Ключевые моменты 1.6.1. Формула полной вероятности 1.6.1

27.02.2014
Ключевые моменты
1.6. Формула полной вероятности. Формула Байеса
1.6.1. Формула полной вероятности
1.6.2. Формула Байеса
1.7. Схема испытаний Бернулли
1.7.1. Формула Бернулли
1.7.2. Наивероятнейшее число успехов
1.7.3. Локальная и интегральная формулы МуавраЛапласа.
1.7.4. Формула Пуассона.
Формула полной вероятности. Формула Байеса
Схема испытаний Бернулли
Лекция 4
1.6.1. Формула полной вероятности
3
5
Теорема 2 (формула Байеса). Пусть событие
А, которое могло произойти только с одним из
несовместных событий H1, H2, …, Hn,
наступило. Тогда вероятность того, что
событие А наступило в следствии
осуществления гипотезы Hi есть
1.6.1. Формула полной вероятности
4
Доказательство. Так как событие А может
наступить только вместе с событиями H1, H2,
…, Hn, то А= АH1+ АH2+ …+ АHn. Так как эти
события несовместны то:
Теорема 1 (формула полной вероятности).
Пусть событие A может наступить только
вместе с одним из несовместных событий H1,
H2, …, Hn. Будем эти события называть
гипотезами. Тогда
(1.17)
1.6.2. Формула Байеса
2
1.6.2. Формула Байеса
6
Доказательство. По формуле умножения
вероятностей вероятность совместного
осуществления событий А и Hi:
откуда получаем
(1.18)
1
27.02.2014
1.6.2. Формула Байеса
7
Поскольку формула (1.18) позволяет
вычислить апостериорные вероятности по
априорным, то ее также называют
формулой переоценки гипотез.
1.7.1. Формула Бернулли
Доказательство. Все n испытаний можно
рассматривать как одно сложное испытание,
имеющее возможных 2n исходов.
Например, при возможные исходы такого
сложного испытания –
(A, A), (A, Ā), (Ā, A), (Ā, Ā).
8
Часто встречаются задачи, в которых одно и
то же испытание повторяется многократно. В
результате каждого испытания может
появиться или не появиться некоторое
событие A. Нас будет интересовать число
наступлений события A в серии из n
испытаний.
9
Определение 1. Схемой Бернулли
называется последовательность независимых
испытаний, в каждом из которых возможны
лишь два исхода – появление события A
(“успех”) или не появление его (“неудача”),
при этом “успех” в каждом испытании
происходит с вероятностью p, а неудача с
вероятностью q=1 – p.
1.7.1. Формула Бернулли
1.7.1. Формула Бернулли
1.7.1. Формула Бернулли
10
Теорема (формула Бернулли).
Вероятность того, что в n испытаниях по
схеме Бернулли “успех” наступит ровно m
раз:
Pn(m)=Cmn pm qn-m
(1.19)
11
1.7.1. Формула Бернулли
12
1). Число благоприятных исходов равно числу
способов, которыми можно расположить
успехов на различных местах, т.е. равно Cmn.
2). Вероятность каждого отдельного исхода
можно подсчитать по формуле произведения
вероятностей независимых событий.
2
27.02.2014
1.7.1. Формула Бернулли
13
Например, вероятность появления
комбинации:
1.7.1. Формула Бернулли
14
Поскольку все исходы являются
несовместными событиями, то вероятность,
что событие A в n испытаниях появится
ровно m раз:
Pn(m)=pm qn-m + pm qn-m +…+pm qn-m =Cmn pm qn-m.
равна
Очевидно, что вероятности остальных
комбинаций равны также pm qn-m.
1.7.1. Формула Бернулли
15
np – q ≤ m0 ≤ np + p
а). Если число np – q дробное, то существует
одно m0 из (np – q, np + p).
б). Если число np – q целое, то существуют
два значения m0 и m0 + 1.
в). Если число np целое, то m0 = np.
16
Определение 3. Число успехов m0, которому
соответствует наибольшая вероятность в
испытаниях по схеме Бернулли, называется
наивероятнейшим числом успехов.
np – q ≤ m0 ≤ np + p.
Определение 2. Числа
Pn(m) =Cmn pm qn-m, m =1, 2, …, n
называются биномиальными
вероятностями.
1.7.2. Наивероятнейшее число
успехов
1.7.2. Наивероятнейшее число
успехов
17
1.7.3. Формулы Муавра-Лапласа
18
При больших значениях n и m вычисление
вероятностей по формуле Бернулли (1.19)
представляет значительные трудности.
В этих случаях для подсчета биномиальных
вероятностей используют приближенные
формулы.
3
27.02.2014
1.7.3. Формулы Муавра-Лапласа
19
Локальная формула Муавра-Лапласа.
Вероятность того, что в n испытаниях по
схеме Бернулли “успех” наступит ровно m раз
при n>>1 приближенно равна:
(1.20)
Функция Лапласа является табулированной
функцией.
При использовании таблиц следует
учитывать, что
1) Ф(−x) = − Ф(x),
2) lim Ф(x)= 0,5, при x →∞.
20
Интегральная формула Муавра-Лапласа.
Вероятность того, что в n испытаниях по
схеме Бернулли “успех” наступит не менее m1
раз и не более m2 раз, при n>>1 равна:
(1.21)
где
- функция Лапласа.
где
1.7.3. Формулы Муавра-Лапласа
1.7.3. Формулы Муавра-Лапласа
21
1.7.4. Формула Пуассона
22
Формула Пуассона. Вероятность того, что в
n испытаниях по схеме Бернулли “успех”
наступит ровно m раз при n>>1 и p<<1
приближенно равна:
(1.22)
Формулу (1.22) можно применять, если число
испытаний велико и точно неизвестно, но
известно λ среднее число появлений события
в этой серии испытаний.
4