Кривко Т.В. Изучение упругого удара шаров

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
САМАРСКИЙ ЕОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИИ
УНИВЕРСИТЕТ имени академика С. П. КОРОЛЕВА
ИЗУЧЕНИЕ УПРУГОГО УДАРА ШАРОВ
Методические указания
к лабораторной работе №1-8м (2 вариант)
Самара 2004
Составители: Т.В.Кривко.
УДК 535.011
Изучение упругогоудара шаров: Метод, указания к лаб. раб. №1-8м (2 вариант)/Самар. гос.
аэрокосм.ун-т. Сост. Т.В.Кривко. Самара, 2004. 15 с.
Методические указания к лабораторной работе содержат краткие сведения о законах упругого
удара тел и их использование для проверки законов сохранения импульса и энергии, определе­
ние коэффициента восстановления энергии и средней силы удара.
Приводятся описание экспериментальной установки; порядок выполнения лабораторной ра­
боты; методика обработки полученных результатов; перечень контрольных вопросов, необхо­
димых для самостоятельной подготовки студентов; список рекомендуемой литературы.
Методические указания рекомендованы студентам дневных и вечерних отделений всех фа­
культетов, а также могут быть использованы в аэрокосмическом лицее.
Печатаются по решению редакционно-издательского совета Самарского государственного аэ­
рокосмического университета имени академика С.П.Королева.
Рецензент: д.ф.-м.н., профессор В.В.Котляр
2
ИЗУЧЕНИЕ УПРУГОГО УДАРА ШАРОВ
1. ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
Настоящие методические указания (МУ) устанавливают методику выполнения измерений с
помощью прибора ФПМ-08:
1.Средней силы соударения двух шаров с относительной погрешностью не более 3%;
2. Суммы импульсов шаров • до столкновения с относительной погрешностью не более 1%;
• после столкновения с относительной погрешностью не более 5 %;
• сравнения средних сумм импульсов шаров до и после столкновения для проверки закона со­
хранения импульса с относительной погрешностью не более 5 %;
а также, методику изучения центрального соударения двух шаров и определения коэффициен­
тов восстановления кинетической энергии и относительной скорости.
В процессе изучения МУ и выполнения измерений должны быть решены следующие задачи:
1.Изучены основные закономерности упругого и неупругого ударов тел; законы сохранения
импульса и энергии; применение этих законов для получения формул измерений;
2.Определена средняя сила соударения двух шаров;
3.Выполнена проверка закона сохранения импульса;
4.Определены коэффициенты восстановления относительной скорости и энергии;
5.Изучены зависимости времени и средней силы соударения от начального угла отклонения од­
ного из шаров;
6.Определены погрешности результатов измерений по правилам обработки прямых и косвен­
ных измерений;
7.Составлен письменный отчет, включающий в себя название работы; фамилию и номер груп­
пы исполнителя; наименование средств измерений; систематизированные по измерительным
задачам результаты экспериментов: сводные таблицы и графики; оценку погрешностей резуль­
татов измерений; окончательные результаты с учетом погрешности и общие выводы по работе.
з
2. СРЕДСТВА ИЗМЕРЕНИИ
При выполнении измерений используется прибор FPM-08, общий вид которого представлен
на рис.1. Основную часть установки представляют два металлических шара, подвешенных с
помощью двойных токопроводящих нитей. Ш ары навинчены на стержни с указателями, кото­
рые служат для отсчета углов их отклонения по левой и правой шкалам 15.
ложение основания при­
бора.
К основанию прибора
прикреплён микросекун­
домер, который предна­
значен для измерения
времени удара шаров. На
лицевой панели микросе­
кундомера находятся сле­
дующие клавиши:
1. «Сеть» - выключатель
сети. Нажатие этой кла­
виши вызывает включе­
ние питающего напряже­
ния.
2. «Сброс» - вызывает
при нажатии обнуление
РисЛ. Общий вид прибора FPM-Oi
.
\\А
шита и включает микросекундомер. После нажатия этой кла­
виши отклоненный шар приходит в движение. При соприкосновении шаров происходит замы­
кание цепи микросекундомера и производится отсчет времени удара. Время удара высвечивает­
ся на индикаторной панели.
3. ОПИСАНИЕ ИЗМЕРЯЕМЫХ ВЕЛИЧИН И ПРОВЕРЯЕМЫХ ЗАКОНОВ
ЗЛ.Центральный удар, закон сохранения импульса, средняя сила соударения двух тел
Под соударением тел в механике понимается такое их взаимодействие, которое длится очень
короткое время, много меньшее времени наблюдения. В процессе удара возникают кратковре­
менные ударные силы взаимодействия между сталкивающимися телами, причем эти силы во
много раз превосходят все внешние силы, действующие на тела. Поэтому систему соударяю­
щихся тел во время удара можно считать замкнутой и применять к ней закон сохранения им­
пульса:
От]P’i + от,ГУ =тхи х +тпи ^ ,
(1)
где От] и от2 - массы тел; J] и У2 - их скорости до удара; и х и и 2 - их скорости после удара.
Это утверждение подлежит экспериментальной проверке в данной работе.
Мерой механического взаимодействия тел при ударе служит импульс ударной силы F за
время г
FcIt =Fcp -г.
(2)
где Fcp - средняя сила удара.
Согласно второму закону Ньютона импульс ударной силы равен изменению импульса одного
из сталкивающихся тел за время удара
F^-T = m J p l - V ^ = - m J f , - v \
(3)
4
Измеряя время удара т и изменение импульса одного из сталкивающихся тел, можно опреде­
лить среднюю силу удара по формуле:
F c p = m
(4)
2(U2 - V2)l T = m l(Vl - Ul )lT ■
Общая нормаль к поверхности соударяющихся тел называется линией удара. Удар называется
прямым, если перед ударом скорости центров масс соударяющихся тел параллельны линии
удара. Удар называется центральным, если центры масс соударяющихся тел лежат на линии
удара.
5
3.2. Абсолютно упругий удар
В зависимости от упругих свойств тел соударения могут протекать различным образом. При­
нято выделять два предельных случая: абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары.
Абсолютно упругим ударом называется столкновение тел, в результате которого их внутрен­
ние энергии не метаются, т.е. механическая энергия соударяющихся тел не преобразуется в
другие, немеханические виды энергии. Кинетическая энергия сталкивающихся тел полностью
или частично переходит в потенциальную энергию упругой деформации, которая затем опять
переходит в кинетическую энергию тел после удара.
В случае абсолютно упругого удара выполняются:
закон сохранения механической энергии
—2
-.2
— 2
— 2
m, V 1
m^V 2
тМ \
mnU 2
2
2
2
2
—-----+— -----= —-----+—----
(5)
и закон сохранения импульса (1).
Дальнейшее рассмотрение проведем в рамках следующей модели:
• удар центральный;
• движение одномерное вдоль оси ОХ (рис.2), т.е. далее обозначения сил, скоростей и импуль­
сов подразумевают их проекции на ось ОХ.
Тогда символы векторов можно опустить и все геометрические суммы в (1) и (5) заменить
алгебраическими:
(6)
(7)
- U 1 ) = m 2( u 2 - V 2 ).
Разделив почленно первое из этих уравнений на второе, получаем:
(8 )
Vl +Ul =V2 +U2 .
Решая уравнения (7) и (8), получим для скоростей и 1 и К2тел после удара следующие выра­
жения
_ 2т2У2 + Ц - т 2у 1
^
2mxVx +{т2 -/wQF;
^
U 2 =
При упругом центральном ударе двух тел одинаковой массы тх = т2 тела просто обменивают­
ся скоростями U X= V 2 и U 2 =V X.
6
3.3.Абсолютно неупругий удар
Прямой центральный удар называется абсолютно неупругим, если после удара тела движутся
как единое твердое тело в произвольной лабораторной системе отсчета, т.е. это удар, при кото­
ром потенциальной энергии упругой деформации не возникает.
При абсолютно неупругом ударе выполняются закон сохранения импульса (1) и закон сохра­
нения полной энергии системы - механической и внутренней. Закон сохранения механической
энергии не выполняется.
Для определения общей скорости тел после удара достаточно одного уравнения - закона со­
хранения импульса (1):
( 11)
U =UI = U1 = '"<V<+'"S2
(12)
тх + т 2
3.4.Коэффициент восстановления относительной скорости при соударении двух тел
При соударении реальных тел всегда имеют место и упругие, и остаточные деформации, и по­
этому удар будет частично неупругим. При таких столкновениях часть кинетической энергии
тел переходит в потенциальную энергию упругой деформации, часть - во внутреннюю энергию
тел, а часть механической энергии превращается в механическую энергию звуковой волны, ко­
торую мы слышим во время удара.
При абсолютно упругом ударе, согласно (8), относительная скорость шаров после удара равна
по величине и направлена противоположно их относительной скорости до удара:
u1- u 2 =-(v1- v 2).
(13)
При абсолютно неупругом ударе эта относительная скорость после удара равна нулю, так как
и х =и2 =и.
При частично неупругом ударе относительная скорость после удара равна некоторой доле от­
носительной скорости до удара:
Ul - U 2 =-e.(Vl - V 2),
(14)
где s (о < е < l) есть коэффициент восстановления относительной скорости.
При ударе стальных шаров е= 0,56; для шаров из слоновой кости е= 0,89; для свинца s бли­
зок к нулю.
7
3.5.Коэффициент восстановления энергии при ударе
Рассеяние механической энергии тел при ударе характеризуется также коэффициентом вос­
становления энергии К. Он определяется как отношение суммарной кинетической энергии тел
после удара Т ' к суммарной кинетической энергии тел до удара Т
к
Т'
m l U l2 + m 2U j
Т
+ m 2V 22
/ 1 5 ч
Как следует из формулы (15), коэффициент восстановления энергии К зависит от выбора сис­
темы отсчета.
Наиболее наглядный смысл имеет коэффициент восстановления энергии К с, вычисленный в
системе центра инерции сталкивающихся тел.
При абсолютно упругом ударе Кс = 1, при абсолютно неупругом ударе К с = 0, в реальных слу­
чаях О< К С< 1.
Для того, чтобы выразить коэффициент восстановления энергии К с в системе центра инерции,
нужно воспользоваться формулой преобразования кинетической энергии при переходе из одной
инерциальной системы отсчета в другую
Tc = T - j ( m 1+m2)-Vc2,
(16)
где Тс - суммарная кинетическая энергия сталкивающихся тел в системе их центра инерции, Т
- их кинетическая энергия в лабораторной системе отсчета, Vc - скорость центра инерции сис­
темы относительно лабораторной системы отсчета
v
с
mlUl +m2U2
ml +m2
mlVl +m2V2
ml +m2
Подставляя выражения (16) и (17) в формулу (15), получим после преобразований:
K = i-J jh ^ L .
т Г ,- г ) 2
(18)
Сравнивая (18) с (14), приходим к выводу, что коэффициент восстановления энергии в систе­
ме центра инерции равен квадрату коэффициента восстановления относительной скорости:
Кс = г \
(19)
8
4. МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИИ
4.1. Экспериментальное определение скоростей шаров до и после удара
В настоящей работе рассматривается удар стальных шаров равных масс, подвешенных на ни­
тях, т.е. Ш/ ш 2 = т .
Для осуществления удара один шар (правый) отводится из поло­
жения равновесия на угол ахи отпускается. Второй шар (левый) до
удара покоится: У2 = 0. Скорость Г) первого шара к моменту удара
можно найти из закона сохранения энергии для первого шара:
mx-Vf
(20)
А,
G
0
m2g
Рис.2. Схема соударения
шаров
где hx - высота подъема центра инерции шара при его отклонении
из положения равновесия на угол а х.
Высота hx выражается через угол а х и через расстояние L от точки
подвеса шара до его центра инерции (рис.2) следующим образом:
hx =L ■(l - cos а х) = 2 ■L ■sin2 — .
(21)
Из (20) и (21) имеем:
(22)
2 •-\[Cl ■sin - j- .
Аналогично, величины скоростей Uх и и 2 шаров после удара выражаются через углы Д и /32
их отклонения из положения равновесия по формулам:
С ,
Ux =2-7iT £-sin-A
(23)
U2 = 2 •yjg ■L ■sin Рг
(24)
2
9
4.2. Определение средней силы взаимодействия шаров при центральном ударе
Учитывая, что скорости шаров IJX и и 2 после удара направлены в одну сторону, скорость
второго шара до удара V2 = 0 и углы отклонения шаров в опытах малы из формулы (4) получим:
. jd2 = 2>fiyfgL . j}2
= т U2
^ _2m2y[gL
=
cp
2
-
m/32y[gL
(25)
2
t
4.3. Экспериментальная проверка закона сохранения импульса
Суммарные импульсы шаров Р и Р до и после удара запишутся в виде (при равенстве масс
шаров):
Р=
= 2niifgL ■sin
з
(26)
Р =mlUl +m2U2 = 2m<JgL| ^ s i n + s i n j .
(27)
Проверка закона сохранения импульса (1) сводится в данном случае к проверке следующего
соотношения для скоростей шаров до и после удара:
Vx=u2+ux,
(28)
или через измеряемые в эксперименте углы отклонения шаров
sin — = sin
2
2
+ sin —
(29)
2
Углы отклонения шаров в эксперименте не превышают 12°. Представим синусы малых углов
двумя первыми членами разложения в ряд Тэйлора:
X3
X3
sin x « x
. В опытах величина — <0,0014рад . Инструментальная погрешность измерения уг6
6
лов составляет величину порядка 0,002 рад. Отсюда следует, что можно пренебречь вторым
членом разложения и привести формулу измерений (29) к простейшему виду:
U\=P\+Pi(30)
Методика экспериментальной проверки закона сохранения импульса в нашем простейшем
случае равенства масс шаров и на данной лабораторной установке заключается в следующем.
ю
Выдвигается гипотеза о том, что расхождение в значениях Р и Р случайно и далее проверя­
ем эту гипотезу методами математической статистики. Для этого:
1.Проводится серия равноточных измерений величин Д и р 2 при постоянном наибольшем зна­
чении aj и находятся средние значения у глов< Д >, < р 2 > и их дисперсии:
<й>
п ( п - 1)
<А>
п(п-\)
по правилам обработки результатов прямых многократных измерений.
2.По результатам измерений вычисляется среднее значение случайной величины
< Р >=< Д > + < Рг > ■
3.Вычисляется дисперсия
по формуле:
(32)
4.Вычисляется дисперсия инструментальной погрешности величины
<а> =ар.
где &а =0,002рад - инструментальная погрешность а .
5.Находится суммарное среднее квадратическое отклонение (СКО) по формуле:
6.Для заданного уровня доверительной вероятности Р=0,95 и числа v степеней свободы, опре­
деляемых как: v = 2(п-1), - находится по таблицам квантилей распределения Стьюдента ко­
эффициент t(l+p)/2v, который для //=5 равен t(l+p)/2v = 2,306.
7.Гипотеза о равенстве величин < а > = < р > принимается с доверительной вероятностью Р =
0,95, если:
(35)
< а > - < / ? > < t(\+ Р ) / 2,v
11
4.4. Определение коэффициентов восстановления энергии и относительной скорости
Учитывая, что да; = m 2 = да , а также, что скорости шаров Uг и U2 после удара направлены в
одну сторону, а скорость второго шара до удара V2 = 0 из формулы (14) получим формулу из­
мерений для s :
• Рг
тт
£=
тт
b
V,
1
i
Sin
= —
• Р\
Sin
о
о
2 -------- (36)
. а,
sin —
2
а,
1
Коэффициент восстановления энергии в системе центра инерции определяется по формуле
(19). Полученные числовые значения коэффициентов позволяют сделать качественный вывод о
характере удара и о том, сохраняется ли механическая энергия системы шаров во время столк­
новения.
5. ПОДГОТОВКА ПРИБОРА К ИЗМЕРЕНИЯМ
1. Ознакомьтесь с внешним видом лабораторной установки и приведите, при необходимости,
колонну прибора 3 в вертикальное положение с помощью винтов основания 2.
2. Установите с помощью винта 7 шары так, чтобы они соприкасались друг с другом. Убедитесь,
что нити подвеса вертикальны и риски на шарах находятся на одном уровне. Убедитесь, что
указатель угла правого шара в состоянии покоя, соответствует нулевому отсчету.
3. Определите начальное положение левого шара О 2 (с точностью до 30 минут) по левой шкале
и запишите в таблицу 1.
4. Занесите в таблицу 1 данные установки: массу шаров да и длину нити подвеса L (см. на лабо­
раторном столе).
5.Включите сетевой шнур установки в сеть питания и нажмите клавишу "Сеть". При этом
должна засветиться индикаторная панель.
6. Отведите правый шар до его соприкосновения с электромагнитом, оставляя левый шар непод­
вижным в положении равновесия.
7. Отрегулируйте положение электромагнита таким образом, чтобы его ось совпала с риской
подведенного к нему шара и он правильно ориентировал качение шара в плоскости шкалы (но
не касался указателем шкалы). Следите за выполнением этого пункта при выполнении каждого
опыта.
8. Отрегулируйте с помощью винта 19 силу притяжения так, чтобы шар удерживался в откло­
ненном положении.
9. Нажмите клавишу «Сброс». При этом на индикаторной панели должны высветиться нули.
Таблица 1.
Данные лабораторной установки
Начальное поло­
Масса шара
Длина нити подвеса
да, кг
L, м
жение левого ша­
ра О2, град
6. ВЫПОЛНЕНИЕ ИЗМЕРЕНИЙ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
6.1. Экспериментальное определение времени и средней силы взаимодействия шаров при
упругом центральном ударе
1. Установите электромагнит так, чтобы начальное отклонение правого шара составило at = 12°.
Занесите значение угла в радианах в таблицу 2.
2.Нажмите клавишу «Пуск». После того как произойдет соударение шаров, отожмите клавишу
«Пуск». Прочитайте время соударения шаров г на индикаторной панели и запишите результат
измерения в таблицу 2. Нажмите клавишу «Сброс» для обнуления показаний микросекундоме­
ра.
3.Повторите соударение шаров для того же значения угла at начального отклонения правого
шара. Снимите отсчет N 2 с левой шкалы для максимального отклонения левого шара после уда­
ра. Определите угол отклонения
левого шара после удара по формуле: р 2 = N2 - 0 2. Значение
12
угла в радианах запишите в таблицу 2.
4. Повторите соударение шаров еще раз, не изменяя aj. По левой шкале определите угол макси­
мального отклонения Pi правого шара после удара.
5. Повторите измерения углов /?/ , /?2 и времени соударения шаров г еще четыре раза для того
же самого начального угла отклонения правого шара a i , т.е. при неизменном положении элек­
тромагнита.
6. Отключите питание установки, отжав клавишу «Сеть».
7.Проведите обработку прямых многократных измерений, т.е. найдите значения величин
г.2
<Р\ >, <Рг >, S.< А > 5 < / ?2 > < т > , S i
8. Рассчитайте среднюю силу удара <Fcp> по формуле (25).
9. Определите доверительные границы погрешности результата измерений силы удара AFср по
правилам обработки косвенных измерений (считая, что систематическая погрешность значи­
тельно меньше случайной), используя следующие формулы:
Si
<02>
<p2 > < T >
- коэффициент Стьюдента при доверительной вероятности Р = 0,95.
Fср =< Fср > —
+AFср ^ ср -tp.n -Sp , Sp -<Fcp >
t
10. Сравните полученное значение величины силы взаимодействия F cp с силой тяжести шара.
Сделайте вывод об интенсивности сил взаимного отталкивания, действующих во время удара, и
о том, можно ли систему соударяющихся шаров во время удара считать замкнутой.
Таблица 2
Экспериментальное определение времени и средней силы
взаимодействия шаров при столкновении
У гол отклонения шаров после удаправого шара
Время соударения
левого шара
Q.
6.2. Экспериментальная проверка закона сохранения импульса
1.Найдите <р> и s \p> по формулам (31) и (32).
2. Определите дисперсию инструментальной погрешности s 1а> по формуле (33). Рассчитайте
суммарное CKO S из соотношения (34).
3.Проверьте гипотезу о равенстве величин < а >=< р> по формуле (35) и сделайте вывод о вы­
полнении закона сохранения импульса.
Таблица 3
Экспериментальная проверка закона сохранения импульса
Угол от­
клонения
Дисперсия
Среднее
значение
13
Дисперсия
Средне­
квадратичное
шаров до
удара
< а >= а 1,
рад
s<„>, рад2
<Р>,
£</?>’ рад2
рад
14
отклонение
У, рад
6.3. Определение коэффициентов восстановления энергии и относительной скорости
1.По данным ai,< f\ >,<&> таблицы 2 и формуле (36) определите среднее значение коэффициен­
та восстановления относительной скорости s.
2.Вычислите из соотношения (19) значение коэффициента восстановления механической энер­
гии.
3. Сделайте вывод о характере удара и о том, выполняется ли закон сохранения механической
энергии системы шаров при столкновении.
6.4. Экспериментальное изучение зависимостей времени удара и средней силы взаимодей­
ствия от значения начального угла отклонения шара (выполняется по указанию преподава­
теля)
1. Повторите серии пяти измерений /?/, /?2 и г для двух других положений электромагнита,
меняя значение угла at на 1-2° в пределах от 8° до 12°. Все результаты измерений запишите в
таблицу 4 (аналогичную таблице 2).
2. В осях координат у = г и х = at нанесите экспериментальные точки с указанием довери­
тельных интервалов и сделайте вывод о характере изменения среднего времени соударения
<т>= /(« ]) от значения начального угла отклонения правого шара.
3. Аналогично, в осях координату = <Fcp> и х = at нанесите экспериментальные точки с
указанием доверительных интервалов и сделайте вывод о характере изменения средней силы
удара F = ср(а1) от значения начального угла отклонения правого шара.
7. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Сформулируйте условия, при которых сохраняется импульс системы. Что такое внешние и
внутренние силы?
2. Что такое удар упругий и неупругий? Какие законы справедливы при абсолютно упругом и
абсолютно неупругом ударах?
3. В каких направлениях будут двигаться шары после абсолютно упругого удара, если: a)m t =
m y б) mj > ту с) т } < т2 7
4. Как движутся тела после абсолютно неупругого удара в системе их центра инерции и в ла­
бораторной системе отсчета?
5. Выведите расчётные формулы для импульса и кинетической энергии при упругом и неупру­
гом соударении шаров.
6. Выведите расчётную формулу для определения средней силы взаимодействия при ударе.
15
8. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Астрель, 2003. Т.1.
2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. - М.: Физматлит, 2002.
3. Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики. - М.: Наука, 1972.
4. Изучение упругого удара шаров: Метод, указания к лаб. раб. №1-8м/ Самар, гос. аэрокосм,
ун-т. Сост. Ю.М.Дубинкин, В.А.Решетов. Самара, 1988.
16
Учебное издание
ИЗУЧЕНИЕ УПРУГОГО УДАРА ШАРОВ
Методические указания
Составители: Т.В.Кривко
Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П.Королева.
443086 Самара, Московское шоссе, 34.
17