произвести сравнение распределения колхозов в двух районах по числу дворов, так как в
этих районах имеется различное число групп колхозов.
Необходимо ряды распределения привести к сопоставимому
виду. За основу сравнения возьмем распределение колхозов I района. Следовательно, по II району надо произвести вторичную группировку колхозов, образовав такое же число групп и с теми же интервалами, как и в I районе. В результате перегруппировки
получим следующие сопоставимые данные, характеризующие распределение колхозов по числу дворов.
36
Номер п/п
Таблица 2.23
Группы колхозов
по числу дворов
1
До 100
I район
4,3
II район
4,0
2
100-200
18,4
19,0
10 +
3
200-300
19,5
16,0
9+
4
300-500
28,1
37,0
14 +
5
Свыше 500
Итого
29,7
100,0
24,0
100,0
Удельный вес колхозов,
группы в процентах к итогу
1+1+2
50
100
50
100
18 = 19
21 = 16
100
100
23 = 37
24
Поясним расчеты. В первую, вновь образованную группу колхозов II района с числом дворов до 100, войдут первые три группы
колхозов, сумма частот которых равна (1+1+2). Теперь надо образовать вторую группу колхозов с числом дворов 100-200. В нее
входит четвертая группа колхозов с числом дворов 100-150, составляющая 10% общего числа колхозов, а также часть пятой группы. Для определения числа колхозов, которое надо взять из пятой
группы во вновь образованную, условно примем, что это число
колхозов должно быть пропорционально удельному весу отобранных дворов в группе. Удельный вес 50 дворов в 5-й группе равен:
50
50
=
= 0,5,
250 − 150 100
т.е. составляет 50%. Следовательно, в новую группу надо взять половину колхозов из пятой группы:
50 ⋅ 18 1
= ⋅ 18 = 9.
100
2
Тогда удельный вес колхозов вновь образованной группы составит: 10 + 9 = 19.
Аналогично производятся расчеты при образовании других
групп. Если наряду с частностями имеются численные значения
37
показателей по группам, то все расчеты показателей по вновь образованным группам производятся в тех ж соотношениях, что численность единиц распределения.
Задачи
7.1. Имеются данные о выполнении плана товарооборота магазинами района:
Таблица 2.24
Группы магазинов
А
90-95
95-100
100-102
102-105
105-110
110-115
115-120
120-125
125-130
Итого
Товарооборот, тыс. руб.
по плану
фактически
2
3
130
120
220
215
90
91
250
262
150
161
324
362
240
282
250
300
180
227
1834
1920
Число
магазинов
1
2
3
2
4
2
3
5
4
2
27
Для получения более четкого представления о выполнении
плана магазинами района укрупните интервалы данной группировки, образовав не более пяти групп магазинов. По каждой группе,
наряду с показателями гр. 1,2,3 исчислите процент выполнения
плана товарооборота.
7.2. Имеются следующие данные:
Таблица 2.25
Группы рабочих по размеру
заработной платы, руб.
70-80
80-90
90-100
100-110
110-120
120-130
130-150
150-170
170-200
Свыше 200
Число рабочих - сдельщиков
1
2
5
10
6
32
40
50
32
12
38
Фонд заработной
платы, руб.
78
178
480
1070
690
4032
5720
8400
6048
2652
Произведите укрепление интервалов данной группировки, образовав не более шести групп рабочих по размеру заработной платы. По каждой группе наряду с показателями гр. 1 и 2 исчислите
средний размер заработной платы на одного рабочего.
7.3. Производительность ткачей комбината за час работы на
каждом станке характеризуется показателями:
Таблица 2.26
Группы ткачей по производительности труда, м
I бригада
3,25-3,50
3,50-3,75
3,75-4,00
4,00-4,25
4,25-4,50
4,50-4,75
4,75-5,00
5,00-5,25
5,25-5,50
5,50-5,75
Свыше 5,75
Итого
Число
ткачей
4
8
21
74
102
88
62
25
7
6
3
400
Группы ткачей по производительности труда, м
II бригада
3,0-4,0
4,0-4,5
4,5-5,0
5,0-5,5
Свыше 5,5
Число
ткачей
30
158
120
100
12
420
Для сравнения распределения ткачей в двух бригадах по производительности труда произведите укрупнение интервалов в ряду
распределения первой бригады, взяв за основу величины интервалов распределения ткачей по выработке во второй бригаде.
Исчислите удельные веса ткачей по каждой группе. Сделайте выводы.
8.1. Урожайность пшеницы в двух колхозах характеризуется
следующими показателями:
Таблица 2.27
I колхоз
Группы посевных площадей по урожайности,
ц с 1 га
1
До 18
18-20
20-22
22-24
II колхоз
Группы посевных плоПосевная
щадей по урожайности, ц
площадь, га
с 1 га
2
3
100
16-17
350
17-19
220
19-21
360
21-23
39
Посевная
площадь, га
4
100
200
500
600
Окончание таблицы 2.27
1
24-26
26-28
28-30
Свыше 30
Итого
2
170
150
100
50
1 500
3
23-25
25-30
Свыше 30
4
300
180
120
2 000
В целях сравнения структуры посевных площадей по урожайности произведите перегруппировку, образовав в двух колхозах следующие сравнимые группы по размеру урожайности: до 20, 20-22, 2224, 24-26, 26-30, свыше 30. Исчислите процентное соотношение посевных площадей в группах по каждому колхозу. Сделайте выводы.
8.2. Имеются следующие данные о распределении заводов цементной промышленности по размеру основных производственных
фондов:
Таблица 2.28
Группы заводов по размеру
основных производственных фондов, млн. руб.
1-3
3-5
5-10
10-30
30-50
Итого
Число заводов в процентах к итогу
Валовая продукция
в процентах к итогу
4,6
13,6
15,9
52,3
13,6
100,0
0,6
6,2
9,9
59,4
23,9
100,0
Используя метод вторичной группировки, образуйте группы
заводов по следующему размеру основных фондов, млн. руб.: 1-3,
3-5, 5-10, 10-15, 15-20, 20-30, 30-50. Сделайте выводы.
ГЛАВА 3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
Методические указания и решение типовых задач
Табличная форма является рациональной, наглядной и компактной формой представления статистических данных, изложения
результатов сводки и группировки материалов статистического наблюдения.
40
Анализ данных статистических таблиц как метод научного исследования позволяет выявить соотношения и пропорции между
группами явлений по одному или нескольким признакам, провести
сравнительный анализ, охарактеризовать типы социальноэкономических явлений, выявить характер и направление взаимосвязей и взаимозависимостей между различными, определенными
логикой экономического анализа признаками, сформулировать выводы и определить резервы развития изучаемого явления, объекта
или процесса.
Тема «Статистические таблицы» неразрывно связана с другими разделами курса.
Статистической таблицей называется таблица, которая содержит сводную числовую характеристику исследуемой совокупности по одному или нескольким существенным признакам, взаимосвязанным логикой экономического анализа. Прежде чем
переходить к рассмотрению видов и правил построения статистических таблиц, необходимо иметь представление об основных элементах, ее формирующих.
Основные элементы статистической таблицы, составляющие
ее остов (основу), показаны на схеме 3.1.
Название таблицы
Содержание строк
Наименование граф (верхние заголовки)
1
2
…
Итоговая
графа
Наименование
строк (боковые
заголовки)
Итоговая строка
Схема 3.1. Основные элементы статистической таблицы
Важно практически закрепить понятия статистического подлежащего и иметь знания и навыки построения таблиц по характеру подлежащего.
Виды таблиц по характеру подлежащего. Подлежащим статистической таблицы называется объект, который в ней характеризуется цифрами. Это могут быть совокупность, отдельные единицы
совокупности в порядке их перечня или сгруппированные по одному или нескольким признакам территориальные единицы, времен41
ные периоды и т.д. в соответствии с этим в зависимости от структуры подлежащего различают статистические таблицы простые, в
подлежащем которых дается простой перечень единиц совокупности (перечневые), или только одна какая – либо из них единица,
выделенная по определенному признаку (монографические), и
сложные, подлежащее которых содержит группы единиц совокупности по одному (групповые) или нескольким (комбинационные)
количественным или атрибутивным признакам. При этом подлежащее простой таблицы может быть сформировано по видовому,
территориальному и временному принципам.
Приведем примеры разработки подлежащего таблицы.
1. Простая монографическая таблица (табл. 3.1.)
Таблица 3.1
Котировка облигаций государственного сберегательного займа
в одном из межбанковских объединений на 05.03.2003 г.
(цифры условные)
(млн.руб.)
Объем покупки
Объем продаж
482,70
469,65
Облигации государственного
сберегательного займа
2. Простые перечневые таблицы по видовому принципу (табл.
3.2 – 3.4).
Таблица 3.2
Котировка облигаций государственного сберегательного займа
в одной из межбанковских объединений на 05.03.2003 г.
(млн. руб.)
Облигации по номерам серии
1
2
3
4
Всего
Объем покупки
122,5
112,6
123,2
124,4
482,70
Объем продажи
123,40
113,50
124,40
108,35
469,65
В данной таблице подлежащее – облигации государственного
внутреннего займа.
42
Таблица 3.3
Цены и основные биржевые товары в России на 07.03.2003 г.
Наименование
товара
Бензин А-76
Бензин А-92
Дизельное топливо
Средневзвешенная
цена, руб./т
1 584 000
1 965 000
955 000
Суммарный объем
предложения, т
3000
5000
4000
Минимальный
объем партии, т
1000
1000
3000
Подлежащее – наименование товара.
Таблица 3.4
Котировка непросроченных банковских долгов, выставленных на продажу
в одном из вексельных центров в 2003 г.
Банк-должник
144,0
144,0
500,0
1168,8
100,0
Котировка векселей, % от номинала
75
75
70
80
100
1292,8
75
740,0
75
Общая сумма
долга, млн. руб.
АвтоВАЗбанк
«Индустрия –сервис», КБ
«Офицерский», КБ
Первый русский банк
Русский национальный
банк
Сибирский торговый
банк
Ялосбанк
Средневзвешенная
ставка, млн. руб.
75
75
70
85
100
75
Подлежащее – группы несовершеннолетних, совершивших
правонарушения и преступления по возрасту.
Таблица 3.5
Распределение эмитентов фондового рынка по величине котировки
банковских долгов, выставленных на продажу
в одном из вексельных центров в 2003 г. (цифры условные)
Группы эмитентов по величине котировки банковского долга, млн руб.
97-1745
1745-3393
3393-5041
Итого
Число
эмитентов
Общая сумма
долга, млн руб.
Средневзвешенная ставка
15
9
264,5
8574,8
21311,1
39150,4
80,0
4
5
24
43
73,4
72,0
75,0
Подлежащее – группы эмитентов фондового рынка по величине котировки банковских долгов.
6. Сложная комбинационная таблица (табл. 3.6).
Таблица 3.6
Распределение эмитентов фондового рынка по величине котировки
банковских долгов и средневзвешенной ставке, выставленных на продажу
в одном из вексельных центров в 2003 г. (цифры условные)
Группы эмитентов по величине
котировки банковского долга,
млн. руб.
Подгруппы эмитентов
по размеру средневзвешенной
ставки
50-75
97 - 1745
75-100
Итого по группе
1745 - 3393
50-75
75-100
Итого по группе
3393-5041
50-75
75-100
Итого по группе
50-75
Итого по подгруппам
75-100
Всего
Число
эмитентов
6
9
15
2
2
4
3
2
5
11
13
24
Подлежащее – группы эмитентов фондового рынка, распределенные по величине котировки банковских долгов и средневзвешенной ставке.
Наряду с подлежащим важным составным элементом статистической таблицы является сказуемое, изучению которого необходимо уделить большое внимание.
Виды таблиц по характеру сказуемого. Система показателей, которыми характеризуется объект изучения, т.е. подлежащее
таблицы, образует сказуемое статистической таблицы. Сказуемое
формирует заголовки граф и составляет их содержание.
По структурному строению сказуемого различают статистические таблицы с простой и сложной его разработкой.
При простой разработке сказуемого показатель, его определяющий, получается путем простого суммирования значений по
каждому признаку отдельно независимо друг от друга. Табл. 3.2,
3.4, 3.6, 3.7, 3.8 являются примером таблицы с простой разработкой
сказуемого.
44
Сложная разработка сказуемого предполагает деление признака, его формирующего, на группы.
Рассмотрим пример статистической таблицы со сложной комбинированной разработкой сказуемого. Сказуемое табл. 3.7 содержит
два связанных между собой признака: атрибутивный – качественный категории застрахованных и количественный – страховая сумма.
Таблица 3.7
Всего клиентов, чел.
Страховая компания
Распределение клиентов страховых компаний по категориям
и страховым суммам в I квартале 2003 г. (цифры условные)
1
444
2
390
3
595
4
352
5
522
6
320
7
480
Итого 3103
В том числе распределение клиентов по категориям
и страховым суммам на одного застрахованного
Руководители
Сотрудники
Охранники, милициокоммерческих
предприятий,
неры, инкассаторы
структур
работающие в офисе
20-50
тыс.
руб.
Свыше
50 тыс.
руб.
20-50
тыс.
руб.
195
150
210
125
200
110
200
1190
180
180
300
175
25
110
200
1395
13
12
26
10
10
28
15
114
Свыше
50 тыс.
руб.
20-50
тыс.
руб.
Свыше 50
тыс. руб.
12
15
10
12
15
28
20
112
23
15
21
14
22
22
20
137
21
18
28
16
25
22
25
155
Статистические таблицы, как средство наглядного и компактного представления цифровой информации, должны быть статистически правильно оформлены.
Основными правилами, определяющими технику формирования статистических таблиц, являются следующие:
1. Таблица должна быть компактной и содержать только те
исходные данные, которые непосредственно отражают исследуемое социально-экономическое явление в статике и динамике и необходимы для познания его сущности.
2. Заголовок таблицы и названия граф и строк должны быть
четкими, краткими, лаконичными, представлять собой законченное
целое, органично вписывающееся в содержание текста.
45
Необходимо избегать большого количества точек и запятых в названии таблицы и граф, которые затрудняют чтение. Если название
таблицы состоит из двух и более предложений, точка ставится с целью отделения предложений друг от друга, но не после последнего.
В заголовках граф допускаются точки только при необходимых сокращениях. В заголовке таблицы должны найти отражение
объект, признак, время и место совершения события. Например:
«Курс доллара США на торгах ММВБ в 2003 г.» Названия таблицы, граф и строк пишутся полностью, без сокращений.
3. Информация, располагаемая в столбцах (графах) таблицы,
завершается итоговой строкой.
В групповых и комбинационных таблицах всегда необходимо
давать итоговые графы и строки.
4. В достаточно больших таблицах (по количеству приведенных строк) целесообразно оставлять двойной промежуток после
каждых пяти (и далее кратных пяти) строк для того, чтобы было
удобнее читать и анализировать таблицу.
5. Если названия отдельных граф повторяются между собой, содержат повторяющиеся термины или несут единую смысловую нагрузку, то необходимо присвоить общий объединяющий заголовок.
Данный прием используется и для подлежащего, и для сказуемого таблиц.
6. Графы и строки полезно нумеровать. Графы подлежащего
принято обозначать заглавными буквами алфавита А, В т.д., а графы сказуемого – цифрами в порядке возрастания.
7. Взаимосвязанные данные, характеризующие одну из сторон
анализируемого явлении (например, число предприятий и удельный вес заводов (% к итогу) и т.д.) целесообразно располагать в
соседних друг с другом графах.
8. Графы и строки должны содержать единицы измерения, соответствующие поставленным в подлежащем и сказуемом показателям.
При этом используются общепринятые сокращения единиц измерения.
9. Располагать в таблицах сопоставляемую в ходе анализа
цифровую информацию лучше в одной и той же графе, одну под
другой, что значительно облегчает процесс их сравнения.
В групповых таблицах группы по изучаемому признаку более
грамотно располагать в порядке убывания или возрастания его значений при сохранении логической связи между подлежащими сказуемым.
46
10. Для более удобной работы с цифровым материалом числа в
таблицах следует представлять в середине граф, одно под другим:
единицы под единицами, запятая под запятой, четко соблюдая при
этом их разрядность.
11. Числа целесообразнее по возможности округлять. Округление чисел в пределах одной и той же графы или строки следует
проводить с одинаковой степенью точности.
12. Отсутствие данных об анализируемом социальноэкономическом явлении может быть обусловлено различными причинами и по-разному отмечается в таблице:
а) если данная позиция (на пересечении соответствующих графы
и строки) вообще не подлежит заполнению, то ставится знак «х»;
б) если по какой-либо причине отсутствуют сведения, то ставится многоточие «…» или «нет свед.», или «н. св.»;
в) если отсутствует явление, то клетка заполняется тире «-».
Для отображения очень малых чисел используются обозначения (0,0) или (0,00), что предполагает возможность наличия числа.
13. В случае необходимости дополнительной информации –
разъяснений к таблице – могут даваться примечания.
Соблюдение приведенных правил построения и оформления
статистических таблиц делает их основным средством представления, обработки и обобщения статистической информации о состоянии и развитии анализируемых социально – экономических явлений.
В анализе данных наряду со статистическими таблицами применяются и другие виды таблиц, одним из которых является матрица.
Матрицей называется прямоугольная таблица числовой информации, состоящая из m-строк и n-столбцов. Например, матрица
экспертных оценок влияния некоторых факторов на уровень рентабельности строительных организаций:
x2
x3
m/x
x1
m1
1
2
3
m2
2
1
3
m3
1
2
3
где x1 – уровень фондоотдачи;
x2 - выработка продукции на одного работающего, руб./чел.;
x3 - коэффициент оборачиваемости оборотных средств;
m1, m2, m3 - эксперты.
47
Таблица сопряженности – это таблица. Которая содержит
сводную числовую характеристику изучаемой совокупности по
двум и более атрибутивным признакам или комбинации количественных и атрибутивных признаков. Наибольшее распространение
таблицы сопряженности получили при изучении социальных явлений. Табл. 3.8 и 3.9 являются примерами таблиц сопряженности.
Таблица 3.8
Распределение ответов респондентов по удовлетворенности уровнем жизни
и ощущением свободы в обществе
Респонденты
Чувствуете ли
вы себя в нашем обществе
свободным
человеком?
да
нет
Итого
Удовлетворенность уровнем жизни в целом
вполне удовлетворены Совсем не удовлетворены
Всего
38
19
57
44
62
106
6
43
49
Таблица 3.9
Социальные ориентации выпускников 11-го класса и
социальное положение родителей (по отцу)
Социальный
статус отца
Рабочий промышленности
и транспорта
Рабочий торговли и сферы
обслуживания
Служащий
сферы управления
Предприниматель, коммерсант
Социальная ориентация учащегося
служащий
рабочий прорабочий торпредпринисферы
мышленности
говли и сферы
матель,
управлеи транспорта
обслуживания
коммерсант
ния
1,7
16,1
4,4
14,2
1.4
10,2
4,3
18,9
0,0
12,0
2,7
21,3
1,7
6,9
2,6
20,7
48
3.1 Задачи и упражнения
3.2.1. Назовите подлежащее и сказуемое в табл. 3.10 -3.20. Определите вид таблицы по характеру разработки ее подлежащего и
сказуемого.
3.2.2. По данным статистических ежегодников и периодической печати подберите примеры следующих видов таблиц: а) монографической; б) перечневой; в) групповой; г) комбинационной.
3.2.3. Составьте макеты перечневых статистических таблиц, в
которых разработка подлежащего была бы произведена по принципам: а) видовому; б) территориальному; в) временному.
Таблица 3.10
Внешняя торговля России с некоторыми странами Америки
(в фактически действующих ценах)
Страна
Аргентина
Бразилия
Канада
Куба
Мексика
Панама
США
Итого
2001
50
44
177
200
16
159
762
1408
Экспорт
2002
27
61
248
103
27
77
1997
2540
2003
27
77
184
248
62
124
3422
4144
2001
100
103
1080
632
3
7
2898
4823
(млн долл. США)
Импорт
2002
2003
67
38
114
193
294
180
436
300
14
7
7
9
2304
2052
3236
2779
Таблица 3.11
Распределение женщин России по возрасту и числу рожденных детей
(по данным микропереписи населения 2003 г.)
Группы
На 100 женщин в возрасте 18 лет и старше
Среднее чисженщин Женщин
В том числе
Женщин, не ло рожденРоссии по родив1
2
3 и более родивших ни ных детей на
возрасту,
ших
одного ре- 1000 женщин
ребенка детей
детей
лет
детей
бенка
1
2
3
4
5
6
7
18-19
137
131
6
0
863
144
20-24
499
419
73
7
501
586
24-29
809
467
292
50
191
1214
30-34
897
318
456
123
103
1640
35-39
925
262
489
174
75
1839
49
Окончание таблицы 3.11
1
40-44
45-49
50-54
55-59
60-64
65 и старше
Все женщины
2
930
923
921
915
898
866
3
277
309
288
275
251
254
4
479
461
442
420
374
271
5
174
153
191
220
273
341
6
70
77
79
85
102
134
7
1851
1780
1878
1945
2059
2218
834
297
354
183
166
1704
Таблица 3.12
Численность населения России
Годы
Все население, млн чел.
1996
1997
1998
1999
2000
148,5
148,7
148,7
148,4
148,3
В том числе
городское
109,8
109,7
108,9
108,5
108,3
сельское
38,7
39,0
39,8
39,9
40,0
В общей численности
населения, %
городское
сельское
74
26
74
26
73
27
73
27
73
27
Таблица 3.13
Котировки межбанковских кредитов крупнейших банков-дилеров
на 21.03.2003 г. (% годовых)
продажа
покупка
продажа
покупка
продажа
покупка
продажа
покупка
продажа
90
покупка
1
2
3
4
5
30
продажа
№ банка
дилера
Срок кредита, дней
14
21
7
покупка
1
12
40
40
10
10
76
70
60
20
20
45
30
40
45
40
81
60
55
60
56
40
45
55
45
89
70
65
70
58
35
55
65
-
91
90
75
-
55
60
60
70
45
100
110
80
80
43
60
75
-
105
120
85
-
50
Таблица 3.14
Ввод в действие жилых домов по формам собственности
(млн м2 общей площади)
Формы
собственности
Всего
В том числе:
государственная
собственность
из нее:
федеральная
субъектов РФ
муниципальная
частная
смешанная РФ
(без иностранного участия)
Всего
млн м2
Удельный вес в общем
объеме ввода, %
41,7
2002
Удельный вес в
общем объеме
ввода, %
100
38,3
100
15,0
36
10,6
28
11,7
3,3
7,0
10,2
28
8
17
24
8,5
2,1
4,1
11,0
22
6
11
28
9,5
23
12,6
33
Всего
млн м2
2003
Таблица 3.15
Динамика основных социально-экономических показателей
(% к предыдущему году)
Показатели
Валовой внутренний продукт
Производственный национальный
доход
Основные фонды в экономике
Капитальные вложения
Прибыль в экономике, раз
Денежные доходы населения, раз
Денежные расходы населения, раз
2000
87,2
2001
81,0
2002
88,0
2003
85,0
85,7
79,4
86,7
84,0
103.4
85,0
2,3
2,2
2,1
101,9
60,0
15,5
8,5
8,2
100,3
88,0
7,3
11,0
11,6
100,0
74,0
1,8
4,6
4,9
51
Таблица 3.16
Структура безработных в РФ по полу и возрасту
Группы
безработных по
всего
возрасту,
лет
15-19
15,5
20-24
15,8
25-29
11,6
30-49
39,5
50-54
6,5
55-59
5,3
60 и
старше
5,8
Итого
100
2001
в том числе
2002
в том числе
женщины
мужчины
всего
женщины
16,4
14,3
11,0
39,7
7,2
5,6
14,7
17,1
12,1
39,4
5,9
5,1
13,6
16,8
11,9
43,4
5,6
5,1
15,3
14,9
11,4
43,7
6,0
5,3
11,8
18,6
12,4
43,2
5,3
4,9
11,8
16,2
11,3
48,5
5,2
4,9
2003
в том числе
жен
мужщичины
ны
14,2 9,5
15,2 17,2
10,9 11,8
48,1 48,8
5,3
5,0
4,2
5,5
5,8
100
5,7
100
3,6
100
3,4
100
3,8
100
2,1
100
2,1
100
мужчи- всего
ны
2,2
100
3.2.4. По данным статистических ежегодников и периодической печати подберите примеры статистических таблиц с перечисленными вариантами разработки сказуемого: а) с простой разработкой сказуемого; б) со сложной разработкой сказуемого по двум
признакам.
3.2.5. Составьте макеты статистических таблиц, в которых разработка сказуемого была бы произведена: а) в статике; б) в динамике; в) в территориальном аспекте; г) в пространственно – временном аспекте. По данным статистических ежегодников и
периодической печати подтвердите примерами каждый из перечисленных видов таблиц.
3.2.6. Разработайте макеты: а) перечневой таблицы по территориальному принципу со сложной комбинированной разработкой
сказуемого по двум признакам; б) перечневой таблицы по видовому принципу со сложной разработкой сказуемого в пространственно-временном разрезе; в) групповой таблицы со сложной комбинированной разработкой сказуемого в пространственном аспекте; г)
групповой таблицы со сложной разработкой сказуемого в динамике; д) комбинационной таблицы с простой разработкой сказуемого
в статике.
52
Таблица 3.17
Распределение женщин в разводе по возрасту
и продолжительности расторгнутых браков в 2003 г.
Группы женщин в разводе
по возрасту,
лет
До 20
20-24
25-29
30-34
35-39
40-44
45-49
50-54
55-59
60 и старше
Не указанно
Итого
Всего
разводов
16623
132654
132000
130169
104979
69808
34783
17206
15567
11650
15055
680494
В том числе по продолжительности браку, лет
Не
20 и
До 1
1-4
5-9
10-19
укаболее
занно
4527
12081
3
12
8374
10348
20720
13
64
3440
39756
80150
8594
60
2525
19650
44525
63405
8
56
1839
11981
20901
66787
3422
49
1157
7125
10786
26970
23743 27
693
3856
4727
7832
17664 11
443
2308
2375
2784
9287
9
506
2180
2325
2317
8229
10
586
2091
1720
1571
5676
6
473
3544
4400
4774
1857
7
24563 114920 192632 185047 69886 311
3.2.7. Разработайте макет статистической таблицы, характеризующей распределение численности занятого населения и безработных по семейному положению, сформулируйте заголовок таблицы. Укажите: а) к какому виду таблицы относится макет; б) его
подлежащее и сказуемое; в)признак группировки подлежащего.
3.2.8. Разработайте макет перечневой статистической таблицы
по временному принципу, характеризующей уровень забастовочного движения в одной из стран в 2003г. Охарактеризуйте каждый
выделенный уровень числом предприятий, на которых проходили
забастовки, численностью участников и числом человеко-дней потерь рабочего времени. Сформулируйте заголовок таблицы. Укажите: а) к какому виду таблицы относится макет; б) его подлежащее и сказуемое; в) вид разработки подлежащего и сказуемого.
3.2.9. Разработайте макет статистической таблицы, характеризующей зависимость успеваемости студентов вашей группы от
посещаемости учебных занятий и занятости внеучебной деятельностью. Сформулируйте заголовок таблицы. Укажите: а) к какому
виду таблицы относится макет; б) название и вид разработки подлежащего и сказуемого; в) группировочные признаки.
3.2.10. Спроектируйте макеты групповой и комбинационной
таблицы со сложной разработкой сказуемого для характеристики
53
деловой активности коммерческих банков РФ. Сформулируйте заголовки таблиц. Определите: а) подлежащее и сказуемое; б) группировочные признаки, которые целесообразно положить в основу
группировки подлежащего таблиц; в) показатели, которые целесообразно включить в сказуемое с целью более полной характеристики объекта.
3.2.11. Составьте макет простой перечневой таблицы по видовому принципу с простой разработкой сказуемого для характеристики итогов торгов на фондовых биржах РФ за период 16.02 –
22.02. 2003. Сформулируйте название макета. Укажите в таблице:
а) подлежащее и сказуемое; б) показатели сказуемого.
3.2.12. Разработайте макет статистической таблицы, характеризующей капитальные вложения по формам собственности в России и Белоруссии и капитальные вложения по каждой форме собственности в России в процентах к Белоруссии в 2003 г. Укажите:
а) заголовок таблицы; б) подлежащее и сказуемое; в) к какому виду
таблицы относится макет.
3.2.13. Разработайте макеты таблиц для статистической характеристики: а) населения РФ по полу и возрасту; б) наиболее ликвидных
акций на внебиржевом рынке; в) предприятий какой-либо отрасли; г)
деятельности коммерческих банков; д) деятельности страховых компаний России; е) рынка государственных ценных бумаг.
3.2.14. Оформите в табличном виде следующие данные. Прожиточный минимум населения (в расчете на душу населения) возрос с 20,6 (2003г.) до 86,6 тыс. руб./мес. (2003г.). За этот же период
прожиточный минимум возрос: трудоспособного населения с 23,1
до 97,4 тыс. руб./мес.; пенсионеров с 14,4 до 61,0; детей с 20,7 до
87,4 тыс. руб./мес. Соотношение среднедушевого денежного дохода и прожиточного минимума всего населения увеличилось с 213
до 234%. Сформулируйте название таблицы, укажите ее подлежащее и сказуемое, и вид их разработки.
Рекомендации преподавателям
1. Практические занятия по теме могут быть посвящены рассмотрению различных видов таблиц из различных статистических
ежегодников и данных периодической печати или данных, составленных преподавателем и студентами. Рекомендуем на практиче54
ских занятиях рассмотреть подробно табл. 3.1 – 3.8, определяя подлежащее, сказуемое, вид таблицы по характеру их разработки. Далее
целесообразно перейти к самостоятельной разработке макетов таблиц
(см., например, задачи 3.2 –3.6) на свободные, названные преподавателем или студентом темы и заданные составителем задачника (см.
задачи 3.7 – 3.13). После этого следует рассмотреть методику компоновки статистических данных, представленных в текстовой форме, в
табличную на примере решения задач 3.14 – 3.15.
Знания и уровень усвоения материала студентами по данной
теме могут быть проверены на задачах типа 3.17 – 3.20, где студенты, основываясь на знаниях и аналитическом мышлении, должны
будут выявить и исправить специально допущенные недостатки.
Полезно в процессе занятий не ограничиваться техникой построения таблиц, а предложить студентам проанализировать каждую из них и сформулировать экономические выводы по объектам
и процессам, в них рассмотренным.
2. Задания для самостоятельной внеаудиторной работы студентов целесообразно составлять из двух частей: 1-я часть – по разработке макетов сложных таблиц; 2-я часть – по самостоятельному
подбору студентами заданных видов таблиц из различных статистических ежегодников и данных периодической печати. При этом студенты должны определить основные элементы, виды таблиц по характеру разработки подлежащего и сказуемого, целевое назначение
этих таблиц, а также сделать выводы из анализа их данных.
3. Аудиторная контрольная работа. Студентам может быть
предложено: на определенную тему составить один-два макета
таблиц с различной разработкой подлежащего и сказуемого или
разобрать таблицы.
Методические указания и решение типовых задач
При изучении данной темы необходимо обратить внимание на
следующее: выявление роли и значения графических методов изображения статистических данных; освоение техники построения различных графических изображений; аналитическое значение графиков.
Графические методы в статистике являются способом наглядного изображения результатов статистической сводки и обработки
массового материала.
55
Графики являются незаменимыми средствами анализа, исследования и выявления закономерностей статистических данных.
Каждый график должен включать следующие элементы: графический образ; поле графика; Масштабные ориентиры и систему
координат.
Графический образ - геометрические знаки, совокупность точек, линии, фигуры, с помощью которых изображаются статистические величины. Поле графика представляет собой пространство,
в котором размещаются геометрические знаки.
Масштабные ориентиры статистического графика определяются масштабом и масштабной шкалой. Масштаб статистического
графика – это мера перевода числовой величины в графическую
(рис.3.1), а масштабная шкала – линия, определенные точки которой могут быть прочитаны как определенные числа.
0
1
масштаб 50 мм
0
0
1
2
10
20
3
30
4
40
5
50
масштаб 1мм
0
100
200
300
400
500
масштаб 0,1 мм
Рис. 3.1. Масштабы
Шаблоны могут быть равномерными и неравномерными
(рис. 3.2). Одним из видов неравномерной шкалы является логарифмическая. На этой шкале отрезки пропорциональны не изображаемым величинам, а их логарифмам.
Для размещения геометрических знаков в поле графика необходима система координат. Наиболее распространенной при построении статистических графиков является система прямоугольных координат. При этом наилучшее соотношение масштаба по
осям абсцисс и ординат 1,62 : 1, известное сочетание «золотое со56
четание», а для других видов диаграмм нейтральным размером
диаграммы является квадрат, получающийся из отношения 5/8, где
5- высота площади диаграммы, а 8- площадь его основания.
0
0,5
1,0
0
а)
1
2
3
0
10
100
б)0
1
2
1000
числа
3
логарифмы
чисел
Рис. 3.2. Масштабные шкалы: а) равномерные; б) неравномерные
Масштабом равномерной шкалы называется длинна отрезка
(графический интервал), принятого за единицу и измеренного в
каких-либо мерах. Чем меньше масштаб (рис. 3.1), тем гуще располагаются на шкале точки, имеющие одно и тоже значение. Построить шкалу- это значит на задуманном носителе шкалы разместить
точки и обозначить их соответствующими числами согласно условиям задачи (рис. 3.3).
предел шкалы 5
10
15
20
25 предел шкалы
графические интервалы
длина шкалы
Рис. 3.3. Длина отрезка равномерной масштабной шкалы
Для наглядного изображения циклического изменения во времени строятся линейные графики в полярной системе координат.
Они носят название радиальных диаграмм.
57
В радиальных диаграммах радиусы обозначают периоды
времени, а окружность- величину изучаемого
В радиальных диаграммах радиусы обозначают периоды
времени, а окружность – величину изучаемого явления (рис. 3.4).
На статистических картах пространственная ориентировка задается контурной сеткой, определяющей те территории, к которым
относятся статистические характеристики.
В результате изучения данной темы студенты должны научиться строить различные виды диаграмм, статистических карт и
уяснить, что в диаграммах цифровые данные чаще всего изображаются в виде линий и геометрических фигур (плоскостных и объемных). В статистических картах цифровые данные изображаются путем нанесения на контурные географические карты условных
знаков в виде точек, различной штриховки или раскраски, диаграммных знаков.
Рассмотрим построение основных видов диаграмм на конкретных числовых примерах.
На столбиковых диаграммах статистические данные изображаются в виде вытянутых по вертикали прямоугольников.
При построении столбиковых диаграмм необходимо выполнять следующие требования: 1) шкала, по которой устанавливается
высота столбика, должна начинаться с нуля; 2) шкала должна быть,
как правило, непрерывной; 3) основания столбиков должны быть
равны между собой; столбики могут быть размещены на одинаковом расстоянии друг от друга, вплотную один к другому или наплывом, при котором один столбик частично накладывается на
другой; 4) наряду с разметкой шкалы соответствующими цифровыми надписями следует снабжать и сами столбцы.
Например, изобразим графические данные о численности населения России за 1996 – 2000гг., тыс. чел.: 1996 г. – 409,5; 1997 г.
– 402,4; 1998 г. – 396,1; 1999 г. – 389,1; 2000 г. – 383,2.
На горизонтальной оси поместим основания шести столбиков
на расстоянии 0,5 см друг от друга. Ширина столбиков – 1 см.
Масштаб на вертикальной оси – 10 тыс. чел. на 1 см (рис. 3.5).
Полосовые диаграммы состоят из прямоугольных, расположенных горизонтально (полосами, лентами). В этом случае масштабной шкалой будет горизонтальная ось. Принцип их построения тот же, что и столбиковых.
58
450
400
Млн. чел.
350
300
250
200
150
100
50
0
1996
1997
1998
1999
2000
Рис. 3.5. Численность населения России за 1996- 2000 гг.
В отличие от столбиковых или полосовых диаграмм в квадратных и круговых диаграммах величина изображаемого явления
выражается размером площади.
Чтобы построить квадратную диаграмму, необходимо из
сравниваемых статистических величин извлечь квадратные корни,
а затем построить квадраты со сторонами, пропорциональными
полученным результатам.
Например, необходимо построить квадратную диаграмму для
сравнения грузооборотов железнодорожного, речного и автомобильного транспорта за 2002 г. (цифры условные). Для построения
диаграммы нужно извлечь квадратные корни из следующих величин: грузооборот железнодорожного транспорта – 1195 млрд. т-км;
грузооборот морского транспорта – 305; грузооборот внутреннего
водного транспорта – 87 млрд. т-км. Это составит соответственно
34,6; 17,5; 9,3. Чтобы построить по этим данным квадраты, необходимо выбрать масштаб. Примем на 1 см. за 5 млрд. т-км. Сторонами квадратов на графике будут отрезки, пропорциональные полученным числам (рис. 3.6).
Круговые диаграммы строятся аналогично. Разница состоит
лишь в том, что на графике вычерчиваются круги, площади которых
пропорциональны квадратным корням из изображаемых величин.
Диаграммы фигур-знаков представляют собой графические
изображения в виде рисунков, силуэтов, фигур, соответствующих
содержанию статистических данных. Они отличаются от других видов диаграмм тем, что отдельные величины на них изображаются
определенным количеством одинаковых по размеру и типу фигур.
59
1195
305
87
внутренний водный транспорт
морской транспорт
железнодорожный транспорт
Рис. 3.6. грузооборот некоторых видов транспорта в одном из регионов за 2002 г.
Например, для изображения динамики производства стиральных машин в России один рисунок условно примем за 700 тыс. шт.
стиральных машин. Тогда число машин: в 2000 г. в размере 5877
тыс. шт. должно быть изображено в количестве 5,5 рисунка; в 2001
г. в размере 2107 тыс. шт. – 3,0 рисунка; в 2002 г. в размере 1293
тыс. шт. – 1,8 рисунка; в 2003 г. в размере 761 тыс. шт. – 1,01 рисунка (рис. 3.7).
Секторные диаграммы удобно строить следующим образом:
вся величина явления принимается за 100%, рассчитываются доли
отдельных его частей в процентах. Круг разбивается на секторы
пропорционально частям изображаемого целого.
Если данные о структуре какого-либо явления выражаются в
абсолютных величинах, то для нахождения секторов необходимо
360о разделить на величину целого. А затем частное от деления
последовательно умножить на абсолютные значения частей.
Для одновременного сопоставления трех величин, связанных между собой таким образом, что одна величина является произведением
двух других, применяют диаграммы, называющиеся «знак Варзара».
Знак Варзара представляет собой прямоугольник, у которого
один сомножитель принят за основание, другой – за высоту, а вся
площадь равна произведению.
Например, произведение посевной площади и урожайности
дает валовой сбор. Если в прямоугольнике одну сторону брать
пропорционально посевной площади, а другую – урожайности, то
площадь прямоугольника и представляет собой знак Варзара, т.е.
валовой сбор.
60
2000
5877 тыс.шт.
2001
2002
2003
масштаб
Рис. 3.7. Динамика производства стиральных машин в России в 2000 – 2003 гг.
Линейные диаграммы широко применяются для характеристики изменений явлений во времени, выполнения плановых заданий, а также для изучения рядов распределения, выявления связи
между явлениями. Линейные диаграммы строятся на координатной
сетке. Геометрическими знаками в линейных диаграммах служат
точки и последовательно соединяющие их отрезки прямой, которые складываются в ломаные кривые.
Например, при помощи линейной диаграммы можно изобразить данные производстве легковых автомобилей за 1998 – 2003
гг., тыс. шт. (цифры условные).
1998
344
1999
529
2000
730
2001
917
2002
1100
2003
1200
В прямоугольной системе координат нанесем на ось абсцисс
показатели времени, а на ось ординат - данные о производстве автомобилей (рис. 3.9). Масштаб – 1 см = 200 тыс. шт. Из графика видно, что положение кривой определяется не только данными о производстве автомобилей, но и интервалами времени между датами.
Нередко на одной линейной диаграмме приводятся несколько
кривых, которые дают сравнительную характеристику динамики
различных показателей или одного и того же показателя для различных территорий. Методика построения таких кривых не отличается от построения графика на рис. 3.8.
61
1400
Тыс. шт.
1200
1000
800
600
400
200
0
1998
1999
2000
2001
2002
2003
Рис. 3.8. Динамика производства легковых автомобилей
в одном из регионов за 1998 – 2003 г.
Численность семей
в процентах
Ряды распределения чаще всего изображаются в виде полигона или гистограммы. Полигон строят в основном для изображения
дискретных рядов. При его построении на оси абсцисс откладываются значения варьирующего признака, а на оси ординат – абсолютные численности единиц совокупности (частоты или частости).
Полигон на рис. 5.9 построен на основании (условных) данных о
распределении семей по числу детей.
Гистограмма распределения применяется чаще всего для изображения интервальных рядов. Для ее построения по оси абсцисс
откладываются интервалы признака, а по оси ординат – численности единиц совокупности. На отрезках, изображающих интервалы,
строят прямоугольники, площади которых пропорциональны численностям единиц (рис. 3.10).
50
40
30
20
10
0
0
1
2
3
4
число детей в семье
Рис. 3.9. Полигон распределения семей по числу детей в одном 2003 г.
(цифры условные)
62
Число заводов
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2,2
3,4
4,6
5,8
7
млн.руб.
стоимость основных производственных фондов
Рис. 3.10. Гистограмма распределения заводов в одной из отраслей
по стоимости основных производственных фондов в 2003 г.
(цифры условные)
В ряде случаев для изображения вариационных рядов используется кумулятивная кривая (кумулята). Для её построения значения варьирующего признака откладываются на оси абсцисс, а на
оси ординат помещаются накопленные итоги частот или частостей
(рис. 3. 11).
Разновидностью линейной диаграммы является радиальная
диаграмма, которая применяется для изображения рядов динамики при наличии в них сезонных колебаний. Построение радиальной
диаграммы разберем на следующем примере.
Имеются данные (условные) о продаже творога на колхозных
рынках одного из городов региона в 2003 г.:
Месяцы
I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII Итого за год
Количество
творога, т 36 42 44 54 43 70 41 43 39 37 37 34
520
63
Численность семей
в процентах
100
80
60
40
20
0
0
1
2
3
4
Число детей в семье
Рис. 3.11. Кумулята распределения семей по числу детей
в одном из регионов в 2001 г. (цифры условные)
Определим среднемесячную продажу творога. Она составляет
43,3 т.
Вычертим круг с радиусом, равным среднемесячному показателю (R = 43,3 т). На горизонтальном диаметре построим шкалу,
взяв длину радиуса, равную 2.7 см. Следовательно,
43,3
1см =
≈ 16т. Затем весь круг разделим на 12 радиусов (соот2,7
ветственно числу месяцев в год). На радиусе сделаем отметку согласно масштабу исходя из приведенных данных за каждый месяц.
Данные, которые превысили среднемесячный уровень, отмечаются
за пределами окружности на продолжении радиуса. Отметки различных месяцев соединяются между собой (рис. 5.12).
Картограммы делятся на фоновые и точечные. Например, с
помощью фоновой картограммы можно изобразить плотностью
населения на 1 км2 по областям страны.
При построении точечной картограммы графическим изображением статистических данных являются точки, размещенные в
пределах территориальных единиц.
Принцип построения картодиаграммы заключаются в том,
что на контурной карте составные части какой-либо диаграммы
размещаются на площади, отведенной определенному территориальному подразделению страны (а на картах мира или частей света
– определенной стране). Например, если необходимо построить
кардиаграмму производства кирпича по областям России за 1997 г.
64
с использованием столбиковой диаграммы, то надо столбик, высота
которого отражает объем производства кирпича в данной области,
разместить на том месте, которое отведено для нее на карте. Выбирая масштаб, нужно следить за тем, чтобы столбики не выходили
за пределы своих областей.
Рис. 3.12. Продажа творога на колхозных рынках в одном из городов в 1997 г.
3.4.1. При помощи столбиковой диаграммы изобразите данные
о числе заключенных браков населением России, тыс. чел.:
1999
1320
2000
1277
2001
1054
2002
1107
2003
867
3.4.2. По данным о протяженности электрифицированных линий железных дорог (на конце года) постройте диаграммы: 1) ленточные; 2) структурные:
Протяженность электрифицированных линий
железных дорог (на конце города), тыс. км.
В процентах к общей эксплутационной длине
железных дорог
65
2000
2001
2002
2003
33,4
37,3
38,0
38,8
39,3
42,8
43,6
44,8
3.4.3. При помощи квадратной диаграммы сопоставьте следующие данные о городском жилищном фонде в России за 2000 –
2003 гг. (млн. м2 общей площади):
2000
1291.2
2001
1491,7
2002
1719,6
2003
1915,1
3.4.4. По данным о численности работников научных организаций (тыс. чел.) в России за 1998-2003 гг. постройте столбиковые
и секторные диаграммы:
Годы
Все работники
основной деятельности
1998
1999
2000
2001
2002
2003
1943,4
1677,8
1532,6
1315,0
1106,3
990,7
В том числе
специалисты, выполняввспомогашие научные исследовательный перния и разработки
сонал
1227,4
512,5
1079,1
416,6
984,7
382,2
778,8
379,4
640,8
291,3
572,6
260,0
прочие
203,5
182,1
165,7
156,8
174,2
158,2
3.4.5. По данным о структуре потребительских расходов населения России постройте диаграммы, изображающие структуру.
Укажите, к какому виду графиков они относятся.
Все потребительские расходы
В том числе:
продукты питания
непродовольственные товары
алкогольные напитки
оплата услуг
2001
100,0
2002
100,0
2003
100,0
36,1
45,8
5,0
13,1
46,9
40,1
2,9
10,1
49,0
34,8
2,5
13,7
3.4.6. Имеются данные о выпуске учащихся из общеобразовательных школ всех видов, тыс. чел.:
Годы
1997
1998
1999
2001
2002
Окончил основную школу
в том числе
всего
дневную вечернюю
1820
1790
30
1894
1863
31
1907
1859
48
1880
1816
64
1916
1851
65
Окончил среднюю (полную) школу
в том числе
всего
дневную
вечернюю
1473
925
548
1035
910
125
1050
941
109
1002
892
110
1043
932
111
Постройте диаграммы: а) столбиковые; б) секторные.
66
ГЛАВА 4. АБСОЛЮТНЫЕ
И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
4.1. Пересчет абсолютных величин
в условные единицы измерения
Методические указания и решение типовых задач
Абсолютные статистические величины, характеризуя численность изучаемой совокупности или объемы присущих им признаков, всегда являются числами именованными. В зависимости от
качественной особенности изучаемого явления и задач исследования эти величины выражаются в различных единицах измерения:
натуральных, трудовых и денежных. При учете продукции и товаров в натуральном выражении часто применяются условные единицы измерения. Сущность применения уловных единиц измерения
состоит в том, что отдельные разновидности изучаемой совокупности выражаются в единицах одного признака, условно принятого за
единицу измерения. Поэтому основной вопрос применения условных единиц измерения состоит в выборе признака, по которому
устанавливаются соответствующие коэффициенты пересчета.
Задача 1. В отчетном периоде поставка молочной продукции в
торговую сеть города характеризуется следующими данными:
Молоко 3,2%
Молоко 6,0%
Кефир
Ацидофилин
Объем поставки, т.
144,0
107,0
37,0
12,0
Ряженка
Сметана
Творог
Сырковая масса
Объем поставки, т.
6,2
113,0
43,0
3,0
Требуется определить общий объем поставки молочной продукции торговой сети города в отчетном периоде.
При определении общего объема поставки отдельные виды
молочной продукции выражаются в единицах цельномолочной
продукции. К цельномолочной продукции относятся молоко, сливки, сметана, ацидофилин, кефир, простокваша, сырковая масса,
творог, сырки и другие продукты из цельного молока.
Цельномолочная продукция счисляется в единицах массы путем пересчета каждого вида молочной продукции на молоко по установленным коэффициентам:
67
молоко 3,2%
молоко 6,0%
кефир, ацидофилин,
простокваша
ряженка
1,0
2,0
1,0
сметана
творог
творожные изделия
8,5
6,5
5,4
2,0
Исходя из данных коэффициента пересчета поставки отдельных видов молочной продукции в единицах массы молока представим в табл. 4.1.
Таблица 4.1
Коэффициент перевода
Объем
к цельномолочной пропоставки, т.
дукции
Молоко 3,2%
144,0
1,0
Молоко 6,0%
107,0
2,0
Кефир
37,0
1,0
Ацидофилин
12,0
1,0
Ряженка
6,2
2,0
Сметана
113,0
8,5
Творог
43,0
6,5
Сырковая масса
3,0
5,4
Итого
Продукция
Объем поставки цельномолочной продукции, т.
144,0
214,0
37,0
12,0
12,4
960,5
279,5
16,2
1674,6
Таким образом, общий объем поставки цельномолочной продукции в торговую сеть города составил в отчетном периоде 1674,6 т.
Задачи
1.1. В отчетном периоде предприятиями консервной промышленности района произведено продукции:
Таблица 4.2
Консервы
Соус томатный
Икра кабачковая
Огурцы соленные
Томаты натуральные
Молоко сгущенное
Масса или объем
банки
535 г
510 г
1 000 см3
800 см3
400 г
Количество банок, тыс.
шт.
120
150
300
200
500
Определите общий объем производства консервов в отчетном
периоде в условных единицах.
68
Примечание. За условную банку принимается: а) банка с массой продукции
нетто (варенья, джема, повидла, желе, томатных соусов, стерилизованных фруктовых соусов, фруктовой пасты, пюре, сгущенного молока, натуральных соков,
овощных фруктовых маринадов, а также концентрированных томатопродуктов,
приведенных к 12% - ной плотности) – 400 г.; б) банка (со всеми другими видами
продукции) емкостью 353,4 см3.
1.2. В отчетном периоде на производственные нужды израсходованы следующие виды топлива: мазут топочный – 800 т, уголь
донецкий - 460 т, газ природный - 940 тыс. м3.
На основе приведенных данных определите общий размер потребленного в отчетном периоде топлива в условных единицах измерения.
Примечание. Средние калорийные эквиваленты для перевода отдельных видов топлива в условное топливо:
Вид топлива
Уголь донецкий, т
Мазут топочный, т
Газ природный, тыс. м3
Калорийные эквиваленты
0,9
1,37
1,2
1.3. Имеются следующие данные о выпуске отдельных видов
продукции, тыс. т:
Наименование
Мыло хозяйственное:
60% -ное
40% -ное
Тыс. т
42,0
29,0
Наименование
Мыло туалетное
Порошок
стиральный
Тыс.т
40,0
25,0
Определите общий объем этого производства путем выражения отдельных видов продукции в условных единицах.
Примечание. Для перерасчета отдельных видов продукции в условные единицы используются следующие соотношения:
Вид продукции
Мыло хозяйственное:
60% -ное
40% -ное
Коэ
Наименование
Мыло туалетное
Порошок
стиральный
42,0
29,0
Тыс.т
40,0
25,0
1.4. Выплавка чугуна по цехам завода в отчетном периоде характеризуется следующими данными:
69
Вид чугуна
Ванадиевый
Зеркальный
Ковкий и валкий
Тыс. т
52
76
94
Вид чугуна
Литейный
Передельный
Хромоникелевый
Тыс. т
110
126
124
Определите общий объем выплавки чугуна в натуральном выражении и в условном натуральном выражении (в переводе на передельный чугун). Объясните разницу в исчисленных показателях
объема выпуска продукции.
Примечание. Для перевода отдельных видов чугуна в условные натуральные
единицы измерения используются следующие коэффициенты:
Вид чугуна
Передельный
Литейный
Ванадиевый
Коэффициент
1,0
1,15
1,35
Вид чугуна
Ковкий и валкий
Хромоникелевый
Зеркальный
Коэффициент
1,15
1,50
1,50
4.2. Определение относительных величин выполнения плана
Методические указания и решение типовых задач
Относительные величины выполнения плана дают количественную характеристику выполнения плановых заданий. Их широкое применение в экономическом анализе обусловлено практикой
планового управления народным хозяйством. Способы вычисления
относительных величин выполнения плана зависят от характера
показателей, выражающих плановое задание. Так для экономических явлений, которым свойственно поступательное развитие во
времени, плановыми заданиями обычно устанавливается достижение в предстоящих периодах тех или иных абсолютных (или средних) уровней. Относительные величины выполнения плана определяются для них как процентное отношение фактически
достигнутой в отчетном периоде абсолютной величины уровня к
абсолютной величине уровня планового задания:
Относительная величина выполнения (%) =
фактический уровень
=
× 100,
плановое задание
Задача 2. Имеются следующие данные о производстве в отчетном периоде продукции промышленными предприятиями города:
70
Таблица 4.3
Предприятия отрасли
Машиностроения и металлообработки
Текстильной промышленности
Пищевой промышленности
Итого
По плану,
млн. руб.
Фактически,
млн. руб.
Процент выполнения плана
63,0
66,4
105,4
18,0
21,5
102,5
17,6
22,1
106,1
97,8
102,7
103,5
В последней графе определены относительные величины выполнения плана выпуска продукции в отчетном периоде по отраслям производства и по промышленности года в целом.
Для наглядного представления итогов выполнения промышленностью города плана производства продукции полученные данные целесообразно нанести на полосовой график (рис. 4.1).
Для некоторых явлений задания плана предусматривают не
рост, а снижение уровней на ту или иную величину. Относительные величины выполнения плана в таких случаях определяются
путем сравнения фактически достигнутого и запланированного
снижения уровня:
Относительная величина выполнения плана (%) =
фактическая величина снижения
=
× 100,
плановая величина снижения
4
3
2
1
94
96
98
100
102
104
106
Рис. 4.1. Выполнение плана производства продукции промышленности
предприятиями города (в процентах); 1- машиностроение и металлообработка;
2 – текстильная промышленность; 3 – пищевая промышленность;
4 – вся промышленность
71
Задача 3. Планом на 2003 г. намечено снижение себестоимости изделия А на 1,5 руб. при уровне себестоимости этого изделия
75,0 руб. Фактически в 2003 г. себестоимость этого изделия составила 73,44 руб. Определите относительную величину выполнения
плана по снижению себестоимости изделия А в 2003 г.
Для вычисления процента выполнения плана по снижению в
2003 г. себестоимости изделия А найдем фактическую величину
снижения себестоимости: 75,0 – 73,44 = 1,56 (руб.).
Рассчитаем относительную величину выполнения плана как
отношение величины фактического снижения себестоимости (1,56)
к величине снижения себестоимости по плановому заданию:
Относительная величина выполнения плана (%) =
= 1,56 × 100 = 104 ,0 %.
1,5
Таким образом, плановое задание по снижению себестоимости
изделия А в 2003 г. перевыполнено на 4,0%.
В экономическом анализе плановое задание может быть выражено и в форме относительной величины, т.е. в виде коэффициента роста или прироста уровня в планируемом периоде по сравнению с уровнем базисного периода. В этом случае относительная величина
выполнения плана определяется из процентного сопоставления коэффициента фактического роста явления с плановым коэффициентом:
Относительная величина выполнения плана (%) =
коэффициент фактического роста
=
× 100.
коэффициент планового задания
Задача 4. Прирост выпуска продукции отрасли по плану на
2003 г. должен составить 7,5%. Фактически рост выпуска продукции в этом году составил 109,5%. Определите относительную величину выполнения плана отраслью по выпуску продукции.
Заданный планом прирост выпуска продукции (7,5%) выражаем в форме коэффициента роста выпуска продукции в 2003 г. по
сравнению с 2002 г.: 1 + 0,075 = 1,075.
Фактический процент роста выпуска продукции (109,5%) выражаем в форме коэффициента:
109,5
= 1,095.
100
С помощью полученных коэффициентов рассчитываем относительную величину выполнения плана:
72
1,095
× 100 = 101,9%,
1,075
т.е. в 2003 г. план выпуска продукции перевыполнен отраслью на 1,9%.
Задачи
2.1. По плану завода должен был выпускать в отчетном периоде товарной продукции на 12 млн. руб. при средней численности
работающих 400 человек. Фактически выпуск товарной продукции
составил в этом периоде 13,1 млн. руб. при средней списочной
численности работающих 410 человек. Определите: 1) относительную величину выполнения плана по выпуску товарной продукции;
2) относительную величину выполнения плана по численности работающих; 3) показатель изменения фактического выпуска продукции на одного работающего по сравнению с планом. Изобразите в виде полосовой диаграммы выполнение плана по выпуску
товарной продукции и по численности работающих.
2.2. Плановый выпуск готовой продукции в отчетном периоде
должен был составить 6 млн. руб. при средней численности работающих 1250 человек и общем фонде заработной платы 1450 тыс. руб.
Фактически фабрикой было выпущено готовой продукции на 6,2 млн.
руб. при среднесписочной численности работающих 1225 человек и
общем фонде заработной платы 1479,0 тыс. руб. Определите относительные величины выполнения плана: 1) выпуска готовой продукции;
2) средней численности работающих; 3) расходования фонда заработной платы. Изобразите в виде полосовой диаграммы выполнение плана по выпуску готовой продукции, средней численности работающих
и расходованию фонда заработной платы.
2.3. По плану комбинат должен был выпустить в отчетном
периоде товарной продукции на 60 млн. руб. при средней численности работающих 2000 человек. Фактически комбинат выпустил
в отчетном периоде товарной продукции на 62,0 млн. руб. при
средней списочной численности работающих 2020 человек. Определите: 1) относительную величину выполнения плана по выпуску товарной продукции; 2) относительную величину выполнения
плана по средней численности работающих; 3) показатель изменения фактического выпуска продукции на одного работающего
по сравнению с планом. Изобразите в виде полосовой диаграммы
выполнение плана по выпуску товарной продукции и численности
работающих.
73
2.4. В отчетном периоде предприятие местной промышленности должно было выпустить товаров народного потребления на 3
млн. руб. при средней численности работающих 620 человек и общем фонде заработной платы 725 тыс. руб. Фактически за отчетный период выпуск товарной продукции составил 3,1 млн. руб. при
среднесписочной численности работающих 628 человек и общем
фонде выплаченной заработной платы 742,4 тыс. руб. Определите
относительные величины выполнения плана: 1) выпуска товарной
продукции; 2) средней численности работающих; 3) расходования
фонда заработной платы. Изобразите в виде полосовой диаграммы
выполнение плана по выпуску товарной продукции, средней численности работающих и расходованию фонда заработной платы.
3.1. Уровень себестоимости производства 1 т продукции А в
базисном году оставил 826 руб. Планом на 2003 г. предусмотрено
снижение затрат на производство тонны этой продукции на 16 руб.
Фактическая себестоимость производства тонны этой продукции
составила по отчету за 2003 г. 809 руб. Определите относительную
величину выполнения плана по снижению себестоимости данной
продукции в 2003 г.
3.2. Средняя масса одного изделия Б в базисном году составила 34,8 кг. Планом на 2003 г. намечено снижение расхода сырья на
изготовление изделия Б на 0,4 кг. Фактически в 2003 г. средний вес
этого изделия составил 34,5 кг. Определите относительную величину выполнения плана по снижению расхода сырья на изготовление одного изделия Б в 2003 г.
3.3. В базисном периоде средняя масса одной детали Г-20 – 3
кг. В отчетном периоде было намечено снижение расхода чугуна на
изготовление этой детали на 250 г. Фактически средняя масса одной детали Г-20 составила в отчетном периоде 2,8 кг. Определите
относительную величину выполнения плана по снижению расхода
сырья на изготовление одной детали Г-20.
4.1. Годовым планом фабрики предусматривался рост выпуска
товарной продукции на 5,5%. Фактически пророст товарной продукции за этот год составил 8,8%. Определите относительную величину выполнения фабрикой годового плана по росту выпуска
товарной продукции.
4.2. В годовом плане предусматривалось снижение по заводу
затрат на 1 руб. товарной продукции на 4,0%; фактически за этот
год затраты на 1 руб. товарной продукции были снижены на 5,4%.
74
Определите относительную величину выполнения заводом плана
по снижению затрат на 1 руб. товарной продукции в данном году.
4.3. Коллектив швейной фабрики принял обязательство повысить в текущем году производительность труда в целом по фабрике
на 5,0%. Подведение итогов соревнования показало, что фактически производительность труда выросла по сравнению с прошлым
годом на 6,5%. Определите относительную величину выполнения
коллективом фабрики принятого обязательства по росту производительности труда.
4.4. Коллектив цеха завода принял обязательство снизить в текущем году расходы сырья на производство одной тонны продукции на
2,5%. При подведении итогов соревнования установлено, что фактическое снижение расхода сырья на производство тонны продукции
составило в среднем 3,8%. Определите относительную величину выполнения коллективом цеха завода принятого обязательства по снижению затрат сырья на производство тонны данной продукции.
4.3. Определение относительных величин структуры
Методические указания и решение типовой задачи
Относительные величины структуры характеризуют долю
(удельный вес) составных частей целого в их общем итоге и обычно выражаются в виде коэффициентов (доли единиц) или процентах. Важное значение относительных величин структуры в экономической статистике состоит в том, что они применяются для
изучения состава (строения) статистической совокупности. Сопоставление структуры явлений, сосуществующих в пространстве, позволяет выявить особенности их внутреннего строения. Сравнение
же структуры явления, развивающегося во времени, позволяет изучать происходящие в явлении структурные сдвиги (изменения).
При определении относительных величин структуры сравниваемыми величинами могут быть или численности отдельных групп статистической совокупности, или объемы их признаков. За основание (базу)
сравнения принимается общий итог статистической совокупности.
Задача 5. Имеются следующие данные о составе посевных
площадей в колхозах и совхозах области по состоянию на 1 ноября
2003 г. (тыс. га):
75
Таблица 4.4
Посевная площадь
в колхозах
в совхозах
570,6
595,9
105,6
34,6
27,9
17,8
299,0
276,8
1003,1
925,1
Вид культуры
Зерновые
Технические
Картофель и овоще- бахчевые
Кормовые
Итого
Для изучения использования посевных площадей колхозами и
совхозами области определите относительные величины структуры
и изобразите их графически.
Для расчета относительных величин структуры сопоставим
посевные площади, занятые под отдельными культурами fi, с общим итогом Σ f, т.е. определим их удельный вес в процентах
⎛ f
⎞
⎜ i × 100 ⎟.
⎜
⎟
f
⎝
⎠
Зерновые культуры:
в колхозах
в совхозах
595,9
570,6
× 100 = 56,9% ;
× 100 = 64,4%.
1003,1
925,1
Аналогично исчисляются показатели по остальным видам
культур.
В результате расчетов получаем следующие данные о структуре посевных площадей в колхозах и совхозах области по состоянию
на 1 ноября 2003 г. (%):
∑
Таблица 4.5
Вид культуры
Зерновые
Технические
Картофель и овоще- бахчевые
Кормовые
Итого
Посевная площадь
в колхозах
в совхозах
56,9
64,4
10,5
3,7
2,8
1,9
29,8
30,0
100,0
100,0
Из табл. 4.5 видно, что в совхозах на каждые 100 га посевных
площадей зерновые культуры занимают на 7,5 га больше, чем в
76
колхозах, а удельный вес посевных площадей, используемых под
техническими культурами, картофелем и овоще-бахчевыми культурами, в колхозах выше, чем в совхозах.
Выявленная специфика использования посевных площадей
получает наглядность в графическом представлении. Для графического изображения относительных величин структуры обычно используются секторные диаграммы, в которых каждый сектор занимает площадь круга пропорционально удельному весу
отображаемых частей целого. Применительно к условию данной
задачи диаграмма будет состоять из двух кругов – посевная площадь колхозов и совхозов, принимаемая за 100%. Для выделения в
каждом круге четырех секторов (по числу культур) определим по
данным об удельных весах посевных площадей, занятых под отдельными культурами, соответствующие значения центральных
углов (1% = 3,6о):
Посевная площадь зерновых культур:
в колхозах
в совхозах
56,9
64,4
× 360 = 204,8° ;
× 360 = 231,8°.
100
100
Посевная площадь технических культур:
в колхозах
в совхозах
10,5
3
,
7
× 360 = 37,8° ;
× 360 = 13,4°.
100
100
Посевная площадь картофеля и овоще-бахчевых культур:
в колхозах
в совхозах
2,8
1,9
°
× 360 = 10,1 ;
× 360 = 6,8°.
100
100
Посевная площадь кормовых культур:
в колхозах
в совхозах
29,8
30
× 360 = 107,3° ;
× 360 = 108°.
100
100
Задачи
5.1. Имеются следующие данные о затратах на производство
продукции металлургического и машиностроительного заводов в
отчетном периоде (млн. руб.):
77
Таблица 4.6
Вид затрат
Сырье и основные материалы
Вспомогательные материалы
Топливо
Энергия
Амортизация
Заработная плата и отчисления
на социальное страхование
Прочие расходы
Итого
Металлургический
завод
25,1
2,6
4,9
1,7
3,1
Машиностроительный
завод
47,3
3,3
1,2
1,8
3,7
5,3
21,8
1,3
44,0
2,9
82,0
Определите относительные величины структуры затрат на производство продукции: 1) на металлургическом заводе; 2) на машиностроительном заводе. Изобразите полученные относительные величины структуры в виде секторной диаграммы. Сделайте выводы.
5.2. Получены следующие данные по области о составе площадей, занятых под плодово-ягодными насаждениями в 2003 г. (на
конец года; тыс. га):
Таблица 4.7
Вид насаждений
Плодовые насаждения
в том числе:
семечковые
косточковые
Ягодные насаждения
Итого
Колхозы, совхозы и
другие государственные хозяйства
19,3
18,6
0,7
2,1
21,4
Личные подсобные
хозяйства населения
25,7
19,0
6,7
4,0
29,7
Определите относительные величины структуры площадей, занятых под плодово-ягодными насаждениями6 1) в колхозах, совхозах и других государственных хозяйствах; 2) в личных подсобных
хозяйствах населения. Изобразите полученные относительные величины структуры в виде секторной диаграммы. Сделайте выводы.
5.3. Имеются следующие данные о потреблении населением
области тканей на душу населения в год (м2):
78
Таблица 4.8
Ткань
Хлопчатобумажная
Шерстяная
Шелковая
Льняная
Итого
2002
11,6
0,9
0,2
0,7
13,4
2003
22,8
3,1
6,1
1,7
33,7
Определите относительные величины структуры потребления
населением тканей: 1) в 2002 г.; 2) в 2003 г. Изобразите полученные
относительные величины структуры посредством столбиковых
диаграмм. Сделайте выводы о структурных сдвигах в потреблении
населением тканей.
4.4. Определение относительных величин координации
и сравнения
Методические указания и решение типовых задач
Важное значение при анализе экономических явлений имеют
относительные величины координации. В отличие от относительных
величин структуры, выражающих удельные веса частей в целом,
относительные величины координации характеризуют соотношение
частей изучаемой статистической совокупности, которое показывает, во сколько раз сравнимая часть явлений больше или меньше части, принимаемой за снование (базу) сравнения. Относительные величины координации выражаются в кратных отношениях.
Задача 6. За истекший год получены следующие данные о
численности детей, родившихся в области, чел.:
мальчики – 40357; девочки – 38019.
Для определения относительной величины соотношения численности мальчиков и девочек сопоставим между собой исходные данные (приняв за базу сравнения численность родившихся девочек):
40357
= 1,0615,
38019
т. е. на каждые 100 девочек рождались 106 мальчиков.
В статистике часто приходится сопоставлять значения одноименных признаков по нескольким совокупностям. В результате
получают относительные величины сравнения.
79
Задачи
6.1. Имеются следующие данные о численности мужчин и
женщин в области (тыс. чел.):
Таблица 4.9
Группы населения по возрасту, лет
От 0 до 44
От 45 и старше
Итого
Мужчины
80,3
20,1
100,4
Женщины
83,1
41,2
124,3
Определите относительные величины, характеризующие соотношение численности мужчин и женщин (за базу сравнения принять 1000 человек): 10 для всего населения; 2) в возрасте от 0 до 43
лет; 3) в возрасте от 44 лет и старше.
6.2. На предприятии в начале года по списку числилось рабочих 2150 человек, административно-управленческого персонала –
43 человека. К концу года списочная численность рабочих предприятия увеличилась на 34 человека, а численность административно-управленческого персонала была сокращена на 4 человека.
Определите относительные величины, характеризующие соотношения между списочной численностью рабочих и численностью
административно-управленческого персонала: 1) на начало года; 2)
на конец года.
6.3. Численность специалистов с высшим и средним специальным образованием, занятых в народном хозяйстве области, характеризуется следующими данными (на конец года; тыс. чел.):
Специалистов с высшим образованием – всего
в том числе:
инженеров
экономистов и экономистов-статистиков
Специалистов со средним специальным образованием всего
в том числе:
техников
плановиков и статистиков
172,5
83,1
10,3
273,1
154,5
17,5
Исчислите относительные величины, характеризующие соотношения: 1) между общей численностью специалистов с высшим образованием и средним специальным образованием; 2) между инженерами и
техниками; 3) между экономистами и экономистами - статистиками, с
одной стороны, и плановиками и статистиками – с другой.
80
6.4. В отчетном периоде товарооборот фабрики –кухни состоял
из реализации продукции собственного производства – 440 тыс.
руб. и продажи покупных товаров – 110 тыс. руб. Планом на предстоящий период намечено увеличить объем реализации продукции
собственного производства на 25% при сокращении размера продажи покупных товаров на 10%. На основе этих данных: 1) определите объем реализации продукции собственного производства и
покупных товаров в планируемом периоде; 2) исчислите относительные величины, характеризующие соотношение между объемом
товарооборота продукции собственного производства и покупными
товарами в отчетном периоде и в планируемом периоде.
4.5. Определение относительных величин динамики
Методические указания и решение типовой задачи
Относительные величины динамики характеризуют развитие
изучаемого явления во времени. Они позволяют при анализе данных, характеризующих развитие явления во времени, выявлять направление развития и измерять темпы роста.
Относительные величины динамики (темпа роста) исчисляются как соотношение абсолютных (или средних) уровней ряда и выражаются в форме коэффициентов или процентов.
Задачи
8.1. Имеются следующие данные о потреблении основных
продуктов питания на душу населения в год (кг):
Таблица 4.10
Продукты питания
1998 1999 2000 2001 2002 2003
Мясо и мясопродукты в пересчете на
мясо
29
26
40
41
48
57
Молоко и молочные продукты (в пересчете на молоко)
154 172
240
251
307
316
Сахар
8,1 11,6 28,0 34,2 38,8 40,9
Овощи и бахчевые
40
51
70
72
82
89
Определите относительные величины динамики, характеризующие рост потребления населением мяса и мясопродуктов: 1) по
81
сравнению с уровнем 1998 г.; 2) по сравнению с уровнем предыдущего года. Полученные результаты изобразите графически. Сделайте выводы.
8.2. По данным задачи 8.1. определите относительные величины динамики, характеризующие рост потребления населением молока и молочных продуктов: 1) по равнению с уровнем 1998 г.; 2)
по сравнению с уровнем предыдущего года. Полученные результаты изобразите графически. Сделайте выводы.
8.3. По данным задачи 8.1. определите относительные величины динамики, характеризующие рост потребления населением сахара: 1) по сравнению с 1998 г.; 2) по сравнению с уровнем предыдущего года. Полученные результаты изобразите графически.
Сделайте выводы.
8.4. По данным задачи 8.1. определите относительные величины динамики, характеризующие рост потребления населением
овощей и бахчевых: 1) по равнению с уровнем 1998 г.; 2) по сравнению с уровнем предыдущего года. Полученные результаты изобразите графически. Сделайте выводы.
4.5. Определение относительных величин интенсивности
Методические указания и решение типовых задач
Относительные величины интенсивности характеризуют степень насыщенности изучаемым явлением определенной среды.
Они выражают соотношение разноименных, но связанных между
собой величин и исчисляются как отношение величины изучаемого
явления к объему той среды, в которой происходит развитие явления. Относительные величины интенсивности являются именованными числами и могут выражаться в кратных отношениях, процентах, промилле и других формах.
Задача 7. Имеются следующие данные по району: число родившихся за год детей составляет 1701 человек; среднегодовая
численность населения 94 980 человек. Определите относительную
величину интенсивности, характеризующую рождаемость детей.
82
1701
коэффициент
число родившихся
=
=
= 0,018,
рождаемости среднегодовая числен − 94980
ность населения
или 18 ‰ (промилле).
Таким образом, рождаемость детей в районе в расчете на 1000
человек населения составляла 18 человек.
Задачи
9.1. По одному из городов области получены следующие данные за 2003 г.:
Таблица 4.11
Число
родившихся
1 342
Число
умерших
621
Число
браков
720
Число
разводов
193
Среднегодовая численность населения
76 620
Определите относительную величину интенсивности, характеризующую рождаемость детей в районе.
9.2. По данным задачи 9.1. определите относительную величину
интенсивности, характеризующую смертность населения в районе.
9.3. По данным задачи 9.1. определите относительную величину интенсивности, характеризующую заключение браков населением района.
9.4. По данным задачи 9.1. определите относительную величину интенсивности, характеризующую расторжение браков (разводов) населением района.
83
ГЛАВА 5. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ
5.1. Исчисление средней арифметической простой
по индивидуальным данным
Методические указания и решение типовой задачи
Прежде чем приступить к практическим занятиям, необходимо
понять сущность средней величины, являющейся обобщающей характеристикой совокупности однотипных явлений по изучаемому
признаку. Необходимо учесть, что средняя величина должна вычисляться с учетом экономического содержания определяемого
показателя. Каждый показатель имеет свое, только ему присущее
содержание. Например,
Средняя урожайность =
валовой сбор
;
посевная площадь
Средняя заработная
фонд заработной платы
=
;
плата одного работника
число работников
Средняя себестоимость общие затраты напродукцию
=
и т.д.
единицы продукции
количество продукции
Такой подход позволяет правильно определить среднюю величину признака, выбрать форму средней.
Средняя арифметическая простая (не взвешенная) равна
сумме отдельных значений признака, деленной на число этих
значений.
Отдельные значения признака называют вариантами и обозначают через х (х1, х2, х3 …, хп), число единиц в совокупности обозначают через п, среднее значение признака - через х . Следовательно, средняя арифметическая простая равна:
х=
∑
х
х1 + х2 + х3 + х4 + ... + хп
=
.
п
п
Задача 1. Имеются следующие данные о производстве рабочими продукции А за смену:
84
Номер рабочего
1
2
3
4
5
Выпущено изделий
за смену, шт.
16,0
17,0
18,0
17,0
16,0
Номер рабочего
6
7
8
9
10
Выпущено изделий за смену, шт.
17,0
18,0
20,0
21,0
18,0
В данном примере варьирующий признак – выпуск продукции
за смену. Численные значения признака (16,17 и т.д.) называют вариантами. Определим среднюю выработку продукции рабочими
данной группы:
х 16,0 + 17,0 + 18,0 + ... + 18,0 178
х=
=
=
= 17,8 шт.
п
10
10
∑
Задачи
1.1. На часовом заводе рабочий обработал за каждый час деталей: за 1-й – 10 деталей, 2-й – 11, 3-й – 9, 4-й – 10, 5-й – 11, 6-й – 13,
7-й – 8, 8-й – 8. Определите среднюю выработку рабочего за час.
1.2. Исчислите среднесуточную добычу угля на шахте по следующим данным:
число месяца
добыча угля в сутки, тыс. т
1
4,5
2
4,6
3
4,9
4
5,0
5
5,4
6
7
5,0 5,4
8
5,8
9 10
5,9 6,2
1.3. Имеются следующие данные об уборке картофеля в колхозах района по данным на 20 сентября 2003 г.:
Таблица 5.1
Номер колхоза
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Процент
выполнения плана
67,0
50,0
47,0
41,0
41,0
39,0
32,0
30,0
27,0
25,0
16,0
Номер колхоза
12
13
14
15
16
17
18
19
20
85
Процент выполнения
плана
33,0
27,0
10,0
16,0
14,0
22,0
17,0
11,0
21,0
Исчислите средний процент выполнения плана уборки картофеля на 20 сентября по району.
1.4. Имеются следующие данные о выпуске продукции по 23
предприятиям отрасли (млн. руб.):
Таблица 5.2
Номер
предприятия
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Выпуск
продукции
2,8
9,4
1,9
2,5
3,5
3,2
2,3
2,5
8,6
1,5
3,2
4,2
Номер
предприятия
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
Выпуск
продукции
3,4
1,3
3,4
5,0
4,9
3,6
6,0
3,2
2,9
5,6
5,4
Исчислите средний размер продукции на один завод.
5.2. Исчисление средней арифметической взвешенной
в дискретном ряду распределения
Методические указания и решение типовых задач
Простая средняя арифметическая применяется в случаях, когда
имеются отдельные значения признака, т.е. данные не сгруппированы. Если данные представлены в виде рядов распределения или
группировок, то средняя исчисляется иначе.
Задача 2. Имеются следующие данные о заработной плате рабочих-сдельщиков:
По данным дискретного ряда распределения видно, что одни и
те же значения признака (варианты) повторяются несколько раз.
Так, варианта х1 встречается в совокупности 2 раза, а варианта x3 –
16 раз и т.д.
86
Таблица 5.3
Месячная заработная плата (варианта – х) т. руб.
x1 =110
x2 =130
x3 =160
x4 =190
x5 =220
Число рабочих f
f1 =2
f2 =6
f3 =16
f4 =12
f5 =14
50
x•f
220
780
2 560
2 280
3 080
8 920
Число одинаковых значений признака в рядах распределения
называется частотой, или весом и обозначается символом f .
Исчислим среднюю заработную плату одного рабочего х :
средняя заработная плата заработная плата всех рабочих
=
;
одного рабочего
число рабочих
110 ⋅ 2 + 130 ⋅ 6 + 160 ⋅ 16 + 190 ⋅ 12 + 220 ⋅ 14 8920
х=
=
= 178,4 т. руб.
50
50
Фонд заработной платы по каждой группе рабочих равен
произведению варианты на частоту, а сумма этих произведений
дает общий фонд заработной платы всех рабочих.
В соответствии с этим расчеты можно представить в общем виде:
xf
x f + x2 f 2 + x3 f 3 + ... + xn f n
х= 1 1
=
.
f1 + f 2+ f 3 + ... + f n
f
∑
∑
Полученная формула называется средней арифметической
взвешенной. Из нее видно, что средняя зависит не только от значений признака, но и от их частот, т.е. от состава совокупности, от ее
структуры. Изменим в условии задачи состав рабочих и исчислим
среднюю в измененной структуре.
Задача 3. По цеху имеются данные о заработной плате рабочих:
Таблица 5.4
Месячная заработная плата (х), т.руб.
110
130
160
190
220
87
Число рабочих f
2
4
8
20
16
50
xf
220
520
1280
3800
3520
9340
Средняя заработная плата одного рабочего составит:
х=
∑ xf
∑f
=
9340
= 186,8 т. руб.
50
Частотами (весами) могут быть относительные величины, взятые в процентах или коэффициентах. Метод расчета средней и конечный результат от этого не изменяется.
Задача 4. Представим данные о численности рабочих в условии приведенной выше типовой задачи в относительных величинах:
Таблица 5.5
Месячная заработная плата
(х), т. руб.
110
130
160
190
220
Число рабочих в процентах к итогу (f)
x•f
4
8
16
40
32
100,0
440
1040
2560
7600
7040
18680
Число рабочих в
x• f′
коэффициентах ( f ′ )
0,04
0,08
0,16
0,40
0,32
1,00
4,4
10,4
25,6
76,0
70,4
186,8
Средняя заработная плата рабочего, взвешенная по процентным соотношениям, будет равна средней, полученной при решении
типовой задачи 3:
х=
110 ⋅ 4 + 130 ⋅ 8 + 160 ⋅ 16 + 190 ⋅ 40 + 220 ⋅ 32 18680
=
= 186,8 т. руб.
100
100
Если весами являются частоты, выраженные в коэффициентах,
то вычисления упрощаются. Так как сумма коэффициентов всегда
равна единице, то расчет средней сводится к определению суммы
произведений вариант на частоты (в данном случае коэффициенты):
х = 110 ⋅ 0,04 + 130 ⋅ 0,08 + 160 ⋅ 0,16 + 190 ⋅ 0,40 + 220 ⋅ 0,32 = 186,8 т. руб.
Задачи
2.1. Имеются следующие данные о производстве продукции
рабочими бригады за каждый час рабочей смены:
88
Таблица 5.6
Число рабочих
3
2
5
4
1
Количество продукции, произведенной за час одним рабочим, шт.
1-й
2-й
3-й
4-й
5-й
6-й
7-й
8-й
9
10
10
10
9
9
8
7
11
12
12
11
11
12
10
9
13
15
16
15
17
15
12
17
12
14
15
14
14
15
15
13
10
11
12
11
11
11
12
10
Определите: 1) среднюю выработку продукции за час одним
рабочим по каждой группе; 2) среднюю выработку продукции за
час одним рабочим бригады в целом.
2.2. Имеются данные о времени простоя станков по цехам завода:
Таблица 5.7
Номер цеха
1
2
3
4
5
Время простоя станка за смену, мин.
70
40
30
25
90
Число станков
7
9
12
6
6
Определите среднее время простоя одного станка.
2.3. Имеются следующие данные о численности учеников и
сроках их обучения по профессиям:
Таблица 5.8
Профессия
Токарь
Слесарь
Фрезеровщик
Шлифовальщик
Литейщик
Сварщик
Модельщик
Плотник
Другие
Итого
Число учеников
50
100
50
35
20
60
35
30
120
500
Срок обучения, мес.
5
4
5
6
6
6
6
3
3
Исчислите средний срок обучения учеников.
2.4. Имеются следующие данные о распределении рабочих
двух заводов по тарифным разрядам:
89
Таблица 5.9
Тарифный разряд
1-й
2-й
3-й
4-й
5-й
6-й
Число рабочих на заводе
№1
№2
4
2
13
10
16
15
30
30
20
25
17
18
100
100
Определите средний тарифный разряд рабочего: 1) по заводу
№1; 2) по заводу №2. Сравните полученные результаты.
3.1. При изучении стажа работы работников завода получены
следующие данные:
Таблица 5.10
Стаж работы
1
3
4
7
8
10
12
13
Число работников в процентах к итогу
рабочие
ИТР
2
0,5
10
2,5
20
8,0
21
15,0
26
42,0
11
20,0
7
7,0
3
5,0
100
100,0
Определите средний стаж работы: 1) рабочих; 2) инженернотехнических работников.
3.2. В отчетном периоде распределение работников по продолжительности отпусков характеризовалось следующими показателями:
Таблица 5.11
Продолжительность отпусков
15
18
21
23
24
30
Число работников в процентах к итогу
рабочие
ИТР
16
20
17
11
2,0
15
1,0
22
70,0
16
10,0
100
100,0
90
Исчислите среднюю продолжительность отпусков: 1)для рабочих; 2) для инженерно-технических работников. Сравните полученные данные.
3.3. В результате исследования продолжительности простоев
рабочих по организационно-техническим причинам получены следующие данные:
Таблица 5.12
Продолжительность простоев, мин.
20
40
120
180
420
Итого
Удельный вес рабочих
токари завода
ткачихи комбината
0,24
0,26
0,24
0,23
0,32
0,49
0,13
0,01
0,07
0,01
1,00
1,00
Определите среднее время простоев: 1) токарей завода; 2) ткачих комбината. Сравните полученные результаты.
3.4. В результате выборочного обследования рабочих машиностроительного завода получены следующие данные о времени
сверхурочной работы за неделю:
Таблица 5.13
Номер группы
1
2
3
4
5
Число работающих
мужчин
женщин
3,0
30,0
10,0
56,0
9,0
10,0
52,0
1,0
26,0
3,0
100,0
100,0
Сверхурочное время, ч
мужчин
женщин
1,8
1,6
3,6
2,0
4,5
2,4
4,7
5,5
7,6
8,5
Определите среднее сверхурочное время работы за неделю:
1) для мужчин; 2) для женщин. Сравните полученные результаты.
91
5.3. Исчисление средней арифметической взвешенной
в интервальном ряду распределения с закрытыми
и открытыми интервалами
Методические указания и решение типовых задач
Статистический материал в результате обработки может быть
представлен не только в виде дискретных рядов распределения, но
и в виде интервальных вариационных рядов с закрытыми или открытыми интервалами. Рассмотрим расчет средней арифметической для таких рядов.
Задача 5. Имеются следующие данные:
Таблица 5.14
Число рабочих
f
10
30
40
15
5
100,0
Группы рабочих по количеству производственной продукции за смену, шт.
3-5
5-7
7-9
9-11
11-13
Итого
Середина
интервала
х
4
6
8
10
12
x•f
40
180
320
150
60
750
Исчислим среднюю выработку продукции одним рабочим за
смену. В данном ряду варианты осредняемого признака (продукция за смену) представлены не одним числом, а в виде интервала
«от - до». Рабочие первой группы производят продукцию от 3 до 5
шт., рабочие второй группы – от 5 до 7 шт. и т. д. Таким образом,
каждая группа ряда распределения имеет нижнее и верхнее значения варианта, или закрытые интервалы. Исчисление средней по
сгруппированным данным производится по формуле средней
арифметической взвешенной:
х=
∑ xf .
∑f
Чтобы применить эту формулу, необходимо варианты признака выразить одним числом (дискретным). За такое дискретное чис92
ло принимается средняя арифметическая простая из верхнего и
нижнего значения интервала. Так, для первой группы дискретная
величина х будет равна:
3+5
= 4.
2
Дальнейший расчет производится обычным методом определения средней арифметической взвешенной:
х=
∑ xf
∑f
=
750
= 7,5.
100
Итак, все рабочие произвели 750 шт. изделий за смену, а каждый в среднем произвел 7,5 шт.
Преобразуем рассмотренный выше ряд распределения в ряд с
открытыми интервалами.
Задача 6. Имеются следующие данные о производстве продукции за смену:
Таблица 5.15
Группы рабочих по количеству произведенной продукции
за смену, шт.
Число рабочих
До 5
5 –7
7 –9
9 – 11
Свыше 11
Итого
10
30
40
15
5
100
В таких рядах условно величина интервала первой группы
принимается равной величине интервала последующей, а величина
интервала последней группы – величине интервала предыдущей.
Дальнейший расчет аналогичен изложенному выше.
Задачи
4.1. В результате группировки данных по капитальным затратам по леспромхозам получено:
93
Таблица 5.16
Группы леспромхозов по размеру капитальных затрат,
тыс. руб.
8 –10
10 –12
12 –14
14 –16
16 –18
18 –20
Итого
Число леспромхозов
6
8
15
15
10
6
60
Определите средний размер капитальных затрат на одно хозяйство.
4.2. Имеются следующие данные о составе строительных бригад:
Таблица 5.17
Группы бригад по
числу рабочих
16 –20
20 -25
26 –30
31 –35
Итого
Число бригад
80
44
100
200
Группы бригад по
числу рабочих
36 –40
41 –45
46 -50
Число бригад
40
20
16
500
Определите среднее число рабочих в бригаде.
4.3. Состав работников предприятия по стажу работы характеризуется следующими показателями:
Таблица 5.18
Число работников, чел.
рабочих
служащих
26
4
30
12
25
43
12
17
5
13
2
10
100,0
100,0
Группы работников по стажу, лет
1-3
3-5
5-10
10-15
15-20
Свыше 20
Итого
Определите средний стаж работы: 1) рабочих; 2) служащих.
Сравните полученные результаты.
94
4.4. В результате выборочной проверки получено следующее
распределение рабочих по проценту допускаемого брака:
Таблица 5.19
Число рабочих в цехе
№1
№2
4
2
20
12
16
20
5
13
5
1
50
50
Процент допускаемого брака
0,5-1,0
1,0-2,0
2,0-3,0
3,0-5,0
Свыше 5,0
Исчислите средний процент брака, допускаемого рабочими:
1) в цехе №1; 2) в цехе №2.
5.1. Имеются следующие данные о распределении заводов цементной промышленности по величине производственной мощности:
Таблица 5.20
Удельный вес заводов
в процентах к итогу
10
15
25
21
16
13
100
Производство цемента в год, тыс. т.
До 100
100-200
200-300
300-500
500-700
Свыше 700
Итого
Вычислите среднее производство цемента в год на одном заводе. При расчетах принять значение варианты для первой группы
равным 70.
5.2. По району имеются следующие данные о распределении
колхозов по объему валовой продукции:
валовая продукция, млн. руб.
число колхозов
до 5
5
5-7
7
7-9
3
9-11
3
Свыше 11
7
Определите средний размер валовой продукции, приходящейся на один колхоз в данном районе.
95
5.3. Для изучения влажности пшеницы было проведено обследование 200 одинаковых по массе порций. В результате получено
следующее распределение порций по влажности пшеницы:
Таблица 5.21
Влажность пшеницы, %
10-12
12-14
14-16
16-20
Свыше 20
Итого
Удельный вес порций в общем итоге
0,06
0,06
0,32
0,49
0,07
1,00
Определите среднюю влажность пшеницы.
5.4. Для изучения качества пряжи было проведено обследование 100 одинаковых по массе образцов пряжи, в результате чего
получены следующие результаты:
Таблица 5.22
Группы образцов пряжи по крепости нити, г.
До 160
160-180
180-200
200-220
220-240
240-260
Итого
Число проб
3
5
25
40
20
7
100
Определите среднюю крепость нити.
5.4. Исчисление средней арифметической взвешенной
по способу моментов
Методические указания и решение типовых задач
Расчеты средней арифметической могут быть громоздкими,
если варианты и веса имеют большие значения. Однако использование следующих основных математических свойств средней
арифметической взвешенной позволяет значительно упростить вычисления. Приведем основные свойства средней арифметической:
96
1) если уменьшить все варианты на какое-либо произвольное постоянное число (А), то новая средняя уменьшится на то
же число;
2) если уменьшить все варианты в одинаковое число раз (К),
то средняя уменьшится во столько же раз;
3) если уменьшить или увеличить веса (частоты) всех вариант
на какое-либо постоянное число (А), то средняя арифметическая не
изменится;
4) сумма отклонений всех вариант от общей средней равна
нулю.
Рассмотрим методику расчета средней с использованием этих
свойств.
Задача 7. Имеются следующие данные о времени горения
электроламп:
Таблица 5.23
Группы электроламп
по времени горения, ч.
800 -1 000
1 000-1 200
1 200-1 400
1 400-1 600
1 600-1 800
1 800-2 000
Число электроламп
(f)
20
80
160
90
40
10
400
x
x⋅ f
900
1 100
1 300
1 500
1 700
1 900
-
18 000
88 000
208 000
135 000
680 00
19 000
536 000
Для сравнения рассчитаем среднее время горения электроламп
обычным, уже известным нам способом, по средней арифметической взвешенной. Результаты расчетов представлены в таблице.
Таким образом, среднее время горения электроламп будет равно:
х=
∑ хf
∑f
=
536000
= 1340 ч.
400
Задача 8. Используя данные типовой задачи 7 о времени горения электроламп, произведем расчет арифметической взвешенной
по способу моментов:
97
Таблица 5.24
Группы электроламп
по времени горения,
ч.
Число
электроламп
800-1000
1000-1200
1200-1400
1400-1600
1600-1800
1800-2000
Итого
20
80
160
90
40
10
400
х−А
х
х-А =
х-1300
х−А
i
=
х − 1300
200
i
⋅
f
10
х − 1300
200
900
1100
1300
1500
1700
1900
-400
-200
0
200
400
600
-2
-1
0
1
2
3
⋅
=
f
10
-4
-8
0
9
8
3
8
Рассмотрим методику расчета, результаты которого приведены
в таблице.
Воспользуемся первым свойством средней взвешенной, которое позволяет исчислить среднюю не по фактическим значениям
вариант, а по отклонениям вариант от постоянной А. В качестве
постоянной А принято брать какую-либо серединную варианту ряда с наибольшей частотой. В нашем примере это х = А = 1300.
Найдем отклонения вариант от этой величины и получим значения новых вариант: х-А=х-1300.
Воспользуемся далее вторым свойством и уменьшим варианты
в несколько раз. В качестве кратного числа возьмем величину интервала ряда распределения, которая равна 200.
Разделив значения вариант (х - А) на 200, получим новые значения вариант:
х − А х − 1300
=
.
i
200
Используя свойство третье, сократим частоты в 10 раз и произведем умножение полученных значений на варианты:
х− А f
х − 1300 f
⋅ =
⋅ .
i
10
200
10
Для получения средней арифметической взвешенной необходимо разделить алгебраическую сумму взвешенных вариант на
сумму весов:
98
х′ =
∑
х− А f
⋅
i
10 =
f
10
∑
х−А
∑ i
∑f
.
Для вычисления среднего необходимо произвести корректировку полученного результата с учетом свойств. Для этой цели нужно
полученное значение умножить на величину интервала и прибавить
к постоянной величине: х = х′ ⋅ i + A , или в развернутом виде:
x=
∑
x− A
f
i
⋅ i + A.
f
∑
В результате расчетов по данной формуле получим среднюю:
8
х=
⋅ 200 + 1300 = 1340 ч.
40
Задачи
6.1. Имеются следующие данные о выпуске продукции предприятиями отрасли:
Таблица 5.25
Группы предприятий по объему
выпуска продукции, т
1 000 – 3 000
3 000 – 5 000
5 000 – 7 000
7 000 – 9 000
9 000 – 11 000
Итого
Число предприятий
в процентах к итогу
12
20
40
18
10
100
Определите по способу моментов среднегодовое производство
продукции на одно предприятие.
6.2. По району получены данные о выполнении строительных
работ строительными организациями (СО) за год:
99
Таблица 5.26
Группы СО по объему выполненных работ, тыс. руб.
300-500
500-700
700-900
900-1100
1100-1300
1300-1500
Свыше 1500
Итого
Число СО
6
2
8
10
5
6
3
40
Определите средний объем работ на одну СО, применяя способ моментов.
6.3. По данным задачи 4.1 гл. 5 определите средний размер капитальных затрат на одно хозяйство. Расчет выполните по способу
моментов.
6.4. По данным задачи 5.4 гл. 5 определите среднюю крепость
нити по способу моментов.
5.5. Расчет средней арифметической из групповых средних
Методические указания и решение типовой задачи
В практике экономической статистики иногда приходится исчислять среднюю по групповым средним или по средним отдельных частей совокупности (частным средним). В таких случаях за
варианты (х) принимаются групповые или частные средние, на основании которых исчисляется общая средняя как обычная средняя
арифметическая взвешенная.
Задача 9. Определим средний процент выполнения плана по выпуску продукции по группе заводов на основании следующих данных:
Таблица 5.27
Номер завода Выпуск продукции, млн. руб. по плану
1
18
2
22
3
25
4
20
5
40
125
100
Выполнение плана, %
100
105
90
106
108
В этой задаче варианты (процент выполнения плана) являются
не индивидуальными, а средними по заводу. Весами является выпуск продукции по плану. При вычислении среднего процента выполнения плана следует использовать формулу средней арифметической взвешенной:
х⋅ f
,
х=
f
∑
∑
где
∑ fx - фактически выпущенная продукция, получаемая путем
умножения вариант (процент выполнения плана) на веса (выпуск
продукции по плану).
х ⋅ f 1,00 ⋅ 18 + 1,05 ⋅ 22 + 0,9 ⋅ 25 + 1,06 ⋅ 20 + 1,08 ⋅ 40 128
=
=
х=
=
125
125
f
∑
∑
= 1,024, или 102,4%.
Производя вычисления, варианты (х) лучше брать в коэффициентах. Это позволяет получить фактический выпуск продукции в
абсолютных значениях (тыс. руб.) как в целом, так и по каждой
группе заводов, что дает возможность сравнивать фактический выпуск с плановым, находить абсолютные приросты выпуска продукции, производить сравнения.
Задачи
7.1. По четырем заводам, производящим продукцию А, имеются следующие данные:
Таблица 5.28
Номер завода
1
2
3
4
Затраты времени на единицу
продукции, мин.
40
42
50
38
Произведено
продукции, шт.
1200
1000
800
200
Определите среднее значение затрат времени (среднюю
трудоемкость) на изготовление единицы продукции по четырем
заводам.
7.2. Имеются следующие данные о выработке текстильной
фабрикой хлопчатобумажной ткани трех сортов:
101
Таблица 5.29
Сорт ткани
I
II
III
Произведено ткани, м
40 000
8 000
2 000
50 000
Цена ткани за 1 м, т.руб.
1.1
0.9
0.8
-
Определите среднюю цену 1 м. ткани.
7.3. Имеются следующие данные о посевной площади и урожайности пшеницы по бригадам колхоза:
Таблица 5.30
Номер бригады
I
II
III
IV
Урожайность, ц. с 1 га
27
24
26
30
Посевная площадь, га
200
280
350
170
Определите среднюю урожайность пшеницы по колхозу.
7.4. Инструментальный цех завода выпустил измерительный инструмент трех наименований, допустив некоторый брак продукции:
Таблица 5.31
Наименование инструмента
АС-10
АС-12
АС-13
Брак, %
3,0
1,0
5,0
Произведено изделий, шт.
3 000
2 000
5 000
Определите средний процент брака.
5.6. Расчет средней гармонической
Методические указания и решение типовых задач
Наряду со средней арифметической в статистике применяется
средняя гармоническая величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая она может быть простой и взвешенной.
102
Задача 10. Бригада токарей была занята обточкой одинаковых
деталей в течение 8-часового рабочего дня. Первый токарь затрачивал на одну деталь 12 мин, второй – 15 мин, третий – 14, четвертый – 16 и пятый – 14 мин. Определите среднее время, необходимое на изготовление одной детали.
На первый взгляд кажется, что задача легко решается по формуле средней арифметической простой:
х=
∑ х = 12 + 15 + 11 + 16 + 14 = 68 = 13,6.
п
5
5
Полученная средняя была бы правильной, если бы каждый рабочий
сделал только по одной детали. Но в течение дня отдельными рабочими было изготовлено различное число деталей. Для определения числа деталей, изготовленных каждым рабочим, воспользуемся
следующим соотношением:
Среднее время, затраченное все затраченное время
=
.
на одну деталь
число деталей
Число деталей, изготовленных каждым рабочим, определяется
отношением всего времени работы к среднему времени, затраченному на одну деталь. Тогда среднее время, необходимое для изготовления одной детали, равно:
8 ⋅ 60 + 8 ⋅ 60 + 8 ⋅ 60 + 8 ⋅ 60 + 8 ⋅ 60
х=
=
8 ⋅ 60 8 ⋅ 60 8 ⋅ 60 8 ⋅ 60 8 ⋅ 60
+
+
+
+
12
15
11
16
14
2 400
2400
=
=
= 13,3 мин.
40 + 32 + 43,6 + 30 + 34,2 179,8
Это же решение можно представить иначе:
5
5 ⋅ 8 ⋅ 60
=
= 13,3 мин.
х=
1 1 1
1 ⎞ 0,3747
⎛1
8 ⋅ 60⎜ + + + + ⎟
⎝ 12 15 11 16 14 ⎠
Таким образом, формула для расчета средней гармонической
простой будет иметь вид:
п
п
=
.
х=
1
1
1 1 1
+ + + ... +
хп
х
х1 х2 х3
∑
103
Задача 11. Издержки производств и себестоимость единицы
продукции А по трем заводам характеризуется следующими данными:
Таблица 5.32
Номер завода
1
2
3
Издержки производства,
тыс. руб.
200
460
110
Себестоимость единицы
продукции, руб.
20
23
22
Исчислим среднюю себестоимость изделия по трем заводам.
Как и прежде главным условием выбора формы средней является
экономическое содержание показателя и исходные данные.
средняя себестоимость Издержки производства
=
=
единицы продукции ( х)
количество продукции
200 + 460 + 110
770
=
=
= 22,0 руб.
200 460 110 35000
+
+
20,5 23,6 22,0
Таким образом, формулу для расчета средней гармонической
взвешенной можно представить в общем виде:
х=
ω1 + ω2 + ω3 + ... + ω п
1
1
1
1
ω1 + ω 2 + ω3 + ... + ω п
х1
х2
х3
хп
=
∑ω .
1
∑ хω
Задачи
8.1. По данным о производстве продукции и среднегодовой
выработке на одного рабочего по четырем бригадам определите
среднюю производительность труда одного рабочего в среднем
по заводу.
Таблица 5.33
Номер
бригады
1
2
3
4
Произведено валовой продукции,
тыс. руб.
57
46
65
70
104
Выработка на одного
рабочего, тыс. руб.
1,9
2,0
2,5
2,8
8.2. По семи цехам завода имеются данные о расходовании материала на производство продукции:
Таблица 5.34
Номер
цеха
1
2
3
4
Расход материала, м
На одно
На все
изделие
изделия
0,6
150
0,7
126
0,9
261
0,4
200
Номер
цеха
5
6
7
Расход материала, м
На одно
На все
изделие
изделия
0,5
250
1,3
260
1,4
420
Определите расход материала на одно изделие в среднем по
заводу.
8.3. Имеются следующие данные о работе строительных организаций области:
Таблица 5.35
Строительные
организации (СО)
Васильевская
Ново-Московская
Перещипинская
Клиническая
Павлоградская
Выполнение плана
строительномонтажных работ, %
108,0
109,0
100,0
107,0
107,0
Фактический объем строительномонтажных работ за отчетный
период, тыс. руб.
3 888
3 815
4 100
2 461
6 955
Определите средний процент выполнения плана строительномонтажных работ по области.
8.4. Выпуск товарной продукции станкостроительным заводом
характеризуется следующими данными:
Таблица 5.36
Вид продукции
Готовые изделия
Полуфабрикаты, поставленные
на сторону
Работы промышленного характера и услуги на сторону
Прочая продукция
Фактический выпуск
товарной продукции
в оптовых ценах, тыс. руб.
6120,0
2790,0
Выполнение
плана, %
3740
220,0
2268
108,0
105
102,0
93,0
Определите средний процент выполнения плана в целом по
товарной продукции.
9.1. Имеются следующие данные о заработной плате рабочих
завода:
Таблица 5.37
Номер
цеха
1
2
3
4
Базисный период
ЧисленСредняя заработность раная плата, т. руб.
бочих, чел.
110
300
145
400
160
200
180
100
Отчетный период
Фонд заработСредняя заработной платы, т.
ная плата, т. руб.
руб.
110
27 500
152
68 400
170
40 800
210
33 600
Исчислите среднюю заработную плату рабочего в целом по заводу: 1) в базисном периоде; 2) в отчетном периоде. Сравните полученные данные. Укажите, какие виды средних необходимо применить в каждом случае.
9.2. Выработка ткани по цехам фабрики характеризуется следующими показателями:
Таблица 5.38
Номер
цеха
1
2
3
Базисный период
Средняя выраЧисленность
ботка ткани на
рабочих, чел.
смену одним
рабочим. м
40
74
60
85
50
80
Отчетный период
Средняя выраВыработано
ботка ткани на
ткани всего, м
смену одним
рабочим. м.
3555
79
5160
86
4565
83
Определите среднюю выработку ткани по заводу за смену одним рабочим: 1) в базисном периоде; 2) в отчетном периоде. Сравните полученные данные. Укажите, какие виды средних необходимо применить в каждом случае.
9.3. Имеются следующие данные по двум группам заводов одной отрасли хозяйства:
106
Таблица 5.39
Номер завода I группы
1
2
3
Фактический выпуск, млн.
руб.
18,0
28,8
20,0
Выполнение плана,
%
Номер завода II
группы
Плановое
задание,
млн. Руб.
Выполнение плана,
%
120,0
96,0
100,0
4
5
6
20,0
25,0
19,0
100,0
110,0
90,0
Вычислите средний процент выполнения плана: 1) по первой
группе заводов; 2) по второй группе заводов. Укажите, какие виды
средних необходимо применить при расчетах.
5.7. Расчет моды
Методические указания и решение типовых задач
Характеристиками вариационных рядов наряду со средними
являются мода и медиана. Мода – есть величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности. Для
дискретных рядов распределения модой будет значение варианты с
наибольшей частотой.
Задача 12. Распределение проданной обуви по размерам характеризуется следующими показателями:
Размер обуви
36
Число пар, в процентах к итогу
-
37
38
39
40
41
42
1
6
8
22
30
20
43
11
44
45
1
1
и выше
В этом ряду распределения мода равна 41. Именно этот размер
обуви пользовался наибольшим спросом покупателей.
Для интервальных рядов распределения с равными интервалами мода определяется по формуле
f Mo − f Mo −1
,
Мо = хМо + iМо ⋅
( f Mo − f Mo −1 ) + ( f Mo − f Mo +1 )
где хМо - начальное значение интервала, содержащего моду;
iМо – величина модального интервала;
fМо – частота модального интервала;
fМо-1 - частота интервала, предшествующего модальному;
fМо+1 - частота интервала, следующего за модальным.
107
Задача 13. Рассмотрим пример расчета моды. Распределение
предприятий по численности промышленно-производственного
персонала характеризуется следующими данными:
Таблица 5.40
Группы предприятий по
числу работающих, чел.
100-200
200-300
300-400
400-500
Число
Группы предприятий по
Число
предприятий числу работающих, чел. предприятий
1
500-600
19
3
600-700
15
7
700-800
5
30
80
В этой задаче наибольшее число предприятий (30) имеет численность работающих от 400 до 500 человек. Следовательно, этот
интервал является модальным интервалом ряда распределения.
Введем следующие обозначения:
fМо-1 = 7;
хМо = 400;
fМо+1 = 19.
iМо = 100;
fМо = 30;
Подставим эти значения в формулу моды и произведем вычисления:
f Mo − f Mo −1
Мо = хМо + iМо ⋅
=
( f Mo − f Mo −1 ) + ( f Mo − f Mo +1 )
= 400 + 100
30 − 7
= 467,6 чел.
(30 − 7) + (30 − 19)
Задачи
10.1. При определении качества семян пшеницы было получены следующее распределение семян по проценту всхожести:
процент всхожести
число проб в процентах к итогу
70 75 80 83
0,5 0,5 6,0 12
85
30
90 92
40 7
93 Свыше 93
2
2
Определите моду.
10.2. В результате обследования рабочих завода получены следующие данные:
группы рабочих по уровню образования (число классов)
число рабочих
до 4
5
6
7
8
9
10
10
10
12
32
15
6
25
108
Определите моду уровня образования рабочих.
10.3. По данным выборочного обследования семей области получено следующее распределение семей по размеру совокупного
дохода на члена семьи:
размер совокупного дохода на
члена семьи, т. руб.
65
число семей в процентах к итогу
5
80
12
110
42
130
19
160
10
Свыше 160
12
Определите моду среднедушевого дохода семей.
11.1. Для определения влажности торфа обследовано 50 одинаковых по весу порций торфа, получены следующие данные:
Таблица 5.41
Группы порций торфа
по влажности, %
20-22
22-24
24-26
Итого
Группы порций торфа
по влажности, %
26-28
28-30
30-32
Число проб
3
6
11
Число проб
18
7
5
50
Определите моду влажности торфа.
11.2. Себестоимость единицы одноименной продукции по
предприятиям отрасли характеризуется следующими показателями:
Таблица 5.42
Группы предприятий
по себестоимости
единицы продукции,
руб.
1,6-2,0
2,0-2,4
2,4-2,8
Число
предприятий
Группы предприятий
по себестоимости единицы продукции, руб.
2
3
5
2,8-3,2
3,2-3,6
3,6-4,0
Число
предприятий
7
10
3
30
Определите моду себестоимости единицы продукции.
11.3. По данным условия задачи 5.4. гл. 5 исчислите моду крепости нити.
109
5.8. Расчет медианы
Методические указания и решение типовых задач
Медианой в статистике называется варианта, расположенная в
середине вариационного ряда. Если ряд распределения дискретный
и имеет нечетное число членов, то медианой будет варианта, находящаяся в середине упорядоченного ряда (упорядоченный ряд – это
расположение единиц совокупности в возрастающем или убывающем порядке). Например, стаж пяти рабочих составил 2, 4, 7, 8 и
10 лет. В таком упорядоченном ряду медиана – 7 лет. По обе стороны от неё находится одинаковое число рабочих.
Если упорядочены ряд состоит из четного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух вариант, расположенных в середине ряда. Пусть теперь будет не пять человек в бригаде, а шесть, имеющих стаж работы 2, 4, 6, 7, 8 и 10 лет.
В этом ряду имеются две варианты 6 и 7. Средняя арифметическая
из этих значений и будет медианой ряда:
6+7
Ме =
= 6,5 лет.
2
Рассмотрим пример расчета медианы в дискретном ряду.
Задача 14. Используя данные условия типовой задачи 2 настоящей главы, определим медиану заработной платы рабочих.
Таблица 5.43
Месячная заработная плата,
тыс. руб.
1
100
120
150
170
200
Итого
Число рабочих
Сумма накопленных частот
2
2
6
16
12
4
40
3
2
8 (2+6)
24 (8+16)
-
Для определения медианы надо подсчитать сумму накопленных
частот ряда (гр. 3 табл.). Наращивание итога продолжается до получения накопленной суммы частот, превышающей половину. В нашем примере сумма частот ряда получилась равной 24. Варианта,
соответствующая этой сумме, т.е. 150 тыс. руб., и есть медиана ряда.
110
Если же сумма накопленных частот против одной из вариант
равна точно половине суммы частот, то медиана определяется как
средняя арифметическая этой варианты и последующей.
Задача 15. Изменив значения частот в условии предыдущей
типовой задачи, рассчитаем медиану.
Таблица 5.44
Месячная заработная плата,
тыс. руб.
100
120
150
170
200
Итого
Число
рабочих
2
6
12
16
4
40
Сумма накопленных
частот
2
8
20
-
Медиана будет равна:
Ме =
150 + 170 320
=
= 160 тыс. руб.
2
2
Рассмотрим расчет медианы в интервальном вариационном
ряду.
Медиана интервального вариационного ряда распределения
определяется по формуле
Ме = хМе + iМе
∑ f −S
0,5
f Ме
Ме −1
,
где хМе - начальное значение интервала, содержащего медиану;
iМе – величина медианного интервала;
f – сумма частот ряда;
∑
SМе-1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;
fМе – частота медианного интервала.
Задача 16. Используя данные типовой задачи 13 гл. 5, рассчитаем медиану в интервальном вариационном ряду.
111
Таблица 5.45
Группы предприятий по числу
рабочих
100-200
200-300
300-400
400-500
500-600
600-700
700-800
Итого
Число
предприятий
1
3
7
30
19
15
5
80
Сумма накопленных
частот
1
4 (1+3)
11 (4+7)
41 (11+30)
-
Определим прежде всего медианный интервал. В данной задаче сумма накопленных частот, превышающая половину всех значений (41), соответствует интервалу 400-500. Это и есть медианный
интервал, в котором находится медиана. Определим ее значение по
приведенной выше формуле. Известно, что:
ХМе = 400; iМе = 100;
f = 80; SМе-1 = 11; fМе = 30.
∑
Следовательно,
Ме = хМе + iMе
∑ f −S
0,5
f Ме
Ме −1
=
40 − 11
0,5 ⋅ 80 − 11
= 400 + 100
=
30
30
= 400 + 96,66 = 496,66.
= 400 + 100
112
ГЛАВА 6. ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ
Практические занятия по теме предусматривают решение следующих типов задач: 1) определение размаха вариации (1.1); 2) определение среднего линейного отклонения по индивидуальным
данным и в рядах распределения (2.1 – 3.3); 3) расчет дисперсии и
среднего квадратического отклонения по индивидуальным данным
и в рядах распределения (4.1 – 6.4); 4) расчет дисперсии по форму2
ле σ 2 = х 2 − х по индивидуальным данным и в рядах распределения (7.1 – 9.3); 5) расчет дисперсии по способу моментов (10.1 –
10.4); 6) определение коэффициента вариации (11.1 – 12.3); 7) расчет групповой, межгрупповой и общей дисперсии по правилу сложения дисперсий (13.1 – 14.3); 8) расчет эмпирического корреляционного отношения (15.1 – 15.3); 9) расчет коэффициента
асимметрии (16.1 – 16.4)
6.1. Определение размаха вариации
Методические указания и решение типовой задачи
Для характеристики совокупностей и исчисленных средних величин важно знать, какая вариация изучаемого признака скрывается за средними. Рассмотрим пример расчета размаха вариации.
Задача 1. Имеются следующие данные о производительности
труда рабочих в двух бригадах:
Таблица 6.1
Табельный номер рабочего
1
2
3
4
5
ИТОГО:
Произведено продукции за смену, шт.
I бригада
II бригада
2
8
3
9
12
10
15
11
18
12
50
50
Средняя производительность труда в обеих бригадах одинакова:
113
50
= 10.
5
Однако в первой бригаде вариация производительности труда
значительно больше, чем во второй, и можно сказать, что первая бригада по своему составу в отношении изучаемого приказа менее однородна, чем вторая. Для изменения степени варьирования признака
служат показатели вариации. Наиболее простым показателем вариации является размах вариации R , который определяется как разновидность между наибольшим и наименьшим значением признака:
R = хmax − хmin .
Для нашего примера размах вариации производительности
труда для первой бригады составляет: 18-2=16; для второй бригады: 12-8=4. Этот показатель прост в вычислении и указывает на
общие размеры вариации, но он не дает представления о степени
колеблемости внутри совокупности, так как вычисляется на основе
только двух крайних значений приказа совокупности.
х1 = х2 =
Задачи
1.1. Определите размах вариации показателей:
1) по данным таблицы 2.1; 2) по данным таблицы 2.6; 3) по
данным таблицы 2.7; 4) по данным таблицы 2.8.
6.2. Определение среднего линейного отклонения
по индивидуальным данным и в рядах распределения
Методические указания и решение типовых задач
Чтобы определить вариацию признака единиц совокупности,
надо исчислить отклонения каждого значения признака х от средней арифметической х :
х1 − х = d1 , х2 − х = d 2 , х3 − х = d 3 и т.д.
При этом отклонения могут быть положительными или отрицательными в зависимости от значений признака. Из полученных
значений отклонений необходимо исчислить среднюю арифметическую:
114
∑d
.
n
Известно, что сумма отклонений всех значений признака от
средней арифметической будет равна нулю. Для определения среднего линейного отклонения, которое часто называют средним абсолютным отклонением, необходимо взять значения отклонений по
абсолютной величине без учета знака.
Итак, среднее линейное (абсолютное)отклонение есть средняя
арифметическая из абсолютных отклонений отдельных значений
признака от общей средней:
d=
d=
х1 − х + х2 − х + х3 − х + ... + хп − х
∑d ∑ х − х
=
=
.
n
n
п
Задача 2. Исчислим среднее линейное отклонение по данным
типовой задачи 1 гл. 6.
Таблица 6.2.
Табельный
номер рабочего
1
2
3
4
5
1-ая бригада
2-ая бригада
х1
х−х
х−х
х2
х−х
х−х
2
3
12
15
18
50
-8
-7
+2
+5
+8
0
8
7
2
5
8
30
8
9
10
11
12
50
-2
-1
0
+1
+2
0
2
1
0
1
2
6
∑ х − х1
∑ х − х2 6
30
R2 =
= 6,0;
= = 1,2
5
п
5
п
Порядок расчета среднего линейного отклонения следующий:
1. по значениям признака исчисляется средняя арифметиче∑х
ская х =
;
п
2. определяются отклонения каждой варианты х от средней
х−х;
3. рассчитывается сумма абсолютных величин отклонений: ∑ х − х ;
R1 =
=
115
4.
сумма абсолютных величин отклонений делится на число
∑х−х
.
п
Если данные наблюдения представлены в виде дискретного
ряда распределения с частотами, среднее линейное отклонение исчисляется по формуле средней арифметической взвешенной:
значений:
d=
∑х−х f
=
х1 − х f1 + х2 − х f 2 + x3 − x f 3 + ... + xn − x f n
∑f
f1 + f 2 + f 3 + ... + f n
Рассмотрим пример расчета среднего линейного отклонения
взвешенного.
Задача 3. Имеются данные о производительности труда 50 рабочих:
Таблица 6.3
Произведено продукции одним рабочим за смену, шт.
8
9
10
11
12
Число рабочих
7
10
15
12
6
50
xf
56
90
150
132
72
500
x−x
-2
-1
0
1
2
x−x f
14
10
0
12
12
48
Определить среднюю производительность труда одного рабочего:
∑ xf 500
х=
=
= 10шт.
∑f
50
Отклонения каждого значения признака от средней и взвешенные отклонения представлены в таблице. Определим среднее линейное отклонение:
∑x−x f
48
=
= 0.96шт.
50
∑f
Среднее линейное отклонение- величина именованная и выражается в единицах измерения признака.
Если статистические данные представлены в виде интервального ряда распределения, то предварительно определяется дисd=
116
кретная величина признака в каждой группе, а затем производится
расчет по средней арифметической взвешенной, как указано выше.
Порядок расчета среднего линейного отклонения взвешенного
следующий:
∑ xf
;
1. вычисляется средняя арифметическая взвешенная:
∑f
2. определяются абсолютные отклонения вариант от средней
х−х ;
3. полученные отклонения умножаются на частоты х − х f ;
4. находится сумма взвешенных отклонений без учета знака
∑х−х f ;
5. сумма взвешенных отклонений делится на сумму частот
∑x−x f
.
∑f
Этот показатель делает более полное представление о степени
колеблемости признака по сравнению с размахом вариации.
Задачи
2.1. В результате обследования работы станков в механических
цехах завода получены следующие данные:
Таблица 6.4
Цех
№1
№2
№3
№4
№5
№6
Отработано станко-часов
токарными станками
заточными станками
2000
700
1900
600
2200
800
2500
800
1800
900
1900
1000
Исчислите среднее линейное отклонение времени работы: 1)
токарных станков; 2) заточных станков.
2.2. По данным задачи 1.1. гл. 5 исчислите среднее линейное
отклонение числовой производительности труда рабочих завода.
117
2.3. По данным табл. 5.2. исчислите среднее отклонение выпуска продукции на одно предприятие.
3.1. Урожайность зерновых по колхозу характеризуется следующими данными:
Таблица 6.5
Номер бригады
1
2
3
4
5
Урожайность кукурузы, ц с 1га
80
70
65
72
60
Посевная площадь, га
18,0
30,0
80,0
50,0
22,0
Исчислите среднее линейное отклонение урожайности кукурузы.
3.2. По данным табл. 5.7 исчислите среднее линейное отклонение времени простоя одного станка.
3.3. По данным табл. 5.10 исчислите среднее линейное отклонение стажа работы инженерно – технических работников.
6.3. Расчет дисперсии и среднего квадратического отклонения
по индивидуальным данным и в рядах распределения
Методические указания и решение типовых задач
Основными показателями вариации в статистике являются
дисперсия и среднее квадратическое отклонение.
Дисперсия – это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней. Дисперсия
обычно называется средним квадратом отклонений и обозначается
σ 2 . В зависимости от исходных данных дисперсия может вычисляться по средней арифметической простой или взвешенной:
(
)
(
)
2
∑ х−х
σ =
- дисперсия невзвешенная (простая);
п
2
2
∑ х−х f
σ =
- дисперсия взвешенная.
∑f
Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии и обозначается σ :
2
118
(
)
(
)
∑ х−х
σ=
п
шенное;
2
- среднее квадратическое отклонение невзве-
2
∑ х−х f
σ=
- среднее квадратическое отклонение взве∑f
шенное.
Среднее квадратическое отклонение – это обобщающая характеристика абсолютных размеров вариации признака в совокупности. Выражается оно в тех же единицах измерения, что и признак
(в метрах, тоннах, процентах, гектарах и т.д.).
Вычислению среднего квадратического отклонения предшествует расчет дисперсии. Покажем расчет на примерах.
Задача 4. Исчислим дисперсию по данным типовой задачи 3
гл. 6.
Таблица 6.6
Произведено
продукции одним
рабочим, шт.
( х варианта)
8
9
10
11
12
Итого
Число рабочих f
7
10
15
12
6
50
xf
56
90
150
132
72
500
(x − x ) (x − x ) f
2
x−x
-2
-1
0
1
2
4
1
0
1
4
2
28
10
0
12
24
74
Исчислим среднюю арифметическую взвешенную:
∑ xf 500
х=
=
= 10шт.
∑f
50
Значения отклонений от средней и их квадратов представлены
в таблице. Определим дисперсию:
(
)
2
∑ x − x f 74
σ =
=
= 1,48.
50
∑f
Среднее квадратное отклонение будет равно:
σ = σ 2 = 1,48 = 1,216шт.
2
119
Если исходные данные представлены в виде интервального
ряда распределения, то сначала надо определить дискретное значение признака, а далее применить тот же метод, что изложен выше.
Задача 5. Покажем расчет дисперсии для интервального ряда
на данных о распределении посевной площади колхоза по урожайности пшеницы:
Таблица 6.7
Урожайность
пшеницы ц/га
14-16
16-18
18-20
20-22
Посевная
площадь, га
100
300
400
200
1000
х
xf
15
17
19
21
1500
5100
7600
4200
18400
(x − x ) (x − x ) f
2
x−x
-3,4
-1,4
0,6
2,6
11,56
1,96
0,36
6,76
2
1156
588
144
1352
3240
Средняя арифметическая равна:
∑ xf 18400
х=
=
= 18,4 ц с 1га.
∑f
1000
Исчислим дисперсию:
(
)
2
∑ х − х f 3240
=
= 3,24.
1000
∑f
Порядок расчета дисперсии в этом случае следующий:
1. определяют среднюю арифметическую взвешенную
∑ xf
х=
;
∑f
σ2 =
2. находят отклонение от средней x − x ;
3. возводят в квадрат отклонение каждой варианты от средней
(x − x ) ;
2
4. умножают
(x − x ) f ;
варианты
отклонений
на
веса
(частоты)
2
(
)
2
5. суммируют полученные произведения ∑ х − х f ;
6. полученную сумму делят на сумму весов (частот):
(x − x ) f .
2
∑f
120
Задачи
4.1. По данным о выпуске продукции по заводам отрасли исчислите дисперсию и среднее квадратическое отклонение:
Номер завода
Выпущено продукции за год, тыс.т
1
60
2
52
3
40
4
60
5
50
6
38
4.2. Время простоя токарных станков за смену характеризуется
средними данными (мин):
Таблица 6.8
Номер станка
1
2
3
4
5
6
7
Простои
Из-за отсутствия материалов Из-за отсутствия электроэнергии
40
20
30
16
24
20
20
30
50
26
26
20
20
15
Исчислите по каждому виду причин простоя: 1) дисперсию; 2)
среднее квадратическое отклонение.
4.3. По десяти однородным предприятиям имеются данные об
электровооруженности труда и одного работника:
Номер предприятия
Электровооруженность труда, кВт*ч
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 4 6 7 3 5 6 7 4 3
Определите вариацию электровооруженности труда работников предприятий, исчислив: 1) дисперсию; 2) среднее квадратическое отклонение.
5.1. По колхозам пригородных районов области были получены
данные о выходе продукции на 100га сельскохозяйственных угодий:
Таблица 6.9
Продукции на 100 га
угодий, тыс.руб.
10
20
17
Итого
Число колхозов
2
5
7
Продукции на 100 га
угодий, тыс.руб.
20
22
25
121
Число колхозов
3
2
1
20
Определите по данным о выходе продукции на 100 га угодий:
1) дисперсию; 2) среднее квадратическое отклонение.
5.2. Для определения скорости износа резцов проведено обследование 1000 резцов. Получены следующие результаты:
Таблица 6.10
Время работы резца, ч
2
3
5
8
10
Число резцов
20
30
40
100
110
Время работы резца, ч
11
12
15
16
20
Число резцов
240
300
110
30
20
По данным исследования исчислите: 1) дисперсию; 2) среднее
квадратичное отклонение.
5.3. По данным табл. 5.9 исчислите среднее квадратическое
отклонение тарифных разрядов: 1) по заводу 1; по заводу 2.
6.1. Имеются следующие данные о распределении посевной
площади колхозов района по урожайности хлопка – сырца:
Таблица 6.11
Урожайность хлопка – сырца, ц с 1га
10-14
14-18
18-22
22-26
26-30
30-34
Итого
Посевная площадь в процентах к итогу
18
18
25
25
13
1
100
Исчислите показатели вариации урожайности: 1) дисперсию;
2) среднее квадратичное отклонение.
6.2. По данным задачи 4.1 гл. 5 исчислите показатели вариации
капитальных затрат по леспромхозам: 1) дисперсию; 2) среднее
квадратичное отклонение.
6.3. По данным табл. 5.17 исчислите среднее квадратическое
отклонение состава строительных бригад.
6.4. Для изучения норм выработки на заводе проведено обследование затрат времени рабочих – станочников. Получено распределение рабочих по затратам времени на обработку одной детали:
122
Таблица 6.12
Затраты времени на одну деталь, мин.
До 24
24-26
26-28
28-30
30-32
32-34
Число рабочих в проценах к итогу
2
12
34
40
10
2
100
Определите среднее квадратическое отклонение затрат времени на одну деталь.
2
6.4. Расчет дисперсии по формуле σ 2 = х 2 − х .
По индивидуальным данным и в рядах распределения
Методические указания и решение типовых задач
Техника вычисления дисперсии сложна, а при больших значениях вариант и частот может быть громоздкой. Расчеты можно упростить, используя свойства дисперсии. Напомним некоторые из них.
1. Уменьшение или увеличение весов (частот) варьирующего
признака в определенное число раз дисперсии не изменят.
2. Уменьшение или увеличение каждого значения признака на
одну и ту же постоянную величину А дисперсии не изменят.
3. Уменьшение или увеличение каждого значения признака в
какое-то число раз к соответственно уменьшает или увеличивает
дисперсию в к 2 раз, а среднее квадратическое отклонение – в к раз.
4. Дисперсия признака относительно произвольноц величины
всегда больше дисперсии относительно средней арифметической
на квадрат разности между средней и произвольной величиной:
(
)
2
σ 2 = σ 2 А − х − А . Если А равно нулю, то приходим к следующему
()
2
равенству: σ 2 = х 2 − х , т. е дисперсия признака равна разности
между средним квадратом значений признака и квадратом средней.
Каждое свойство при расчете дисперсии может быть применено самостоятельно или в сочетании с другими. Воспользуемся указанными свойствами для вычисления дисперсии.
123
Задача
6.
Рассмотрим
расчет
дисперсии
по
формуле
2
σ = х − х по индивидуальным данным.
2
2
Имеются следующие данные о производительности труда рабочих:
Таблица 6.13
Табельный номер рабочего Произведено продукции, шт. (варианта х )
1
8
2
9
3
10
4
11
5
12
Итого
50
х
2
64
81
100
121
144
510
Произведем следующие расчеты:
50
х=
= 10шт.;
5
2
2
2
∑ х 2 ⎛ ∑ х ⎞ 510 ⎛ 50 ⎞
− ⎜ ⎟ = 102 − 100 = 2,0.
σ 2 = х2 − х =
=⎜
⎟ =
5 ⎝ 5 ⎠
п
⎝ п ⎠
Порядок расчета дисперсии следующий:
∑х
1. определяют среднюю арифметическую х =
;
п
2. возводят
в
квадрат
среднюю
арифметическую
()
(х ) = ⎛⎜ ∑пх ⎞⎟ ;
2
2
⎝
⎠
3. возводят в квадрат каждую варианту ряда х 2 i ;
4. находят сумму квадратов вариант ∑ x 2 i ;
5. делят сумму квадратов вариант на их число, т.е. опреде∑ х2i
;
ляют средний квадрат х 2 =
n
6. определяют разность между средним квадратом признака
()
2
и квадратом средней х 2 − х .
Покажем расчет дисперсии по этому методу в рядах распределения.
Задача 7. Исчислим дисперсию в дискретном ряду распределения, используя табл. 6.6.
124
Таблица 6.14
Число рабочих
f
7
10
15
12
6
50
Произведено продукции
одним рабочим, шт. ( х )
8
9
10
11
12
Итого
2
2
σ2 =х −х =
∑ х 2 f ⎛ ∑ xf
− ⎜⎜
∑f
⎝∑f
xf
х
56
90
150
132
72
500
64
81
100
121
144
510
2
2
x f
448
810
1500
1452
864
5074
2
⎞
⎟⎟ ;
⎠
2
5074 ⎛ 500 ⎞
−⎜
⎟ = 101,48 − 100 = 1,48.
50 ⎝ 50 ⎠
Получили тот же результат, что в табл. 6.6 этой главы.
Покажем расчет дисперсии в интервальном ряду распределения.
Задача 8. Имеются следующие данные о распределении посевной площади колхоза по урожайности пшеницы:
σ2 =
Таблица 6.15
Урожайность
пшеницы, ц/га ( х )
14-16
16-18
18-20
20-22
Посевная
площадь, га f
100
300
400
200
1000
х
15
17
19
21
xf
1500
5100
7600
4200
18400
х
2
225
289
361
441
2
x f
22500
36700
144400
88200
341800
В подобных примерах прежде всего определяется дискретное
значение признака в каждом интервале, а затем применяется метод
расчета, указанный выше:
∑ х 2 f ⎛ ∑ xf
− ⎜⎜
σ =х −х =
∑f
⎝∑f
2
2
2
2
2
⎞
⎟⎟ =
⎠
341800 ⎛ 18400 ⎞
−⎜
⎟ = 341,8 − 338,56 = 3,24.
1000
⎝ 1000 ⎠
Этот способ расчета дисперсии удобен при машинной обработке данных.
125
Порядок расчета дисперсии по этой формуле в нашем примере
∑ xf
; 2)
следующий: 1) определяют среднюю арифметическую х =
∑f
()
2
возводят в квадрат полученную среднюю х ; 3) возводят в квадрат
каждую варианту х 2 i ; 4) умножают квадраты вариант на частоты
х 2 i f ; 5) суммируют полученные произведения ∑ х 2 i f ; 6) делят полученную сумму на сумму весов и получают средний квадрат призна∑ x2i f
ка x 2 =
; 7) находят разность между средним значением квад∑f
2
ратов и квадратом средней арифметической, т.е. дисперсию х 2 − х .
Задачи
7.1. Имеются следующие показатели по однородным предприятиям (млн. руб.):
Таблица 6.16
Номер
предприятия
1
2
3
4
5
Стоимость
Стоимость
Выпуск
Выпуск
основных
Номер
основных
продукции,
продукции,
фондов,
предприятия
фондов,
млн.руб.
млн.руб.
млн.руб.
млн.руб.
12
6,0
6
16
7,0
8
4,0
7
11
4,6
10
4,4
8
13
6,5
7
2,4
9
14
7,0
9
3,6
10
10
4,5
Исчислите дисперсию основных фондов, используя формулу
2
σ = х2 − х .
2
7.2. По данным задачи 7.1. исчислите дисперсию выпуска про2
дукции, используя формулу σ 2 = х 2 − х .
7.3. Исчислите дисперсию по данным задачи 4.3 гл. 6, исполь2
зуя формулу σ 2 = х 2 − х .
7.4. Имеются следующие данные о себестоимости единицы
продукции А по шести заводам отрасли:
Номер завода
Себестоимость единицы продукции, руб.
126
1
3,0
2
3,1
3
2,9
4
3,0
5
2,8
6
3,2
Определите дисперсию себестоимости единицы продукции,
2
используя формулу σ 2 = х 2 − х .
8.1. По данным задачи 3.1. гл. 5 исчислите дисперсию стажа
работы инженерно – технических работников завода по формуле
2
σ 2 = х2 − х .
8.2. По данным задачи 2.4. гл. 5, используя формулу
( )
2
σ = х 2 − х , исчислите дисперсии тарифных разрядов рабочих: 1)
по заводу 1; 2) по заводу 2.
8.3. По данным задачи 5.1. гл. 7 исчислите дисперсию размера
продукции на 100 га сельскохозяйственных угодий, используя
2
2
формулу σ 2 = х 2 − х .
9.1. Затраты труда на 1 ц в совхозах области за отчетный год
характеризуются следующими данными:
Таблица 6.17
Группы совхозов по затратам труда на 1 ц зерна, чел. – ч.
0,8-1,2
1,2-1,6
1,6-2,0
2,0-2,4
2,4-2,8
2,8 и выше
Итого
Число совхозов
101
90
70
15
20
4
300
2
Исчислите дисперсию затрат труда по формуле σ 2 = х 2 − х .
9.2. Распределение предприятий по объему выпуска продукции
за год характеризуется следующими данными:
Таблица 6.18
Продукции за год, млн.руб.
До 2
2-4
4-6
6-8
8-10
Число предприятий
2
5
8
3
2
20
127
Исчислите дисперсию выпуска продукции, используя формулу
2
σ = х2 − х .
2
9.3. По данным типовой задачи 5 гл. 5 исчислите дисперсию
производительности труда рабочих за смену, используя формулу
2
σ 2 = х2 − х .
6.5. Расчет дисперсии по способу моментов
Методические указания и решение типовой задачи
Расчет дисперсии можно значительно упростить, если применить способ моментов (способ отсчета от условного нуля). Этим
способом удобно пользоваться, когда значения признака заданы в
виде рядов распределения с равными интервалами.
Задача 9. Покажем расчет дисперсии по способу моментов, используя данные задачи 7 гл. 5.
Представим условие и необходимые расчеты в следующей
таблице:
Группы
электроламп по
времени
горения, ч
A
800-1000
1000-1200
1200-1400
1400-1600
1600-1800
1800-2000
Число ламп
f
Таблица 6.19
x
1
20
80
160
90
40
10
2
900
1100
1300
1500
1700
1900
Итого
400
х-А = х1300
х−А
3
-400
-200
0
200
400
600
i
=
х−А
=
i
х − 1300
200
=
4
-2
-1
0
1
2
3
x − 1300
200
5
-40
-80
0
90
80
30
80
⎛ x − A ⎞2
⎜
⎟ f =
⎝ i ⎠
⎛ x − A⎞2
⎜
⎟ =
⎝ i ⎠
f =
f
⎛ x − 1300 ⎞
⎟
⎝ 200 ⎠
=⎜
6
4
1
0
1
4
9
2
2
⎛ x − 1300 ⎞
⎟ f
⎝ 200 ⎠
7
80
80
0
90
160
90
=⎜
500
Поясним расчеты. Воспользуемся тем, что уменьшение или
увеличение каждого значения признака на одну и ту же постоянную величину не изменяет дисперсии. Применяя это свойство,
можно исчислить дисперсию не по заданным вариантам, а по от128
клонениям их от какого-то постоянного числа. В рядах распределения с равными интервалами за постоянное число принято брать
варианту ряда с наибольшей частотой. В нашем примере это
А = 1300. Отнимая это число от каждой варианты, получим значения признака, представленные в гр. 3 табл. 6.19. Отклонение от постоянной условной варианты в третьей группе равно нулю.
Используя третье свойство дисперсии, уменьшим все варианты
в несколько раз. Для всех вариант кратным числом является величина интервала (i = 200). Разделив (x – А) на 200, получим упрощенные значения признака, приведенные в гр. 4. Используя оба
свойства дисперсии и воспользовавшись формулой σ 2 = х 2 − х 2 , получим следующую формулу для расчета дисперсии:
2
σ 2 = i 2 x 2 − (x ) ,
или в развернутом виде:
2
⎡ x2 f ⎛
xf ⎞ ⎤
2
2⎢
⎟ ⎥.
−⎜
σ =i
⎜
⎟ ⎥
⎢
f
f
⎝
⎠ ⎦
⎣
Исчислим дисперсию для нашего примера:
⎡ 500 ⎛ 80 ⎞ 2 ⎤
2
σ 2 = 200 2 ⎢
−⎜
⎟ ⎥ = 200 (1,25 − 0,04 ) = 48400.
400
400
⎝
⎠ ⎥⎦
⎢⎣
Среднее
квадратическое
отклонение
составит:
σ = 48400 = 220 .
[
]
∑
∑
∑
∑
Среднее квадратическое отклонение может быть исчислено сразу по
формуле
σ = i x − (x ) = i
2
2
∑x f
∑f
2
⎛
−⎜
⎜
⎝
∑ xf ⎞⎟
∑ f ⎟⎠
2
=
2
500 ⎛ 80 ⎞
= 200
−⎜
⎟ = 200 1,25 − 0,04 = 200 1,21 = 220.
400 ⎝ 400 ⎠
∑x f
∑f
2
В статистике величину
называют моментом второго
порядка и условно обозначают символом m2, а величину
129
∑xf
∑f
–
моментом первого порядка и обозначают m1. Учитывая это, формулы дисперсии и среднего квадратического отклонения можно записать так:
(
)
σ 2 = i 2 m2 − m1 и σ = i m2 − m1 .
2
2
Задачи
10.1. Глубина скважин в районе бурения характеризуется следующими данными:
Таблица 6.20
Группы скважин по глубине, м
200- 400
400- 600
600- 800
800-1000
1000-1200
1200-1400
Число скважин в процентах к итогу
4
8
32
30
18
8
Исчислите дисперсию и среднее квадратическое отклонение
глубины скважин, применяя способ моментов.
10.2. В результате выборочного обследования дневного удоя
коров, проведенного на молочнотоварной ферме, были получены
следующие данные:
Таблица 6.21
Группы коров по дневному удою, кг
6-8
8-10
10-12
12-14
14-16
16 и выше
Число коров
2
5
51
37
3
2
100
Исчислите дисперсию и среднее квадратическое отклонение
удоя коров, применяя способ моментов.
10.3. По данным условия задачи 6.1 настоящей главы исчислите дисперсию и среднее квадратическое отклонение урожайности
хлопка-сырца, применяя способ моментов.
10.4. По данным условия задачи 6.4 настоящей главы исчислите дисперсию и среднее квадратическое отклонение затрат времени на одну деталь, применяя способ моментов.
130
6.6. Определение коэффициента вариации
Методические указания и решение типовой задачи
Коэффициент вариации — это отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:
σ ⋅ 100
V=
.
x
В отличие от среднего квадратического отклонения коэффициент вариации является величиной относительной, что очень удобно
для сравнения вариаций в любых совокупностях.
Задача 10. Исчислим коэффициент вариации по данным типовых задач 5 и 6 гл. 6:
σ ⋅ 100 1,216 ⋅ 100
V5 =
=
= 12,16%;
x
10
σ ⋅ 100 1,8 ⋅ 100
V6 =
=
= 9,7%.
x
18,4
По величине коэффициента вариации можно судить о степени вариации признаков совокупностей. Чем больше его величина, тем больше разброс значений признака вокруг средней, тем менее однородна
совокупность по своему составу и тем менее представительна средняя.
Задачи
11.1. Для характеристики производственного стажа работников одной из отраслей промышленности проведено обследование
различных категорий работников. Результаты обследования систематизированы в виде следующей таблицы:
Таблица 6.22
Группы работников
по стажу работы, лет
До 2
2-4
4-6
6-8
8-10
10-12
12-14
Свыше 14
Удельный вес работников по стажу в процентах к итогу
рабочие
мастера
технологи
7
1
15
10
3
20
22
20
30
20
10
10
23
32
8
7
20
2
6
10
8
11
5
100
100
100
131
Исчислите коэффициент вариации стажа рабочих.
11.2. По данным табл. 6.22 исчислите коэффициент вариации
стажа мастеров.
11.3. По данным табл. 6.22 исчислите коэффициент вариации
стажа технологов.
12.1. По данным задачи 2.4 гл. 5 определите коэффициенты
вариации тарифных разрядов: 1) рабочих завода 1; 2) рабочих завода 2. Сравните полученные показатели.
12.2. Выпуск продукции по пятидневкам на двух предприятиях
характеризуется следующими данными
Таблица 6.23
Номер
предприятия
1
2
Единица измерения продукции
тыс. руб.
тыс. руб.
Выпуск продукции по пятидневкам
I
II
III
IV
V
VI
11
12
16
17
24
40
19
21
18
22
28
30
Итого
120
138
Исчислите коэффициенты вариации выпуска продукции: 1) по
предприятию № 1; 2) по предприятию № 2. Определите, какое
предприятие работало более ритмично.
12.3. Имеются следующие данные о денежных доходах колхозов за отчетный год:
Таблица 6.24
Группы колхозов по денежным доходам,
отчисляемым в неделимые фонды, %
15-20
20-25
25 и выше
Итого
Удельный вес колхозов в процентах
к итогу по областям
А
Б
В
80
20
35
16
50
52
4
30
13
100
100
100
Исчислите коэффициенты вариации денежных отчислений в
неделимые фонды колхозов: 1) по области А; 2) по области Б; 3) по
области В. Сравните полученные показатели. Сделайте выводы.
132
6.7. Расчет групповой, межгрупповой и общей дисперсии
(по правилу сложения дисперсий)
Методические указания и решение типовой задачи
Если совокупность разбита на группы (или части) по изучаемому признаку, то для такой совокупности могут быть исчислены
следующие виды дисперсий: общая, групповые (частные), средняя
из групповых (частных), межгрупповая.
Общая дисперсия равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака х от общей средней х . Она может быть исчислена как простая средняя или как взвешенная соответственно по
формулам:
(х − х )2 2
(х − х )2 f
2
σ =
;σ =
.
п
f
∑
∑
∑
Общая дисперсия отражает вариацию признака за счет всех
условий и причин, действующих в совокупности.
Групповая (частная) дисперсия равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы от средней
арифметической этой группы (групповой средней). Она может
быть исчислена как простая средняя или как взвешенная соответственно по формулам:
(х − хi )2 2
(х − хi )2 f
2
σi =
; σi =
.
п
f
∑
∑
∑
Эта дисперсия отражает вариацию признака только за счет условий и причин, действующих внутри группы.
Средняя из групповых (частных) дисперсий — это средняя
арифметическая, взвешенная из дисперсий групповых:
2
σi f
2
.
σi =
f
∑
∑
Межгрупповая дисперсия равна среднему квадрату отклонений групповых средних хi от общей средней x :
∑ (x − x )
=
∑f
2
δ
2
i
133
f
.
Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию результативного признака за счет группировочного признака.
Между указанными видами дисперсий существует определенное соотношение: общая дисперсия равна сумме средней из групповых дисперсий и межгрупповой дисперсии:
2
σ 2 = σ i + δ 2.
Это соотношение называют правилом сложения дисперсий. С
его помощью, зная два вида дисперсий, можно определить третий:
2
2
δ 2 = σ 2 − σ i ; σ i = σ 2 − δ 2.
Поясним правило сложения дисперсий на примере.
Задача 11. Имеются следующие данные о производительности
ткачей за час работы:
13
14
15
17
16
15
90
(х − х )
-2
-1
0
2
1
0
4
1
0
4
1
0
10
2
1
Изготовлено ткани
Четырехстаночниками за 1 ч
x
Изготовлено ткани
трехстаночниками
за 1 ч
x
1
2
3
4
5
6
х−х
Табельный номер
ткача
Табельный номер
ткача
Таблица 6.25
7
8
9
10
11
12
18
19
22
20
24
23
126
х − х2
(х − х )
-3
-2
1
-1
3
2
9
4
1
1
9
4
28
2
2
Исчислим: 1) групповые дисперсии; 2) среднюю из групповых
дисперсий; 3) межгрупповую дисперсию; 4) общую дисперсию.
1. Для расчета групповых дисперсий исчислим средние по каждой группе:
90
126
х1 =
= 15; х2 =
= 21.
6
6
Расчет дисперсий по группам представлен в таблице. Подставив полученные значения в формулу, получим:
(х − х )2 10
2
σ1 =
=
= 1,666 ≅ 1,67;
п
6
∑
134
∑ (х − х )
2
σ 22 =
=
28
= 4,66.
6
п
2. Рассчитаем среднюю из групповых (частных) дисперсий:
σ i2 f 1,67 ⋅ 6 + 4,66 ⋅ 6 10 + 28 38
∑
2
=
=
=
= 3,16.
σ =
12
12
12
∑f
3. Исчислим межгрупповую дисперсию. Для этого предварительно определим общую среднюю как среднюю взвешенную из
групповых средних:
∑ х1 f = 15 ⋅ 6 + 21 ⋅ 6 = 90 + 126 = 18.
х=
12
12
∑f
Затем рассчитаем межгрупповую дисперсию:
(х − x )2 f = (15 − 18)2 ⋅ 6 + (21 − 18)2 ⋅ 6 = 9 ⋅ 6 + 9 ⋅ 6 = 108 = 9.
δ2 = i
12
12
12
∑f
4. Исчислим общую дисперсию по правилу сложения дисперсий:
σ 2 = σ i2 + δ 2 = 3,16 + 9 = 12,16.
Проверим полученный результат, исчислив общую дисперсию
обычным способом:
(13 − 18)2 + (14 − 18)2 + (15 − 18)2 + (17 − 18)2 +
+ (16 − 18) + (15 − 18) + (18 − 18) + (19 − 18) +
2
∑ (x − x )
2
σ2 =
n
2
2
+ (22 − 18) + (20 − 18) + (24 − 18) + (23 − 18)
=
12
146
=
= 12,16.
12
2
=
2
2
2
2
Задачи
13.1. Имеются следующие данные о производительности труда
рабочих:
Таблица 6.26
Табельный номер рабочего
1
2
3
4
5
Произведено продукции, шт.
в дневную смену
в ночную смену
5
5
8
6
7
4
4
4
6
6
135
Исчислите: 1) частные дисперсии; 2) среднюю из частных дисперсий; 3) межгрупповую дисперсию; 4) общую дисперсию (по
правилу сложения дисперсий и обычным способом).
13.2. На колхозных рынках города в марте зарегистрированы
следующие цены на картофель:
Номер
рынка
I
II
III
Цена 1 кг, коп.
10,
20,
15,
15, 20, 17, 12, 15, 15, 15,
25, 25, 20, 18, 17, 17, 18,
15, 20, 17, 17, 20, 20. 15,
20, 20, 17, 12, 15, 20, 17,
20, 20,
18, 18, 17, 25, 20, 15, 18,
Исчислите: 1) групповые (частные) дисперсии; 2) межгрупповую дисперсию; 3) общую дисперсию (по правилу сложения дисперсий и обычным способом).
13.3. Бригада рабочих механического цеха, состоящая из 10
человек, к концу месяца имела следующие показатели по выполнению норм выработки:
Группы рабочих по степени выполнения плана, %
До 100
Свыше 100
Процент выполнения плана
90,
100,
95,
102,
85,
104,
92
103,
105,
104
Исчислите: 1) групповые дисперсии; 2) межгрупповую дисперсию; 3) общую дисперсию (обычным способом и по правилу
сложения дисперсий).
14.1. Имеются показатели распределения основных фондов по
заводам отрасли:
Таблица 6.27
Группы заводов по
стоимости основных
фондов, млн. руб.
1,2-2,7
2,7-4,2
4,2-5,7
5,7-7,2
Число заводов
Основные фонды в среднем на завод, млн. руб.
Групповые
дисперсии
9
11
7
3
1,8
3,2
4,8
6,9
0,17
0,09
0,25
0,14
Определите общую дисперсию основных фондов по совокупности заводов, применяя правило сложения дисперсий.
136
14.2. Имеются следующие данные о распределении рабочих по
проценту допускаемого брака в процессе производства:
Таблица 6.28
Процент брака
Число рабочих
До 1
1-3
3-5
5-7
Свыше 7
7
20
15
5
3
Средний процент брака
продукции на одного
рабочего
0,8
2,3
3,7
5,9
7,8
Среднее квадратическое отклонение
0,67
0,65
0,51
0,48
0,82
Исчислите общую дисперсию допускаемого рабочими брака
продукции, применяя правило сложения дисперсий.
14.3. Имеются следующие данные о часовой производительности труда рабочих цеха:
Таблица 6.29
Группы рабочих
по количеству продукции, выработанной за 1 ч одним рабочим, шт.
9-10
10-12
12-14
14-17
Итого
Число рабочих
Средняя выработка
на одного рабочего,
шт.
10
11
16
13
50
9,5
11,6
13,4
16,4
13,0
Групповые
дисперсии σ i
2
0,25
0,23
0,23
0,53
Исчислите общую дисперсию часовой производительности
труда рабочих, применяя правило сложения дисперсий.
6.8. Расчет эмпирического корреляционного отношения
Методические указания и решение типовой задачи
Правило сложения дисперсий используется в статистике для
определения степени связи между изучаемыми признаками. Методом аналитической группировки, путем сравнения групповых сред137
них показателей результативного признака, изменяющегося под
влиянием факторного, была установлена зависимость между размером основных фондов и выпуском продукции (см. табл. 2.17). Но
групповые средние выпуска продукции на один завод являются
результатом влияния не только факторного признака, но и других
причин. Поэтому наряду с выявлением взаимосвязи между интересующими нас признаками стоит задача количественного определения тесноты связи между ними. Метод аналитических группировок с применением правила сложения дисперсий позволяет определить тесноту связи между признаками с помощью эмпирического
корреляционного отношения.
Первоначально исчислим коэффициент детерминации:
η2 =
δ2
.
σ2
Он представляет отношение дисперсии групповых средних к
общей дисперсии и показывает, какую часть общей вариации изучаемого признака составляет вариация межгрупповая, т. е. обусловленная группировочным признаком.
Корень из коэффициента детерминации называют эмпирическим корреляционным отношением
δ2
η=
,
σ2
которое показывает тесноту связи между признаком группировочным и результативным. Корреляционное отношение может принимать значения от 0 до 3.
Задача 12. Покажем расчет эмпирического корреляционного
отношения по данным аналитической группировки (см. табл. 2.17)
и определим степень связи между размером основных фондов и
выпуском продукции на один завод, используя значения, приведенные в таблице.
Прежде всего определим средний выпуск продукции на один
завод по отраслям в целом. Общая средняя будет равна:
у 114,8
= 4,78 млн. руб .
х=
=
п
24
∑
138
Таблица 6.30
Число заводов
f
Группы
заводов по
величине
основных
фондов,
млн. руб.
1-2,2
2,2-3,4
3.4-4,6
4.6-5,8
5,8-7,0
Итого
Валовая про2
дукция на
уi − y =
уi − y =
один завод,
2
млн. руб.
= ( y i − 4,78) = y − 4,78
i
yi
(
3
9
5
3
4
24
1,87
2,95
4,60
5,30
10,95
4,78
-2,9
-1,83
-0,18
0,52
6,17
)
(
(у − y) f =
) = ( y − 4,78)
2
i
2
2
i
8,41
3,3489
0,0324
0,2704
38,07
f
25,2300
30,1401
0.1620
0,8112
152,2756
208,6189
Определим дисперсию, характеризующую вариацию выпуска
продукции за счет изменения основных фондов, т.е. межгрупповую
дисперсию. Межгрупповая дисперсия равна:
( у − y )2 f = 206,6189 = 8,69.
δ2 = i
24
∑f
Исчислим общую дисперсию по индивидуальным данным
табл. 2.1, используя формулу
∑ y − ⎛⎜ ∑ y ⎞⎟ .
− (y) =
⎜ n ⎟
n
2
σ =y
2
2
2
⎝
⎠
Таблица 6.31
Номер
завода
1
2
3
4
5
6
7
8
Итого
y
y2
3,2
9,6
1,5
4,2
6,4
2,8
9,4
11,9
10,24
92,16
2,25
17,64
40,96
7,84
88,36
141,61
Номер
завода
9
10
11
12
13
14
15
16
y
y2
2,5
3,5
2,3
1,3
1,4
3,0
2,5
7,9
6,25
12,25
5.29
1,69
1,96
9,0
6,25
62,41
Номер
завода
17
18
19
20
21
22
23
24
Общая дисперсия равна:
2
816,9 ⎛ 114 ⎞
σ2 =
−⎜
⎟ = 34,04 − 22,85 = 11,19.
24
⎝ 24 ⎠
139
y
y2
3,6
8,0
2,5
2,8
1,6
12,9
5.6
4,4
114,8
12,96
64.0
6.25
7,84
2.56
166,41
31,36
19.39
816,90
Коэффициент детерминации равен:
δ 2 8,69
η2 = 2 =
= 0,777.
σ
11,19
Корреляционное отношение равно:
δ2
8,69
η=
=
= 0,777 = 0,882.
2
σ
11,19
Таким образом, можно сказать, что связь между размером основных фондов и выпуском продукции в рассмотренном примере
высокая. Вариация выпуска продукции на 77,7% обусловлена вариацией стоимости основных фондов.
Задачи
15.1. По данным аналитической группировки, полученной в задаче 6.1 гл. 2, измерьте тесноту связи между выпуском продукции на
один завод и изменением численности рабочих, исчислив коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
15.2. По данным аналитической группировки, полученной в задаче 6.3 гл. 2, измерьте тесноту связи между выпуском продукции на
один завод и себестоимостью единицы продукции, исчислив коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
15.3.По данным аналитической группировки, полученной в задаче 6.4 гл. 2, измерьте тесноту связи между урожайностью зерновых и себестоимостью одного центнера зерна, исчислив коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
6.9. Расчет коэффициента асимметрии
Методические указания и решение типовой задачи
Одной из важнейших задач анализа вариационных рядов распределения является выявление закономерности распределения и
определение ее характера. При симметричном распределении частот в вариационном ряду, обобщающие характеристики ряда —
средняя арифметическая, мода и медиана — равны между собой.
Однако в экономической статистике такое распределение встречается крайне редко. Чаще всего наблюдаются асимметрия распределения, которая может быть правосторонней или левосторонней в
140
зависимости от расположения частот. Если в ряду распределения
преобладают варианты с меньшим, чем средняя арифметическая,
значением признака, то вершина кривой распределения сдвинута
влево и правая часть кривой оказывается длиннее. Такая асимметрия
называется правосторонней (положительной) Если же преобладают
варианты с большим, чем средняя арифметическая, значением признака – вершина кривой распределения сдвинута вправо, и, следовательно, левая часть кривой получается длиннее правой. Такая асимметрия называется левосторонней (отрицательной).
Степень асимметрии может быть определена с помощью коэффициента асимметрии:
х − Мо
,
КА =
σ
где x - средняя арифметическая ряда распределения;
Мо – мода;
σ - среднее квадратическое отклонение.
При симметричном (нормальном) распределении x = Mo , следовательно, коэффициент асимметрии равен нулю. Если K A >0, то
x больше моды, следовательно, имеется правосторонняя асимметрия.
Если K A <0, то x меньше моды, следовательно, имеется левосторонняя асимметрия. Коэффициент асимметрии может изменяться от – 3 до + 3.
Задача 13. По данным типовой задачи 13 гл. 5 определим коэффициент асимметрии:
Таблица 6.32
Группы предприятий
Число
по числу
предприятий f
работающих, чел.
100-200
1
200-300
3
300-400
7
400-500
30
500-600
19
600-700
15
700-800
5
Итого
80
x
150
250
350
450
550
650
750
141
х − 450
100
-3
-2
-1
0
1
2
3
(
х − 450
100
-3
-6
-7
0
19
30
15
48
)f
(
х − 450
100
9
12
7
0
19
60
45
152
2
) f
При решении задачи 12 гл. 5 определена Мо = 4б7,6. Исчислим
среднюю арифметическую и среднее квадратическое отклонение,
применяя способ моментов. Все расчеты приведены в таблице.
Средняя численность работающих составляет:
48
x=
⋅ 100 + 450 = 510 чел.
80
Среднее квадратическое отклонение равно:
2
σ = i m2 − m12 = 100
152 ⎛ 48 ⎞
−⎜ ⎟ =
80 ⎝ 80 ⎠
= 100 1,9 − 0,6 = 100 1,54 = 124.
Исчислим коэффициент асимметрии, подставив все значения в
формулу
х − Мо 510 − 467,6 42,4
КА =
=
=
= 0,34.
σ
124
124
Итак, в данном ряду распределения имеется незначительная
правосторонняя асимметрия.
Задачи
16.1. В результате обследования получены следующие данные
о распределении семей по размеру совокупного дохода.
Таблица 6.33
Группы семей
по размеру дохода,
руб.
До 100
100-150
150-200
200-250
Число семей
в процентах
к итогу
3,0
35,0
20,0
10,0
Группы семей
по размеру дохода,
руб.
250-300
300-350
Свыше 350
Число семей
в процентах
к итогу
11,0
14,0
7,0
Итого
100,0
Определите коэффициент асимметрии данного ряда распределения.
16.2. Имеются данные о размерах товарооборота магазинов государственной торговли за IV квартал отчетного года.
142
Таблица 6.34
Группы магазинов
по размеру
товарооборота,
тыс. руб.
200-300
300-400
400-500
Итого
Число магазинов
396
270
187
Группы магазинов
по размеру
товарооборота,
тыс. руб.
500-600
600-700
700-800
Число магазинов
130
90
57
1130
Определите коэффициент асимметрии распределения магазинов по размеру товарооборота.
16.3. По данным задачи 9.1 гл. 6 определите коэффициент
асимметрии распределения совхозов по затратам труда на 1 ц зерна.
16.4. По данным задачи 10.1 гл. 6 определите коэффициент
асимметрии распределения скважин по их глубине.
7.1. Определите ошибки выборочной средней
при собственно-случайном и механическом отборе
Методические указания и решение типовых задач
Средняя ошибка выборки для средней показывает среднюю
величину всех возможных расхождений выборочной и генеральной
средней.
При случайном повторном отборе средняя ошибка выборочной
средней рассчитывается по формуле
σ2
μ=
,
п
где μ - средняя ошибка выборочной средней;
σ 2 - дисперсия выборочной совокупности;
n - численность выборки.
При бесповторном отборе она рассчитывается по формуле
п⎞
σ2 ⎛
μ=
⎜1 − ⎟ ,
п ⎝ N⎠
где N – численность генеральной совокупности.
143
Предельная ошибка выборки Δ рассчитывается по формуле
Δ = μt , где t — коэффициент доверия, зависит от значения вероятности Р.
Значения t при заданной вероятности Р определяются по таблице
значений функции ϕ (t ) , которая выражается интегральной формулой
Лапласа, и отражают зависимость между t и вероятностью Р.
При механическом отборе средняя ошибка выборки рассчитывается по формуле собственно-случайного бесповторного отбора.
Задача 1. Методом случайной повторной выборки было взято
для проверки на вес 200 шт. деталей. В результате был установлен
средний вес детали 30 г при среднем квадратическом отклонении
4 г. С вероятностью 0,954 требуется определить пределы, в которых находится средний вес деталей в генеральной совокупности.
x
Генеральная средняя x отличается от выборочной средней ~
на величину ошибки выборки Δ :
x=~
x ± Δ ~x .
Чтобы определить границы генеральной средней с вероятностью 0,954, необходимо рассчитать предельную ошибку выборочной средней. Предельная ошибка выборки для средней определяется по формуле при повторном отборе:
σ2
Δ ~х = t
.
n
С вероятностью 0,954 ошибка выборки не превысит двух
средних ошибок, так как значение t при Р = 0,954 равно 2.
Подставим значения в формулу ошибки выборки:
42
= 0,56 г.
200
Определим верхнюю границу генеральной средней:
x=~
x + Δ ~x = 30 г. + 0,56 г. = 30,56 г.
Определим нижнюю границу генеральной средней:
x=~
x − Δ ~x = 30 − 0,56 = 29,44 г.
С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний вес детали в генеральной совокупности находится в пределах 29,44 г
≤ x ≤ 30,56 г.
Задача 2. В районе А проживает 2500 семей. Для установления
среднего числа детей в семье была проведена 2%-ная случайная
Δ ~х = 2
144
бесповторная выборка семей. В результате обследования были получены следующие данные:
Число детей в семье
Число семей
0
10
1
20
2
12
3
4
4
2
5
2
С вероятностью 0,997 требуется определить границы, в которых будет находиться среднее число детей в семье в генеральной
совокупности (в городе А). Генеральная средняя х = х ± Δ ~х .
Чтобы определить границы генеральной средней, необходимо
рассчитать выборочную среднюю и ошибку выборочной средней.
Рассчитаем среднее число детей в семье в выборочной совокупности и дисперсию выборочной совокупности:
Таблица 7.1
Число детей Количество
в семье x
семей f
0
10
1
20
2
12
3
4
4
2
5
2
Итого
50
~
х=
xf
x−~
x
2
(x − ~
x)
2
(x − ~
x) f
0
20
24
12
8
10
74
-1,5
-0,5
+0,5
+1.5
+2,5
+3.5
-
2,25
0.25
0,25
2.25
6,25
12,25
-
22,5
5.0
3,0
9,0
12.5
24,5
76,5
∑ хf
∑f
=
∑ (х − ~х )
∑f
2
σ2 =
f
74
= 1,5 чел.;
50
=
76,5
= 1,53 ≈ 1,5.
50
Предельная ошибка выборочной средней при бесповторном
случайном отборе рассчитывается по формуле
n⎞
σ2 ⎛
Δ ~х = t
⎜1 − ⎟ .
n ⎝ N⎠
С вероятностью 0,997 наша ошибка выборки не превышает
трех сред них ошибок:
1,5 ⎛
50 ⎞
Δ ~х = 3
⎜1 −
⎟ = 0,5 чел.
50 ⎝ 2500 ⎠
145
Определим пределы, в которых находится среднее число детей
в семье в городе А:
х=~
х ± Δ ~х = 1,5 ± 0,5.
С вероятностью 0,997 можно утверждать, что среднее число
детей в семье в городе А находится в пределах 1,0 ≤ x ≤ 2,0.
Задачи
1.1. В порядке механической выборки было подвергнуто испытанию на разрыв 100 нитей из партии. В результате обследования
установлена средняя крепость пряжи 320 г при среднем квадратическом отклонении 20 г. С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится средняя крепость пряжи в партии.
1.2. Для определения зольности угля месторождения в порядке
случайной выборки взято 400 проб. В результате исследования установлена средняя зольность угля в выборке 16% при среднем квадратическом отклонении 4%. С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится средняя зольность угля месторождения.
1.3. В порядке случайной повторной выборки из партии было
взято 100 проб продукта А. В результате исследования установлена
средняя влажность продукта А в выборке 9%. при среднем квадратическом отклонении 1,5%. С вероятностью 0,954 определите пределы,
в которых -находится средняя влажность продукта А в партии.
1.4. В порядке случайной выборки обследовано 900 деревьев,
по этим данным установлен средний диаметр одного дерева 235 мм
и среднее квадратическое отклонение равно 27 мм. С вероятностью
0,683 определите границы, в которых будет находиться средний
диаметр деревьев Б генеральной совокупности.
2.1. На заводе с числом рабочих 1000 человек было проведено
2%-ное выборочное обследование возраста рабочих, методом случайного бесповторного отбора, В результате обследования получены следующие данные:
возраст рабочих, лет
число рабочих
до 30
8
30—40
22
40—50
10
50—60
6
свыше60
4
С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится средний возраст рабочих завода.
2.2. Для изучения производительности труда токарей на машиностроительном заводе было проведено 30%-ное выборочное
146
обследование 100 рабочих методом случайного бесповторного отбора. В результате обследования получены данные о часовой выработке рабочих:
часовая выработка, шт.
число рабочих
18–20
2
20–22
8
22–24
24
24–26
50
26–28
12
28–30
4
С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится среднее время обработки одной детали токарями завода.
2.3. На машиностроительном заводе с числом рабочих 5000
человек было проведено 4%-ное выборочное обследование квалификации рабочих методом случайного бесповторного отбора.
В результате обследования получены следующие данные:
квалификация рабочих (тарифные разряды
число рабочих
1
10
2
30
3
40
4
70
5
30
6
20
С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится средний тарифный разряд рабочих завода.
2.4. В районе 2000 семей. С целью определения среднего размера семьи района было проведено 3%-ное выборочное обследование семей методом случайного бесповторного отбора. В результате
обследования получены следующие данные:
размер семьи, чел
число семей
0
4
1
8
2
14
3
16
4
8
5
4
6
3
7
2
8
1
С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится средний размер семьи в районе.
7.2. Определение ошибки выборочной доли
при собственно-случайном и механическом отборе
Методические указания и решение типовых задач
При повторном отборе средняя ошибка выборочной доли рассчитывается по формуле
ω (1 − ω )
μ=
,
п
147
m
- выборочная доля, доля единиц, обладающих изучаеn
мым признаком;
m – число единиц, обладающих изучаемым признаком;
n – численность выборки.
Задача 3. При обследовании 100 образцов изделий, отобранных из партии в случайном порядке, оказалось 20 нестандартных.
С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится
доля нестандартной продукции в партии.
Генеральная доля равна: P = w ± Δ w . Чтобы определить границы генеральной доли, необходимо определить выборочную долю и
ошибку выборочной доли.
Рассчитаем долю нестандартной продукции в выборочной совокупности:
т
20
ω= ; ω=
= 0,2.
п
100
Предельная ошибка выборочной доли с вероятностью 0,954
составит:
0,2 ⋅ 0,8
ω (1 − ω )
Δ=t
=2
= 0,08.
n
100
Определим нижнюю границу генеральной доли:
w − Δ w = 0,2 - -0,08=0,12.
Определим верхнюю границу генеральной доли:
w + Δ w = 0,2 + 0,08 = 0,28.
С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля нестандартной продукции в партии товара находится в пределах
12% ≤ р ≤ 28%.
При бесповторном способе отбора средняя ошибка выборочной доли определяется по формуле
w (1 − w) ⎛
n⎞
μ=
⎜1 − ⎟ .
n
⎝ N⎠
Задача 4. В городе 500 тыс. жителей. По материалам учета городского населения было обследовано 50 тыс. жителей методом
случайного бесповторного отбора. В результате обследования установлено, что в городе 15% жителей старше 60 лет. С вероятностью 0,683 определите пределы, в которых находится доля жителей
в городе в возрасте старше 60 лет.
где w =
148
Генеральная доля равна Р ± Δ w. . Выборочная доля равна
w = 15%.
С вероятностью 0,683 определим ошибку выборки для доли:
Δ
w
=t
w (1 − w) ⎛
n⎞
⎜1 − ⎟ =
n
N⎠
⎝
0,15 ∗ 0,85
∗ 0,9 = 0,048 ≈ 0,05, или 5%.
50
Определим верхнюю границу генеральной доли: Рв = 0,15+
+ 0,045 = 0,28 (или 20%).
Определим нижнюю границу генеральной доли: Рн = 0,15 –
– 0,05 = 0,1 (или 10%).
С вероятностью 0,683 можно утверждать, что доля жителей в
возрасте старше 60 лет в городе А находится в пределах 10% ≤
≤ р ≤ 20%.
= 1∗
Задачи
3.1. При обследовании 500 образцов изделий, отобранных из
партии готовой продукции предприятия в случайном порядке, 40
оказались нестандартными. С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится доля нестандартной продукции, выпускаемой заводом.
3.2. Научно-исследовательским институтом для изучения общественного мнения населения области о проведении определенных мероприятий в порядке случайного повторного отбора было
опрошено 600 человек. Из числа опрошенных 360 человек одобрили мероприятия. С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится доля лиц, одобривших мероприятия.
3.3. в порядке случайной повторной выборки было обследовано 80 предприятий отрасли промышленности, из которых 20 предприятий имели долю нестандартной продукции выше 0,5%. С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится доля
предприятий, выпускающих более 0,5% нестандартной продукции
промышленности данной отрасли.
3.4. В порядке случайной повторной выборки было отобрано
400 единиц готовой продукции предприятий, из которых 20 единиц
были забракованы. С вероятностью 0,954 определите пределы, в
которых находится доля бракованной продукции предприятия.
149
4.1. В городе 2000 семей. По результатам переписи населения
города методом случайного бесповторного отбора обследовано 80
семей. В результате обследования установлено, что 24 семьи состоят из четырех и более человек. С вероятностью 0,954 определите
пределы, в которых находится доля семей в городе, состоящих из
четырех и более человек.
4.2. Для изучения мнения студентов о проведении определенных мероприятий из совокупности, состоящей из 10 тыс. человек,
методом случайного бесповторного отбора опрошено 600 студентов. Из них 240 одобрили план мероприятий. С вероятностью 0,954
определите пределы, в которых находится доля студентов, одобривших мероприятия, во всей совокупности.
4.3. Из 100 тыс. семей, проживающих в городе А, методом случайного бесповторного отбора обследовано 2000 семей. Анкеты, посланные семьям, содержали вопрос: живет ли семья в квартире более
10 лет? Из опрошенных семей 600 дали утвердительный ответ. С
вероятностью 0,997 определите долю семей в городе А, проживающих в квартире более 10 лет, в генеральной совокупности.
4.4. Из 5 тыс. человек, совершивших правонарушения в течение года, было обследовано 500 правонарушителей методом механического отбора. В результате обследования установлено, что 300
человек выросли в ненормальных семейных условиях. С вероятностью 0,997 определите долю правонарушителей, выросших в ненормальных семейных условиях, в генеральной совокупности.
7.3. Определение необходимой численности выборки
при изучении средней для собственно-случайного
и механического отбора
Методические указания и решение типовых задач
В практике проектирования выборочного наблюдения возникает потребность определения численности выборки, которая необходима для обеспечения определенной точности расчета генеральных средних. Предельная ошибка выборки и ее вероятность
при этом являются заданными.
При бесповторном случайном отборе необходимая численность выборки вычисляется по формуле
150
t 2σ 2 N
.
NΔ2 + t 2σ 2
Задача 5. В районе А проживает2000 семей. В порядке случайной бесповторной выборки предполагается определить средний
размер семьи при условии, что ошибка выборочной средней не
должна превышать 0,8 человека с вероятностью Р = 0,954 и при
среднем квадратическом отклонении 2,0 человека.
Рассчитаем необходимую численность выборки:
4 ⋅ 4,0 ⋅ 2000
n=
= 24 семьи.
2000 ⋅ 0,64 + 4 ⋅ 4,0
При повторном случайном отборе численность выборки определяется по формуле
t 2σ 2
n= 2 .
Δ
Задача 6. для определения средней длины детали необходимо
провести выборочное обследование методом случайного повторного отбора. Какое количество деталей надо отобрать, чтобы ошибка
выборки не превышала 2 мм, с вероятностью 0,954 при среднем
квадратическом отклонении 8 мм?
Рассчитаем необходимую численность выборки:
2 2 ⋅ 82
n=
= 64 детали.
4
n=
Задачи
5.1. Для определения среднего размера вклада определенной
категории вкладчиков в сберегательных кассах города, где число
вкладчиков 5000, необходимо провести выборку лицевых счетов
методом механического отбора. Предварительно установлено, что
среднее квадратическое отклонение размера вкладов составляет
120 руб. Определите необходимую численность выборки при условии, что с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превысит 10 руб.
5.2. Для установления среднего возраста 50 тыс. читателей библиотеке необходимо провести выборку из читательских карточек
методом механического отбора. Предварительно установлено, что
среднее квадратическое отклонение возраста читателей равно 10 годам. Определите необходимую численность выборки при условии,
что с вероятностью 0,954 ошибка выборки будет не более двух лет.
151
5.3. На ткацкой фабрике работает 6 тыс. ткачих. Для установления норм выработки предполагается провести случайный бесповторный отбор ткачих. Предварительным обследованием установлено, что
среднее квадратическое отклонение дневной выработки составляет 25
м. Определите необходимую численность выборки при условии, что с
вероятностью 0,954 ошибка выборки не превысит 5 м.
5.4. На заводе, где работает 10 тыс. рабочих, необходимо установить их средний стаж работы методом механической выборки.
Предварительным обследованием установлено, что среднее квадратическое отклонение стажа работы равно 5 годам. Определите
необходимую численность выборки при условии, что с вероятностью 0,997 ошибка выборки не превысит 1,0 года.
6.1. В городе А с целью определения средней продолжительности поездки населения на работу предполагается провести выборочное обследование методом случайного повторного отбора. какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью
0,997 ошибка выборочной средней не превышала 5 мин при среднем квадратическом отклонении 20 мин.
6.2. С целью определения среднего диаметра деревьев необходимо провести выборочное обследование деревьев методом случайного повторного отбора. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборочной средней не
превышала 15 см при среднем квадратическом отклонении 25 см.
6.3. С целью определения качества пряжи на прядильной фабрике предполагается провести выборочное обследование пряжи
методом случайного повторного отбора. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборочной средней не превышала 4 г при среднем квадратическом отклонении 20 г.
6.4. На заводе предполагается провести выборочное обследование средней часовой выработки рабочих методом случайного
повторного отбора. Какова должна быть численность выборки,
чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 5 шт.,
если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия
равна 225.
152
7.4. Определение необходимой численности выборки
при изучени выборочной доли для собственно-случайного
и механического отбора
Методические указания и решение типовых задач
При случайном бесповторном отборе для расчета необходимой
численности выборки для определения доли с заданной точностью
применяется следующая формула:
t 2 w (1 − w) N
n= 2
Δ N + t 2 w (1 − w)
или по формуле
0,25t 2 N
,
n= 2
Δ N + 0,25t 2
если дисперсия доли неизвестна.
Задача 7. В городе А 10 тыс. семей. В порядке механической
выборки предполагается определить долю семей в городе А с числом детей три и более. Какова должна быть численность выборки,
чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 0,02
человека, если на основе предыдущих обследований известно, что
дисперсия равна 0,2.
Рассчитаем необходимую численность выборки:
4 ⋅ 0,2 ⋅ 10000
n=
= 1666 семей.
(0,02) 2 ⋅ 10000 + 4 ⋅ 0,2
При повторном способе отборки численность выборки рассчитывается по формуле
w (1 − w) t 2
.
n=
Δ2
Задача 8. Используя данные условия предыдущей типовой задачи, рассчитаем необходимую численность выборки при условии,
что метод отбора повторный.
4 ⋅ 0,2
Численность выборки: n =
= 2000 семей.
0,0004
Задачи
7.1. На заводе с числом рабочих 15 тыс. человек в порядке механической выборки предполагается определить долю рабочих со
153
стажем работы 20 лет и более. Какова должна быть численность
выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 0,03, если на основе предыдущих обследований известно, что
дисперсия равна 0,2?
7.2. В городе А поживает 20 тыс. семей. В порядке случайной
бесповторной выборки установите долю семей с доходом на душу 50
руб. и менее. Какова должна быть численность выборки, чтобы с
вероятностью 0,997 ошибка выборки не превышала 0,03, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 0,16?
7.3. В городе Н с числом семей 10 тыс. предполагается методом случайного бесповторного отбора определить долю семей с
детьми ясельного возраста. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала
0,04, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 0,24?
7.4. На заводе с числом рабочих 12 тыс. необходимо установить долю рабочих, обучающихся в высших учебных заведениях,
методом механического отбора. Какова должна быть численность
выборки, чтобы с вероятностью 0,997 ошибка выборки не превышала 0,08, если на основе предыдущих обследований известно, что
дисперсия равна 0,16?
8.1. По данным задачи 7.1 гл. 7 определите численность выборки при условии, что метод отбора повторный.
8.2. По данным задачи 7.2 гл. 7 определите численность выборки при условии, что метод отбора повторный.
8.3. По данным задачи 7.3 гл. 7 определите численность выборки при условии, что метод отбора повторный.
8.4. По данным задачи 7.4 гл. 7 определите численность выборки при условии, что метод отбора повторный.
7.5. Определение ошибки выборочной
средней типической выборки
Методические указания и решение типовой задачи
При типической (районированной) выборке генеральная совокупность разбивается на однородные типические группы по какому-либо признаку или районы. Из каждой типической группы или
154
района в случайном порядке отбираются единицы выборочной совокупности. Отбор единиц из типов может производиться тремя
методами: пропорционально численности единиц типических
групп, непропорционально численности единиц типических групп,
пропорционально колеблемости в группах.
Рассмотрим типическую выборку с пропорциональным отбором единиц из типических групп. Объем выборки из типических
групп при отборе, пропорциональном численности единиц типических групп, определяется по формуле
N
ni = n 1 ,
N
где ni – объем выборки из типической группы;
n – общий объем выборки;
Ni – объем типических групп;
N – объем генеральной совокупности.
Средняя ошибка выборочной средней при бесповторном случайном и механическом способе отбора внутри типических групп
рассчитывается по формуле
σ2⎛ n⎞
μ=
⎜1 − ⎟ ,
n ⎝ N⎠
где σ 2 - средняя из выборочных дисперсий типических групп.
Задача 9. В районе 10 тыс. семей. Из них 5 тыс. семей рабочих,
4 тыс. семей колхозников, 1 тыс. семей служащих. Для определения числа детей в семье была проведена 10%-ная типическая выборка с отбором единиц пропорционально численности единиц типических групп. Внутри групп применялся метод механического
отбора. Результаты выборки представлены в табл. 7.2.
Таблица 7.2
Типы семей
Рабочие
Служащие
Колхозники
Число семей
в генеральной
совокупности
5000
1000
4000
Среднее число
детей в семье, чел.
Среднее квадратическое отклонение, чел.
2,3
1,8
2,8
1,2
0,5
2,5
С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится среднее число детей в семье в районе.
155
Рассчитаем объем выборки в каждой типической группе при
условии, что численность выборочной совокупности равна 1000
семей:
5000
n1 = 1000 ⋅
= 500 семей;
10000
1000
n2 = 1000 ⋅
= 100 семей;
10000
4000
n3 = 1000 ⋅
= 400 семей.
10000
Рассчитаем общую выборочную среднюю из групповых выборочных средних путем взвешивания последних по численности
отобранных групп:
Σ~
x n 2,3 ⋅ 500 + 1,8 ⋅ 100 + 2,8 ⋅ 400
~
= 2,45 чел.
x= i i =
1000
Σni
Средний размер семьи в выборке равен 2,45 человека. определим среднюю из внутригрупповых дисперсий:
2
Σσ i ni
;
σ2=
Σni
1,44 ⋅ 500 + 0,25 ⋅ 100 + 6,25 ⋅ 400
σ2=
= 3,24.
1000
Рассчитаем среднюю ошибку выборочной средней типической
выборки:
σ2⎛
n⎞
μ=
⎜1 − ⎟ ;
n ⎝ N⎠
3,24 ⎛
1000 ⎞
⋅ ⎜1 −
⎟ = 0,053 чел.
1000 ⎝ 10000 ⎠
С вероятностью 0,997 можно утверждать, что в районе среднее
число детей в семье находится в пределах 2,3 ≤ х ≤ 2,6.
μ=
Задачи
9.1. В области 150 тыс. молочных коров. Из них: в районе А –
70 тыс. коров, в районе Б – 50 тыс. коров, в районе В – 30 тыс. коров. Для определения средней удойности коров области произведена 1%-ная типическая выборка с отбором единиц пропорционально
численности коров в районах (внутри районов применялся случай-
156
ный бесповторный метод отбора). Результаты выборки представлены в табл. 7.3.
Таблица 7.3
Район
А
Б
В
Средний удой коров, кг
3200
3000
2500
Среднее квадратическое отклонение, кг
700
400
240
С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится средняя удойность коров в области.
9.2. Для определения средней заработной платы продавцов
была произведена 20%-ная типическая выборка с отбором единиц
пропорционально численности типических групп (внутри типов
применялся метод случайного бесповторного отбора). Результаты
выборки представлены в таблице.
Таблица 7.4
Тип магазина
I
II
III
Средняя заработная
плата, руб
100
110
150
Среднее квадратиче- Число продавцов,
ское отклонение, руб
чел
5
150
20
500
10
350
С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится средняя заработная плата всех продавцов магазинов.
9.3. В целях изучения производительности четырех типов
станков, производящих одни и те же операции, была произведена
10%-ная типическая выборка с отбором единиц пропорционально
численности типических групп (внутри групп применялся метод
случайного бесповторного отбора). Результаты выборки представлены в табл. 7.5.
Таблица 7.5
Тип станка
I
II
III
IV
Число отобранных
станков
15
30
45
10
Среднее число деталей, Среднее квадратиизготовленных на станке ческое отклонение,
за час работы, шт.
шт.
400
40
520
20
700
50
610
70
157
С вероятностью 0,997 определите предел, в котором находится
среднее число деталей, производимых на одном станке за 1 ч работы для всей совокупности станков.
9.4. Для выявления затрат времени на обработку деталей рабочими разных квалификаций на заводе была произведена 10%-ная
типическая выборка пропорционально численности выделенных
групп (внутри типичных по специальности групп произведен механический отбор). Результаты обследования представлены в табл. 7.6.
Таблица 7.6
Группы рабочих
по квалификации
I
II
III
IV
Средние затраты
Среднее квадратиЧисло рабочих
времени на обработку ческое отклонение,
в выборке
одной детали, мин
мин
60
10
1
120
14
4
80
20
2
40
25
6
С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находятся
средние затраты времени на обработку деталей рабочими завода.
7.6. Определение ошибки выборочной доли
в районированной и типической выборке
Методические указания и решение типовой задачи
При типическом и районированном способе отбора с пропорциональным отбором внутри типических групп или районов средняя ошибка выборки для доли определяется по формуле (отбор
внутри групп механический или случайный бесповторный)
μ=
w(1 − w) ⎛
n⎞
⎜1 − ⎟ ,
n
⎝ N⎠
где w(1 − w) - средняя из внутригрупповых дисперсий.
Задача 10. для выявления доли простоев из-за несвоевременного поступления полуфабрикатов была проведена фотография рабочего дня 10% рабочих четырех различных цехов. Отбор рабочих
внутри цехов производился методом механического отбора. В результате выборки были получены следующие данные:
158
Таблица 7.7
Цех
Число рабочих в выборке
№1
№2
№3
№4
20
36
14
30
Удельный вес простоев
из-за несвоевременного поступления
полуфабрикатов, %
5
10
15
2
С вероятностью 0,954 требуется определить пределы, в которых находится доля простоев на заводе из-за несвоевременного поступления полуфабрикатов.
Рассчитаем долю простоев из-за несвоевременного поступления полуфабрикатов в выборке:
Σwi ni
w=
;
Σn
5 ⋅ 20 + 10 ⋅ 36 + 15 ⋅ 14 + 30 ⋅ 2
w=
= 7,3%.
100
Рассчитаем дисперсии типических групп:
I
σ I2 = ω1 (1 − ω1 ) = 5 ⋅ 95 = 475;
для группы
II
III
σ II2 = ω2 (1 − ω 2 ) = 10 ⋅ 90 = 900;
σ III2 = ω3 (1 − ω3 ) = 15 ⋅ 85 = 1275;
σ IV2 = ω 4 (1 − ω 4 ) = 2 ⋅ 98 = 196;
IV
Средняя из внутригрупповых дисперсий определяется по формуле
Σwi (1 − wi ) ni
w(1 − w) =
;
Σni
475 ⋅ 20 + 900 ⋅ 36 + 1275 ⋅ 4 + 196 ⋅ 30
w(1 − w) =
= 656,3.
100
Определим среднюю ошибку выборочной доли:
656,3 ⎛
100 ⎞
⎜1 −
⎟ = 2,42%.
100 ⎝ 1000 ⎠
Рассчитаем предельную ошибку выборки для доли с вероятностью 0,954:
Δ = 2 ⋅ 2,42 = 4,8%.
μw =
159
С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля постоев рабочих из-за несвоевременного поступления полуфабрикатов находится в пределах 2,5% ≤ р ≤ 12,1%.
Задачи
10.1. Для установления дальности побега машин на трех автобазах методом механического отбора было отобрано 300 путевок.
Из них (путевок) на автобазе 1 – 150, 2 – 60, 3 – 90.
В результате обследования установлено, что доля машин с дальностью побега свыше 100 км составляет (процентов) на автобазе 1 –
30, на автобазе 2 – 15 и на автобазе 3- 25. С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится доля машин с дальностью
пробега, превышающей 100 км, по трем автобазам.
10.2. С целью определения доли брака по всей партии изготовленных деталей была произведена 10%-ная типическая выборка с
отбором единиц пропорционально численности единиц типических
групп. Внутри типических групп применялся метод механического
отбора. Результаты выборки представлены в таблице:
Таблица 7.8
Тип станка
Выработка одного станка, шт.
Процент брака
по данным выборки
1
2
3
4
5
1500
2000
4000
5000
2500
2,0
3,0
1,5
1,0
1,8
С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится доля брака во всей партии деталей, изготовленных на всех
станках.
10.3. Для определения доли рабочих завода, не выполняющих
норму выработки, была произведена 10%-ная типическая выборка
рабочих с отбором числа рабочих пропорционально численности
типических групп. Внутри типических групп применялся метод
случайного бесповторного отбора. Результаты выборки представлены в таблице:
160
Таблица 7.9
Цех
Число рабочих
в выборке
Основной
Вспомогательный
120
80
Доля рабочих,
не выполняющих норму
выработки, %
5
2
С вероятностью 0,683 определите пределы, в которых находится доля рабочих завода, не выполняющих норму выработки.
10.4. С целью определения доли расходов на питание населением города А методом типической выборки был произведен 5%ный отбор семей. Внутри типов производилась механическая выборка. Результаты выборки представлены в таблице:
Таблица 7.10
Одинокие
Семейные
Численность выборки
30
70
Доля расходов на питание, %
33
45
С вероятностью 0,954 определите предел, в котором находится
доля расходов на питание семей города А.
7.7. Определение необходимой численности выборки
для расчета выборочной средней районированной
и типической выборки
Методические указания и решение типовой задачи
Численность типической или районированной выборки при
случайном бесповторном или механическом отборе внутри типов
районов определяется по формуле
n=
t 2σ 2 N
.
Δ2 N + t 2 σ 2
Объем выборки из типических групп, районов при отборе,
пропорциональном численности единиц типических групп, районов, определяется по формуле
N
ni = n i .
N
161
Задача 11. В районе 10 тыс. семей. Из них 5 тыс. – семьи рабочих, 1 тыс. – семьи служащих, 4 тыс. – семьи колхозников. Для определения среднего размера семьи района проектируется типическая выборка со случайным бесповторным отбором внутри
типических групп. Какое число семей необходимо отобрать, чтобы
с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 0,5 человека,
если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия
среднего размера семьи в выборке равна 9?
Рассчитаем необходимую численность типической выборки:
t 2σ 2 N
4 ⋅ 9 ⋅ 10000
= 141 семья.
(0,5) 2 ⋅ 1000 + 4 ⋅ 9
Δ N +t σ
Необходимо отобрать 141 семью, из них:
семей рабочих
5000
n1 = 141
= 71;
10000
семей колхозников
4000
n2 = 141
= 56;
10000
семей служащих
1000
n3 = 141
= 14.
10000
n=
2
2
2
=
Задачи
11.1. В области 10 тыс. молочных коров. Из них в районе
(тыс.) А – 5, Б – 3, В – 2. с целью определения средней удойности
коров предполагается провести типическую выборку коров с пропорциональным отбором внутри типических групп. Отбор внутри
групп механический. Какое количество коров необходимо отобрать, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала
5 л, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия типической выборки равна 1600?
11.2. В механическом цехе завода 1000 рабочих. Из них 800
квалифицированных и 200 неквалифицированных. С целью изучения производительности труда предполагается провести типическую
выборку рабочих с пропорциональным отбором. Отбор внутри
групп механический. Какое число рабочих необходимо отобрать,
чтобы с вероятностью 0,907 ошибка выборки не превышала 6 единиц изделий, при среднем квадратическом отклонении 25?
162
11.3. На машиностроительном заводе 1600 станков четырех
типов. Из них I типа – 320, II типа – 480, III типа – 640 и IV типа –
160. для изучения производительности станков предполагается
провести типическую выборку станков с пропорциональным отбором. Отбор внутри типов механический. Какое количество станков
необходимо отобрать, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки
не превышала 10 единиц изделий? На основе предыдущих обследований известно, что дисперсия типической выборки равна 4900.
11.4. В городе 15 тыс. семей. Из них 10 тыс. – семьи рабочих. 4
тыс. – служащих, 1 тыс. – колхозников. Для определения среднего
размера семьи в городе предполагается провести типическую выборку семей с пропорциональным отбором внутри типических
групп. Отбор внутри типов механический. Какое количество семей
необходимо отобрать, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки
не превышала 0,5 человека, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия типической выборки равна 2,25?
7.8. Определение необходимой численности выборки
для расчета выборочной доли при районированной
и типической выборке
Методические указания и решение типовой задачи
Если отбор внутри типических групп производится методом
случайного бесповторного или механического отбора, то численность выборочной совокупности рассчитывается по формуле
t 2 w (1 − w)N
,
n= 2
Δ N + t 2 w (1 − w)
где w (1 − w) - средняя из внутригрупповых дисперсий.
Задача 12. В городе 12 тыс. жителей. Из них 7 тыс. женщин
и 5 тыс. мужчин. С целью определения доли жителей в возрасте
старше 60 лет предполагается провести типическую выборку жителей с пропорциональным отбором. Отбор внутри типов механический. Какое количество жителей необходимо отобрать, чтобы с вероятностью 0,997 ошибка выборки не превышала 5%? На основе
предыдущих обследований известно, что дисперсия типической
выборки 1600.
163
Определим необходимую численность типической выборки по
формуле
n=
9 ⋅ 1600 ⋅ 12000
= 500 чел.
25 ⋅ 12000 + 9 ⋅ 1600
Определим численность выборки первой типической группы
(женщин)
550 ⋅ 7
n1 =
= 319 чел.
12
Определим численность выборки второй типической группы
(мужчин)
550 ⋅ 5
n2 =
= 231 чел.
12
Задачи
12.1. В городе 5 тыс. семей. Из них 1 тыс. составляют одинокие и 4 тыс. – семейные. С целью определения доли семей, имеющих отдельные квартиры, предполагается провести типическую
выборку семей с пропорциональным отбором внутри типических
групп. Отбор внутри групп механический. Какое количество семей
необходимо отобрать, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки
не превышала 5%? На основе предыдущих обследований известно,
что дисперсия типической выборки равна 100.
12.2. На заводе 2000 рабочих. Из них 1500 мужчин и 500 женщин.
С целью определения доли рабочих, которые проработали на заводе
более 5 лет, предполагается провести типическую выборку рабочих с
пропорциональным отбором. Отбор внутри групп механический. Какое число рабочих необходимо отобрать, чтобы с вероятностью 0,683
ошибка выборки не превышала 3%, если на основе обследований известно, что дисперсия типической выборки равна 2100?
12.3. На заводе 4000 рабочих. Из них 3000 со стажем более 5
лет, а 1000 рабочих со стажем менее 5 лет. С целью определения
доли рабочих завода, не выполняющих норму выработки, предполагается провести типическую выборку рабочих с пропорциональным отбором. Отбор внутри типов механический. Какое количество рабочих необходимо отобрать, чтобы с вероятностью 0,954
ошибка выборки не превышала 5%? На основе предыдущих обследований известно, что дисперсия типической выборки равна 900.
12.4. В области 10 тыс. семей. Из них 6 тыс. рабочих, 3 тыс.
колхозников, 1 тыс. служащих. С целью определения доли семей,
164
имеющих более трех детей, предполагается повести типическую
выборку с пропорциональным отбором. Отбор внутри типов механический. Какое количество семей необходимо отобрать, чтобы с
вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 5%? Дисперсия
типической выборки равна 2100.
7.9. Определение ошибки выборочной средней при серийной выборке
Методические указания и решение типовой задачи
При серийной выборке генеральную совокупность делят на
одинаковые по объему группы – серии. В выборочную совокупность отбирают серии. Внутри серий производится сплошное наблюдение единиц, попавших в серию.
При бесповторном отборе серий средняя ошибка выборочной
средней определяется по формуле
δ2 ⎛
r⎞
⎜1 − ⎟ ,
r ⎝ R⎠
2
где δ - межсерийная дисперсия средних;
R – число серий в генеральной совокупности;
r - число отобранных серий.
Задача 13. В механическом цехе завода в десяти бригадах работает 100 рабочих. В целях изучения квалификации рабочих была
произведена 20%-ная серийная бесповторная выборка, в которую
вошли 2 бригады. Получено следующие распределение обследованных рабочих по разрядам:
μ=
Таблица 7.11
Рабочие
1
2
3
4
5
Разряды
рабочих в
бригаде 1
2
4
5
2
5
Разряды
рабочих в
бригаде 2
3
6
1
5
3
Рабочие
6
7
8
9
10
Разряды
рабочих в
бригаде 1
6
5
8
4
5
Разряды
рабочих в
бригаде 2
4
2
1
3
2
Необходимо определить с вероятностью 0,997 пределы, в которых находится средний разряд рабочих механического цеха.
165
Определим выборочные средние по бригадам и общую среднюю:
2 + 4 + 5 + 2 + 5 + 6 + 5 + 8 + 4 + 5 46
~
xI =
=
= 4,6;
10
10
3 + 6 +1+ 5 + 3 + 4 + 2 +1+ 3 + 2
~
x II =
= 3,0;
10
30 + 46
~
xC =
= 3,8.
20
Определим межсерийную дисперсию:
(4,6 − 3,8) 2 + (3,0 + 3,8) 2
δ2 =
= 0,64.
2
Рассчитаем среднюю ошибку выборки:
0,64 ⎛
2⎞
μ ~x =
⎜1 − ⎟ = 0,5.
2 ⎝ 10 ⎠
Вычислим предельную ошибку выборки с вероятностью 0,997.
Δ ~x = 0,5 ⋅ 3 = 1,5.
С вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний разряд
рабочих механического цеха находится в пределах 2,0 ≤ x ≤ 5,0.
Задачи
13.1. Для установления среднего срока службы деталей из совокупности, включающей 1000 шт. кассет с деталями, методом механического отбора проверено 10 шт. кассет. Результаты проверки
показали, что средний срок службы деталей в отобранных кассетах
составил (месяцев): 7; 8,2; 8,6; 7,8; 8,0; 5,8; 8,8; 7.2; 6,1; 6,0. Средний срок службы деталей в выборке – 7,6 месяца. С вероятностью
0,997 определите пределы, в которых находится средний срок
службы деталей во всей совокупности.
13.2. Выпускаемая продукция упаковывается в ящики по 100
шт. Из 100 ящиков, поступивших на склад готовой продукции, в
порядке случайной бесповторной выборки было отобрано 5, все
детали которых проверены на вес. Результаты поверки показали,
что средний вес деталей в ящиках составил (г): 50, 54, 46, 44, 52. С
вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится
средний вес деталей, поступивших на склад готовой продукции.
13.3. Изготовленная продукция упаковывается в ящики по 50
шт. Из 500 ящиков, поступивших на склад, в порядке случайной
бесповторной выборки обследовано 10 ящиков, все детали которых
166
проверены на вес. Результаты проверки показали, что средний вес
деталей в ящиках составил (г): 30, 34, 28, 36, 40, 26, 38, 34, 44, 50.
Средний вес деталей в выборке равен 32 г. С вероятностью 0,997
определите пределы, в которых находится средний вес деталей,
поступивших на склад готовой продукции.
13.4. Из совокупности, разбитой на 100 равных по величине
серий, методом механического отбора отобрано 10 серий. Межсерийная дисперсия равна 20, а средняя величина признака в выборке
– 140. с вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится генеральная средняя.
7.10. Определение ошибки выборочной доли
при серийной выборке
Методические указания и решение типовой задачи
При бесповторном серийном отборе средняя ошибка выборки
для доли определяется по формуле
δ2 ⎛
r⎞
⎜1 − ⎟ ,
r ⎝ R⎠
2
где δ - межсерийная дисперсия доли.
Задача 14. 200 ящиков деталей упакованы по 40 шт. в каждом.
Для проверки качества деталей был проведен сплошной контроль
деталей в 20 ящиках (выборка бесповторная). В результате контроля
установлено, что доля бракованных деталей составляет 15%. Межсерийная дисперсия равна 49. с вероятностью 0,997 определим пределы, в которых находится бракованной продукции в партии ящиков.
Определим среднюю ошибку выборки для доли:
μw =
20 ⎞
49 ⎛
⎟ = 1,48%.
⎜1 −
20 ⎝ 200 ⎠
Предельная ошибка выборки для доли с вероятностью 0,997
равна: Δ w = 1,48 ⋅ 3 = 4,44%.
С вероятностью 0.997 можно утверждать, что доля бракованных деталей в партии будет находиться в пределах от 10,59
до 19,41%.
μw =
167
Задачи
14.1. Из партии семян, разбитой на 40 равных по величине серий, методом случайного бесповторного отбора было проверено
8 серий на всхожесть. В результате обследования установлено, что
доля взошедших семян составляет 75%. Межсерийная дисперсия
равна 900. с вероятностью 0,683 определите пределы, в которых
находится доля всхожести семян во всей партии.
14.2. В механическом цехе завода имеется 30 бригад по 20 человек в каждой. Для определения доли рабочих цеха, не выполняющих нору выработки, методом случайного бесповторного отбора обследовано 10 бригад. В результате обследования
установлено, что 10% рабочих не выполняют норму выработки.
Дисперсия серийной выборки равна 160. с вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится доля рабочих, не выполняющих норму выработки в генеральной совокупности.
14.3. С чулочной фабрики на базу поступило 2 тыс. коробок
чулок, упакованных по 20 пар в каждой коробке. Для проверки качества чулок методом механического отбора проверено 50 коробок.
В результате проверки установлено, что 80% чулок первого сорта.
Дисперсия серийной выборки равна 16. с вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится доля чулок первого сорта в
генеральной совокупности.
14.4. Из механического цеха завода на склад готовой продукции поступило 500 ящиков деталей по 50 шт. в каждом. Для установления доли бракованных деталей методом механического отбора было проверено 10 ящиков. Результаты проверки показали, что
доля бракованных деталей составляет 10%. Дисперсия серийной
выборки равна 25. с вероятностью 0,954 определите долю бракованных деталей по всей партии деталей, поступивших на склад готовой продукции.
7.11. Определение необходимой численности выборки
для расчета выборочной средней при серийной выборке
Методические указания и решение типовой задачи
Численность выборки при серийном бесповторном отборе определяется по формуле
168
t 2δ 2 R
.
RΔ2 + t 2δ
Задача 15. В механическом цехе завода А имеется 10 бригад
по 20 рабочих в каждой бригаде. Для установления квалификации
рабочих цеха проектируется серийная выборка методом механического отбора. Какое количество бригад необходимо отобрать чтобы
с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 1,0, если на
основе предыдущих обследований известно, что дисперсия выборки равна 0,9?
Численность выборочной совокупности равна:
4 ⋅ 9 ⋅ 10
r=
≈ 3 бригады.
1 ⋅ 10 + 4 ⋅ 0,9
r=
Задачи
15.1. Совокупность разбита на 100 серий. Межсерийная дисперсия равна 20. сколько серий надо отобрать бесповторным методом, чтобы с вероятностью 0,997 ошибка выборочной средней не
превысила 4?
15.2. На склад завода поступило 100 ящиков готовых изделий
по 80 шт. в каждом. Для установления среднего веса деталей необходимо провести серийную выборку деталей методом механического отбора так, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не
превышала 2 г. На основе предыдущих обследований известно, что
дисперсия серийной выборки равна 4.
15.3. Из партии готовых изделий 1000 ящиков для определения
среднего срока службы изделий необходимо провести серийную выборку методом механического отбора так, чтобы с вероятностью 0,997
ошибка выборки не превышала 1 месяц. На основе предыдущих обследований известно, что дисперсия серийной выборки равна 12.
15.4. Изготовленная продукция упакована в 400 ящиков по 100
шт. в каждом. Для установления среднего веса детали необходимо
провести серийную выборку деталей медом механического отбора
так, чтобы с вероятностью 0,997 ошибка выборки не превышала 2
г. На основе предыдущих обследований известно, что дисперсия
серийной выборки равна 25.
169
ГЛАВА 8. РЯДЫ ДИНАМИКИ
Практические занятия по данной теме предусматривают решение следующих типов задач и упражнений: 1) установление вида ряд динамики
(1.1 – 1.4); 2) приведение рядов динамики к сопоставимому виду (2.1 –
3.4); 3)определение среднего уровня ряда динамики (4.1 – 5.4); 4) определение показателей изменения уровней ряда динамики, определение среднего абсолютного прироста (6.1- 7.4); 5) определение в рядах динамики
среднего темпа роста и прироста (8.1 – 14.4); 6) приведение рядов динамики к общему основанию (15.1 – 16.4); 7) определение в рядах динамики
общей тенденции развития (17.1 – 19.4); 8) определение в рядах внутригодовой динамики индексов сезонности (20.1 – 23.4).
8.1. Установление вида ряда динамики
Методические указания и решение типовых задач
В зависимости от качественной особенности изучаемого явления, а также вида исходных данных ряда динамики подразделяются
на ряды абсолютных, относительных и средних величин. При этом
первоначальными являются ряды динамики абсолютных величин,
которые могут быть моментными или интервальными рядами динамики.
Отнесение ряда динамики к тому или иному виду имеет важное значение для их изучения. Выбор соответствующих приемов и
способов анализа зависит от задач исследования и определяется
характером исходных данных. Поэтому, приступая к анализу рядов
динамики, важно правильно их классифицировать.
Задача 1. Численность населения Камчатской области характеризуется следующими данными (по данным Камчатского статистического ежегодного сборника, на начало 2003 года, тыс.чел.).
1999 2000 2001 2002 2003
396,1 389,1 384,2 380,2 376,9
Приведенный ряд динамики – моментный, уровни этого ряда
даны по состоянию на определенную дату (момент времени).
Задача 2. Объем производства пищевой рыбной продукции
(без рыбных консервов) по Камчатской области характеризуется
следующими данными (по данным Камчатского статистического
ежегодного сборника 2003 г., тыс. тонн).
170
1998 1999 2000 2001 2002
335,7 309,5 483,3 480,8 438,2
Это интервальный ряд динамики. Его уровни характеризуют
суммарный итог выпуска рыбной пищевой продукции за четко определенные отрезки времени (за каждый год с 1 января по 31 декабря). Поэтому данные интервальных рядов динамики не содержат повторного счета и могут быть суммированы.
Задача 3, Имеются следующие данные, характеризующие
урожайность сельскохозяйственных культур области (в хозяйствах
всех категорий; ц с 1 га):
Таблица 8.1
Зерновые культуры
Картофель
2000
9,5
103
2002
15,6
120
2003
18,5
122
Это ряды динамики средних величин, которые характеризуют
среднюю урожайность, приходящуюся на единицу земельной площади. Подобно интервальным рядам, они характеризуют периоды
времени, но суммирование их уровней самостоятельного значения
не имеет.
8.2. Приведение рядов динамики к сопоставимому виду
Методические указания и решение типовых задач
Ряды динамики получают в результате сводки и обработки материалов периодического статистического наблюдения. Повторяющиеся во времени (по отчетным периодам) значения одноименных
показателей
в
ходе
статистической
сводки
систематизируются в хронологической последовательности. Поскольку ряды динамики охватывают отдельные обособленные периоды времени, в течение которых могут происходить изменения,
вызывающие несопоставимость уровней ряда. Это делает ряды динамики непригодными для анализа. Поэтому важнейшим требованием подготовки ряда динамики для анализа является установление в соответствии с задачами исследования причин, которые
171
вызывают несопоставимость статистических данных, и и последующая обработка исходных материалов для достижения сопоставимости ряда динамики.
Приведем наиболее характерные для ряда динамики случаи
несопоставимости, а также приемы обработки уровней ряда динамики для приведения их к сопоставимому виду. Несопоставимость
уровней ряда динамики может возникнуть в связи с территориальными изменениями.
Задача 4. Имеются следующие данные о валовом сборе овощей в колхозах и совхозах района, тыс. ц.:
в границах
старых
новых
1998
416,0
-
1999
432
-
2000
450
630
2001
622,5
2002
648,1
2003
684,4
Для приведения ряда динамики к сопоставимому виду определим для 2000 г. коэффициент соотношении уровней двух рядов:
630 : 450 = 1,4.
Умножая на этот коэффициент уровни 1-го ряда, получаем их
сопоставимость с уровнями 2-го ряда, тыс. ц:
1998 г. – 416,0 · 1,4 = 582,4;
1999 г. – 432,0 · 1,4 = 604,8.
Получен сопоставимый ряд динамики валового сбора овощей в
колхозах и совхозах района (в новых границах), тыс. ц:
1998 1999 2000 2001 2002 2003
582,4 604,8 630
622,5 648,1 684,4
Несопоставимыми ряды динамики являются и в том случае,
если они составлены из разновеликих по продолжительности периодов времени. Это прежде всего относится к рядам внутригодовой динамики с месячными и квартальными уровнями.
Задача 5. Имеются следующие данные о розничной реализации хлебобулочных изделий в торговой сети города по кварталам
2003 г., т:
I
II
III
IV
2340
1820
1380
2024
Для приведения этого ряда динамики к сопоставимому виду определим размер среднедневной реализации с учетом числа дней торговли по кварталам, т:
172
I
2340 : 90 = 26;
II
1820 : 91 = 20;
III
1380 : 92 = 15;
IV
2024 : 92 = 22.
Получен ряд динамики сопоставимых уровней розничной реализации хлебобулочных изделий в торговой сети города по кварталам 2003 г. (среднедневная реализация), т:
I
II
III
IV
26,0
20,0
15,0
22,0
Задачи
2.1. Имеются следующие данные о производстве молока в колхозах и совхозах района области, тыс. т:
в границах
старых
новых
1998
6,5
-
1999
7,9
-
2000
8,6
12,9
2001
12,1
2002
13,2
2003
13,8
Укажите причины несопоставимости уровней ряда динамики
для сравнительного анализа. Приведите уровни ряда динамики к
сопоставимому виду. Установите вид ряда динамики и изобразите
производство молока в колхозах совхозах района в виде линейной
диаграммы.
2.2. Валовой сбор зерновых культур в колхозах совхозах района области характеризуется следующими данными, тыс. ц:
в границах
старых
новых
1998
2,2
-
1999
2,5
-
2000
2,9
4,1
2001
3,2
2002
5,3
2003
4,5
Укажите причины несопоставимости уровней ряда динамики
для сравнительного анализа. Приведите уровни ряда динамики к
сопоставимому виду. Установите вид ряда динамики и изобразите
валовой сбор зерновых культур в совхозах и колхозах района в виде линейной диаграммы.
2.3. Производство мяса (в весе живого скота) в районе области
характеризуется следующими данными, тыс. т:
в границах
старых
новых
1998
1,9
-
1999
2,1
-
2000
2,4
3,3
173
2001
3,4
2002
2,8
2003
3,8
Укажите причины несопоставимости уровней ряда динамики
для сравнительного анализа. Приведите уровни ряда динамики к
сопоставимому виду. Определите вид ряда динамики и изобразите
рост производства мяса в виде линейной диаграммы.
2.4. Имеются следующие данные о розничном товарообороте
торга города, млн. руб.:
без мелкого опта
с мелким оптом
1998
360
-
1999
380
-
2000
410
460
2001
490
2002
520
2003
570
Установите причины несопоставимости уровней ряда динамики для сравнительного анализа. Приведите уровни ряда динамики к
сопоставимому виду. Определите вид ряда динамики и изобразите
динамику розничного товарооборота в виде линейного графика.
3.1. Получены следующие данные о распределении родившихся детей по кварталам 2003 г., чел.:
I
II
III
IV
1152
1097
1028
952
Установите причины несопоставимости уровней ряда динамики для сравнительного анализа. Приведите уровни ряда динамики к
сопоставимому виду. Определите вид полученного ряда динамики
и нанесите его уровни на линейный график.
3.2. Имеются следующие данные о реализации овощей в продовольственных магазинах города по кварталам 2003 г., т:
I
II
III
IV
1800 1710
2460 2020
Установите причины несопоставимости уровней ряда динамики для сравнительного анализа. Приведите уровни ряда динамики к
сопоставимому виду. Установите вид полученного ряда динамики
и нанесите его уровни на линейный график.
8.3. Определение среднего уровня ряда динамики
Методические указания и решение типовых задач
При изучении ряда динамики возникает необходимость получения обобщающей величины его абсолютных уровней. Для этого
определяют средний уровень ряда динамики за те или иные перио174
ды времени. Такая обобщающая величина в рядах динамики называется средней хронологической. Методы её расчета зависят от вида
ряда динамики и способов получения статистических данных.
В интервальном ряду динамики расчет среднего уровня ряда
производится по методу средней арифметической простой (невзвешенной):
у у1 + у 2 + ... + у п
у=
=
п
п
где у – абсолютные уровни ряда;
п – число уровней.
Задача 7. Имеются следующие данные о валовом сборе овощей в хозяйствах области, млн. ц:
∑
1999
7,6
2000
9,1
2001
7,8
2002
8,4
2003
9,6
Необходимо определить средний уровень валового сбора овощей за годы десятой пятилетки.
Определим средний уровень данного интервального ряда:
у 7,6 + 9,1 + 7,8 + 8,4 + 9,6 42,5
у=
=
=
= 8,5 млн.чел.
п
5
5
В моментном ряду динамики с равноотстоящими датами определение среднего уровня ряда производится по формуле средней
хронологической моментного ряда динамики:
1
1
у1 + у 2 + ... у п −1 + у п
2 .
у= 2
п −1
Задача 8. По следующим данным о товарных запасах в розничной сети торгующих организаций города определить величину
среднеквартального запаса за 1979 г., млн. руб.:
1/I
1999 г. – 64,1;
1/IV
2000 г. – 57,8;
1/VII
2001 г. – 60,0;
1/X
2002 г. – 63,2;
1/I
2003 г. – 72,3.
Определим средний уровень данного моментного ряда динамики:
∑
175
1
1
у1 + у 2 + у3 + у 4 + у5
2 =
у= 2
5 −1
64,2
72,3
+ 57,8 + 60,0 + 63,2 +
2
2 = 249,2 = 62,3 млн. руб.
=
5 −1
4
В практике экономической работы часто приходится определять средние уровни ряда моментных величин с неравноотстоящими датами времени. Например, списочная численность работников
предприятия за январь (чел.): на 1/I – 842, на 5/I – 838, на 12/I – 843,
на 26/ I – 845.
Расчет среднего уровня в таких рядах динамики производится
по методу средней арифметической взвешенной:
yt
,
у=
t
∑
∑
где у – уровни, сохраняющиеся без изменения в течение промежутков (интервалов) времени t.
Задача 9. За январь 2003 г. произошли следующие изменения в
списочном составе работников предприятий, чел.:
состояло по списку на 1/I 2003 г.
выбыло с 5/I
зачислено с 12/I
зачислено с 26/ I
842
4
5
2
Необходимо определить среднедневную списочную численность работников предприятия за январь.
Для расчета средней численности работников определим
продолжительность t каждого календарного периода с постоянной
численностью работающих и общее число человеко-дней.
Таблица 8.2
Календарные периоды
января
1-4
5-11
12-25
26-31
Итого
Число
работников у
842
838
843
845
-
176
Длина периода, дней t
4
7
14
6
31
Число человекодней tу
3 368
5 866
11 802
5 070
26 106
Отсюда среднедневная списочная численность работников в
январе:
ty 26106
=
= 842 чел.
у=
31
t
∑
∑
Задачи
4.1. За 2003 г. списочная численность рабочих на строительстве объекта составляла на начало месяца, чел.:
1/I
1/II
1/III
1/IV
1/V
1/VI
400
420
405
436
450
472
1/VII
1/VIII
1/IX
1/X
1/XI
1/XII
1/I (2004 г.)
496
450
412
318
231
235
210
Определите: 1) вид ряда динамки; 2) среднемесячные уровни
ряда в первом и втором полугодиях; 3) изменение списочной численности рабочих на строительстве данного объекта во втором полугодии по сравнению с первым.
4.2. Имеются следующие данные об остатках строительных
материалов в первом полугодии 2003 г. по месяцам года, тыс. руб.:
остатки на начало периода
I
820
II
726
III
618
IV
516
V
413
VI
411
VII
390
Определите: 1) вид ряда динамки; 2) среднемесячные остатки
строительных материалов за I и II кварталы года; 3) изменение остатка строительных материалов во II квартале по сравнению с I.
4.3. Остатки вкладов населения в сберегательных кассах города в
2003 г. характеризуется следующими данными на дату, тыс. руб.:
1/I
300,2
1/II
312,4
1/III
323,3
1/IV
314,8
1/V
316,5
1/VI
319,3
1/VII
324,6
Определите: 1) вид ряда динамки; 2) среднемесячные уровни
остатка вкладов населения на I и II кварталы; 3) изменение остатка
вкладов населения во II квартале по сравнению с I.
4.4. Получены следующие данные о товарных запасах торговой организации по товарным группам в 2003 г. на дату (в сопоставимых ценах; тыс. руб.):
177
Товары
продовольственные
непродовольственные
1/ I
106
610
1/ IV
135
650
1/ VII
156
520
1/Х
190
670
1/ I(2004 г)
220
540
Определите: 1) вид ряда динамки; 2) среднеквартальные запасы по продовольственным и непродовольственным товарам и по
обеим группам в целом; 3) относительные величины структуры товарных запасов: а) на начало года, б) на конец года.
5.1. Имеются следующие данные о движении материала А на
вкладе базы за январь-февраль 2003 г., т:
Остаток на 1/ I
5/I поступило от поставщиков
8/ I отгружено потребителям
15/ I поступило от поставщиков
6/ II отгружено потребителям
10/ II поступило от поставщиков
12/ II отгружено потребителям
20/ II отгружено потребителям
50,0
120,0
90,0
80,0
70,0
60,0
50,0
30,0
5.2. Движение денежных средств на счете вкладчика в сберегательной кассе за 2003 г. характеризуется следующими данными, руб.:
остаток на 1/ I
16/ III выдано
1/ IV списано по перечислению
20/ VII внесено
1/Х поступило по переводу
1/ХII выдано
650
100
140
200
350
150
Определите: 1) средний остаток вклада: а) за первое полугодие,
б) за второе полугодие; 2) абсолютный прирост изменения среднего
остатка вклада во втором полугодии по сравнению с первым.
5.3. Имеются следующие данные об изменениях в списочном
составе работников фабрики за I и II кварталы 2003 г., чел.:
состояло по списку на 1/ I
зачислено с 12/ I
выбыло с 26/ I
зачислено с 23/ III
зачислено с 1/ IV
выбыло с 1/ IV
634
10
12
6
18
8
178
Определите: 1) среднесписочную численность работников
фабрики: а) за I квартал, б) за II квартал; 2) абсолютный прирост
численности работников фабрики во II квартале по сравнению с I.
5.4. За январь и февраль 2003 . произошли следующие изменения в списочном составе работников цеха завода, чел.:
состояло по списку на 1/ I 1980 г.
выбыло с 5/ I
выбыло с 12/ I
выбыло с 26/ I
зачислено с 9/ II
выбыло с 16/ II
зачислено с 25/ II
126
3
4
5
8
3
6
Определите: 1) среднесписочную численность работников цеха
завода: а) за январь, б) за февраль; 2) абсолютный прирост численности работников цеха завода в феврале по сравнению с январем.
8.4. Определение показателей изменения уровней ряда
динамики, определение среднего абсолютного прироста
Методические указания и решение типовой задачи
Одним из важнейших направлений анализа рядов динамики
является изучение особенностей развития явления за отдельные
периоды времени.
В статистике для выявления специфики развития изучаемых
явлений за отдельные периоды времени определяют относительные
и абсолютные показатели изменения ряда динамики: темпы роста,
абсолютные и относительные приросты, абсолютное значение
одного процента прироста.
Задача 10. Выпуск продукции предприятием за 1998–2003 гг.
характеризуется следующими данными (в сопоставимых ценах;
млн. руб.):
1998
1999
2000
2001
2002
2003
12,3
13,4
14,8
16,4
17,8
19,9
Требуется произвести анализ динамики выпуска продукции
предприятием за годы десятой пятилетки.
Важнейшим показателем изменения абсолютных уровней ряда
динамики по отдельным периодам времени является темп роста
179
К. Величина этого показателя определяется из сопоставления уровня изучаемого периода yi с уровнем, который принимается за базу
сравнения. Выражаются темпы роста в процентах или в виде коэффициентов. Выбор базы для расчета в ряду динамики темпов роста
определяется задачей исследования.
Если задачей изучения ряда динамики является, например,
контроль хода выполнения данным производством пятилетнего
плана, то сравнение уровней ряда динамки производится по отношении к году, который принимался за базу при разработке пятилетнего плана. В данном примере – это 1998 г., и расчет темпов
роста будет производится на постоянной базе сравнения, т.е. по
схеме базисных темпов роста:
у
Кб = i .
y0
Определим базисные темпы роста:
13,4
1999
= 1,089;
12,3
14,8
2000
= 1,203;
12,3
16,4
2001
= 1,333;
12,3
17,8
2002
= 1,447;
12,3
19,9
2003
= 1,618.
12,3
Из полученных базисных темпов роста следует, что по годам
пятилетки происходило систематическое возрастание темпов роста
выпуска продукции, %:
108,9 < 120,3 < 133,3 < 144,7 < 161,8.
Если же при изучении данного ряда динамики ставится задача
определить изменения выпуска продукции в каждом последующем
периоде по сравнению с предыдущим (например, для контроля выполнения годовых планов), то определяются цепные (погодовые)
темпы роста Кц, когда за базу сравнения отдельных уровней ряда yi
каждый раз принимается предыдущий уровень yi-1 :
180
уi
.
yi −1
Определим цепные темпы роста:
13,4
1999
= 1,089;
12,3
14,8
2000
= 1,104;
13,4
16,4
2001
= 1,108;
14,8
17,8
2002
= 1,085;
16,4
19,9
2003
= 1,118.
17,8
Из полученных цепных темпов роста видно, что в 1999, 2000 и
2001 гг. происходил рост выпуска продукции из года в год, %:
108,9 < 110,4 < 110,8.
В 2002 г. имело место некоторое замедление роста выпуска
продукции, %:
110,8 > 108,5 < 111,8.
Это специфика развития данного явления в 2002 г. из определенных выше показателей базисных темпов роста не была видна.
Для выражения изменений уровней ряда динамики в абсолютных величинах исчисляют статистический показатель абсолютного
прироста ∆у. Величина этого показателя определяется как разность
между уровнем изучаемого периода yi и уровнем, принимаемым за
базу сравнения. При определении накопленных (базисных) абсолютных приростов ∆уб за базу сравнения принимается постоянный
уровень. В рассматриваемом примере – это уровень 1998 г., и расчет накопленного (базисного) абсолютного прироста (млн. руб.)
производится по формуле
∆уб = yi – уо.
1999
13,4-12,3=1,1;
2000
14,8-12,3=2,5;
2001
16,4-12,3=4,1;
2002
17,8-12,3=5,5;
2003
19,9-12,3=7,6.
Кц =
181
Из полученных значений накопленных абсолютных приростов
видно, что по годам пятилетки происходило систематическое возрастание абсолютных приростов выпуска продукции, млн. руб.:
1,1 < 2,5 < 4,1 < 5,5 < 7.6.
При определении цепных абсолютных приростов ∆уц базой
сравнения каждый раз выступает уровень предыдущего периода уi -1,
и расчет абсолютных приростов (млн. руб) производится по формуле
∆уц = уi - уi -1.
Следовательно,
1999
13,4 – 12,3 = 1,1;
2000
14,8 – 13,4 = 1,4;
2001
16,4 – 14,8 = 1,6;
2002
17,8 – 16,4 = 1,4;
2003
19,9 – 17,8 = 2,1.
Из полученных погодовых (цепных) абсолютных приростов
видно сокращение абсолютного прироста выпуска продукции на
данном предприятии в 2002 г., млн. руб.:
1,1 < 1,4 < 1,6 > 1,4 < 2,1.
Для выражения изменения величины абсолютного прироста
уровней ряда динамики в относительных величинах определяется
статистический показатель – темп прироста ∆К. Величина темпа
прироста ∆К определяется из сравнения в отношении абсолютного
прироста ∆у с уровнем, принимаемым при анализе за базу сравнения. При исчислении базисных темпов прироста ∆Кб в качестве базы сравнения берется постоянный уровень у0. В рассматриваемом
ряду динамики – это уровень 1998 г., и расчет базисных темпов
прироста производится по формуле.
Δу
ΔК б = б .
у0
Определим базисные темпы прироста, %:
1,1
1999
100 = 8,9;
12,3
2,5
2000
100 = 20,3;
12,3
4,1
2001
100 = 33,3;
12,3
182
5,5
100 = 44,7;
12,3
7 ,6
2003
100 = 61,8.
12,3
Базисные темпы прироста, подобно базисным темпам роста,
показывают систематическое возрастание по годам пятилетки выпуска продукции данным предприятием. Но в отличие от темпов
роста, показывающих, во сколько раз (или процентов) происходит
рост выпуска продукции, базисные темпы прироста показывают,
насколько произошло приращение (в относительных величинах)
абсолютных уровней ряда динамики.
При определении цепных темпов прироста ∆Кц в качестве базы
сравнения выступает уровень предшествующего периода уi-1, и
расчет осуществляется по формуле
Δу
ΔК ц = ц .
уi −1
Определяем эти показатели, %:
1,1
1999
100 = 8,9;
12,3
1,4
2000
100 = 10,4;
13,4
1,6
2001
100 = 10,8;
14,8
1,4
2002
100 = 8,5;
16,4
2,1
2003
100 = 11,8.
17,8
Если же при определении темпов прироста ∆К предварительно
были исчислены темпы роста К, то расчет темпов прироста производят так: ∆К=К-1, или ∆К=К-100% (если темп роста выражен в
процентах).
Например, для 2003 г.
∆Кц = Кц (2003 г.) -1=1, 118 – 1 =0, 118,
или
Кц (2003 г.) -100 = 111,8% - 100% = 11,8%,
∆Кб = Кб (2003 г.) – 1 = 1,618 – 1 = 0,618,
2002
183
Кб (2003 г.) – 100 = 161,8% - 100% = 61,8%.
Показатель абсолютного значения одного процента прироста
(А%) определяется путем отношения (в каждом периоде) абсолютного прироста ∆уц к темпу прироста ∆Кц. Расчет этого показателя
имеет экономический смысл только по цепной основе:
Δуц
А% =
.
ΔК ц %
или
Определяем эти показатели, тыс. руб.:
1,1
1999
= 123;
8,9
1,4
2000
= 134;
10,4
1,6
2001
= 148;
10,8
1,4
2002
= 164;
8,5
2,1
2003
= 178.
11,8
При анализе погодовых уровней ряда динамики расчет абсолютного значения одного процента прироста можно произвести по схеме:
А% = 0,01у-1.
Например, для 2002 г. А% = 0,01 у (2001 г.) = 0,01×16,4 = 0,164
млн. руб.; для 2003 г. А% = 0,01 у (2002 г.) = 0,01×17,8 = 0,178 млн. руб.
Для суждения о среднем изменении абсолютных приростов
исчисляется показатель среднего абсолютного прироста Δу . Способы расчета среднего абсолютного прироста зависят от характера
исходных данных.
Обычно определение среднего абсолютного прироста производят по цепным абсолютным приростам ∆уц по формуле
Δуц
.
Δу =
п
Так, для данного примера этот расчет будет следующим:
1,1 + 1,4 + 1,6 + 1,4 + 2,1 7,6
=
= 1,52 млн. руб.
Δу =
5
5
∑
184
Средний абсолютный прирост можно исчислить и непосредственно по абсолютным уровням ряда динамики у по формуле
у − у0
Δу = п
,
m −1
где m – число учетных единиц времени в ряду динамики.
Для данного примера имеет:
19,9 − 12,3 7,6
Δу =
=
= 1,52 млн. руб.
6 −1
5
И наконец, в тех случаях, когда в качестве исходных материалов даны накопленные (базисные) абсолютные приросты ∆уб, то
расчет среднего абсолютного прироста производится по формуле
Δу б
Δу =
.
т −1
Для рассматриваемой задачи накопленный (базисный) абсолютный прирост равен 7,6 млн. руб. По этому значению расчет
среднегодового прироста составляет:
7 ,6
Δу =
= 1,52 млн. руб.
6 −1
Задачи
6.1. Получены следующие данные о производстве продукции
промышленным предприятием за 1998 – 2003 гг. (в сопоставимых
ценах; млн. руб.):
1998 1999 2000 2001 2002 2003
23,3 24,9 26,6 27,6 29,0 32,3
Для анализа ряда динамки: определите: 1) показатели, характеризующие рост производства продукции (по годам и по отношению к базисному 1998 г.): а) темпы роста, б) абсолютные приросты,
в) темпы прироста; 2) определите абсолютно значение одного процента прироста (для каждого года); 3) представьте полученные
данные в табличной форм; 4) определите средний абсолютный
прирост за пятилетие в целом.
6.2. Имеются следующие данные по заводу о выпуске продукции за 1998 – 2003 гг. (в сопоставимых ценах; млн. руб.):
1998 1999 200
2001 2002 2003
46,8 50,9 55,3 58,7 62,4 66,2
Для анализа ряда динамик: 1) определите показатели, характеризующие рост выпуска продукции (по годам и по отношению
185
к базисному 1998 г.): а) темпы роста, б) абсолютные приросты,
в) темпы прироста; 2) определите для каждого года абсолютное
значение одного процента прироста; 3) представьте полученные
данные в табличной форме; 4) определите за пятилетие в целом
средний абсолютный прирост.
6.3. Имеются следующие данные о производстве продукции
предприятиями объединения за 1998 – 2003 гг. (в сопоставимых
ценах; млн. руб.):
1998 1999 2000 2001 2002 2003
50,9 55,3 58,7 62,4 66,2 70,3
Для анализа ряда динамик: 1) определите показатели, характеризующие рост производства продукции по годам (по годам и к
базисному 1998 г.): а) темпы роста, б) абсолютные приросты, в)
темпы прироста; 2) определите для каждого года абсолютное значение одного процента прироста; 3) представьте полученные данные в табличной форме; 4) определите за пятилетие в целом средний абсолютный прирост.
6.4. Имеются следующие данные о производстве продукции
предприятиями объединения за 1998 – 2003 гг. (в сопоставимых
ценах; млн. руб.):
1998 1999 2000 2001 2002 2003
65,3 70,8
76,3 80,0
85,0 91,0
Для анализа ряда динамики: 1) определите показатели, характеризующие рост выпуска продукции по годам и к базисному 1998
г.: а) темпы роста, б) абсолютные приросты, в) темпы прироста; 2)
определите для каждого года абсолютные значения одного процента прироста; 3) представьте исчисленные показатели в табличной
форме; 4) определите за пятилетие в целом средний абсолютный
прирост.
7.1. Жилищный фонд городов и поселков городского типа области характеризуется следующими данными (общая площадь на
конец года; млн. м2):
1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
31,7 33,.8 36,1 38,2 40,3 42,3 45,5 49,4
На основе приведенных данных: 1) установите начальный, конечный и базисный уровни ряда динамики для определения за годы
десятой пятилетки: а) среднего уровня ряда, б) цепных и базисных
темпов роста; в) среднегодового абсолютного прироста; 2) исчислите указные в п. 1 показатели анализа ряда динамики.
186
7.2. Вклады населения, хранящиеся в сберегательных кассах
Камчатской области, характеризуются следующими данными (остатки вкладов на 1 января; млн. руб.):
2000
2001
2002
570,6
1000,2
1180
На основе приведенных данных: 1) установите начальный, конечный и базисный уровни ряда динамики для определения за годы
десятой пятилетки: а) среднего уровня ряда, б) цепных и базисных
темпов роста; в) среднего абсолютного прироста; 2) исчислите
указные в п. 1 показатели анализа ряда динамики.
7.3. Имеются следующие данные о выпуске пищевой рыбной
продукции, тыс. тонн.
1998 1999 2000 2001 2002
335,7 309,5 483,3 480,8 438,2
На основе приведенных данных: 1) установите начальный, конечный и базисный уровни ряда динамики: а) среднего уровня ряда, б) цепных и базисных темпов роста; в) среднегодового абсолютного прироста; 2) исчислите указные в п. 1 показатели анализа
ряда динамики.
7.4. Имеются следующие данные о перевозках грузов автомобильным транспортом Камчатской области, тыс. тонн.
1998
1999 2000 2001 2002
5500
7027 6583 4916 4979
На основе приведенных данных: 1) установите начальный, конечный и базисный уровни ряда динамики для определения за годы
десятой пятилетки: а) среднего уровня ряда, б) цепных и базисных
темпов роста; в) среднегодового абсолютного прироста;
2) исчислите указные в п. 1 показатели анализа ряда динамики.
8.5. Определите в рядах динамк среднего темпа роста
и прироста
Методические указания и решение типовых задач
При изучении рядов динамики возникает необходимость определения среднего темпа роста явления за отдельные периоды его
развития. Для рядов динамик годовых уровней чаще всего производят расчет среднегодовых темпов роста за отдельные этапы эко187
номического развития страны (например, пятилетки). В рядах
внутригодовой динамики исчисляют среднемесячные и среднеквартальные темпы роста. Для определения среднего темпа роста
обычно используют метод средней арифметической. Применительно к рядам динамики формула средней геометрической в общем виде записывается так:
К = п ПК ,
где ПК – произведение цепных темпов роста (в коэффициентах);
п – число К.
В зависимости от характера исходных данных формула средней геометрической видоизменяется.
Рассмотрим основные случаи определения средних темпов динамики:
1. Исчисление среднего темпа по цепным тепам роста.
Если в качестве исходных данных выступают цепные темпы
роста, то для расчета среднего темпа динамки используется формула
К = п К1 ⋅ К 2 ...К п ,
где К – цепные темпы роста (в коэффициентах);
п – число темпов.
Задача 11. Выпуск продукции предприятием характеризуется
следующими данными по кварталам 2003 г. в коэффициентах к
предыдущему кварталу:
I
II
III
IV
1,1095 1,240 1,2258 1,1974
Подставив в формулу К = 4 К1 ⋅ К 2 ⋅ К 3 ⋅ К 4 приведенные выше
данные, получаем:
К = 4 1,1095 ⋅ 1,24 ⋅ 1,2258 ⋅ 1,1974 = 2,167.
2. Расчет среднего темпа динамики по базисным темпам роста
или прироста.
Если в качестве исходных данных выступают базисные темпы
роста или прироста, то на основе зависимости между цепными и
базисными коэффициентами динамики расчет среднего темпа производят по формуле
К = т −1 К б ,
где Кб – базисный темп роста (в коэффициентах);
m – число учетных единиц времени в изучаемом периоде.
188
Задача 12. Планом экономического и социального развития
производственного объединения на 1999 – 2003 гг. предусматривается увеличение производства товарной продукции (в сопоставимых ценах) в 1,3 раза, в том числе товаров народного потребления
– на 22%. Требуется определить, какие должны быть у объединения среднегодовые темпы роста производства товарной продукции
в одиннадцатой пятилетке.
Заданный коэффициент (1,3) представляет темп развития производства товарной продукции в 2003 г. по сравнению с базой –
1999 годом, т.е. базисный темп роста:
2003г.
К
= 1,3 = К б .
1999 г.
Поэтому для определения среднегодового темпа применяется
формула
К = т −1 К б .
При m=6 (число годовых периодов в изучаемом отрезке времени):
К = 6 −1 1,3 ≈ 1,053, или 105,3%.
Задание по росту выпуска товаров народного потребления выражено темпов прироста. Для определения среднегодового темпа
динамки заданный темп прироста (∆Кб = 22%) необходимо из процентной формы выражения перевести в коэффициент (∆Кб = 0,22)
и далее в темп роста:
Кб =∆Кб +1 = 0,22 +1 = 1,22.
Определим значение среднегодового темпа роста:
К = 6 −1 1,22 = 1,04, или 104%.
3. Расчет среднего темпа роста по абсолютным уровням ряда
динамики.
Из зависимости К = п К1 ⋅ К 2 ...К п = т −1 К б , где Кб = уп : уо расчет среднего темпа роста производится по исходным абсолютным
уровням ряда динамики по формуле
К = т −1 у п : у0 ,
где уп – конечный уровень ряда динамики;
уо - базисный уровень ряда динамики;
m – число учетных единиц времени в изучаемом периоде.
189
Задача 13. Имеются следующие данные о динамике вылова
рыбы и морепродуктов с 1998 по 2002 г., тыс. тонн.
1998
748
1999
707
2000
675,1
2001
637,8
2002
563,4
Требуется определить среднегодовой темп роста вылова рыбы.
Определить средний темп роста по цепным коэффициентам
динамики ( К = п К1 ⋅ К 2 ⋅ ⋅ ⋅ К п ) или по абсолютным уровням ряда
( К = т −1 у п : у0 ) в данном случае нецелесообразно, так как в ряду
динамики имеются значительные колебания уровней.
Например, при расчете К по абсолютным уровням ряда получаем:
К = т −1 уп : у0 = 5−1 563,4 : 748 = 4 0,753 ≈ 0,931,
т.е. среднегодовое снижение урожайности в девятой пятилетке составляет 0,8%.
Задачи
8.1. темпы роста объема продукции добывающей промышленности в экономическом районе характеризуется следующими данными (в процентах к предыдущему году):
1999 2000 2001 2002
94,5 87,7 94,5 88,3
Определите среднегодовые темпы роста объема продукции
добывающей промышленности: 1) в девятой пятилетке; 2) в десятой пятилетке; 3) в целом за период с 1999 по 2002 г.
8.2. Темпы роста объема рыбной пищевой продукции Камчатской области характеризуются следующими данными (в процентах
к предыдущему году):
1999 2000 2001 2002
92,2 156,1 99,5 91,1
Определите среднегодовые темпы роста объема продукции
данной отрасли: 1) в девятой пятилетке; 2) в десятой пятилетке; 3)
в целом за период с 1999 по 2002 г.
8.3. По плану экономического и социального развития отрасли
на 1999 – 2003 гг. предусматривается увеличение производства то190
варной продукции (в сопоставимых ценах) на 32 – 36%, в том числе
товаров народного потребления в 1,4 – 1,45 раза. Определите, какие должны быть в одиннадцатой пятилетке среднегодовые темпы
прироста производства товарной продукции отрасли, в том числе
товаров народного потребления.
8.6. Определение в рядах динамики общей тенденции развития
Методические указания и решение типовых задач
Важной задачей статистики при анализе рядов динамики является определение общей тенденции развития. На развитие явления
во времени могут оказать влияние различные по своему характеру
и силе воздействия факторы. Одним из них оказывают более или
менее постоянное воздействие и формируют в рядах динамики определенную тенденцию развития. Воздействие же других факторов
может быть кратковременным.
При изучении в рядах динамики общей тенденции развития
явления применяются различные приемы и методы. Одним из наиболее элементарных способов изучения общей тенденции в ряду
динамики является укрепление интервалов. Этот способ основан на
укреплении периодов, к которым относятся уровни ряда динамики.
Задача 14. Имеются следующие данные о выпуске продукции
группой предприятий по месяцам 2003 г., млн. руб.:
январь
февраль
март
апрель
май
июнь
23,2
19,1
22,3
25,1
24,5
27,3
июль
август
сентябрь
октябрь
ноябрь
декабрь
28,4
24,1
26,3
29,1
30,3
26.5
Для выявления общей тенденции роста выпуска продукции
произведем укрепление интервалов. Для этой цели исходные (месячные) данные о выработке продукции объединяем в квартальные,
и получаем показатели выпуска продукции группой предприятий
по кварталам 2003г., млн. руб.:
I
II
III
IV
64,5
76,9
78,8
85,9
В результате укрепления интервалов общая тенденция роста
выпуска продукции данной группой заводов выступает отчетливо:
191
64,5 < 76,9 < 78,8 < 85,9.
Выявление общей тенденции ряда динамики можно произвести путем сглаживания ряда динамики с помощью подвижной
(скользящей) средней. Сущность этого приема состоит в том, что
по исходным уровням ряда (эмпирическим данным) определяют
расчетные (теоретические) уровни. При этом посредством осреднения эмпирических данных индивидуальные колебания погашаются,
и общая тенденция развития явления выражается в виде некоторой
плавной линии (теоретические уровни).
Задача 15. По городу имеются следующие данные о комиссионной торговле сельскохозяйственными продуктами потребительской кооперации (среднедневная выручка в сопоставимых ценах;
тыс. руб.):
Квартал
I
II
III
IV
2000
175
263
326
297
2001
247
298
366
341
2002
420
441
453
399
2003
426
449
482
460
Для выражения общей тенденции развития явления методом
сглаживания рядов динамики необходимо прежде всего определить
по эмпирическим данным подвижные (скользящие) средние.
Основное условие применения этого метода состоит в вычислении звеньев подвижной (скользящей) средней из такого числа
уровней ряда, которое соответствует длительности наблюдаемых в
ряду динамики циклов.
Для ряда внутригодовой динамики с сезонными циклами развития явления по одноименным кварталам года применяют четырехчленны скользящие средние. Расчет состоит в определении
средних величин из четырех уровней ряда с отбрасываем при вычислении каждой новой средней одного уровня ряда слева и присоединением одного уровня справа:
у + у 2 + у3 + у 4
у1 = 1
;
первая средняя
4
у + у3 + у 4 + у5
вторая средняя
у2 = 2
;
4
у + у 4 + у5 + у 6
третья средняя
у3 = 3
и т.д.
4
192
Применительно к исходным данным получаем тринадцать
средних:
175 + 263 + 326 + 297
первая
у1 =
= 265,25;
4
175 + 263 + 326 + 297
вторая
у2 =
= 265,25;
4
263 + 326 + 297 + 247
третья
у3 =
= 283,25;
4
………………………………………………….
426 + 449 + 482 + 460
тринадцатая у13 =
= 454,25.
4
Особенность сглаживания по четному числу уровней состоит в
том, что каждая из численных четырехчленных средних относится
к соответствующим промежуткам между двумя смежными кварталами. Так, первая средняя ( у1 = 265,25) относится к промежуткам
между II и III кварталам 2000 г., вторая стадия ( у2 = 283,25) –
к промежуткам между III и IV кварталами 2000 г. и т.д.
Для получения значений сглаженных уровней соответствующих кварталов необходимо провести центрирование расчетных
средних.
Так, для определения сглаженного среднего уровня III квартала 2000 г. произведем центрирование первой средней у1 и второй
средней у 2 :
у1 + у 2 265,25 + 283,26
=
= 274,25.
2
2
Для определения сглаженного среднего уровня IV квартала
2000 г. произведем центрирование второй средней у2 и третьей
средней у3 :
у + у3 283,25 + 292
ус IV кв = 2
= 287,6 и т.д.
=
2
2
Ход расчета необходимых данных для получения средних
(теоретических) уровней представим в таблице сглаживания ряда
динамики по четырехчленной переменной (скользящей) средней:
ус III кв =
193
Таблица 8.3
Исходные
уровни
Период
1
2000
2001
2002
2003
I
II
III
IV
I
II
III
IV
I
II
III
IV
I
II
III
IV
2
175
263
326
297
247
298
366
341
420
441
453
399
426
449
482
460
Средняя из суммы
четырех уровней
ряда
Сглаженный
средний уровень
(с центрированием, у с )
3
4
274,25
287,6
297,0
307,5
334,6
374,1
402,9
421,0
429
430,75
435,37
446,62
-
1061:4=265,25
1133:4=283,25
1168:4=292
1208:4=302
1252:4=313
1425:4=356,25
1568:4=392
1655:4=413,75
1713:4=428,25
1719:4=429,75
1727:4=431,75
1756:4=439
1817:4=454,25
Из нанесенных на график пунктирной линией данных гр. 4 (см.
рис. 8.2) видна довольно отчетливая тенденция роста комиссионной торговли продукцией сельскохозяйственного производства.
Спецификой способа сглаживания рядов динамики является
то, что полученные средние не дают теоретических рядов, в основе
которых лежала бы математически выраженная закономерность.
Более совершенным приемом изучения общей тенденции в рядах динамики является аналитическое выравнивание. При изучении общей тенденции методом аналитического выравнивания исходят из того, что изменения уровней ряда динамки могут быть с
той или иной степенью приближения выражены определенными
математическими функциями. На основе теоретического анализа
выявляется характер развития явления во времени и на этой основе
выбирается то или иное математическое выражение типа изменения явления: по прямой, параболе второго порядка, показательной
(логарифмической) кривой и т.д.
Рассмотрим применение метода аналитического выравнивания
по прямой для выражения общей тенденции на следующем примере.
194
Задача 16. Имеется данные о выпуск продукции предприятиями легкой промышленности района за 1995 – 2003 гг. (в сопоставимых ценах; млн. руб.):
1995
1996
1997
1998
1999
221
235
272
285
304
2000
2001
2002
2003
320
360
371
395
Для выравнивая ряда динамики по прямой используют уравнение
уt = a0 + a1t.
Способ наименьших квадратов дает систему двух нормальных
уравнений для нахождения параметров а0 и а1:
⎧⎪а0 п + а1 t =
y;
⎨
2
yt ,
⎪⎩a0 t + a1 t =
где у – исходные (эмпирические) уровни ряда динамики;
п – число членов ряда;
t – время.
Решение системы уравнений позволяет получить выражения
для параметров а0 и а1:
∑ t 2 ∑ y − ∑ t ∑ ty ;
a0 =
n∑ t 2 − ∑ t ⋅ ∑ t
∑ ∑
∑ ∑ ∑
a1 =
∑ ty − ∑ t ∑ y .
n∑ t − ∑ t ∑ t
n
2
В рядах динамики техника расчета параметров уравнения упрощается. Для этой цели показателям времени t придают такие значения, чтобы их сумма была равна нулю, т.е. ∑ t = 0.
Применительно к данному примеру, в котором число исходных (эмпирических) уровней ряда – нечетно (п = 9), это выполнимо
при следующих обозначениях:
1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
-4
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
+4
При условии что ∑ t = 0, исходные уравнении принимают вид
а0п = ∑у;
а1∑ t2 = ∑tу,
195
а0 = ∑у : п = y ;
а1 = ∑tу : ∑t2.
Произведем расчет необходимых значений в табл. 8.4.
откуда
Таблица 8.4
Год
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
Итого
Эмпирические
уровни ряда (уi)
221
235
272
285
304
320
360
371
395
2 763
Условные обозначения времени (t)
-4
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
+4
0
t2
уt
уt
16
9
4
1
0
1
4
9
16
60
-884
-705
-544
-285
0
320
720
1 113
1 580
1 315
219,32
241,24
263,16
285,08
307,0
328,92
350,84
372,76
394,68
2 763
По итоговым данным определяем параметры уравнения:
2763
a0 =
= 307;
9
1315
a1 =
= 21.9167.
60
Значение ∑t2 можно вычислить и другим путем.
Для случая нечетного числа уровней ряда динамики используется формула
(n − 1)n(n + 1) = 8 ⋅ 9 ⋅10 = 60.
t2 =
12
12
В результате получаем следующее уравнение общей тенденции ряда динамики:
уt = 307 + 21,92t.
Заметим, что при упрощенном способе расчета (∑t = 0) параметр а0 = 307 характеризует величину центрального выравненного
уровня ряда, который был принят за t = 0. В рассматриваемом примере это уровень 1999 г. Подставляя в уравнение уt = 307+21,92t
принятые обозначения t, вычислим выравненные (теоретические)
уровни ряда динамики:
1995
уt = 307 + 21,92(-4) ≈ 219,32;
1996
уt = 307 + 21,92(-3) ≈ 241,24 и т.д.
(см. значения уt в табл. 8.5).
∑
196
Для проверки расчета значений уt используется формула
∑уi = ∑уt.
В нашем примере ∑уi = 2 763 = ∑уt; следовательно, значения уt
определены верно.
Полученные величины теоретических уровней ряда уi нанесем
пунктирной линией на график с эмпирическими данными ( см. рис.
8.3). Эта линия и есть графический образ общей тенденции выпуска продукции предприятиями легкой промышленности района в
1995 – 2003 гг.
Задачи
17.1. Имеются следующие данные о реализации молочной
продукции в магазинах группы городов по месяцам 2000 – 2003 гг.
(тыс. т):
Таблица 8.5
Месяц
Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Июнь
Июль
Август
Сентябрь
Октябрь
Ноябрь
Декабрь
2000
5,3
5,2
8,0
8,2
9,8
14,9
11,8
10,3
8,0
6,5
5,4
5,6
2001
5,3
5,0
8,8
9,8
15,4
18,3
17,1
15,4
12,9
9,5
9,0
7,5
2002
8,3
7,6
11,0
11,5
16,1
24,8
23,8
19,4
15,7
11,8
10,2
10,1
2003
10,4
10,2
11,8
14,1
17,8
27,6
25,0
19,8
17,4
12,7
11,0
8,6
Для изучения общей тенденции реализации данной продукции:
1) произведите преобразование исходных данных путем укрупнения периодов времени: а) в квартальные уровни, б) в годовые
уровни; 2) нанесите на линейный график полученные квартальные
уровни; 3) произведите сглаживание квартальных уровней с применением четырехчленной скользящей средней; 4) нанесите полученные при сглаживании данные на график с квартальными уровнями; 5) сделайте выводы о характере общей тенденции
изучаемого явления.
17.2. По городу имеются данные о реализации яиц в магазинах
по месяцам 2000 – 2003 гг. (млн.шт.):
197
Таблица 8.6
Месяц
Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Июнь
Июль
Август
Сентябрь
Октябрь
Ноябрь
Декабрь
2000
12,7
11,5
12,0
45,6
40,4
60,0
42,0
23,4
14,1
14,6
16,3
18,0
2001
16,3
17,4
18,4
78,9
67,3
66,6
42,7
39,9
28,9
25,2
27,9
30,5
2002
23,6
14,0
17,4
94,8
76,7
51,4
21,2
14,2
13,5
23,2
30,4
21,9
2003
30,8
24,1
21,2
73,1
60,9
77,6
43,6
40,7
70,0
40,7
32,7
33,0
Для изучения общей тенденции реализации данной продукции:
1) произведите преобразование исходных данных путем укрупнения периодов времени: а) в квартальные уровни, б) в годовые
уровни; 2) нанесите на линейный график полученные квартальные
уровни; 3) произведите сглаживание квартальных уровней с применением четырехчленной скользящей средней; 4) нанесите полученные при сглаживании данные на график с квартальными уровнями; 5) сделайте выводы о характере общей тенденции
изучаемого явления.
17.3. Реализации кондитерских изделий в магазинах продовольственного торга города по месяцам 2000 – 2003 гг. характеризуется следующими данными (т):
Таблица 8.7
Месяц
Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Июнь
Июль
Август
Сентябрь
Октябрь
Ноябрь
Декабрь
2000
32,1
30,8
33,0
34,4
29,1
30,9
31,4
29,3
32,5
32,2
34,7
38,2
2001
31,8
27,9
38,9
39,5
36,2
41,4
39,4
34,3
34,7
34,6
36,3
41,6
198
2002
37,3
32,2
42,0
40,9
36,8
40,3
35,3
34,0
33,7
34,9
35,3
42,7
2003
36,9
33,4
36,9
46,6
37,5
39,2
38,3
36,3
36,8
35,4
39,2
48,1
Для изучения общей тенденции реализации данной продукции:
1) произведите преобразование исходных данных путем укрупнения периодов времени: а) в квартальные уровни, б) в годовые
уровни; 2) нанесите на линейный график полученные квартальные
уровни; 3) произведите сглаживание квартальных уровней с применением четырехчленной скользящей средней; 4) нанесите полученные при сглаживании данные на график с квартальными уровнями; 5) сделайте выводы о характере общей тенденции
изучаемого явления.
17.4. Имеются следующие данные о реализации сахара в продовольственных магазинах города по месяцам 2000 – 2003 гг. (т):
Таблица 8.8
Месяц
Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Июнь
Июль
Август
Сентябрь
Октябрь
Ноябрь
Декабрь
2000
78,9
78,1
86,0
97,5
83,3
86,0
90,6
86,1
81,3
105,1
97,2
102,1
2001
108,6
107,9
106,8
132,1
113,0
111,8
124,4
114,1
108,4
124,0
118,4
136,3
2002
129,1
128,6
130,7
152,8
139,8
147,4
163,8
146,3
137,8
152,2
143,2
156,5
2003
150,7
149,6
153,6
174,4
153,7
158,6
199,2
164,3
135,5
159,3
155,5
158,2
Для изучения общей тенденции реализации данной продукции:
1) произведите преобразование исходных данных путем укрупнения периодов времени: а) в квартальные уровни, б) в годовые
уровни; 2) нанесите на линейный график полученные квартальные
уровни; 3) произведите сглаживание квартальных уровней с применением четырехчленной скользящей средней; 4) нанесите полученные при сглаживании данные на график с квартальными уровнями; 5) сделайте выводы о характере общей тенденции
изучаемого явления.
18. Для изучения общей тенденции развития явлений нанесите
месячные уровни на линейный график, произведите сглаживание
месячных уровней ряда с применением двенадцатичленной скользящей средней, нанесите полученные сглаженные уровни на гра199
фик с исходными (эмпирическими) данными, сделайте выводы о
характере общей тенденции изучаемого явления по следующим
данным: 1) по данным задачи 17.1; 2) по данным задачи 17.2; 3) по
данным задачи 17.3; 4) по данным задачи 17.4.
19.1. Имеются следующие данные об объеме розничного товарооборота области за 1997 – 2003 гг. (в сопоставимых ценах; млн. руб.):
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
480
500
540
570
580
590
610
Для изучения общей тенденции развития розничного товарооборота: 1) изобразит ряд динамики в виде линейного графика; 2)
произведите аналитическое выравнивание уровней ряда по прямой
и выразите общую тенденцию роста соответствующим математическим уравнением; 3) определите выравненные (теоретические)
уровни ряда динамики и нанесите их на график с исходными (эмпирическими) данными; 4) сделайте выводы.
19.2. реализация овощей на колхозных рынках группы городов
за 1999 – 2003 гг. характеризуется следующими данными, тыс. т:
1999
100,0
2000
123,0
2001
120,0
2002
160,0
2003
200,0
Для изучения общей тенденции роста реализации овощей на
колхозных рынках: 1) изобразит ряд динамики в виде линейного
графика; 2) произведите аналитическое выравнивание уровней ряда
по прямой и выразите общую тенденцию роста соответствующим
математическим уравнением; 3) определите выравненные (теоретические) уровни ряда динамики и нанесите их на график с исходными (эмпирическими) данными; 4) сделайте выводы.
8.7. Определение в рядах внутригодовой динамики
индексов сезонности
Методические указания и решение типовых задач
При анализе рядов динамики важное значение имеет выявление сезонных колебаний. Этим колебаниям свойственны более или
менее устойчивые изменения уровней ряда по внутригодовым пе200
риодам: месяцам, кварталам. Для выявления сезонных колебаний
обычно анализируются месячные или квартальные уровни ряда динамики за несколько лет. Сезонные колебания характеризуются
специальными показателями – индексами сезонности Is. Способы
определения индексов сезонности различны; они зависят прежде
всего от характера общей тенденции ряда динамики.
Для ряда внутригодовой динамики, в которой не наблюдается
общая тенденция роста (или она незначительна), изучение сезонности основано на методе постоянной средней. Определение средних
индексов сезонности в таких рядах производится по формуле
y
I si = i ,
y
где yi – осредненные эмпирические уровни ряда по одноименным
периодам;
y – общий средний уровень ряда.
Задача 17. Имеются данные о распределении браков заключенных населением города, по месяцам 2001 – 2003 гг.
Таблица 8.9
Месяц
Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Июнь
2001
173
184
167
142
137
145
2002
183
185
162
160
143
150
2003
178
179
161
184
151
156
Месяц
Июль
Август
Сентябрь
Октябрь
Ноябрь
Декабрь
2001
153
171
143
162
178
185
2002
167
173
150
165
181
189
2003
177
181
157
174
193
197
Для выявления характера общей тенденции данного ряда
внутригодовой динамики произведем укрепление месячных периодов в годовые уровни и определим темпы роста.
Таблица 8.10
Год
Годовые уровни
2001
2002
2003
1 940
2 008
2 008
Темпы роста, %
к предыдущему году
к 2003 г.
100
103,5
103,5
104,0
107,6
По изменению уровней укрупненных периодов видно, что изучаемое явление не имеет значительной общей тенденции роста.
201
Поэтому определение индексов сезонности можно произвести на
основе метода постоянной средней
Ι si = y i : y .
Для получения значений yi произведем по способу средней
простой (невзвешенной) осреднение уровней одноименных периодов за три года:
+ у янв .2002 + у янв .2003
у
январь
уi = янв .2001
;
t
∑
февраль
уi =
декабрь
уi =
уфевр.2001 + уфевр.2002 + уфевр.2003
∑t
;
удек.2001 + удек .2002 + удек .2003
;
t
∑
При этом в знаменателе ∑t – число календарных дней в осредняемых месячных периодах. Это позволяет исключить несопоставимость уровней ряда в связи с различной продолжительностью
месяцев (январь – 31 день, февраль- 28 или 29 дней и т.д.).
Определим осредненные значения уровней ряда уi для каждого месяца годового цикла:
173 + 183 + 178 534
январь
=
= 5,74;
у=
93
31 + 31 + 31
184 + 185 + 179 548
февраль
у=
=
= 6,45 и т.д.
29 + 28 + 28
85
Далее по исчисленным месячным средним уровням уi определим общий средний уровень у :
5,74 + 6,45 + 5,27 + 5,4 + 4,63 + 5,01 +
уi + 5,34 + 5,64 + 5,0 + 5,39 + 6,13 + 6,14
= 5,51.
=
у=
12
n
Значение общего среднего уровня можно также получить и по
итоговым данным за отдельные годы:
∑
у=
∑∑ у
∑n
i
=
1940 + 2008 + 2088 6036
=
= 5,51,
366 + 365 + 365
1096
где п – число дней в году;
∑уi - сумма уровней ряда динамики.
202
И, наконец, определим по месяцам года индексы сезонности:
5,74
январь
Ιs =
= 1,042, или 104,2%;
5,51
февраль
Ιs =
6,45
= 1,171, или 117,1% и т.д.
5,51
Весь ход расчета индексов сезонности методом постоянной
средней изложим в табл. 8.12.
Таблица 8.11
2001
Месяц
ИтоI
II
III IV V VI VII VIII IX X XI XII го
173 184 167 142 137 145 153 171 143 162 178 185 1940
2002
183 185 162 160 143 150 167 173 150 165 181 189 2008
2003
178 179 161 184 151 156 177 181 157 174 193 197 2008
Год
Итого 534 548 490 486 431 451 497 525 450 501 552 571 6036
Среднедневные
уровни 5,74 6,45 5,27 5,4 4,63 5,01 5,34 5,64 5,0 5,39 6,13 6,14 5,51
по периодам
Индексы
сезонно- 104,2 117,1 95,6 88,0 84,0 91,0 96,9 102,4 90,7 97,8 111,3 111,4 100,0
сти
Совокупность исчисленных для каждого месяца годового цикла индексов сезонности характеризует сезонную волну развития
изучения явления во внутригодовой динамике. Для получения наглядного представления о сезонной волне изобразим полученные
индексы сезонности в виде линейного графика (рис. 8.4).
Если в ряду внутригодовой динамики имеется ярко выраженная общая тенденция роста, то индексы сезонности определяются
на основе методов, позволяющих исключить (элиминировать)
влияние тенденции роста. Рассмотрим применение одного из таких приемов на решении типовой задачи, в которой индексы сезонности определяются на основе аналитического выравнивания
по прямой.
203
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
Рис. 8.4. Сезонная волна заключения браков населением города
в 2001 – 2003 гг. по месяцам
Задача 18. Реализация молочной продукции в магазинах города по кварталам 2000 – 2003 гг. характеризуется следующими данными (тыс. т):
Таблица 8.12
Квартал
I
II
III
IV
Итого
2000
39,9
65,8
63,9
38,5
208,1
2001
38,1
82,3
83,4
45,1
248,9
2002
45,9
101,5
103,8
63,8
315,0
2003
55,7
115,5
121,7
65,5
358,4
Существенной особенностью данного ряда является наличие
ярко выраженной тенденции роста. Для её исключения используем
метод, основанный на аналитическом выравнивании уровней ряда.
Формула расчета индекса сезонности в рядах динамики с общей тенденцией роста имеет следующий вид:
⎡
yi ⎤
Ι si = ⎢
⎥ : n,
⎣⎢ yti ⎦⎥
где уi – исходные (эмпирические) уровни ряда;
уt - выровненные (теоретические) уровни ряда;
n – число годовых периодов.
Для нахождения выровненных по прямой уровней ряда уt используем уравнение
уt = a0 + a1t.
∑
204
Параметры этого уравнения a0 и a1 определим упрощенным
способом:
yi
a0 =
;
n
tyi
a1 =
.
t2
∑
∑
∑
Выберем начало отчета t таким образом, чтобы было выполнено условие ∑t = 0.
Поскольку в рассматриваемом примере число членов ряда четное (п = 16), то пронумеруем 8 уровней первой половины ряда (I –
IV кварталы 2000 и 2001 гг.) числами (от середины) -1, -3, -5, -7, -9,
-11, -13, -15, а 8 членов второй половины ряда (I – IV кварталы
2002 и 2003 гг.) – числами (от середины) +1, +3, +5, +7, +9, +11,
+13, +15. При таком порядке обозначений уровней ряда ∑t = 0.
Ход последующих расчетов представим в таблице аналитического выравнивания ряда по прямой (упрощенным способом).
Таблица 8.13
Период
(п)
2000
I
II
III
IV
2001
I
II
III
IV
2002
I
II
III
IV
2003
I
II
III
IV
yi
Эмпирические
уровни ряда (уi)
Обозначение
(t)
tуi
yti
39.9
65.8
63.9
38.5
-15
-13
-11
-9
-598.5
-855.4
-702.9
-346.5
46,65
49,85
53,05
56,25
85,5
132,0
120,0
68,4
38.1
82.3
83.4
45.1
-7
-5
-3
-1
-266.7
-411,5
-250,2
-45,1
59,45
62,65
65,85
69,05
64,1
131,4
126,6
65,3
45.9
101.5
103.8
63.8
+1
+3
+5
+7
+45,9
+304,5
+519,0
+446,6
72,25
75,45
78,65
81,85
63,5
134,5
132,0
77,9
55.7
115.5
121.7
65.5
+9
+11
+13
+15
+501,3
+1270,5
+1582,1
+982,5
85,05
88,25
91,45
94,65
65,5
130,9
133,1
69,2
205
y ti
100
Из таблицы имеем:
∑yi = 1130,4; ∑t = 0; ∑tyi = 2175,6.
Значение ∑t2 определим по следующей формуле (при четном
числе п):
(n − 1)n(n + 1) = 15 ⋅16 ⋅17 = 1360.
t2 =
3
3
Рассчитаем значение параметров:
yi 1130,4
a0 =
=
= 70,65;
n
16
tyi 2175,6
a1 =
=
= 1,6.
1360
t2
∑
∑
∑
∑
По исчисленным параметрам составляем уравнение прямой
выравненного ряда динамики:
yt =70,65 + 1,6t.
На основании этого уравнения определяем значение уровней
выравненного ряда динамики yt для каждого периода (квартала):
I квартал 2000 г. yt =70,65 + 1,6 · (-15) = 46,65;
II квартал 2000 г. yt =70,65 + 1,6 · (-13) = 49,86 и т.д.
Значения yti для каждого квартала ряда динамики помещены в
гр. 5 табл. 8.14.
Далее необходимо сопоставить по отдельным кварталам исходные (эмпирические) уровни ряда yi с соответствующими расчетными (теоретическими) уровнями yti , т.е. найти отношение yi : yt
по кварталам:
39,9
I
2000 г. =
= 0,855, или 85,5%;
46,65
65,8
II
2000 г. =
= 1,320, или 132,0%;
49,85
63,9
III
2000 г. =
= 1,2, или 120%;
53,05
38,5
IV
2000 г. =
= 0,684, или 68,4%;
56,25
.
IV
. .
. . .
. . . . . .
. . . . .
65,5
2003 г. =
= 0,692, или 69,2%;
94,65
206
Значения процентных отношений (
уi
⋅ 100 ) для каждого кварyt i
тала изучаемого ряда динамики помещены в гр. 6 табл. 8.14. Далее
может быть произведено осреднение исчисленных величин по одноименным кварталам, %:
85,5 + 64,1 + 63,5 + 65,5
I=
= 69,6;
4
132,0 + 131,4 + 134,5 + 130,9
II =
= 132,2;
4
120 + 126,6 + 132,0 + 133,1
III =
= 127,9;
4
68,4 + 65,3 + 77,9 + 69,2
IV =
= 70,2.
4
140
130
120
110
100
90
80
70
60
132,2
127,9
70,2
69,6
I
II
III
IV
Рис. 8.5. Сезонность реализации молочной продукции в 2000 – 2003 гг.
по кварталам (в процентах к среднегодовой реализации, принятой за 100%)
В результате получаем ряд индексов, характеризующих сезонную волну реализации молочной продукции по кварталам, в процентах к среднегодовой реализации, принятой за 100%:
I
II
III
IV
69,6
132,2
127,9
70,2
Для наглядного представления сезонной волны реализации
молочной продукции нанесем исчисленные индексы сезонности на
график (рис. 8.5). Расчет индексов сезонности в рядах внутригодовой динамики производят и на основе подвижной (скользящей)
средней. Рассмотрим применение этого способа, используя условие
типовой задачи 15 данной главы.
207
Задача 19. В результате сглаживания ряда динамики при помощи подвижной (скользящей) средней получены следующие расчетные уровни:
Таблица 8.14
I
II
III
IV
I
II
III
IV
175
263
326
297
247
298
366
341
Год
2002
Квартал
Сглаженные (расчетные)
уровни
ряда (усi)
247,25
287,6
297,0
307,5
334,6
374,1
2003
2001
2000
Год
Исходные
(эмпирические) уровни (уi)
Квартал
I
II
III
IV
I
II
III
IV
Исходные
(эмпирические) уровни (уi)
420
441
453
399
426
449
482
460
Сглаженные (расчетные)
уровни
ряда (усi)
402,9
421,0
429,0
430,75
435,37
446,62
-
Определение индексов сезонности по способу подвижной
(скользящей) средней производится по формуле
⎡
yi ⎤
Ι si = ⎢
⎥ : n,
⎢⎣ yci ⎥⎦
где уi - исходные (эмпирические) уровни ряда;
ус – сглаженные (расчетные) уровни ряда;
п – число годовых периодов.
y
Для получения значений i сопоставим по отдельным внутy ci
∑
ригодовым периодам (кварталам) исходные (эмпирические) уровни
уi с соответствующими расчетными (сглаженными) уровнями усi :
Квартал
Год
Индексы
326
III
2000 =
= 1,318, или 131,8%;
247,25
297
IV
2000 =
= 1,033, или 103,3%;
287,25
247
I
2001 =
= 0,832, или 83,2%;
297
208
298
= 0,969, или 96,9%;
307,5
366
III
2001 =
= 1,094, или 109,4%;
334,6
341
IV
2001 =
= 0,911, или 91,1%;
374,1
420
I
2002 =
= 1,042, или 104,2%;
402,9
441
II
2002 =
= 1,047, или 104,7%;
421
453
III
2002 =
= 1,056, или 105,6%;
429
399
IV
2002 =
= 0,926, или 92,6%;
430,75
426
I
2003 =
= 0,978, или 97,8%;
435,37
449
II
2003 =
= 1,005, или 100,5%;
446,62
Произведем осреднение исчисленных величин по одноименным периодам – кварталам года, %:
83,2 + 104,2 + 97,8 285,2
I
=
=
= 95,1;
3
3
96,9 + 104,7 + 100,5 302,1
II
=
=
= 100,7;
3
3
131,8 + 109,4 + 105,6 346,8
III
=
=
= 115,6;
3
3
103,3 + 91,1 + 92,6 287
IV
=
=
= 95,7.
3
3
В результате получим ряд индексов, характеризующий сезонную волну реализации сельскохозяйственной продукции (в процентах к среднегодовой реализации, принятой за 100%) по кварталам:
I
II
III
IV
95,1 100,7 115,6 95,7
II
2001 =
209
120
115,6
115
110
105
100,7
100
95,7
95,1
95
90
I
II
III
IV
Рис. 8.6. Сезонность комиссионной торговли продуктами
сельскохозяйственного производства по кварталам 2000 – 2003 гг.
(в процентах к среднегодовой реализации, принимаемой за 100%)
Для наглядного представления сезонной волны, характеризующей внутригодовую динамику комиссионной торговли продуктами сельскохозяйственного производства, изобразим полученные
индексы сезонности в виде линейного графика (рис. 8.6).
Задачи
20.1. Имеются следующие данные по городу о численности
родившихся детей по месяцам 2001 – 2003 гг. (чел.):
Таблица 8.15
Месяц
Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Июнь
2001
454
389
420
393
391
358
2002
413
354
394
370
374
343
2003
410
352
394
373
383
341
Месяц
Июль
Август
Сентябрь
Октябрь
Ноябрь
Декабрь
2001
363
358
345
342
328
315
2002
347
350
336
335
322
316
2003
351
346
333
334
319
310
Для анализа ряда внутригодовой динамики: 1) определите индексы сезонности методом постоянной средней; 2) представьте в
виде линейного графика сезонную волну развития изучаемого явления по месяцам года; 3) сделайте выводы.
20.2. Получены следующие данные о внутригодовой динамике
числа расторгнутых браков населением города по месяцам 2001 –
2003 гг. (число случаев):
210
Таблица 8.16
Месяц
Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Июнь
2001
195
164
153
136
136
123
2002
158
141
153
140
136
129
2003
144
136
146
132
136
125
Месяц
Июль
Август
Сентябрь
Октябрь
Ноябрь
Декабрь
2001
126
121
118
126
129
138
2002
128
122
118
130
131
141
2003
124
119
118
128
135
139
Для анализа внутригодовой динамики расторжения гражданских браков: 1) определите индексы сезонности методом постоянной средней; 2) представьте в виде линейного графика сезонную
волну развития изучаемого явления по месяцам года; 3) сделайте
выводы.
20.3. Имеются следующие данные о реализации животных жиров через продовольственные магазины города по месяцам 2001 –
2003 гг. (т):
Таблица 8.17
Месяц
Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Июнь
2001
20,1
21,3
21,5
28,2
23,0
26,3
2002
27,5
29,1
30,8
31,5
26,8
28,2
2003
19,9
22,4
26,4
27,1
21,6
26,2
Месяц
Июль
Август
Сентябрь
Октябрь
Ноябрь
Декабрь
2001
25,1
29,0
32,5
33,4
30,4
33,2
2002
26,0
24,9
28,6
27,0
23,1
22,1
2003
26,1
28,7
30,7
32,7
31,2
30,9
Для изучения внутригодовой динамики реализации жиров
(животных): 1) определите индексы сезонности методом постоянной средней; 2) представьте в виде линейного графика сезонную волну развития изучаемого явления по месяцам года; 3)
сделайте выводы.
211
ГЛАВА 9. ИНДЕКСЫ
9.1. Расчеты индивидуальных индексов объема производства,
товаооборота, цен и себестоимости
Методические указания и решение типовой задачи
Расчеты индивидуальных (однотоварных) индексов просты по
своей сущности и выполняются путем вычисления отношения двух
индексируемых величин. Однако индивидуальные индексы могут
исчисляться в виде индексного ряда за несколько периодов. При
этом существуют два способа расчета индивидуальных индексов:
цепной и базисный. При цепном способе расчета за базу отношения
принимается индексируемая величина соседнего прошлого периода. В этом случае база расчета в ряду постоянно меняется. При базисном способе расчета за базу принимается индексируемая величина какого-то одного периода. Индексы, рассчитанные цепным
способом, называются цепными, рассчитанные базисным способом
- базисными. Для индивидуальных индексов действует правило:
произведение цепных индексов дает базисный индекс или, наоборот, частное от деления базисных индексов дает цепной индекс.
Поэтому, имея цепные индексы, можно перейти к базисным, а имея
базисные, - к цепным без прямого расчета.
Задача 1. Рассмотрим пример расчета индивидуальных индексов на примере индексов объема производства продукции А. Имеются данные, тыс. т:
1998
400
1999
420
2000
446
2001
478
2002
492
2003
520
Исчислим сначала цепные индексы:
q
420
индекс продукта А 1999 г. к 1998 г. iq = 99 =
= 1,05, или 105%;
q98 400
q
446
индекс 2000 г. к 1999 г. iq = 2000 =
= 1,062, или 106,2% и т.д.
q99
420
В результате расчетов получим индивидуальные цепные индексы объема производства продукции А:
212
Коэффициенты
Проценты
1998
-
1999
1,05
105
2000
1,062
106,2
2001
1,072
107,2
2002
1,029
102,9
2003
1,057
105.7
Рассчитаем базисные индексы путем перемножения цепных
индексов. Постоянной базой при этом будет 1998 г. Базисный индекс 1999 г. к 1998 г. равен цепному (1,05).
Базисный индекс 2000 г. к 1998 г.
q q
q
iq = 99 ⋅ 2000 = 2000 = 1,05 ⋅ 1,062 = 1,115.
q98 q99
q98
Базисный индекс 2001 г. к 1998 г.
q
q
q
iq = 2000 ⋅ 01 = 01 = 1,115 ⋅ 1,072 = 1,195.
q98 q2000 q98
Базисный индекс 2002 г. к 1998 г.
q q
q
iq = 02 ⋅ 02 = 02 = 1,195 ⋅ 1,029 = 1,23.
q98 q01 q98
Базисный индекс 2003 г. к 1998 г.
q q
q
iq = 02 ⋅ 03 = 03 = 1,23 ⋅ 1,057 = 1,3.
q98 q02 q98
Проверим наш расчет исчислением базисного индекса 2003 г.
к 1998 г. прямым путем: 520 : 400=1,30 (или 130%).
Такая проверка может быть проведена для любого года.
Аналогичным образом производятся расчеты индивидуальных
индексов физического объема товарооборота iq, цен ip и себестоимости iz.
Задачи
1. Имеются следующие данные о производстве тканей в РФ за
1999-2003 г.г. (тыс. м):
Таблица 9.1
Год
1999
2000
2001
2002
2003
Ткани
шерстяные
552
567
574
579
572
Хлопчатобумажные
7810
7899
7902
8049
8027
213
льняные
768
781
787
796
729
шелковые
1517
1588
1609
1619
1615
Исчислите цепные индексы производства продукции в коэффициентах и процентах. На основе цепных индексов рассчитайте
для каждого года базисные индексы, принимая за базу 1999 г. Для
2003г. проверьте правильность расчета базисного индекса прямым
способом. Абсолютные цифры нанесите на график. Выполните
указанное задание: 1) по хлопчатобумажным тканям; 2) по шерстяным тканям; 3) по льняным тканям; 4) по шелковым тканям.
2. Имеются следующие данные о производстве сахара и масла
в РФ за 1999-2003 г.г. (тонн):
Таблица 9.2.
Год
1999
2000
2001
2002
2003
Сахаррафинад
2478
2525
2593
2692
2656
Сахар-песок
10382
9249
12036
12207
10647
Масло животное
1231
1263
1408
1381
1325
Масло растительное
3344
2775
2943
2967
2819
Исчислите базисные индексы (в коэффициентах и процентах)
объема производства продукции, приняв за базу 1999 г., нанесите
значения полученных базисных индексов на график и на основе
базисных индексов исчислите цепные индексы для 2001, 2002 и
2003 г.г.: 1) по сахару-рафинаду; 2) по сахару-песку; 3) по маслу
животному; 4) по маслу растительному.
9.2. Расчеты агрегатных общих и групповых индексов
объема производства (товарооборота), цен, себестоимости
и производительности труда
Методические указание и решение типовой задачи
Агрегатный индекс является основной формой общих и групповых индексов физического объема производства (товарооборота). Цен, себестоимости и производительности труда (по трудовым
затратам). Он представляет собой отношение сумм произведений
индексируемых величин и их весов. Так как весами служат показатели, экономически тесно связанные с индексируемыми величинами,
то полученные произведения образуют определенные экономиче214
ские категории. Так, в индексах объема производства (товарооборота) индексируются натуральные количества q произведенной
(проданной) продукции, в качестве весов берутся цены р, а полученные произведения образуют стоимости pq отдельных видов
произведенной (проданной) продукции. В индексах цен индексируются цены, в качестве весов берутся натуральные количества
произведенной продукции, а полученные произведения дают стоимости отдельных видов продукции. В индексах себестоимости индексируются себестоимости единицы продукции z, в качестве весов
выступают количества произведенной продукции q, а полученные
произведения показывают затраты в производстве на отдельные
виды продукции zq. И наконец, в индексах производительности
труда по трудовым затратам индексируются затраты труда на
единицу продукции t, в качестве весов выступают количества продукции q, а полученные произведения показывают общие затраты
труда на данный вид продукции tq.
В агрегатных индексах индексируемые величины в числителе
и знаменателе относятся к разным периодам (отчетному и базисному), а веса – неизменные, относящиеся к какому-либо одному периоду. При этом индексы объемных показателей рассчитываются
по весам (обычно ценам) базисного периода, а индексы качественных показателей (цен, себестоимости, производительности труда) –
по весам (объему продукции) отчетного периода.
Задача 2. Рассмотрим пример расчета агрегатного индекса цен.
в качестве исходной информации используем цены отдельных товаров и количественные объемы продаж за отчетный и базисный
периоды на колхозном рынке, приведенные в табл. 9.3.
Общий индекс цен по всем товарам будет равен:
Σp q
48000
Ip = 1 1 =
= 1,010, или 101,0%.
Σp0 q1 47500
Следовательно, цены в среднем повысились на 1%. В числителе индекса – фактическая стоимость товаров, проданных в отчетном периоде, а в знаменателе – стоимость этих же товаров в ценах
базисного периода. Стоимость товаров в ценах базисного периода
меньше фактической, значит покупатели заплатили в отчетном периоде на 500 руб. (48000 – 47500) больше в связи с ростом цен.
Общее повышение цен на 1% явилось результатом различных
тенденций движения цен отдельных товаров. Исходные данные
215
показывают, что цены на овощную группу товаров снижались, а на
молочную – росли. Более широкую информацию о динамике цен на
колхозном рынке мы получим, если в дополнение к общему индексу рассчитаем групповые индексы цен овощной и молочной групп
товаров. Расчет делаем по аналогичной методике.
Товары
Картофель
Капуста
2
свежая
3 Морковь
4
Молоко
5
Творог
6 Сметана
Итого
в том числе
овощи
(1+2+3)
молочные
продукты
(4+5+6)
1
Стоимость товаров, руб., проданных в отчетном
периоде по ценам
базисотчетный
ный
период период
(p0q1)
(p1q1)
Единица измерения
Номер п/п
Таблица 9.3
базисный
период
(p0)
отчетный
период
(p1)
базисный
период
(q0)
отчетный
период
(q1)
кг
16
15
80000
100000
16000
15000
кг
20
20
45000
50000
10000
10000
кг
кг
кг
кг
-
40
50
150
200
-
35
60
180
200
-
15000
12000
4000
200
-
20000
10000
5000
500
8000
5000
7500
1000
47500
7000
6000
9000
1000
48000
-
-
-
-
34000
32000
-
-
-
-
13500
16000
Продано в натуральных единицах
Цена, коп.
Индекс цен по товарам овощной группы равен:
Σp q 32000
Ip = 1 1 =
= 0,941, или 94,1%.
Σp0 q1 34000
Индекс цен по товарам молочной группы равен:
Σp q 16000
Ip = 1 1 =
= 1,185, или 118,5%.
Σp0 q1 13500
Значит, по овощной группе товаров цены снизились на 5,9%, и
покупатели имели экономию в сумме 2000 руб., в то время как по
молочной группе цены повысились на 18,5%, и покупатели заплатили в связи с этим на 2500 руб. больше.
216
Аналогичным образом производится расчет индекса себестоимости. При этом сравниваются суммы затрат в производстве в отчетном периоде (Σz1q1 – числитель индекса) с суммой затрат в производстве на продукцию отчетного периода по себестоимости
базисного периода (Σz0q1 – знаменатель).
Аналогично может быть произведен расчет и индекса производительности труда по методу трудовых затрат. Это делается путем
сравнения общей суммы затрат труда на продукцию отчетного периода, рассчитанную по затратам труда на единицу продукции базисного периода Σt0q1, с фактическими затратами труда на ту же
Σt q
продукцию в отчетном периоде Σt1q1. Этот индекс ( I t = 0 1 ) покаΣt1q1
зывает, на сколько процентов повысилась производительность труда
и какова сумма экономии в трудовых затратах. Особенность его заключается в том, что в числителе дроби находится индексируемая
величина базисного периода t0, а в знаменателе – отчетного периода
t1. Это объясняется тем, что индексируются затраты труда на единицу продукции, т.е. величины, обратные производительности труда.
Расчет агрегатного индекса физического объема производства
(и товарооборота) производится по весам (ценам) базисного периода. В соответствии с этим числитель индекса будет Σq1p0, а знаменатель – Σq0p0. Это означает, что в индексе сравниваются стоимости произведенной (или проданной) продукции в одинаковых
(неизменных) для обоих периодов ценах.
Используя данные условия задачи, рассчитаем индекс физического объема товарооборота:
Σq p
Iq = 1 1 =
Σq 0 p 0
47500
=
=
80000 ⋅ 0,16 + 45000 ⋅ 0,2 + 15000 ⋅ 0,4 + 12000 ⋅ 0,5 + 4000 ⋅ 1,5 + 200 ⋅ 2
=
47500
47500
=
= 1,181 ,
12800 + 9000 + 6000 + 6000 + 6000 + 400 40200
или 118,1%.
Значит, объем проданной товарной массы в неизменных ценах
увеличился на 18,1%.
Так же, как и при расчете индекса цен, здесь могут быть исчислены групповые индексы физического объема продукции по
217
овощной и молочной группам. Индекс объема продукции по овощной группе равен:
34000
Iq =
= 1,223, или 122,3%.
27800
Индекс объема продукции по молочной группе равен:
13500
Iq =
= 1,125, или 112,5%.
12400
Задачи
5. Имеются следующие данные об объеме продаж и ценах на
колхозном рынке:
Таблица 9.4
Товар
Картофель
Капуста
Свекла
Морковь
Молоко
Сметана
Продано, кг
базисный
отчетный
период
период
5000
6000
2000
2500
800
900
1000
1500
10000
12000
500
550
Цена 1 кг, руб.
базисный
отчетный
период
период
5
4,5
3,5
3
1
1,2
4
3,5
20
18
25
22
Исчислите групповой агрегатный индекс и определите абсолютную сумму экономии (переплаты) денежных средств у населения от снижения (роста) цен на товары: 1) капусту, картофель,
свеклу и морковь; 2) молока и сметаны.
6. Используя данные предыдущей задачи, исчислите групповой агрегатный индекс физического объема продаж: 1) картофеля,
капусты, свеклы и моркови; 2) молока и сметаны.
7. Имеются следующие данные о себестоимости произведенной продукции на заводе N:
Таблица 9.5
Изделие
А
Б
В
Г
Д
Себестоимость единицы продукции, коп. Произведено продукции в
базисный период
отчетный период отчетном периоде, тыс. шт.
28
27
5000
59
55
8000
15
12
2000
83
80
6000
75
73
5000
218
Исчислите групповой агрегатный индекс себестоимости:
1) изделий А и Б; 2) изделий Б и В; 3) изделий В и Г; 4) изделий
Г и Д.
8. Имеются следующие данные о затратах труда на единицу
продукции на заводе М:
Таблица 9.6
Изделие
А
Затраты труда на единицу продукции, ч
базисный период
отчетный период
2,5
2,2
Произведено продукции в
отчетном периоде, тыс. ед.
1000
Б
0,5
0,4
2500
В
3,2
2,8
500
Г
1,5
1,2
3000
Д
0,8
0,75
800
Исчислите групповой агрегатный индекс производительности
труда (по трудовым затратам): 1) для продукции А и Б; 2) для продукции Б и В; 3) для продукции В и Г; 4) для продукции Г и Д.
9.3. Расчеты агрегатных индексов с постоянными
и переменными весами, цепных и базисных агрегатных индексов
Методические указания и решение типовых задач
В предыдущем параграфе отмечалось, что расчет агрегатных
индексов физического объема продукции и товарооборота производится по неизменным ценам базисного периода. Это позволяет, используя индексный ряд за несколько периодов, получить
динамику стоимости продукции и динамику товарооборота в неизменных ценах, т.е. в ценах какого-то одного прошлого периода. Такие индексные ряды называются индексами с постоянными весами; в них действует правило: произведение цепных
индексов дает индекс базисный.
Задача 3. По заводу имеются следующие данные об объеме
производства и стоимости продукции:
219
Вид
продукции
Таблица 9.7
Произведено
продукции
Единица
измерения
2001
2002
Цена
в 1998 г.,
тыс. руб.
2003
Стоимость продукции в неизменных
ценах 1998 г.,
тыс. руб.
2001
2002
2003
300
320
345
А
тыс. т
60
64
69
5000
Б
Всего
млн. шт.
5,5
6,2
7,0
2000
11000 12400 14000
-
-
-
-
11300 12720 14345
Требуется рассчитать индексы физического объема продукции
с постоянными весами.
Исчислим индексы с постоянной базой (базисные):
12720
14350
I 2002 =
= 1,126; I 2003 =
= 1,270.
11300
11300
2001
2001
Исчислим индексы с переменной базой (цепные):
12720
14350
I 2002 =
= 1,126; I 2003 =
= 1,128.
11300
12720
2001
2002
Убедимся, что произведение цепных индексов равно базисному: 1,126 ⋅ 1,128 = 1,270.
Иное положение с индексами цен, себестоимости и производительности труда. Имея в качестве весов количество продукции отчетного периода q1, эти индексы образуют индексные ряды с переменными весами, поскольку в каждом отдельном индексе отчетный
период изменяется. Индексный ряд с переменными весами не подчиняется правилу, согласно которому произведение цепных индексов дает индекс базисный. Величина ошибки, возникающей при
этом, зависит от степени варьирования индивидуальных индексов
индексируемых величин и весов, а также от степени тесноты связи
между их изменениями.
В качестве примера разберем индексы себестоимости с переменными весами.
Задача 4. по цеху имеются следующие данные об объеме производства и себестоимости продукции:
220
Таблица 9.8
Выработано продукции
за квартал
I
II
III
100
120
150
Себестоимость единицы
продукции в квартале, руб.
I
II
III
10,0
9,9
9,6
Вид продукции
Единица
измерения
А
шт.
Б
>>
300
310
320
35
35
34
В
кг
7800
8200
8500
0.5
0,48
0,45
Требуется рассчитать индексы себестоимости с переменными
весами:
I IIKB.. =
IKB .
9,9 ⋅ 120 + 35 ⋅ 310 + 0,48 ⋅ 8200
=
10 ⋅ 120 + 35 ⋅ 310 + 0,50 ⋅ 8200
1188 + 10850 + 3936
15974
=
==
= 0,989;
1200 + 10850 + 4100
16150
I IIIKB.. =
IIKB .
9,6 ⋅ 150 + 34 ⋅ 320 + 0,45 ⋅ 8500
=
9,9 ⋅ 150 + 35 ⋅ 320 + 0,48 ⋅ 8500
1440 + 10880 + 3825
16145
=
==
= 0,963.
1485 + 11200 + 4080
16765
Перемножив цепные индексы, получим:
0,989 ⋅ 0,963 = 0,9524 . .
Рассчитаем базисный индекс III квартала:
III кв. 9,6 ⋅ 150 + 34 ⋅ 320 + 0,45 ⋅ 8500
=
=
I кв.
10 ⋅ 150 + 35 ⋅ 320 + 0,50 ⋅ 8500
=
1440 + 10880 + 3825
16145
==
= 0,9525.
1500 + 11200 + 4250
16950
Как видим, расхождение есть, но оно проявляется только в
четвертом знаке после запятой. Величина расхождения не многим
более 0,01% (0,0001 от 0,9524).
Задачи
9.1. Имеются следующие данные о ценах и количестве товаров, проданных на колхозном рынке города А:
221
Таблица 9.9
Товар
Молоко, тыс. л
Картофель, т
Яйца, тыс. десятков
2001
200
600
20
Продано
2002
250
750
15
2003
300
900
25
Среднегодовая цена, руб.
2001
2002
2003
22000 20000 25000
15000 14000 14000
11000 12500 12000
Исчислите индексы цен: 1) 2002 г. к 2001 г.; 2) 2003 г. к 2002 г.;
3) 2003 г. к 2001 г.
9.4. Расчеты средних арифметических индексов
объема производства и производительности труда
Методические указания и решение типовых задач
Всякий агрегатный индекс может быть преобразован в средний арифметический из индивидуальных индексов. Для этого индексируемая величина отчетного периода, стоящая в числителе агрегатного индекса, заменяется произведением индивидуального
индекса на индексируемую величину базисного периода (исключением является индекс производительности труда).
Так индивидуальный индекс цен равен i = p1 , откуда p1 = ip0 .
p0
Следовательно, преобразование агрегатного индекса цен в средний
арифметический имеет вид
Σp q Σip0 q1
.
Ip = 1 1 =
Σp0 q1 Σp0 q1
z
Аналогично индекс себестоимости равен i = 1 , откуда
z0
Σiz 0 q1
Σz q
.
z1 = iz 0 , следовательно I z = 1 1 =
Σz 0 q1 Σz 0 q1
Аналогично индекс физического объема продукции (товароq
оборота) равен i = 1 , откуда q1 = iq0 , следовательно,
q0
Σq p
Σiq0 p0
.
Ip = 1 0 =
Σq0 p0 Σq0 p0
222
Индекс производительности труда равен i =
t0
, откуда t 0 = it1 ,
t1
Σt0 q1 Σit1q1
=
.
Σt1q1 Σt1q1
Из приведенных формул средних арифметических индексов
видно, что индексы физического объема продукции и производительности труда отличаются весами индивидуальных индексов. В
качестве весов в указанных средних арифметических индексах выступают либо фактические стоимости продукции базисного периода q0p0, либо фактические затраты труда на продукцию отчетного
периода t1q1. Это обстоятельство определяет преимущества и практическую значимость средних арифметических индексов физического объема продукции и производительности руда по сравнению
с агрегатными, так как их можно применять в том случае, когда в
исходной информации нет раздельных значений p и q или t и q.
В средних арифметических индексах цен и себестоимости весами служат произведения p и q и z и q, в которых p и z относятся к
базисному периоду, а q – к отчетному. Значит, для определения этих
весов необходимо иметь в исходной информации раздельные значения p и q или z и q. Если же имеются такие значения в исходной информации, то можно применять непосредственно агрегатный индекс. Значит, средние арифметические индексы цен и себестоимости
продукции не имеют преимущества перед агрегатными , это обстоятельство лишает их практической значимости. Поэтому практически
средние арифметические индексы применяются для расчета общих и
групповых индексов физического объема продукции (товарооборота) и производительности труда по трудовым затратам.
Задача 5. Рассмотрим метод определения среднего арифметического индекса физического объема продукции на следующем
примере. Имеются данные:
следовательно, I t =
Таблица 9.10
Отрасль производства
Сахарная
Мукомольно-крупяная
Мясная
Рыбная
Итого
Стоимость продукции
в базисном году, млн.
руб.
20,0
30,0
25,0
15,0
90,0
223
Индексы физического объема
продукции отчетном году
(базисный год = i)
1,47
1,55
1,71
2,10
-
Рассчитаем средний арифметический индекс физического объема продукции по четырем отраслям
Σiq0 p0 1,47 ⋅ 20 + 1,55 ⋅ 30 + 1,71 ⋅ 25 + 2,10 ⋅ 15
Iq =
=
=
20 + 30 + 25 + 15
Σq 0 p 0
19,9 + 46,5 + 42,75 + 31,5 150,15
=
= 1,667, или 166,7%.
90
90
Физический объем продукции четырех отраслей увеличился на
66,7%. Такой же результат мы получим, если вместо абсолютных
сумм стоимости продукции базисного периода используем в качестве весов удельные веса (в процентах) каждой отрасли в общем
итоге стоимости продукции базисного периода.
Задача 6. Рассмотрим метод расчета среднего арифметического индекса производительности труда на следующем примере.
имеются данные:
=
Таблица 9.11
Вид
продукции
А
Б
В
Итого
Затраты труда на едиУдельный вес
Взвешенницу продукции, чел.-ч затрат труда на Индивидуные индекпроизводство
альные инсы произбазисный отчетный отдельных ви- дексы производительно
дов продукции водительност
период
период
сти труда
в отчетном пе- и труда ( i )
(t0)
(t1)
(iT1)
риоде, % (T1)
5,94
5,4
30
1,1
33
7,98
7,6
50
1,05
52,5
3
3
20
1,0
20
100
105,5
Рассчитаем средний арифметический индекс производительности труда по трем видам продукции
Σ T 105,5
It = i 1 =
= 1,055 , или 105,5%.
ΣT1
100
Задачи
1.1. Имеются следующие данные о темпах роста продукции
по отдельным отраслям промышленности в отчетном году по сравнению с базисными и об удельном весе стоимости продукции данной отрасли в стоимости всей промышленной продукции в базисном периоде:
224
Таблица 9.12
Отрасль промышленности
I
II
III
IV
V
Темп роста
1,08
1,05
1,12
1,10
1,09
Удельный вес, %
15
10
20
12
8
Исчислите средний арифметический индекс объема произведенной продукции: 1) по I и II отраслям вместе; 2) по II и III
отраслям вместе; 3) по III и IV отраслям вместе; 4) по IV и V отраслям вместе.
12.1. Товарооборот в 1, 2 и 3-й секциях магазина составил в
прошлом году соответственно 16, 18 и 20 млн. руб. Определите
общий индекс физического объема товарооборота магазина в отчетном году, если известно, что товарооборот в неизменных ценах
увеличился в 1-й секции на 20%, во 2-й – на 16% и в 3-й – на 12%.
12.2. Определите общий индекс физического объема товарооборота магазина в отчетном году при условии, что товарооборот
прошлого года в 1, 2 и 3-й секциях составил соответственно 35, 25
и 8 млн. руб., а темпы прироста товарооборота в неизменных ценах
составил соответственно 5, 8 и 12%.
12.3. Определите общий индекс физического объема товарооборота магазина в отчетном году при условии, что товарооборот
прошлого года во 2-й секции был вдвое больше, чем в 1-й, и в 3-й
– в 1,5 раза больше, чем во 2-й, а темп прироста товарооборота в
1, 2 и 3-й секциях в неизменных ценах составил соответственно
10, 15 и 20%.
12.4. Определите общий индекс физического объема товарооборота магазина в отчетном году при условии, что товарооборот в
прошлом году составил в 1-й секции 8 млн. руб., во 2-й – 6 млн.
руб. и в 3-й – 10 млн. руб., а темпы прироста товарооборота в неизменных ценах составили соответственно 8, 5 и 4%.
13. Имеются следующие данные о росте производительности
труда по отраслям промышленности и удельном весе этих отраслей
в общем объеме затрат труда по всем отраслям промышленности в
отчетном периоде:
225
Таблица 9.13
Отрасль промышленности
I
II
III
IV
V
Индексы производительности
труда
1,05
1,08
1,10
1,04
1,06
Удельный вес, %
10
12
14
8
6
Исчислите средний арифметический индекс производительности руда по отраслям: 1) I и II; 2) II и III; 3) III и IV; 4) IV и V.
ГЛАВА 10. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ КОРРЕЛЯЦИИ
ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ СВЯЗЕЙ МЕЖДУ ЯВЛЕНИЯМИ
10.1. Расчет параметров уравнения прямой
по индивидуальным данным
Методические указания и решение типовых задач
Если результативный признак с увеличением факторного признака равномерно возрастает или убывает, то такая зависимость
является линейной и выражается уравнением прямой
y = a0 + a1 x,
где y - индивидуальные значения результативного признака;
x - индивидуальные значения факторного признака;
a0, a1 - параметры уравнения прямой (уравнения регрессии).
Параметры уравнения прямой a0, a1, определяются путем решения системы нормальных уравнений, полученных по методу
наименьших квадратов:
na0 + a1Σx = Σy;
a0 Σx + a1Σx 2 = Σyx.
Параметры уравнения можно определить также по следующим
формулам:
226
xy − xy
; a0 = y − a1 x .
x 2 − ( x )2
Задача 1. Имеются следующие данные по десяти однородным
предприятиям:
a1 =
номер предприятия
электровооруженность
труда на 1 работающего, кВт * ч
выпуск готовой продукции на 1 работающего, тыс. руб.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
5
3
7
2
6
4
9
8
4
3
6
4
6
4
8
6
9
9
5
Зависимость между электровооруженностью труда и продукцией на одного работающего – линейная и выражается уравнением
прямой
y x = a0 + a1 x,
где yх – выпуск готовой продукции на одного работающего;
x – электровооруженность труда на одного работающего;
a0 и a1 - параметры уравнения регрессии.
Для определения параметров уравнения регрессии строим расчетную таблицу.
Таблица 10.1
Номер
завода
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Итого
В среднем
Электровооруженность труда
на 1 работающего, кВтч
х
2
5
3
7
2
6
4
9
8
4
50
5,0
Выпуск готовой
продукции на 1
работающего,
тыс. руб.
у
3
6
4
6
4
8
6
9
9
5
60
6,0
227
ху
х2
ух
6
30
12
42
8
48
24
81
72
20
343
34,3
4
25
9
49
4
36
16
81
64
16
304
30,4
3,61
6,0
4,41
7,59
3,61
6,80
5,20
9,19
8,38
5,20
60
Подставим в систему нормальных уравнений фактические
данные из таблицы:
10a0 + 50a1 = 60;
50a0 + 304a1 = 343.
Решаем систему нормальных уравнений в следующей последовательности:
домножим каждый член первого уравнения на 5
50a0 + 250a1 = 300;
50a0 + 304a1 = 343.
Вычтем из второго уравнения первое и получим
43 = 54a1 ,
откуда
a1 = 43 : 54 = 0,7963.
Подставим значение а1 в первое уравнение, получим а0 = 2,02.
Уравнение корреляционной связи примет вид
y x = 2,02 + 0796x.
Параметры уравнения регрессии можно определять и по формулам
xy − xy
34,3 − 5 ⋅ 6
a1 = 2
=
= 0,796;
2
x − (x)
30,4 − 5 ⋅ 5
a0 = y − a1 x = 6,0 − 0,796 ⋅ 5,0 = 2,02.
После определения параметров уравнения регрессии рассчитываем теоретическую линию регрессии ух путем подстановки значений х в уравнение корреляционной связи:
y1 = 2,02 + 0,796 ⋅ 2 = 3,61;
y2 = 2,02 + 0,796 ⋅ 5 = 6,0 и т.д.
Если параметры уравнения связи определены правильно, то
Σy = Σy x .
Окончательная проверка правильности расчета параметров
уравнения связи производится подстановкой а0 и а1 в систему нормальных уравнений.
Используя уравнение корреляционной связи y x = a0 + a1 x,
можно определить теоретическое значение ух для любой промежу228
точной точки (теоретическое значение выпуска готовой продукции
на 1 работающего для любого промежуточного значения электровооруженность труда на 1 работающего).
Коэффициент регрессии а1 уточняет связь между х и у. Он показывает, но сколько единиц увеличивается результативный признак при увеличении факторного признака на единицу. В нашем
примере а1 = 0,796. Значит, при увеличении электровооруженности
труда на 1 работающего на 1 кВтч выпуск продукции увеличивается на 0.796 тыс. руб.
Задачи
1.1. По семи однородным семьям имеются следующие данные
о доходах и потреблении молока за месяц (на одного члена семьи):
номер семьи
доход (х), руб
потребление молока (у), л
1
54
8
2
63
10
3
74
11
4
90
13
5
112
15
6
140
17
7
190
19
Найдите уравнение корреляционной связи между доходом и потреблением молока (связь линейная). Проанализируйте параметры
уравнения регрессии. Изобразите графически данную зависимость.
1.2. По десяти однородным семьям имеются следующие данные о доходах и расходах на промышленные товары за месяц:
номер семьи
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
доход на душу, руб.
100 120 110 115 125 130 125 140 140 150
расходы на промышленные товары, руб.
12 13 18 19 20 20 25 30 31 35
Найдите уравнение корреляционной связи между доходом и
расходами на промышленные товары (связь линейная). проанализируйте параметры уравнения связи. Изобразите корреляционную
связь на графике.
1.3. По 8 рабочим механического завода имеются следующие
данные:
номер рабочего
1 2
3
4
5
6
7
8
стаж работы (х), лет
1 3
4
2
5
7
8
9
выработка одного рабочего за смену (у), шт. 80 90 120 100 110 150 160 130
Найдите уравнение корреляционной связи между стажем
работы и выработкой (связь линейная). Проанализируйте пара229
метры уравнения регрессии. Изобразите корреляционную связь
графически.
1.4. По 10 однородным предприятиям имеются следующие
данные:
выпуск готовой продукции
на 1 работающего, тыс. руб. 6.3
электровооруженность труда
на 1 работающего, кВтч
5
6,0
7,5
4
6
8,5 3,5 6,2 7,5 8.7 6,0 3,7
7
3
4
6
7
4
3
Найдите уравнение корреляционной связи между выработкой и электровооруженностью труда. Проанализируйте параметры уравнения регрессии. Изобразите корреляционную связь графически.
10.2. Расчет коэффициента ассоциации
Методические указания и решение типовой задачи
Коэффициент ассоциации применяется для определения степени связи двух признаков, вариации которых носят альтернативный характер.
Для расчета коэффициентов ассоциации строится четырехклеточная корреляционная таблица, которая носит название «таблицы
четырех полей». Статистическое сказуемое таблицы можно представить следующим образом:
а
с
а+с
b
d
b+d
a+b
c+d
a+b+c+d
Расчет коэффициента ассоциации производится по формуле
ad − bc
Ka =
.
( a + b)(b + c )(a + c )(c + d )
Если Ка не менее 0,3, то это свидетельствует о наличии связи
между качественными признаками.
Задача 9. Имеются следующие данные о цвете глаз матерей и
дочерей:
230
Таблица 10.2
Цвет глаз дочери
светлый
471
151
622
Светлый
Темный
Итого
Цвет глаз матери
темный
148
230
378
итого
619
381
1000
Рассчитаем коэффициент ассоциации
471 ⋅ 230 − 148 ⋅ 151
Ka =
= 0,365.
619 ⋅ 381 ⋅ 622 ⋅ 378
Между цветом глаз матерей и дочерей существует корреляционная связь.
Задачи
9.1. По заводу имеются следующие данные:
Таблица 10.3
Группы рабочих
Прошедшие
техническое
обучение
Не прошедшие
техническое
обучение
Итого
Число рабочих в группе
выполнивших
не выполнивших
и перевыполнивших
норму выработки
норму выработки
115
20
всего
135
15
50
65
130
70
200
Установите степень тесноты связи между выполнением норм
выработки и технической подготовкой рабочих.
9.2. По району имеются данные о наличии в 100 колхозах подсобных предприятий и садовых насаждений:
Таблица 10.4
Наличие подсобных
предприятий
Нет
Есть
Итого
Наличие садовых насаждений
есть
нет
итого
32
14
46
20
34
54
52
48
100
231
Установите тесноту связи между наличием подсобных предприятий и садовых насаждений в колхозах.
9.3. По колхозу имеются данные о внесении удобрения в почву
и урожайности по 60 участкам:
Таблица 10.5
Степень удобрения почвы
низкая
16
6
22
Низкая
Высокая
Итого
Урожайность
высокая
10
28
38
итого
26
34
60
Установите тесноту связи между урожайностью и степенью
удобрения почвы.
9.4. В результате обследования населения района получены
данные:
Таблица 10.6
Семейное
положение
Одинокие
Семейные
Итого
Число лиц,
имеющих
сбережения
120
600
720
Число лиц,
не имеющих
сбережения
80
200
280
Всего
200
800
1000
Установите тесноту связи между семейным положением и наличием сбережений.
10.3. Расчет коэффициента взаимной сопряженности А.А. Чупрова
Методические указания и решение типовой задачи
Коэффициент взаимной сопряженности А.А. Чупрова применяется для измерения тесноты связи качественных признаков и
рассчитывается по формуле
K=
ϕ2
( K1 − 1)( K 2 − 1)
232
,
где К1 – обозначает число возможных значений первой статистической величины (число групп);
К2 – число возможных значений второй статистической величины;
ϕ 2 – показатель взаимной сопряженности, который определяется как сумма отношений квадратов частот каждой клетки таблицы распределения к произведению итоговых частот соответствующего столбца и строки. Вычитая из этой суммы единицу, получим
величину ϕ 2 .
Задача 10. Рассмотрим расчет коэффициента взаимной сопряженности по данным задачи 9.3.
Таблица 10.7
Степень удобрения почвы
Низкая
Высокая
Итого
низкая
16
(256)
11,64
6
(36)
1,63
22
Урожайность
высокая
10
(100)
263
28
(784)
20,63
38
итого
26
14,27 0,509
34
22,76 0,618
1,1273
Вычислительная работа ϕ 2 производится по следующей схеме
(табл. 10.6). Сначала, в верхней части каждой клетки этой схемы
записываются частоты таблицы распределения задачи 9.3. Под ними (в скобках) записываются квадраты этих частот. Затем производят деление каждого квадрата на итог частот соответствующего
столбца (256 : 22). Полученные результаты записывают в нижней
части соответствующих клеток.
После этого, числа записанные внизу каждой клетки, суммируются для каждой строки, суммы записываются в нижней части
клеток итогового столбца (11,64 + 2,63 = 14.27). Наконец, эти суммы 14,27; 22,76 делятся на соответствующие итоги строк 26,34 и
полученные частные 0,509 и 0,618 записываются в последнем
столбце таблицы. Сумма этих чисел 1,127, без единицы, представляет собой ϕ 2 . Таким образом,
ϕ 2 = 1,127 − 1 = 0,127.
233
Теперь вычислим К взаимной сопряженности А.А. Чупрова по
формуле
ϕ2
0,127
K=
=
= 0,127.
( K1 − 1)( K 2 − 1)
1 ⋅1
К1 и К2 равны 2, так как таблица двухклеточная.
Задачи
10. По условиям задач 9.1, 9.2, 9.3 вычислите коэффициент
взаимной сопряженности А.А. Чупрова.
10.4. Расчет коэффициента корреляции рангов
Методические указания и решение типовой задачи
Ранговые коэффициенты корреляции являются наиболее простыми показателями измерения тесноты корреляционной зависимости. Одним из таких показателей является коэффициент корреляции рангов К. Спирмэна. Он рассчитывается по формуле
6Σd 2
ρ =1−
,
n (n 2 − 1)
где ρ – коэффициент корреляции рангов;
d – разность между величинами рангов в изучаемых рядах;
n – количество рангов изучаемого ряда.
Коэффициент корреляции рангов изменяется от +1 до – 1.
Задача 11. По 10 предприятиям имеются данные о размере основных фондов (факторный признак) и выпуске продукции (результативный признак):
размер основных
фондов, млн. руб.
выпуск продукции,
тыс. руб.
4,3
5,4
3,6
6,9
3,9
4,7
4,0
6,4
5,5
6,8
22,4 18,6 13,1 25,1 10,2 19,2 15,7 23,4 16,0 21,5
Располагаем индивидуальные величины размера основных
фондов в порядке возрастания (или убывания) и устанавливаем
ранги (порядковые номера величины признака):
234
размер основных
фондов, млн. руб.
ранги R1
3,6
1
3,9
2
4,0
3
4,3
4
4,7
5
5,4
6
5,5
7
6,4
8
6,8
9
6,9
10
Располагаем индивидуальные величины выпуска продукции в
порядке возрастания и определяем ранги (порядковые номера) величин полученного ряда:
выпуск продукции,
тыс. руб.
ранги RII
10,2 13,1 15,7 16,0 18,6 19,2 21,5 11,4 23,4 25,1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Составим расчетную таблицу для вычисления рангового коэффициента корреляции.
Таблица 10.8
Номер
Размер осВыпуск
Ранги разме- Ранги выd=RII-предновных фон- продукции, ров основных пуска про- RI
приятия дов, млн. руб. тыс. руб.
фондов R1
дукции
1
4,3
22,4
4
8
4
2
5,4
18,6
6
5
-1
3
3,6
13,1
1
2
1
4
6,9
25,1
10
10
0
5
3,9
10,2
2
1
-1
6
4,7
19,2
5
6
1
7
4,0
15,7
3
3
0
8
6,4
23,4
8
9
1
9
5,5
16,0
7
4
-3
10
6,8
21,5
9
7
-2
+7
Итого
-7
d2
16
1
1
0
1
1
0
1
9
4
34
Коэффициент корреляции рангов свидетельствует о наличии
прямой тесной связи между размером основных фондов и выпуском продукции.
Задачи
11.1. Имеются следующие данные по 8 предприятиям:
среднесписочная численность работающих, чел.
400
выпуск продукции, млн. руб. 2,5
460
5,0
235
1000 1300 2000
6,0
3,0
1,6
300
2,0
900
1,5
1100
10,5
Рассчитайте ранговый коэффициент корреляции.
11.2. Имеются следующие данные по 7 предприятиям:
размер основных фондов, млн. руб.
выпуск продукции, тыс. руб.
6
18
8
21
9
22
5
15
10
14
11
19
7
21
Рассчитайте ранговый коэффициент корреляции.
11.3. имеются следующие данные по 8 предприятиям:
валовая продукция, тыс. руб.
издержки производства, тыс. руб.
400 620 980 850 540 850 350 620
62 75 45 49 68 80 50 40
Рассчитайте ранговый коэффициент корреляции.
11.4. Имеются следующие данные по 10 промтоварным магазинам, тыс. руб.:
товарооборот
издержки обращения
670
35
560
27
580
30
630
40
610
36
650
31
520
28
500
30
560
24
470
70
Рассчитайте ранговый коэффициент корреляции.
Список рекомендуемой литературы
1. Гусаров В.М. Статистика: Учебное пособие для вузов. –
М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2002. – 463 с.
2. Гусаров В.М. Теория статистики: Учеб. пособие для вузов.
- М.: ЮНИТИ, 1998.
3. Елисеева И.И. Статистические методы измерения связей.
– Л.: Изд-во ЛГУ, 1982.
4. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория
статистики: Учебник для вузов. – М.: Инфра-М, 1996.
5. Курс социально-экономической статистики: Учебник для
вузов/ Под ред. М.Г. Назарова. – М.: Финстатинформ, ЮНИТИ –
ДАНА, 2000.
6. Методологические положения по статистике. Вып. 1 –
Госкомстат России. – М., 1996.
7. Национальное счетоводство: Учебник/ Под ред. Г.Д. Кулагиной. – М.: Финансы и статистика, 1997.
8. Новиков М.М., Теслюк И.Е. макроэкономическая статистика: Учебное пособие. – Минск.: БГЭУ, 1996.
236
9. Практикум по статистике: Учеб. пособие для вузов/ Под
ред. В.М. Симчеры/ВЗФЭИ. – М.: Финстатинформ, 1999.
10. Рябушкин Б.Т. Национальные счета и экономический баланс. – М.: Финансы и статистика, 1999.
11. Симчера В.М., Едронова В.Н., Сафронова В.П. Практикум
по финансовой и биржевой статистике: Учеб. пособие – М.:
ВЗФЭИ, 1993.
12. Статистика: Курс лекций для вузов/ Под ред. В.Г. Ионина.
– М.: ИНФРА – М, 1996.
13. Теория статистики: Учебник/ Под ред. Р.А. Шмойловой –
2-е изд., доп. и перераб. – М.: Финансы и статистика, 1998. – 576 с.
14. Теслюк И.Е. Статистика финансов: Учеб. пособие. –
Минск.: Высш. шк., 1994.
15. Экономическая статистка: Учебник/ Под ред. Ю.Н. Иванова. – М.: ИНФРА-М, 1998.
16. Экономика и статистика фирм: Учебник/ Под ред. С.Д.
Ильенковой. – М.: Финансы и статистика, 1996.
17. Российский статистический ежегодник. – М.: 1999.
237
Содержание
Глава 1. Статистическое наблюдение ...........................................
1.1. Программа статистического наблюдения .............................
1.2. Организация статистического наблюдения ..........................
1.3. Приемы контроля результатов
статистического наблюдения ........................................................
Глава 2. Сводка и группировка
статистических данных ..................................................................
2.1. Построение рядов распределения
по количественному признаку,
по атрибутивному признаку ..........................................................
2.2. Построение группировки типологической,
структурной и аналитической .......................................................
2.3. Приемы вторичной группировки ...........................................
Глава 3. Статистические таблицы .................................................
Глава 4. Абсолютные и относительные
величины .........................................................................................
4.1. Пересчет абсолютных величин
в условные единицы измерения ....................................................
4.2. Определение относительных
величин выполнения плана ............................................................
4.3. Определение относительных
величин структуры .........................................................................
4.4. Определение относительных величин
координации и сравнения ..............................................................
4.5. Определение относительных
величин динамики ..........................................................................
4.6. Определение относительных
величин интенсивности ..................................................................
Глава 5. Средние величины ...........................................................
5.1. Исчисление средней арифметической простой
по индивидуальным данным .........................................................
5.2. Исчисление средней арифметической
взвешенной в дискретном ряду распределения ...........................
238
3
3
8
11
16
16
26
34
40
67
67
70
75
79
81
82
84
84
86
5.3. Исчисление средней арифметической
взвешенной в интервальном ряду распределения
с закрытыми и открытыми интервалами ......................................
5.4. Исчисление средней арифметической
взвешенной по способу моментов ................................................
5.5. Расчет средней арифметической
из групповых средних ....................................................................
5.6. Расчет средней гармонической ..............................................
5.7. Расчет моды ..............................................................................
5.8. Расчет медианы ........................................................................
Глава 6. Показатели вариации .......................................................
6.1. Определение размаха вариации .............................................
6.2. Определение среднего линейного отклонения
по индивидуальным данным
и в рядах распределения ................................................................
6.3. Расчет дисперсии и среднего квадратического
отклонения по индивидуальным данным
и в рядах распределения ................................................................
239
2
96
100
102
107
110
113
113
114
118
2
6.4. Расчет дисперсии по формуле σ = х − х .
По индивидуальным данным и в рядах распределения ..............
6.5. Расчет дисперсии по способу моментов ................................
6.6. Определение коэффициента вариации ..................................
6.7. Расчет групповой, межгрупповой и общей
дисперсии (по правилу сложения дисперсии) .............................
6.8. Расчет эмпирического корреляционного отношения ...........
6.9. Расчет коэффициента асимметрии .........................................
7.1. Определение ошибки выборочной
средней при собственно-случайном
и механическом отборе ..................................................................
7.2. Определение ошибки выборочной доли
при собственно-случайном и механическом отборе ...................
7.3. Определение необходимой численности
выборки при изучении средней для
собственно-случайного и механического отбора ........................
7.4. Определение необходимой численности
выборки при изучении выборочной доли
для собственно-случайноого и механического отбора ...............
2
92
123
128
131
133
137
140
143
147
150
153
7.5. Определение ошибки выборочной
средней типической выборки ........................................................
7.6. Определение ошибки выборочной доли
в районированной и типической выборке ....................................
7.7. Определение необходимой численности
выборки для расчета выборочной средней
районированной и типической выборки ......................................
7.8. Определение необходимой численности
выборки для расчета выборочной доли
при районированной и типической выборке ................................
7.9. Определение ошибки выборочной
средней при серийной выборке .....................................................
7.10. Определение ошибки выборочной
доли при серийной выборке ..........................................................
7.11. Определение необходимой численности
выборки для расчета выборочной средней
при серийной выборке ....................................................................
Глава 8. Ряды динамики .................................................................
8.1. Установление вида ряда динамики ........................................
8.2. Приведение рядов динамики
к сопоставимому виду ....................................................................
8.3. Определение среднего уровня ряда динамики .....................
8.4. Определение показателей изменения
уровней ряда динамики, определение
среднего абсолютного прироста ...................................................
8.5. Определение в рядах динамики
среднего темпа роста и прироста ..................................................
8.6. Определение в рядах динамики
общей тенденции развития ............................................................
8.7. Определение в рядах внутригодовой
динамики индексов сезонности .....................................................
Глава 9. Индексы ............................................................................
9.1. Расчеты индивидуальных индексов
объема производства, товарооборота,
цен и себестоимости .......................................................................
9.2. Расчеты агрегатных общих и групповых индексов
объема производства (товарооборота), цен,
себестоимости и производительности труда ...............................
240
154
158
161
163
165
167
168
170
170
171
174
179
187
191
200
212
212
214
9.3. Расчеты агрегатных индексов
с постоянными и переменными весами,
цепных и базисных агрегатных индексов ....................................
9.4. Расчеты средних арифметических индексов
объема производства и производительности труда ....................
Глава 10. Применение теории корреляции
для измерения связей между явлениями ......................................
10.1. Расчет параметров уравнения прямой
по индивидуальным данным .........................................................
10.2. Расчет коэффициента ассоциации .......................................
10.3. Расчет коэффициента взаимной
сопряженности А.А. Чупрова ........................................................
10.4. Расчет коэффициента корреляции рангов ...........................
Список рекомендуемой литературы .............................................
241
219
222
226
226
230
232
234
236