vs tu. by /be lsp in. УДК 677.03.001.5 к.т.н. Литовский С.М. htt p:/ к лабораторным работам по курсу часть 1 vs tu. by СОДЕРЖАНИЕ Введение __________________________________________________________ 4 Определение основных числовых характеристик совокупности случайных величин ___________________________________________________________ 4 Основные сведения_________________________________________________________ 4 Получение совокупности случайных величин___________________________________ 4 Расчет оценок математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения _______________________________________________________________ 5 Исключение резко выделяющихся экспериментальных данных ___________________ 5 Расчет относительных характеристик рассеяния случайной величины ______________ 5 Определение ошибки среднего и границ доверительного интервала ________________ 6 Доверительный объем испытаний ____________________________________________ 6 in. Определение вида дифференциального закона распределения случайной величины __________________________________________________________ 6 Основные сведения_________________________________________________________ 6 Формирование частотной таблицы ____________________________________________ 6 /be lsp Определение оценок математического ожидания, среднего квадратического отклонения и квадратической неровноты ______________________________________ 7 Определение закона распределения исследуемой величины _______________________ 8 Построение графика функции распределения ___________________________________ 8 Определение статических корреляционных однофакторных моделей по данным пассивного эксперимента ____________________________________ 9 Основные сведения_________________________________________________________ 9 Расчет основных статистических характеристик _______________________________ 10 Расчет коэффициента корреляции и определение его значимости _________________ 10 Определение линейной модели корреляционной взаимосвязи ____________________ 10 Определение статических корреляционных многофакторных моделей по данным пассивного эксперимента ___________________________________ 11 htt p:/ Основные сведения________________________________________________________ 11 Расчет основных статистических характеристик _______________________________ 11 Расчет парных коэффициентов корреляции ___________________________________ 12 Расчет множественного коэффициента корреляции и определение его значимости __ 12 Определение линейной модели корреляционной взаимосвязи ____________________ 12 Определение регрессионной однофакторной модели (модели первого порядка) по данным активного эксперимента _________________________ 13 Основные сведения________________________________________________________ 13 vs tu. by Условия проведения активного эксперимента _________________________________ 13 Нахождение статистических характеристик ___________________________________ 14 Проверка гипотезы об однородности дисперсий _______________________________ 14 Вычисление дисперсии воспроизводимости выходного параметра в опытах матрицы _________________________________________________________________ 14 Вычисление коэффициентов искомого уравнения (модели) и их дисперсий ________ 15 Проверка адекватности полученной модели ___________________________________ 15 Оценка значимости полученных коэффициентов регрессии ______________________ 16 Определение регрессионных многофакторных математических моделей по данным активного эксперимента _________________________________ 17 Основные сведения________________________________________________________ 17 Разработка матрицы планирования __________________________________________ 17 in. Нахождение статистических характеристик ___________________________________ 18 Проверка гипотезы об однородности дисперсий _______________________________ 18 Вычисление дисперсии воспроизводимости выходного параметра в опытах матрицы _________________________________________________________________ 19 Вычисление коэффициентов искомого уравнения (модели) ______________________ 19 /be lsp Оценка значимости полученных коэффициентов регрессии ______________________ 19 Проверка адекватности полученной модели ___________________________________ 19 Исследование полученной регрессионной многофакторной модели _______________ 20 Определение регрессионной многофакторной модели второго порядка по D-оптимальным матрицам _________________________________________ 20 Основные сведения________________________________________________________ 20 Выбор матрицы планирования ______________________________________________ 21 Нахождение статистических характеристик ___________________________________ 22 Проверка гипотезы об однородности дисперсий _______________________________ 22 Вычисление дисперсии воспроизводимости ___________________________________ 22 Вычисление коэффициентов искомого уравнения (модели) и их дисперсий ________ 22 htt p:/ Оценка значимости полученных коэффициентов регрессии ______________________ 23 Проверка адекватности полученной модели ___________________________________ 23 Исследование полученной регрессионной многофакторной модели _______________ 24 Литература______________________________________________________ 25 Приложения ______________________________________________________ 26 vs tu. by Введение Современный технический прогресс текстильной промышленности связан с развитием ее техники и технологии. Для успешного управления технологическими процессами и их оптимизации с целью повышения производительности оборудования и качества продукции уже недостаточно знать отдельные качественные стороны процесса. Для анализа сложных технологических процессов широко применяются методы экспериментального математического моделирования. Использование методов планирования эксперимента позволяет получать математические модели исследуемого процесса в реализованном диапазоне изменения многих факторов, влияющих на процесс, наиболее экономичным и эффективным способом. Данные методические указания разработаны с целью освоения методов экспериментальных исследований и являются, по сути, кратким обобщением различных методик, изложенных в ряде специализированных изданий по математическому планированию экспериментов. Основное внимание уделено корректной обработке данных активных и пассивных экспериментов. Основные сведения in. Определение основных числовых характеристик совокупности случайных величин /be lsp При измерении свойств продуктов текстильных производств и технологических параметров, как правило, получается совокупность случайных величин, которая может быть определена числовыми характеристиками: средним (математическим ожиданием), дисперсией, коэффициентом вариации, квадратической неровнотой. Известно, что числовые характеристики меняются от выборки к выборке и являются также случайными величинами, которые варьируют с заданной доверительной вероятностью в определенном интервале. Чем больше ошибка числовой характеристики, тем шире интервал. Точность каждой числовой характеристики определяется ее ошибкой, а надежность - доверительной вероятностью. Задаваясь точностью и надежностью при известной дисперсии случайной величины, можно определить доверительный объем испытаний для оценки числовой характеристики. Получение совокупности случайных величин htt p:/ Перед непосредственной реализацией опытов по анализу случайной величины исследователь должен осуществить ряд организационных и технических мероприятий, от тщательности выполнения которых зависит в большой мере успех эксперимента, а именно: проверить свойства сырья и материалов и установить их соответствие задачам исследования; проверить состояние оборудования (стендов, приборов и т.д.); при необходимости провести тарировку и определить точность показаний измерительной техники; при использовании аналоговой характеристики исследуемого параметра (непрерывной регистрации в виде диаграммы, осциллограммы и т.п.) осуществить ее дискретизацию с целью получения совокупности случайных величин; проведение одной серии опытов поручать только одному исполнителю, т.к. замена исполнителей может привести к наложению субъективных погрешностей наблюдения. Для ознакомления с методикой определения основных числовых характеристик совокупности случайных величин необходимо получить данную совокупность. Она может быть получена на разрывной машине (прочность, удлинение), весах (масса отрезков пряжи, полосок ткани или трикотажа), круткомере (крутка пряжи) и других приборах. Можно воспользоваться совокупностями, приведенными в таблице (приложение 6). vs tu. by Расчет оценок математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения Математическое ожидание Y (среднее значение) определяет центр распределения случайных величин, около которого группируется большая их часть. Абсолютными характеристиками рассеяния случайной величины Y около центра распределения Y является дисперсия S 2 {Y } и среднее квадратическое отклонение S {Y } . Расчет оценок математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения для анализируемой выборки осуществляется по следующим формулам: Y S 2 {Y } 1 m Y i ; m i 1 1 m (Y i Y ) 2 ; m 1 i1 S{Y } S 2{Y } . in. Исключение резко выделяющихся экспериментальных данных /be lsp Совокупность полученных экспериментальных данных часто имеет значения, резко выделяющиеся относительно других, что приводит к постановке вопроса об их исключении из дальнейшей обработки. Причиной появления таких данных может быть изменение условий проведения опыта в момент наблюдения, ошибочная регистрация параметра (по вине оператора) и т.п. Независимо от причин получения резко выделяющихся данных они могут существенно исказить числовые характеристики. С другой стороны, при необоснованном исключении таких данных числовые характеристики также будут искажены. Самый надежный метод определения возможности исключения резко выделяющихся данных - это анализ условий, при которых они были получены. Если условия существенно отличаются от стандартных (или установленных по плану эксперимента), то данные необходимо исключить из дальнейшей обработки независимо от их величины. Если определение существенности изменения условий эксперимента невозможно или представляет большие трудности, то используют статистический метод исключения данных, сущность которого заключается в следующем: находят в совокупности максимальную и минимальную величины и определяют расчетные значения критерия Смирнова-Грабса VR max VR min Y i max Y S {Y } Y Y i min m ; m 1 m ; m 1 S {Y } сравнивают полученные значения с табличным V T (приложение 1); если VR max или VR min htt p:/ больше V T , то соответствующее значение Yi необходимо исключить из совокупности, а затем повторить расчет оценок Y , S 2 {Y } и S {Y } ; процедуру повторяют до полного исключения резко выделяющихся значений из совокупности. Расчет относительных характеристик рассеяния случайной величины Такой характеристикой является коэффициент вариации CV {Y} : CV {Y } S {Y } . Y Если данная величина выражается в процентах, то она называется квадратической неровнотой C{Y } : vs tu. by C{Y } S {Y } 100 . Y Определение ошибки среднего и границ доверительного интервала В результате измерений исследуемого параметра возникают ошибки (погрешности измерения), для описания которых введены оценки абсолютной i и относительной i погрешности. Абсолютная и относительная доверительные ошибки, допущенные при оценке математического ожидания, определяются по формулам: {Y } {Y } 2S {Y } m 2C {Y } m ; . Двусторонним доверительным интервалом называется интервал, который покрывает неизвестный параметр распределения с заданной доверительной вероятностью p D : Y {Y} Y Y {Y} . in. В практике текстильных исследований при статистической обработке обычно принимают p D 0,95 . Величина, равная 1 p D , называется уровнем значимости и иногда выражается в процентах. Доверительный объем испытаний /be lsp Анализируя точность оценки среднего значения, можно решить, является ли она достаточной или требуется увеличение объема измерений. Задаваясь требуемой величиной относительной ошибки (например, 3% ) и приняв квадратическую неровноту по данным предыдущих опытов или другой априорной информации, можно рассчитать доверительный объем выборки: 2 u{ p D } C{Y} m{Y } , {Y } u{pD } - квантиль нормального распределения случайной величины (при pD 0,954 u{ p D } 2 ). где Определение вида дифференциального закона распределения случайной величины Основные сведения htt p:/ Наиболее полной характеристикой совокупности случайных величин является дифференциальная или интегральная функции распределения. Для определения вида распределения в исследуемой совокупности используется критерий Пирсона. Совокупность случайных величин может быть получена на разрывной машине (прочность, удлинение), весах (масса отрезков пряжи, полосок ткани или трикотажа), круткомере (крутка пряжи) и других приборах (можно воспользоваться совокупностями, приведенными в приложении 7). Формирование частотной таблицы Полученный ряд экспериментальных значений делят на классы (интервалы). Исходя из количества элементов совокупности m , число классов k определяют по формуле (с округлением до целого): k 3,332 lg m 1 при 50 m 200 ; vs tu. by k 4 5 0,75 (m 1) 2 при m 200 . Например, для m 50 принимаем k 7 . Находим в анализируемой выборке максимальное Ymax и минимальное Ymin значения и определяем величину интервала: Y Y max Y min . k Составляем таблицу (Таблица 1) и разносим все значения анализируемой совокупности по соответствующим классам. Таблица 1 № класса Границы класса 1 Ymin (Ymin Y ) 2 (Ymin Y ) (Ymin 2 Y ) k (Ymin (k 1) Y ) - Ymax in. Значения Yi 3 (Ymin 2 Y ) (Ymin 3 Y ) Частота mi Среднее Yi Количество случайных величин в каждом классе mi называется частотой. После сортировки зна- i 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. /be lsp чений определяем частоту mi и математическое ожидание (среднее) Yi в каждом классе. Дальнейшие расчеты сводим в таблицу (Таблица 2). Границы классов - mi Yi yi - -3 -2 -1 0 1 2 3 - mi y i y i2 Таблица 2 mi y i2 - miT (mi miT ) 2 mi - Значение Yi в том классе, где mi принимает максимальное значение, называется условным нулем htt p:/ выборки Y0 . Значения y i находятся по формуле (и округляются до ближайшего целого): yi Y i Y 0 . Y Определение оценок математического ожидания, среднего квадратического отклонения и квадратической неровноты По способу отсчета от условного нуля находим среднее значение выборки: vs tu. by Y Y 0 Y m k m i yi . i 1 Находим среднее квадратическое отклонение и квадратическую неровноту: 2 1 k S{Y } m y mi y i ; i m i 1 m i 1 S {Y } C{Y } 100% . Y Y k 2 i Определение закона распределения исследуемой величины Задаемся видом предполагаемой дифференциальной или интегральной функции распределения. Как правило, случайные величины, являющиеся предметом анализа при исследовании технологических процессов текстильной промышленности, отвечают нормальному закону распределения: {Y} Y Y 2 i . exp 2 S 2 {Y} 2 1 in. Вычисляем теоретические частоты miT в каждом классе: miT m Y {Y } . S {Y } Полученные значения заносим в таблицу (Таблица 2) и определяем наблюдаемое значение критерия Пирсона: k m i miT /be lsp 2 н аб . л i 1 mi 2 . Из таблицы (приложение 2) определяем критическое значение критерия Пирсона 2к р ит при условии, что доверительная вероятность p D 0,95 и число степеней свободы f k 2 . Если 2н аб . л 2к р ит , то анализируемую величину можно считать распределенной по нормальному закону. Если 2н аб . л 2к р ит , то необходимо использовать другие функции (лог-нормальную, экспоненциальную, показательно-степенную и др. [1, стр.30]) до нахождения распределения, адекватного исследуемой случайной величине. Построение графика функции распределения htt p:/ Наглядное представление о различиях между экспериментальными значениями и теоретической функцией распределения можно получить путем построения частотного полигона (Рисунок 1). vs tu. by График функции распределения (частотный полигон) 16 14 Частота 12 Теоретическая функция 10 8 Экспериментальные значения 6 4 2 0 1 2 3 4 5 Классы (уровни) 6 7 in. Рисунок 1 Определение статических корреляционных однофакторных моделей по данным пассивного эксперимента /be lsp Основные сведения При исследовании технологических процессов и объектов часто оказывается, что выходной параметр и фактор (входной параметр) оказываются случайными величинами. В результате дискретных измерений фактора X (например, массы 500-миллиметрового отрезка пряжи) и выходного параметра Y (например, разрывной нагрузки вышеупомянутого отрезка) получают две последовательности сопряженных случайных чисел: X 1 , X 2 ,, X m ; Y1 , Y2 ,, Ym . Каждой паре полученных значений соответствует определенная точка в корреляционном поле точек. Для оценки степени взаимосвязи двух случайных величин X и Y рассчитывают числовую характеристику rY X , называемую коэффициентом корреляции. Для корреляционной взаимосвязи двух htt p:/ случайных величин характерно наличие двух зависимостей: Y (X ) и X (Y ) , которые в корреляционном поле точек изображаются в виде сопряженных прямых. Причем, чем меньше разброс точек в корреляционном поле, тем сильнее теснота связи между случайными величинами и тем меньше угол (Рисунок 2) между сопряженными прямыми. В практике текстильных исследований корреляционная связь между случайными величинами считается: при слабой 0,3 r 0,4 YX средней при 0,4 rY X 0,7 сильной при 0,7 rY X 0,9 очень сильной при 0,9 rY X Для ознакомления с методикой коэффициента корреляции и построения однофакторной корреляционной модели необходимо получить две совокупности сопряженных случайных величин (т.е. со- vs tu. by вокупность пар случайных значений). Они могут быть получены на разрывной машине, весах, круткомере и других приборах (можно воспользоваться совокупностями, приведенными в приложении 6). Расчет основных статистических характеристик Определяем средние значения ( X и Y ) и дисперсии ( S 2 {X } и S 2 {Y } ) для совокупностей: X 1 m Xi ; m i 1 Y 1 m Y i ; m i 1 S 2 {X } S 2 {Y } 1 m (X i X ) 2 ; m 1 i 1 1 m (Y i Y ) 2 . m 1 i1 in. Расчет коэффициента корреляции и определение его значимости Значение коэффициента корреляции рассчитываем по формуле: m rY X (X i X ) (Y i Y ) i 1 ( m 1) S {X } S {Y } . /be lsp По значению коэффициента делаем вывод о тесноте корреляционной взаимосвязи между X и Y . Для определения значимости коэффициента корреляции определяем расчетное значение критерия Стьюдента: t R {rY X } rY X m 2 1 rY2X Теоретическое значение критерия t T определяем по таблице (приложение 3) при условии, что pD 0,95 и f m 2 . Если t R {rY X } tT , то гипотеза о наличии корреляционной взаимосвязи между X и Y не отвергается. Определение линейной модели корреляционной взаимосвязи Рассчитываем значения коэффициентов линейных уравнений сопряженных прямых: rY X S {Y } ; S {X } r S {X } YX . S {Y } d0 X Y ; d1X d0Y X ; d1Y htt p:/ Подставляем полученные значения в соответствующие уравнения: Y d0X d1X ( X X ) ; X d0Y d1Y (Y Y ) . Раскрываем скобки и получаем уравнения прямых. Строим оси координат, наносим корреляционное поле точек, а затем строим сопряженные прямые (показываем угол между ними). vs tu. by Y Y=f ( X) X X=f ( Y) in. X Рисунок 2 /be lsp Определение статических корреляционных многофакторных моделей по данным пассивного эксперимента Основные сведения В том случае, если требуется проанализировать зависимость одной случайной величины ( Y ) от нескольких случайных величин X 1 , X 2 , , X M , необходимо определить корреляционную многофакторную модель [1, стр.197]: Y a 0 a1 X 1 a 2 X 2 a M X M . Методику рассмотрим на примере разработки двухфакторной корреляционной модели. В результате дискретных измерений факторов X 1 , X 2 и выходного параметра Y получают совокупность сопряженных случайных чисел (можно воспользоваться совокупностями, приведенными в приложении 6). Расчет основных статистических характеристик htt p:/ Определяем средние значения и дисперсии: X1 1 m X 1i ; m i 1 X2 1 m X 2i ; m i 1 Y 1 m Y i ; m i 1 S 2 {X 1 } 1 m ( X 1i X 1 ) 2 ; m 1 i 1 S 2 {Y } vs tu. by S 2 {X 2 } 1 m (X 2 i X 2 ) 2 ; m 1 i 1 1 m (Y i Y ) 2 . m 1 i1 Расчет парных коэффициентов корреляции Значения парных коэффициентов корреляции отражают тесноту взаимосвязи двух параметров и определяются для каждых двух переменных: m rY X 1 (X X 1 ) (Y i Y ) 1i i 1 ( m 1) S {X 1} S {Y } m rY X 2 (X 2i i 1 X 2 ) (Y i Y ) ( m 1) S {X 2 } S {Y } m ; X 1 ) (X 2 i X 2 ) in. (X ; rX 1X 2 1i i 1 ( m 1) S {X 1} S {X 2 } . Расчет множественного коэффициента корреляции и определение его значимости /be lsp Теснота линейной связи между случайными величинами X 1 , X 2 и Y определяется полным (совокупным) или множественным коэффициентом корреляции. Этот коэффициент определяет силу совместного влияния всех факторов на выходной параметр и для двухфакторной модели имеет вид: RYX1 X 2 rYX2 1 rYX2 2 2rYX1 rYX 2 rX1 X 2 1 rX21 X 2 . Используя критерий Стьюдента, определяем значимость найденного коэффициента: t R {RY X 1X 2 } RY X 1X 2 S {RY X 1X 2 } . Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле: S {RY X 1X 2 } (1 RY2X 1X 2 ) m M 1 , где M 2 (число факторов) и m 10 (количество испытаний). Теоретическое значение критерия Стьюдента t T определяется из таблицы (приложение 3) при ус- htt p:/ ловии, что pD 0,95 и f m M 2 . Если t R {R Y X 1X 2 } t T , то множественный коэффициент корреляции значим. Определение линейной модели корреляционной взаимосвязи Искомая модель имеет вид: Y a 0 a1 X 1 a 2 X 2 , или в стандартизированной форме: t q1t1 q2 t 2 , где a0 , a1 , a2 - коэффициенты с натуральными значениями факторов; vs tu. by q1 , q2 - стандартизированные значения коэффициентов. Они определяются по следующим формулам: q1 q2 rY X 1 rY X 2 rX 1X 2 1 rX21X 2 rY X 2 rY X 1 rX 1X 2 1 rX21X 2 ; . Натуральные значения определяются по формулам: a1 q1 S {Y } ; S {X 1} a2 q2 S {Y } ; S {X 2 } M a0 Y ai X i Y a1X 1 a2X 2 i 1 in. Подставляем значения полученных коэффициентов в уравнение и получаем корреляционную модель в натуральных значениях. /be lsp Определение регрессионной однофакторной модели (модели первого порядка) по данным активного эксперимента Основные сведения htt p:/ При решении многих инженерных задач возникает необходимость в установлении связи между независимыми переменными X1, X2, Xk и зависящей от них величиной Y. В случае если Y является случайной величиной, а X1, X2, Xk - величины неслучайные, для разработки искомой математической модели вида Y f ( X 1 , X 2 ,, X k ) используется метод регрессионного анализа (метод наименьших квадратов). Применение регрессионного анализа правомерно при выполнении следующих условий: Значения выходного параметра Y в каждом опыте матрицы планирования эксперимента представляют собой независимые, нормально распределенные случайные величины. Дисперсии выходного параметра в различных опытах матрицы однородны. Значения уровней факторов не являются линейной комбинацией от уровней остальных факторов. Точность определения значений выходного параметра значительно ниже точности определения величины уровня фактора. Если одно из приведенных выше условий не будут выполняться, эффективность анализа значительно снижается и по найденной модели могут быть получены неверные технологические выводы. В данной работе метод регрессионного анализа рассмотрен на примере построения линейной однофакторной модели (модели первого порядка). Условия проведения активного эксперимента Цель данной работы - получить модель вида: YR a0 a1 X . (1) Для получения данной модели проводят активный эксперимент в широком диапазоне изменения фактора X. Обычно применяют число уровней фактора, т.е. число опытов в матрице планирования vs tu. by N5. Для повышения точности определения выходного параметра Y каждый опыт матрицы повторяется несколько раз (m2). По результатам эксперимента заполняем таблицу (Таблица 3). Можно воспользоваться значениями, приведенными в приложении 8. Таблица 3 Xu u Yui m Y Yu ui i 1 i=1 i=2 i=3 1 2 3 4 5 i=4 Su2 { Y} i=5 Итого: Нахождение статистических характеристик Yu in. Находят средние значения функции отклика по строкам Yu и построчные дисперсии Su2 { Yu } по формулам: 1 m Yu , m i 1 i m - число повторностей опыта. Su2{ Yu } 1 m 1 m (Y i 1 ui Yu) 2 , где /be lsp Проверка гипотезы об однородности дисперсий Если число повторных опытов m одинаково для всех опытов матрицы, то для проверки однородности дисперсий применяется критерий Кочрена, расчетное значение которого определяется по формуле: GR Su2 max { Y} N S { Y} 2 u u 1 htt p:/ Расчетное значение GR сравнивают с табличным значением GT, которое определяют по таблице (приложение 5) в зависимости от числа опытов в матрице N и числа степеней свободы дисперсии f { Su2 } m 1 для заданной доверительной вероятности. Если GR < GT, то гипотеза об однородности дисперсий принимается, если нет - следует применить методику исключения резко выделяющихся величин или найти причину возникновения большой дисперсии в u-м опыте, а затем повторить (полностью или частично) экспериментальную часть работы. Если число повторных опытов m различно для разных опытов матрицы, то для проверки гипотезы об однородности дисперсий в опытах матрицы применяется критерий Бартлета [1, стр.55]. Вычисление дисперсии воспроизводимости выходного параметра в опытах матрицы Если в опытах матрицы дисперсии однородны и число повторных опытов одинаково, то средняя дисперсия определяется по формуле: 2 S âî ñï { Y} 1 N N S 2 u u 1 { Y} . vs tu. by Вычисление коэффициентов искомого уравнения (модели) и их дисперсий Для получения искомого уравнения (1) предварительно находят коэффициенты уравнения: YR d 0 d 1( X X) , где X d0 1 N 1 N N X u ; u 1 N Y Y; u u 1 N (X u 1 N d1 (2) u (X u 1 X)Yu . u X) 2 1 2 3 4 5 N u 1 Xu Xu X ( X u X) 2 /be lsp u in. Расчеты необходимых сумм сводим в таблицу (Таблица 4). Yu Таблица 4 ( Xu X)Yu Преобразуем уравнение (2) в уравнение (1). Проверка адекватности полученной модели Вначале определяется дисперсия неадекватности: N S н2 ад m (Y u Y R u ) 2 u 1 N 2 , где htt p:/ YRu - возвращаемые моделью расчетные значения выходного параметра, которые определяют для каждого опыта путем подстановки в полученное уравнение соответствующих значений входных параметров. Расчеты необходимых сумм сводим в таблицу (Таблица 5). vs tu. by Таблица 5 u Xu d 1Xu YRu Yu YRu Yu 1 2 3 4 5 N u 1 (Yu YRu) 2 Определяют расчетное значение критерия Фишера: FR Sí2àä { Y} S или F R 2 âî ñï 2 âî ñï 2 í àä {Y} S S 2 , если Sí2àä { Y} Sâî ñï { Y } ; {Y} 2 2 , если Sâî ñï { Y } Sí àä { Y} . { Y} in. Расчетное FR значение критерия сравнивают с табличным FT, которое определяют по таблице 2 N( m 1) , f { Sí2àä } N 2 . (приложение 4) при условии, что PD=0,95, f { S âî ñï } Если FR < FT, то с вероятностью PD гипотеза об адекватности полученной модели принимается. Если гипотеза об адекватности отвергается, необходимо переходить к описанию процесса моделью более высокого порядка на базе другого вида эксперимента. /be lsp Оценка значимости полученных коэффициентов регрессии Значимость полученных коэффициентов оценивается с помощью критерия Стьюдента, расчетное значение которого (для каждого коэффициента) определяется по формуле: di t R{ d i } где S2 { d i } S 2 { Y} ; mN S2 { Y} S2 { d 0 } S2 { d 1 } S 2 { Y} , ; N m ( X u X) 2 u 1 2 âî ñï ( m 1) NS { Y} ( N 2) Sí2 àä { Y} mN 2 htt p:/ Полученное расчетное значение tR сравнивается с табличным tT, которое определяют по таблице (приложение 3) при условии, что PD=0,95 и число степеней свободы f { S2 } Nm 2 . Если tR{di} > tT выполняется для обоих коэффициентов разработанной модели, то линейная связь между X и Y значима. vs tu. by Определение регрессионных многофакторных математических моделей по данным активного эксперимента Основные сведения /be lsp in. В настоящее время в научных исследованиях широкое применение получили математикостатистические методы планирования экспериментов, в которых математический аппарат играет активную роль, диктуя исследователю определенную схему постановки эксперимента и последовательность анализа результатов. В задачу планирования эксперимента входит: выбор необходимых для эксперимента опытов, т.е. построение матрицы планирования; выбор методов математической обработки результатов эксперимента. Матрица планирования эксперимента представляет собой таблицу, в которой указаны значения уровней факторов в различных сериях опытов. Матрицы планирования должны удовлетворять ряду требований: ортогональность - независимость получаемых коэффициентов регрессии и возможность исключения членов модели с незначимыми коэффициентами без последующего пересчета значимых коэффициентов; ротатабельность - постоянство дисперсии выходного параметра на равных расстояниях от центра эксперимента; униформность - постоянство дисперсии выходного параметра в некоторой области вокруг центра эксперимента. Эксперимент, реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации уровней исследуемых факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Он применяется для получения регрессионной многофакторной модели (РМФМ) при исследовании локального участка факторного пространства, не соответствующего его экстремальной части. РМФМ, получаемая по результатам ПФЭ, имеет вид линейного полинома (1) YR b0 b1 x1 bi xi bM x M или неполного полинома второго порядка YR b0 b1 x1 bi xi b M x M b12 x1 x 2 bij xi x j b M 1, M x M 1 x M , (2) где YR - расчетное значение выходного параметра; x i - кодированные значения уровней факторов; b i , b i j - значения коэффициентов регрессии; i 1,, M , j 1,, M - номер фактора. При факторном планировании в отличие от традиционного (однофакторного) по величине коэффициентов регрессии b i , b i j в РМФМ можно судить о влиянии на выходной параметр не только каждого фактора x i , но и их взаимодействия x i x j , т.е. изменения влияния одного фактора при переходе второго фактора на другой уровень. Разработка матрицы планирования htt p:/ Для составления матрицы планирования необходимо определить требуемое количество опытов: N k M, где k - число уровней варьирования каждого фактора, изменяя которое можно уменьшать или увеличивать N. Необходимо учесть, что для вычисления коэффициентов регрессии искомого уравнения (2) должно соблюдаться условие N N k ( N k - число коэффициентов регрессии в РМФМ), а для оценки адекватности полученной модели это условие усиливается, т.е. N N k . В матрице планирования используются кодированные значения уровней фактора: (-) - нижний уровень фактора (равен -1); (+) - верхний уровень фактора (равен +1); vs tu. by Например, для двухуровневого трехфакторного эксперимента (23) матрица ПФЭ содержит восемь опытов (Таблица 6). Для изучения описываемой методики можно воспользоваться значениями, приведенными в приложении 9. Таблица 6 Факторы u 1 2 3 4 5 6 7 8 ki x0 + + + + + + + + x1 + + + + x2 + + + + Сочетания x3 + + + + x1 x2 x1 x3 x2 x3 Yui x1 x2 x3 Yu1 Yu2 - - Yu Su2 { Y} in. Зная квадратическую неровноту выходного параметра C{Y} по данным предварительного эксперимента или на основании другой априорной информации, а также задаваясь величиной относительной ошибки { Y } и доверительной вероятностью u(PD), можно рассчитать требуемое число повторностей каждого опыта: u{ PD} C{ Y} mY ( ) { Y } 2 Обработку результатов ПФЭ проводят в следующем порядке. /be lsp Нахождение статистических характеристик Находят средние значения функции отклика по строкам Yu и построчные дисперсии Su2 { Yu } по формулам: Yu 1 m Yu , m i 1 i Su2{ Yu } 1 m 1 m (Y i 1 ui Yu) 2 , где m - число повторностей опыта. Проверка гипотезы об однородности дисперсий Если число повторных опытов m одинаково для всех опытов матрицы, то для проверки однородности дисперсий применяется критерий Кочрена, расчетное значение которого определяется по формуле: GR Su2 max { Y} N S 2 u { Y} u 1 htt p:/ Расчетное значение GR сравнивают с табличным значением GT, которое определяют (приложение 5) в зависимости от числа опытов в матрице N и числа степеней свободы дисперсии f { Su2 } m 1 для заданной доверительной вероятности. Если GR < GT, то гипотеза об однородности дисперсий принимается, если нет - следует применить методику исключения резко выделяющихся величин или найти причину возникновения большой дисперсии в u-м опыте, а затем повторить (полностью или частично) экспериментальную часть работы. Если число повторных опытов m различно для разных опытов матрицы, то для проверки гипотезы об однородности дисперсий в опытах матрицы применяется критерий Бартлета [1, стр.55]. vs tu. by Вычисление дисперсии воспроизводимости выходного параметра в опытах матрицы Если в опытах матрицы дисперсии однородны и число повторных опытов одинаково, то средняя дисперсия определяется по формуле: 2 S âî ñï { Y} 1 N N S 2 u { Y} . u 1 Вычисление коэффициентов искомого уравнения (модели) Коэффициенты регрессии определяются по следующим формулам: 1 bi N bi j bi j l 1 N N x 1 N Y (i 0,1, , M ) ; iu u u 1 N x u 1 N x i u i u x j uYu ( i x j u x l uYu ( i u 1 j); j l) . in. В результате подстановки найденных коэффициентов в уравнение (2) получается регрессионную многофакторную модель, которая, однако, не является окончательной моделью изучаемого процесса. Оценка значимости полученных коэффициентов регрессии Значимость полученных коэффициентов оценивается с помощью критерия Стьюдента, расчетное значение которого (для каждого коэффициента) определяется по формуле: где bi /be lsp t R{ b i } S 2{ b i } S2{ b i } 1 2 S {Y} , N в свою очередь S 2{ Y } 1 2 S âî ñï { Y} . m htt p:/ Полученное расчетное значение tR сравнивается с табличным tT, которое определяют по таблице (приложение 3) при условии, что PD=0,95 и число степеней свободы f { Su2 } N( m 1) . Если tR{bi} > tT, то коэффициент bi значим. Если tR{bi} < tT, то коэффициент bi незначим, и его необходимо приравнять нулю, т.е. исключить член biXi из модели. Необходимо учитывать, что значимость коэффициентов зависит не только от удельного влияния данного фактора на выходной параметр, но и от интервала варьирования уровней фактора. Незначимость может быть обусловлена малым интервалом варьирования фактора, большой дисперсией воспроизводимости вследствие наличия неуправляемых и неконтролируемых факторов, а также расположением основного уровня фактора близко к точке частного экстремума выходного параметра по этому фактору. После исключения незначимых коэффициентов записывается искомая модель. Проверка адекватности полученной модели Проверку адекватности модели можно проводить только при условии, что число проведенных опытов больше числа коэффициентов модели. Вначале определяется дисперсия неадекватности: vs tu. by N (Y u Sí2àä u 1 YRu ) 2 N Nç í . êî ý ô . , где Nзн.коэф. - число значимых (оставшихся) коэффициентов в модели. YRu - возвращаемые моделью расчетные значения выходного параметра, которые определяют для каждого опыта путем подстановки в полученное уравнение соответствующих значений входных параметров. Определяют расчетное значение критерия Фишера: FR или FR Sí2àä { Y} 2 , если Sí2àä { Y} S 2 { Y } ; S { Y} S2{ Y } , если S 2 { Y } S í2à ä { Y} . Sí2àä { Y} Расчетное FR значение критерия сравнивают с табличным FT, которое определяют по таблице (приложение 4) при условии, что PD=0,95, f { Su2 } N( m 1) , f { Sí2àä } N Nç í . êî ý ô. . in. Если FR < FT, то с вероятностью PD гипотеза об адекватности полученной модели принимается. Если гипотеза об адекватности отвергается, необходимо переходить к описанию процесса полиномом второго порядка на базе другого вида эксперимента или, если это возможно, проводить эксперимент с меньшим интервалом варьирования уровней факторов. Однако неоправданное уменьшение интервала варьирования может обусловить статистическую незначимость коэффициентов регрессии. Исследование полученной регрессионной многофакторной модели /be lsp Получив математическую модель, исследователь проводит ее анализ. Вклад фактора в величину выходного параметра при переходе от нижнего к верхнему уровню называется эффектом фактора. Чем больше коэффициент регрессии, тем выше эффект этого фактора, т.е. тем сильнее влияние фактора на выходной параметр. Таким образом, по величине коэффициентов регрессии в модели можно осуществить ранжирование факторов по силе их влияния на Y. Наиболее наглядным является графическое построение (например, с помощью “STATGRAPHICS”) поверхности отклика для двухфакторной регрессионной модели путем изображения линий одинакового уровня выходного параметра (изолиний). Каждая линия представляет собой проекцию сечения поверхности отклика плоскостью, параллельной плоскости чертежа. Анализируя вид полученной поверхности легко определить влияние каждого фактора на выходной параметр. Для трехфакторной модели строят три семейства изолиний для двух факторов, используя три стабилизации третьего фактора (на нижнем, основном и верхнем уровне). При M > 3 наглядное представление о геометрическом образе поверхности отклика становится невозможным из-за отсутствия у человека интуиции в многомерных пространствах. htt p:/ Определение регрессионной многофакторной модели второго порядка по D-оптимальным матрицам Основные сведения В последнее время появились матрицы, которые удовлетворяют требованиям оптимальности оценок коэффициентов модели и выходного параметра при уменьшенном числе опытов. Матрицу, которая обеспечивает получение минимума обобщенной дисперсии, т.е. минимума дисперсии всех коэффициентов регрессии (S2{b}min) называют D-оптимальной. Одним из достоинств данных матриц является то, что факторы варьируются только на трех уровнях. vs tu. by Выбор матрицы планирования Описываемая методика позволяет получить модель вида: YR b 0 M i 1 bi x i M M b i j x i x j b i i x i2 i j 1 j #i i 1 Ниже приведены некоторые наиболее известные матрицы, имеющие хорошие статистические характеристики и включающие небольшое число опытов. При этом используются следующие обозначения: M - число факторов (входных параметров); N - общее число опытов в матрице; Nц - число опытов в центре эксперимента; В условном обозначении строк в матрице используются следующие сокращения: a, b, c, d, e - факторы (соответственно X1, X2, X3, X4, X5) на верхнем уровне; a(0),b(0),c(0),d(0),e(0) - факторы (соответственно X1, X2, X3, X4, X5) на основном уровне; (1) - все факторы в данной строке на нижнем уровне. in. /be lsp Матрица Коно (Ко2): M N Nц Условное обозначение строк в матрице 2 9 1 ab,b,a,(1),ab(0),b(0),a(0)b,a(0),a(0)b(0) Матрица Бокса (B3): M N Nц Условное обозначение строк в матрице 3 14 0 abc,bc,ac,c,ab,b,a,(1),ab(0)c(0),b(0)c(0),a(0)bc(0),a(0)c(0),a(0)b(0)c,a(0)b(0) Матрица Бокса (B4): M N Nц Условное обозначение строк в матрице 4 24 0 abcd,bcd,acd,cd,abd,bd,ad,d,abc,bc,ac,c,ab,b,a,(1),ab(0)c(0)d(0),b(0)c(0)d(0),a(0)bc(0) d(0),a(0)c(0)d(0),a(0)b(0)cd(0),a(0)b(0)d(0),a(0)b(0)c(0)d,a(0)b(0)c(0) htt p:/ Матрица Бокса (B5): M N Nц Условное обозначение строк в матрице 5 42 0 abcde,bcde,acde,cde,abde,bde,ade,de,abce,bce,ace,ce,abe,be,ace,abcd,bcd,acd,cd,abd,b d,ad,d,abc,bc,ac,c,ab,b,a,(1),ab(0)c(0)d(0)e(0),b(0)c(0)d(0)e(0),a(0)bc(0)d(0)e(0),a(0)c (0)d(0)e(0),a(0)b(0)cd(0)e(0),a(0)b(0)d(0)e(0),a(0)b(0)c(0)de(0),a(0)b(0)c(0)e(0),a(0) b(0)c(0)d(0)e,a(0)b(0)c(0)d(0) Матрица Хартли (Ha5): M N Nц Условное обозначение строк в матрице 5 27 1 abcde,bcd,acd,cde,abd,bde,ade,d,abc,bce,ace,c,abe,b,a,e,ab(0)c(0)d(0)e(0),b(0)c(0)d(0) e(0),a(0)bc(0)d(0)e(0),a(0)c(0)d(0)e(0),a(0)c(0)d(0)e(0),a(0)b(0)cd(0)e(0),a(0)b(0)d(0) e(0),a(0)b(0)c(0)de(0),a(0)b(0)c(0)e(0),a(0)b(0)c(0)d(0)e,a(0)b(0)c(0)d(0),a(0)d(0)c(0) d(0)e(0) При проведения эксперимента по одной из вышеперечисленных матриц необходимо прибегать к рандомизации опытов. vs tu. by Для изучения описываемой методики можно воспользоваться значениями, приведенными в приложении 10. Зная квадратическую неровноту выходного параметра C{Y} по данным предварительного эксперимента или на основании другой априорной информации, а также задаваясь величиной относительной ошибки { Y } и доверительной вероятностью u(PD), можно рассчитать требуемое число повторностей каждого опыта: u{ PD} C{ Y} mY ( ) { Y } 2 Обработку полученных данных проводят в следующем порядке. Нахождение статистических характеристик Находят средние значения функции отклика по строкам Yu и построчные дисперсии Su2 { Yu } по формулам: Yu 1 m Yu , m i 1 i 1 m 1 Su2{ Yu } ui i 1 Yu) 2 , где in. m - число повторностей опыта. m (Y Проверка гипотезы об однородности дисперсий Если число повторных опытов m одинаково для всех опытов матрицы, то для проверки однородности дисперсий применяется критерий Кочрена, расчетное значение которого определяется по формуле: Su2 max { Y} /be lsp GR N S 2 u { Y} u 1 Расчетное значение GR сравнивают с табличным значением GT, которое определяют (приложение 5) в зависимости от числа опытов в матрице N и числа степеней свободы дисперсии f { Su2 } m 1 для заданной доверительной вероятности. Если GR < GT, то гипотеза об однородности дисперсий принимается, если нет - следует применить методику исключения резко выделяющихся величин или найти причину возникновения большой дисперсии в u-м опыте, а затем повторить (полностью или частично) экспериментальную часть работы. Если число повторных опытов m различно для разных опытов матрицы, то для проверки гипотезы об однородности дисперсий в опытах матрицы применяется критерий Бартлета [1, стр.55]. Вычисление дисперсии воспроизводимости Вычисляют дисперсию воспроизводимости по формуле: htt p:/ N S { Y} 2 u S2{ Y} u 1 m( N N ö 1) Вычисление коэффициентов искомого уравнения (модели) и их дисперсий N M b 0 g 1 Yu g 2 u 1 N x i 1 u 1 2 i u Yu ; vs tu. by N bi g 3 x i uYu ; u 1 N bi j g 4 x i u x j uYu ; u 1 M N bi i g 5 x i2uYu g 6 u 1 N i 1 u 1 N x i2uYu g 2 Yu ; u 1 S2{ b 0} g 1 S2{ Y} ; S2{ b i } g 3 S2{ Y } ; S2 { b i j } g 4 S2 { Y } ; S2{ b i i } g 7 S2{ Y } ; Значения постоянных коэффициентов gi приведены в таблице (Таблица 7) Таблица 7 M g1 g2 Ко2 B3 B4 B5 Ha5 2 3 4 5 5 0,55556 0,40625 0,22917 0,15821 0,13804 0,33333 0,15625 0,06250 0,03320 0,03030 g3 g4 g5 0,25000 0,12500 0,06250 0,03125 0,06250 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 in. Матрица 0,16666 0,10000 0,05556 0,02941 0,55560 g1 0,00000 -0,09375 -0,10417 -0,09180 -0,09091 0,50000 0,40625 0,39583 0,40820 0,40909 /be lsp Оценка значимости полученных коэффициентов регрессии Значимость полученных коэффициентов оценивается с помощью критерия Стьюдента, расчетное значение которого (для каждого коэффициента) определяется по формуле: t R{ b i } bi S2{ b i } htt p:/ Полученное расчетное значение tR сравнивается с табличным tT, которое определяют по таблице (приложение 3) при условии, что PD=0,95 и число степеней свободы f { Su2 } N( m 1) . Если tR{bi} > tT, то коэффициент bi значим. Если tR{bi} < tT, то коэффициент bi незначим, и его необходимо приравнять нулю, т.е. исключить член biXi из модели. Необходимо учитывать, что значимость коэффициентов зависит не только от удельного влияния данного фактора на выходной параметр, но и от интервала варьирования уровней фактора. Незначимость может быть обусловлена малым интервалом варьирования фактора, большой дисперсией воспроизводимости вследствие наличия неуправляемых и неконтролируемых факторов, а также расположением основного уровня фактора близко к точке частного экстремума выходного параметра по этому фактору. Следует отметить, что исключение членов модели с коэффициентами bii в случае их незначимости без пересчета значимых коэффициентов bjj и b0 является некорректным приемом, хотя его часто применяют. При числе факторов более трех (M > 3) с целью повышения адекватности модели рекомендуется проводить последовательное исключение членов модели с незначимыми коэффициентами bii (начиная с минимального) с пересчетом оставшихся коэффициентов [1, стр.178]. Проверка адекватности полученной модели Проверку адекватности модели можно проводить только при условии, что число проведенных опытов больше числа коэффициентов модели. Вначале определяется дисперсия неадекватности: vs tu. by N (Y u Sí2àä u 1 YRu) 2 N Nç í . êî ý ô . ( N ö 1) 2 , где Nзн.коэф. - число значимых (оставшихся) коэффициентов в модели. YRu - возвращаемые моделью расчетные значения выходного параметра, которые определяют для каждого опыта путем подстановки в полученное уравнение соответствующих значений входных параметров. Определяют расчетное значение критерия Фишера: FR или FR Sí2àä { Y} 2 , если Sí2àä { Y} S 2 { Y } ; S { Y} S2{ Y } , если S 2 { Y } S í2à ä { Y} . Sí2àä { Y} Расчетное FR значение критерия сравнивают с табличным FT, которое определяют по таблице (приложение 4) при условии, что PD=0,95, f { Su2 } N( m 1) , f { Sí2àä } N Nç í . êî ý ô. . in. Если FR < FT, то с вероятностью PD гипотеза об адекватности полученной модели принимается. Если гипотеза об адекватности отвергается, необходимо переходить к описанию процесса полиномом второго порядка на базе другого вида эксперимента или, если это возможно, проводить эксперимент с меньшим интервалом варьирования уровней факторов. Однако неоправданное уменьшение интервала варьирования может обусловить статистическую незначимость коэффициентов регрессии. Исследование полученной регрессионной многофакторной модели htt p:/ /be lsp Используя полученную модель необходимо определить характер изменения поверхности отклика в экстремальном участке и определить комбинацию уровней факторов, обеспечивающих экстремальное значение выходного параметра, т.е. оптимальные условия исследуемого процесса. Наиболее наглядным является графическое построение (например, с помощью «STATISTICA FOR WINDOWS») поверхности отклика для двухфакторной регрессионной модели путем изображения линий одинакового уровня выходного параметра (изолиний). Каждая линия представляет собой проекцию сечения поверхности отклика плоскостью, параллельной плоскости чертежа. Анализируя вид полученной поверхности легко определить влияние каждого фактора на выходной параметр. Для трехфакторной модели строят три семейства изолиний для двух факторов, используя три стабилизации третьего фактора (на нижнем, основном и верхнем уровне). При M > 3 наглядное представление о геометрическом образе поверхности отклика становится невозможным из-за отсутствия у человека интуиции в многомерных пространствах. Для нахождения координат точки оптимума (оптимальных значений факторов) можно воспользоваться одним из множества методов, реализованных на ЭВМ (например, «STATISTICA FOR WINDOWS»). vs tu. by Литература htt p:/ /be lsp in. Севостьянов А.Г. Методы и средства исследований механико-технологических процессов текстильной промышленности. М., «Легкая индустрия», 1980. Спиридонов А.А. Планирование эксперимента при исследовании технологических процессов. М., «Машиностроение», 1981. Тойберг П. Оценка точности результатов измерений. Пер. с немецк. М., «Энергоатомиздат», 1988. Севостьянов А.Г., Кудинов А.В., Литвинов М.С. и др. Методы и средства исследований механико-технологических процессов текстильной промышленности. Лабораторный практикум. М., «Легкая промышленность и бытовое обслуживание», 1986. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных. М., «Финансы и статистика», 1983. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Исследование зависимостей. М., «Финансы и статистика», 1985. Кокс Д., Снелл Э. Прикладная статистика: Принципы и примеры. М., «Мир», 1984. Ким Дж.-О., Мьюллер Ч.У., Клекка У.Р., Олдендерфер М.С., Блэшфилд Р.К. Факторный, дискриминантный и кластерный анализ: Пер. С англ. Под ред. И.С.Енюкова. М., «Финансы и статистика», 1989. Григорьев С.Г., Перфилов А.М., Левандовский В.В., Юнкеров В.И. STATGRAPHICS на персональном компьютере. Санкт-Петербург., «ПО-3», 1992. vs tu. by in. /be lsp htt p:/ Приложения vs tu. by Приложение 1 Критические значения критерия Смирнова-Граббса V T Количество элементов совокупности htt p:/ /be lsp 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0.99 1.414 1.723 1.955 2.130 2.265 2.374 2.464 2.540 2.606 2.663 2.714 2.759 2.800 2.837 2.871 2.903 2.932 2.959 2.984 3.008 3.030 3.051 3.071 in. m Уровень доверительной вероятности pD 0.95 1.412 1.689 1.869 1.996 2.093 2.172 2.237 2.294 2.343 2.387 2.426 2.461 2.493 2.523 2.551 2.577 2.600 2.623 2.644 2.664 2.683 2.701 2.717 0.90 1.406 1.645 1.791 1.894 1.974 2.041 2.097 2.146 2.190 2.229 2.664 2.297 2.326 2.354 2.380 2.404 2.426 2.447 2.467 2.486 2.504 2.502 2.537 Критические значения критерия Пирсона T2 Число степеней свободы vs tu. by Приложение 2 Уровень доверительной вероятности pD 0.9 0.95 0.99 0.999 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2.705 4.605 6.251 7.779 9.236 10.645 12.017 13.361 14.684 15.987 17.275 18.549 19.812 21.064 22.307 23.542 24.769 25.989 27.204 28.412 29.615 30.813 32.007 33.196 34.382 3.841 5.991 7.815 9.488 11.070 12.591 14.067 15.507 16.919 18.307 19.675 21.026 22.362 23.685 24.996 26.296 27.587 28.869 30.143 31.410 32.670 33.924 35.172 36.415 37.652 6.635 9.210 11.345 13.277 15.086 16.812 18.475 20.090 21.666 23.209 24.725 26.217 27.688 29.141 30.578 31.999 33.409 34.805 36.191 37.566 38.932 40.289 41.638 42.980 44.314 10.828 13.816 16.266 18.467 20.515 22.458 24.322 26.125 27.877 29.588 31.264 32.909 34.528 36.123 37.697 39.252 40.790 42.312 43.820 45.315 46.797 48.268 49.728 51.179 52.620 htt p:/ /be lsp in. f Значения критерия Стьюдента t T Число степеней свободы vs tu. by Приложение 3 Уровень доверительной вероятности pD 0.8 0.9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 3.078 1.866 1.638 1.533 1.476 1.440 1.415 1.397 1.383 1.372 1.363 1.356 1.350 1.345 1.341 1.337 1.333 1.330 1.328 1.325 1.323 1.321 1.319 1.318 1.316 1.315 1.314 1.313 1.311 1.310 1.303 1.296 1.289 1.282 6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812 1.796 1.782 1.771 1.761 1.753 1.746 1.740 1.734 1.729 1.725 1.721 1.717 1.714 1.711 1.708 1.706 1.703 1.701 1.699 1.697 1.684 1.671 1.658 1.645 0.95 0.99 0.999 12.706 4.303 3.182 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228 2.201 2.179 2.160 2.145 2.131 2.120 2.110 2.101 2.093 2.086 2.080 2.074 2.069 2.064 2.060 2.056 2.052 2.048 2.045 2.042 2.021 2.000 1.980 1.960 63.657 9.925 5.841 4.604 4.032 3.707 3.499 3.355 3.250 3.169 3.106 3.055 3.012 2.977 2.947 2.921 2.898 2.878 2.861 2.845 2.831 2.819 2.807 2.797 2.787 2.779 2.771 2.763 2.756 2.750 2.704 2.660 2.617 2.576 636.62 31.598 12.924 8.610 6.869 5.959 5.408 5.041 4.781 4.587 4.437 4.318 4.221 4.140 4.073 4.015 3.965 3.922 3.883 3.850 3.819 3.792 3.767 3.745 3.725 3.707 3.690 3.674 3.659 3.646 3.551 3.460 3.373 3.291 /be lsp in. f htt p:/ vs tu. by Приложение 4 Значения критерия Фишера FT ( f1 - степень свободы для меньшей дисперсии, f 2 - степень свободы для большей дисперсии) 3 4 5 6 7 8 9 161.4 18.51 10.13 7.71 6.61 5.99 5.59 5.32 5.12 4.96 4.84 4.75 4.67 4.60 4.54 4.49 4.45 4.41 4.38 4.35 4.32 4.30 4.28 4.26 4.24 4.23 4.21 4.20 4.18 4.17 4.08 4.00 3.922 3.84 199.5 19.00 9.55 6.94 5.79 5.14 4.74 4.46 4.26 4.10 3.98 3.89 3.81 3.74 3.68 3.63 3.59 3.55 3.52 3.49 3.47 3.44 3.42 3.40 3.39 3.37 3.95 3.34 3.33 3.32 3.23 3.15 3.07 3.00 215.7 19.16 9.28 6.59 5.41 4.76 4.35 4.07 3.86 3.71 3.59 3.49 3.41 3.34 3.29 3.24 3.20 3.16 3.13 3.10 3.07 3.05 3.03 3.01 2.99 2.98 2.96 2.95 2.93 2.92 2.84 2.76 2.68 2.60 224.6 19.25 9.12 6.39 5.19 4.53 4.12 3.84 3.63 3.48 3.36 3.26 3.18 3.11 3.06 3.01 2.96 2.93 2.90 2.87 2.84 2.82 2.80 2.78 2.76 2.74 2.73 2.71 2.70 2.69 2.61 2.53 2.45 2.37 230.2 19.30 9.01 6.26 5.05 4.39 3.97 3.69 3.48 3.33 3.20 3.11 3.03 2.96 2.90 2.85 2.81 2.77 2.74 2.71 2.68 2.66 2.64 2.62 2.60 2.59 2.57 2.56 2.55 2.53 2.45 2.37 2.29 2.21 234.0 19.33 8.94 6.16 4.95 4.28 3.87 3.58 3.37 3.22 3.09 3.00 2.92 2.85 2.79 2.74 2.70 2.66 2.63 2.60 2.57 2.55 2.53 2.51 2.49 2.47 2.46 2.45 2.43 2.42 2.34 2.25 2.17 2.10 236.8 19.35 8.89 6.09 4.88 4.21 3.79 3.50 3.29 3.14 3.01 2.91 2.83 2.76 2.71 2.66 2.61 2.58 2.54 2.51 2.49 2.46 2.44 2.42 2.40 2.39 2.37 2.36 2.35 2.33 2.25 2.17 2.09 2.01 238.9 19.37 8.85 6.04 4.82 4.15 3.73 3.44 3.23 3.07 2.95 2.85 2.77 2.70 2.64 2.59 2.55 2.51 2.48 2.45 2.42 2.40 2.37 2.36 2.34 2.32 2.31 2.29 2.28 2.27 2.18 2.10 2.02 1.94 240.5 19.38 8.81 6.00 4.77 4.10 3.68 3.39 3.18 3.02 2.90 2.80 2.71 2.65 2.59 2.54 2.49 2.46 2.42 2.39 2.37 2.34 2.32 2.30 2.28 2.27 2.25 2.24 2.22 2.21 2.12 2.04 1.96 1.88 10 12 15 20 24 30 40 60 120 241.9 19.40 8.79 5.96 4.74 4.06 3.64 3.35 3.14 2.98 2.85 2.75 2.67 2.60 2.54 2.49 2.45 2.41 2.38 2.35 2.32 2.30 2.27 2.25 2.24 2.22 2.20 2.19 2.18 2.16 2.08 1.99 1.91 1.83 243.9 19.41 8.74 5.91 4.68 4.00 3.57 3.28 3.07 2.91 2.79 2.69 2.60 2.53 2.48 2.42 2.38 2.34 2.31 2.28 2.25 2.23 2.20 2.18 2.16 2.15 2.13 2.12 2.10 2.09 2.00 1.92 1.83 1.75 245.9 19.43 8.70 5.86 4.62 3.94 3.51 3.22 3.01 2.85 2.72 2.62 2.53 2.46 2.40 2.35 2.31 2.27 2.23 2.20 2.18 2.15 2.13 2.11 2.09 2.07 2.06 2.04 2.03 2.01 1.92 1.84 1.75 1.67 248.0 19.45 8.66 5.80 4.56 3.87 3.44 3.15 2.94 2.77 2.65 2.54 2.46 2.39 2.33 2.28 2.23 2.19 2.16 2.12 2.10 2.07 2.05 2.03 2.01 1.99 1.97 1.96 1.94 1.93 1.84 1.75 1.66 1.57 249.1 19.45 8.64 5.77 4.53 3.84 3.41 3.12 2.90 2.74 2.61 2.51 2.42 2.35 2.29 2.24 2.19 2.15 2.11 2.08 2.05 2.03 2.01 1.98 1.96 1.95 1.93 1.91 1.90 1.89 1.79 1.70 1.61 1.52 250.1 19.46 8.62 5.75 4.50 3.81 3.38 3.08 2.86 2.70 2.57 2.47 2.38 2.31 2.25 2.19 2.15 2.11 2.07 2.04 2.01 1.98 1.96 1.94 1.92 1.90 1.88 1.87 1.85 1.84 1.74 1.65 1.55 1.46 251.1 19.47 8.59 5.72 4.46 3.77 3.34 3.04 2.83 2.66 2.53 2.43 2.34 2.27 2.20 2.15 2.10 2.06 2.03 1.99 1.96 1.94 1.91 1.89 1.87 1.85 1.84 1.82 1.81 1.79 1.69 1.59 1.50 1.39 252.2 19.48 8.57 5.69 4.43 3.74 3.30 3.01 2.79 2.62 2.49 2.38 2.30 2.22 2.16 2.11 2.06 2.02 1.98 1.95 1.92 1.89 1.86 1.84 1.82 1.80 1.79 1.77 1.75 1.74 1.64 1.53 1.43 1.32 253.3 19.49 8.55 5.66 4.40 3.70 3.27 2.97 2.75 2.58 2.45 2.34 2.225 2.18 2.12 2.06 2.01 1.97 1.93 1.90 1.87 1.84 1.81 1.79 1.77 1.75 1.73 1.71 1.70 1.68 1.58 1.47 1.35 1.22 254.3 19.50 8.53 5.63 4.36 3.67 3.23 2.93 2.71 2.54 2.40 2.30 2.21 2.13 2.07 2.01 1.96 1.92 1.88 1.84 1.81 1.78 1.76 1.73 1.69 1.67 1.65 1.64 1.62 1.51 1.39 1.25 1.00 1.71 lsp in. 2 /be 1 p:/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 f2 htt f1 Значения критерия Кочрена GT при pD 0,95 vs tu. by Приложение 5 f m 1 3 0.9392 0.7977 0.6841 0.5981 0.5321 0.4800 0.4377 0.4027 0.3733 0.3264 0.2758 0.2205 0.1907 0.1593 0.1259 0.0865 0.0495 0 4 0.9057 0.7457 0.6287 0.5441 0.4803 0.4307 0.3910 0.3584 0.3311 0.2880 0.2419 0.1921 0.1656 0.1377 0.1082 0.0765 0.0419 0 5 0.8772 0.7071 0.5859 0.5065 0.4447 0.3974 0.3595 0.3286 0.3029 0.2624 0.2195 0.1935 0.1493 0.1237 0.0968 0.0682 0.0371 0 6 0.8534 0.6771 0.5598 0.4783 0.4184 0.3726 0.3362 0.3067 0.2823 0.2439 0.2034 0.1602 0.1304 0.1137 0.0887 0.0623 0.0337 0 7 0.8332 0.6530 0.5365 0.4564 0.9880 0.3535 0.3185 0.2901 0.2666 0.2299 0.1911 0.1501 0.1286 0.1061 0.0827 0.0583 0.0312 0 8 0.8159 0.6333 0.5175 0.4387 0.3817 0.3384 0.3043 0.2768 0.2541 0.2187 0.1815 0.1422 0.1216 0.1002 0.0780 0.0552 0.0292 0 9 0.8010 0.6167 0.5017 0.4241 0.3682 0.3259 0.2926 0.2659 0.2439 0.2098 0.1736 0.1357 0.1160 0.0958 0.0745 0.0520 0.0279 0 lsp in. 2 0.9750 0.8709 0.7679 0.6838 0.6161 0.5612 0.5157 0.4775 0.4450 0.3924 0.3346 0.2705 0.2354 0.1908 0.1576 0.1131 0.0632 0 /be 1 0.9985 0.9669 0.9065 0.8412 0.7808 0.7271 0.6798 0.6385 0.6020 0.5410 0.4709 0.3894 0.3434 0.2929 0.2370 0.1737 0.0998 0 p:/ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 htt N 10 0.7880 0.6025 0.4884 0.4118 0.3568 0.3154 0.2829 0.2568 0.2353 0.2020 0.1671 0.1303 0.1113 0.0921 0.0713 0.0497 0.0266 0 16 0.7341 0.5466 0.4366 0.3645 0.3135 0.2756 0.2462 0.2226 0.2032 0.1737 0.1429 0.1108 0.0940 0.0771 0.0595 0.0411 0.0218 0 36 0.6602 0.4748 0.3720 0.3066 0.2612 0.2278 0.2022 0.1820 0.1655 0.1403 0.1144 0.0879 0.0743 0.0604 0.0462 0.0316 0.0165 0 144 0.5813 0.4031 0.3093 0.2513 0.2119 0.1833 0.1616 0.1446 0.1308 0.1100 0.0889 0.0675 0.0567 0.0457 0.0347 0.0234 0.0120 0 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.0833 0.0667 0.0500 0.0417 0.0333 0.0250 0.0167 0.0083 0 vs tu. by Приложение 6 X 1 , X 2 и Y - соответственно прочность, удлинение и масса полуметрового отрезка пряжи, полученной пневматическим способом; m - количество испытаний Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6 X1 X2 Y X1 X2 Y X1 X2 Y X1 X2 Y X1 X2 Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 960 965 985 930 935 950 985 940 960 960 17.2 17.2 18.2 14.0 14.4 14.6 17.2 15.6 17.0 16.6 99 87 112 74 81 99 105 87 112 93 935 925 965 950 930 950 950 965 965 905 14.0 17.4 16.4 16.0 13.8 15.4 16.4 17.4 16.6 12.8 84 108 114 90 108 102 114 120 102 84 985 980 960 960 945 985 930 975 955 945 18.6 18.0 15.2 15.4 15.0 17.2 14.4 17.2 16.0 15.6 115 122 109 115 109 115 83 122 122 90 985 1135 940 960 1055 865 1175 865 1175 1050 13.8 16.6 11.5 13.1 14.4 11.3 14.1 15.0 16.8 14.0 92 122 85 104 98 85 104 116 116 104 980 840 1155 1105 935 890 965 950 965 1175 11.9 9.2 15.8 13.0 11.3 10.8 13.0 13.1 13.9 15.1 106 94 112 94 94 83 106 100 94 112 Вариант 11 Вариант 12 Вариант 13 Вариант 14 m X1 X2 Y X1 X2 Y X1 X2 Y X1 X2 1 2 3 4 1120 1170 935 1120 15.7 16.9 13.3 16.2 95 113 77 119 1135 995 945 900 16.0 14.2 12.6 11.4 119 106 88 106 965 1135 1270 1055 10.8 14.8 16.6 13.6 84 90 120 96 9.1 15.6 12.3 17.6 5 6 7 8 9 1060 1120 1055 1000 1230 16.5 15.7 15.3 13.2 15.9 113 95 101 113 89 1160 1265 1060 855 850 16.2 17.0 13.7 11.6 13.1 119 125 113 94 94 1055 1075 965 910 855 13.8 18.5 12.1 12.6 13.3 102 114 90 102 108 750 965 850 12.3 0 1175 1000 1075 1105 970 10 875 11.7 83 1215 15.8 119 1020 14.0 108 1055 Вариант 7 Вариант 15 Вариант 8 Вариант 9 Вариант 10 X1 X2 Y X1 X2 Y X1 X2 Y X1 X2 Y X1 X2 Y 835 1075 1195 1015 1025 1035 995 885 965 1175 9.8 14.8 13.7 13.0 13.9 15.6 13.9 12.2 11.6 15.2 101 107 101 107 113 101 107 95 88 120 1060 1040 850 1155 1170 1365 1100 945 1190 1050 15.7 12.4 11.5 15.6 16.1 17.4 14.0 14.6 16.5 14.8 93 87 93 105 124 112 105 93 99 105 1055 1190 1175 1050 1020 1075 1095 1075 795 1050 14.0 15.0 15.4 15.0 13.7 14.7 15.4 14.4 9.4 14.4 90 102 114 96 84 90 108 96 78 102 965 1175 1080 1275 970 1075 1175 1075 1105 1190 11.8 16.7 15.0 17.0 12.0 13.9 15.0 14.4 16.3 16.5 91 109 91 127 103 97 103 91 109 121 1050 1075 1175 1000 900 795 875 965 1065 1120 12.6 15.4 16.5 14.8 12.1 10.3 13.2 15.2 15.0 15.4 96 90 114 102 84 90 108 114 90 102 lsp in. m Вариант 16 Вариант 17 Вариант 18 Вариант 19 Вариант 20 X1 X2 Y X1 X2 Y X1 X2 Y X1 X2 Y X1 X2 Y X1 X2 Y 1175 905 1110 1135 15.4 11.2 13.6 15.3 111 86 105 105 980 840 1155 1105 11.9 9.2 15.8 13.0 106 94 112 94 985 930 975 955 17.2 14.4 17.2 16.0 115 83 122 122 1075 1095 1075 795 14.7 15.4 14.4 9.4 90 108 96 78 1075 965 910 855 18.5 12.1 12.6 13.3 114 90 102 108 1265 1060 855 850 17.0 13.7 11.6 13.1 125 113 94 94 15.6 13.1 14.6 16.5 13.2 100 94 113 125 94 1135 970 1040 1020 835 16.0 11.7 16.0 15.3 10.6 117 92 123 117 92 935 950 985 940 960 11.3 14.6 17.2 15.6 17.0 94 99 105 87 112 945 985 1135 940 960 15.6 13.8 16.6 11.5 13.1 90 92 122 85 104 1050 1055 1190 1175 1050 14.4 14.0 15.0 15.4 15.0 102 90 102 114 96 14.0 9.1 15.6 12.3 17.6 108 88 119 106 119 1215 1120 1055 1000 1230 15.8 15.7 15.3 13.2 15.9 119 95 101 113 89 14.8 100 950 13.7 99 960 16.6 93 1055 14.4 98 1020 13.7 84 1020 750 965 850 12.3 0 1175 15.6 100 875 11.7 83 htt p:/ /be Y 88 119 106 119 4 760 740 745 800 850 775 750 650 675 650 715 590 825 860 815 805 770 610 780 650 750 730 830 740 790 780 775 710 660 700 775 780 835 835 5 720 620 635 770 645 735 620 870 750 745 805 725 750 705 730 690 750 650 810 705 765 775 650 670 905 715 520 765 845 850 670 800 555 740 6 930 800 850 950 1200 1260 1030 1160 1130 920 1150 920 1020 1060 1000 1100 1170 980 1085 950 1000 920 850 800 880 850 950 950 1070 1050 1350 1270 1350 1130 7 900 875 970 980 510 905 785 950 940 670 980 960 740 805 855 680 620 830 760 730 540 990 955 805 795 970 810 515 785 715 925 480 830 725 8 465 450 500 460 485 530 515 480 560 515 560 490 470 540 480 525 505 560 580 480 500 440 505 600 475 540 530 515 490 480 505 480 540 490 9 620 500 570 530 580 550 480 515 525 630 570 550 570 550 570 450 580 560 490 615 540 490 605 520 650 670 490 560 580 545 540 595 615 540 № варианта 10 11 630 825 620 685 615 790 740 825 760 880 735 790 800 880 770 560 880 680 550 785 810 620 680 805 600 730 795 700 740 640 700 820 710 830 740 755 705 655 790 750 760 860 700 690 730 755 720 740 750 590 760 520 735 905 730 845 750 720 630 940 815 610 800 820 620 585 740 600 12 800 810 760 540 860 1050 500 850 760 870 820 820 860 700 710 870 800 860 640 700 700 740 650 760 1050 1000 920 930 980 450 500 640 580 820 lsp in. 3 1100 980 930 1040 740 930 950 820 680 790 1050 750 1210 930 1030 810 1100 1100 580 980 1050 930 700 640 630 920 980 810 690 750 930 930 1150 1100 /be 2 950 1400 1170 1350 1450 1250 1270 1480 900 1270 1460 1250 1100 1150 1150 1150 1030 1000 950 1200 1200 1300 1350 1200 1300 1050 1350 1300 940 1330 1050 1400 1500 1250 p:/ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 1 480 540 555 480 520 520 595 510 570 520 560 520 583 545 500 540 530 540 480 550 545 520 525 585 500 480 515 530 540 515 510 435 505 410 htt m vs tu. by Приложение 7 13 1025 1050 1080 900 955 965 950 945 965 950 780 1030 1075 895 950 790 850 865 1175 1020 900 920 840 1025 1105 1045 890 1065 900 670 1115 850 1070 1135 14 860 1260 1070 1030 980 940 1170 960 1220 1300 1100 1340 1050 1200 1080 1120 980 1320 1380 1080 1200 900 970 1230 1120 1180 900 840 1220 1200 1450 1500 1160 1250 15 790 655 850 735 830 730 610 750 690 860 635 720 630 810 610 860 760 800 605 735 835 635 580 805 975 675 740 615 910 530 655 620 695 705 16 510 435 505 410 450 480 530 485 450 485 495 450 480 500 455 510 480 455 485 465 480 540 555 480 520 520 595 510 570 520 560 520 583 545 17 1050 1400 1500 1250 1150 1200 1250 1400 1150 1200 1120 1350 1300 1200 1100 1200 1300 1050 1170 1280 950 1400 1170 1350 1450 1250 1270 1480 900 1270 1460 1250 1100 1150 18 930 930 1150 1100 780 1100 1040 1270 1100 640 700 1000 520 1030 930 980 930 980 930 980 1100 980 930 1040 740 930 950 820 680 790 1050 750 1210 930 19 775 780 835 835 720 630 700 615 680 640 570 715 830 815 870 820 925 770 710 690 760 740 745 800 850 775 750 650 675 650 715 590 825 860 20 670 800 555 740 725 835 720 710 740 825 790 770 570 705 815 885 835 540 615 770 720 620 635 770 645 735 620 870 750 745 805 725 750 705 5 725 835 720 710 740 825 790 770 570 705 815 885 835 540 615 770 6 1380 1400 1050 1200 1120 1100 1200 1200 1330 1550 1350 1200 1200 1200 1200 1300 7 985 655 740 820 895 780 870 830 785 720 790 785 905 780 980 725 8 500 520 480 485 480 490 505 480 530 515 510 550 480 500 500 505 9 575 500 575 520 470 615 540 450 560 610 530 520 540 620 520 515 vs tu. by 4 720 630 700 615 680 640 570 715 830 815 870 820 925 770 710 690 № варианта 10 11 570 710 660 720 760 685 880 780 780 670 775 815 915 770 765 880 840 765 745 675 710 750 720 850 755 715 815 645 785 610 680 720 12 810 820 780 810 940 820 620 590 540 530 560 930 750 740 700 850 lsp in. 3 780 1100 1040 1270 1100 640 700 1000 520 1030 930 980 930 980 930 980 /be 2 1150 1200 1250 1400 1150 1200 1120 1350 1300 1200 1100 1200 1300 1050 1170 1280 p:/ 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 1 450 480 530 485 450 485 495 450 480 500 455 510 480 455 485 465 htt m 13 925 1105 1190 1045 1120 1060 775 1035 980 850 815 1020 1060 825 925 980 14 1280 1450 1550 1420 1600 1070 1200 1200 1120 1020 1480 1550 1430 1430 1410 1220 15 810 725 980 630 680 670 830 615 620 835 715 650 690 650 875 910 16 500 540 530 540 480 550 545 520 525 585 500 480 515 530 540 515 17 1150 1150 1030 1000 950 1200 1200 1300 1350 1200 1300 1050 1350 1300 940 1330 18 1030 810 1100 1100 580 980 1050 930 700 640 630 920 980 810 690 750 19 815 805 770 610 780 650 750 730 830 740 790 780 775 710 660 700 20 730 690 750 650 810 705 765 775 650 670 905 715 520 765 845 850 vs tu. by Приложение 8 Значения Xu и Yui для различных вариантов Xu 50 100 150 200 250 u 1 2 3 4 5 Вариант № 11 Xu Yu1 Yu2 Yu3 Yu4 50 1150 1090 1100 1210 100 980 810 950 980 150 880 810 870 840 200 680 620 680 640 250 710 760 750 820 Yu5 1070 850 830 630 790 u 1 2 3 4 5 Вариант № 16 Xu Yu1 Yu2 Yu3 Yu4 50 1100 1050 980 1150 100 930 980 930 990 150 710 740 780 790 200 810 910 920 870 250 520 510 540 580 Вариант № 7 Yu5 Yu1 Yu2 Yu3 Yu4 970 1100 1030 1080 1030 830 930 980 950 950 770 850 810 870 820 630 740 700 760 730 550 640 690 640 610 Yu5 1040 910 880 780 670 Вариант № 12 Yu2 Yu3 Yu4 1140 1100 1040 980 950 950 800 820 830 700 760 730 740 660 650 Вариант № 17 Yu5 Yu1 Yu2 Yu3 Yu4 980 1100 1030 1080 1030 970 980 970 1000 1020 770 850 810 870 820 860 820 770 760 770 550 640 690 640 610 Yu1 1210 930 860 740 650 htt Вариант № 6 Yu2 Yu3 Yu4 980 930 990 810 870 840 740 780 790 620 680 640 510 540 580 Yu5 1090 1050 890 810 700 Yu1 1210 980 860 820 650 Вариант № 3 Yu2 Yu3 Yu4 1210 1200 1165 1050 1040 1050 915 930 990 820 830 840 460 400 440 Yu5 1110 960 950 800 460 Yu1 1150 1010 860 820 650 Вариант № 8 Yu2 Yu3 Yu4 1090 1100 1210 1000 1000 980 800 820 830 770 760 770 740 660 650 Yu5 1090 910 890 780 700 Yu1 1200 1010 870 820 450 Yu5 1040 1050 880 810 670 Yu1 1150 930 860 760 650 Yu1 1200 930 870 760 450 Yu1 1110 1100 900 860 820 Вариант № 4 Yu2 Yu3 Yu4 1060 1110 1090 1050 1040 1010 910 950 890 900 890 870 760 770 750 Yu5 1150 1110 920 850 740 Yu1 1160 1010 930 800 770 Вариант № 5 Yu2 Yu3 Yu4 Yu5 1150 1100 1120 1170 1000 1000 980 950 910 900 940 900 830 850 820 850 750 740 720 730 Yu5 1070 950 890 810 700 Yu1 1210 1100 900 860 770 Вариант № 9 Yu2 Yu3 Yu4 1140 1100 1040 1050 1040 1010 910 950 890 900 890 870 750 740 720 Yu5 1090 1110 920 850 730 Yu1 1110 930 980 800 650 Вариант № 10 Yu2 Yu3 Yu4 Yu5 1060 1110 1090 1150 1050 1040 1050 960 810 950 980 850 830 850 820 850 740 660 650 700 Вариант № 13 Yu2 Yu3 Yu4 1210 1200 1165 1000 1000 980 915 930 990 770 760 770 460 400 440 Yu5 1110 950 950 810 460 Yu1 1110 1100 900 860 820 Вариант № 14 Yu2 Yu3 Yu4 1060 1110 1090 1050 1040 1010 910 950 890 900 890 870 760 770 750 Yu5 1150 1110 920 850 740 Yu1 1160 930 930 800 770 Вариант № 15 Yu2 Yu3 Yu4 Yu5 1150 1100 1120 1170 1050 1040 1050 960 910 900 940 900 830 850 820 850 750 740 720 730 Вариант № 18 Yu2 Yu3 Yu4 1090 1100 1210 1050 1040 1050 800 820 830 820 830 840 740 660 650 Yu5 1070 960 890 800 700 Yu1 1210 1100 900 860 770 Вариант № 19 Yu2 Yu3 Yu4 1140 1100 1040 1050 1040 1010 910 950 890 900 890 870 750 740 720 Yu5 1090 1110 920 850 730 Yu1 1110 1010 980 800 650 Вариант № 20 Yu2 Yu3 Yu4 Yu5 1060 1110 1090 1150 1000 1000 980 950 810 950 980 850 830 850 820 850 740 660 650 700 lsp in. u 1 2 3 4 5 Yu1 930 880 710 680 520 Вариант № 2 Yu2 Yu3 Yu4 1140 1100 1040 970 1000 1020 800 820 830 770 760 770 740 660 650 Yu5 1070 980 850 860 790 /be Вариант № 1 Xu Yu1 Yu2 Yu3 Yu4 50 1150 1090 1100 1210 100 1100 1050 980 1150 150 980 810 950 980 200 810 910 920 870 250 710 760 750 820 p:/ u 1 2 3 4 5 vs tu. by Приложение 9 Значения Xi для всех вариантов Факторы Уровни факторов нижний верхний Натуральные значения X1 X2 50 10 100 15 X3 3 4 X1 - скорость формирования пряжи, м/с; X2 - вытяжка; X3 - давление в форсунке, Мпа. Кодированные значения X1 X2 X3 + + + Значения Yui для различных вариантов Вар. № 2 1-я 2-я пов. пов. 730 740 765 753 805 780 780 800 830 825 810 820 850 825 890 910 Вар. № 3 1-я 2-я пов. пов. 845 855 880 860 920 900 900 915 945 935 925 935 965 940 1005 1020 Вар. № 4 1-я 2-я пов. пов. 545 555 580 560 620 600 600 615 645 635 625 635 665 640 705 720 Вар. № 5 1-я 2-я пов. пов. 435 445 480 460 510 500 510 500 535 525 515 525 555 530 605 625 Вар. № 11 1-я 2-я пов. пов. 635 650 665 635 710 690 705 685 720 705 685 710 710 715 785 805 Вар. № 12 1-я 2-я пов. пов. 635 640 645 635 715 690 705 685 720 705 695 720 720 725 795 805 Вар. № 13 1-я 2-я пов. пов. 525 540 555 535 615 595 600 585 615 605 595 620 625 605 685 705 Вар. № 14 1-я 2-я пов. пов. 415 440 465 435 515 485 505 495 510 505 495 525 525 500 580 605 Вар. № 15 1-я 2-я пов. пов. 620 630 655 643 695 670 670 695 720 715 700 697 740 714 780 796 Вар. № 6 1-я 2-я пов. пов. 325 335 370 350 400 390 400 385 425 415 405 415 445 420 495 515 Вар. № 7 1-я 2-я пов. пов. 425 435 470 450 500 490 500 485 525 515 505 515 545 520 595 615 Вар. № 8 1-я 2-я пов. пов. 520 530 560 545 605 595 605 590 620 610 600 620 640 615 695 715 Вар. № 9 1-я 2-я пов. пов. 620 630 670 645 705 695 705 690 720 710 700 720 740 715 795 815 Вар. № 10 1-я 2-я пов. пов. 725 735 775 740 800 790 805 790 820 805 795 820 840 815 895 910 Вар. № 16 1-я 2-я пов. пов. 730 740 765 753 805 780 780 800 830 825 810 820 850 825 890 910 Вар. № 17 1-я 2-я пов. пов. 845 855 880 860 920 900 900 915 945 935 925 935 965 940 1005 1020 Вар. № 18 1-я 2-я пов. пов. 545 555 580 560 620 600 600 615 645 635 625 635 665 640 705 720 Вар. № 19 1-я 2-я пов. пов. 435 445 480 460 510 500 510 500 535 525 515 525 555 530 605 625 Вар. № 20 1-я 2-я пов. пов. 325 335 370 350 400 390 400 385 425 415 405 415 445 420 495 515 htt p:/ /be lsp in. Вар. № 1 1-я 2-я пов. пов. 620 630 655 643 695 670 670 695 720 715 700 697 740 714 780 796 vs tu. by Приложение 10 Значения Yui для различных вариантов Вар. № 2 1-я 2-я пов. пов. 730 740 765 753 805 780 780 800 830 825 810 820 850 825 890 910 920 910 Вар. № 3 1-я 2-я пов. пов. 845 855 880 860 920 900 900 915 945 935 925 935 965 940 1005 1020 1035 1025 Вар. № 4 1-я 2-я пов. пов. 545 555 580 560 620 600 600 615 645 635 625 635 665 640 705 720 735 720 Вар. № 5 1-я 2-я пов. пов. 435 445 480 460 510 500 510 500 535 525 515 525 555 530 605 625 635 615 Вар. № 11 1-я 2-я пов. пов. 635 650 665 635 710 690 705 685 720 705 685 710 710 715 785 805 825 805 Вар. № 12 1-я 2-я пов. пов. 635 640 645 635 715 690 705 685 720 705 695 720 720 725 795 805 815 805 Вар. № 13 1-я 2-я пов. пов. 525 540 555 535 615 595 600 585 615 605 595 620 625 605 685 705 710 705 Вар. № 14 1-я 2-я пов. пов. 415 440 465 435 515 485 505 495 510 505 495 525 525 500 580 605 615 600 Вар. № 15 1-я 2-я пов. пов. 620 630 655 643 695 670 670 695 720 715 700 697 740 714 780 796 810 800 Вар. № 6 1-я 2-я пов. пов. 325 335 370 350 400 390 400 385 425 415 405 415 445 420 495 515 525 505 Вар. № 7 1-я 2-я пов. пов. 425 435 470 450 500 490 500 485 525 515 505 515 545 520 595 615 625 605 Вар. № 8 1-я 2-я пов. пов. 520 530 560 545 605 595 605 590 620 610 600 620 640 615 695 715 725 705 Вар. № 9 1-я 2-я пов. пов. 620 630 670 645 705 695 705 690 720 710 700 720 740 715 795 815 825 805 Вар. № 10 1-я 2-я пов. пов. 725 735 775 740 800 790 805 790 820 805 795 820 840 815 895 910 925 910 Вар. № 16 1-я 2-я пов. пов. 730 740 765 753 805 780 780 800 830 825 810 820 850 825 890 910 920 910 Вар. № 17 1-я 2-я пов. пов. 845 855 880 860 920 900 900 915 945 935 925 935 965 940 1005 1020 1035 1025 Вар. № 18 1-я 2-я пов. пов. 545 555 580 560 620 600 600 615 645 635 625 635 665 640 705 720 735 720 Вар. № 19 1-я 2-я пов. пов. 435 445 480 460 510 500 510 500 535 525 515 525 555 530 605 625 635 615 Вар. № 20 1-я 2-я пов. пов. 325 335 370 350 400 390 400 385 425 415 405 415 445 420 495 515 525 505 htt p:/ /be lsp in. Вар. № 1 1-я 2-я пов. пов. 620 630 655 643 695 670 670 695 720 715 700 697 740 714 780 796 810 800 vs tu. by in. /be lsp htt p:/