Методы построения производственной функции.. 3

УДК 338.32
Методы построения производственной функции
Информация об авторе
Васильева Надежда Викторовна. Доцент кафедры экономики университета Дубна. К.э.н.
E-mail: nvas@mail.ru
Аннотация
Рассматривается методология построения производственной функции, наиболее точно
соответствующая реальным процессам. При построении производственной функции
рассматривается эконометрические методы и методы математического
программирования.
Ключевые слова
Экономико-статистическая модель; технологическая эффективность; метод
максимального правдоподобия; метод наименьших квадратов; метод стохастической
граничной функции.
Переход к рыночной экономике тесно связан с процессами регулирования и
управления технологическими процессами. В этой связи актуальной становится задача
оптимального распределения ресурсов. Для ее решения нередко приходиться прибегать к
построению экономико-математической модели. Суть математического моделирования
состоит в замене реального объекта некоторой математической конструкцией, отражающей
характерные черты моделируемого процесса.
Построение модели само по себе не является самоцелью. Большинство из них
строится с вполне определенными целями, для решения определенных задач. Учет этих целей
необходим при разработке и идентификации модели. В основе каждой модели лежит система
предпосылок, определяющих исходные принципы построения модели. Если параметры
экономико-математической модели определяются на основе статистической информации с
использованием методов статистической обработки данных, то модель будет экономикостатистической.
Одним из таких моделируемых процессов может быть производственный процесс.
Экономико-статистической
моделью
может
служить
производственная
функция.
В
настоящее время достаточно хорошо разработана методология производственной функции,
удовлетворяющая
технологической
концепции
фирмы,
согласно
которой
фирма
рассматривается в виде замкнутой структуры, лишенной связей с внешней средой. Объем
выпуска продукции, произведенной данной производственной системой за период,
определяется размерами средств труда, предметов труда и собственно труда, участвующего в
процессе производства в течение этого периода. Функция производства строится в виде
детерминированной зависимости объема выпуска от факторов производства. Но еще в конце
XIX в. Йозеф Шумпетер писал [1], что такая производственная функция возможна только на
самом
высоком
уровне
абстракции
«…полностью
логический
смысл
концепции
производственной функции открывается только тогда, когда мы думаем о них как о функциях
«планирования» в мире проектов, где каждый элемент, который является технологически
переменным, может быть изменен по желанию мгновенно и без каких-либо издержек. Но
всякий раз, когда мы применяем эту концепцию (а мы определенно хотим это сделать) к
фирмам, которые владеют действующими предприятиями и уже «привязаны» к конкретным
заводам, оборудованию и, возможно, к части существующего административного аппарата,
мы должны помнить, что адаптация требует времени и те элементы производственного
аппарата
фирм,
которые
«сопротивляются»
переменам,
будут
действовать
на
технологический выбор как дополнительные ограничения». Неоклассики знали об этом и
нередко
упоминали
об
этом
ограничении
производственной
функции.
При
их
математических выкладках присутствовала оговорка «при прочих равных условиях». Однако
в некоторых разработках и в настоящее время производственная функция носит
технологический характер [2]. Для ее построения используется метод наименьших квадратов.
Такая модель будет стационарной моделью, которая может существовать только в абсолютно
«чистых» условиях, при условии, что на производственный процесс нет никакого внешнего
воздействия.
Наряду с технологической концепцией фирмы, в процессе ее развития и становления,
присутствовали
взгляды,
положившие
начало
институциональной
концепции.
Представителями данного подхода были Френсис Найт, Рональд Коуз, Армен Алчиан и
Гарольд Демсец, Уильямсон, Бенджамин Клейн, Харви Лейбенстайн и др. В результате
появились теории трансакционных издержек, отраслевых рынков, предпринимательства,
компетенций, Х-эффективности [3—6]. Это совершенно другой взгляд на теорию фирмы, где
делается предположение о том, что фирма должна рассматриваться в виде структуры,
помещенной в среду. В силу неоднородности среды, в силу ее постоянной изменчивости,
фирма может выходить из стационарного состояния. Факторы среды могут оказывать
воздействие на производственный процесс, снижая или увеличивая объем выпуска при
неизменных факторах производства. Именно такое состояние производственного процесса
чаще всего наблюдает исследователь на эмпирическом материале. В такой ситуации процесс
построения производственной функции, как зависимости объема выпуска от факторов
производства, с использованием метода наименьших квадратов становится невозможным.
Необходимы
другие
методы,
позволяющие
отделить
факторы
производства
от
сопутствующих факторов и «очистить» моделируемый производственный процесс от
искажающего его внешнего воздействия.
Такая задача впервые появилась в середине XX в. Учеными Голландии, Франции,
Англии, США проведены фундаментальные аналитические исследования в области анализа
технической эффективности, цель которых заключалась в выявлении различий в методиках
построения граничной функции и измерения технической эффективности. Благодаря
развитию программирования и эконометрики предложено большое количество методик,
каждая из которых имела свои преимущества и недостатки.
В данной работе сделан акцент на параметрических методах построения
производственной функции. Рассмотрены методы наименьших квадратов и стохастической
граничной функции.
Введем такие понятия, как основные и неосновные, или сопутствующие, факторы
производства, и определим между ними различия. К основным отнесем те факторы
производства,
которые
вовлечены
в
производственный
процесс
усилиями
лица,
управляющего производственным процессом. В качестве такого лица рассмотрим
предпринимателя, владельца активного капитала, преследующего единственную цель —
максимизацию прибыли. Основные факторы производства находятся под полным контролем
предпринимателя и полностью им управляемы. Они могут быть изменены, переведены в
другие активы, уничтожены и приобретены по желанию предпринимателя. К ним следует
отнести величину авансированного капитала, объем трудовых ресурсов, ставку заработной
платы, производственные мощности и т.д. Совокупность производственных факторов создает
организационную структуру, управляемую предпринимателем.
К сопутствующим отнесем дополнительные факторы, данные внешней средой,
факторы
индивидуального
характера,
присущие
непосредственно
участникам
производственного процесса, внутрифирменные факторы. Некоторые из них могут оказывать
негативное воздействие на производственный процесс, к таким могут быть отнесены
возможные сбои в поставке товара, непостоянство закупочных цен на сырье и материалы,
изменчивость вкусов, предпочтений и доходов потребителей, оппортунистическое поведение
обслуживающего персонала и т.д. Такие факторы создают риск и неопределенность в
деятельности фирмы и могут негативно влиять на
результаты производственной
деятельности.
Несомненно, некоторые из сопутствующих факторов могут быть переведены
предпринимателем в разряд управляемых. Предположим, для ликвидации потерь, связанных
с оппортунистическим поведением персонала, может быть использован механизм поощрения
в виде надбавок к зарплате. Несвоевременная поставка товара от поставщика, являющаяся
для фирмы фактором отрицательного воздействия, может быть переведена в разряд
управляемых введением дополнительных контрактов с поставщиками. Вполне возможно, что
такие меры приведут к дополнительным (транзакционным) издержкам, о которых писал
Коуз. В таких условиях предприниматель будет постоянно находиться перед рядом
альтернативных решений и каждое принятое им решение есть шаг в неизвестность. Именно
поэтому роли предпринимателя отводили большое внимание А. Смит, Й. Шумпетер, Ф. Найт
и многие другие экономисты.
Введем такое понятие, как анализируемый объект. В качестве анализируемого
объекта может рассматриваться любая организационная структура (фирма) со всеми ее
входными
характеристиками,
представленными
в
виде
факторов
производства.
В
стационарном режиме анализируемый объект, представленный совокупностью факторов
производства, способен производить определенный объем продукции, назовем его выходом,
или результатом работы фирмы. В неизменных условиях внешней среды, при нулевом
воздействии
зависимостью
сопутствующих
от
факторов
факторов
результат
производства
и
работы
может
быть
будет
детерминированной
описан
функциональной
зависимостью вида y  f ( x1 , x2 , ..., xn ) , где y — объем выпуска, x1 , x2 , ..., xn — факторы
производства. Такой подход заложен в основу технологической концепции.
В различные моменты времени анализируемый объект попадает в различные
состояния внешней среды, испытывая на себе воздействие сопутствующих факторов.
Внешняя среда вынуждает данный объект подстраиваться к ее характеристикам, желаниям,
требованиям, что ведет к изменению результата работы анализируемого объекта, к
отклонению от стационарного состояния. Поскольку факторы производства в каждый момент
времени стационарны и не могут в течение короткого периода времени адаптироваться к
требованиям внешней среды, всегда будет присутствовать неэффективность, обусловленная
несоответствием производственного процесса требованиям внешней среды. Тогда должен
быть показатель, позволяющий оценить степень отклонения от стационарного состояния и
одновременно степень использования факторов производства. Таким показателем является
технологическая эффективность.
Технологическая эффективность есть сравнительная характеристика анализируемого
объекта, находящегося в различных состояниях среды. Она может быть выражена в виде
коэффициента технической эффективности, равного отношению фактически произведенного
объема выпуска к максимально возможному. Под максимально возможным объемом выпуска
следует понимать объем выпуска, который фирма могла бы произвести, имея фиксированный
на рассматриваемый момент времени набор факторов производства при условии, что сила
воздействия сопутствующих факторов равна нулю. Множество максимально возможных
объемов выпуска позволит построить границу эффективности. Граница эффективности есть
множество технологически эффективных способов производства при условии, что сила
воздействия сопутствующих факторов равна нулю. Коэффициент технической эффективности
позволяет оценить степень использования факторов производства и для предпринимателя
имеет большое значение, поскольку именно он позволяет принять решение о вложении
капитала в тот или иной производственный процесс. Способы производства, располагающиеся
ниже границы эффективности, будем считать технологически неэффективными способами.
В
условиях
эффективными.
стационарного
Появление
состояния
неэффективности
все
связано
используемые
с
технологии
появлением
будут
неоднородности,
создаваемой внешней средой и сопутствующими факторами. Было бы большой ошибкой
строить модель производственной функции в виде
y  f ( x1 , x2 , ..., xn , z1 , z2 , ..., zm ) , где
z1 , z2 , ..., zm — факторы внешнего воздействия. Такая модель может быть использована как
модель предсказания, но не как модель производственной функции, задача которой состоит в
том, чтобы выявить соотношение между объемом выпуска и факторами производственного
процесса. Наиболее правильный подход должен позволить выделить фирму из внешней среды,
показать фирму как самостоятельную организационную структуру, которая находится в
постоянном поиске точек наиболее благоприятного слияния с внешней средой.
Рассмотрим пример. Имеются данные (табл. 1): Y — объем выпуска, X —
производственный фактор (только для простоты изложения рассмотрим один условный
фактор), Z — сопутствующий фактор, в некоторые моменты времени проявляющий свое
воздействие на процесс производства. Необходимо построить производственную функцию
Y  f (X ) . Предположим, спецификация модели имеет вид Y  X  е , где е — вектор
случайных составляющих. О воздействии сопутствующего фактора пока неизвестно.
Методом наименьших квадратов (OLS) получено уравнение регрессии в виде
1
YˆOLS
 24,05  5,01 X
(c. o.) (4,95) (0,36)
Таблица 1
Построение производственной функции методом наименьших квадратов
Номер
Y
X
1
YˆOLS
YˆSFPF
измерени
я
1
10,0
6,0
6,0
12,2
2
15,0
7,0
11,0
17,0
3
10,0
8,0
16,1
21,9
4
25,0
9,0
21,1
26,7
5
30,0
10,0
26,1
31,6
6
20,0
11,0
31,1
36,4
7
40,0
12,0
36,1
41,2
8
35,0
13,0
41,1
46,1
9
50,0
14,0
46,1
50,9
10
40,0
15,0
51,2
55,8
11
60,0
16,0
56,2
60,6
12
64,0
17,0
61,2
65,4
13
70,0
18,0
66,2
70,3
14
68,0
19,0
71,2
75,1
15
80,0
20,0
76,2
80,0
N
1
) 2  476.
Коэффициент детерминации R2  0,94 ; сумма квадратов отклонений  (Yi  YˆOLS
i 1
Графически оцененная функция представлена на рис.1.
Рисунок 1
График производственной функции
90
80
70
60
Y
50
40
30
20
10
0
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
X
Проведем анализ остатков на принадлежность нормальному распределению. На рис. 2
1
представлена гистограмма вектора отклонений е  Y  YˆOLS
. Проведена подгонка под нормальное
распределение. Критическое значение  2 для трех степеней свободы на 1%-м уровне
значимости равно 11,3. Критерий  2 = 14,13 показывает, что случайная составляющая не
подчиняется нормальному распределению.
Математическое ожидание = 0,05, показатель асимметрии skewness = –1,12. Это
говорит о присутствии факторов, скрытых в случайной составляющей. Использование такой
модели, как адекватно описывающей процесс производства, было бы неверным, поскольку
получены смещенные оценки модели. Поскольку в наших данных присутствует только один
фактор производства X, уже включенный в модель, то на этом этапе метод OLS для построения
производственной функции должен быть отклонен.
Рисунок 2
График плотности распределения вероятности
V
a
a
i
r
b
e
l
e
D
,
:
s
i
b
i
r
t
u
o
i
t
n
N
:
o
m
r
a
l
C
h
S
i
q
u
a
e
r
e
t
s
=
t
1
4
1
,
3
3
3
2
d
,
=
f
3
p
,
=
0
0
,
0
2
7
3
1
1
1
0
9
8
7
6
No.fbservation
5
4
3
2
1
0
1
2
6
,
6
6
7
9
5
,
0
0
0
6
3
,
3
3
3
3
1
,
6
6
7
0
0
,
0
0
0
3
1
,
6
6
7
6
3
,
3
3
3
Для построения производственной функции используем методологию стохастической
граничной функции производства (SFPF). Стохастическая граничная функция производства,
представленная в [7—9], имеет вид
Yi  xi   ei ,
i  1, , N ,
где ei  Vi  U i ;
N — количество наблюдений;
Yi —объем производства (или логарифмированный объем производства) i-го наблюдения;
xi
— k  1 вектор объясняющих (для функции Добба—Дугласа логарифмированных)
переменных i-го наблюдения;
 — вектор неизвестных параметров;
Vi
— случайная переменная, принадлежащая нормальному распределению с нулевым
математическим ожиданием и дисперсией  V2 и независимая от U i ;
U i — неотрицательная случайная переменная, используемая для объяснения технической
неэффективности производства, принадлежит нормальному распределению с ненулевым
математическим ожиданием, усеченным в нуле, и дисперсией  U2 .
Данная методология позволяет построить функцию производства методом
максимального правдоподобия при условиях, что случайная составляющая может иметь как
нормальное распределение, так и усеченное в нуле. Критерием качества подгонки является
значение функции максимального правдоподобия (llf). Для сравнения двух методов
используем критерий отношения максимального правдоподобия, который может быть
представлен в виде l  2[llf SFPF  llf OLS ] . Данная статистика аппроксимируется  2 распределением с числом степеней свободы, равным разности между количеством параметров
для функции SFPF и OLS.
По данным табл. 1, используя программу Frontier 4.1 [14], построим граничную
функцию производства (SFPF). Получена зависимость:
YˆSFPF  16,84  4,84 X
(c. o.)
(0,99) (0,99)
Значение функции максимального правдоподобия для стохастической граничной
функции
llf SFPF = –42. Значение функции максимального правдоподобия, полученное
методом наименьших квадратов llf OLS = –47. Для сравнения результатов, полученных двумя
способами, построим гипотезы. В нулевой гипотезе сделаем предположение о том, что оба
метода дают один и тот же результат, в альтернативной — предположение о том, что методы
позволяют получить различный результат. Если будет принята альтернативная гипотеза, то
мы должны выбрать метод с наименьшим значением функции llf. Построим тест-статистику:
Критическое значение для двух степеней свободы на 1%-м уровне значимости равно
9,21. Следовательно, можем сделать заключение о том, что результаты значимо отличаются
друг от друга. Это значит, что действительно присутствует неэффективность, обусловленная
сопутствующим фактором. Метод SFPF позволяет получить лучший результат.
l  2[llf SFPF  llf OLS ]  2[42  47]  10.
Графическое представление полученных функций показано на рис. 3. Граница
эффективности методом SFPF расположилась выше функции, построенной методом OLS. В
случае, когда присутствует негативное внешнее воздействие, метод наименьших квадратов для
построения производственной функции использован быть не может.
Рисунок 3
Граница эффективности, построенная методом наименьших квадратов
 Фактические наблюдаемые
90
SFPF
80
OLS
Y
70
60
50
40
30
20
10
0
4
6
8
10
12
14
1
6
18
20
22
X
Cписок используемой литературы
1. Клейнер Г. Б. Производственные функции: теория, методы, применение. М., 1986.
2. Уильямсон О. И. Экономические институты капитализма. СПб., 1996.
3. Шумпетер Й. История экономического анализа: В 3 т.: Пер. с англ. СПб.: Экон. шк.
2001. Т. 3.
4. Aigner D. J., Lovell C. A. K. and Schmidt P. (1977), Formulation and Estimation of
Stochastic Frontier Production Function Models, Journal of Econometrics, 6.
5. Alchian A., Demsetz H. Production, information costs and economic organization. American
Economic Review, 1972.
6. Battese G. E. and Coelli T. J., Frontier Production Functions, Technical Efficiency and Panel
Data: With Application to Paddy Farmers in India, Journal of Productivity Analysis, 1992, 3.
7. Coase R. The Nature of the Firm. Economica. 1937. № 4; а также Lecture on The Nature of
the Firm. Journal of Law, Economics, and Organization. 1988. № 4.
8. Knight F. Risk, Uncertainty and Profit. New York. 1921.
9. Meeusen W. and van den Broeck J., Efficiency Estimation from Cobb-Douglas Production
Functions With Composed Error, International Economic Review, 1977, 18.