Евклидовы классические решения и туннелирование в

Евклидовы классические решения и туннелирование в квантовой механике.
Квантовая механика одной переменной: Изучаем туннелирование частицы массы
M в одномерном потенциале V (q) в квазиклассическом приближении из метастабильного
основного состояния. Пусть потенциал имеет минимум в точке q0 (U (q0 ) = 0, U 0 (q0 ) = 0,
U 00 (q0 ) > 0) и нуль в точке q1 (U (q1 ) = 0, U 0 (q1 ) 6= 0). Вероятность протуннелировать дается
квадратом модуля волновой функции в точке q1 , который в квазиклассике определяется
действием на отскоковом решении. Отскок (bounce) – решение евклидовых (в мнимом
времени τ = it или в перевернутом потенциале (−V (q))) уравнений движения:
2
M dq
− V (q) = 0;
— с нулевой евклидовой энергией E =
2 dτ
— стартующее из метастабильного вакуума
q0 при τ = −∞;
dq — имеющее точку поворота q(0) = q1 ,
= 0.
dτ q1
Квантовая механика нескольких переменных: Евклидовых решений, стартующих с нулевой энергией из q0 , теперь много (в разные стороны). Большинство из них
загибается, не доходя до поверхности V = 0; огибающая этих решений называется каустикой. Только некоторые решения доходят до поверхности V = 0, они имеют точки
поворота в точках касания каустики и поверхности V = 0. Из этих решений нужно выбрать обладающее наименьшим евклидовым действием; в соответствующую точку поворота с наибольшей вероятностью будет происходить туннелирование, а время жизни уровня
определяется экспонентой от действия на этом отскоковом решении.
После туннелирования (“материализации” в точке поворота) траектория частицы чисто классическая и определяется аналитическим продолжением отскокового решения в
обычное время, t = −iτ . Вероятности других сценариев туннелирования и дальнейшего
движения экспоненциально подавлены, если квазиклассика применима.
Распад ложного вакуума в теории скалярного поля.
Евклидов пузырь. Аналогичные соображения для системы с бесконечным числом
степеней свободы — теории поля — приводят к поиску решений евклидовых уравнений
поля (с метрикой diag(1, 1, 1, 1)) c E = 0, описывающих процесс туннелирования, неоднородный в пространстве. Будем интересоваться квазиклассической вероятностью туннелирования из ложного вакуума в истинный. Соответствующая конфигурация имеет вид
пузыря в евклидовом пространстве, внутри которого поле стремится к истинному вакууму
φ1 , а снаружи – к ложному φ0 .
dφ
Достижение точки поворота,
= 0 для всех x при τ = 0, и одновременно φ → φ0
dτ
при τ → ±∞,√наблюдается, в частности, для сферически симметричных гладких полей
φ(r), где r = τ 2 + x2 и φ → φ0 при r → ∞. Существование отскокового решения можно
доказать, воспользовавшись механической аналогией – считая r “временем”, рассмотреть
движение частицы в перевернутом потенциале с трением, убывающим со временем.
Тонкая стенка. Пусть потенциал имеет вид
V (φ) = V0 (φ) − V1 (φ),
(11)
где V0 симметричен относительно замены φ ↔ −φ и имеет вырожденные минимумы ±φ0 ,
а V1 его “перекашивает”, V0 (±φ0 ) = 0, V1 (−φ0 ) = 0, V1 (+φ0 ) = 1, – малый параметр размерности плотности энергии. Интересуемся туннелированием из ложного вакуума ≈ −φ0
в истинный ≈ +φ0 . Будем искать сферически симметричный евклидов пузырь, воспользовавшись механической аналогией (см. выше). Воображаемая частица стартует из окрестности более высокого горба с нулевой скоростью, так что в основном движение происходит при больших r, когда трение мало. Если пренебречь членом, содержащим φ0 , получим
14
уравнение и граничные условия для одномерного антикинка с произвольным центром R
(оно соответствует пузырю радиуса R с тонкой стенкой). Радиус найдем, минимизируя
евклидово действие по R:
π2
SB (R) ≈ 2π 2 µR3 − R4 , где µ =
2
Z+∞ 1 0
2
dr
(φ (r)) + V0 (φ(r))
2
−∞
(второй член – вклад внутренности пузыря, а первый – вклад стенки). Экстремум соответствует RB = 3µ/.
Движение после материализации происходит по аналитически продолженному в
обычное
время, то есть в пространство Минковского, отскоковому решению. r заменяется
√
на x2 − t2 , так что поверхности постоянного φ – гиперболоиды в пространстве–времени.
Это означает, что для покоящегося наблюдателя область истинного вакуума расширяется,
причем скорость стенки со временем приближается к скорости света.
Критический пузырь (сфалерон) – неустойчивое решение статических уравнений
поля, определяющее высоту барьера, разделяющего истинный и ложный вакуумы. Статическое уравнение поля имеет вид евклидова уравнения поля в пространстве с размерностью (d−1), так что критический пузырь в (d−1)-мерии совпадает с отскоковым решением
в d-мерии.
Литература:
Рубаков, ч.2, §11.1, 11.2, 12.1, 12.2, 12.3;
Ченг, Ли, §16.2.
Туннелирование в квантовой механике с классическим вырождением.
Рассмотрим одномерную квантовую механику с потенциалом
V (q) = −
µ2 2 λ 4
q + q .
2
4
Классически она имеет два вакуума q0(+) и q0(−) . В квантовом случае в пренебрежении
туннелированием есть два состояния с одинаковой энергией ψ0(+) и ψ0(−) , сосредоточенные вокруг q0(±) . При учете туннелирования вырождение снимается. Оператор отражения
(P ψ)(q) = ψ(−q) коммутирует с гамильтонианом, следовательно, следует искать собственные состояния вида
1
ψS = √ (ψ0(−) + ψ0(+) ) ,
2
1
ψA = √ (ψ0(−) − ψ0(+) ) ,
2
отвечающие значениям P , равным +1 и −1, соответственно.
Уравнения Шредингера для ψS и ψA :
1 00
ψ + (V − ES,A )ψS,A = 0.
(12)
2M S,A
Домножая эти уравнения на ψS,A , вычитая и интегрируя по q от −∞ до нуля, получаем
(учитывая малость ψ (±) вдали от q (±) ),
1
1
0
0
−
(ψA ψS − ψS ψA ) = − (Ea − ES ).
2M
2
0
−
Так как EA − ES EA , ES ≈ E0 , то ψ (±) по отдельности приближенно удовлетворяют
уравнению Шредингера с энергией E0 , ток
(−)
j(q) = ψ0
(−)
dψ0(+)
(+) dψ0
− ψ0
dq
dq
15
сохраняется, и, в экспоненциальном приближении,
EA − ES =
1
1
j(0) ≈
j(q0(+) ) ≈ ψ0(−) (q0(+) ) .
M
M
В главном квазиклассическом приближении имеем
EA − ES ≈ ψ0(−) ≈ exp −
Z
(+)
q0
!
√
2M V dq
=
(13)
(−)
q0
= exp(−SE [qI (τ )]) ,
где
Z
+∞
SE =
−∞
"
M
dτ
2
dqI
dτ
#
2
+ V (qI )
,
а qI — решение следующих из этого действия (евклидовых) уравнений движения с гра(−)
(+)
ничными условиями q(−∞) = q0 , q(+∞) = q0 . Такое решение называется инстантоном.
Периодический потенциал. Рассмотрим потенциал, периодический с периодом a и
имеющий минимумы в точках 0, ±a, ±2a, . . . Без учета туннелирования имеем состояния
ψn (q) = |ni, локализованные вокруг минимума na. Оператор сдвига Ta ψ(q) = ψ(q − a)
отвечает симметрии потенциала. Он унитарен и коммутирует с гамильтонианом, поэтому
имеются их общие собственные состояния:
Ta |θi = eiθ |θi .
Они имеют вид
|θi =
+∞
X
e−inθ |ni .
n=−∞
Параметр θ называют квазиимпульсом, а состояния |θi — блоховскими волнами. Их энергия
E(θ) = const − Ae−SI cos θ ,
(14)
где SI — евклидово действие на инстантонном решении, соединяющем два соседних классических вакуума.
Инстантоны в (1+1)–мерной абелевой модели Хиггса.
Рассмотрим абелеву модель Хиггса в (1+1) измерениях. Множество классических вакуумов в калибровке A0 = 0 — чистые калибровки:
1
A1 (x1 ) = ∂1 α(x1 ),
e
φ(x1 ) = eiα(x1 ) v.
Выберем два различных вакуума. Возможны три случая: между ними
• бесконечно высокий потенциальный барьер (туннелирование и любые переходы невозможны);
• конечный потенциальный барьер (туннелирование возможно);
• нет потенциального барьера (на квантовом уровне такие вакуумы неразличимы).
16
Пусть один из вакуумов Aµ = 0, φ = v. Вакуумы с α(x1 = ±∞) 6= 0 отделены от него бесконечно высоким барьером, потому что действие на соединяющем их инстантоне расходится
из-за интегрирования по x1 (случай 1). Остальные вакуумы характеризуются целами числами
Z
e
n=
A1 dx1 .
(15)
2π
Классические вакуумы с одинаковыми n не разделены потенциальным барьером; соответствующие полевые конфигурации можно продеформировать одну в другую, не выходя
из множества вакуумов (случай 3). Туннелирование между вакуумами с различными n
описывается инстантонами — решениями евклидовых классических уравнений поля с конечным евклидовым действием SE (случай 2).
Евклидовы калибровочные теории: замена t → −iτ , A0 → iA0 . Интерпретировать
евклидовы решения надо в калибровке A0 = 0.
Инстантоны в d–мерном евклидовом пространстве удовлетворяют тем же уравнениям, что и статические солитоны в (d + 1)–мерном пространстве Минковского. Как обсуждалось ранее, солитоны в абелевой модели Хиггса в (2 + 1) характеризуются целыми
числами (номерами топологических классов)
Z
e
d2 x µν Fµν ,
(16)
q=
4π
где суммирование по µ, ν ведется с евклидовой метрикой. В калибровке A0 = 0
q = n(τ = +∞) − n(τ = −∞),
поэтому инстантон с топологическим числом q описывает туннелирование из вакуума с
топологическим числом n в вакуум с (n + q).
Следует различать две топологические классификации:
1
1
1
– одномерное
, где окружность S(a)
→ S(b)
• классификация вакуумов (отображение S(a)
1
пространство с отождествленной границей, S(b) – множество калибровочно эквивалентных конфигураций). Этой классификации соответствует топологическое число
n, формула (15);
1
1
1
– гра• классификация инстантонов (отображение S(c)
→ S(d)
, где окружность S(c)
1
ница двумерного евклидова пространства, S(d) – множество возможных вакуумных
асимптотик). Этой классификации соответствует топологическое число q, формула
(16).
По аналогии с задачей о периодическом потенциале, можно ввести оператор калибровочного преобразования с единичным топологическим числом, T :
1
T Aµ = Aµ + ∂µ α(x1 ),
e
T φ = eiα(x1 ) φ,
α(x1 = +∞) − α(x1 = −∞) = 2π.
Его собственные числа равны eiθ .
Интерпретация: с точки зрения калибровочно инвариантных наблюдаемых, все вакуумы эквивалентны, поэтому их можно отождествить. В такой системе – аналогичной
17
маятнику во внешнем поле – имеется одно основное состояние нетривиальной структуры.
Параметр θ можно ввести, добавив в лагранжиан член
∆L =
eθ
µν Fµν ,
4π
(17)
который калибровочно инвариантен и является полной дивергенцией, поэтому не меняет
классическую физику. θ – фундаментальная константа взаимодействия; при θ 6= 0 добавка (17) нарушает симметрию относительно пространственных отражений и зарядового
сопряжения.
Сфалерон
Решение с одной отрицательной модой, соответствующее седловой точке функционала
статической энергии и определяющее высоту барьера между вакуумами.
Задачи.
28. Доказать для отскокового решения, описывающего туннелирование в одномерной
квантовой механике с потенциалом V (q), что точка q0 , которая соответствует минимуму потенциала, достигается асимптотически, за бесконечное время (считать
V (q) = 21 V 00 (q0 ) (q − q0 )2 + . . .).
29. Обобщив рассуждения, приведенные на лекции, найти квазиклассическую экспоненту распада метастабильного возбужденного состояния (E 6= 0) в одномерной квантовой механике.
2
30. Пусть частица массы M движется в потенциале V (q) = µ2 q 2 − λ3 q 3 . При каких M , µ,
λ работает квазиклассическое приближение? Найти зависимость SB от M , µ, λ.
31. Рассмотрим квантовую механику двух переменных, q = (x, y). Пусть потенциал имеет вид
µ2
V (x, y) = y 2 + U (x),
2
где U (x) имеет минимум в точке x0 (U (x0 ) = 0, U 0 (x0 ) = 0, U 00 (x0 > 0) и нуль в точке
x1 (U (x1 ) = 0, U 0 (x1 ) 6= 0).
(a) Найти отскоковое решение и точку поворота.
(b) Найти вблизи точки поворота форму линии V (x, y) = 0 на плоскости (x, y).
(c) Найти классические решения, близкие к отскоковому.
(d) Найти каустику вблизи точки поворота.
(e) Воспользовавшись тем, что переменные в потенциале разделяются, решить в
квазиклассическом приближении уравнение Шредингера, найти волновую функцию в запрещенной области между каустикой и линией V = 0 и убедиться, что
минимум |ψ(x)|2 при V = 0 достигается в точке поворота.
32. В модели (11) с потенциалом
V0 (φ) =
2
λ 2
φ − v2
4
18
найти форму стенки и значение параметра µ. Убедиться, что размер евклидова пузыря и его действие велики не только по −1 , но и по λ−1 . Найти предел применимости
тонкостенного приближения.
33. Найти форму, размер и статическую энергию критического пузыря в этой модели в
четырехмерном пространстве–времени при малом .
34. Оценив погрешности на каждом этапе вывода формулы (13), убедиться, что отброшенные слагаемые дают вклад, экспоненциально подавленный по сравнению с оставленными, если высота барьера достаточно велика (можно в конкретной модели с
потенциалом четвертой степени).
35. Доказать формулу (14) и найти SI в модели с потенциалом V = V0 (1 − cos q).
36. Рассмотрим систему с классическим лагранжианом
2
θ dq
M l2 dq
+
− V (q),
L=
2
dt
2π dt
V = M gl(1 − cos q).
Она соответствует маятнику во внешнем электромагнитном поле.
а) Какое это внешнее поле?
б) Найти гамильтониан в терминах q. Найти собственные состояния оператора сдвига
q → q + 2π и их энергию в главном квазиклассическом приближении.
в) Найти функционал евклидова действия.
г) Найти инстантон и его евклидово действие. Дать интерпретацию мнимому слагаемому в евклидовом действии.
37. Убедиться явным вычислением, что абрикосовский вихрь имеет q = 1, а инстантон
– Q = 1. Найти прямым вычислением евклидово действие инстантона (8π 2 /g 2 ).
38. Туннелирование в какую вакуумную конфигурацию из конфигурации Aµ = 0, φ = v
описывает абрикосовский вихрь? Найти вероятность этого туннелирования, вычислив значение евклидова действия.
19