С целью построения макроэкономической производственной функции были использованы статистические данные за 1992-2013 гг.: Y – номинальный ВВП (GDP, current US$), K - основной капитал (Gross capital formation, current US$), L - численность трудоспособного населения (% of total population ages 15-64). (а) В результате регрессионного анализа оценены модели (А)-(В): ln Y 0,085 0,23 ln K 0,79 ln L R 2 0,893 n 22 (А) 0,66 0,13 (S ) (4,17) RSS 0,0117 ln(Y / L) 0,784 0,34 ln( K / L) R 2 0,619 n 22 (В) 0,060 (S ) (0,044) RSS 0,0144 Оцените статистическое качество и адекватность модели (А). Подробно объясните, как можно обосновать переход от модели (А) к модели (В) (какие предположения должны были быть для этого сформулированы)? Насколько это целесообразно на ваш взгляд (выполняются ли предположения и какие результаты получены в результате перехода)? Проверка гипотезы о статистической значимости коэффициентов регрессии и коэффициента детерминации: H 0 : i 0 b 0,085 T0 0 0,02 S b0 4,17 T b1 0,23 0,35 ~ t (0,05;22 2 1) 1,729; t (0,025;22 2 1) 2,093; t (0,005;22 2 1) 2,861 1 Sb 0,66 1 b2 0,79 T2 S 0,13 6,08 b2 Общий вывод: коэффициент при переменной lnL сильно статистически значим (гипотеза H 1 ), т.е. даже при уровне значимости α=0,01. Коффициент свободного члена и коэффициент при переменной lnK незначимы (гипотеза H 0 ), даже при уровне α=0,10. В частности это может свидетельствовать о мультиколлинеарности в модели. В целом, коэффициенты регрессии 1 , 2 удовлетворяют ограничениям, накладываемым на параметры производственной функции. H 0 : R(2A) 0 F R2 / m 1 R /(n m 1) 2 0,893 / 2 79,29 F (0,01;2;19) 5,926 (1 0,893) /(22 2 1) Общий вывод: коэффициент детерминации сильно статистически значим (гипотеза H 1 ). Для того, чтобы перейти от модели (А) к модели (В), очевидно, необходимо использовать свойства логарифмической функции, чтобы преобразовать переменные: LnY 0 1 ln K 2 ln L e LnY ln L 0 1 ln K ln L 2 ln L e LnY L 0 1 ln K 2 1 ln L e Переход к переменной вида lnK / L возможен в том случае, если коэффициенты при экзогенных переменных имеют противоположные знаки, т.е. 2 1 1 или 1 2 1 : LnY L 0 1 ln K 1 ln L e LnY L 0 1 lnK / L e – уравнение (В) в общем виде, которое получено из уравнения (А) при выполнении условия 1 2 1 , которое является линейным ограничением. (b) Проверьте гипотезу 1 2 1 для уравнения (А), приняв cov(b1 ; b2 ) 0,08 . Проверка гипотезы о равенстве линейной комбинации двух коэффициентов регрессии заданному числу: H 0 : 1 2 1 если cov b2 ; b3 0,08 T b1 b2 1 0,23 0,79 1 0,037 H 0 S b1 b2 0,541 S b1 b2 S b1 2 S b2 2 2 cov b1 ; b2 0,66 2 0,13 2 2 0,08 0,2925 0,541 Нулевая гипотеза не отклоняется, следовательно предположение о постоянной отдаче от масштаба для производственной функции является верным. Возможно рассматривать для анализа модель регрессии при данном линейном ограничении. Учитывая значения параметров, которые можно получить при выполнении H 0 из модели (В), и сравнив их со значениями коэффициентов в (А), делаем вывод, что действительно в модели (А) присутствует мультиколлинеарность, оценки параметров в ней смещены, как и дисперсии оценок. (с) На основании анализа исходных временных рядов данных было выдвинуто предположение об изменении уровня линии тренда в 2004 г., проверьте соответствующую гипотезу, используя: ln(Y / L) 0,845 0,231 ln( K / L) R 2 0,769 n 12 (S ) 0,04 (0,029) RSS 0,00258 ln(Y / L) 0,531 0,684 ln( K / L) 0,182 (S ) (0,143) R 2 0,637 n 10 RSS 0,0031 Для проверки предположения будем использовать тест Чоу (Chow): H 0 : RSS ( B ) RSS (3) RSS ( 4) между ПФ до и после 2004 г. нет различий H 0 : RSS ( B ) RSS (3) RSS ( 4) есть различия между ПФ Cоответствующая F-статистика имеет вид: Fнабл Fнабл RSS ( В) (RSS (3) RSS (4) )/ (m 1) ~ F ; m 1; n 2m 1 ( RSS (3) RSS ( 4) ) / (n 2m 1) 0,0144 (0,00258 0,0031) / (1 1) 13,82 ~ F F 0,01; 2; 18 6,013 крит (0,00258 0,0031) / (22 21 1) Поскольку Fнабл Fкрит , то есть основания для отклонения нулевой (основной) гипотезы, т.е. имеются различия между производственными функциями при разбиении временного интервала, следовательно в 2004 г. Имеется так называемая «точка разрыва», т.е. линия тренда претерпевала изменения. Для справки: F 0,10; 2, 18 2,624 F 0,05; 2, 18 3,555 F 0,01; 2, 19 5,926 t 0,10 2 ,19 1,729 t 0,05 2 ,19 F 0,01; 2, 18 6,013 F 0,10; 2, 19 2,606 F 0,05; 2, 19 3,522 2,093 t 0,01 2 ,19 2,861 t 0,10 2 , 20 1,725 t 0,05 2 , 20 2,086 t 0,01 2 , 20 2,845