Тема 6. Проверка гипотез о равенстве числовых характеристик

6. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О РАВЕНСТВЕ
ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
ДВУХ НОРМАЛЬНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
(
), Y
(
)
– распределение
(
)
дисперсии известны
(̅
̅)
(
)
√
дисперсии неизвестны
(̅ ̅)
)
√(
(
√
(
)
)
t – распределение
(
)
1
Практическое занятие №6
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О РАВЕНСТВЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
ДВУХ НОРМАЛЬНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
Проверка гипотезы о числовом значении дисперсии нормального распределения
Пусть Х – случайная величина, имеющая нормальный закон распределения
(
), причем числовое значение дисперсии
неизвестно.
Дать точный ответ на вопрос, каково числовое значение неизвестного параметра, можно обследовав всю генеральную совокупность, что сделать, как правило,
нельзя. В этом случае проводят выборочные наблюдения и по их данным вычисляют выборочную исправленную дисперсию, которая дает приближенное представление о числовом значении дисперсии .
В качестве критерия проверки используют величину, которая зависит от выборочных данных ( ) и по значению которой можно судить о близости исправленной дисперсии к предполагаемому значению
(
:
)
. Критерий при
выполнении гипотезы
подчиняется распределению Пирсона ( - распределение) с числом степеней свободы
. Границы критической области
определяют по Приложению 5. Cодержание и особенности этапов проверки статистической гипотезы
приведены в табл. 1.
Пример 1. Точность работы станка-автомата проверяется по дисперсии контролируемого
размера изделий, которая не должна превышать 0,15. Выборочному контролю было подвергнуто
25 изделий и по результатам определена оценка дисперсии =0,25. Предполагается, что размер
изделия – нормально распределенная случайная величина. Проверить гипотезу, что станок обеспечивает требуемую точность.
1. Принимаем
и
.
2. Назначаем
.
3. Согласно проверяемой гипотезе
в основе проверки лежит критерий:
(
)
имеющий асп еделение Пи сона (
свободы
4. Согласно гипотезе
)
п (
п (
5.
(
)
(
- распределение) с числом степеней
.
критическая область W – правосторонняя:
(по Приложению 5).
)
)
Т.к.
на л
п
на л
нулевая гипотеза отвергается. Ста-
нок не обеспечивает требуемой точности.
Таблица 1
(
;
1. Выбор
гипотез
2. Назначение
)
доп
3. Критерий
(
– распределение
)
на л
Приложение 5
4. Критическая
область
5. Критерий
отклонения
Левосторонняя
)
ле (
на л
ле
Двусторонняя
)и
п ( ⁄
⁄
)
ле (
ле или
на л
на л
Правосторонняя
)
п (
на л
п
п
2
Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных распределений
Пусть имеются две случайные величины, имеющие нормальный закон распределения, причем числовые значения параметров неизвестны. В этом случае
проводят выборочные наблюдения и по их данным вычисляют выборочные исправленные дисперсии, оценивающие неизвестные дисперсии.
После определения исправленных дисперсий две случайные величины именуют: случайную величину с большей исправленной дисперсией называют Х, а с
меньшей – Y.
В основу проверки данной гипотезы положен критерий:
, который
при выполнении гипотезы
имеет распределение Фишера ( - распределение) с
числом степеней свободы
и
. Границы критической области
определяют по соответствующему Приложению 7.
Cодержание и особенности этапов проверки статистической гипотезы
приведены в табл. 2.
Пример 2. Рабочий в начале смены настроил два станка-автомата. Предварительным анализом было установлено, что размер диаметра валиков, изготовленных каждым автоматом, имеет
нормальный закон распределения. В конце смены был проведен выборочный контроль 14 деталей,
обработанных на первом станке, и 9 деталей - на втором станке и исправленные дисперсии соответственно составили 5 мм и 7 мм . Проверить гипотезу о том, что два станка-автомата имеют
одинаковую точность.
На предварительном этапе именуем выборки: с большей дисперсией – X, с меньшей – Y:
, следовательно,
и
.
1. Принимаем
и
.
2. Назначаем
.
3. Согласно проверяемой гипотезе
в основе проверки лежит критерий:
, имеющий распределение Фишера ( - распределение) с числом степеней свободы
4. Согласно гипотезе
)
п (
5.
и
.
критическая область W – правосторонняя:
)
(по Приложению 7).
(
. Т.к.
на л
п
автоматы имеют одинаковую точность.
нулевая гипотеза принимается. Станки-
на л
Таблица 2
(
1. Выбор
гипотез
), Y
;
2. Назначение
(
или
)
доп
3. Критерий
– распределение
на л
Приложение 7
4. Критическая
область
п
5. Критерий
отклонения
Двусторонняя
( ⁄
)и
ле
на л
на л
или
ле
п
Правосторонняя
)
п (
на л
п
п
3
Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий
двух нормальных распределений при известных дисперсиях
Пусть Х и Y – случайные величины, имеющие нормальный закон распреде(
),
(
), причем числовые значения математического
ления
ожидания неизвестны, а числовые значения дисперсии известны. В этом случае
проводят выборочные наблюдения и по их данным вычисляют выборочное среднее
арифметическое (соответственно ̅ и ̅ ), которое дает приближенное представление о числовом значении математического ожидания.
В качестве критерия проверки используют величину, которая зависит от выборочных данных ( ̅ и ̅) и по значению которой можно судить о близости выбо( ̅ ̅)
рочных средних арифметических двух распределений:
.
√
Выбранный критерий при выполнении гипотезы
подчиняется стандартному нормальному закону распределения - Z
(
). Границы критической области ( ) находят по таблице интегральной функции Ф(z) Лапласа (Приложение 2).
Подробное содержание и особенности этапов проверки статистической гипотезы
с известными дисперсиями приведены в табл. 3.
Таблица 3
1. Выбор
гипотез
(
),
(
), дисперсии известны
, или
, или
и
2. Назначение
доп
3. Критерий
(̅
̅)
(
)
Приложение 2
√
4. Критическая
область
Левосторонняя
(
Двусторонняя
(
)
на л
;
п
ле
5. Критерий
отклонения
)
Правосторонняя
(
)
п
ле
ле
на л
на л
или
ле
на л
п
п
Пример 3. Рабочий в начале смены настроил два станка-автомата: X и Y. Предварительным
анализом было установлено, что размер диаметра валиков, изготовленных каждым автоматом,
имеет нормальный закон распределения с дисперсией 5 мм для станка X и 7 мм для станка Y. В
конце смены был проведен выборочный контроль 14 деталей, обработанных на станке X, и 9 деталей - на станке Y. Средние диаметры валиков соответственно составили: для автомата X – 182
мм, для Y – 185 мм. Проверить гипотезу о том, что два станка-автомата настроены на один размер.
1. Принимаем
и
.
2. Назначаем
.
3. Согласно проверяемой гипотезе
в основе проверки лежит критерий:
( ̅ ̅)
,
(
)
√
4. Согласно гипотезе
критическая область W – левосторонняя:
4
(
5.
и по Приложению 2 на одим
)
(
на л
)
Т.к.
√
на л
ле
и
ле
.
нулевая гипотеза отвергается, т.е. считаем,
что различие выборочных средних неслучайно и станки не настроены на один размер.
Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий
двух нормальных распределений при неизвестных, но равных дисперсиях
Пусть Х и Y – случайные величины, имеющие нормальный закон распреде(
),
(
), причем числовые значения математического
ления
ожидания и дисперсии неизвестны. В этом случае проводят выборочные наблюдения и по их данным вычисляют выборочное среднее арифметическое (соответственно ̅ и ̅ ), которое дает приближенное представление о числовом значении
математического ожидания, а также выборочную исправленную дисперсию, оценивающую неизвестную дисперсию ( и ).
Применяемый в данном случае критерий Стьюдента предполагает равенство
неизвестных дисперсий. Поэтому на предварительном этапе необходимо убедиться
в этом предположении (
- см. пример 2).
В основу проверки данной гипотезы положен критерий:
( ̅ ̅)
)
√(
(
(
√
)
)
который при выполнении нулевой ги-
потезы имеет распределение Стьюдента (t – распределение) с числом степеней свободы
. Границы критической области
(
) определяют по
соответствующей таблице (Приложение 6). Для односторонней критической области
находят по заданному уровню значимости , помещенному в нижней строке таблицы; для двусторонней - в верхней строке. Далее проверяется принадлежность на л критической области W.
Подробное содержание и особенности этапов проверки статистической гипотезы
при неизвестных, но равных дисперсиях приведены в табл. 4.
Пример 4. Рабочий в начале смены настроил два станка-автомата. Предварительным анализом было установлено, что размер диаметра валиков, изготовленных каждым автоматом, имеет
нормальный закон распределения. В конце смены был проведен выборочный контроль 14 деталей,
обработанных на первом станке, и 9 деталей - на втором станке. Средние диаметры валиков составили: для первого автомата – 182 мм, для второго – 185 мм, а выборочные исправленные дисперсии соответственно 5 мм и 7 мм . Проверить гипотезу о том, что два станка-автомата настроены на один размер.
На предварительном этапе именуем выборки: с большей дисперсией – X, с меньшей – Y:
, следовательно,
и
.
1. Принимаем
и
.
2. Назначаем
.
Дополнительно проверяем условие равенства дисперсий (см. пример 2).
3. Согласно проверяемой гипотезе
в основе проверки лежит критерий:
( ̅ ̅)
√(
)
(
)
√
(
)
, имеющий распределение Стьюдента ( - распреде-
ление) с числом степеней свободы
.
4. Согласно гипотезе
критическая область W – левосторонняя:
по Приложению 6 находим одностороннюю критическую точку
)
)
;
.
однос (
однос (
ле
5
5.
на л
(
√(
)
)
(
√
)
(
)
. Т.к.
на л
ле
нулевая гипотеза не
противоречит опытным данным. Можно сделать вывод, что различие выборочных
средних случайно и станки настроены на один размер.
1. Выбор
гипотез
(
),
Таблица 4
), дисперсии неизвестны, но равны
, или
, или
(
и
2. Назначение
доп
(дополнительно)
Проверка гипотезы
3. Критерий
(̅ ̅)
√(
)
(
)
(
√
)
– распределение,
4. Критическая
область
Двусторонняя
Левосторонняя
однос
(
,
)
д
с
(
Правосторонняя
)
;
п
ле
Приложение 6
однос
(
)
п
ле
5. Критерий
отклонения
на л
ле
на л
на л
или
ле
на л
п
п
Задачи для самостоятельной ра оты
Задача 1. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n =
17 и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия 0,24. Требуется проверить гипотезу о числовом значении дисперсии:  02 = 0,18.
Задача 2. По двум независимым выборкам, объемы которых n1 = 11 и n2 = 14 (распределенным нормально), найдены исправленные выборочные дисперсии = 0,76
и = 0,38. Требуется проверить гипотезу о равенстве дисперсий двух нормальных
распределений.
Задача 3. По двум независимым выборкам, объемы которых
= 40 и
= 50, извлеченным из нормальных совокупностей с известными дисперсиями
и
, найдены выборочные средние: 130 и 140 соответственно. Требуется проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий.
Задача 4. По двум независимым малым выборкам, объемы которых n = 12 и m = 18,
извлеченным из нормальных совокупностей с неизвестными параметрами, найдены
выборочные средние: 31,2 и 29,2 и исправленные дисперсии: 0,84 и 0,40. Требуется
проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий.
Задача 5. Из двух партий изделий, изготовленных на одинаково настроенных станках, извлечены малые выборки. Результаты для контролируемых размеров I и II станков:
I станок
3,4
3,5
3,7
3,9
II станок
3,2
3,4
3,6
ni
2
3
4
1
mi
2
2
8
Требуется проверить гипотезу о равенстве средних размеров изделий. Предполагается, что
результаты измерений распределены нормально и выборки независимы.
6